双三次Bezier曲面(参考资料)

实验六 双三次Bezier 曲面

一、实验目的

根据Bizer 曲面的基础知识和数学基础，对其算法进行程序设计，验证算法的正确性，并通过程序结果加深对常用曲面数学模型的理解。

二、实验任务（2学时）

Bezier 曲面算法及其程序设计。

三、实验内容和实验步骤

1、算法描述

Bezier 曲面是由Bezier 曲线拓广而来，以两组正交的Bezier 曲线控制点构造空间网格来生成曲面。m×n 次张量积形式的 Bezier 曲面的定义如下(参照教材P200式7-20)：

（u ，v ）∈〔0，1〕×〔0，1〕

双三次Bezier 曲面定义如下(参照教材P201式7-21)： （u ，v ）∈〔0，1〕×〔0，1〕

展开上式，有

代入得到：

)()(),(m 0i ,,0

,∑∑

===v B u B P v u p n j m i n j j i 33

,,3,3i 00

(,)()() i j i j j p u v P B u B v ===∑∑

0,30,00,10,20,31,31,01,11,21,30,31,32,33,32,02,12,22,32,33,03,13,23,33,3()()(,)()()()()()()B v P P P P B v P P P P p u v B u B u B u B u P P P P B v P P P P B v ⎡⎤

⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎡⎤=⋅⋅⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢

⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦

320,3321,3322,333,3()331()363()33()B u u u u B u u u u B u u u B u u ⎧=-+-+⎪=-+⎪⎨=-+⎪⎪=⎩320,3321,3322,33

3,3()331()363()33()B v v v v B v v v v B v v v B v v ⎧=-+-+⎪

=-+⎪⎨=-+⎪

⎪=⎩0,00,10,20,31,0

1,11,2

1,33

2

1331363

0(,)1P P P P P P P P p u v u

u

u --⎡⎤⎡⎤⎢

⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎡⎤=⋅⋅⎣⎦32

1331363

0v v ⎡⎤

--⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⋅

令

则有： 生成曲面时可以通过先固定u, 变化v 得到一簇Bezier 曲线；然后固定v ，变化u 得到另一簇Bezier 曲线，两簇曲线交织生成Bezier 曲面。

2、要求：

根据给定的16个控制顶点：

P00(200,20,0),P01(150,0,100),P02(50,-130,100),P03(0,-250,50)； P10(150,100,100),P11(100,30,100),P12(50,-40,100),P13(0,-110,100)； P20(140,280,90),P21(80,110,120),P22(30,30,130),P23(-50,-100,150)； P30(150,350,30),P31(50,200,150),P32(0,50,200),P33(-70,0,100)； 使用斜等测投影绘制双三次Bizer 网格曲面。

3、程序实现步骤：（工程名:BezierCurve2）

步骤1：创建“BezierCurve2”工程文件；

步骤2：创建类class ：“ P2”及“P3”；注意：P2 为二维点，含有两个成员变量“x ，y”，P3含有三个成员变量“x ，y ，z”。单击右键-→“new class”-→选择类型“Generic Class”名称为“ P2”及“P3”，添加成员变量（添加至“class EACH_ENTRY { public:”之内）：

class P2 {

public: P2(); virtual ~P2(); double x; double y; };

class P3 {

321U u u u ⎡⎤=⎣⎦32

1V v v v ⎡⎤=⎣⎦1331363033001000be M --⎡⎤⎢⎥-⎢

⎥=⎢⎥-⎢⎥⎣⎦0,00,10,20,31,01,11,21,32,02,12,22,33,0

3,13,23,3P P P P P P P P P P P P P P P P P ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦(,)T T

be be p u v UM PM V

=

public:

P3();

virtual ~P3();

double x;

double y;

double z;

};

步骤3：包含头文件并定义顶点对象。

1）在“class CBezierCurve2View : public Cview……”之前添加代码“#include "P3.h"”及“#include "P2.h"”；

#include "P3.h"//包含三维坐标点类

#include "P2.h"//包含二维坐标点类

2）在“class CBezierCurve2View : public CView……”内添加代码：

P3 P3[4][4];//三维顶点

P2 P2[4][4];//二维顶点

步骤4：添加成员函数。

1）C m n的函数实现，定义成员函数，命名为Multiply_n。方法及过程参照“实验六曲线及曲面生成算法（一）”；

2）伯恩斯坦多项式B m,n(t)的函数实现，添加CBezierCurve2View::bernstein。方法及过程参照“实验六曲线及曲面生成算法（一）”；

步骤5：在OnDraw（）中添加代码：

注意：添加头文件

#include "math.h"//数学头文件

#define Round(d) int(floor(d+0.5))//四舍五入宏定义

上述两行代码添加至：类CBezierCurve2View的所有成员函数代码之前。

1）窗口坐标变换，设置客户区中心为原点

CBezierCurve2Doc* pDoc = GetDocument();

ASSERT_V ALID(pDoc);

// TODO: add draw code for native data here

CRect rect;//定义客户区矩形

GetClientRect(&rect);//获得客户区的大小

pDC->SetMapMode(MM_ANISOTROPIC);//pDC自定义坐标系

pDC->SetWindowExt(rect.Width(),rect.Height());//设置窗口范围

pDC->SetViewportExt(rect.Width(),-rect.Height());//设置视区范围,x轴水平向右，y 轴垂直向上

pDC->SetViewportOrg(rect.Width()/2,rect.Height()/2);//客户区中心为原点

rect.OffsetRect(-rect.Width()/2,-rect.Height()/2);

2）初始化16个控制顶点

P3[0][0].x=20; P3[0][0].y=0; P3[0][0].z=200;//P00

P3[0][1].x=0; P3[0][1].y=100;P3[0][1].z=150;//P01

P3[0][2].x=-130;P3[0][2].y=100;P3[0][2].z=50; //P02

P3[0][3].x=-250;P3[0][3].y=50; P3[0][3].z=0; //P03