24.2.2_直线与圆的位置关系(第二课时)
直线与圆的位置关系课件(省级获奖)_图文
距离d与r的关系．已知r，只需 4
求出C到AB的距离d。
C
D
d A
3
解：过C作CD⊥AB，垂足为D
在△ABC中，
AB=
5
根据三角形的面积公式有
∴
D
d
即圆心C到AB的距离d=2.4cm 所以 (1)当r=2cm时, 有d>r, 因此⊙C和AB相离。
（2）当r=2.4cm时,有d=r, 因此⊙C和AB相切。
(3)直线和圆没有公共点时, 叫做直线和圆相离。
相交
相切
相离
上述变化过程中，除了公共点的个数发生了变化， 还有什么量在改变？你能否用数量关系来判别直线 与圆的位置关系？
相关知识点回忆
1.直线外一点到这条直线
.A
的垂线段的长度叫点到直线
的距离。
D
a
2、连结直线外一点与直线所
有点的线段中,最短的是__垂__线__ 段
直线与圆的位置关系课件(省级获奖)_图文.ppt
24.2.2直线和圆的位置关系
天空还是一片浅蓝，很 浅很浅的。
转眼间，天水相接的地方出现了一道红霞
红霞的范围慢慢扩大，越来越亮 。
天水相接的地方出现了太阳 的小半边脸。
太阳像负着什么重担似的，慢慢儿，一纵一纵地 ，使劲向上升。
到了最后，它终于冲破了云霞，完全跳出了 海面，颜色真红得可爱。
D
d
（3）当r=3cm时，有d<r， 因此，⊙C和AB相交。
D
d
自我检验
1、已知：圆的直径为13cm，如果直线和
圆心的距离为以下值时，直线和圆有几个
公共点？为什么？
(1) 4.5cm
24.2.2直线与圆的位置关系(第二课时)
P A L N M C
B
思考
如图,一张三角形的铁皮,如何在它上面截下 一块圆形的用料,并且使圆的面积尽可能大呢?
如何确定这个圆的圆心位置，与半径大小？
1）分别作∠ABC，∠ACB的 平分线相交于点⊙O 2）过点O作OD⊥BC 3）以O为圆心，OD为半径作圆 ⊙O就为⊿ABC 中面积最大的圆 内切圆和内心的定义:
B
9-X
D
13-X
C
AF、BD、CE的长分别是 3cm、 7cm、 9cm。
练习P98： 1、如图，在△ABC中，点O是内心， ∠ABC=50°， ∠ACB=75°，求∠BOC的度数 （1）解：∵点O是△ABC的内心， 1 1 ∴ ∠1= ∠2= ∠ABC= 50°= 25° 2 2 1 1 同理 ∠3= ∠4= ∠ACB= 75° = 37.5° 2 2 ∴ ∠BOC=180 °－(∠1＋ ∠3) = 180 °－(25°＋ 37.5 °) B
O
A
C
B
辅助线：有点连圆心，证垂直
〖例2〗已知：O为∠BAC平分线上一点，
OD⊥AB于D,以O为圆心，OD为半径作 ⊙O 。 A 求证：⊙O与AC相切。 证明：过O作OE⊥AC于E。 ∵ AO平分∠BAC，OD⊥AB ∴ OE＝OD 即圆心O到AC的距离 d = r ∴ AC是⊙O切线。
D O E
2 )1
A O
4 3(
C
变式训练： 如图，在△ABC中，点O是内心， ∠A=70°， 求∠BOC的度数 1 0 0 BOC=180 －（ ∠ 1+ ∠ 3） ＝180 － 2 （ 1800－ ∠ A）
1 ＝180 － （ ∠ B+ ∠ C） 2
0
=117.5°
24.2.2直线和圆的位置关系 第2课时 切线的判定与性质 课件2024-2025学年人教版数学九上
直线名称
圆心到直线距离
d>r
1个 切点 切线 d=r
2个 交点 割线 d<r
知识回顾 我们可以从哪些角度来判断一条直线和圆相切呢？
or d
A
l
1 定义法：直线和圆只有一个公共点.
2 数量关系法：圆心到直线的距离等于半径，即d＝r.
还有其它的方法能判断直线和圆相切吗？
探索新知
在生活中，有许多直线和圆相切的实例.例如，下雨天你快速转动 雨伞时飞出的水珠，在砂轮上打磨工件时飞出的火星，
要证明OF=OE.
证明：连接OE ，OA, 过O 作OF ⊥AC. ∵⊙O 与AB 相切于E ， ∴OE ⊥ AB. 又∵△ABC 中，AB ＝AC ， E
A F
O 是BC 的中点．
∴AO 平分∠BAC，
B
又OE ⊥AB ，OF⊥AC.
O
C
∴OE ＝OF.
∵OE 是⊙O 半径，OF ＝OE，OF ⊥ AC.
都是沿着圆的切线方向飞出的
探索新知
思考 在☉O中，经过半径OA的外端点A作直线l⊥OA，则圆心O到直线l 的距离是多少？直线l与☉O有怎样的位置关系呢？
o r l 切线
A 圆心O到直线l的距离＝ 半径 r
要点归纳
切线的判定定理 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是
圆的切线.
几何语言：
探索新知
思考 已知一个圆☉O和圆上的一点A，如何过这个点A作出圆的切线？
作法： （1）连接OA； （2）过点A作OA的垂线l，
l 即为所作的切线.
l
探究新知
下列各直线是不是圆的切线？如果不是，请说 明为什么？
O.
A
(1) (1)不是，因为没有垂直.
24.2点、直线、圆和圆的位置关系(共7课时)
24.2点、直线、圆和圆的位置关系（共7课时）第一课时：点和直线的位置关系教学内容1．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有：点P在圆外⇔d>r；点P在圆上⇔d=r；点P在圆内⇔d<r．2．不在同一直线上的三个点确定一个圆．3．三角形外接圆及三角形的外心的概念．4．反证法的证明思路．教学目标1．理解并掌握设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有：点P 在圆外⇔d>r；点P在圆上⇔d=r；点P在圆内⇔d<r及其运用．2．理解不在同一直线上的三个点确定一个圆并掌握它的运用．3．了解三角形的外接圆和三角形外心的概念．4．了解反证法的证明思想．复习圆的两种定理和形成过程，并经历探究一个点、两个点、•三个点能作圆的结论及作图方法，给出不在同一直线上的三个点确定一个圆．接下去从这三点到圆心的距离逐渐引入点P•到圆心距离与点和圆位置关系的结论并运用它们解决一些实际问题．重点：点和圆的位置关系的结论：不在同一直线上的三个点确定一个圆其它们的运用．难点：讲授反证法的证明思路．教学过程一、复习引入（学生活动）请同学们口答下面的问题．1．圆的两种定义是什么？2．你能至少举例两个说明圆是如何形成的？3．圆形成后圆上这些点到圆心的距离如何？4．如果在圆外有一点呢？圆内呢？请你画图想一想．（1）在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，•另一个端点A所形成的图形叫做圆；圆心为O，半径为r的圆可以看成是所有到定点O的距离等于定长r的点组成的图形．（2）圆规：一个定点，一个定长画圆．（3）都等于半径．（4）经过画图可知，圆外的点到圆心的距离大于半径；•圆内的点到圆心的距离小于半径．二、探索新知由上面的画图以及所学知识，我们可知：设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离为OP=d则有：点P在圆外⇒d>r点P在圆上⇒d=r点P在圆内⇒d<r反过来，也十分明显，如果d>r⇒点P在圆外；如果d=r⇒点P在圆上；如果d<r⇒点P在圆内．因此，我们可以得到：这个结论的出现，对于我们今后解题、判定点P是否在圆外、圆上、圆内提供了依据．下面，我们接下去研究确定圆的条件：（学生活动）经过一点可以作无数条直线，经过二点只能作一条直线，那么，经过一点能作几个圆？经过二点、三点呢？请同学们按下面要求作圆．（1）作圆，使该圆经过已知点A，你能作出几个这样的圆？（2）作圆，使该圆经过已知点A、B，你是如何做的？你能作出几个这样的圆？其圆心的分布有什么特点？与线段AB有什么关系？为什么？（3）作圆，使该圆经过已知点A、B、C三点（其中A、B、C三点不在同一直线上），•你是如何做的？你能作出几个这样的圆？老师在黑板上演示：（1）无数多个圆，如图1所示．（2）连结A、B，作AB的垂直平分线，则垂直平分线上的点到A、B的距离都相等，都满足条件，作出无数个．其圆心分布在AB的中垂线上，与线段AB互相垂直，如图2所示．lBAB(1) (2) (3)（3）作法：①连接AB、BC；②分别作线段AB、BC的中垂线DE和FG，DE与FG相交于点O；③以O 为圆心，以OA 为半径作圆，⊙O 就是所要求作的圆，如图3所示． 在上面的作图过程中，因为直线DE 与FG 只有一个交点O ，并且点O 到A 、B 、C•三个点的距离相等（中垂线上的任一点到两边的距离相等），所以经过A 、B 、C 三点可以作一个圆，并且只能作一个圆．也就是，经过三角形的三个顶点可以做一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆．外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做这个三角形的外心．下面我们来证明：经过同一条直线上的三个点不能作出一个圆．证明：如图，假设过同一直线L 上的A 、B 、C 三点可以作一个圆，设这个圆的圆心为P ，那么点P 既在线段AB 的垂直平分线L 1，又在线段BC 的垂直平分线L 2，•即点P 为L 1与L 2点，而L 1⊥L ，L 2⊥L ，这与我们以前所学的“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”矛盾．所以，过同一直线上的三点不能作圆． 上面的证明方法与我们前面所学的证明方法思路不同，它不是直接从命题的已知得出结论，而是假设命题的结论不成立（即假设过同一直线上的三点可以作一个圆），由此经过推理得出矛盾，由矛盾断定所作假设不正确，从而得到命题成立．这种证明方法叫做反证法．在某些情景下，反证法是很有效的证明方法．例1．某地出土一明代残破圆形瓷盘，如图所示．为复制该瓷盘确定其圆心和半径，请在图中用直尺和圆规画出瓷盘的圆心．分析：圆心是一个点，一个点可以由两条直线交点而成，因此，只要在残缺的圆盘上任取两条线段，作线段的中垂线，交点就是我们所求的圆心． 作法：（1）在残缺的圆盘上任取三点连结成两条线段；（2）作两线段的中垂线，相交于一点．则O 就为所求的圆心．四、应用拓展例2．如图，已知梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AD=BC ，AB=48cm ，CD=30cm ，高27cm ，求作一个圆经过A 、B 、C 、D 四点，写出作法并求出这圆的半径（比例尺1：10）分析：要求作一个圆经过A 、B 、C 、D 四个点，应该先选三个点确定一个圆，•然后证明第四点也在圆上即可．要求半径就是求OC 或OA 或OB ，因此，•要在直角三角形中进行，不妨设在Rt △EOC 中，设OF=x ，则OE=27-x 由OC=OB 便可列出，•这种方法是几何代数解．作法分别作DC 、AD 的中垂线L 、m ，则交点O 为所求△ADC 的外接圆圆心． ∵ABCD 为等腰梯形，L 为其对称轴Al m BA C E D O F ∵OB=OA ，∴点B 也在⊙O 上∴⊙O 为等腰梯形ABCD 的外接圆设OE=x ，则OF=27-x ，∵OC=OB= 解得：x=20∴，即半径为25m ． 五、归纳总结（学生总结，老师点评）本节课应掌握：1． 点和圆的位置关系：设⊙O 的半径为r ，点P 到圆心的距离为d ，则;;.P d r P d r P d r ⇔>⎧⎪⇔=⎨⎪⇔<⎩点在圆外点在圆上点在圆内2．不在同一直线上的三个点确定一个圆．3．三角形外接圆和三角形外心的概念．4．反证法的证明思想．5．以上内容的应用．六、布置作业1．教材P93 练习第二课时：直线和圆的位置关系（1）教学内容1．直线和圆相交、割线；直线和圆相切、圆的切线、切点；•直线和圆没有公共点、直线和圆相离等概念．2．设⊙O 的半径为r ，直线L 到圆心O 的距离为d直线L 和⊙O 相交⇔d<r ；直线和⊙O 相切⇔d=r ；直线L 和⊙O 相离⇔d>r ．教学目标1.探索并了解直线和圆的位置关系．2.根据圆心到直线的距离与圆的半径之间的数量关系揭示直线和圆的位置关系．3．能够利用公共点个数和数量关系来判断直线和圆的位置关系．重点：探索并了解直线和圆的位置关系．难点：掌握识别直线和圆的位置关系的方法．教学过程一、复习引入（老师口答，学生口答，老师并在黑板上板书）同学们，我们前一节课已经学到点和圆的位置关系．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，(b)(c)则有：点P在圆外⇔d>r，如图（a）所示；点P在圆上⇔d=r，如图（b）所示；点P在圆内⇔d<r，如图（c）所示．(1)“大漠孤烟直，长河落日圆”是唐朝诗人王维的诗句，它描述了黄昏日落时分塞外特有的景象．如果我们把太阳看成一个圆，地平线看成一条直线，那你能根据直线和圆的公共点个数想象一下，直线和圆有几种位置关系吗？探究一、请同学在纸上画一条直线，把硬币的边缘看作圆，在纸上移动硬币，你能发现直线和圆的公共点个数的变化情况吗？公共点个数最少时有几个？最多时有几个？直线和圆有三种位置关系：相交、相切和相离．（老师板书）如图所示：l(a)(b)相离(c)如图（a ），直线L 和圆有两个公共点，这时我们就说这条直线和圆相交，这条直线叫做圆的割线．如图（b ），直线和圆有一个公共点，这时我们说这条直线和圆相切，•这条直线叫做圆的切线，这个点叫做切点．如图（c ），直线和圆没有公共点，这时我们说这条直线和圆相离．探究二、割线切线基本概念探究二、(1) 能否根据基本概念来判断直线与圆的位置关系？练习已知：如图所示，∠AOB =30°，P 为OB 上一点，且OP =5 cm ，以P 为圆心，以R 为半径的圆与直线OA 有怎样的位置关系？为什么？①R =2 cm ；②R =2.5 cm ；③R =4 cm ．(2) 练习课堂小结：（学生归纳，总结发言老师点评）1．直线和圆相交、割线、直线和圆相切，切线、切点、直线和圆相离等概念．2．设⊙O 的半径为r ，直线L 到圆心O 的距离为d 则有：直线L 和⊙O 相交⇔d<r直线L 和⊙O相切⇔d=r直线L和⊙O相离⇔d>r第三课时：直线和圆的位置关系（2）教学内容1切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．2切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径．教学过程是否还有其他的方法来判断直线与圆的位置关系？我们知道，点到直线L的距离是这点向直线作垂线，这点到垂足D的距离，•按照这个定义，作出圆心O到L的距离的三种情况？（学生分组活动）：设⊙O的半径为r，圆心到直线L的距离为d，•请模仿点和圆的位置关系，总结出什么结论？老师点评直线L和⊙O相交⇔d<r，如图（a）所示；l(a)直线L和⊙O相切⇔d=r，如图（b）所示；直线L和⊙O相离⇔d>r，如图（c）所示．因为d=r⇒直线L和⊙O相切，这里的d是圆心O到直线L的距离，即垂直，并由d=r就可得到L经过半径r的外端，即半径OA的A点，因此，很明显的，•我们可以得到切线的判定定理：例1．如图，已知Rt△ABC的斜边AB=8cm，AC=4cm．（1）以点C为圆心作圆，当半径为多长时，直线AB与⊙C相切？为什么？（2）以点C为圆心，分别以2cm和4cm为半径作两个圆，这两个圆与直线AB分别有怎样的位置关系？分析：（1）根据切线的判定定理可知，要使直线AB与⊙C相切，•那么这条半径应垂直于直线AB，并且C点到垂足的长就是半径，所以只要求出如图AD 所示的CD 即可．（2）用d 和r 的关系进行判定，或借助图形进行判定．解：（1）如图24-54：过C 作CD ⊥AB ，垂足为D ．在Rt △ABC 中∴因此，当半径为时，AB 与⊙C 相切．理由是：直线AB 为⊙C 的半径CD 的外端并且CD ⊥AB ，所以AB 是⊙C 的切线．（2）由（1）可知，圆心C 到直线AB 的距离，所以当r=2时，d>r ，⊙C 与直线AB 相离；当r=4时，d<r ，⊙C 与直线AB 相交．刚才的判定定理也好，或者例1也好，都是不知道直线是切线，而判定切线，反之，如果知道这条直线是切线呢？有什么性质定理呢？实际上，如图，CD 是切线，A 是切点，连结AO 与⊙O 于B ，那么AB 是对称轴，所以沿AB 对折图形时，AC 与AD 重合，因此，∠BAC=∠BAD=90°．因此，我们有切线的性质定理:三、巩固练习教材P94 练习，四、应用拓展例．如图，AB 为⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点，D 在AB 的延长线上，且∠DCB=•∠A ．（1）CD 与⊙O 相切吗？如果相切，请你加以证明，如果不相切，请说明理由．A D （2）若CD 与⊙O 相切，且∠D=30°，BD=10，求⊙O 的半径．分析：（1）要说明CD 是否是⊙O 的切线，只要说明OC 是否垂直于CD ，垂足为C ，•因为C 点已在圆上．由已知易得：∠A=30°，又由∠DCB=∠A=30°得：BC=BD=10解：（1）CD 与⊙O 相切理由：①C 点在⊙O 上（已知） ②∵AB 是直径∴∠ACB=90°，即∠ACO+∠OCB=90° ∵∠A=∠OCA 且∠DCB=∠A∴∠OCA=∠DCB∴∠OCD=90°综上：CD 是⊙O 的切线．（2）在Rt △OCD 中，∠D=30°∴∠COD=60°∴∠A=30°∴∠BCD=30°∴BC=BD=10∴AB=20，∴r=10答：（1）CD 是⊙O 的切线，（2）⊙O 的半径是10．五、归纳小结（学生归纳，总结发言老师点评）本节课应掌握：1切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．2、切线的性质定理，圆的切线垂直于过切点的半径．3、应用上面的知识解决实际问题．六、布置作业一、选择题．1．如图，AB 与⊙O 切于点C ，OA=OB ，若⊙O 的直径为8cm ，AB=10cm ，那么OA 的长是（ ）A2．下列说法正确的是（ ） A ．与圆有公共点的直线是圆的切线．B ．和圆心距离等于圆的半径的直线是圆的切线;C ．垂直于圆的半径的直线是圆的切线;D ．过圆的半径的外端的直线是圆的切线3．已知⊙O 分别与△ABC 的BC 边，AB 的延长线，AC 的延长线相切，则∠BOC 等于（ ）A ．12（∠B+∠C ）B ．90°+12∠A AC．90°-12∠A D．180°-∠A二、填空题1．如图，AB为⊙O直径，BD切⊙O于B点，弦AC的延长线与BD交于D•点，•若AB=10，AC=8，则DC长为________．D2．如图，P为⊙O外一点，PA、PB为⊙O的切线，A、B为切点，弦AB与PO交于C，⊙O半径为1，PO=2，则PA_______，PB=________，PC=_______AC=______，BC=______∠AOB=________．3．设I是△ABC的内心，O是△ABC的外心，∠A=80°，则∠BIC=•________，•∠BOC=________．第四课时：直线和圆的位置关系（3）教学内容1．切线长的概念．2．切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，•这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角．3．三角形的内切圆及三角形内心的概念．教学目标1、了解切线长的概念．2、理解切线长定理，了解三角形的内切圆和三角形的内心的概念，熟练掌握它的应用．3、复习圆与直线的位置关系和切线的判定定理、性质定理知识迁移到切长线的概念和切线长定理，然后根据所学三角形角平分线的性质给出三角形的内切圆和三角形的内心概念，最后应用它们解决一些实际问题．重点：切线长定理及其运用．•难点与关键：切线长定理的导出及其证明和运用切线长定理解决一些实际问题．教学过程一、复习引入1．已知△ABC，作三个内角平分线，说说它具有什么性质？2．点和圆有几种位置关系？你能说说在这一节中应掌握几个方面的知识？3．直线和圆有什么位置关系？切线的判定定理和性质定理，它们如何？老师点评：（1）在黑板上作出△ABC的三条角平分线，并口述其性质：•①三条角平分线相交于一点；②交点到三条边的距离相等．（2）（口述）点和圆的位置关系有三种，点在圆内⇔d<r；点在圆上⇔d=r；点在圆外⇔d>r；不在同一直线上的三个点确定一个圆；反证法的思想．（3）（口述）直线和圆的位置关系同样有三种：直线L和⊙O相交⇔d<r；直线L和⊙相切⇔d=r；直线L和⊙O相离⇔d>r；切线的判定定理：•经过半径的外端并且垂直于半径的直线是圆的切线；切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径．二、探索新知从上面的复习，我们可以知道，过⊙O上任一点A都可以作一条切线，•并且只有一条，根据下面提出的问题操作思考并解决这个问题．问题：在你手中的纸上画出⊙O，并画出过A点的唯一切线PA，•连结PO，•沿着直线PO将纸对折，设圆上与点A重合的点为B，这时，OB是⊙O的一条半径吗？PB是⊙O的切线吗？利用图形的轴对称性，说明圆中的PA与PB，∠APO与∠BPO有什么关系？学生分组讨论，老师抽取3～4位同学回答这个问题．老师点评：OB与OA重叠，OA是半径，OB也就是半径了．又因为OB是半径，PB为OB•的外端，又根据折叠后的角不变，所以PB是⊙O的又一条切线，根据轴对称性质，•我们很容易得到PA=PB，∠APO=∠BPO．我们把PA或PB的长，即经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，•叫做这点到圆的切线长．从上面的操作几何我们可以得到：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角．下面，我们给予逻辑证明．例1．如图，已知PA、PB是⊙O的两条切线．Array求证：PA=PB，∠OPA=∠OPB．证明：∵PA、PB是⊙O的两条切线．∴OA⊥AP，OB⊥BP又OA=OB，OP=OP，∴Rt △AOP ≌Rt △BOP ∴PA=PB ，∠OPA=∠OPB因此，我们得到切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角．我们刚才已经复习，三角形的三条角平分线于一点，并且这个点到三条边的距离相等．（同刚才画的图）设交点为I ，那么I 到AB 、AC 、BC 的距离相等，如图所示，因此以点I 为圆心，点I 到BC 的距离ID 为半径作圆，则⊙I 与△ABC 的三条边都相切． 与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，•内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心． 例2．如图，已知⊙O 是△ABC 的内切圆，切点为D 、E 、F ，如果AE=1，CD=2，BF=3，且△ABC 的面积为6．求内切圆的半径r ．分析：直接求内切圆的半径有困难，由于面积是已知的，•因此要转化为面积法来求．就需添加辅助线，如果连结AO 、BO 、CO ，就可把三角形ABC 分为三块，•那么就可解决． 解：连结AO 、BO 、CO∵⊙O 是△ABC 的内切圆且D 、E 、F 是切点． ∴AF=AE=1，BD=BF=3，CE=CD=2∴AB=4，BC=5，AC=3又∵S △ABC =6∴12（4+5+3）r=6 ∴r=1答：所求的内切圆的半径为1． 三、巩固练习 教材P98 练习．五、归纳小结（学生归纳，老师点评） 本节课应掌握：1．圆的切线长概念； 2．切线长定理3．三角形的内切圆及内心的概念．l AC第五课时：直线和圆的位置关系（4） 内容：直线和圆的位置关系复习要点梳理一、 直线和圆的位置关系1、直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交。
24.2.2 第二课时 切线的判定和性质(课前练)-初中数学人教版九年级上册课前课中课后同步试题精编
三、课前小练习
6.下列说法中，不正确的是（ ）
A.与圆只有一个交点的直线是圆的切线
B.经过半径的外端，且垂直于这条半径的直线是圆的切线
C.与圆心的距离等于这个圆的半径的直线是圆的切线
直线和圆的位置关系的性质与判定：
2.设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，则有：
直线l与⊙O相交⇔d_______r；
直线l与⊙O相切⇔d________r；
直线l与⊙O相离⇔d_______r．
二、新知
阅读教材P97－98页，完成下列问题：
切线 判定定理：
3.经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的_____．
4.如图，在⊙O中，AB为直径，OC⊥AB，弦CD与OB交于点F，在AB的延长线上有点E，且EF＝DE．求证：DE是⊙O的切线．
证明：连接OD．
∵EF＝DE，
∴∠EFD＝________．
∵∠EFD＝∠CFO，
∴∠CFO＝_______．
∵OC⊥OF，
∴∠OCF＋______＝90°．
又∵OC＝OD，
5①.半径②.切点③.圆心④.切线⑤.圆心
6 D
【解析】
【详解】试题分析：利用切线的性质进行判断后即可得到答案．
A．与圆只有一个交点的直线是圆的切线,正确；
B．经过半径的外端，且垂直于这条半径的直线是圆的切线，正确；
C．与圆心的距离等于这个圆的半径的直线是圆的切线，正确；
D．垂直于半径的直线是圆的切线，错误.
∴∠OCF＝_______，
∴∠ODE＝∠ODC＋∠EDF＝_O的切线．
《直线与圆的位置关系》第二课时教学设计
24.2.2直线与圆的位置关系（第二课时）一、教与学目标1、探索切线的性质与判定。
2、通过应用切线的性质与判定，提高推理判断能力。
二、教与学重点和难点重点：直线与圆相切的判定条件与圆的切线的性质。
难点：直线与圆相切的判定与性质的应用。
三、教与学方法自主探究，合作交流四、教与学过程（一）复习回顾1.直线与圆的位置关系包括：、、。
2.直线与圆的位置关系的区别方法包括种：（a）根据________________的个数来判断；（b）根据_______ __的关系来判断。
若d r,则直线与圆相交；若d r,则直线与圆相切；若d r,则直线与圆相离。
下面，我们重点研究直线和圆相切的情况，观看课件问题导入。
（二）探究新知探究一探索直线与圆相切的另一种判定方法1、由圆心到直线的距离等于半径逆推可知：在⊙O中，经过半径OA的外端点A，作直线l⊥OA，则圆心O到直线l的距离等于半径r，直线l与⊙O相切。
经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线切线需满足两条：①经过半径外端；②垂直于这条半径．2、由此我们可以得到直线是圆的切线的三个判定方法：⑴与圆有惟一公共点的直线是圆的切线；⑵与圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；⑶经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
3、学以致用[例1]已知直线AB经过⊙O上的一点C，并且OA=OB，CA=CB，求证：直线AB是⊙O的切线。
思路分析：如图，由于直线AB经过⊙O上一点C，所以连结OC，只要证明OC⊥AB即可.证明：连结OC，∵OA=OB，CA=CB，∴OC是等腰△OAB底边，AB上的中线.∴AB⊥OC又∵点C在⊙O上，∴AB是⊙O的切线.[例2]已知：O为∠BAC平分线上一点，OD⊥AB于D,以O为圆心，OD为半径作⊙O。
求证：⊙O与AC相切。
思考：例1与例2的证法有何不同?探究二探索直线与圆相切的性质1、如图，直线ｌ与⊙O相切于点A，OA是过切点的半径，直线ｌ与半径OA是否一定垂直？你能说明理由吗？一定垂直。
24.2.2直线和圆的位置关系
d
要点归合纳作探究 （用圆心O到直线的距离d与圆的半径r的关系来区分）
o
o
dr
r d
o r
d
∟
直线和圆相交 直线和圆相切 直线和圆相离 数形结合： 位置关系
d< r d= r d> r 数量关系
公共点 个数
练一练：
1.已知圆的半径为6cm，设直线和圆心的距离为d ： （1）若d=4cm ,则直线与圆 相交 , 直线与圆有_2___个公共点. （2）若d=6cm ,则直线与圆_相__切___, 直线与圆有__1__个公共点. （3）若d=8cm ,则直线与圆_相__离___, 直线与圆有__0__个公共点.
A．(－1，－2)
B．(1，2)
C．(－1.5，－2) D．(1.5，－2)
解析：过点A作AQ⊥MN于Q，连接AN，设半径为r，由垂 径定理有MQ＝NQ，所以AQ＝2，AN＝r，NQ＝4－r，利用 勾股定理可以求出NQ＝1.5，所以N点坐标为(－1，－2)．故 选A.
拓展提升：已知☉O的半径r=7cm,直线l1 // l2,且l1 与☉O相切,圆心O到l2的距离为9cm.求l1与l2的距离.
0个：相离；1个：相切；2个：相交
d>r：相离 d=r:相切 d<r：相交
特别提醒：在图中没有d要先做出该垂线段
课后作业
见《学练优》本课时练习
B
当r=2.4cm或3cm≤r＜4cm时,⊙C与线
段AB有一个公共点.
5
4
D 当2.4cm＜r≤3cm 时,⊙C与线段AB有
C 3 A 两公共点.
例2 如图，Rt△ABC的斜边AB=10cm,∠A=30°.
(1) 以点C为圆心，当半径为多少时，AB与☉C相切？
24.2.2.2直线和圆的位置关系 课件人教版数学九年级上册
(1)求证：直线DE与⊙0相切； (2)若⊙0的直径是10,∠A=45°,
求CE的长.
解： (1)连接OD 交BC 于点F,如图， ∵点D是BC的中点，∴OD⊥BC, ∵DE//BC.∴OD⊥DE
∵OD 是⊙0的半径.直线DE与⊙0相切；
【知识技能类作业】选做题：
(2)∵AC 是⊙0的直径，且AB=10,
直线和圆的位置关系
一、切线的定义 二、切线的判定 三、切线的性质
【知识技能类作业】必做题：
1.下列命题中，真命题是( )
A. 垂 直 于 半 径 的 直 线 是 圆 的 切 线 B. 经 过 半 径 外 端 的 直 线 是 圆 的 切 线 C. 经 过 切 点 的 直 线 是 圆 的 切 线 D. 圆 心 到 某 直 线 的 距 离 等 于 半 径 ， 那 么 这 条 直 线 是 圆 的 切 线
∵AB=AC,∴∠B=∠C.
∵OB=OP,∴∠B=∠OPB.
∴∠OPB=∠C.
. ∴OPIIAC. ∵PE⊥AC,∴PE⊥OP.
∴PE 为 0O 的切线.
【综合拓展类作业】
4 .如图，O 为正方形ABCD 对角线AC 上一点，以O 为圆心，OA 长为半径的○0与 BC相切于点M.求证：CD与oO 相切 .
证明：连接OC.
∵OA=OB,CA=CB,
∴OC 是等腰△OAB 底边AB 上的中线
∴AB1OC.
∵OC 是○O 的半径， ∴AB 是○ O 的切线.
证切线时常见的添加辅助线的方法
不知公共点
作垂直，证半径
『
已知公共点
连半径，证垂直
【知识技能类作业】必做题：
1.如图 ，oO 与AB相切于点A,BO 与 0 0交于点C, ∠BAC=27°, 则∠B等于( A )
直线与圆的位置关系(第二课时)
直线与圆的位置关系判断方法
01
通过比较圆心到直线的距离与圆的半径大小，可以确定直线与
圆的位置关系为相离、相切或相交。
直线与圆的交点求解方法
02
当直线与圆相交时，可以通过联立直线方程和圆的方程求解交
点坐标。
直线与圆的切线求解方法
03
当直线与圆相切时，切线的斜率可以通过圆心坐标和半径求得
，进而得到切线方程。
作业布置：针对本节课知识点进行练习巩固
练习题1
判断给定直线与圆的位 置关系，并说明理由。
练习题2
求解给定直线与圆的交 点坐标，并验证结果。
练习题3
求解给定直线与圆的切 线方程，并画出图形进
行验证。
练习题4
综合应用本节课所学知 识，解决一道实际问题。Βιβλιοθήκη THANKS感谢观看
实例分析：判断直线与圆的位置关系
当$b > sqrt{2}$或$b < sqrt{2}$时，$d > r$，直线$l$
与圆$C$相离；
当$- sqrt{2} < b < sqrt{2}$时 ，$d < r$，直线$l$与圆$C$相
交。
实例2：已知直线$l: y = kx + b$和圆$C: (x - a)^2 + (y c)^2 = r^2$，判断直线$l$与
圆的基本性质
圆的方程
标准形式为$(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2}$，其 中$(a, b)$为圆心，$r$为 半径。
圆的圆心
由方程直接给出，坐标为 $(a, b)$。
圆的半径
由方程中的$r$表示，决定 圆的大小。
直线与圆的交点性质
24.2.2直线和圆的位置关系(共29张PPT)
典型例题
如图:∠AOB = 30°M是OB上的一点,且OM =5 cm 以M为圆 心,以r 为半径的圆与 直线OA 有怎样的关系？为什么？ A （1）r = 2 cm ; (2) r = 4 cm ; (3) r = 2.5 cm .
解: 过 M 作 MC⊥OA 于 C， 在 Rt △OMC 中, ∠AOB = 30° O 1 1 MC= 2 OM= 2 x5=2.5 即圆心 M 到OA的距离 d = 2.5 cm.
3 已知⊙O的直径是6cm，O到直a 的距离是4cm，则⊙O与直线a的位置 相离 关系是_____.
练习（二）：
1、设⊙O的半径为4，点O到直线a的距离为d， 若⊙O与直线a至多只有一个公共点，则d为…（ C ） A、d≤4 B、d＜4 C、d≥4 D、d＝4
2、设⊙p的半径为4cm，直线l上一点A到圆心的 距离为4cm，则直线l与⊙O的位置关系 是……………………………………………（ D） A、相交 B、相切 C、相离 D、相切或相交
方程 几何综合练习题
设⊙O的圆心O到直线的距离为d,半径为r,d.r是 方程(m+9)x2－ (m+6) x +1=0的两根,且直线与⊙O相切 时,求m的值? 析:直线与⊙O相切 解:由题意可得 b2－4ac= [-(m+6)]2－4(m+9)=0 d=r 解得 m1= -8 m2= 0 当m=-8时原方程 为x2+ 2x+1=0 x1=x2= -1 (不符合题意舍去) b2－4ac=0 当m=0时原方程 为9x2- 6x+1=0 1 x1=x2= 3 [-(m+6)]2－4(m+9)=0 ∴ m=0
B
5
4
D
C
24.2.2直线与圆的位置关系2
段
2、用圆心到直线的距离和圆半径的数量关系， 来揭示圆和直线的位置关系。
r o
d l
r o
dl
r
od
l
（1）直线l 和⊙O相离
d>r
（2）直线l 和⊙O相切
d=r
（3）直线l 和⊙O相交
d<r
总结： 判定直线 与圆的位置关系的方法有_两___种：
（1）根据定义，由__直__线____与__圆___的__公_ 共点 的个数来判断；
已知AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，切点为B，OC
平行于弦AD．求证：DC是⊙O的切线．
C
D
A
O
B
设c是线段AB的中点，四边形BCDE是
以BC为一边的正方形。作以B为圆心，
BD长为半径的圆B,连接AD。求证：
AD是圆B的切线
D
E
A
C
课后习题集 一、选择题．
1．如图，AB与⊙O切于点C，OA=OB，若⊙O的直径为8cm，
AB=10cm，那么OA的长是（ ）
A． 41 B． 40
C. 14
D. 60
O
2．下列说法正确的是（ ）
A．与圆有公共点的直线是圆的切线．
A
C
B
B．和圆心距离等于圆的半径的直线是圆的切线;
C．垂直于圆的半径的直线是圆的切线;
D．过圆的半径的外端的直线是圆的切线
3．已知⊙O分别与△ABC的BC边，AB的延长线，AC的延长
DE CE, OE是梯形ABCD的中位线，
OE 1 AD BC .
2 又 AB AD BC,
OE 1 AB. 2
CD是 O的切线.
九年级数学上册-24.2.2 直线和圆的位置关系第2课时教案
24.2.2 直线和圆的位置关系教案一、【教材分析】二、【教学流程】究点作⊙O的切线L.请学生回顾作图过程，切线L是如何作出来的？它满足哪些条件？引导学生总结出：①经过关径外端，②垂直于这条半径.切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.2.请同学们思考一下，该判定定理的两个条件缺少一个可以吗？①与圆有唯一公共点的直线是圆的切线.②与圆心的距离等于半径的直线是圆的切线.③经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.3.已知：直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB.求证：直线AB是⊙O的切线.OCA B分析：已知直线AB和⊙O有一个公共点C，要证AB是⊙O的切线，只需连结这个公共点C和圆心O，得到半径OC，再证这条半径和直线AB垂直即可. 它就是一条切线，这就是本节要讲的“切线的判定定理”.（板书定理）从以上两个反例可看出，只满足其中一个条件的直线不是圆的切线.经过学生讨论后，师生小结以下三种方法（板书）.逆向思维讨论总结关键在于辅助线的做法尝试应用1：已知：⊙O的直径长6cm，OA=OB=5cm，AB=8cm.OCA B求证：AB与⊙O相切.分析：题目中不明确直线和圆有公共点，故证明相切，宣用方法2，因此只要证点O到直线AB的距离等于半径即可，从而想到作辅助线OC⊥AB于C.2、如图D是⊙O的直径AB延长线上一点，PD是⊙O的切线，P是切点，∠D=30°.求证：P A=PD.3小结与反思①已明确直线和圆有公共点，辅助线的作法是连结圆心和公共点，即得“半径”，再证“直线与半径垂直”.②不明确直线和圆有公共点，辅助线的作法是过圆心作直线的垂线，再证“圆心到直线的距离等于半径”.注意：当题目中不明确直线和圆有公共点时，不能将圆上任意一点当作公共点而连结出半径.教师提出问题学生独立思考解答证明略让学生根据以上例题总结一下，证明直线与圆相切时，作辅助线的一般规律，以及证明方法的一般规律.经学生讨论后得出：思路分析：欲证P A=PD，只要证明∠A=∠D=30°即可.切线的证明方式关键点和常用辅助线做法对教材知识的加固强化辅助线总结补偿提高1、梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，且AD+BC=AB，AB为⊙O的直径求证：⊙O与CD相切.2、已知：在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于D，过D点作⊙O的切线交AC于E求证：(1)DE⊥AC；(2)BD2=CE·CA.3、在直角坐标系中，⊙M的圆心坐标为(m，0)，半径是2，如果⊙M与y轴所在的直线相切，那m等于______，若⊙M与y轴所在的直线相交，那么m的取值范围是__________.欲证⊙O与CD相切只需证明圆心O到直线CD的距离等于⊙O的半径即可.思路分析：本例是考查切线的性质与直径所对的圆周角是直角的综合题，掌握常见的辅助线做法是解题关键，即连接圆心和切点的半径，根据切线的性质，则有半径垂直于这条切线。
第2课时+切线的判定与性质++课件++2024--2025学年人教版九年级数学上册+
①有公共点，连半径，证垂直；
②无公共点，作垂直，证半径.
切线的
性质定理
圆的切线垂直于 经过切点的半径
性 质 有1个公共点
有切线时常用辅助线 添加方法： 见切线，连切点，得垂直.
d=r
当堂练习
1.判断下列命题是否正确.
⑴ 经过半径外端的直线是圆的切线. （× ）
⑵ 垂直于半径的直线是圆的切线. （× ）
条半径”，两个条件缺一不可，否则就不是圆的切线.
归结
判断一条直线是一个圆的切线有三个方法：
1.定义法：直线和圆只有一个
公共点时，我们说这条直线是
圆的切线;
l
2.数量关系法：圆心到这条 直线的距离等于半径(即d=r)
dr l
时，直线与圆相切；
O
3.判定定理：经过半径的外端且垂
直于这条半径的直线是圆的切线.
N M
A
l
疑探 B
例1：如图,∠ABC=45°，直线AB
是☉O上的直径，点A,且AB=AC.
O
求证：AC是☉O的切线.
A
C
解析：直线AC经过半径的一端，因此只要证OA垂直于AB即可.
证明：∵AB=AC，∠ABC＝45°，
∴∠ACB＝∠ABC＝45°.
∴∠BAC=180°-∠ABC-ACB=90°.
∵AB是☉O的直径， ∴ AC是☉O的切线.
反证法. 小亮的理由是:直径AB与直线CD要么垂直,要么不垂直.
（1）假设AB与CD不垂直,过点O作一
条直径垂直于CD,垂足为M,
B
（2）则OM<OA,即圆心到直线CD的距
离小于⊙O的半径,因此,CD与⊙O相
交.这与已知条件“直线与⊙O相切”
人教版数学九年级上册24.直线和圆的位置关系(第2课时)课件
O.
图1
图2
猜猜看：图2中直线l与⊙O由怎样的位置关系？
相切的语言把这一结论总结出来吗？
切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直
线是圆的切线
符号表示： ∵OA是⊙O半径，l⊥OA于点A， ∴l是的⊙O切线.
及时练
问题：定理中的两个条件缺少一个行不行?
1. 过半径的外端的直线是圆的切线（ × ） 2. 与半径垂直的的直线是圆的切线（ ×） 3. 过半径的端点与半径垂直的直线是圆的切线（ ×）
03
练习
例1
如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AB与 ⊙O相切于点D. 求证：AC是⊙O的切线.
分析：根据切线的判定定理，要证明AC是 ⊙O的切线，只要证明由点O向AC所作的垂 线段OE是⊙O的半径就可以了，而OD是的 半径，因此需要证明OE=OD.
例1
证明：如图，过点 O 作 OE⊥AC，垂足为 E，连接 OD，OA. ∵⊙O 与 AB 相切于点 D， ∴OD⊥AB. 又为等腰三角形，O 是底边 BC 的中点， ∴AO 是∠BAC 的平分线. ∴OE=OD，即 OE 是⊙O 的半径. 这样，AC 经过⊙O 的半径 OE 的外端 E，并且垂直于半径 OE，所以 AC 与⊙O 相切.
1.要解决此问题用什么方法？ 切线的判定定理 2.AB要具备哪些条件？ 经过半径的外端并且垂直于这条半径 3.连接OB就使AB过半径的外端，只需证明 OB⊥AB即可，如何证明呢？
例
常用证两条 线段（或直 线）垂直的 方法
例
证法1：连接OB ∵OB=OC,CA=OC ∴BC= 1 OA
2
∴ ∠OBA=90º， 即AB⊥OB ∴AB是⊙O的切线
反证法：假设AB与OC不垂直， 则过点O作OM⊥AB，垂足为M， 根据垂线段最短，得OM<OC， 即圆心O到直线AB的距离d<R ∴直线AB与⊙O相交， 这与已知“AB是⊙O的切线”矛盾 ∴假设不成立，即AB⊥OC.
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练习1 如图,AB是 练习1 如图,AB是⊙O的直径,点D在AB的延长线 的直径, AB的延长线 ,BD=OB,点 在圆上, 上,BD=OB,点C在圆上,∠CAB=300. 求证:DC是 的切线. 求证:DC是⊙O的切线.
C A
.
O
B
D
方法引导： 方法引导： 当已知直线与圆有公共点,要证明直线与圆相切时 当已知直线与圆有公共点 要证明直线与圆相切时, 要证明直线与圆相切时 可先连结圆心与公共点 再证明连线垂直于直线 这是证 圆心与公共点,再证明 可先连结圆心与公共点 再证明连线垂直于直线 ,这是证 一种方法. 明切线的一种方法 明切线的一种方法
D C
P
A
O
B
１、切线和圆只有一个公共点。 切线和圆只有一个公共点。
２、切线和圆心的距离等于半径。 切线和圆心的距离等于半径。
３、切线垂直于过切点的半径。 切线垂直于过切点的半径。
４、经过圆心垂直于切线的直线必过切点。 经过圆心垂直于切线的直线必过切点。 ５、经过切点垂直于切线的直线必过圆心。 经过切点垂直于切线的直线必过圆心。
知识剖析
学习目标 1、能判定一条直线是否为圆 的切线． 2、探索切线与过切点的直径 之间的关系．
认真看课本P95-P96练习前的内 容： 5 5分钟后，比谁能正确地做出与 例题类似的习题。
1.已知点A的坐标为(1,2),⊙A的半径为3. 已知点A的坐标为(1,2), 的半径为3. 已知点 (1)若要使⊙ (1)若要使⊙A与y轴相切,则要把⊙A向右平 若要使 轴相切,则要把⊙ 移几个单位?此时,⊙A ,⊙A与 与点O 移几个单位?此时,⊙A与x轴、⊙A与点O分 别有怎样的位置关系?若把⊙ 向左平移呢? 别有怎样的位置关系?若把⊙A向左平移呢? (2)若要使⊙A与x轴、y轴都相切 则圆心 应 若要使⊙ 与 轴 轴都相切,则圆心 若要使 轴都相切 则圆心A应 什么位置?请写出点 请写出点A所有可能位置 当移到 什么位置 请写出点 所有可能位置 的坐标. 的坐标
2.AB是 2.AB是⊙O的直径,AE平分∠BAC交⊙O于点E,过点E 的直径,AE平分 BAC交 平分∠ 于点E,过点 过点E 的切线交AC于点 试判断 AED的形状 于点D,试判断△ 的形状, 作⊙O的切线交AC于点D,试判断△AED的形状,并 说明理由. 说明理由.
3.在Rt△ABC中,∠B=90°,∠A的平分线交BC于D,以D为 3.在Rt△ABC中 B=90° 的平分线交BC于D,以 圆心,DB长为半径作 D.试说明 长为半径作⊙ 试说明:AC是 的切线. 圆心,DB长为半径作⊙D.试说明:AC是⊙D的切线.
将上页思考中的问题 反过来,如果L 反过来,如果L是⊙O 的切线,切点为A,那么 的切线,切点为A,那么 半径OA与直线 与直线L 半径OA与直线L是不 是一定垂直呢? 是一定垂直呢?
一定垂直
.
O
切线的性质定理: 切线的性质定理: A 圆的切线垂直于过切点的半径
L
已知，如图 是 的直径， 已知，如图AB是⊙O的直径，点P在BA 的直径 在 的延长线上， 切 于点C， ⊥ 的延长线上，PD切⊙O于点 ，BD⊥PD, 于点 垂足为D，连接BC。 垂足为 ，连接 。 (1)求证 平分∠PBD 求证BC平分 求证 平分∠ （2） BC2 = AB• BD ）
新知讲解
在⊙O中,经过半径OA的 经过半径OA的 外端点A作直线L 外端点A作直线L⊥OA, 则圆心O到直线L 则圆心O到直线L的距离 OA 直线L 是多少?______,直线 是多少?______,直线L和 有什么位置关系? ⊙O有什么位置关系? 相切 _________.
.O
Байду номын сангаас
A
L
经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是 圆的切线. 圆的切线. 几何应用: 几何应用: ∵OA⊥L ,OA是半径 OA⊥ ,OA是半径 ∴L是⊙O的切线
如图， Rt△ABC的直角边BC为直 如图，以Rt△ABC的直角边BC为直 的直角边BC 径作半圆O 交斜边于D,OE∥AC D,OE∥AC交 径作半圆O，交斜边于D,OE∥AC交AB 求证：DE是 的切线。 于E求证：DE是⊙O的切线。
C
D
O
A
E
B
F
E
1、定义法：和圆有且只有一个公共点的直线是圆的 、定义法： 切线。 切线。 2、数量法（d=r）：和圆心距离等于半径的直线是圆 、数量法（ ）：和圆心距离等于半径的直线是圆 ）： 的切线。 的切线。 3、判定定理：经过半径外端且垂直于这条半径的直 、判定定理： 线是圆的切线。 线是圆的切线。 即：（1）若直线与圆的一个公共点已指明，则连接 ）若直线与圆的一个公共点已指明， 这点和圆心，说明直线垂直于经过这点的半径； 这点和圆心，说明直线垂直于经过这点的半径； （2）若直线与圆的公共点未指明，则过圆心作直 ）若直线与圆的公共点未指明， 线的垂线段，然后说明这条线段的长等于圆的半径． 线的垂线段，然后说明这条线段的长等于圆的半径．
已知一个圆和圆上的一点,如何过这个点画出圆的切线 已知一个圆和圆上的一点 如何过这个点画出圆的切线? 如何过这个点画出圆的切线
例1
直线AB经过 直线AB经过⊙O上的点C,并且OA=OB,CA=CB, 经过⊙ 上的点C,并且 并且OA=OB,CA=CB, 求证:直线AB是 的切线. 求证:直线AB是⊙O的切线.