24.2.2直线和圆的位置关系(1)
24.2.2直线与圆的位置关系
（2）根据性质，由__圆__心__到___直__线__的__距__离d与半径r 的关系来判断。
在实际应用中，常采用第二种方法判定。
小试牛刀
a(地平线)
观察太阳落山的照片,在太阳落山的过程中,太阳与 地平线(直线a)经历了哪些位置关系的变化?
在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm， BC=4cm，以C为圆心，r为半径作圆，
1、当r满足____0_<_r_＜__2__.4_____时，
⊙C与直线AB相离。
B
2、当r满足___r_=_2_.4______ 时，
⊙C与直线AB相切。
5
3、当r满足___r_＞__2_._4____时，
⊙C与直线AB相交。
1 2
CD
AB
1 2
AC
BC
D
CD AC BC 3 4 2.4cm
AB
5
即圆心C到AB的距离d=2.4cm.
（1）当r =2cm时，∵d>r ，因此⊙C和直线AB相离 （2）当r =2.4cm时，∵d=r ，因此⊙C和直线AB相切
（3）当r =3cm时， ∵d<r ，因此⊙C和直线AB相交
变式训练：
应用新知，提高能力：
例1：在Rt△ABC中，∠C=900，AC=3cm，BC=4cm，以C为圆心，
r为半径的圆与直线AB有怎样的位置关系？
(1)r =2cm；(2)r =2.4cm；(3)r =3cm
解：过C作CD⊥AB，垂足为D（如图），
AB AC2 BC2 32 42 5
根据三角形的面积公式有:
人教版九年级数学上册说课稿：24.2.2直线和圆的位置关系(一)
24.2.2 直线和圆的位置关系说课稿（一）一、说教材（一）、教材所处的地位及作用直线和圆的位置关系是人教版九年级数学第二十四章第二节的内容，是本章的重点内容之一。
圆的教学在平面几何中乃至整个中学教学都占有重要的地位，而直线和圆的位置关系的应用又比较广泛，是在学生学习了点和圆的位置关系的基础上进行的，为后面学习圆与圆的位置关系作好铺垫，起到承上启下的作用。
（二）、教学目标1．知识与技能目标：①探索并了解直线和圆的位置关系；②根据圆心到直线的距离与圆的半径之间的数量关系揭示直线和圆的位置关系；③能够利用公共点个数和数量关系来判断直线和圆的位置关系。
2．过程与方法目标：①学生经历操作、观察、发现、总结出直线和圆的位置关系的过程，培养学生观察、比较、概括的逻辑思维能力；②学生经历探索直线和圆的位置关系中圆心到直线的距离与圆的半径的数量关系的过程，培养学生运用数学语言表述问题的能力。
3．情感态度与价值观目标：通过本节知识的操作、实验、发现、确认等数学活动，从探索直线和圆的位置关系中，体会运动变化的观点，量变到质变的辩证唯物主义观点，感受数学中的美感。
（三）、教学重点、难点根据新课程标准要求，结合教学目标，我确定了本节课教学重点是：探索并了解直线和圆的位置关系。
教学难点是：掌握直线和圆的三种位置关系与判定。
可以说，教学重点和难点得以实施，是课堂教学获得成功的关键。
（四）、教学用具为了上好这节课以及根据本节课的内容，我准备多媒体课件和一些作图工具，这些教学用具的使用，可以进一步优化课堂教学，提高教学效率。
二、说教法学法（一）教法结合学科特点及学生的情况，在本节课中我采取类比迁移法，并结合直观演示、数形结合、动手操作等多种形式的教学手段进行教学，这样不仅充分调动了学生的积极性，也让整个课堂活跃起来。
（二）学法教是为了学生更好地学，学生是课堂教学的主体，现代教育更重视在教学过程中对学生的学法指导。
我主要指导学生采用观察讨论法、分析及归纳等多种学习方法，从而真正落实到把课堂还给学生，让学生成为课堂的主角。
24.2.2 直线和圆的位置关系(1)
.A
.O .C
是否还有其他的方法判断直线与圆的 位置关系？ 位置关系？
的半径为r， 到圆心O的距离为 设⊙O的半径为 ，直线 到圆心 的距离为 ， 的半径为 直线l到圆心 的距离为d， 在直线和圆的不同位置关系中， 与 具有怎样 在直线和圆的不同位置关系中，d与r具有怎样 的大小关系？ 的大小关系？ 反过来，你能根据 与 的大小关系来确定 反过来，你能根据d与r的大小关系来确定 直线和圆的位置关系吗？ 直线和圆的位置关系吗？ O r d l
（二）直线与圆的位置关系(数量特征） 直线与圆的位置关系(数量特征） d表示圆心 到直线 的距离，r表示 表示圆心O到直线 的距离， 表示 表示圆心 到直线l的距离 的半径. ⊙O的半径. 的半径
O r d
l
O r d A O r d B
d>r > d=r = d<r <
直线l与⊙O相离 直线 与 相离 直线l与 直线 与⊙O相切 相切 直线l与 直线 与⊙O相交 相交
l
A
l
直线与圆的 位置关系
相交
O r d A B l
相切
O r d A
相离
O r d l
图
形
l
公共点个数 公共点名称 直线名称 圆心到直线距 离d与半径r的 关系
2个 交点 割线
1个 切点 切线
没有
d<r
d=r
d>r
AC=3cm， 例：在Rt△ABC中，∠C=900，AC=3cm， Rt△ABC中 BC=4cm， 为圆心， 为半径的圆与AB BC=4cm，以C为圆心，以R为半径的圆与AB 有怎样的位置关系？为什么？ 有怎样的位置关系？为什么？ A (1) R = 2cm
24.2.2直线和圆的位置关系第1课时_
小结：
判定直线 与圆的位置关系的方法有_两___种：
（1）根据定义，由__直__线___与__圆__的___公__共点 的个数来判断；
（2）根据性质，由_圆__心__距__d_与__半__径__r___ 的关系来判断。
在实际应用中，常采用第二种方法判定。
课堂检测： 1.根据直线和圆相切的定义，经过点
如图，在太阳升起的过程中，太阳和地平线会有几 种位置关系？我们把太阳看作一个圆，地平线看作一 条直线，由此你能得出直线和圆的位置关系吗？
（1）直线和圆的公共点个数的变化情况如何？ 公共点个数最少时有几个？最多时有几个？
（2）通过刚才的研究，你认为直线和圆的位 置关系可分为几种类型呢？
我们一起来归纳:
1.直线与圆的位置关系(图形特征 ----用公共点的个数来区分）
特点：直线和圆有两个公共点， 叫做直线和圆相交，这时的直线叫做 圆的割线.
特点：直线和圆有唯一的公共 点，叫做直线和圆相切.这时的直线 叫切线， 唯一的公共点叫切点.
特点：直线和圆没有公共点， 叫做直线和圆相离.
. .O.
AB
.O
. 切点 A
A用直尺近似地画出⊙O的切线.
A
·O
2．圆的直径是13cm，如果直线与圆心的距离分 别是（1）4.5cm ；（2） 6.5cm ；3） 8cm，
那么直线与圆分别是什么位置关系？ 有几个公
共点？
O
6.5cm
·
d=4.5cm
AM B
6.5cm
O·
d=6.5cm
N
O· 6.5cm
d=8cm
D
解:（1）圆心距d=4.5cm＜ r = 6.5cm
.O
小小体会
24.2.2 直线和圆的位置关系(1)(杨几何教案)
（2）求证： ；
五、课堂总结
判定直线与圆的位置关系的方法有两种：
（1）由直线与圆的公共点的个数来判断；
（2）由圆心到直线的距离d与半径r的关系来判断.
六、布置作业：
课本P101，“复习巩固”第2题.
教学反思：
中小学电子教案（导学案）
年级
九年级
班级
九（1）、九（2）班
学科
数学
执教
课题
24.2.2直线和圆的位置关系(1)
课类
新授课
主备
审定
授课时间
第课时
教学
目标
1.了解直线与圆的位置关系（重点）；
2.理解切线的判断定理和性质定理（难点）.
3.体验观察、类比、猜想、转化等数学思想方法（重点）.
教法
教师主导步骤（要点问题化）
3.直线和圆有2个交点,则直线和圆________;
直线和圆有1个交点,则直线和圆________;
直线和圆有没有交点,则直线和圆_______.
四、随堂练习
1.已知:三角形ABC内接于⊙O,过点A作直线EF.图甲,AB为直径,要使得EF是⊙O切线,还需添加的条件(写出两种情况).
2.（兰州）如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的直线与AB的延长线交于点P，AC=PC，∠COB=2∠PCB.
（思考：一条直各图中直线与圆的位置关系：
圆和直线的位置关系：
归纳：
直线和圆的位置关系
相交
相切
相离
公共点个数
圆心到直线距离d与半径r关系
公共点名称
直线名称
跟踪训练:
1.已知圆的直径为13cm，设直线和圆心的距离为d：
新人教版九上24.2.2(1)直线和圆的位置关系
l
A
. B
lC
.
相离 0 d＞r
相切 1 d=r
相交 2 d＜ r
公共点的个数
圆心到直线的距离 d 与半径 r的关系
公共点的名称 直线名称
切点
切线
交点
割线
思考:
在⊙O中,经过半径OA的 外端点A作直线l⊥OA, 直线l和⊙O有什么位置 关系?
3.在Rt△ABC中,∠B=90°,∠A的平分线交BC于 D,以D为圆心,DB长为半径作⊙D.试说明:AC A 是⊙D的切线.
F
E
B
D
C
1.定义法:和圆有且只有一个公共点的直线是圆的切线.
2.数量法(d=r):和圆心距离等于半径的直线是圆的切线.
3.判定定理:经过半径外端且垂直于这条半径的直线是
解决问题4: 已知⊙A的直径为6,点A的坐标为 相离 (-3,-4),则x轴与⊙A的位置关系是______, y轴 与⊙A的位置关系是______. y 相切
思考：
求圆心A到x轴、 y轴的距离各是多少?
4
B O x
A.(-3,-4) 3
C
小结： 直线与圆的位置关系判定方法:
图形 直线与圆的 位置关系
点击页面即可演示
回忆旧知
1.点和圆的位置关系有几种？ （1）d<r （2）d=r （3）d>r 点在圆内 点在圆上 点 在圆外
2.“大漠孤烟直,________” 是唐朝诗人王维的 长河落日圆 诗句.它描述了黄昏日落时分塞外特有的景象. 如果我们把太阳看成一个圆,地平线看成一条 直线,那你能根据直线与圆的公共点的个数想 象一下,直线和圆的位置关系有几种?
24.2.2直线和圆的位置关系
24.2.2直线和圆的位置关系⏜上,DE切☉O于C,交PA、PB 于A、B,点C在AB于D、E,已知PO=13 cm,☉O的半径为5 cm,则△PDE的周长是.6.定义:一个定点与圆上各点之间距离的最小值称为这个点与这个圆之间的距离.现有一矩形ABCD,如图所示,AB=14 cm,BC=12 cm,☉K与矩形的边AB,BC,CD分别相切于点E,F,G,则点A与☉K 之间的距离为cm.三、解答题7.如图,AB是☉O的切线,B为切点,圆心O在AC⏜的中点.上,∠A=30°,D为BC(1)求证:AB=BC;(2)试判断四边形BOCD的形状,并说明理由. 8.(2019内蒙古通辽中考)如图,AB为☉O的直⏜的中点,连接OD交弦AC于点F,过点D 径,D为AC作DE∥AC,交BA的延长线于点E.(1)求证:DE是☉O的切线;(2)连接CD,若OA=AE=4,求四边形ACDE的面积.24.2.2直线和圆的位置关系一、选择题1.答案 A ∵☉O的半径为4 cm,圆心O到直线l的距离为3.5 cm,即圆心O到直线l的距离小于圆的半径,∴直线l与☉O的位置关系是相交,故选A.2.答案A∵四边形ABCD内接于☉O,∴∠ADC+∠ABC=180°,∴∠ADC=180°-∠ABC=125°.∵过点C的切线与边AD所在直线垂直于点M,∴∠MCA=∠ABC=55°,∠AMC=90°.∵∠ADC=∠AMC+∠DCM,∴∠DCM=∠ADC-∠AMC=35°,∴∠ACD=∠MCA-∠DCM=55°-35°=20°.故选A. 3.答案C在△ABC 中,∠BAC=180°-∠ACB-∠ABC=180°-50°-60°=70°,又∵I是△ABC的内心,∴∠BCD=∠BAD=12∠BAC=35°,∠BCI=12∠ACB=25°,∴∠BCD+∠BCI=35°+25°=60°,即∠ICD=60°,故选C.二、填空题4.答案 5解析连接OB,∵AB切☉O于B,∴OB⊥AB,∴∠ABO=90°,设☉O的半径长为r,由勾股定理得r2+122=(8+r)2,解得r=5.5.答案24 cm解析如图,连接OA、OB,∵PA、PB为圆的两条切线,∴由切线长定理可得PA=PB,同理可知:DA=DC,EC=EB.∵OA⊥PA,OA=5 cm,PO=13 cm,∴由勾股定理得PA=12 cm,∴PA=PB=12 cm.∴△PDE的周长=PD+DC+CE+PE=PD+DA+PE+EB=PA+PB=24 cm.6.答案 4解析如图,连接KE,KG,KF,连接AK交☉K于点M,∵AB,CD,BC与☉K相切,∴KE⊥AB,KG⊥CD,KF⊥BC,又AB∥CD,∴点E、K、G共线,∴EG=BC=12 cm,∴EK=KF=6cm,∴BE=6 cm,∴AE=AB-BE=14-6=8(cm),在Rt△AEK中,AK2=AE2+EK2,∴AK=√82+62=10(cm),∴AM=1 0-6=4(cm),∴点A与☉K之间的距离为4 cm.三、解答题7.解析(1)证明:∵AB是☉O的切线,∴∠OBA=90°,∵∠A=30°,∴∠AOB=90°-30°=60°.∵OB=OC,∴∠OBC=∠OCB=30°,∴∠OCB=∠A,∴AB=BC.(2)四边形BOCD为菱形.理由如下:如图,连接OD 交BC 于点M,∵D 是BC⏜的中点,OB=OC, ∴OD 垂直平分BC.在Rt △OMC 中,∵∠OCM=30°,∴OC=2OM=OD,∴OM=MD,又OB=OC,∴四边形BOCD 为菱形.8.解析 (1)证明:∵D 为AC⏜的中点,∴OD⊥AC. ∵AC∥DE,∴OD⊥DE,∴DE 是☉O 的切线.(2)如图,∵D 为AC⏜的中点, ∴OD⊥AC,AF=CF.∵AC∥DE,且OA=AE,∴F 为OD 的中点,即OF=FD.在△AFO 和△CFD 中,{AF =CF ,∠AFO =∠CFD ,OF =DF ,∴△AFO ≌△CFD(SAS),∴S △AFO =S △CFD ,∴S 四边形ACDE =S △ODE .在Rt △ODE 中,OD=OA=AE=4,∴OE=8,∴DE=√OE2-OD2=4√3,∴S四边形ACDE =S△ODE=12×OD·DE=12×4×4√3=8√3.。
24.2.2 直线与圆的位置关系(1)
O
B
l
特点：
直线和圆没有公共点
叫做直线和圆相离
l
特点：
直线和圆有唯一的公共点
叫做直线和圆相切
这时的直线叫圆的切线，
唯一的公共点叫切点
l
特点：
直线和圆有两个公共点
叫做直线和圆相交
这时的直线叫做圆的割线
课堂练习
1.看图判断直线l与 ⊙O的位置关系
l
相离
·O
相交
l
·O
（4）
l
（3）
？·O
l
（5）
·O
l
（2）
A
O
d
r
d
r
d
O
r
O
A
B
l
直线 l 和⊙O相离
d>r
l
直线 l 和⊙O相切
d=r
l
直线 l 和⊙O相交
d<r
课堂练习
1.已知圆的直径为13cm，设直线和圆心的距离为d ：
2
（1）若d=4.5cm ,则直线与圆 相交 , 直线与圆有____个公共点.
1
相切 直线与圆有____个公共点.
（2）若d=6.5cm ,则直线与圆______,
2.本节课研究过程中用到哪些思想方法？
类比、分类谈论、数形结合
3.本节课的研究过程，对以后研究圆与圆的位置关系有什么启发？
人教版.九年级上册
24.2.2
直线与圆的位置关系（1）
类比引入
1.回顾点与圆的位置关系及探究过程？
O
P
点在圆外
P
点在圆上
P
点在圆内
2.将点换成直线，直线与圆的位置关系呢？
人教版数学九年级上册24.2.2《直线与圆的位置关系》教案1
人教版数学九年级上册24.2.2《直线与圆的位置关系》教案1一. 教材分析《直线与圆的位置关系》是人教版数学九年级上册第24章第二节的内容，本节课主要探讨直线与圆的位置关系，包括相离、相切和相交三种情况。
通过学习，学生能够理解直线与圆的位置关系，并掌握判定方法，为后续解决实际问题奠定基础。
二. 学情分析九年级的学生已经掌握了初中阶段的基本几何知识，对图形的认识和操作能力较强。
但是，对于直线与圆的位置关系的理解和运用还需加强。
因此，在教学过程中，教师需要注重引导学生通过观察、思考、操作、交流等活动，自主探索和发现直线与圆的位置关系，提高他们的几何思维能力。
三. 教学目标1.知识与技能：使学生理解直线与圆的位置关系，掌握判定方法，能运用直线与圆的位置关系解决实际问题。
2.过程与方法：通过观察、操作、思考、交流等活动，培养学生的几何思维能力。
3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养他们勇于探索、积极思考的精神。
四. 教学重难点1.重点：直线与圆的位置关系的判定及其应用。
2.难点：直线与圆的位置关系的理解及运用。
五. 教学方法1.引导发现法：教师引导学生观察、操作、思考，发现直线与圆的位置关系。
2.合作交流法：学生分组讨论，分享学习心得，共同解决问题。
3.实践应用法：教师设计具有实际意义的题目，让学生运用所学知识解决。
六. 教学准备1.课件：制作直线与圆的位置关系的动画演示。
2.学具：为学生准备直线、圆的教具，便于操作和观察。
3.例题：挑选一些典型的例题，用于讲解和练习。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过展示课件，引导学生观察直线与圆的图形，提问：直线与圆有哪些位置关系？学生回答：相离、相切、相交。
2.呈现（10分钟）教师讲解直线与圆的位置关系的判定方法，并通过动画演示，让学生直观地理解直线与圆的位置关系。
3.操练（10分钟）学生分组讨论，分享学习心得，共同解决问题。
教师巡回指导，解答学生的疑问。
24.2点、直线、圆和圆的位置关系(第1课时)
24.2点、直线、圆和圆的位置关系（第1课时）一、学习目标：1．理解并掌握设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有：点P 在圆外⇔d>r；点P在圆上⇔d=r；点P在圆内⇔d<r及其运用。
2．理解不在同一直线上的三个点确定一个圆并掌握它的运用。
3．了解三角形的外接圆和三角形外心的概念。
4．了解反证法的证明思想。
二、学习重点、难点：1. 重点：点和圆的位置关系的结论：不在同一直线上的三个点确定一个圆其它们的运用。
2. 难点：讲授反证法的证明思路。
三、学习过程：（一）温故知新：1．圆的两种定义是什么？2．圆形成后圆上这些点到圆心的距离如何？3．如果在圆外有一点呢？圆内呢？请你画图想一想．（二）自主学习：自学教材P90-----P92,思考下列问题：1.点与圆的三种位置关系：（圆的半径r,点P与圆心的距离为d）点P在圆外⇔；点P在圆上⇔；点P在圆内⇔；2.自己作圆：（思考）（1）作经过已知点A的圆，这样的圆能作出多少个？（2）经过A、B两点作圆，这样的圆能作出多少个？它们的圆心分布有什么特点？（3）经过A、B、C三点作圆，有哪些情况？三点应符合什么条件才能作圆？3.什么叫三角形的外接圆？三角形的外心及性质？4.教材是如何用反证法证明过同一直线上的三点不能作圆？反证法的证明思路是什么？（三）合作探究：例1．某地出土一明代残破圆形瓷盘，如图所示．为复制该瓷盘确定其圆心和半径，请在图中用直尺和圆规画出瓷盘的圆心．（圆心是一个点，一个点可以由两条直线交点而成，因此，只要在残缺的圆盘上任取两条线段，作线段的中垂线，交点就是我们所求的圆心）．（四）巩固练习：（五）达标训练1．下列说法：①三点确定一个圆；②三角形有且只有一个外接圆； ③圆有且只有一个内接三角形；④三角形的外心是各边垂直平分线的交点；⑤三角形的外心到三角形三边的距离相等；⑥等腰三角形的外心一定在这个三角形内，其中正确的个数有（•）A．1 B．2 C．3 D．42．Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=2，BC=4，如果以点A 为圆心，AC 为半径作⊙A ，•那么斜边中点D 与⊙O 的位置关系是（ ）A ．点D 在⊙A 外B ．点D 在⊙A 上C ．点D 在⊙A 内 D ．无法确定 AC B DB ACD O（第2题图） （第3题图）3．如图，△ABC 内接于⊙O ，AB 是直径，BC=4，AC=3，CD 平分∠ACB ，则弦AD 长为（ ）A ．522B ．52C ．2D ．3 4．经过一点P 可以作_______个圆；经过两点P 、Q 可以作________•个圆，•圆心在_________上；经过不在同一直线上的三个点可以作________个圆，•圆心是________的交点．5．在平面内，⊙O 的半径为5cm ，点P 到圆心O 的距离为3cm ，则点P 与⊙O 的位置关系是 .6．直角三角形的外心是______的中点，锐角三角形外心在三角形______，钝角三角形外心在三角形_________．（六）拓展创新1.已知△ABC 的三边长分别为6cm 、8cm 、10cm ，则这个三角形的外接圆的面积为__________cm2.（结果用含π的代数式表示）2．如图，通过防治“非典”，人们增强了卫生意识，大街随地乱扔生活垃圾的人少了，人们自觉地将生活垃圾倒入垃圾桶中，如图所示，A 、B 、C •为市内的三个住宅小区，环保公司要建一垃圾回收站，为方便起见，•要使得回收站建在三个小区都相等的某处，请问如果你是工程师，你将如何选址． B A C。
24.2.2直线与圆的位置关系第一课时说课稿
直线与圆的位置关系说课稿（第一课时）尊敬的各位老师，大家好。
今天我说课的题目是《直线与圆的位置关系》，这是人教版九年级第二十四章《圆》的第二节的内容。
这节课分两个课时，我说的是第一课时。
下面我将从教材分析，说教法，说学法，与教学过程四个方面对本课进行说明。
一、教材分析1、教材的地位与作用“直线和圆的位置关系”是《圆》这章的重点内容之一，是在学生已经学习过圆的有关性质基础上进行的，它既是对前面所学知识的进一步深化，又是以后学习圆的切线的判定与性质的预备知识。
另外，向学生渗透数形结合与转化思想进而渗透由量变到质变的辨证唯物主义思想。
根据教材的地位和作用，我制定了如下的教学目标。
2、教学目标1）知识目标1、从具体的事例中认识和理解直线与圆的三种位置关系并能概括其定义。
2、会用定义来判断直线与圆的位置关系。
3、探究直线与圆的位置关系的数量表示，并运用其关系。
2）能力目标：体验数学活动中的探索与创造，培养学生的观察、归纳能力，以及分析问题，解决实际问题的能力。
3）情感目标：1、体会事物间的相互渗透，初步掌握转化的思想；2、感受数学思维的严谨性，并在合作学习中获得成功的体验。
3、教材的重点难点直线和圆的三种位置关系是重点，本课的难点是直线和圆的三种位置关系的性质与判定的应用。
二、说教法本节课中我采取自主探究与类比迁移法，并结合多媒体直观演示、数形结合、动手操作等多种形式的教学手段进行教学，这样不仅充分调动了学生的积极性，也让整个课堂活跃起来。
三、说学法教是为了学生更好地学，学生是课堂教学的主体，现代教育更重视在教学过程中对学生的学法指导。
我主要指导学生采用小组讨论、分析及归纳等多种学习方法，从而真正落实到把课堂还给学生，让学生成为课堂的主角。
四、教学过程复习导入、回顾旧知——创设情境，提出问题——探究发现，建构知识——应用举例，巩固提高——回顾反思，拓展延伸1、复习导入、回顾旧知1.点和圆的位置关系有哪几种？2.如何判定点和圆的位置关系？【设计意图】通过提问帮助学生复习了点和圆的位置关系的相关知识，既加深了学生对点与圆位置关系的认识，同时也为本节课从数量关系判定直线和圆的位置关系打下了伏笔2创设情境，提出问题首先利用唐诗中的“大漠孤孤烟直，长河落日圆”体会这里蕴涵的数学意境，再让学生观察太阳升起的过程，我们能发现什么?引出课题【设计意图】问题是数学的心脏，是学生思维和兴趣的开始。
24.2.2 直线和圆的位置关系(第一课时)(教学设计)九年级数学上册同步备课系列(人教版)
24.2.2 直线和圆的位置关系（第一课时）教学设计一、内容和内容解析1.内容本节课是人教版《义务教育教科书•数学》九年级上册（以下统称“教材”）第二十四章“圆”24.2.2 直线和圆的位置关系（第一课时），内容包括：直线和圆的位置关系.2.内容解析本节课是在学生已经学习了点和圆的位置关系后，对直线和圆的位置关系进行探索．为后续学习切线判断定理打好基础．直线与圆的位置关系从两个方面去刻画：一是通过再现海上日出的过程中，探索直线与圆的公共点的个数，将直线与圆的位置分为相交、相切、相离三种情况；二是通过比较直线与圆心的距离与半径，对直线与圆的位置进行分类，二者之间相互对应，相互联系．基于以上分析，确定本节课的教学重点是：探索直线和圆的位置关系.二、目标和目标解析1.目标1)理解直线和圆的三种位置关系．2)经历类比探索点和圆位置关系的过程，探索直线和圆的位置关系，体会类比思想，分类思想以及数形结合思想．2.目标解析达成目标1）的标志是：会根据交点个数及数量关系判断直线和圆的位置关系会运用它解决一些实际问题．达成目标2）的标志是：经历类比探索点和圆位置关系的过程，探索直线和圆的位置关系.三、教学问题诊断分析在研究直线和圆的位置关系中，学生不容易想到去类比探索点和圆位置关系的过程，探索直线和圆的位置关系．此外，在对直线和圆的位置关系进行分类时，需要学生具备运动的观点和一定的分类标准，部分学生可能也会存在困难．本节课的教学难点是：类比点和圆的位置关系的过程，探索直线和圆的位置关系.四、教学过程设计（一）复习巩固【提问】点和圆的位置关系有几种？用数量关系如何来判断呢？师生活动：教师提出问题，学生根据所学知识回答．【设计意图】通过回顾点和圆的位置关系，为本节课探究直线和圆的位置关系打好基础.（二）探究新知[诗词欣赏]晓日天际霞光入水中，水中天际一时红。
直须日观三更后，首送金乌上碧空。
【问题一】古诗前两句的意思是什么？师生活动：教师提出问题，学生根据所学知识回答．【问题二】如果从数学的角度来分析，把水面当作一直线，太阳当作一个圆，请同学们利用手中的纸片圆和笔，再现海上日出过程？师生活动：教师提出问题，学生根据所学知识回答．教师通过多媒体展示海上日出过程，加深学生理解.【问题三】再现海上日出过程中，你认为直线和圆有几种位置关系吗？分类依据是什么？师生活动：教师提出问题，学生认真观察后得出答案．教师根据情况适当提示学生通过观察圆与直线的公共点的数量判断直线和圆的位置关系.【问题四】通过预习，你能根据直线与圆之间公共点个数下定义吗？师生活动：教师提出问题，学生根据所学知识回答．教师通过多媒体给出答案：1）直线与圆没有公共点，称为直线与圆相离。
人教版九年级上册24.2.2直线和圆的位置关系(教案)
二、核心素养目标
1.培养学生运用数学符号和几何图形表达现实世界问题的能力，增强对直线和圆位置关系的直观理解。
2.提升学生运用坐标法和综合几何法分析解决问题，掌握判定直线与圆位置关系的方法，培养逻辑推理和数学运算素养。
3.培养学生将理论知识与实际情境相结合，提高解决实际问题的能力，增强数学应用的意识。
人教版九年级上册24.2.2直线和圆的位置关系（教案）
一、教学内容
人教版九年级上册24.2.2直线和圆的位置关系：
1.直线和圆的三种位置关系：相离、相切、相交。
2.判定直线和圆的位置关系的方法：
a.通过直线与圆的方程联立求解。
b.利用点到直线的距离公式判断。
3.分析位置关系对应的圆的半径与点到直线的距离之间的关系。
-在实际问题中，提取有效信息，建立数学模型，运用所学知识解决问题。
举例解释：
-对于点到直线的距离公式，通过几何图形和代数推导相结合的方式，帮助学生理解公式的来源和意义，减少记忆负担。
-在解决实际问题时，指导学生如何从题目描述中抽象出数学模型，例如在建筑设计、地理测量等场景中，识别直线和圆的位置关系，并运用所学知识进行计算。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“直线和圆位置关系在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
实践活动环节，学生分组讨论的气氛很活跃，大家能够积极投入到解决问题的过程中。不过，我也观察到一些小组在讨论时可能会偏离主题，这时我需要及时介入，引导他们回到直线和圆位置关系这个核心问题上。
2024年人教版九年级数学上册教案及教学反思第24章24.2.2 直线和圆的位置关系 (第1课时)
24.2 点和圆、直线和圆的位置关系24.2.2 直线和圆的位置关系（第1课时）一、教学目标【知识与技能】掌握直线和圆的三种位置关系及其数量间的关系，掌握运用圆心到直线的距离的数量关系或用直线与圆的交点个数来确定直线与圆的三种位置关系的方法.【过程与方法】通过生活中的实例，探求直线和圆的三种位置关系，并提炼出相关的数学知识，从而渗透数形结合，分类讨论等数学思想.【情感态度与价值观】在数学学习活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心.二、课型新授课三、课时第1课时，共3课时。
四、教学重难点【教学重点】直线与圆的三种位置关系及其数量关系.【教学难点】通过数量关系判断直线与圆的位置关系.五、课前准备课件、图片、圆规、直尺等.六、教学过程（一）导入新课如图，在太阳升起的过程中，太阳和地平线会有几种位置关系？我们把太阳看作一个圆，地平线看作一条直线，由此你能得出直线和圆的位置关系吗？（出示课件2）解决这个问题要研究直线和圆的位置关系．（板书课题）（二）探索新知探究一用公共点个数判断直线与圆的位置关系教师问：如果我们把太阳看成一个圆，地平线看成一条直线，那你能根据直线和圆的公共点个数想象一下，直线和圆有几种位置关系吗？（出示课件4）学生交流，回答问题：有三种位置关系.教师问：如图，在纸上画一条直线l，把钥匙环看作一个圆，在纸上移动钥匙环，你能发现在钥匙环移动的过程中，它与直线l的公共点的个数吗？（出示课件5）学生交流，回答问题：0个，1个，2个.教师问：请同学在纸上画一条直线l，把硬币的边缘看作圆，在纸上移动硬币，你能发现直线和圆的公共点个数的变化情况吗？公共点个数最少时有几个？最多时有几个？（出示课件6）学生交流，回答问题：公共点个数最少时0个，公共点个数最多时2个.出示课件7：教师展示切割钢管过程，学生观察并填表.出示课件8：填一填：（教师引导学生构建并填写表格，帮助学生理清知识脉络）教师归纳：（出示课件9）直线和圆有唯一的公共点（即直线和圆相切）时，这条直线叫做圆的切线（如图直线l），这个唯一的公共点叫做切点（如图点A）.练一练：判断正误.（出示课件10）（1）直线与圆最多有两个公共点.（2）若直线与圆相交，则直线上的点都在圆上.（3）若A是⊙O上一点，则直线AB与⊙O相切.（4）若C为⊙O外一点，则过点C的直线与⊙O相交或相离.（5）直线a和⊙O有公共点，则直线a与⊙O相交.学生独立思考后口答：⑴√⑵×⑶×⑷×⑸×探究二用数量关系判断直线与圆的位置关系教师问：同学们用直尺在圆上移动的过程中，除了发现公共点的个数发生了变化外，还发现有什么量也在改变？它与圆的半径有什么样的数量关系呢？（出示课件11）学生讨论，归纳总结答案，并由学生代表回答问题.教师问：怎样用d(圆心与直线的距离)来判别直线与圆的位置关系呢？（出示课件12）学生讨论，归纳总结答案后教师归纳：根据直线和圆相交、相切、相离的定义：直线和⊙O d＜r；直线和⊙O d＞r；直线和⊙O d = r.教师演示：根据直线和圆相切的定义，经过点A用直尺近似地画出⊙O的切线.（出示课件13）学生根据教师演示进行操作.教师归纳：（出示课件14）直线和⊙O d＜r 两个直线和⊙O d＞r 0个直线和⊙O d=r 1个位置关系公共点个数出示课件15-17：例1 在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，以C为圆心，r为半径的圆与AB有怎样的位置关系？为什么？(1)r=2cm；(2)r=2.4cm；(3)r=3cm．教师分析：要了解AB 与⊙C 的位置关系，只要知道圆心C 到AB 的距离d 与r 的关系．已知r ，只需求出C 到AB 的距离d.师生共同解决如下：解：过C 作CD ⊥AB ，垂足为D.在△ABC 中，==5（cm ）.根据三角形的面积公式有1122CD AB AC BC ⨯=⨯.∴342.4(cm),5AC BC CD AB ⨯⨯===即圆心C 到AB 的距离d=2.4cm.所以(1)当r=2cm 时,有d>r,因此⊙C 和AB 相离.(1) （2） （3） （2）当r=2.4cm 时,有d=r ，因此⊙C 和AB 相切. （3）当r=3cm 时，有d<r ，因此⊙C 和AB 相交. 巩固练习：（出示课件18-20）1.Rt △ABC,∠C=90°AC=3cm ，BC=4cm ，以C 为圆心画圆，当半径r 为何值时，圆C 与直线AB 没有公共点？学生独立思考后独立解答.解：当0cm＜r＜2.4cm或r＞4cm时,⊙C与线段AB没有公共点.2.Rt△ABC,∠C=90，AC=3cm，BC=4cm，以C为圆心画圆，当半径r为何值时，圆C与线段AB有一个公共点？当半径r为何值时，圆C与线段AB有两个公共点？学生独立思考后独立解答.解：当r=2.4cm或3cm＜r≤4cm时,⊙C与线段AB有一个公共点.当2.4cm＜r≤3cm时,⊙C与线段AB有两公共点.3.圆的直径是13cm，如果直线与圆心的距离分别是（1）4.5cm ；（2）6.5cm；（3）8cm；那么直线与圆分别是什么位置关系？有几个公共点？学生独立思考后一生板演.解：如图所示.（1）圆心距d=4.5cm＜r=6.5cm时，直线与圆相交，有两个公共点；（2）圆心距d=6.5cm=r=6.5cm时，直线与圆相切，有一个公共点；（3）圆心距d=8cm＞r=6.5cm时，直线与圆相离，没有公共点.出示课件21：例2 如图，Rt △ABC 的斜边AB=10cm,∠A=30°.学生独立思考后师生共同解答. 解：过点C 作边AB 上的高CD. ∵∠A=30°，AB=10cm,15cm.2BC AB ==在Rt △BCD 中，有1 2.5cm,2BD BC CD ====时，AB 与☉C 相切. 巩固练习：（出示课件22）如图，已知∠AOB=30°，M 为OB 上一点，且 OM=5cm ，以M 为圆心、r 为半径的圆与直线OA 有怎样的位置关系？为什么？(1)r=2cm ；(2)r=4cm ；(3)r=2.5cm.学生思考后自主解答.解：(1)相离；(2)相交；(3)相切. （三）课堂练习（出示课件23-29）1.已知⊙O的半径为5cm，圆心O到直线l的距离为5cm，则直线l与⊙O 的位置关系为（）A．相交B．相切C．相离D．无法确定2.已知直线y=kx（k≠0）经过点（12，﹣5），将直线向上平移m（m＞0）个单位，若平移后得到的直线与半径为6的⊙O相交（点O为坐标原点），则m的取值范围为________．3.看图判断直线l与☉O的位置关系？4.直线和圆相交，圆的半径为r,且圆心到直线的距离为5，则有（）A.r<5B.r>5C.r=5D.r≥55.☉O的最大弦长为8，若圆心O到直线l的距离为d=5，则直线l与☉O______.6.☉O的半径为5,直线l上的一点到圆心O的距离是5，则直线l与☉O的位置关系是（）A.相交或相切B.相交或相离C.相切或相离D.上三种情况都有可能7.如图，在平面直角坐标系中，⊙A与y轴相切于原点O，平行于x轴的直线交⊙A于M、N两点．若点M的坐标是(－4，－2)，则点N的坐标为( )A．(－1，－2) B．(1，2)C．(－1.5，－2) D．(1.5，－2)8.已知☉O的半径r=7cm,直线l1//l2,且l1与☉O相切,圆心O到l2的距离为9cm.求l1与l2的距离.参考答案：1.B2.13m0<<23.解:⑴相离；⑵相交；⑶相切；⑷相交；⑸相交.4.B5.相离6.A7.A8.解：（1）l2与l1在圆的同一侧：m=9-7=2cm；（2）l2与l1在圆的两侧：m=9+7=16cm.（四）课堂小结本节课你学到了哪些数学知识和数学方法？请与同伴交流.（五）课前预习预习下节课（24.2.2第2课时）的相关内容.七、课后作业配套练习册内容八、板书设计：九、教学反思：本节课从生活中的常见情况引出了直线和圆的位置关系，并且从两个不同方面去判定直线与圆的三种关系，让学生讨论并归纳总结常用的直线和圆位置关系的判定方法，让学生领会该判定方法的实质是看直线到圆心的距离与半径的大小.对于该判定方法，学生一般能够熟记图形，以数形结合的方法理解并记忆.。
人教版数学九年级上册：24.2.2 直线和圆的位置关系 教案(附答案)
24．2.2 直线和圆的位置关系第1课时 直线和圆的位置关系教学目标1．理解掌握同一平面内的直线与圆的三种位置关系．2．理解记忆割线、切线、切点等概念．3．能根据圆心到直线的距离d 与半径r 的大小关系，准确判断出直线与圆的位置关系． 预习反馈阅读教材P95～96，完成下列知识探究．1．直线和圆有两个公共点时，直线和圆相交，这条直线叫做圆的割线．2．直线和圆只有一个公共点时，直线和圆相切，这条直线叫做圆的切线，这个点叫做切点．3．直线和圆没有公共点时，直线和圆相离．4．设⊙O 的半径为r ，圆心O 到直线l 的距离为d ，则有：直线l 和⊙O 相交⇔d ＜r ；直线l 和⊙O 相切⇔d ＝r ；直线l 和⊙O 相离⇔d ＞r ．例题讲解例1 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝4 cm ，BC ＝2 cm ，以C 为圆心，r 为半径的圆与AB 有何种位置关系？请你写出判断过程．(1)r ＝1.5 cm ；(2)r ＝ 3 cm ；(3)r ＝2 cm.【解答】 过点C 作CD ⊥AB ，垂足为D.∵AB ＝4 cm ，BC ＝2 cm ，∴AC ＝2 3 cm.又∵S △ABC ＝12AB ·CD ＝12BC ·AC ，∴CD ＝BC ·AC AB ＝ 3 cm. (1)r ＝1.5 cm 时，相离；(2)r ＝ 3 cm 时，相切；(3)r ＝2 cm 时，相交．【跟踪训练1】 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3 cm ，BC ＝4 cm ，以C 为圆心，r 为半径作圆．当r 满足0<r<125__cm 时，⊙C 与直线AB 相离；当r 满足r ＝125__cm 时，⊙C 与直线AB 相切；当r 满足r>125__cm 时，⊙C 与直线AB 相交． 【跟踪训练2】 已知⊙O 的半径为5 cm ，圆心O 到直线a 的距离为3 cm ，则⊙O 与直线a 的位置关系是相交．直线a 与⊙O 的公共点个数是2．例2 已知⊙O 的半径是3 cm ，直线l 上有一点P 到O 的距离为3 cm ，试确定直线l 和⊙O 的位置关系．【解答】 相交或相切．【跟踪训练2】 如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，若以C 为圆心，r 为半径的圆与斜边AB 只有一个公共点，则r 的取值范围是多少？【点拨】 分相切和相交两类讨论．解：r ＝2.4或3<r ≤4.巩固训练1．已知⊙O 的半径为5，直线l 是⊙O 的切线，则点O 到直线l 的距离是(C)A ．2.5B ．3C ．5D ．102．已知OA平分∠BOC，P是OA上任意的一点．若以点P为圆心的圆与OC相离，则⊙P 与OB的位置关系是(B)A．相切B．相离C．相交 D．相离或相切3．在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，以点A为圆心，4为半径作⊙A，则BC与⊙A的位置关系是(C)A．相交 B．相离C．相切 D．不确定4．已知∠AOB＝30°，M为OB上的一点，且OM＝5 cm，以M为圆心，r为半径的圆与直线OA有怎样的位置关系？为什么？(1)r＝2 cm；(2)r＝4 cm；(3)r＝2.5 cm.解：圆心M到OA的距离d＝0.5OM＝0.5×5＝2.5(cm)．(1)r＝2 cm时，d>r，直线OA与⊙M相离；(2)r＝4 cm时，d<r，直线OA与⊙M相交；(3)r＝2.5 cm时，d＝r，直线OA与⊙M相切．第2课时切线的判定和性质教学目标1．探索并掌握切线与过切点的半径之间的位置关系．2．能判定一条直线是否为圆的切线；会过圆上一点画圆的切线．3．会运用圆的切线的性质与判定来解决相关问题．预习反馈阅读教材P97～98，完成下列问题．1．切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．2．切线的性质：①切线和圆只有一个公共点；②切线到圆心的距离等于半径；③圆的切线垂直于过切点的半径．3．当已知一条直线是某圆的切线时，切点的位置是确定的，辅助线常常是连接圆心和切点，得到半径，那么半径垂直于切线．例题讲解例(教材P98例1)如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AB与⊙O相切于点D，求证：AC是⊙O的切线．【解答】证明：过点O作OE⊥AC，垂足为E，连接OD，OA.∵⊙O与AB相切于点D，∴OD⊥AB.又△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，∴AO是∠BAC的平分线．∴OE＝OD，即OE是⊙O的半径．这样，AC经过⊙O的半径OE的外端E，并且垂直于半径OE，所以AC与⊙O相切．【方法归纳】在解决有关圆的切线问题时，常常需要作过切点的半径．【跟踪训练】 如图，AB 为⊙O 的直径，点E 在⊙O 上，C 为BE ︵的中点，过点C 作直线CD ⊥AE 于D ，连接AC.试判断直线CD 与⊙O 的位置关系，并说明理由．解：直线CD 与⊙O 相切，理由：连接OC.∵C 为BE ︵的中点，∴BC ︵＝CE ︵.∴∠DAC ＝∠BAC.∵OA ＝OC ，∴∠BAC ＝∠OCA.∴∠DAC ＝∠OCA.∴OC ∥AD.∵AD ⊥CD ，∴OC ⊥CD.又∵OC 为⊙O 的半径，∴CD 是⊙O 的切线．巩固训练1．在正方形ABCD 中，点P 是对角线AC 上的任意一点(不包含端点)，以P 为圆心的圆与AB 相切，则AD 与⊙P 的位置关系是(B)A ．相离B ．相切C ．相交D ．不能确定2．如图，A ，B 是⊙O 上的两点，AC 是过点A 的一条直线，如果∠AOB ＝120°，那么当∠CAB 的度数等于60°时，AC 才能成为⊙O 的切线．第2题图 第3题图3．如图，AB 是⊙O 的直径，点D 在AB 的延长线上，DC 切⊙O 于C.若∠A ＝25°，则∠D ＝40°．4．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，以AC 为直径的⊙O 交BC 于点D ，交AB 于点E ，过点D 作DF ⊥AB ，垂足为F ，连接DE.求证：直线DF 与⊙O 相切．证明：连接OD.∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C.∵OD ＝OC ，∴∠ODC ＝∠C.∴∠ODC ＝∠B.∴OD ∥AB.∵DF ⊥AB ，∴OD ⊥DF.又∵点D 在⊙O 上，∴直线DF与⊙O相切．课堂小结1．有圆的切线时，常常连接圆心和切点得切线垂直于半径；2．“连半径证垂直”与“作垂直证半径”——判定直线与圆相切．①当直线与圆有公共点时，只需“连半径、证垂直”即可；②当已知条件中没有指出圆与直线有公共点时，常运用“d＝r”进行判断，辅助线的作法是过圆心作已知直线的垂线，证明垂线段的长等于半径．第3课时切线长定理教学目标1．理解并掌握切线长定理，能熟练运用所学定理来解答问题．2．了解三角形的内切圆及内心的特点，会画三角形的内切圆．预习反馈阅读教材P99～100，完成下列知识探究．1．经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间线段的长叫做这点到圆的切线长．图中的切线长为PA，PB．2．切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，图中相等的线段有PA，PB，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角，图中相等的角为∠APO＝∠BPO．3．与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆．4．三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心，它到三边的距离相等．例题讲解例(教材P100例2)如图，△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，且AB＝9，BC＝14，CA＝13.求AF，BD，CE的长．【解答】设AF＝x，则AE＝x，CD＝CE＝AC－AE＝13－x，BD＝BF＝AB－AF＝9－x.由BD＋CD＝BC，可得(13－x)＋(9－x)＝14.解得x＝4.因此AF＝4，BD＝5，CE＝9.【跟踪训练】如图，已知⊙O是Rt△ABC(∠C＝90°)的内切圆，切点分别为D，E，F.(1)求证：四边形ODCE 是正方形；(2)设BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c ，求⊙O 的半径r.解：(1)证明：∵BC ，AC 分别与⊙O 相切于D ，E ，∴∠ODC ＝∠OEC ＝∠C ＝90°.∴四边形ODCE 为矩形．又∵OE ＝OD ，∴矩形ODCE 是正方形．(2)由(1)得CD ＝CE ＝r ，∴a ＋b ＝BD ＋AE ＋2r ＝BF ＋AF ＋2r ＝c ＋2r ，解得r ＝a ＋b －c 2. 巩固训练1．如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6，BC ＝8，则△ABC 的内切圆半径r ＝2．第1题图 第2题图 第3题图2．如图，AD ，DC ，BC 都与⊙O 相切，且AD ∥BC ，则∠DOC ＝90°．3．如图，点O 为△ABC 的外心，点I 为△ABC 的内心．若∠BOC ＝140°，则∠BIC ＝125°．4．如图，△ABC 切⊙O 于D ，E ，F 三点，内切圆⊙O 的半径为1，∠C ＝60°，AB ＝5，则△ABC 的周长为课堂小结1．切线长定理． 2．三角形的内切圆及内心． 3．直角三角形内切圆半径公式．。
24.2 点、直线、圆和圆的位置关系
∙直线与圆的位置关系:直线与圆的位置关系有三种：直线与圆相交，直线与圆相切，直线与圆相离。
（1）相交：直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交，这时直线叫做圆的割线，公共点叫做交点AB与⊙O相交，d<r；（2）相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切，这时直线叫做圆的切线，这个唯一的公共点叫做切点。
AB 与⊙O相切，d=r。
（3）相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离,AB与圆O相离，d>r。
（d为圆心到直线的距离）∙直线与圆的三种位置关系的判定与性质：（1）数量法：通过比较圆心O到直线距离d与圆半径的大小关系来判定，如果⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，则有：直线l与⊙O相交d<r；直线l与⊙O相切d=r；直线l与⊙O相离d>r；（2）公共点法：通过确定直线与圆的公共点个数来判定。
直线l与⊙O相交d<r2个公共点；直线l与⊙O相切d=r有唯一公共点；直线l与⊙O相离d>r无公共点。
圆的切线的判定和性质（1）切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
（2）切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径。
切线长：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长。
切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。
∙直线与圆的位置关系判定方法:平面内，直线Ax+By+C=0与圆x2+y2+Dx+Ey+F=0的位置关系判断一般方法是：1.由Ax+By+C=0，可得y=（-C-Ax）/B，（其中B不等于0），代入x2+y2+Dx+Ey+F=0，即成为一个关于x的方程如果b2-4ac>0，则圆与直线有2交点，即圆与直线相交。
如果b2-4ac=0，则圆与直线有1交点，即圆与直线相切。
如果b2-4ac<0，则圆与直线有0交点，即圆与直线相离。
2.如果B=0即直线为Ax+C=0，即x=-C/A，它平行于y轴（或垂直于x轴），将x2+y2+Dx+Ey+F=0化为（x-a）2+（y-b）2=r2。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第二十四章 圆
学习新知
“大漠孤烟直，长河落日圆”是唐朝诗人王 维的诗句，它描述了黄昏日落时分塞外特有 的景象．如图，如果我们把太阳看成一个圆， 地平线看成一条直线，那你能根据直线和圆 的公共点个数想象一下，直线和圆有几种位 置关系吗？
直线和圆的三种位置关系：
相交：直线和圆有两个公共点，这 时我们就说这条直线和圆相交，这 条直线叫做圆的割线.
证明：假设OA与l不垂直，过点O作OM⊥l,垂足为M，
根据垂线段最短的性质，有
OM＜OA，这说明圆心O到直线l的距离小于半径OA， 于是直线l与圆相交，而这与直线l是⊙O的切线矛 盾.因此，半径O过切点的半径.
例1 如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的 中点，腰AB与⊙O相切于点D. 求证：AC是⊙O的切线.
相切：直线和圆只有一个公共点， 这时我们就说这条直线和圆相切， 这条直线叫做圆的切线，这个点 叫作切点.
相离：直线和圆没有公共点，这时 我们就说这条直线和圆相离.
学习新知
1.动手操作：画出直线和圆的三种位置关系，并 作出圆心到直线的距离. 2.思考一：设⊙O的半径为r，圆心到直线的距离 为d.你能仿照点和圆的位置关系中，点到圆心的 距离d与半径r之间的数量关系，用圆心到直线的 距离d和圆半径r的数量关系，来揭示直线和圆的 三种位置关系？
证明：如图，过点O作 OE⊥AC，垂足为E，连接OD， OA.
∵⊙O与AB相切于点D，∴OD⊥AB，
又△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点， ∴AO是∠BAC的平分线.
∴OE=OD，即OE是⊙O的半径，
∴AC与⊙O相切．
1.直线和圆的位置关系： 如果⊙O的半径为r,圆心O到直线l的距 离为d,那么直线l与⊙O相交 d<r；直线l 与⊙O相切 d=r；直线l与⊙O相离 d>r.
(过该点作半径的垂线.)
4.如何证明一条直线是圆的切线？
5.你能举出生活中直线与圆相切的实例吗？
切线的判定定理：
经过半径的外端并且垂直于这条半 径的直线是圆的切线.
思考：切线的判定定理的逆命题是什么？你能用 反证法证明吗？
已知：如图，如果直线l是⊙O的切线，切点为A. 求证：半径OA与直线l垂直.
2.切线的判定定理： 经过半径的外端并且垂直于这条半径的 直线是圆的切线.
3.切线的性质定理： 圆的切线垂直于过切点的半径.
4.运用切线的性质和判定定理时常作的 辅助线： 连接半径、过圆心作直线的垂线.
如果⊙O的半径为r,圆心O到直线l的距离为
d,那么
直线l与⊙O相交 d<r； 直线l与⊙O相切 d=r； 直线l与⊙O相离 d>r.
直线和圆的位置关系（圆心O到直线l的距离为d）
dr
直线和圆相交
d< r
r d
直线和圆相切
d= r
r
d
直线和圆相离
d> r
∟
数形结合： 位置关系
数量关系
1.直线和圆相离 2.直线和圆相切 3.直线和圆相交
d<r 交点 割线
思考：如图所l示，在⊙O中，经过半径OA的 外端点A作直线l ⊥OA，则圆心O到直线l的 距离是多少？直线l与⊙O有什么位置关系？
1.圆心O到直线l的距离是
,与☉O的半径的大小关
系是
,所以直线l与☉O的位置关系是
.
2.该命题的已知条件是
,结论是
,用
语言叙述该命题为 .
3.已知一个圆和圆上的一点,如何过这个点画出圆的切线?
d>r d=r d<r
．Ｏ
d
r ┐
l
d．Ｏ┐r l
．r ┐Od l
小结：1、直线与圆的位置关系：
图形
直线与圆的 位置关系
公共点的个数
圆心到直线的距离 d 与半径 r 的关系
公共点的名称
．Ｏ r d┐ l
相离
0
d>r
直线名称
．ｏ
．O
d .┐r l
A
. r ┐d .
B
lC
相切 相交
1
2
d=r 切点 切线