数学物理方法第十章

数学物理方法（第四版）
梁昆淼 编
主讲教师： 张玉刚
合肥工业大学电子科学与应用物理学院 Hgdzyg@163.com
1
第10章
§10.1 轴对称球函数 §10.2 连带勒让德函数*
球函数
§10.3 一般的球函数*
轴对称问题和勒让德多项式，转动对称问题和连带勒让德函数，一般问 题和球函数
2
基本要求：
al 4
(l 2)(l 3) (l 2)(l 3) (2l 2)! (2l 4)! 2 al 2 (1)2 ( ) 1 4(2l 3) 2 2!(2l 3) 2l (l 1)!(l 2)! 2! 2l (l 2)!(l 4)!
(35 cos 4 20 cos 2 9)
P2 n1 (0) 0
P2 n (0) ( 1)n
每项总含 x
( 2n)! n ! 22 n n !
唯一不含 x 的项
l 2k
8
勒让德多项式的图象
P0 ( x ) 1 P1 ( x ) x
2 P2 ( x ) 1 (3 x 1) 2
[ l / 2]
k 1 ( ) k 0
l
1 2( l k ) x 2 l ( l k )! k !
2l 2k l k l/2
(2l 2 k )(2 l 2 k 1) ( l 2 k 1) l 2 k ( 1) x l 2 ( l k )! k ! k 0
约定最高次幂系数 al
( k 2)( k 1) ak ak 2 ( k l )( k l 1)
(2l )! 2l (l !) 2
则对 k l 2
l (l 1) l(l 1) (2l )! 1 (2l)! (2l 2)! 1 al 2 al ( 1) 2(2l 1) 2(2l 1) 2l (l !)2 2(2l 1) 2l l (l 1)!(l 2)! 2l (l 1)!(l 2)!
1
wenku.baidu.com=0
l 1 l 1 d d d l 2 2 1 2 [ l ( x 2 1)l ] 第一项为零，即 N l ( l ) ( 1) dx l 1 ( x 1) dx dx 2 l! dx 1 1
进行 l 次分步积分后
2l 1 d N l2 ( l )2 ( 1)l dx( x 2 1)l 2 l ( x 2 1)l 2 l! dx 1
C 绕 z=x 点的圆周。 设半径为 C上
z x 1 x 2 ei
( z 2 1)l 1 1 dz C ( z x )l 1 2 i 2l


dz i 1 x 2 e i d
1 1 2 i 2l

[( x 1 x 2 e i )2 1]l ( 1 x 2 e i )l 1
7
勒让德多项式：
[ l / 2]
al 2 k ( 1)k
( 2l 2k )! k ! 2l ( l k )!( l 2k )!
l/2的最大整数。
( 2l 2k )! l 2k Pl ( x ) ( 1) x k ! 2l ( l k )!( l 2k )! k 0
f
由科西公式
(l )
l! (z) 2 πi
f ( ) C ( z ) l 1 d
( z 2 1) l C ( z x )l 1 dz
施列夫利 积分
1 dl 1 1 2 l Pl ( x ) l ( x 1) 2 l ! dx l 2 i 2l
1 x2
k
( 2l 2k )! ( 1) l x l 2k 2 ( l k )! k !( l 2k )! k 0
[ l / 2] k
( a b)
n
n! a nk b k k 0 k!(n k )!
n
11
(3)
积分表示（施列夫积分）*
根据柯西积分公式的高阶导数，并取正方向积分有
k
[l / 2：小于、等于 ]
P0 ( x ) 1 P 1 ( x ) x cos
2 1 (3 cos 2 1) P2 ( x ) 1 ( 3 x 1 ) 2 4 3 1 (5 cos 3 3 cos ) P3 ( x ) 1 ( 5 x 3 x ) 2 8 1 ( 35 x 4 30 x 2 3) P4 ( x ) 8 1 64
1
只有最高次幂才不为零，故 再逐次进行分步积分，得
( 2l )! 2 l l l N l 2l ( 1 ) dx ( x 1 ) ( x 1 ) 2 ( l !)2 1
2 N 2l 1
2 l
1
即
Nl
2 2l 1
14
（五） 广义傅立叶级数 定义在区间 [-1,1]的函数f(x)可以展开为广义傅立叶级数
13
（四） 模
N l2 [Pl ( x )]2 dx
1
1
l 1 1 2 dl d d ( l ) dx l ( x 2 1)l [ l 1 ( x 2 1)l ] dx dx 2 l ! 1 dx 1
1 2 d l 2 l d l 1 2 l 1 d l 1 2 l d d l 2 l ( l ) { l ( x 1) [ l 1 ( x 1) ] 1 dx l 1 ( x 1) [ l ( x 1) ]} dx dx 2 l ! dx dx dx 1
f ( x ) f l Pl ( x ),
l 0

展开系数为
2l 1 fl f ( x )Pl ( x )dx 2 1
1
或区间 [0,] 的函数 f()展开为
f ( ) f l Pl (cos ),
l 0

系数为
2l 1 fl f ( )Pl (cos )sin d 2 0
证：
l 1 1 l l! 1 2 2( l k ) l k 2( l k ) k ( x 1 ) ( 1 ) x ( ) x 1 ( l k )! k ! 2l l ! 2l l ! k 0 2l ( l k )! k ! k 0
l 1 dl d l 2 x 1 ( ) l l l 2 l ! dx dx
i 1 x 2 e i d
1 2


[
x 2 2 x 1 x 2 e i (1 x 2 )e i 2 1 2 1 x 2 e i
]l d
12
1 2



1 [ x i 1 x 2 sin ]l d 2
i i e e l 2 x 1 x d [ ] 2

得 Pl ( x )

1

0
[ x i 1 x 2 cos ]l d
拉普拉斯积分
x cos
Pl ( x )
Pl ( x )

Pl ( 1) ( 1)l
Pl (1) 1
1

1


0
[cos i sin cos ]l d
cos i sin cos d
m m
m 0,1, 2, l l 0,1, 2,
轴对称球函数
1 sin l l 1 0 sin
d 2 d (1 x ) 2 2 x l ( l 1) 0 dx dx
零点定理 L阶勒让德多项式为L次多项式，有L个零点。
奇偶性 Pl(-x) = (-1)l Pl(x)
9
1
0 . 5
P0 ( x ) 1 P1 ( x ) x
0 . 5 1
2 P2 ( x ) 1 (3 x 1) 2 3 P3 ( x ) 1 (5 x 3 x) 2
1
0 . 5 0 . 5

勒让德多项式的完备性：任意一个在区间 [-1,1]中分段连续的函数f(x)，在 平均收敛意义下，可展开为级数
f ( x ) f l Pl ( x ),
2

l 0
lim 平均收敛： N
1

1
f ( x ) f l Pl ( x ) dx 0
l 0
N
15
正交性

1
Pl ( x ),
( 1 x 1)
1
0.5
Pl (cos ),
(0 )
-0.5
0.5
1
1.5
2
2.5
3
-1
10
(2)
微分表示（罗德里格斯公式）
[ l / 2] 1 dl ( 2l 2k )! 2 l k l 2k Pl ( x ) l ( x 1 ) ( 1 ) x 2 l ! dx l 2l ( l k )! k !( l 2k )! k 0
4
1 Y 1 2Y 球函数方程： l l 1 Y 0 sin 2 2 sin sin
球函数（l 称作球函数的阶）：
sin m Yl , Pl cos , cos m
x cos
[(1 x 2 ) ']' l ( l 1) 0 ( 1) 有 界
R Al r l Bl r l 1
f ( )
Pl ( x )



R ( a ) Pl (cos ) l 0 l
u l 0 Rl ( r ) Pl (cos )
6
§10.1 轴对称球函数
2 d d (1 x 2 ) 2 2 x l ( l 1) 0 dx dx
x 1 处有限
l 0,1, 2,
（一）勒让德多项式 （1）代数表示
ak 2
k (k 1) l (l 1) (k l )(k l 1) ak ak (k 2)(k 1) (k 2)(k 1)
本章基本要求、教学内容及重点
1．掌握勒让得多项式概念，勒让得多项式的微分形式，正交关系，模的计 算，及其广义傅立叶展开理论及方法； 2．了解一般球函数和连带勒让得函数的概念。 教学内容： §10.1．轴对称球函数。勒让得多项式，罗德里格斯公式,勒让得多项式的正 交关系，勒让德多项式的模，广义傅立叶级数。 §10.2．连带勒让得函数*。连带勒让得函数，本征值问题，罗德里格斯公 式，正交性，模，广义傅里叶级数。 §10.3．一般的球函数*。 本章重点： 勒让德多项式及其微分形式，勒让德多项式函数族的正交性、模和展开理 论及其简单应用。
3
问题的引出
u 0
偏微分方程 分离变量
1 2 u 1 u 1 2 u 0 (r ) 2 (sin ) 2 2 2 2 r r sin r sin r r
常微分方程组 本征值问题 广义傅立叶级数 勒让德多项式 贝塞耳函数 （特殊函数）
特殊函数 勒让德、埃米特、拉盖尔等多项式； 贝塞耳、虚宗量贝塞耳、球贝塞耳、 超几何，合流超几何等函数。
2
x cos
x sin sin x 2 (1 x ) x
5
u |r a f ( )
u 0
轴对称拉普拉 斯方程的求解
(r R ')' l (l 1) R 0
2
(sin ') ' l ( l 1) sin 0 (0), ( )有 界
2 l/2



l
1
0



0
[cos 2 sin 2 cos 2 ]l / 2 d
即

1

0
[cos sin ] d
2

1 1
1

0
d 1
l
Pl ( x ) 1
（三） 正交关系
( x) 1
P ( x )P ( x )dx 0
k
kl