第5节 索末菲理论
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m m0 / 1 2 / c 2
百度文库
考虑了相对论效应后，对电子的运动有两点影响： 1．电子的轨道 电子绕核作椭圆运动时，它的速度 是变化的。靠近核时快些，远离核 时慢些。这样就能保证在运动中角 动量不变。所以电子的质量在轨道 运动中始终是变化的，这种情况下， 电子的轨道不再闭合。椭圆轨道有 一个连续的进动，如图所示。
U v2 F 2 m 解：粒子所受的力： r r r
2
mr
1 2 粒子的总能量为： E m 2 r 2r r 2r
由量子化通则： mvrd
即 r
2E
m 2 d nh 2E
2 2 m 2 E n2 h2
能级简并：对于一定的n，有个n不同 的定态，它们的n不同，但具有相同 的能量En。这种能级称为退化了的 能级，n是退化度，也叫简并度。
6a1
n 3, n 1
3a1
9a1
n 3, n 2
a1 an Z
2
a1 b nn Z
n 3, n 3
三、相对论修正 按照相对论原理：
椭圆轨道的 量子化条件
nr 0, 1, 2 径向量子数
2 2 1 1 Ze 1 1 Ze 体系的能量： E m 2 m(r 2 r 2 2 ) 2 4 0 r 2 4 0 r
由量子化通则可得以下结果
a n2
a1 Z
b nn
a1 Z
a ：半长轴，b：半短轴
一个电子轨道的进动
2．原子的能量 考虑了相对论效应，经过繁杂的计算可得：
讨论：
hcRZ2 hcRZ4 2 n 3 E 2 4 n n n 4
① 能量包含了主项和修正项。主项和未考虑相对论时的情 况一致，修正项则由 n 和 n 决定，修正项远小于第一项。 ② 当n 一定时，n 越小E 越小，说明：椭圆轨道越扁能量 越小，圆形轨道能量最大。 ③ 考虑了相对论效应，量子数为 n 的能级分裂为 n 个支能级， 结果原来看起来是一条的谱线，其实是由 n 条极为接近的谱 线构成的，这称为谱线的精细结构。在修正项中， 占重要 地位，被称为精细结构常数。
2 2 me4 Z 2 Z2 En 2 Rhc 2 2 2 (4 0 ) h n n
主量子数
n nr n
径向量子数
角量子数
与圆轨道相比较： （1）能量的表达式无变化，对光谱的解释仍成立。 （2）椭圆轨道的形状和大小是量子化的。 n, nr , n，因 n nr n ，只有两个是独立的。 （3）有三个量子数：
2 2 me4 Z 2 Z2 En 2 Rhc 2 2 2 (4 0 ) h n n
a1 an Z
2
a1 b nn Z
9a1 / Z a n 3,圆形 a 9a1 / Z , b 6a1 / Z , n 2, 椭圆 3a / Z n 1, 椭圆 1
n 1, 2,3
V 0
0
若粒子是非相对论的，能量就为：
1 2 p nh E mv , 2 2 2m 8ma
2
2 2
a
x
n 1, 2,3
说明粒子在一维直角势阱中，能量是量子化的。
例2：一个质量为的粒子，在有心力场中沿圆形轨道运动，粒 2 Ze / 4 0。试 U / r 子在有心力场中的势能为 ，其中 根据索末菲通则，求出这粒子能量的允许值。
§2.5、索末菲对玻尔理论的推广
玻尔理论的成功： （1）指出了原子能级的存在。 （2）提出了定态的概念，事实表明，这一结论对于各种原 子也是普遍正确的。 （3）角动量量子化条件L=nh/2，引出了角动量量子化这 一普遍正确的结论。 （4）解释氢原子及类氢离子的光谱现象。 玻尔理论的局限性：
没有完全解决原子问题，只能解释氢原子和类氢离子光谱， 无法解释复杂原子的光谱现象。量子通则不具备有普遍性。
1．量子化条件 广义坐标： r , 广义速度： vr r 径向速度 角速度
r
.
e
r
a
.
v
r
b
Ze
广义动量： pr mvr mr 线动量 角动量 p mr 2 mr2
根据量子化通则有
p d n h pr dr nr h
n 1, 2, 3 角量子数
结果与玻尔 理论结果完 全一致
m 2 即： 2 nh 2E
Ze2 2 2 mZ 2e4 将 代入： E ，n 1, 2,3 2 2 2 4 0 (4 0 ) n h
二、电子的椭圆轨道 实际上电子并非作圆形轨道运动，而是作椭圆轨道运动， 就像行星绕太阳运动一样。如果假定原子核不动，它处 于椭圆的一个焦点上。
例1：设粒子的质量为 m，在具有无限高势垒、宽度为a的一 维直角势阱里运动。试根据索末菲量子化通则对上述情况求 出这粒子能量的允许值。 解：根据量子化通则：
pdx
a
0
(mv)dx (mv)dx 2mva nh
a
0
动量是量子化的： nh p mv , 2a
V
V
2．电子椭圆轨道的一般特征
半长轴a只与n有关；半短轴b不仅与n有关，还与n有关。 只要n、n确定了，a、b也就确定了，即椭圆的大小和形 状就完全确定了。椭圆轨道的形状和大小是量子化的。
n 1, 2, 3,n
n一定时
nr n 1, n 2 , n 3,0
有n对（n,nφ)相应于不同形状的轨道，其中一个为圆形， 这就是玻尔理论中的圆轨道。玻尔理论只是一个特殊情况。
为了寻求原子结构的更完善的理论，物理学家们企图对玻尔 理论加以补充和修正，以便能解释更多的实验现象。 德国物理学家索末菲对玻尔理论进行了修正。
一、量子化通则 量子化通则的一般形式
p dq
i
i
ni h
ni 1, 2, 3
上式表示对q变化一个周期的积分。该式子具有更加普遍 的物理意义，不仅对圆周运动成立。 q为广义坐标， dq为广义位移， p为广义动量。 i是自由度个数，有几个自由度就有几个相应的量子化条件。
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考虑了相对论效应后，对电子的运动有两点影响： 1．电子的轨道 电子绕核作椭圆运动时，它的速度 是变化的。靠近核时快些，远离核 时慢些。这样就能保证在运动中角 动量不变。所以电子的质量在轨道 运动中始终是变化的，这种情况下， 电子的轨道不再闭合。椭圆轨道有 一个连续的进动，如图所示。
U v2 F 2 m 解：粒子所受的力： r r r
2
mr
1 2 粒子的总能量为： E m 2 r 2r r 2r
由量子化通则： mvrd
即 r
2E
m 2 d nh 2E
2 2 m 2 E n2 h2
能级简并：对于一定的n，有个n不同 的定态，它们的n不同，但具有相同 的能量En。这种能级称为退化了的 能级，n是退化度，也叫简并度。
6a1
n 3, n 1
3a1
9a1
n 3, n 2
a1 an Z
2
a1 b nn Z
n 3, n 3
三、相对论修正 按照相对论原理：
椭圆轨道的 量子化条件
nr 0, 1, 2 径向量子数
2 2 1 1 Ze 1 1 Ze 体系的能量： E m 2 m(r 2 r 2 2 ) 2 4 0 r 2 4 0 r
由量子化通则可得以下结果
a n2
a1 Z
b nn
a1 Z
a ：半长轴，b：半短轴
一个电子轨道的进动
2．原子的能量 考虑了相对论效应，经过繁杂的计算可得：
讨论：
hcRZ2 hcRZ4 2 n 3 E 2 4 n n n 4
① 能量包含了主项和修正项。主项和未考虑相对论时的情 况一致，修正项则由 n 和 n 决定，修正项远小于第一项。 ② 当n 一定时，n 越小E 越小，说明：椭圆轨道越扁能量 越小，圆形轨道能量最大。 ③ 考虑了相对论效应，量子数为 n 的能级分裂为 n 个支能级， 结果原来看起来是一条的谱线，其实是由 n 条极为接近的谱 线构成的，这称为谱线的精细结构。在修正项中， 占重要 地位，被称为精细结构常数。
2 2 me4 Z 2 Z2 En 2 Rhc 2 2 2 (4 0 ) h n n
主量子数
n nr n
径向量子数
角量子数
与圆轨道相比较： （1）能量的表达式无变化，对光谱的解释仍成立。 （2）椭圆轨道的形状和大小是量子化的。 n, nr , n，因 n nr n ，只有两个是独立的。 （3）有三个量子数：
2 2 me4 Z 2 Z2 En 2 Rhc 2 2 2 (4 0 ) h n n
a1 an Z
2
a1 b nn Z
9a1 / Z a n 3,圆形 a 9a1 / Z , b 6a1 / Z , n 2, 椭圆 3a / Z n 1, 椭圆 1
n 1, 2,3
V 0
0
若粒子是非相对论的，能量就为：
1 2 p nh E mv , 2 2 2m 8ma
2
2 2
a
x
n 1, 2,3
说明粒子在一维直角势阱中，能量是量子化的。
例2：一个质量为的粒子，在有心力场中沿圆形轨道运动，粒 2 Ze / 4 0。试 U / r 子在有心力场中的势能为 ，其中 根据索末菲通则，求出这粒子能量的允许值。
§2.5、索末菲对玻尔理论的推广
玻尔理论的成功： （1）指出了原子能级的存在。 （2）提出了定态的概念，事实表明，这一结论对于各种原 子也是普遍正确的。 （3）角动量量子化条件L=nh/2，引出了角动量量子化这 一普遍正确的结论。 （4）解释氢原子及类氢离子的光谱现象。 玻尔理论的局限性：
没有完全解决原子问题，只能解释氢原子和类氢离子光谱， 无法解释复杂原子的光谱现象。量子通则不具备有普遍性。
1．量子化条件 广义坐标： r , 广义速度： vr r 径向速度 角速度
r
.
e
r
a
.
v
r
b
Ze
广义动量： pr mvr mr 线动量 角动量 p mr 2 mr2
根据量子化通则有
p d n h pr dr nr h
n 1, 2, 3 角量子数
结果与玻尔 理论结果完 全一致
m 2 即： 2 nh 2E
Ze2 2 2 mZ 2e4 将 代入： E ，n 1, 2,3 2 2 2 4 0 (4 0 ) n h
二、电子的椭圆轨道 实际上电子并非作圆形轨道运动，而是作椭圆轨道运动， 就像行星绕太阳运动一样。如果假定原子核不动，它处 于椭圆的一个焦点上。
例1：设粒子的质量为 m，在具有无限高势垒、宽度为a的一 维直角势阱里运动。试根据索末菲量子化通则对上述情况求 出这粒子能量的允许值。 解：根据量子化通则：
pdx
a
0
(mv)dx (mv)dx 2mva nh
a
0
动量是量子化的： nh p mv , 2a
V
V
2．电子椭圆轨道的一般特征
半长轴a只与n有关；半短轴b不仅与n有关，还与n有关。 只要n、n确定了，a、b也就确定了，即椭圆的大小和形 状就完全确定了。椭圆轨道的形状和大小是量子化的。
n 1, 2, 3,n
n一定时
nr n 1, n 2 , n 3,0
有n对（n,nφ)相应于不同形状的轨道，其中一个为圆形， 这就是玻尔理论中的圆轨道。玻尔理论只是一个特殊情况。
为了寻求原子结构的更完善的理论，物理学家们企图对玻尔 理论加以补充和修正，以便能解释更多的实验现象。 德国物理学家索末菲对玻尔理论进行了修正。
一、量子化通则 量子化通则的一般形式
p dq
i
i
ni h
ni 1, 2, 3
上式表示对q变化一个周期的积分。该式子具有更加普遍 的物理意义，不仅对圆周运动成立。 q为广义坐标， dq为广义位移， p为广义动量。 i是自由度个数，有几个自由度就有几个相应的量子化条件。