专题08 还原与对消

专题08 还原与对消
——方程的解与解方程
阅读与思考
解一元一次方程的一般步骤是：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1、得方程的解．我们在解一元一次方程时，既要学会按部就班(严格按步骤)地解方程，又要能随机应变(灵活打乱步骤)地解方程．
方程的解是方程理论中的一个重要概念，对于方程解的概念，要学会从两个方面去运用： 1．求解：通过解方程，求出方程的解，进而解决问题． 2．代解：将方程的解代入原方程进行解题．
当方程中的未知数是用字母表示时，这样的方程叫含字母系数的方程，含字母系数的一元一次方程总可以化为ax ＝b 的形式，其方程的解由a ，b 的取值范围确定．字母a ，b 的取值范围确定或对解方程的过程并未产生实质性的影响，其解法同数字系数的一次方程解法一样；当字母a ，b 的取值范围未给出时，则需讨论解的情况，其方法是：
(1)当a ≠0时，原方程有唯一解x ＝
b a
； (2)当a ＝0且b ＝0时，原方程有无数个解； (3)当a ＝0，b ≠0时，原方程无解；
例题与求解
[例1] 已知关于x 的方程3[x －2(x －3a )]＝4x 和312x a +－158
x -＝1有相同的解，那么这个解是______．
(北京市“迎春杯”竞赛试题)
解题思路：建立关于a 的方程，解方程．
[例2] 已知a 是任意有理数，在下面各说法中
(1)方程ax ＝0的解是x ＝1 (2)方程ax ＝a 的解是x ＝1 (3)方程ax ＝1的解是x ＝
1
a
(4)方程|a |x ＝a 的解是x ＝±1 结论正确的个数是( )．
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
(江苏省竞赛试题)
解题思路：给出的方程都是含字母系数的方程，注意a 的任意性． [例3] a 为何值时，方程
3x ＋a ＝2x －1
6
(x －12)有无数多个解？无解？ 解题思路：化简原方程，运用方程ax ＝b 各种解的情况所应满足的条件建立a 的关系式． [例4] 如果a ，b 为定值时，关于x 的方程23kx a +＝2＋6
x bk
-，无论k 为何值时，它的根总是1，求a ，b 的值．
(2013年全国初中数学竞赛预赛试题)
解题思路：利用一元一次方程方程的解与系数之间的关系求解．
[例5] 已知p ，q 都是质数，并且以x 为未知数的一元一次方程px ＋5q ＝97的解是1，求代数式p 2－q 的值．
(北京市“迎春杯”竞赛试题)
解题思路：用代解法可得到p ，q 的关系式，进而综合运用整数相关知识分析．
[例6] (1)在日历中(如图①)，任意圈出一竖列上相邻的三个数，设中间的一个为a ，则用含a 的代数式表示这三个数(从小到大排列)分别是______．
(2)现将连续自然数1至2004按图中的方式排成一个长方形阵列，用一个正方形框出16个数(如图②)．
①图中框出的这16个数的和是______；
②在右图中，要使一个正方形框出的16个数之和等于2000，2004，是否可能？若不可能，试说明理由；若有可能，请求出该正方形框出的16个数中的最小数和最大数．
(湖北省黄冈市中考试题)
解题思路：(1)等差数列，相邻两数相差7．(2)①经观察不难发现，在这个方框里的每两个关于中心对称的数之和都等于44．如31与13，11与33，17与27都成中心对称的．于是易算出这16个数之和．②设框出的16个数中最小的一个数为a ，用a 表示出16个数之和，若算出的a 为自然数，则成立；不为自然数，则不可能．
能力训练
A 级
1．若关于x 的方程(k －2)x |k －1|
＋5k ＝0是一元一次方程，则k ＝______；若关于x 的方程(k ＋2)x 2＋4kx －5k ＝0是一元一次方程，则方程的解x ＝______．
2．方程x －
34[x －14(x －37)]＝316(x －3
7
)的解是______． (广西赛区选拔赛试题)
3．若有理数x ，y 满足(x ＋y －2)2＋|x ＋2y |＝0，则x 2＋y 3＝______．
(“希望杯”邀请赛试题)
4．若关于x 的方程a (2x ＋b )＝12x ＋5有无数个解，则a ＝______，b ＝______．
(“希望杯”邀请赛试题)
5．已知关于x 的方程9x －3＝kx ＝14有整数解，那么满足条件的所有整数k ＝______．
(“五羊杯”竞赛试题)
6．下列判断中正确的是( )．
A ．方程2x －3＝1与方程x (2x －3)＝x 同解
B ．方程2x －3＝1与方程x (2x －3)＝x 没有相同的解
C ．方程x (2x －3)＝x 的解都是方程2x －3＝1的解
D ．方程2x －3＝1的解都是方程x (2x －3)＝x 的解 7．方程
12x ⨯＋23x ⨯＋…＋19951996
x ⨯＝1995的解是( )． A ．1995 B ．1996 C ．1997 D ．1998 8．若关于x 的方程
21
x b
x --＝0的解是非负数，则b 的取值范围是( )． 2003 2004
1997
1999 2000 2001 2002
… … …
(36)
37
38
39
40
41
42
1996 29 30 31 32 33 34 35 22 23 24 25 26 27 28 15 16 17 18 19 20 21 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 图② 图① 日一二三四五六 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
A ．b ＞0
B ．b ≥0
C ．b ≠2
D ．b ≥0且b ≠2
(黑龙江省竞赛试题)
9．关于x 的方程a (x －a )＋b (x ＋b )＝0有无穷多个解，则( )． A ．a ＋b ＝0 B ．a －b ＝0 C ．ab ＝0 D ．
a b
＝0 10．已知关于x 的一次方程(3a ＋8b )x ＋7＝0无解，则ab 是( )． A ．正数 B ．非正数 C ．负数 D ．非负数
(“希望杯”邀请赛试题)
11．若关于x 的方程kx －12＝3x ＋3k 有整数解，且k 为整数，求符合条件的k 值．
(北京市“迎春杯”训练题) 12．已知关于x 的方程3x ＋a ＝||2a x －16
(x －6)，当a 取何值时，(1)方程无解？(2)方程有无穷
多解？
(重庆市竞赛试题)
B 级
1．已知方程2(x ＋1)＝3(x －1)的解为a ＋2，则方程2[2(x ＋3)－3(x －a )]＝3a 的解为______． 2．已知关于x 的方程
2a x -＝33
bx -的解是x ＝2，其中a ≠0且b ≠0，则代数式b a －a b 的值是
______．
3．若k 为整数，则使得方程(k －1999)x ＝2001－2000x 的解也是整数的k 值有______个．
(“希望杯”邀请赛试题)
4．如果
12＋16＋112＋…＋1(1)n n +＝20032004
，那么n ＝______． (江苏省竞赛试题)
5．用※表示一种运算，它的含义是A ※B ＝1A B +＋(1)(1)
x A B ++，如果2※1＝53，那么3
※4＝______．
(“希望杯”竞赛试题)
6．如图所示的两架天平保持平衡，且每块巧克力的质量相等，每个果冻的质量也相等，则一块巧克力的质量是______克．
(河北省中考试题)
7．有四个关于x 的方程 ①x －2＝－1 ②(x －2)＋(x －1)＝－1＋(x －1) ③x ＝0
④x －2＋
11x -＝－1＋11
x - 其中同解的两个方程是( )．
A ．①与②
B ．①与③
C ．①与④
D ．②与④
8．已知a 是不为0的整数，并且关于x 的方程ax ＝2a 3－3a 2－5a ＋4有整数解，则a 的值共有( )．
A ．1个
B ．3个
C ．6个
D ．9个
(“希望杯”邀请赛试题
)
第6题图
9．(1)当a 取符合na ＋3≠0的任意数时，式子23
ma na -+的值都是一个定值，其中m －n ＝6，求m ，n 的值．
(北京市“迎春杯”竞赛试题)
(2)已知无论x 取什么值，式子
35ax bx ++必为同一定值，求a b
b
+的值． (“华罗庚杯”香港中学竞赛试题)
10．甲队原有96人，现调出16人到乙队，调出后，甲队人数是乙队人数的k (k 是不等于1的正整数)倍还多6人，问乙队原有多少人？
(上海市竞赛试题)
11．下图的数阵是由77个偶数排成：
用一平行四边形框出四个数(如图中示例)．
(1)小颖说四个数的和是436，你能求出这四个数吗？ (2)小明说四个数的和是326，你能求出这四个数吗？
第11题图
…………………………………… 142 144 146 148 150 152 154
30
32
34
36
38
40
42
16 18 20 22 24 26 28 2 4 6 8 10 12 14。