线性规划约束方程系数矩阵的敏感性分析
MATLAB的线性规划问题的敏感性分析
MATLAB的线性规划问题的敏感性分析一．问题的提出在现在的日常生活中，我们常会遇到这样的问题，在不同的约束条件下找出最优点值或算出最佳的数值，以提高总产量或经济效益。
那么我们就需要假设一个模型出来，作为基本模型求解。
并找出其内在的规律以方便我们的生产生活的需要。
若约束条件改变，那么总产值是否也会有很大变化呢？让我们一起来研究。
二．具体案例如下：以某农场A，B ,C 等级耕地的面积分别为1002hm，计hm,3002hm,和2002划种植水稻，大豆和玉米，要求三种农作物最低收获量分别为190000kg,130000kg和350000kg。
农场kg kg kg,。
那么，（1）如何制定种植计划才能使总产量最大？（2）如何制定种植计划才能使总产值最大？表一：不同等级种植不同农作物的单产量（单位：2kg）/hm三．问题假设x，表示不同的农作物在根据题意，可以建立线性规划模型，假设决策变量为ij第j等级耕地上种植的面积。
hm）表2 作物计划种植面积（单位：2四．模型建立与分析1.模型：min z=cX S.t. AX b ≤命令：x=linprog(c,A,b) 2.模型：min z=cX S.t. AX b ≤ Aeq.X=beq命令：x=linprog(c,A,b,Aeq,beq)注意：若没有不等式：AX b ≤存在，则令A=[],b=[].3. [x,fval]=linprog(.....)左端fval 返回解X 处的目标函数值。
4.思路分析：找出约束条件——列出目标函数——作出可行域——求出最优解——敏感性分析——回答实际问题。
5.约束方程如下:耕地面积的约束：⎪⎩⎪⎨⎧≤++≤++≤++200300100332313322212312111x x x x x x x x x最低收获量的约束：⎪⎩⎪⎨⎧-≤----≤----≤---3500001000012000140001300006000680080001900009000950011000333231232221131211x x x x x x x x x并且注意：0≥ij x)3,2,13,2,1i ==j ；（ 则（1）追求总产量最大时，目标函数为：3332312322211312111000012000140006000680080009000950011000max x x x x x x x x x Z ---------=（2）追求总产值最大的目标函数为：)10001200014000(08.0)600068008000(5.1)900095001000(2.1max 333231232221131211x x x x x x x x x Z ++⨯-++⨯-++⨯-=可化简为333231232221131211800096001120090001020012000108001140013200max x x x x x x x x x Z ---------=五．模型建立与求解：1.对（1）求解，追求总产量最大时，MATLAB 程序如下：f=[-11000 -9500 -9000 -8000 -6800 -6000 -14000 -12000 -10000];A=[1 0 0 1 0 0 1 0 0 ;0 1 0 0 1 0 0 1 0;0 0 1 0 0 1 0 0 1;-11000 0 0 -9500 0 0 -9000 0 0; 0 -8000 0 0 -6800 0 0 -6000 0; 0 0 -14000 0 0 -12000 0 0-10000];b=[100 300 200 -190000 -130000 -350000];lb=[0 0 0 0 0 0 0 0 0];[xopt fxopt]=linprog(f,A,b,[],[],lb,[])Optimization terminated successfully.xopt =fxopt =-7000000键入S=-Z得到原问题的目标函数最大值为S=70000002.运行后敏感性分析后的MATLAB程序如下：从a=0开始，以步长01∆a对下列模型求解；=.0a=0;while(1.1-a)>1c=[-11000 -9500 -9000 -8000 -6800 -6000 -14000 -12000 -10000];A=[1 0 0 1 0 0 1 0 0 ;0 1 0 0 1 0 0 1 0;0 0 1 0 0 1 0 0 1;-11000 0 0 -9500 0 0 -9000 0 0; 0 -8000 0 0 -6800 0 0 -6000 0; 0 0 -14000 0 0 -12000 0 0 -10000];b=[100+a ;300+a; 200+a ;-190000+a ;-130000+a;-350000+a];Aeq=[]; beq=[];vlb=[0,0,0,0,0,0,0,0,0];vub=[];[x,val]=linprog(c,A,b,Aeq,beq,vlb,vub);ax=x'Q=-valplot(a,Q,'.'),hold ona=a+0.01;endxlabel('a'),ylabel('Q')gridOptimization terminated successfully.a =0 x = 0 0 0 0 0 0 100 300 200Q =7000000分析整理后结果对比如下：a =0 x = 0 0 0 0 0 0 100 300 200 Q = 7000000x =0 0 0 0 0 0 Q =7000360x =0 0 0 0 0 0 Q =7000720x =0 0 0 0 0 0 Q =7.0011e+006x =0 0 0 0 0 0 Q =7.0014e+006x = 0 0 0 0 0 0 Q =7.0018e+006x =0 0 0 0 0 0 100.06 Q =7.0022e+006x = 0 0 0 0 0 0 Q =7.0025e+006x =0 0 0 0 0 0 100.08 Q =7002880x =0 0 0 0 0 0 Q =7.0032e+006如果不好观测，还可以将a细分为0001∆a，程序基本不变，只需改变a.0=的步长即可，则运行后图像如下：观察图像后，最优值随a的参加变化不明显，但总在6.88e+6到6.9e+6与7e+6到7.02e+6两个区间内缓慢增长。
线性规划约束矩阵的灵敏度分析
增 加一 个 变 量 ＋＋ 实 际 问题 中反 映为 增 加 在
一
种 新 的产品 ， 际上 是求 它的取值 范 围 ， 实 使 ＋
表 ｌ 四种 产 品 的 利 润 、 现 有 原 料 数 及 消 耗 原 料
Ａｂ ｔ ａ ｔ ｎ ｔ ｉ ａ ｅ ，ｗｅ ｓｕ ｙ ｔ ｅ ｓ ｎ ｉ ｖ ｔ ｆ ｌｎ ａ ｒ ｇ ａ ｍｉ ｇ ｂ ｏ ｓ ｒ ｃ ：Ｉ ｈ ｓ ｐ ｐ ｒ ｔ ｄ ｈ ｅ ｓ ｔ ｉ ｏ ｉ ｅ ｒｐ ｏ ｒ ｍ ｉ ｙ ｎ ｙ ｃ ｍｂｉ ｉ ｇ ａ ａｙ ｉ ｌ ｏ ｉ ｍ ｔ ｎ ｎ ｎ ｌ ｓ ｓ ａ ｇ ｒｔ ｈ ｗｉ ｈ ｓ ｍｅ ｅ ａ ｌ ｓ ｆ ｏ ｔ ｅ ａ ｐ ｃ ｆ ｃ ａ ｇ ｎ ｅ ｔａ ｎ ｍａ ｒｘ ｏ ｘ ｍｐ ｅ ｒ ｍ ｈ ｓ ｅ ｔｏ ｈ ｎ ｉ ｇ ｒ ｓｒ ｉ ｔｉ ，ｗｈ ｃ ｓ ｉ ｃ ｅ ｓｎ ｒ ｄ ｃ ｅ ｓ ｎ ａ ｉ ｂ ｅ ａ ｄ ａ ｉ ｈ ｉ ｎ ｒ ａ ｉ ｇ ｏ ｅ ｒ ａ ｉ ｇ ａ ｖ ｒａ ｌ ｎ ｒ ｓｒ ｉ ｏ ｄ ｔｏ ．Ｗ ｅ ａ ｓ ｉ ｃ ｓ ｔ ｍｐ ｃ ｓ ｏ ｈ ｐ ｉ ａ ｅ ｉｉ ｎ ｆ ｒ ｔ ｉ ｃ ａ ｇ ｎ ｐ ｌ ａ ｉ ｎ ｉ ｈ ｅ ｔａ ｎ ｃ ｎ ｉ ｎ ｉ ｌｏ ｄ ｓ ｕ ｓ ｉｓ ｉ ａ ｔ ｎ ｔ ｅ ｏ ｔ ｍ ｌ ｄ ｃ ｓｏ ｏ ｈ ｓ ｈ ｎ ｅ ａ ｄ ａ ｐ ｉ ｔｏ ｎ ｔ ｅ ｃ ｅ ｏ ｏ ｃ ｆｅ ｄ ｃ ｎ ｍｉ ｉ ｌ ．
的 ，特 定数 学模 型 的最 优解 一般是 针对 这一 特定模 型的 。除找 到最优 解之外 ，管 理层 还希望 知道 各种假 设
条件变 化可 能产生 的结果 ，并通 过分 析变 化 的结 果 ，指导 决策 。如 由于市场 条件 的变化 ，价值 系数 Ｃ 会 发 生变化 ；为 了充分 利用 资源 ，增加 生产项 目，会增 加 变量个 数 ；为提 高产 品质量 ，增 加资源种 类或 生产 工 艺 ，会增 加约 束条件 个数 ，由于生产 工艺 的改进 ，单 耗（ 约束 条件 系数或 叫技术 系数 ） ， ａ 会发 生变 化［ ］ 。 ， 等 由此 可 见 ，线性 规 划 中的约束 矩阵对 规划 结果 有着 重要 的影 响 ，因此 ，运用 线性 规划方 法要 分析约 束 矩 阵的灵 敏度 。本 文通 过增加 或减 少变量 个数 、约 束条件 个 数 ，分 析线性 规 划 的灵 敏度 ，研究 当参 数发 生 变 化或 波动 时 ，问题最 优解 的变化 ；或这 些参 数在 什 么变化 范 围内波 动时 ，最优解 不变 ，从 而为线 性规 划
灵敏度分析(第三章线性规划4)
初始单纯形表 x1 x2 1 2 8 x3 1 2 6 x4 1 0 0 x5 0 1 0 bi
12 12
b2 20
0
0
x4 x5 f
1 1 5
0
最优单纯形表 x1 x2 0 1 0 x3 0 1 2 x4 2 1 2 x5 1 1 3 bi 424-b
2
5 x1 8 x2
f
1 0 0
实例1
产品 资源 原料甲 原料乙 A 1 1 5 B 1 2 8 C 1 2 6 资源拥 有量 12kg 20kg
利润 （元/kg）
在实例1中，假设产品C 的资源消耗量由 试分析最优解的变化情况。
1 2
2 变为 1
，
x4 x5 f
x1 1 1 5
•设XB=B1b是最优解，则有XB=B1b 0
•b的变化不会影响检验数 •b的变化量b可能导致原最优解变为非基可行解 设b’=b+ b 为保证最优基不变，必须满足XB=B-1b’ 0
1. 分析b1=16和b2=20时，最优基和最优解的变化
初始单纯形表 x1 x4 x5 f 1 1 5 x2 1 2 8 x3 1 2 6 x4 1 0 0 x5 0 1 0 bi
5 x1 8 x2
f
1 0 0
保持b1=12,分析b2在什么范围内 变化时，最优基不变?
2 B b' 1
1
1 12 1 b2
24 b 2 12 b 2
0
解之得：12≤b2≤24
即:当12≤b2≤24时，最优基不变
3.2 增加新约束条件的分析
产品 资源 原料甲 原料乙 原料丙 利润 （元/kg）
第五章线性规划问题的灵敏度分析
30 x2 x3 0 1/2 0 -1/2 10 0 -1
00 x4 x5 0 -1/5 1 4/5 0 1/5 0 -1/5
max
3 0.5
b1
min
4 0.5
a' 1,n1
a' 1,ni
a' 1, n m
设
B 1
a
'
k
,n1
a' k ,ni
a' k ,nm
a'
m,n1
a' m,ni
a'
m,nm
b b1,b2,, (bk bk ),bm T
Z0=CBTB-1b=CBb’ (2)灵敏度分析原理
（LP）最优基保持不变 σj ≤0 b’≥0
3
(3)分析结论
原问题 对偶问题
可行
可行
结论或继续计算的步骤 仍为最优解
可行 不可行 迭代求出最优（单纯形法）
不可行 可行 迭代求出最优（对偶单纯形法）
不可行 不可行 引入人工变量，编制新单纯形表 进行求解
1300 4.25 5 5.75 4
cj-zj -3.25 0 -2.75 0
00 0 x5 x6 x7 1 1/4 -1 0 1 -1 0 -3/4 1 0 0.25 1 0 -0.25 -1
x1, x3为非基变量 所以 c1 3.25, c1 4.25
线性规划敏感度分析
(1)
(2)
8
第3章 線性規劃：敏感度分析
當豪華球帶的單位利潤固定在CD=9， 標準球袋的 單位利潤CS的最佳區間為:
照樣，當CS=10固定不變時，我們可以求得CD的 最佳區間如下: -1.5≦ ≦-0.7
6.67≦CD≦14.29 此區間之涵義如何?
9
第3章 線性規劃：敏感度分析
令標準型球袋的利潤貢獻固定在CS=10，重複以上 的計算過程，可以得到豪華型球袋單位利潤的最 佳區間，此區間為6.67 CD 14.29。 只要豪華球袋的單位利潤(CD)介於6.67及14.29之 間，則Par公司問題之最佳解(S=540，D=252)仍然 最佳。
第3章 線性規劃：敏感分析
18
電腦輸出結果的最後一部分，在RIGHT HAND SIDE RANGES的下方，是所有右手邊值的區間。 將對偶價格有效的右手邊值區間稱為可行區間 (range of feasibility)。 整理如下：
只要右手邊值介於這些區間內，對偶價格就仍然 有效。若右手邊的值超出這些範圍，其對偶價格 將會改變。
敏感度分析：電腦解
增加1小時的切染工時可以 使目標函數值增加4.37美 元。 縫製和包裝/檢驗二限制式 有寬鬆變數。 增加1小時的細部製作工 時可以使目標函數值增 加6.94美元。
增加這方面的資源無法改 善目標函數的值。
最佳區間(range of optimality) CS為 6.30CS13.50 只要標準型球袋的 單位利潤介於6.30 美元和13.50美元之 間，S=540和D= 252 仍會是最佳解。
第三章
線性規劃：敏感度分析
第三章 線性規劃：敏感度分析
3.1 敏感度分析簡介 3.2 圖解敏感度分析 3.3 敏感度分析：電腦解 3.4 二個以上的決策變數 3.5 電子通訊公司問題
线性规划的灵敏度分析与应用知识点总结
线性规划的灵敏度分析与应用知识点总结线性规划是一种重要的数学优化方法，它通过建立一个数学模型，根据特定的约束条件和目标函数，求解出使目标函数取得最大（最小）值的决策变量的取值。
而灵敏度分析则是针对线性规划模型中的参数进行变动时，目标函数值和决策变量的取值产生的变化进行评估和分析。
本文将对线性规划的灵敏度分析进行总结，并探讨其在实际应用中的一些重要知识点。
一、灵敏度分析的基本概念和原理灵敏度分析是指在线性规划模型中，通过变动参数的大小和取值范围，分析其对目标函数值和决策变量的解产生的影响程度。
主要包括以下几个方面的分析内容：1. 目标函数系数的灵敏度分析目标函数系数表示决策变量对目标函数的贡献程度，通过改变目标函数系数可以分析目标函数值的变动情况。
当目标函数系数发生较大变动时，可能导致最优解的决策变量发生改变。
2. 约束条件右侧常数的灵敏度分析约束条件的右侧常数表示资源的可利用程度，通过改变约束条件右侧常数可以分析资源的利用程度对决策变量解的影响。
当约束条件右侧常数发生较大变动时，可能会改变最优解的取值范围。
3. 决策变量的灵敏度分析决策变量的灵敏度分析可以评估决策变量值的改变对目标函数值和约束条件的违背程度产生的影响。
通过改变决策变量的取值范围，可以判断最优解的稳定性和可行性。
二、灵敏度分析的具体应用灵敏度分析在实际应用中有广泛的应用价值，主要包括以下几个方面：1. 评估模型的可靠性通过灵敏度分析，可以评估线性规划模型中参数的变动对解的影响程度，从而判断模型的可靠性和稳定性。
当参数变动对解的影响较小时，说明模型具有较好的鲁棒性。
2. 制定决策方案灵敏度分析可以帮助决策者评估决策方案的可行性和稳定性，从而选取出最优的决策方案。
在实际应用中，决策者可以通过改变参数的取值范围，确定决策方案的合理范围。
3. 资源优化分配通过灵敏度分析，可以评估资源可利用程度的变动对决策变量的解产生的影响。
在资源有限的情况下，通过调整资源的利用程度，实现资源的优化分配。
线性规划增减约束条件的灵敏度分析
线性规划增减约束条件的灵敏度分析设线性规划问题min f=CXAX=bX≥0(1)的最优单纯形表为它为实际操作提供最优方案。
由于现实世界是不断发展变化的，体现在约束条件上，增加或减少约束条件则是随时可能发生的。
这将导致最优方案的变化，如不与时俱进，及时做相应调整，必将造成经济损失。
本文在灵敏度分析的基础上，面对增减约束条件的情形，给出新最优方案的获得方法。
1 增加约束条件设增加的一个约束条件为则应在原问题的最优表1中按（2）提供的数据，增加一行，然后用消去法，把这行中基变量的系数消为0，这显然对检验数没有影响，从而可化为仅缺少一个基变量且的问题，故可沿用对偶单纯形法<sup>［1］</sup>或联合算法<sup>［2］</sup>的规则，于新增之行确定主元，实行Gauss消元，便得一正则解，继之用对偶单纯形法迭代求优。
如果增加的约束不止一个，可一并处理。
由于比较简单这里不详述，参见文献［3］。
2 减少约束条件对于减少约束条件的问题，大多的教材<sup>［4］［5］</sup>和其它文献［6］都没有涉及。
事实上它和增加约束一样重要。
减少约束条件还有特殊的经济意义。
对于资源利用问题，它意味着解除对某些资源的限制；而在工厂里又相当于去掉一道工序；这些都为创新增值提供途径或指示方向<sup>［7］</sup>；故值得详细讨论之。
当需要减少一个约束时，并不是将最优表中，与该约束相应的行去掉就可以的，因为此约束的影响已通过Gauss消元施加在其它各行里了。
那么，如不重新求解，应如何利用最优表而达到去掉某些约束的目的呢？设初始单纯形表中含有一个单位矩阵，不妨假定它是由辅助变量（松弛变量，剩余变量或人工变量等）形成，而最优单纯形表为：表2 初始单纯形表中含有单位矩阵的最优表现在要去掉原约束条件AX=b中的一个约束，不妨设为第t个约束，则对上表应采取如下步骤：考虑原第t个约束所加辅助变量这一列，即（n+t）列，若为基变量，则去掉最优表中第t个约束行和（n+t）列即可（此时最优解与最优值均不变）。
第三章 线性规划的灵敏度分析和最优解的解释
3.1 灵敏度分析简介
灵敏度分析是研究线性规划的参数(非可控输入)发生 变化对最优解的影响程度
线性规划的参数包括：
• 目标函数系数 • 约束条件右侧值 • 约束条件系数矩阵
最优解中包含的信息：
• 目标函数值 • 决策变量值 • 递减成本(reduced cost) • 松弛/剩余变量
4
3.1 灵敏度分析简介
利用Lingo 软件做灵敏度分析
16
17
利用Excel做灵敏度分析
Microsoft Excel 16.0 敏感性报告 工作表: [数据模型与决策第3章例题.xlsx]第三章例题1 报告的建立: 2021/5/29 10:48:56
可变单元格
单元格 $B$15 $C$15
名称 决策变量值 x1 决策变量值 x2
作者
John Loucks
St. Edward’s University
1
第三章 线性规划的灵敏度分析和最优解的解释
3.1 灵敏度分析简介 3.2 目标函数系数变化的分析 3.3 约束条件右端值变化的分析 3.4 传统灵敏度分析的局限性
2
第三章 线性规划的灵敏度分析和最优解的解释
3.1 灵敏度分析简介 3.2 目标函数系数变化的分析 3.3 约束条件右端值变化的分析 3.4 传统灵敏度分析的局限性
6
x1 < 6
2x1 + 3x2 < 19 x1 + x2 < 8
x1, x2 > 0
固定x2的系数7，改变x1 的系数
5
最优解:
Max 14/3x1 + 7x2
4
x1 = 5, x2 = 3
3
Max 7x1 + 7x2
第二章线性规划灵敏度分析
Chapter 2 灵敏度分析 然而在一般线性规划问题中遇到非对称形式时我们的处理 如下： 非对称形式的对偶规划——一般称不具有对称形式的一对 线性规划为非对称形式的对偶规划。 对于非对称形式的规划，可以按照下面的对应关系直接给 出其对偶规划。 （1）将模型统一为“max，≤”或“min，≥” 的形式，对 于其中的等式约束按下面（2）、（3）中的方法处理； （2）若原规划的某个约束条件为等式约束，则在对偶规划 中与此约束对应的那个变量取值没有非负限制； （3）若原规划的某个变量的值没有非负限制，则在对偶问 题中与此变量对应的那个约束为等式。
Chapter 2 灵敏度分析
单纯形法矩阵 的描述
单纯形法的矩阵描述？ maxZ=CX
标准型
AX=b 已知：A、b、c
A=(NB) X0
B=E
Chapter 2 灵敏度分析
用非基变量表示基变量 Z= CBB-1b + (CN - CBB-1 N)XN XB =B-1 b-B-1 NXN CBB-1b CN - CBB-1 N O
对偶问题提出
问题一：某公司在计划期内要安排生产I II两种产品 已知生产单位产品所需的设备台时及A B两种原材 料的消耗如表所示，该工厂每生产一件产品I可获 利2元，每生产一件产品II可获利3元，问应该如 何安排计划使该工厂获利最多？
如何安排方案？
有哪些 方面可以 考虑呢？
Chapter 2 灵敏度分析
约束条件右端项
Chapter 2 灵敏度分析
小练习
写出下列问题的对偶问题
1. m i nZ 2 x1 2 x 2 4 x 3 2 x1 3 x 2 5 x 3 2 3 x1 x 2 7 x 3 3 x1 4 x 2 6 x 3 5 x1 , x 2 , x 3 0 2 .m i nZ 3 x1 2 x 2 3 x 3 4 x4 x1 2 x 2 3 x 3 4 x4 0 x 2 3 x 3 4 x 4 5 2 x1 3 x 2 7 x 3 4 x4 2 x 0，x 0, x 、x 无约束 2 3 4 1
第二章线性规划的灵敏度分析
4x1 16 4x2 12
x1,x2 0
解: 下表为最优单纯形表
Ci
2
3
CB
XB
x1
x2
2
x1
1
0
0
x5
0
0
3
x2
0
1
σj
0
0
求当b1在由8变动为
12时，原最优解是否 保持不变，若变动求 出新的最优解。
0
0
x3
x4
0
1/4
-2
1/2
1/2
-1/8
-3/2
-1/8
0
B-1b
x5
参数线性规划
5.4 参数线性规划
在线性规划的实际应用中，由于某种原因，线性规划 问题的目标函数的价值系数C和约束条件的右端常数 b会随着某个参数而连续变动。
当数据随着某个参数连续变化时，研究其对最优解的 影响，即为参数线性规划问题。
目标函数的价值系数含有参数的线性规划问题 右端常数含有参数的线性规划问题
-2 x1 1
0
7/5 -1/5 -2/5 11/5
σj
0 0 -9/5+Δc3 -8/5 -1/5 -28/5
从表中看到σ3= c3+Δc3-(c2×a13+c1×a23 ) 可得到Δc3 ≤ 9/5 时，原最优解不变。
(2) 若 ck 是基变量的系数
设 c'k ck Δck ,为 基 变 量 的 价 值 系 数 ，则
下表为最优单纯形表,考虑基变量系数c2发生变化
Ci
2
CB
XB
x1
2
x1
1
0
线性规划的灵敏度分析
,
b3
33
5
1
,
5 1
,
15
1
5,5,15
故有 15 b3 5,b3 在[0，20]上变化时最优基不变。
若线性规划模型是一个生产计划模型，当求出cj或bi 的最大允许变化范围时，就可随时根据市场的变化来掌握 生产计划的调整。
灵敏度分析方法还可以分析工艺系数aij的变化对最优解 的影响，对增加约束、变量或减少约束、变量等情形的分 析，下面以一个例子来说明这些分析方法。
（8）增加新约束 5x1 x2 2x3 10
§2.4 灵敏度分析
Ch2 Dual Problem
Sensitivity Analysis
2023年2月1日星期三 Page 19 of 34
【解】加入松弛变量x4、x5、x6，用单纯形法计算，最优表如2－7所 示。
表2－7
Cj
2 -1
4
0
0
0
b
CB XB x1
x2
x3
x4
x5
x6
4 x3 0 5/7
1
1/7 3/7
0
2
2 x1 1 2/7
0 －1/7 4/7
0
1
0 x6 0 －2
0
0
－1
1
1
λj
0 －31/7 0 －2/7 －20/7 0
§2.4 灵敏度分析 Sensitivity Analysis
Ch2 Dual Problem
2023年2月1日星期三 Page 20 of 34
§2.4 灵敏度分析 Sensitivity Analysis
cj
－2 1
－4
0
第3章线性规划的灵敏度分析
又获得了10个小时的切割与印染时间，我 们可以扩展问题的可行域，如图3-3所示。可 行域变大了，现在我们考虑是否有新的解会使
目标函数值更大。运用图解法可以看出，极点 S=527.5，D=270.5是最优解点。新的目标函数 值为10×527.5 + 9×270.5=7711.75美元，比原 来利润增加了7711.75 – 7688.00=43.75美元。 因此，利润的增加率为43.75/10=4.375美元/小 时。
在式（3-2）中，我们计算出只要满足 下列条件，极点③仍然是最优点
如果CS升高到13美元，同时使CD降低到8美 元，新的目标函数斜率将变成
由于这个值要小于下限，因此当前的解 S=540,D=252不再是最优的。把CS=13，CD =8代入，可得出极点②是新的最优解。
观察最优范围，我们得出结论，无论是
（3-2） 为了计算标准袋利润最优的范围，我们 假设高级袋的利润CD＝9，代入式（3-2）， 我们得到： 从左边的不等式，我们得到
因此
从右边的不等式，我们得到
因此， 综合标准袋利润CS的极限，标准袋利润最优 范围为：
6.3≤CS≤13.5
在最初Par公司的问题中，标准袋的利润 是10美元。最优解是540个标准袋和252个高级 袋。标准袋利润CS的最优范围告诉Par公司的 管理者：在其他系数不变的情况下，只要标准 袋的利润在6.3美元与13.5美元之间，540个标 准袋和252个高级袋总是最优产量。然而值得 注意的是，即使产量不变，总的利润也可能由 于每一个标准袋利润的变化而变化。
灵敏度分析还可以用来分析模型中的系
数哪个更能左右最优解。比如，管理层认为 高级袋的利润9美元只是一个估计量。如果 通过灵敏度分析得到，当高级袋的利润在 6.67美元与14.29美元之间变化时，模型的最 优解都是540个标准袋和252个高级袋，那么 管理层就必须思考每个高级袋获利9美元这 个估计量的可信程度有多大了。管理层希望 知道如果高级袋的利润下降，最优产量会怎 样变化。
线性规划灵敏度分析
淮北师范大学2011届学士学位论文线性规划灵敏度分析学院、专业数学科学学院数学与应用数学研究方向运筹学学生姓名陈红学号20071101008指导教师姓名张发明指导教师职称副教授2011年4月10日线性规划的灵敏度分析陈 红（淮北师范大学数学科学学院，淮北，235000）摘 要本文主要从价值系数j c 的变化，技术系数ij a 的变化，右端常数i b 的变化以及增加新的约束条件和增加一个新变量的灵敏度这几个方面来进行研究；资源条件是线性规划灵敏度分析中的主要应用内容,而对于资源条件b 的一个重要应用是：“影子价格问题”的实际应用，最后简述了线性规划在经济及管理问题上的典型应用和从求解例题的图解法揭示了最优解的一些重要特征。
关键词 单纯形法，灵敏度分析,最优解，资源条件，价值系数Sensitivity Analysis of Linear ProgrammingChen Hong(School of Mathematical Science,Huaibei Normal University ，Huaibei,235000)AbstractThis thesis is mainly from the variety of the cost coefficient ‘j c ’, the variety of technology coefficient ‘ij a ’， the var iety of the resources condition‘i b ’and increase the new restraint and new variable to analytical linear programming of sensitivity analysis 。
This thesis is mainly based on the simplex method and dual simplex method of linear programming to system analytical the influence of the variety upon the optical solution of the coefficient of the simplex table 。
线性规划敏感度分析
第3章 線性規劃：敏感度分析
電子通訊公司問題的完整線性規劃模式如下：
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第3章 線性規劃：敏感度分析
最佳解為公司提供48,450美元的最大利潤。決策變數的最 佳值為M=25, B=425, R=150, D=0。因此，最佳策略是將 425件的產品集中在商業設備經銷通路。分配25件給船舶 設備的經銷商，滿足與全國連鎖零售商簽訂的150件。不 應使用直接郵購的通路。
負的對偶價格 表示，限制式 右手邊值的增 加，反而使目 標函數值更差。
如果對偶價格 是負的，決策 者應適度減少 限制式的右手 邊值。
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第3章 線性規劃：敏感度分析
M&D化學公司限制式右手邊值的可行區間整理 如下：
只要右手邊值介於這些區間內，最佳解中的對偶 價格就仍然有效。
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第3章 線性規劃：敏感度分析
(1)
(2)
8
第3章 線性規劃：敏感度分析
當豪華球帶的單位利潤固定在CD=9， 標準球袋的 單位利潤CS的最佳區間為:
照樣，當CS=10固定不變時，我們可以求得CD的 最佳區間如下: -1.5≦ ≦-0.7
6.67≦CD≦14.29 此區間之涵義如何?
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第3章 線性規劃：敏感度分析
令標準型球袋的利潤貢獻固定在CS=10，重複以上 的計算過程，可以得到豪華型球袋單位利潤的最 佳區間，此區間為6.67 CD 14.29。 只要豪華球袋的單位540，D=252)仍然 最佳。
敏感度分析：電腦解
增加1小時的切染工時可以 使目標函數值增加4.37美 元。 縫製和包裝/檢驗二限制式 有寬鬆變數。 增加1小時的細部製作工 時可以使目標函數值增 加6.94美元。
增加這方面的資源無法改 善目標函數的值。
第十五章 线性规划的灵敏度分析
第十五章 线性规划的灵敏度分析15.1 边际值(影子价格) i q以(max,≤)为例，边际值(影子价格其实指在最优解的基础上，当第i 个约束行的右端项 b i 减少一个单位时，目标函数的变化量1()()mi i i f x b --===∑11B B C B b C B()(),i i i q f x b --=∂∂=1B C B 偏导数，机会成本 ()n i i z --++==11B n i B C B P C B 因此 n ii n iz q z ++⎧=⎨-⎩机会成本的另外表达形式11()mmj j i ij i ij i i z a q a --=====∑∑11B BC B P C B例15.1.112341234123412341234max ()53423280054341200..34531000,,,0f x x x x x x x x x x x x x s t x x x x x x x x =++++++≤⎧⎪+++≤⎪⎨+++≤⎪⎪≥⎩其最优单纯表形式如下：表15.1.1关于影子价的一些说明影子价是资源最优配置下资源的理想价格，资源的影子价与资源的紧缺度有关松弛变量增加一个单位等于资源减少一个单位 剩余变量增加一个单位等于资源增加一个单位资源有剩余，在最优解中就有对应松弛变量存在，且其影子价为 0 影子价为 0，资源并不一定有剩余15.2 价值系数 C j 的灵敏度分析● c j 变动可能由于市场价格的波动，或生产成本的变动剩余变量松弛变量，人工变量● c j 的灵敏度分析是在保证最优解的基变量不变的情况下，分析c j 允许的变动范围∆c j● c j 的变化会引起检验数的变化，有两种情况: 非基变量对应的价值系数变化，不影响其它检验数 基变量对应的价值系数变化，影响所有非基变量检验数15.2.1非基变量对应的价值系数的灵敏度分析要保持 -()0j j j z c c +∆≥ 故有 j j j c z c -∞<∆≤- 例15.2.112341234123412341234max ()53423280054341200..34531000,,,0f x x x x x x x x x x x x x s t x x x x x x x x =++++++≤⎧⎪+++≤⎪⎨+++≤⎪⎪≥⎩表15.2.113,x x 为非基变量，所以要保持 -()0j j j z c c +∆≥ 故有j j j c z c -∞<∆≤-15.2.2 基变量对应的价值系数的灵敏度分析由于基变量对应的价值系数 c j 在C B 中出现，因此它会影响所有非基变量的检验数。
线性规划敏感度分析
第三章線性規劃敏感度分析本章內容：3.1 敏感度分析簡介3.2 圖解敏感度分析3.3 敏感度分析:電腦解3.4 多於二個的決策變數3.5 電子通訊公司問題1⏹3.1 敏感度分析簡介●敏感度分析（Sensitivity analysis）是研究線性規劃的係數如何改變會影響到最適解。
用敏感度分析，我們可以回答以下問題：1.目標函數係數的改變對最適解有何影響？2.限制式右手邊值的改變對最適解有何影響？因為敏感度分析是關切以上的改變如何影響最適解，所以敏感度分析一定是在原來問題的最適解求出來之後，才會進行分析，就因為這種原因，敏感度分析也常稱為事後分析（postoptimality analysis）。
●敏感度分析對決策者很重要的原因，是因為真實問題是處2在一個動態的環境。
原物料的價格會變動，需求波動，公司機器汰舊換新，勞力市場變化生產成本，員工離職等。
如果在這樣一個環境之中用線性規劃，我們會體會到係數隨時間而變動，一個管理者需要瞭解這樣的改變對線性規劃最適解有怎樣的影響。
敏感度分析就是不需要重新解新的線性規劃問題而能提供這些資訊的分析方法。
例：Par公司問題的數學模式：Max 10S＋9DSubject to（s.t）7/10S＋1D≦630切染1/2S＋5/6D≦600 縫製1S＋2/3D≦708 細部製作31/10S＋1/4D≦135檢驗及包裝S，D≧0其最適解S＝540個標準型球袋，D＝252個豪華型球袋，敏感度分析告訴我們：1.假如球袋價格下跌，每個標準型球袋的利潤由10元降至8.5元。
根據敏感度分析，可得知540個標準型球袋及252個豪華型球袋的生產計畫是否仍是最適策略。
如果是的話，重新解一個以8.5S＋9D為目標函數的線性規劃問題將是多餘的。
2.敏感度分析也可決定線性規劃問題中係數的關鍵性，假設管理者相信每個豪華型球袋9元的利潤只是一個4粗略的估計值。
（1）如果敏感度分析的結果顯示，當豪華型球袋的利潤介於6.67元與14.29元之間時，540個標準型球袋和252個豪華型球袋的生產策略都會是最適的。
线性规划系数矩阵变化的灵敏度分析
数统学院毕业论文课题名称：有关矩阵多项式的结论总结与进一步探讨学生姓名胡旭强学号专业数学与应用数学班级09级数学本科指导教师2011 年12 月15 日线性规划系数矩阵变化的灵敏度分析摘要：本文利用分块矩阵法，讨论了线性规划模型中，系数矩阵的变化及变量增加时，LP 问题最优解的变化，给出一般了一般处理方法,并在此理论基础上举出具体的例子来验证。
关键词：线性规划；系数矩阵；灵敏度分析；单纯形法0 引言在线性规划的灵敏度分析中，一般给出使最优基保持不变时，某个消耗系数ij a 的变化范围。
本文针对常用的追求最大利益的资源最优利用模型，讨论系数矩阵A 中增加和减少约束条件及增加变量时对最优解的影响。
1:max LP Z CX = {............................(1)AX b X S t=≥(1)的分块矩阵形式为{(,),0max (,).BD XB B D X D B B X B D XC C b X X Z C C S t⎡⎤=⎣⎦≥⎡⎤=⎣⎦…………………………………(1-1)若B 为最优基，则对（1）施行单纯形法有：111111...................(12)0BDBD D B D I b I B D B D B b B b C C C Z C C B D Z Z B b ------⎛⎫⎛⎫⎛⎫→→- ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭若10D B C C B D --≤（称为检验数），10B b -≥,最优解为()1*B bX -=表（1—2）称为LP 问题（1）的最终表若LP 问题（1）的约束条件有增减时相应地最优解也可能发生变化。
下面分别加以讨论。
1 增加约束条件[1]LP 设（1）增加一个不等式约束：11m m A X b ++≤其中1m A +为n 维行向量()()()()11,11,21,11,,,m m m m n m m BD A a a a A A ++++++==增加一个约束条件，或使可行域减小，或使可行域保持不变，绝不可能使可行域增大，所以下面有两种情况：1.1若原问题（1）的最优解满足这个新约束条件，则它就是增加约束条件的新LP 问题的最优解。
第五讲线性规划灵敏度分析
价值系数c发生变化：
考虑检验数 j=cj–CBB-1Pj， j =1,2,……,n 1. 若cj是非基变量的系数：
设cj变化为 cj + cj ： 则j’= cj + cj –CBB-1Pj = j+ cj
若使当前最优解不变，则j’≤0
即：cj + cj ≤ CBB-1Pj =YPj
例：分析原计划生产产品的工艺结构发生变化。仍以例1为例
，若原计划生产产品甲的工艺结构有了改进，这时有关它的技术系数
向量变为P1′=(1,2,0)T，试分析对原最优计划有什么影响?
解：变化后的系数列向量记为P1′，则其在最终表的列向量数字
为：
B1P1' 02
0.25 01 0.5 0.5 12 1
0.5 0.12500 0.25
0
-2 1/2 1
4
x2
2
1/4 1 1/2 -1/8 0
cj-zj
1/2 0
-2 -1/4 0
cj→
3
4
0
0
0
CB
XB
B－1b
x1
x2
x3
x4
x5
3
x1
8
0
x5
12
4
x2
0
cj-zj
1
0
0 1/2 0
0
0
-2 1
1
0
1 1/2 -1/4 0
0
0
-2 -1/2 0
由上表可得：原问题和对偶问题都得到了最优解。
第五讲线性规划灵敏 度分析
2022/11//2233
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