耦合电感的去耦等效方法

耦合电感的去耦等效方法的讨论

王胤旭5090309291 陈琦然5090309306 杨衎 5090309

摘要：本文主要讨论有公共连接点的两个耦合电感的简单去耦等效方法以及由此衍生的两个特例--耦合电感的串联和并联。并讨论多重耦合电感的去耦相对独立性以及某些含有复杂耦合电感电路的快速去耦等效方法。

1.有公共连接点的耦合电感的去耦等效

图示电路中, 耦合电感L1和L2 有一公共连接点 N, 根据耦合电感的性质, 可得如下方程:

⎪⎩⎪⎨⎧+=+=2

21211I I L j MI j U MI j L j U BC AC ωωωω 对于节点N 有KCL 方程：0321=++I I I

上面两式整理得：2

2113

223

11)()()()(I M L j I M L j U U U MI j I M L j U MI j I M L j U BC AC AB BC AC ---=-=--=--=ωωωωωω

故可得其等效去耦电路如图2所示。

图1 耦合电感

图2 等效去耦后的电感

上述去耦过程可以用文字表述如下:

1）设互感为M 的两耦合电感具有公共的连接点（假设其同名端相连）且连接点处仅含 有三条支路, 则其去耦规则为: 含有耦合电感的两条支路各增加一个电感量为- M 的附 加电感; 不含耦合电感的另一条支路增加一个电感量为- M 的附加电感。 若为非同名端连接，只需将上述电感量M 改变符号即可。

2）若连接处含有多条支路, 则可以通过节点分裂, 化成一个在形式上仅含三条支路的节 点。

2.两个特例----耦合电感的串联和并联

2. 1 两耦合电感串联

1）若同名端连接于同一节点（即电流从异名端流入）, 则构成反接串联，计算公式：

M L L L eq 221-+=;

2）若非同名端连接于同一节点(即电流从同名端流入), 则构成顺接串联，计算公式：

M L L L eq 221++=;

2. 2 两耦合电感的并联

1)若同名端连接于同一节点, 则构成同侧并联,计算公式：M L L M L L L eq 2212

21-+-=;

2)若非同名端连接于同一节点, 则构成异侧并联,计算公式：M L L M L L L eq 2212

21++-=;

3.多重耦合电感的去耦相对独立性

独立性：在电路中, 若含有多个电感的多重耦合, 可以只对其中某一个或某几个互感进行去耦变换, 保留其它耦合不变, 则变换后的电路与原电路等效。亦即, 多重耦合电感在去耦变换时具有相对的独立性。

证明：设电路中含有三个电感元件, 且两两耦合, 如( 图4) 所示, 则根据耦合电感的性质, 可以用图5 所示受控源电路等效。

图3 三重耦合电感

图4 三重耦合电感等效去耦

4.几种典型双重耦合电路的简单去耦变换

4.1 链形连接

图5 链型连接的快速去耦

4.2 星形连接

可见每次去耦的过程仅仅是对互感量M 进行加减运算, 因此在熟悉上述去耦规则后,我们便可以一步完成去耦过程：

图6 星型连接的快速去偶

4.3 三角形连接

图7 三角形连接快速去偶

5.耦合电感连接于一广义节点

图1描述的是两个耦合电感连接于一个单节点的情形。若它们连接于一个广义节点, 如图8所示,则只要对封闭面C 应用广义KCL 即可得: , 因此上述讨论的全部结果对于连接于广义节点的情形完全适用。实际上在4. 1 的最后一步处理M13 时已经用到了这一点。这里再举一例:图示电路中, L1 为单耦合, L2, L3 为双重耦合,L4 为三重耦合。L2, L3, L4 连接于一子网络N, 则其去耦等效电路如图9 所示:

图8 广义节点

图9 广义节点去耦

以上讨论虽然是在正弦稳态下所进行的, 但是根据傅立叶级数和傅立叶积分, 对任

意的线性非时变集中参数电路, 无论信号波形如何, 上述去藕等效变换均有效。

6.其他讨论方式

除上述利用相量法讨论去耦方式，我们还可以用微分方程或者在复频域下讨论等效去耦方式，但是这并不是该文重点，故不在此展开论述。

7.耦合电感较难处理的问题

上述讨论仅限于:

( 1) 耦合电感有一个公共的连接点( 或广义节点) ;

( 2) 连接点处不多于三条支路。

若耦合电感没有公共的连接点, 或连接点处有若干个相互耦合的电感( 如图10 所示)

时, 如何进行快速去耦变换, 尚需进一步研究。

图10 较难处理问题

8.题图举例

例1 电路中R1 = 50Ω, L 1 = 70mH, L 2= 25mH, M = 25mH, C = 1μF , 正弦电源的

电压U = 500 ∠0°V ,ω= 104rad/ s ,求各支路电流。

分析本例中含有耦合电感,因此,在列出KV L , KCL 方程时不应忘了互感电压。

解设I , I1 , I 2 方向如图5 所示, 由于I是从L 1 的同名端流出,而ÛI 1 是从L 2 的同名端流入,所以互感电压取“- ”号。

例1图

KV L 、KCL 方程分别为:

I(R1 +jωL1)-jωMI1+jωL2I1- jωMI=U,

jωL2I1-jωMI- I2/(jωC)=0,

I2=I- I1

代入给定的数值同时消去I2，得：

I1=I=500/(50+j450)

=1.104∠-83.66°A

I2=0

此题须注意：

（1）列写向量形式的KVL方程时不能忘了互感电压。

（2）互感电压的正负号的确定是问题的关键所在。

例2在下图中i(t)=2sin(3t+30°)A,试求u ac(t), u ab(t), u bc(t)。

例2图

分析本例中输入的是正弦信号，用向量法求解，在解的过程中须特别注意互感电压的方向。解用向量表示输入信号，I=√2∠30°

因为a、c间只有自感电压，无互感电压（a、b间屋电流输入），所以：

U ac= jωL1I=j3×4√2∠30°=16.9∠120°,

U ac(t)= √2×16.9sin(3t+120°)

=24sin(3t+120°)

又因为ab间只有互感电压无自感电压，所以

U ab=jωMI

=j3×2√2∠30°

=j6×√2∠30°

所以U ab=6×√2×√2 sin(3t+120°)

=12 sin(3t+120°)

U bc=-U ab+U ac

=-6√2∠120°+12√2∠120°

=6√2∠120°

U bc=12 sin(3t+120°)