广工线性代数历年真题

七、(8 α 分)已知向量组 1,α 2 ,,α m 线性无关，且 β
=α 1
+α 2
+ + α ，证明向量组 m
β − α ， β − α ，, β − α 也线性无关
1
2
m
广东工业大学试卷用纸，共3页，第3页
姓 名：
线
学 号：
课程名称:线性代数 （B）
试卷满分 100 分
考试时间: 2008 年 6 月 20 日 (第 17 周 星期五 )
组有通解
.
0 2 −1
三、（10 分）设 A = 1 1 2 ，求 A−1 .
−1 −1 −1
3 1 −1 2
四 、（ 10 分 ） 设 D = − 5 1 20
3
−4
,
D
的
(i,
j)
元的代数余子式记作
A ij
，求
1 −1
1 −5 3 −3
广东工业大学试卷用纸，共3页，第2页
A + 3A − 2A + 2A .
⎪ ⎨百度文库
2
x1
+
3
x2
+ (λ
+ 2) x3
=3
⎪ ⎩
x1
+ λ x2
− 2x3
=0
问： λ 取何值时，此方程组（1）有唯一解；（2）无解；（3）有无穷解？并在有无穷
多解时求通解。
⎛1 0 1⎞
六、（13
分）设矩阵
A
=
⎜ ⎜
0
1
0
⎟ ⎟
，（1）试问
A
能否对角化，并说明理由。（2）若
A
⎜⎝ 1 0 1⎟⎠
订
专 业：
装
学 院：
广东工业大学试卷用纸，共3页，第1页
5、 设A是n阶矩阵，r( A) = r < n，则在A的n个行向量中
[
]
A 必有r个行向量线性无关
B 任意r个行向量线性无关
C 任意r个行向量构成极大无关组
D 任意一个行向量都可由其余r个行向量线性表出
6 、 设A是3阶矩阵，A的特征值为 1，－1，2，则在下列矩阵中为 可 逆 矩 阵 的 是
−1 3 1 3
2 −4 −1 −3
Aij ，求 A11 + A12 + A13 + A14
⎛1 −1 0 ⎞
⎛ 1 −1⎞
四、（11 分） 求解矩阵方程 AX = B，其中 A = ⎜⎜1
0
−1⎟⎟ ，B=
⎜ ⎜
2
0
⎟ ⎟
。
⎜⎝1 0
0
⎟ ⎠
⎜ ⎝
5
−3⎟⎠
五、（13 分）设有线性方程组
⎧ x1 + 2 x2 + x3 =1
r2 − r1 0 0 −1 −6
r3 + r1 0 4
2
---------------------------------------------7 分
4
r4 − 2r1 0 −6 −3 −5
四、（11 分）
0 −1 −6 = 4 2 4 = 4 -----------------------------------------------11 分
C 、 一个小于 n ,一个等于 n 4、设 A ，B,C 为 n 阶方阵，则有
D 、 都等于 n
[]
A 、 若 AC = BC ，则 A = B
B 、 ABC = CBA
C 、 ABC = CBA
D 、 若 ( A − B)C = 0 则 A = B或C = 0
订
专 业：
装
学 院：
广东工业大学试卷用纸，共3页，第1页
1
2
3
2 0 0
4 0 0
3、设 A = 0 3 1 与 B = 0 2 0 相似，则 x ＝
0 1 x
0 0 2
4、 设n阶方阵A满足A2 − 2 A − 5E = 0,则( A + E)−1 =
5、非齐次线性方程组
Ax
=
b
1 的增广矩阵经初等行变换后为 0
0 2
0 0
0 0
1 4 ，则方程
0 0 3 6 − 3
组有通解
.
0 2 −1
三、（10 分）设 A = 1 1 2 ，求 A−1 .
−1 −1 −1
3 1 −1 2
四 、（ 10 分 ） 设 D = − 5 1 20
3
−4
,
D
的
(i,
j)
元的代数余子式记作
A ij
，求
1 −1
1 −5 3 −3
广东工业大学试卷用纸，共3页，第2页
能对角化，则求可逆矩阵 P 和对角矩阵 Λ，使得 P−1AP = Λ .
七、(8 分) 已知向量组α1 ,α2 ,...,α s （ s ≥ 2 ）线性无关，设 β1 = α1 +α2 ， β2 = α 2 +α 3， β3 = α3 +α4 ,......, βs−1 = αs−1 + αs , βs = α s + α1 ，讨论向量
2
3
2 0 0
4 0 0
3、设 A = 0 3 1 与 B = 0 2 0 相似，则 x ＝
0 1 x
0 0 2
4、 设n阶方阵A满足A2 − 2 A − 5E = 0,则( A + E)−1 =
5、非齐次线性方程组
Ax
=
b
1 的增广矩阵经初等行变换后为 0
0 2
0 0
0 0
1 4 ，则方程
0 0 3 6 − 3
A、E − A B、E + A C、2E + A D、2E − A
二、填空题：（每题 4 分，共 20 分）
1、 设A为3阶矩阵, A = 1 ,则 (2 A)−1 − 5A∗ =
.
2
2、 已知α = (1,4,3)T ,α = (2,t,−1)T ,α = (−2,3,1)T 线性相关,则t =
1
5、 设A是n阶矩阵，r( A) = r < n，则在A的n个行向量中
[
]
A 必有r个行向量线性无关
B 任意r个行向量线性无关
C 任意r个行向量构成极大无关组
D 任意一个行向量都可由其余r个行向量线性表出
6 、 设A是3阶矩阵，A的特征值为 1，－1，2，则在下列矩阵中为 可 逆 矩 阵 的 是
[]
姓 名：
线
学 号：
课程名称:线性代数 （B）
试卷满分 100 分
考试时间: 2008 年 6 月 20 日 (第 17 周 星期五 )
一、 选择题（每题 4 分，共 24 分）
a11 a12 a13
4a11 5a11 − 2a12 a13
1、设 D = a21 a22 a23 = m ≠ 0 ，则 4a21 5a21 − 2a22 a23 =
一、单项选择题（每小题 4 分，共 20 分） 1、对任意 n 阶方阵 A、B，总有 （ D ）.
(A) | A + B |=| A| + | B |；
(B) ( AB)T = AT BT ；
(C) ( A + B)2 = A2 + 2AB + B 2 ；
(D) | AB | + | BA| .
2、设 A、B、C 都是 n 阶方阵，则下列命题正确的是（ D ）.
A + 3A − 2A + 2A .
31
32
33
34
2 0 1 五、(16 分)设 A = 3 1 x 可相似对角化，求 x ，并求出可逆矩阵 P ，使得 P−1AP = Λ ，
4 0 5
其中 Λ 是对角矩阵。
六、（12 分）设 A = diag (1 , 1 , 1) ，求满足关系式 A−1BA = 6 A + BA 的三阶矩阵 B . 347
[]
A、E − A B、E + A C、2E + A D、2E − A
二、填空题：（每题 4 分，共 20 分）
1、 设A为3阶矩阵, A = 1 ,则 (2 A)−1 − 5A∗ =
.
2
2、 已知α = (1,4,3)T ,α = (2,t,−1)T ,α = (−2,3,1)T 线性相关,则t =
(D)η1 +η2 ,η2 +η3,η3 +η1,η1 +η 2 +η 3.
5、设 A 是 n 阶正交矩阵，则下列结论不正确的是（ B ）
（A） A−1 = AT ; （B）A 的行列式等于 1
（C）A 的行向量都是单位向量且两两正交； （D）A 的列向量都是单位向量且两两正交.
二、填空题：（每小题 4 分，共 24 分）
）.
2
⎡2 0 0⎤
⎡4 0 0⎤
6、设 A = ⎢⎢0
a
1
⎥ ⎥
与
B
=
⎢⎢0
2
0⎥⎥ 相似，则 a =(
).
⎢⎣0 1 3⎥⎦
⎢⎣0 0 2⎥⎦
广东工业大学试卷用纸，共 页，第 页
2 6 −3 −4
1 1 0 −5
三、（11 分）已知 4 阶行列式 D =
， D 的 (i, j) 元的代数余子式记作
（A） 若 A ≠ 0且B ≠ 0,则AB ≠ 0 ；
（B） 若 AB=CB，则 A=C； （C） 若 AB 不可逆，则 A，B 都不可逆； （D） 若 AB 可逆，则 A，B 都可逆. 3、设向量组 A: α1,α2,α3 的秩为 2，则下面说法正确的是（ D ） (A)向量α1可由α2 ,α3 线性表示； (B)向量组 α1 ,α2 ,α3 线性无关； (C)部分组α2 ,α3 是 α1 ,α2 ,α3 的一个最大无关组 (D)以上说法都不对
31
32
33
34
2 0 1 五、(16 分)设 A = 3 1 x 可相似对角化，求 x ，并求出可逆矩阵 P ，使得 P−1AP = Λ ，
4 0 5
其中 Λ 是对角矩阵。
六、（12 分）设 A = diag (1 , 1 , 1) ，求满足关系式 A−1BA = 6 A + BA 的三阶矩阵 B . 347
3、设
A
为
3
阶方阵，且|A|=2，则
⎛ ⎜ ⎝
1 −
3
−1
A
⎞ ⎟
⎠
+
A*
=（
）.
4、设α1 = (1,1,1)T ,α2 = (1, 2, 3)T ,α3 = (1, 3,t )T ，问当 t 满足（
） 时 ， α1 ,α2 ,α3 线
性相关.
5、已知三阶矩阵 A 的特征值为-1，1， 1 ，则行列式| A−1 + 2E |=（
一、 选择题（每题 4 分，共 24 分）
a11 a12 a13
4a11 5a11 − 2a12 a13
1、设 D = a21 a22 a23 = m ≠ 0 ，则 4a21 5a21 − 2a22 a23 =
a31 a 32 a33
4a31 5a31 − 2a 32 a33
A 、− 40m
B 、 40m
⎛4 0 0⎞
1、设矩阵
A=
⎜ ⎜
0
1
1⎟⎟ ，则 A−1 = （
）
⎜⎝ 0 2 3⎟⎠
a11 a12 a13
a11 2a11 − 3a12 3a13
2、若 D= a21 a22 a23 =1，则 D1= a21 2a21 − 3a22 3a23 = （
）
a31 a32 a33
a31 2a31 − 3a32 3a 33
C 、 − 8m
[]
D 、 20m
2、齐次线性方程组
2x1x+2
x +x
2
3
−x −x
3
4
=0
的基础解系所含解向量的个数为（
=0
）
A 、1
B 、2
C 、3
D 、4
3、 设A, B都是n阶非零矩阵,且AB = 0,则R( A)和R(B)的下列结论正确的是
[]
A 、 必有一个等于 0;
B 、 都小于 n
组 β1, β2 ,..., βs 的线性相关性。
解答
一、单项选择题（每题 4 分，共 20 分） 1、D； 2、D； 3、D； 4、B；
二、填空题（每题 4 分，共 24 分）
5、B；
广东工业大学试卷用纸，共 页，第 页
⎛1
1、
⎜ ⎜
⎜
4 0
⎜0 ⎜
0
3 −2
0
⎞ ⎟
⎟ −1⎟
；
1⎟
2、
−9 ；
3、 − 1 2
；
4、 t = 5 ；
⎟
5、12 ； 6、 a = 3
⎝
⎠
三、（11 分）法一：
1111
11 解： A11 + A12 + A13 + A14= −1 3
0 −5
--------------------------------------------4 分
13
2 −4 −1 −3
11 1 1
[]
A 、 必有一个等于 0;
B 、 都小于 n
C 、 一个小于 n ,一个等于 n 4、设 A ，B,C 为 n 阶方阵，则有
D 、 都等于 n
[]
A 、 若 AC = BC ，则 A = B
B 、 ABC = CBA
C 、 ABC = CBA
D 、 若 ( A − B)C = 0 则 A = B或C = 0
七、(8 α 分)已知向量组 1,α 2 ,,α m 线性无关，且 β
=α 1
+α 2
+ + α ，证明向量组 m
β − α ， β − α ，, β − α 也线性无关
1
2
m
广东工业大学试卷用纸，共3页，第3页
姓 名：
线
学 号：
课程名称:
线性代数 （A）
试卷满分 100 分
考试时间:2008 年 6 月 20 日 (第 17 周 星期五 )
订
专 业：
装
学 院：
广东工业大学试卷用纸，共 页，第 页
4、设η1,η2,η3是齐次线性方程组 AX = O的一个基础解系，则（ B ）也是它的基础 解系
（A）η1 −η3,η2 −η1,η3 −η2 ； （B）η1 +η2 ,η2 −η3 ,η1 +η2 +η3 ；
(C)η1 ,η2 −η3 ;
a31 a 32 a33
4a31 5a31 − 2a 32 a33
A 、− 40m
B 、 40m
C 、 − 8m
[]
D 、 20m
2、齐次线性方程组
2x1x+2
x +x
2
3
−x −x
3
4
=0
的基础解系所含解向量的个数为（
=0
）
A 、1
B 、2
C 、3
D 、4
3、 设A, B都是n阶非零矩阵,且AB = 0,则R( A)和R(B)的下列结论正确的是