复变函数第三章答案

∫
在 C + 1, 0 上，所以
���
1 1 1 1 1 dz = ∫ ���� ( − )dz = (2π i) = π ， 2 C + 1,0 1+ z 2i z −i z +i 2i 同理如果 C 仅围绕 i 按顺时针转一周，有 1 1 1 1 1 dz = ∫ ���� ( − )dz = ( −2π i) = −π ， ��� � 2 ∫C +1,0 1+ z 2i C +1,0 z − i z + i 2i
同理如果 C 仅围绕 1 按顺时针转一周，有
��� � C + 3,2
1 1 1 1 dz = ∫ ���� dz + ∫���� dz = ±2π i + ∫���� dz = ±2π i + ln 2 ． C + 3,2 2,3 2,3 z −1 z −1 z −1 z −1 ��� � ��� � 积分路线如第 5 题图 （c） ， 此时 C 仅围绕 1 按逆时针转两周， 补充有向直线段 2, 3 ， 显然 C + 3, 2
C π π
0
0
（ 3） −1 到 1的下半单位圆周 z = 1 的参数方程为： z = e （ −π ≤ θ ≤ 0 ） ，所以，
iθ
I = ∫ zdz = ∫
C
0 −π
e − iθ ie iθ dθ = ∫
0 −π
idθ = π i 。
2. 计算积分
I = ∫ Im zdz ，
C
其中积分路径 C 是： （ 1）按逆时针从 1到 1 的单位圆周 z = 1 ； （ 2）直线段 a, b （ a, b ∈ ℂ ）. 解（ 1）单位圆周 z = 1 的参数方程为： z = eiθ （ 0 ≤ θ ≤ 2π ） ，所以，
1 1 1 1 dz = ∫ ���� dz + ∫���� dz = ∫���� dz , C +3,2 z − 1 2,3 z − 1 2,3 z − 1 z −1
I1 = ∫����
2,3
3 1 1 dz = ∫ dx = ln( x − 1) 3 2 = ln 2 ． 2 z −1 x −1
同情况分四种情形来证明结论： Ⅰ：积分路线 C 如第 6 题图（1） 情形 情形Ⅰ ，
补充有向直线段 1, 0 ，显然 C + 1, 0 构成简单闭曲线，并且 ± i 既不在 C + 1, 0 的内部也不在
���
���
���
��� C + 1, 0 上，所以
理
��� 1 在 C + 1, 0 所围成的单连通闭区域上解析，由单连通区域上的柯西积分定 1+ z2
(
)
���� 2 i, i
1 1 1 −i 1 dz = ∫ dt = ∫ dt = ln 2 。 0 (2 − t )i 0 2−t z
I=∫
1 1 1 1 1 dz = ∫ ���� dz + ∫ + dz + ∫ ���� dz + ∫ − dz 1,2 C2 2 i ,i C1 z z z z z = ln 2 + ( −1) + ln 2 + 1 = 2 ln 2 .
∫
C
1 dz ： z −1
1 在 ℂ \ {1} 内不存在单值的原函数，所以我们不能直接用复积分的牛顿—莱布尼茨 z −1 公式计算。下面，根据从 2 到 3 的积分路线 C 的不同情况分两种情形来计算此积分：
Ⅰ：积分路线 C 如第 5 题图（a） 情形 情形Ⅰ ， 补充有向直线段 2,3 ，显然 C + 3, 2 构成简单闭曲线，并且 1 既不在 C + 3, 2 的内部，也不在
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5. （ 1）计算下列积分
I1 = ∫
C
1 1 dz ， I 2 = ∫ dz ， C ( z − 1) 2 z −1
其中积分路径 C 是从 2 到 3 的任意不过 1 简单光滑曲线； （2）试归纳出积分
In = ∫
C
1 dz （ n ∈ ℤ ） ， ( z − 1) n
一般的结果，其中积分路径 C 是从 2 到 3 的任意不过 1 简单光滑曲线. 解（ 1）先计算 I 2 =
∫
C
1 dz ： ( z − 1) 2
由于
1 1 在 ℂ \{1} 内存在单值的原函数 − ， 所以， 由复积分的牛顿—莱布尼茨公式， 2 ( z − 1) z −1
I2 = ∫
再计算 I1 = 由于
C
1 1 3 1 1 1 dz = − = − = 。 2 ( z − 1) z −1 2 1− 3 1 − 2 2
� 是不过点 ±i 的简单光滑曲线，证明： 6. 设 C = 0,1
I=∫
证明 因为
C
1 π dz = + kπ （ k = 0, ±1, ± 2,⋯ ）. z +1 4
2
1 1 1 1 1 = = ( − ) ，下面根据从 0 到 1 的积分路线 C 的不 2 1+ z ( z + i )( z − i ) 2i z − i z + i
C
综上所述，
I1 = ∫
（ 2）当 n ≠ 1 时，
C
1 。 dz = k ⋅ ( ±2π i ) + ln 2 （ k = 0,1, 2,⋯ ） z −1
1 1 在 ℂ \{1} 内存在单值的原函数 ⋅ ( z − 1)1− n ，所以，由复积分的 n ( z − 1) 1− n
牛顿—莱布尼茨公式，
4. 计算积分：
I=∫
C
1 dz ， z
其中积分路径 C 是圆环形闭区域 z 1 ≤ z ≤ 2 位于第一象限部分的边界，方向为逆时针.
{
}
解 如第 4 题图， C = 1, 2 + C2 + 2i, i + C1 ，其中
���
+
����
−
��� ���� 1, 2 ： z = 1 + t （ 0 ≤ t ≤ 1 ） ， 2i, i ： z = 2i ⋅ (1 − t ) + i ⋅ t = (2 − t) i （ 0 ≤ t ≤ 1 ） ；
In = ∫
所以，
C
3 1 1 1 1 ⎛ 1 ⎞ dz = ⋅ ( z − 1)1− n = 21− n −1 = ⎜1 − n −1 ⎟ 。 n ( z − 1) 1− n 2 1− n n −1⎝ 2 ⎠
(
)
⎧ k ⋅ ( ±2π i ) + ln 2, n = 1 ⎪ In = ⎨ 1 ⎛ 。 1 ⎞ 1 − , n ≠ 1 ⎜ ⎟ ⎪ n −1 n−1 ⎝ 2 ⎠ ⎩
1 1 1 dz = ∫� dz + ∫� dz = 2 ⋅ 2π i ， 2MA 2 z − 1 3 AN 3 z − 1 z −1
同理如果 C 仅围绕 1 按顺时针转两周，有
∫
故
��� � C + 3,2
1 dz = 2 ⋅ ( − 2π i ) ， z −1
I1 = ∫
1 1 1 dz = ∫ ���� dz + ∫���� dz C z −1 C + 3,2 z − 1 2,3 z − 1 1 = 2 ⋅ ( ±2π i ) + ∫���� dz = 2 ⋅ ( ± 2π i ) + ln 2 . 2,3 z − 1 1 dz = k ⋅ ( ±2π i ) ， z −1
I = ∫ Im zd z = ∫
C
1 0
( Im a + Im( b − a) ⋅ t )(b − a ) d t
1 ⎛ ⎞ 1 = ( b − a ) ⎜ Im a + Im(b − a ) ⎟ = (b − a ) Im ( a + b ) 。 2 ⎝ ⎠ 2
3. 计算下列积分：
I1 = ∫
��� �
I = ∫ Im zd z = ∫
C
2π 0
sin θ ieiθ d θ = i ∫
2π 0
2π 0
( sin θ cos θ + i sin θ ) dθ
2
= i∫ ��� �
2π 0
sin θ cos θ dθ − ∫
sin 2 θ dθ = −π .
（ 2）直线段 a, b 的参数方程为： z = a ⋅ (1 − t ) + b ⋅ t = a + (b − a) ⋅ t （ 0 ≤ t ≤ 1 ） ，所以，
I1 = ∫
C
θ2 θ2 1 1 dz = ∫ i ⋅ R ⋅ eiθ dθ = ∫ idθ = i ⋅ (θ 2 − θ1 ) ， i θ θ1 R ⋅ e θ1 z−a θ2 θ1
I 2 = ∫ z − a dz = ∫
C
R ⋅ e − iθ ⋅ i ⋅ R ⋅ eiθ dθ = ∫
θ2 θ1
R 2 ⋅ idθ = i ⋅ (θ 2 −θ1 ) R2 。
Ⅱ： 情形 情形Ⅱ 积分路线 C 如第 5 题图 （b） ， 此时 C 仅围绕 1按逆时针转一周， 补充有向直线段 2,3 ， 显然 C + 3, 2 构成简单闭曲线，并且 1 在 C + 3, 2 的内部，所以
��� �
��� �
��� �
∫ ∫
于是
��� � C + 3,2
1 dz = 2π i ， z −1 1 dz = −2π i ， z −1
类似的方法，当 C 仅围绕 1 按逆时针或顺时针转 k 周时，同理可得
∫
其中逆时针时取正号． 于是
��� � C + 3,2
I1 = ∫
1 1 1 dz = ∫ ���� dz + ∫���� dz C + 3,2 2,3 z −1 z −1 z −1 1 = k ⋅ ( ±2π i ) + ∫���� dz = k ⋅ ( ±2π i ) + ln 2 . 2,3 z − 1
1 1 1 1 π dz = ∫���� dz = ∫ dx = arctan x 1 ． 0 = 2 2 2 0 1+ z 0,1 1 + z 0 1+ x 4 Ⅱ：积分路线如第 6 题图（2）的（a） 情形 情形Ⅱ ，此时 C 仅围绕 i 按逆时针转一周，补充有向直线 ��� ��� ��� ��� 段 1, 0 ，显然 C + 1, 0 构成简单闭曲线，并且 i 在 C + 1, 0 的内部，而 −i 既不在 C + 1, 0 的内部也不
��� �
��� �
��� �
��� � ��� � 1 C + 3, 2 上，所以 在 C + 3, 2 所围成的单连通闭区域上解析，由单连通区域上的柯西积分定 z −1
理
∫
从而
��� � C + 3,2
1 dz = 0 ， z −1
I1 = ∫
C
��� � 再注意到直线段 2,3 的参数方程为： z = x ，其中 2 ≤ x ≤ 3 ，可得
C1− ： z = 1 ； C2+ z = 2 。
所以，
∫
− C1
1 z 1 dz = ∫ − dz = ∫ − zdz = (12 − i 2 ) = 1 ， C C 1 1 2 z z⋅z
∫
+ C2
∫
∫
��� � 1,2
1 z 1 1 2 dz = ∫ + dz = ∫ + z dz = ( 2i ) − 22 = −1 ， C2 z ⋅ z 4 C2 8 z 1 1 1 dz = ∫ dt = ln 2 ， 0 1+ t z
I1 = ∫
C
� � 构成闭曲线（非简单） ，此时 C + 3, 2 可分解成两个简单闭曲线 2 MA2 和 3 AN 3 ，类似于上面的情
形，有
��� �
∫
∫
于是由复积分的曲线可加性
� 2 MA 2
� 3 AN 3
1 dz = 2π i ， z −1 1 dz = 2π i ， z −1
∫
��� � C + 3,2
∫
从而
��� � C +1,0
1 dz = 0 ， 1+ z2
∫
1
1 0
��� 再注意到直线段 0,1 的参数方程为： z = x ，其中 0 ≤ x ≤ 1 ，可得
1 1 1 1 dz = ∫ ���� dz + ∫���� dz = ∫���� dz 2 2 2 C +1,0 1 + z 0,1 1 + z 0,1 1 + z 2 1+ z
第三章 复变函数的积分
1. 计算积分
I = ∫ zdz ，
C
其中积分路径 C 是： （ 1）直线段 −1,1 ； （ 2）从 −1 到 1 的上半单位圆周 z = 1 ； （ 3）从 −1 到 1 的下半单位圆周 z = 1 . 解（ 1）直线段 −1,1 的参数方程为： z = −1 ⋅ (1 − t ) + 1 ⋅ t = −1 + 2t （ 0 ≤ t ≤ 1 ） ，所以，
1 1 I = ∫ zdz = ∫ ( −1 + 2t ) 2dt = 2 ( −t + t 2 ) = 0 。 C 0 0
���� �
���� �
（ 2） −1 到 1的上半单位圆周 z = 1 的参数方程为： z = e （ 0 ≤ θ ≤ π ） ，所以，
iθ
I = ∫ zdz = ∫ e − iθ ie iθ dθ = ∫ idθ = −π i 。
C
1 dz ， I 2 = ∫ z − a dz ， C z−a
iθ iθ 2
其中积分路径 C 是圆周 z − a = R 上从点 A = a + R ⋅ e 1 按逆时针到点 B = a + R ⋅ e
的一段弧（
0 ≤ θ1 < θ 2 ≤ 2π ） ；
解 C 的参数方程为： z = a + R ⋅ eiθ （ θ1 ≤ θ ≤ θ 2 ） ，所以，