专题08 还原与对消

专题08 还原与对消

——方程的解与解方程

阅读与思考

解一元一次方程的一般步骤是：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1、得方程的解．我们在解一元一次方程时，既要学会按部就班(严格按步骤)地解方程，又要能随机应变(灵活打乱步骤)地解方程．

方程的解是方程理论中的一个重要概念，对于方程解的概念，要学会从两个方面去运用： 1．求解：通过解方程，求出方程的解，进而解决问题． 2．代解：将方程的解代入原方程进行解题．

当方程中的未知数是用字母表示时，这样的方程叫含字母系数的方程，含字母系数的一元一次方程总可以化为ax ＝b 的形式，其方程的解由a ，b 的取值范围确定．字母a ，b 的取值范围确定或对解方程的过程并未产生实质性的影响，其解法同数字系数的一次方程解法一样；当字母a ，b 的取值范围未给出时，则需讨论解的情况，其方法是：

(1)当a ≠0时，原方程有唯一解x ＝

b a

； (2)当a ＝0且b ＝0时，原方程有无数个解； (3)当a ＝0，b ≠0时，原方程无解；

例题与求解

[例1] 已知关于x 的方程3[x －2(x －3a )]＝4x 和312x a +－158

x -＝1有相同的解，那么这个解是______．

(北京市“迎春杯”竞赛试题)

解题思路：建立关于a 的方程，解方程．

[例2] 已知a 是任意有理数，在下面各说法中

(1)方程ax ＝0的解是x ＝1 (2)方程ax ＝a 的解是x ＝1 (3)方程ax ＝1的解是x ＝

1

a

(4)方程|a |x ＝a 的解是x ＝±1 结论正确的个数是( )．

A ．0

B ．1

C ．2

D ．3

(江苏省竞赛试题)

解题思路：给出的方程都是含字母系数的方程，注意a 的任意性． [例3] a 为何值时，方程

3x ＋a ＝2x －1

6

(x －12)有无数多个解？无解？ 解题思路：化简原方程，运用方程ax ＝b 各种解的情况所应满足的条件建立a 的关系式． [例4] 如果a ，b 为定值时，关于x 的方程23kx a +＝2＋6

x bk

-，无论k 为何值时，它的根总是1，求a ，b 的值．

(2013年全国初中数学竞赛预赛试题)

解题思路：利用一元一次方程方程的解与系数之间的关系求解．

[例5] 已知p ，q 都是质数，并且以x 为未知数的一元一次方程px ＋5q ＝97的解是1，求代数式p 2－q 的值．

(北京市“迎春杯”竞赛试题)

解题思路：用代解法可得到p ，q 的关系式，进而综合运用整数相关知识分析．

[例6] (1)在日历中(如图①)，任意圈出一竖列上相邻的三个数，设中间的一个为a ，则用含a 的代数式表示这三个数(从小到大排列)分别是______．

(2)现将连续自然数1至2004按图中的方式排成一个长方形阵列，用一个正方形框出16个数(如图②)．

①图中框出的这16个数的和是______；

②在右图中，要使一个正方形框出的16个数之和等于2000，2004，是否可能？若不可能，试说明理由；若有可能，请求出该正方形框出的16个数中的最小数和最大数．

(湖北省黄冈市中考试题)

解题思路：(1)等差数列，相邻两数相差7．(2)①经观察不难发现，在这个方框里的每两个关于中心对称的数之和都等于44．如31与13，11与33，17与27都成中心对称的．于是易算出这16个数之和．②设框出的16个数中最小的一个数为a ，用a 表示出16个数之和，若算出的a 为自然数，则成立；不为自然数，则不可能．

能力训练

A 级

1．若关于x 的方程(k －2)x |k －1|

＋5k ＝0是一元一次方程，则k ＝______；若关于x 的方程(k ＋2)x 2＋4kx －5k ＝0是一元一次方程，则方程的解x ＝______．

2．方程x －

34[x －14(x －37)]＝316(x －3

7

)的解是______． (广西赛区选拔赛试题)

3．若有理数x ，y 满足(x ＋y －2)2＋|x ＋2y |＝0，则x 2＋y 3＝______．

(“希望杯”邀请赛试题)

4．若关于x 的方程a (2x ＋b )＝12x ＋5有无数个解，则a ＝______，b ＝______．

(“希望杯”邀请赛试题)

5．已知关于x 的方程9x －3＝kx ＝14有整数解，那么满足条件的所有整数k ＝______．

(“五羊杯”竞赛试题)

6．下列判断中正确的是( )．

A ．方程2x －3＝1与方程x (2x －3)＝x 同解

B ．方程2x －3＝1与方程x (2x －3)＝x 没有相同的解

C ．方程x (2x －3)＝x 的解都是方程2x －3＝1的解

D ．方程2x －3＝1的解都是方程x (2x －3)＝x 的解 7．方程

12x ⨯＋23x ⨯＋…＋19951996

x ⨯＝1995的解是( )． A ．1995 B ．1996 C ．1997 D ．1998 8．若关于x 的方程

21

x b

x --＝0的解是非负数，则b 的取值范围是( )． 2003 2004

1997

1999 2000 2001 2002

… … …

(36)

37

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42

1996 29 30 31 32 33 34 35 22 23 24 25 26 27 28 15 16 17 18 19 20 21 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 图② 图① 日一二三四五六 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30