圆锥曲线的光学性质及其应用公开课优质课获奖课件

1、完成双曲线、抛物线光学性质的证明,形成报告；
2、已知椭圆C
:
x2 +
25
y2 9
1, F1, F2分别是其左右焦点，
点Q(2,1), M是椭圆上的一动点，求 | MF1 | | MQ |的
取值范围;
3、思考：你能将圆锥曲线的光学性质进行组合设计出 具有实用价值的作品吗？
双曲线光学性质的应用
通过折纸初步认识椭圆的光学性质
提出假设
利用几何画板进行验证
计算机模拟
将实际问题转化为数学问题并证明
理论证明
椭圆的光学性质在生活中的应用
实际应用
圆锥曲线的光学性质
1、从抛物线焦点发出的光线，经过抛物线上 的一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴。
2、从椭圆上一个焦点发出的光线，经过椭圆 反射后，反射光线汇聚于椭圆的另一个焦点。
床头灯
发散光的特点是范围 变广、强度变弱。
柔光箱
视觉上的效果 柔和、不刺眼。
转角镜
远处的物体在虚焦点处 成正立、缩小的虚像，
用于扩大视野。
反射式天文望远镜
主要用于天体物理的工 作，遥远的星体成像于
焦点。
抛物线光学性质的应用
圣火采集
将火种置于焦点处
探照灯
远光灯
把光源放置于焦点处， 经过反射形成平行光线。
a2 y0 x0 a2 y0c b2 x0 y0 b2 x02 b2 x0c a2 y02
c2 x0 y0 a2 y0c b2 x0c a2b2
y0c b2
tan F2PA
1 2
思路3：斜率
解：记F1(c, 0), F2(c, 0),
y
当P为(0, b)时，根据椭圆的对称性显然成立.
y0 (1, k
a2 b2
y0 ( x0a2
) (1, b2
x x0 y0 ). x0
),
uuur r 则cos F1P, n
Fuu1uPr
n r
F1P n
= b2 xr02 a2 y02 b2cx0 n (a ex0 )b2 x0
a2b2 r
b2cx0
n (a ex0 )b2 x0
0),u则uurF1P
(
x0
c, 0), uuuur
F2 P
(
x0
c,
0)
y
由焦半径公式得 F1P a ex0 , F2P a ex0 .
P (x0,y0) 当P为(0, b)时，根据椭圆的对称性显然成立.
F1
A F2
l
x 当法线PA的斜率存在时，记为：y r
故取法线PA的一个方向向量n uuur r
r a2 cx0
ra(a ex0 )
a r
uuuur r cos F2P, n
1 2
n (a ex0 )x0 n (a ex0 )x0 n x0
思路2：角平分线性质 F1P F2P
F1 A AF2
F1
y
A
解：记F1
(
c
,
0),
F2
(c, 0), uuur
uuuur
P (x0,y0)
y0c b2
c a
F1PA F2 PA
椭圆光学性质的应用
影片门
一个焦点放光源，一个 焦点处放影片。
体外碎石技术
将人的肾结石位于一个 焦点处，在另一个焦点 处释放高能冲击波。
回音壁
一人站在东配殿墙下轻 声说话，另一人在西配 殿墙下听得清清楚楚。
刁尼秀斯之耳
俘虏秘密商讨的计划， 总是被看守识破
圆锥曲线光学性质探究的一般“套路”
圆锥曲线的光学性质及其应用
作者
黑洞
版权归欧洲南方天文台所有
射电望远镜
预备知识
①光的平面反射定律
N
βα
T
P
反射平面PT
法线NP
入射角α=反射角β
②圆面
P O
圆在点P处的切线 法线OP
③椭圆面
P
?
F1
F2
A
椭圆在点P处的切线 法线AP
探究椭圆的光学性质
①在纸上作出椭圆的反射光线 ②几何画板演示
P
1 2
所aca22以xac0Fx10cAcea223xx00
+c,F2 A c e2 x0,
acx0 ca2
a(cx0 c(cx0
a2) a2)
a c
F2 P AF2
思路3：斜率 y
解：记F1(c, 0), F2(c, 0),
则kPF1
y0 x0
c
,
k PF2
y0 , x0 c
P (x0,y0) l
使照射距离加大，并可 通过转动抛物线的对称 轴方向，控制照射方向。
法线PA的方程为：y
y0
a2 y0 b2 x0
(x
x0 ),则kPA
a2 y0 b2 x0
.
F1
A F2 x 根据两角差的正切公式可得
a2 y0 b2 x0
1
a2 y0 b2 x0
y0 x0 c y0 x0 c
=
tan
F1 PA
tan(PAF2
PF1
A)
kPA 1 kPA
kPF1 kPF1
l
F2 x
由焦半径公式得 F1P a ex0 , F2P a ex0 .
当P为(0, b)时，根据椭圆的对称性显然成立.
当法线PA的斜率存在时，记为：y
y0
a2 y0 b2 x0
(x
x0 ),
令y 0,则x e2 x0 , 则PA与x轴的交点A(e2 x0 , 0).
Q
PF1 F1 A
a ex0 e2 x0 +c
P (x0,y0) l
当PF2
A来自百度文库
90 时，即P (
x0
,
y0
)为(c,
b2 a
)
F1
A F2 x
则kPF1
y0 x0
c
,
kPF2
不存在,
kPA
a2 y0 b2 x0
a2 c
则tan F2PA
tan(PF2 A
PAF2
)
tan(
2
PAF2 )
1
1c
tan PAF2 kPA a
Q tan F1PA
uuur r
uuuur r
思路1：即cos F1P, n cos F2P, n
思路2：角平分线性质 F1P F2P
F1 A F2 A
思路3：斜率 +两角差的正切公式
uuur r
uuuur r
思路1：夹角公式
即cos
FP1
, n
uuur
cos
F2
P,n
uuuur
解：记F1(c,
0),
F2 (c,
3、从双曲线一个焦点发出的光线，经过双曲 线反射后，反射光线是散开的，看起来像是从 另一个焦点射出的一样。
课堂小结
1 知识层面 是什么？为什么？有何用？ 2 方法层面 用代数的方法研究几何问题 3 思想层面 从特殊到一般、类比、化归等 4 过程层面
提出假设→计算机模拟验证→理论证明→实际应用
作业布置
?
F1
F2
A
从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆 反射后，反射光线交于椭圆的另一个焦点。
③问题转化及证明 只要证∠F1PA=∠F2PA
证明椭圆的光学性质
y
P (x0,y0)
已知椭圆 x2 a2
y2 b2
1(a
b
0), l为椭圆上一
F1
l
A F2 x
点P( x0 , y0 )处的切线，PA为过点P且垂直于l 的法线，交x轴于点A，证1 2.