线面与面面垂直的判定

线面垂直的判定
直线和平面垂直的定义
如果一条直线 l 和一个平面 内的任意一条直线都垂直， 我们就说直线 和平l 面 互相 垂直，记作 l．
直线 l 叫做平面 的垂线，平面 叫做直线 l 的垂面．
它们唯一的公共点即交点叫做垂足．
（l垂直于内的任意一条直线 l ）
从直线和平面垂直的定义可知： 若l⊥α，则l垂直α内的任意 直线
D1 A1
D A
C1 B1
C B
D1 A1
D A
ห้องสมุดไป่ตู้
C1 B1
C B
面面垂直的判定定理
如果一个平面经过另一个平面的一
条垂线，那么这两个平面互相垂直
符号表示：l l
α β
αβ
l
线线 垂直
线面 垂直
面面 垂直
那么如何用图来体现平面与平面垂直呢？
β
β
α
α
如何检测所砌的墙面和地面是否垂直？
证明：设 m 是 内的任意一条直线．
探究线面垂直的判定
请准备一块三角形的纸片， 过△ABC的顶点A翻折纸片，得到折痕AD， 将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（BD、DC与桌面接触）， 如何翻折才能保证折痕AD与桌面垂直？
直线和平面垂直的判定定理：
如果一条直线和一个平面内的两条相交直线 都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。
思考：（1）过空间一点作已知平面的垂线有几条？ （2）过空间一点作已知直线的垂面有几个？
⑴：过一点有且只有一条直线和一个平面垂直．
⑵：过一点有且只有一个平面和一条直线垂直．
例: 求证：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面， 那么另一条也垂直于这个平面．
已知：a ，a // b ．
求证：b ．
课堂练习： 一、判断： 1.如果平面α内有一条直线垂直于平面β
内的一条直线，则α⊥β.（ ）×
2.如果平面α内有一条直线垂直于平面β
内的两条直线，则α⊥β.（ ）×
3. 如果平面α内的一条直线垂直于平面β内
的两条相交直线, 则α⊥β.（ ）√ 4.若m⊥α，m β，则α⊥β.( √)
∪
二、填空题：
m , n , m∩ n B,l m,l n. l
那么如何用图来 线线 线面 体现直线与平面 垂直 垂直
垂直呢？
l
A α
练习：下列条件中是l 的条件的有
DE
A.直线l垂直平面内的一条直线
B.直线l垂直平面内的两条直线
C.直线l垂直平面内的无数条直线 D.直线l垂直平面内所有直线 E.直线l垂直平面内某两条相交直线
例2.如图所示，在Rt△ABC中，∠B=90，P 为△ABC所在平面外一点，PA⊥平面ABC， 问：四面体PABC中有几个直角三角形？
解：因为PA⊥平面ABC，所以： P
PA⊥AB，PA⊥AC，PA⊥BC。
所以△PAB， △PAC为直角三角形。
又PA⊥BC,AB⊥BC，且PA∩AB=A，
所以，BC⊥平面PAB。
1.过平面α的一条垂线可作__无__数_个平面 与平面α垂直.
2.过一点可作无__数__个平面与已知平面垂直
3.过平面α的一条斜线，可作___一_个平 面与平面α垂直.
4.过平面α的一条平行线可作___一_个平 面与α垂直.
归纳小结：
(1)判定面面垂直的两种方法： ①定义法 ②根据面面垂直的判定定理
A
又PB 平面ABC，于是BC⊥PB，
所以△PBC也是直角三角形。
C B
所以四面体中四个面都是直角 三角形。
例3、已知直线PA垂直于● O所在的平面，A为垂足， AB为● O的直径，C是圆周上异于A、B的一点。 求证：平面PAC平面PBC；
P
判定定理： 要证两个平面垂直，
C
A
O
B
只要在其中一个平面内找到 另一个平面的一条垂线。
(2)面面垂直的判定定理不仅是判定两个平面 互相垂直的依据，而且是找出垂直于一个平 面的另一个平面的依据；
(3)从面面垂直的判定定理我们还可以看出面 面垂直的问题可以转化为线面垂直的问题来
解决.