组合数学练习题_带答案
组合数学题目及标准答案
组合数学例1: 将8个“车”放在8×8的国际象棋棋盘上，如果它们两两均不能互吃，那么称8个“车”处于一个安全状态。
问共有多少种不同的安全状态?解：8个“车”处于安全状态当且仅当它们处于不同的8行和8列上。
用一个排列a1,a2,…,a8 ，对应于一个安全状态，使ai 表示第i 行的ai 列上放置一个“车”。
这种对应显然是一对一的。
因此，安全状态的总数等于这8个数的全排列总数8!＝40320。
例4：n 位客人在晚会上每人与他人握手d 次，d 是奇数。
证明n 偶数。
证：由于每一次握手均使握手的两人各增加 一次与他人握手的次数，因此n 位客人与他人握手 次数的总和 nd 是偶数 — 握手次数的2倍。
根据奇偶 性质，已知d 是奇数，那么n 必定是偶数。
例４ 从1到2n 的正整数中任取n +1个，则这n +1个数中，至少有一对数，其中一个是另一个的倍数。
证 设n +1个数是a 1, a 2, ···, an +1。
每个数去掉一切2的因子，直至剩下一个奇数为止。
组成序列r 1, r 2,, ···, rn +1。
这n +1个数仍在[1 , 2n ]中，且都是奇数。
而[1, 2n ]中只有n 个奇数，故必有ri =rj = r , 则ai = 2αi r , aj = 2αj r 。
若ai ＞aj ，则ai 是aj 的倍数。
例5 设a 1, a 2, ···, am 是正整数，则至少存在一对k 和l , 0≤k<l ≤m ，使得和ak+1+ ak +2+ ···+ al 是m 的倍数。
证 设Sh = , Sh ≡rh mod m, 0≤rh ≤m -1，h = 1 , 2 , ···, m . 若存在l , Sl ≡0 mod m 则命题成立．否则，1≤rh ≤m -1．但h = 1 , 2 , ···,m ．由 鸽巢原理，故存在rk= rl , 即Sk ≡Sl mod m ，不妨设l ＞k ．则Sl －Sk= ak+1+ ak+2+…+ al ≡0 mod m例6 设a 1, a 2, a3是任意三个整数，b1 b2 b3为a1, a2, a3的任一排列，则a1－b1, a2－b2 ,a3－b3中至少有一个是偶数．证 由鸽巢原理：a1, a2, a3至少有两个奇偶性相同．则这３个数被２除的余数至少有两个是相同的，不妨设为x; 同样b1, b2, b3中被２除的余数也至少有２个x ．这样a1－b1, a2－b2 , a3－b3被２除的余数至少有一个为０．例7 设a 1, a 2,…, a100是由数字1和２组成的序列, 已知从其任一数开始的顺序10个数的和不超过16．即ai+ ai+1+…+ ai+9≤16，1≤i ≤91。
数学竞赛组合试题及答案
数学竞赛组合试题及答案试题一：排列组合问题题目：某班级有30名学生，需要选出5名代表参加校际数学竞赛。
如果不考虑性别和成绩，仅考虑组合方式，问有多少种不同的选法？答案：这是一个组合问题，可以用组合公式C(n, k) = n! / (k! *(n-k)!)来计算，其中n为总人数，k为选出的人数。
将数值代入公式，得到C(30, 5) = 30! / (5! * 25!) = 142506。
试题二：概率问题题目：一个袋子里有10个红球和20个蓝球，随机抽取3个球，求至少有1个红球的概率。
答案：首先计算没有红球的概率，即抽到3个蓝球的概率。
用组合公式计算，P(3蓝) = C(20, 3) / (C(30, 3)) = (20! / (3! * 17!)) / (30! / (3! * 27!))。
然后，用1减去这个概率得到至少有1个红球的概率，P(至少1红) = 1 - P(3蓝)。
试题三：几何问题题目：在一个半径为10的圆内，随机选择两个点，连接这两点形成弦。
求这条弦的长度小于8的概率。
答案：首先，弦的长度小于8意味着弦所对的圆心角小于某个特定角度。
通过几何关系和圆的性质，可以计算出这个特定角度。
然后，利用面积比来计算概率。
圆的面积为πr²，而弦所对的扇形面积可以通过角度来计算。
最后，将扇形面积除以圆的面积得到概率。
试题四：数列问题题目：给定一个等差数列，其首项为3，公差为2，求前10项的和。
答案：等差数列的前n项和公式为S_n = n/2 * (2a + (n-1)d)，其中a为首项，d为公差，n为项数。
将数值代入公式，得到S_10 = 10/2* (2*3 + (10-1)*2) = 10 * 13 = 130。
试题五：逻辑推理问题题目：有5个盒子，每个盒子里都有不同数量的球，分别是1个，2个，3个，4个和5个。
现在有5个人，每个人随机选择一个盒子，每个人只能拿一个盒子。
问至少有一个人拿到的盒子里球的数量与他选择的顺序号相同的概率。
组合数学课后习题答案
组合数学课后习题答案问题1求解以下组合数：(a)C(5, 2)(b)C(7, 3)(c)C(10, 5)解答：(a)C(5, 2) 表示从5个不同元素中选取2个的组合数。
根据组合数的定义，我们可以使用公式 C(n, k) = n! / (k! * (n-k)!) 来计算组合数。
计算 C(5, 2)： C(5, 2) = 5! / (2! * (5-2)!) = 5! / (2! * 3!) = (5 * 4 * 3!) / (2! * 3!) = (5 * 4) / 2 = 10所以 C(5, 2) = 10。
(b)C(7, 3) 表示从7个不同元素中选取3个的组合数。
计算 C(7, 3)： C(7, 3) = 7! / (3! * (7-3)!) = 7! / (3! * 4!) = (7 * 6 * 5 * 4!) / (3! * 4!) = (7 * 6 * 5) / 3 = 35 * 2 = 70所以 C(7, 3) = 70。
(c)C(10, 5) 表示从10个不同元素中选取5个的组合数。
计算 C(10, 5)： C(10, 5) = 10! / (5! * (10-5)!) = 10! / (5! * 5!) = (10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5!) / (5! * 5!) = (10 * 9 * 8 * 7 * 6) / (5 * 4 * 3 * 2 * 1) = 252所以 C(10, 5) = 252。
问题2在一个集合 {a, b, c, d, e} 中，求解以下问题：(a)有多少种不同的3个元素的子集？(b)有多少种不同的4个元素的子集？(c)有多少种不同的空集合？(a)在一个集合 {a, b, c, d, e} 中选取3个元素的子集。
子集的元素个数为3，所以我们需要从5个元素中选取3个。
利用组合数的公式 C(n, k) = n! / (k! * (n-k)!)，我们可以计算组合数。
最新组合数学习题答案(1-4章全)
第1章 排列与组合1.1 从{1,2,…,50}中找一双数{a,b}，使其满足：()5;() 5.a ab b a b -=-≤[解] (a) 5=-b a将上式分解，得到55a b a b -=+⎧⎨-=-⎩a =b –5，a=1，2，…，45时，b ＝6，7，…，50。
满足a=b-5的点共50-5=45个点. a = b+5，a=5，6，…，50时，b ＝0，1，2，…，45。
满足a=b+5的点共45个点. 所以，共计2×45=90个点. (b) 5≤-b a(610)511(454)1651141531+⨯+⨯-=⨯+⨯=个点。
1.2 5个女生，7个男生进行排列，(a) 若女生在一起有多少种不同的排列？ (b) 女生两两不相邻有多少种不同的排列？(c) 两男生A 和B 之间正好有3个女生的排列是多少？[解] (a) 女生在一起当作一个人，先排列，然后将女生重新排列。
（7＋1）!×5!=8!×5!＝40320×120=4838400(b) 先将男生排列有7!种方案，共有8个空隙，将5个女生插入，故需从8个空中选5个空隙，有58C 种选择。
将女生插入，有5!种方案。
故按乘法原理，有：7!×58C ×5!=33868800(种)方案。
(c) 先从5个女生中选3个女生放入A ，B 之间，有35C 种方案，在让3个女生排列，有3!种排列，将这5个人看作一个人，再与其余7个人一块排列，有(7+1)! = 8!由于A ，B 可交换，如图**A***B** 或 **B***A**故按乘法原理，有：2×35C ×3!×8!=4838400（种）1.3 m 个男生，n 个女生，排成一行，其中m ，n 都是正整数，若(a) 男生不相邻(m ≤n+1)； (b) n 个女生形成一个整体； (c) 男生A 和女生B 排在一起； 分别讨论有多少种方案.[解] (a) 先将n 个女生排列，有n!种方法，共有n+1个空隙，选出m 个空隙，共有mn C 1+种方法，再插入男生，有m!种方法，按乘法原理，有：n!×mn C 1+×m!＝n!×)!1(!)!1(m n m n -++×m!=)!1()!1(!m n n n -++种方案。
组合数学考试题目及答案
组合数学考试题目及答案**组合数学考试题目及答案**一、单项选择题（每题3分，共30分）1. 从10个不同的元素中取出3个元素的组合数为（）。
A. 120B. 210C. 100D. 150答案：B2. 以下哪个不是排列数的性质？（）。
A. \( P(n, n) = n! \)B. \( P(n, 0) = 1 \)C. \( P(n, k) = \frac{n!}{(n-k)!} \)D. \( P(n, k) = \frac{n!}{k!} \)答案：D3. 从5个不同的元素中取出2个元素的排列数为（）。
A. 10B. 20C. 15D. 25答案：B4. 组合数 \( C(n, k) \) 和排列数 \( P(n, k) \) 之间的关系是（）。
A. \( C(n, k) = \frac{P(n, k)}{k!} \)B. \( P(n, k) = \frac{C(n, k)}{k!} \)C. \( C(n, k) = k \times P(n, k) \)D. \( P(n, k) = k \times C(n, k) \)答案：A5. 以下哪个是组合数的性质？（）。
A. \( C(n, k) = C(n, n-k) \)B. \( C(n, k) = C(n-1, k-1) \)C. \( C(n, k) = C(n, k+1) \)D. \( C(n, k) = C(n+1, k+1) \)答案：A6. 从8个不同的元素中取出3个元素的组合数为（）。
A. 56B. 54C. 48D. 35答案：A7. 以下哪个是排列数的递推关系？（）。
A. \( P(n, k) = P(n-1, k) + P(n-1, k-1) \)B. \( P(n, k) = P(n-1, k) - P(n-1, k-1) \)C. \( P(n, k) = P(n-1, k) \times P(n, 1) \)D. \( P(n, k) = P(n-1, k-1) \times P(n, 1) \)答案：D8. 从7个不同的元素中取出4个元素的排列数为（）。
组合数学试题及答案
组合数学试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 在组合数学中，从n个不同元素中取出m个元素的组合数表示为：A. C(n, m)B. P(n, m)C. A(n, m)D. nCm答案：A2. 如果一个集合有10个元素，从中任取3个元素的组合数为：A. 120B. 210C. 1001D. 1000答案：B3. 组合数学中的排列数与组合数的关系是：A. P(n, m) = C(n, m) * m!B. C(n, m) = P(n, m) / m!C. P(n, m) = C(n, m) + m!D. P(n, m) = C(n, m) * n!答案：B4. 以下哪个公式用于计算组合数？A. C(n, m) = n! / (m! * (n-m)!)B. P(n, m) = n! / (n-m)!C. A(n, m) = n! / (m! * (n-m)!)D. B(n, m) = n! / (m! * (n-m)!)答案：A5. 如果一个集合有8个元素，从中任取2个元素的排列数为：A. 28B. 56C. 8!D. 7!答案：B6. 组合数学中，排列数P(n, m)的定义是：A. 从n个元素中取出m个元素的所有可能的排列方式的数量B. 从n个元素中取出m个元素的所有可能的组合方式的数量C. 从n个元素中取出m个元素的所有可能的排列方式的数量，不考虑顺序D. 从n个元素中取出m个元素的所有可能的组合方式的数量，考虑顺序答案：A7. 以下哪个公式用于计算排列数？A. P(n, m) = n! / (n-m)!B. C(n, m) = n! / (m! * (n-m)!)C. A(n, m) = n! / (m! * (n-m)!)D. B(n, m) = n! / (m! * (n-m)!)答案：A8. 如果一个集合有15个元素，从中任取5个元素的组合数为：A. 3003B. 3000C. 1365D. 15504答案：D9. 组合数学中的二项式系数表示为：A. C(n, m)B. P(n, m)C. A(n, m)D. B(n, m)答案：A10. 以下哪个公式用于计算二项式系数？A. C(n, m) = n! / (m! * (n-m)!)B. P(n, m) = n! / (n-m)!C. A(n, m) = n! / (m! * (n-m)!)D. B(n, m) = n! / (m! * (n-m)!)答案：A二、填空题（每题2分，共20分）1. 从5个不同元素中取出3个元素的组合数为 ________。
组合数学练习题及解析
组合数学练习题及解析组合数学是数学中的一个分支，主要研究离散对象之间的组合关系。
它在计算机科学、统计学、运筹学等领域中具有广泛的应用。
本文将提供一些组合数学的练习题，并附上详细的解析，以帮助读者更好地理解和掌握这一领域的知识。
一、排列组合1. 从10个人中选出3个人组成一个小组，问有多少种不同的选择方式？解析：这是一个从10个元素中选取3个元素的组合问题。
根据组合的公式，可以得到答案为C(10, 3) = 10! / (3! * (10-3)!) = 120种选择方式。
2. 有10个小球，5个红色，5个蓝色，从中选取3个小球组成一个集合，问有多少种不同的集合？解析：这是一个从10个元素中选取3个元素并忽略其顺序的组合问题。
根据组合的公式，可以得到答案为C(10, 3) = 10! / (3! * (10-3)!)= 120种不同的集合。
3. 从字母A、B、C、D、E中任选3个字母组成一个字符串，问有多少种不同的字符串？解析：这是一个从5个元素中选取3个元素并考虑其顺序的排列问题。
根据排列的公式，可以得到答案为P(5, 3) = 5! / (5-3)! = 5*4*3 = 60种不同的字符串。
二、组合数学问题1. 假设有8本不同的书放在一排，问有多少种不同的放置方式？解析：这是一个考虑顺序的排列问题。
根据排列的公式，可以得到答案为P(8, 8) = 8! = 40320种不同的放置方式。
2. 有5个不同的水果，需要选择2个水果放入一个篮子中，问有多少种不同的放置方式？解析：这是一个从5个元素中选取2个元素并考虑其顺序的排列问题。
根据排列的公式，可以得到答案为P(5, 2) = 5! / (5-2)! = 5*4 = 20种不同的放置方式。
3. 一家公司有10个员工，其中3个员工必须参加一个会议，问有多少种不同的选取方式？解析：这是一个从10个元素中选取3个元素的组合问题。
根据组合的公式，可以得到答案为C(10, 3) = 10! / (3! * (10-3)!) = 120种不同的选取方式。
组合数学参考答案(卢开澄第四版)60页
组合数学 双卢 答案1.1 题 从{1，2，……50}中找两个数{a ，b}，使其满足 （1）|a-b|=5； （2）|a-b|≤5；解：（1）：由|a-b|=5⇒a-b=5或者a-b=-5，由列举法得出，当a-b=5时，两数的序列为（6，1）（7，2）……（50，45），共有45对。
当a-b=-5时，两数的序列为（1，6），（2，7）……（45，50）也有45对。
所以这样的序列有90对。
（2）：由题意知，|a-b|≤5⇒|a-b|=1或|a-b|=2或|a-b|=3或|a-b|=4或|a-b|=5或|a-b|=0； 由上题知当|a-b|=5时 有90对序列。
当|a-b|=1时两数的序列有（1，2），（3，4），（2，1）（1，2）…（49，50），（50，49）这样的序列有49*2=98对。
当此类推当|a-b|=2，序列有48*2=96对，当|a-b|=3时，序列有47*2=94对，当|a-b|=4时，序列有46*2=92对， 当|a-b|=0时有50对所以总的序列数=90+98+96+94+92+50=5201.2题 5个女生，7个男生进行排列，(a) 若女生在一起有多少种不同的排列？(b) 女生两两不相邻有多少种不同的排列？(c) 两男生A 和B 之间正好有3个女生的排列是多少？解：（a ）可将5个女生看作一个单位，共八个单位进行全排列得到排列数为：8！×5！， （b ）用x 表示男生，y 表示空缺，先将男生放置好，共有8个空缺， Y X Y X Y X Y X Y X Y X Y X Y在其中任取5个得到女生两两不相邻的排列数： C （8，5）×7！×5！ （c ）先取两个男生和3个女生做排列，情况如下： 6. 若A ，B 之间存在0个男生， A ，B 之间共有3个人，所有的排列应为 P6=C(5,3)*3!*8!*2 1．若A ，B 之间存在1个男生， A ，B 之间共有4个人，所有的排列应为 P1= C(5,1)*C(5,3)*4!*7!*2 2．若A ，B 之间存在2个男生，A ，B 之间共有5个人，所有的排列应为 P2=C(5,2)*C(5,3)*5!*6!*2 3．若A ，B 之间存在3个男生，A ，B 之间共有6个人，所有的排列应为 P3=C(5,3)*C(5,3)*6!*5!*2 4．若A ，B 之间存在4个男生，A ，B 之间共有7个人，所有的排列应为 P4=C(5,4)*C(5,3)*7!*4!*2 5．若A ，B 之间存在5个男生，A ，B 之间共有8个人，所有的排列应为 P5=C(5,5)*C(5,3)*8!*3!*2所以总的排列数为上述6种情况之和。
(完整版)排列组合经典练习(带答案)
排列与组合习题1．6个人分乘两辆不同的汽车，每辆车最多坐4人，则不同的乘车方法数为() A．40B．50C．60D．70[解析]先分组再排列，一组2人一组4人有C26＝15种不同的分法；两组各3人共有C36A22＝10种不同的分法，所以乘车方法数为25×2＝50，故选B.2．有6个座位连成一排，现有3人就坐，则恰有两个空座位相邻的不同坐法有()A．36种B．48种C．72种D．96种[解析]恰有两个空座位相邻，相当于两个空位与第三个空位不相邻，先排三个人，然后插空，从而共A33A24＝72种排法，故选C.3．只用1,2,3三个数字组成一个四位数，规定这三个数必须同时使用，且同一数字不能相邻出现，这样的四位数有()A．6个B．9个C．18个D．36个[解析]注意题中条件的要求，一是三个数字必须全部使用，二是相同的数字不能相邻，选四个数字共有C13＝3(种)选法，即1231,1232,1233，而每种选择有A22×C23＝6(种)排法，所以共有3×6＝18(种)情况，即这样的四位数有18个．4．男女学生共有8人，从男生中选取2人，从女生中选取1人，共有30种不同的选法，其中女生有() A．2人或3人B．3人或4人C．3人D．4人[解析]设男生有n人，则女生有(8－n)人，由题意可得C2n C18－n＝30，解得n＝5或n＝6，代入验证，可知女生为2人或3人．5．某幢楼从二楼到三楼的楼梯共10级，上楼可以一步上一级，也可以一步上两级，若规定从二楼到三楼用8步走完，则方法有()A．45种B．36种C．28种D．25种[解析]因为10÷8的余数为2，故可以肯定一步一个台阶的有6步，一步两个台阶的有2步，那么共有C28＝28种走法．6．某公司招聘来8名员工，平均分配给下属的甲、乙两个部门，其中两名英语翻译人员不能分在同一个部门，另外三名电脑编程人员也不能全分在同一个部门，则不同的分配方案共有()A．24种B．36种C．38种D．108种[解析]本题考查排列组合的综合应用，据题意可先将两名翻译人员分到两个部门，共有2种方法，第二步将3名电脑编程人员分成两组，一组1人另一组2人，共有C13种分法，然后再分到两部门去共有C13A22种方法，第三步只需将其他3人分成两组，一组1人另一组2人即可，由于是每个部门各4人，故分组后两人所去的部门就已确定，故第三步共有C13种方法，由分步乘法计数原理共有2C13A22C13＝36(种)．7．已知集合A＝{5}，B＝{1,2}，C＝{1,3,4}，从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐标，则确定的不同点的个数为()A．33 B．34 C．35 D．36[解析]①所得空间直角坐标系中的点的坐标中不含1的有C12·A33＝12个；②所得空间直角坐标系中的点的坐标中含有1个1的有C12·A33＋A33＝18个；③所得空间直角坐标系中的点的坐标中含有2个1的有C13＝3个．故共有符合条件的点的个数为12＋18＋3＝33个，故选A.8．由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字且1、3都不与5相邻的六位偶数的个数是() A．72 B．96 C．108 D．144[解析]分两类：若1与3相邻，有A22·C13A22A23＝72(个)，若1与3不相邻有A33·A33＝36(个)故共有72＋36＝108个．9．如果在一周内(周一至周日)安排三所学校的学生参观某展览馆，每天最多只安排一所学校，要求甲学校连续参观两天，其余学校均只参观一天，那么不同的安排方法有()A．50种B．60种C．120种D．210种[解析]先安排甲学校的参观时间，一周内两天连排的方法一共有6种：(1,2)、(2,3)、(3,4)、(4,5)、(5,6)、(6,7)，甲任选一种为C16，然后在剩下的5天中任选2天有序地安排其余两所学校参观，安排方法有A25种，按照分步乘法计数原理可知共有不同的安排方法C16·A25＝120种，故选C.10．安排7位工作人员在5月1日到5月7日值班，每人值班一天，其中甲、乙二人都不能安排在5月1日和2日，不同的安排方法共有________种．(用数字作答)[解析]先安排甲、乙两人在后5天值班，有A25＝20(种)排法，其余5人再进行排列，有A55＝120(种)排法，所以共有20×120＝2400(种)安排方法．11．今有2个红球、3个黄球、4个白球，同色球不加以区分，将这9个球排成一列有________种不同的排法．(用数字作答)[解析]由题意可知，因同色球不加以区分，实际上是一个组合问题，共有C49·C25·C33＝1260(种)排法．12．将6位志愿者分成4组，其中两个组各2人，另两个组各1人，分赴世博会的四个不同场馆服务，不同的分配方案有________种(用数字作答)．[解析]先将6名志愿者分为4组，共有C26C24A22种分法，再将4组人员分到4个不同场馆去，共有A 44种分法，故所有分配方案有：C 26·C 24A 22·A 44＝1 080种． 13．要在如图所示的花圃中的5个区域中种入4种颜色不同的花，要求相邻区域不同色，有________种不同的种法(用数字作答)．[解析] 5有4种种法，1有3种种法，4有2种种法．若1、3同色，2有2种种法，若1、3不同色，2有1种种法，∴有4×3×2×(1×2＋1×1)＝72种．14. 将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中．若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有（A ）12种 （B ）18种 （C ）36种 （D ）54种【解析】标号1,2的卡片放入同一封信有种方法；其他四封信放入两个信封，每个信封两个有种方法，共有种，故选B.15. 某单位安排7位员工在10月1日至7日值班，每天1人，每人值班1天，若7位员工中的甲、乙排在相邻两天，丙不排在10月1日，丁不排在10月7日，则不同的安排方案共有A. 504种B. 960种C. 1008种D. 1108种 解析：分两类：甲乙排1、2号或6、7号 共有4414222A A A ⨯种方法甲乙排中间,丙排7号或不排7号，共有)(43313134422A A A A A +种方法故共有1008种不同的排法16. 由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字且1、3都不与5相邻的六位偶数的个数是 （A ）72 （B ）96 （C ） 108 （D ）144 解析：先选一个偶数字排个位，有3种选法①若5在十位或十万位，则1、3有三个位置可排，32232A A ＝24个②若5排在百位、千位或万位，则1、3只有两个位置可排，共32222A A ＝12个算上个位偶数字的排法，共计3(24＋12)＝108个 答案：C17. 在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列（数字允许重复）表示一个信息，不同排列表示不同信息，若所用数字只有0和1，则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为 A.10 B.11 C.12 D.1518. 现安排甲、乙、丙、丁、戌5名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加。
组合训练测试题及答案解析
组合训练测试题及答案解析一、单项选择题1. 组合数公式C(n, m) = n! / (m!(n-m)!)中，n!表示的是（）。
A. n的阶乘B. m的阶乘C. (n-m)的阶乘D. 1到n的连乘积答案：A解析：n!表示n的阶乘，即从1乘到n的连乘积。
2. 在组合数C(n, m) = n! / (m!(n-m)!)中，若m=0，则C(n, 0)的值为（）。
A. 0B. 1C. nD. n+1答案：B解析：根据组合数公式，当m=0时，C(n, 0) = n! / (0!(n-0)!) = n! / (1 * n!) = 1。
3. 从5个不同的元素中任取3个元素进行组合，其组合数为（）。
A. 10B. 15C. 20D. 25答案：B解析：根据组合数公式，C(5, 3) = 5! / (3!(5-3)!) = 5! / (3! * 2!) = (5 * 4 * 3 * 2 * 1) / ((3 * 2 * 1) * (2 * 1)) = 10 / 2 = 15。
4. 组合数C(n, m)与C(n, n-m)之间的关系是（）。
A. C(n, m) = C(n, n-m)B. C(n, m) = -C(n, n-m)C. C(n, m) ≠ C(n, n-m)D. C(n, m) = 2 * C(n, n-m)答案：A解析：根据组合数的性质，C(n, m) = C(n, n-m)。
5. 从10个不同的元素中任取5个元素进行组合，其组合数为（）。
A. 252B. 210C. 120D. 126答案：A解析：根据组合数公式，C(10, 5) = 10! / (5!(10-5)!) = 10! / (5! * 5!) = (10 * 9 * 8 * 7 * 6) / (5 * 4 * 3 * 2 * 1) = 252。
二、多项选择题6. 下列哪些选项是组合数的性质（）。
A. C(n, m) = C(n, n-m)B. C(n, m) = C(m, n)C. C(n, 0) = 1D. C(n, n) = 1答案：ACD解析：A选项正确，根据组合数的性质，C(n, m) = C(n, n-m)；B选项错误，C(n, m) ≠ C(m, n)；C选项正确，C(n, 0) = 1；D选项正确，C(n, n) = 1。
高中试卷-6.2.2 组合及组合数(精练)(含答案)
6.2.2 组合及组合数（精练）【题组一 组合的概念】1．下列问题不是组合问题的是 ( )A ．10个朋友聚会，每两人握手一次，一共握手多少次？B ．平面上有2015个不同的点，它们中任意三点不共线，连接任意两点可以构成多少条线段？C ．集合{a 1，a 2，a 3，…，a n }的含有三个元素的子集有多少个？D ．从高三(19)班的54名学生中选出2名学生分别参加校庆晚会的独唱、独舞节目，有多少种选法？【答案】 D【解析】 组合问题与次序无关，排列问题与次序有关，D 项中，选出的2名学生，如甲、乙，其中“甲参加独唱、乙参加独舞”与“乙参加独唱、甲参加独舞”是两个不同的选法，因此是排列问题，不是组合问题，选D.2.给出下列问题：(1)从a ，b ，c ，d 四名学生中选2名学生完成一件工作，有多少种不同的选法？(2)从a ，b ，c ，d 四名学生中选2名学生完成两件不同的工作，有多少种不同的选法？(3)a ，b ，c ，d 四支足球队之间进行单循环比赛，共需赛多少场？(4)a ，b ，c ，d 四支足球队争夺冠亚军，有多少种不同的结果？(5)某人射击8枪，命中4枪，且命中的4枪均为2枪连中，不同的结果有多少种？(6)某人射击8枪，命中4枪，且命中的4枪中恰有3枪连中，不同的结果有多少种？在上述问题中，哪些是组合问题？哪些是排列问题？【答案】见解析【解析】(1)2名学生完成的是同一件工作，没有顺序，是组合问题．(2)2名学生完成两件不同的工作，有顺序，是排列问题．(3)单循环比赛要求每两支球队之间只打一场比赛，没有顺序，是组合问题．(4)冠亚军是有顺序的，是排列问题．(5)命中的4枪均为2枪连中，为相同的元素，没有顺序，是组合问题．(6)命中的4枪中恰有3枪连中，即连中3枪和单中1枪，有顺序，是排列问题．【题组二 组合数】1．（2020·山东菏泽·高二期末）已知4m ≥，3441m m m C C C +-+=（ ）A ．1B ．m C ．1m +D ．0【答案】D【解析】3443444411110m m m m m m m m C C C C C C C C ++++=--++-==.故选：D 2．（2020·山东莱州一中高二期末）下列等式中，错误的是（ ）A ．11(1)m m n n n A A +++=B ．!(2)!(1)n n n n =--C ．!m m nnA C n =D ．11m mn nA A n m+=-【答案】C【解析】通过计算得到选项A,B,D 的左右两边都是相等的.对于选项C,!m m nnA C m =,所以选项C 是错误的.故答案为C.3．444444456789C C C C C C +++++=（ ）．A ．410C B ．510C C ．610C D ．410A 【答案】B【解析】因为111C C C mm m n nn ++++=，所以44444454444454444567895567896678C C C C C C C C C C C C C C C C +++++=+++++=+++45444544545977898899910C C C C C C C C C C C +=+++=++=+=．故选：B4．（2020·广东佛山·高二期末）若3221364n n n A A C +-=，则n =（ ）A ．5B ．8C ．7D ．6【答案】A【解析】∵3221364n n n A A C +-=，∴()()()()13126142n n n n n n n +----=⨯，即()()()3126122n n n n ----=+，求得5n =，或23n =（舍去），故选：A.5．（多选）（2020·江苏连云港·高二期末）关于排列组合数，下列结论正确的是（ ）A ．C C mn mn n-=B ．11C C C m m m n nn -+=+C ．11A A m m n n m --=D ．11A A A mm m n nn m -++=【答案】ABD【解析】根据组合数的性质或组合数的计算公式!()!!m n n C n m m =-，可知A ，B 选项正确；!()!m n n A n m =-，而()111!()!m n m n mA n m ---=-，故C 选项错误；()()111!1!!!!()!(1)!(1)!(1)!(1)!m m mnnn n m n n n m n m n A mAA n m n m n m n m n m -+-+×+××+=+=+==--+-+-++-，故D 选项正确；故选：ABD .6．（2020·苏州市第四中学校高二期中）计算()2973100100101CC A +¸的值为__________．（用数字作答）【答案】16【解析】由组合数的基本性质可得()()297323333100100101100100101101101101!98!13!98!101!6C C A C C A C A +¸=+¸=¸=⨯=⨯.故答案为：16.7．求值：（1）333364530C C C C +++×××+；（2）12330303030302330C C C C +++×××+.【答案】（1）31464；（2）29302×.【解析】（1）333343333456304456301C C C C C C C C C +++×××+=++++×××+-4311C =-31464=（2）()12330012293030303029292929233030C C C C C C C C +++×××+=+++×××+29302=×【题组三 组合应用 】1．（2020·北京高二期末）若从1，2，3，…，9这9个整数中同时取3个不同的数，其和为奇数，则不同的取法共有（ ）A ．36种B ．40种C ．44种D ．48种【答案】B【解析】根据题意，将9个数分为2组，一组为奇数：1､3､5､7､9，一组为偶数：2､4､6､8，若取出的3个数和为奇数，分2种情况讨论：①取出的3个数全部为奇数，有3510C =种情况，②取出的3个数有1个奇数，2个偶数，有1254C C 30=种情况，则和为奇数的情况有103040+=种.故选：B .2．（2020·北京朝阳·高二期末）从3名男生和4名女生中各选2人组成一队参加数学建模比赛，则不同的选法种数是（ ）A ．12B ．18C ．35D ．36【答案】B【解析】先从3名男生中选出2人有233C =种，再从4名女生中选出2人有246C =种，所以共有1863=⨯种，故选：B3．（2020·新疆乌鲁木齐市第70中高二期中（理））已知集合{1,2,3,4,5}A =，则集合A 各子集中元素之和为（ ）A ．320B ．240C ．160D ．8【答案】B【解析】当集合A 的子集为空集时，各元素之和为0；当集合A 的子集含有1个元素时，共有155C =个集合，1、2、3、4、5各出现1次；当集合A 的子集含有2个元素时，共有2510C =个集合，1、2、3、4、5各出现4次；当集合A 的子集含有3个元素时，共有3510C =个集合，1、2、3、4、5各出现6次；当集合A 的子集含有4个元素时，共有455C =个集合，1、2、3、4、5各出现4次；当集合A 的子集含有5个元素时，共有551C =个集合，1、2、3、4、5各出现1次；所以集合A 各子集中，1、2、3、4、5各出现了1464116++++=次，所以集合A 各子集中元素之和为()1234516240++++⨯=.故选：B.4．（2020·湖北高二月考）2020年春节期间，因新冠肺炎疫情防控工作需要，M 、N 两社区需要招募义务宣传员，现有A 、B 、C 、D 、E 、F 六位大学生和甲、乙、丙三位党员教师志愿参加，现将他们分成两个小组分别派往M 、N 两社区开展疫情防控宣传工作，要求每个社区都至少安排1位党员教师及2位大学生，且B 由于工作原因只能派往M 社区，则不同的选派方案种数为（ ）A ．120B ．90C ．60D ．30【答案】C【解析】由于B 只能派往M 社区，所以分组时不用考虑B .按照要求分步将大学生和党员教师分为两组，再分别派往两个社区.第一步：按题意将剩余的5位大学生分成一组2人，一组3人，有2510C=种，第二步：按题意将3位大学生分成一组1人，一组2人，有133C=种，再分别派往两个社区的不同选派种数：103260⨯⨯=种，故选：C。
数学组合综合练习题及答案
数学组合综合练习题及答案数学组合综合练习题及答案一、选择题1．某年级有6个班，分别派3名语文教师任教，每个教师教2个班，则不同的任课方法种数为( )A．C26C24C22 B．A26A24A22C．C26C24C22C33 D.A26C24C22A33[答案] A2．从单词“equation”中取5个不同的字母排成一排，含有“qu”(其中“qu”相连且顺序不变)的不同排法共有( )A．120种 B．480种C．720种 D．840种[答案] B[解析] 先选后排，从除qu外的6个字母中任选3个字母有C36种排法，再将qu看成一个整体(相当于一个元素)与选出的3个字母进行全排列有A44种排法，由分步乘法计数原理得不同排法共有C36A44＝480(种)．3．从编号为1、2、3、4的四种不同的种子中选出3种，在3块不同的土地上试种，每块土地上试种一种，其中1号种子必须试种，则不同的试种方法有( )A．24种 B．18种C．12种 D．96种[答案] B[解析] 先选后排C23A33＝18，故选B.4．把0、1、2、3、4、5这六个数，每次取三个不同的数字，把其中最大的数放在百位上排成三位数，这样的三位数有( ) A．40个 B．120个C．360个 D．720个[答案] A[解析] 先选取3个不同的数有C36种方法，然后把其中最大的数放在百位上，另两个不同的数放在十位和个位上，有A22种排法，故共有C36A22＝40个三位数．5．(2010湖南理，7)在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列(数字允许重复)表示一个信息，不同排列表示不同信息，若所用数字只有0和1，则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为( )A．10 B．11C．12 D．15[答案] B[解析] 与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息包括三类：第一类：与信息0110只有两个对应位置上的数字相同有C24＝6(个)第二类：与信息0110只有一个对应位置上的数字相同有C14＝4(个)第三类：与信息0110没有一个对应位置上的数字相同有C04＝1(个)与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息有6＋4＋1＝11(个)6．北京《财富》全球论坛开幕期间，某高校有14名志愿者参加接待工作．若每天排早，中，晚三班，每班4人，每人每天最多值一班，则开幕式当天不同的排班种数为( )A．C414C412C48 B．C1214C412C48C.C1214C412C48A33 D．C1214C412C48A33[答案] B[解析] 解法1：由题意知不同的排班种数为：C414C410C46＝14×13×12×114！10×9×8×74！6×52！＝C1214C412C48.故选B.解法2：也可先选出12人再排班为：C1214C412C48C44，即选B.7．(2009湖南理5)从10名大学毕业生中选3人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为( ) A．85 B．56C．49 D．28[答案] C[解析] 考查有限制条件的组合问题．(1)从甲、乙两人中选1人，有2种选法，从除甲、乙、丙外的7人中选2人，有C27种选法，由分步乘法计数原理知，共有2C27＝42种．(2)甲、乙两人全选，再从除丙外的其余7人中选1人共7种选法．由分类计数原理知共有不同选法42＋7＝49种．8．以一个正三棱柱的顶点为顶点的四面体共有( )A．6个 B．12个C．18个 D．30个[答案] B[解析] C46－3＝12个，故选B.9．(2009辽宁理，5)从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，则不同的组队方案共有( )A．70种 B．80种C．100种 D．140种[答案] A[解析] 考查排列组合有关知识．解：可分两类，男医生2名，女医生1名或男医生1名，女医生2名，∴共有C25C14＋C15C24＝70，∴选A.10．设集合Ⅰ＝{1,2,3,4,5}．选择Ⅰ的两个非空子集A和B，要使B中最小的数大于A中最大的数，则不同的选择方法共有( ) A．50种 B．49种C．48种 D．47种[答案] B[解析] 主要考查集合、排列、组合的基础知识．考查分类讨论的思想方法．因为集合A中的最大元素小于集合B中的最小元素，A中元素从1、2、3、4中取，B中元素从2、3、4、5中取，由于A、B非空，故至少要有一个元素．1° 当A＝{1}时，选B的方案共有24－1＝15种，当A＝{2}时，选B的方案共有23－1＝7种，当A＝{3}时，选B的方案共有22－1＝3种，当A＝{4}时，选B的方案共有21－1＝1种．故A是单元素集时，B有15＋7＋3＋1＝26种．2° A为二元素集时，A中最大元素是2，有1种，选B的方案有23－1＝7种．A中最大元素是3，有C12种，选B的方案有22－1＝3种．故共有2×3＝6种．A中最大元素是4，有C13种．选B的方案有21－1＝1种，故共有3×1＝3种．故A中有两个元素时共有7＋6＋3＝16种．3° A为三元素集时，A中最大元素是3，有1种，选B的方案有22－1＝3种．A中最大元素是4，有C23＝3种，选B的方案有1种，∴共有3×1＝3种．∴A为三元素时共有3＋3＝6种．4° A为四元素时，只能是A＝{1、2、3、4}，故B只能是{5}，只有一种．∴共有26＋16＋6＋1＝49种．二、填空题11．北京市某中学要把9台型号相同的电脑送给西部地区的三所希望小学，每所小学至少得到2台，共有______种不同送法．[答案] 10[解析] 每校先各得一台，再将剩余6台分成3份，用插板法解，共有C25＝10种．12．一排7个座位分给3人坐，要求任何两人都不得相邻，所有不同排法的`总数有________种．[答案] 60[解析] 对于任一种坐法，可视4个空位为0,3个人为1,2,3则所有不同坐法的种数可看作4个0和1,2,3的一种编码，要求1,2,3不得相邻故从4个0形成的5个空档中选3个插入1,2,3即可．∴不同排法有A35＝60种．13．(09海南宁夏理15)7名志愿者中安排6人在周六、周日两天参加社区公益活动．若每天安排3人，则不同的安排方案共有________种(用数字作答)．[答案] 140[解析] 本题主要考查排列组合知识．由题意知，若每天安排3人，则不同的安排方案有C37C34＝140种．14．2010年上海世博会期间，将5名志愿者分配到3个不同国家的场馆参加接待工作，每个场馆至少分配一名志愿者的方案种数是________种．[答案] 150[解析] 先分组共有C35＋C25C232种，然后进行排列，有A33种，所以共有(C35＋C25C232)A33＝150种方案．三、解答题15．解方程Cx2＋3x＋216＝C5x＋516.[解析] 因为Cx2＋3x＋216＝C5x＋516，所以x2＋3x＋2＝5x＋5或(x2＋3x＋2)＋(5x＋5)＝16，即x2－2x－3＝0或x2＋8x－9＝0，所以x＝－1或x＝3或x＝－9或x＝1.经检验x＝3和x＝－9不符合题意，舍去，故原方程的解为x1＝－1，x2＝1.16．在∠MON的边OM上有5个异于O点的点，边ON上有4个异于O点的点，以这10个点(含O点)为顶点，可以得到多少个三角形？[解析] 解法1：(直接法)分几种情况考虑：O为顶点的三角形中，必须另外两个顶点分别在OM、ON上，所以有C15C14个，O不为顶点的三角形中，两个顶点在OM上，一个顶点在ON上有C25C14个，一个顶点在OM上，两个顶点在ON上有C15C24个．因为这是分类问题，所以用分类加法计数原理，共有C15C14＋C25C14＋C15C24＝5×4＋10×4＋5×6＝90(个)．解法2：(间接法)先不考虑共线点的问题，从10个不同元素中任取三点的组合数是C310，但其中OM上的6个点(含O点)中任取三点不能得到三角形，ON上的5个点(含O点)中任取3点也不能得到三角形，所以共可以得到C310－C36－C35个，即C310－C36－C35＝10×9×81×2×3－6×5×41×2×3－5×41×2＝120－20－10＝90(个)．解法3：也可以这样考虑，把O点看成是OM边上的点，先从OM上的6个点(含O点)中取2点，ON上的4点(不含O点)中取一点，可得C26C14个三角形，再从OM上的5点(不含O点)中取一点，从ON上的4点(不含O点)中取两点，可得C15C24个三角形，所以共有C26C14＋C15C24＝15×4＋5×6＝90(个)．17．某次足球比赛共12支球队参加，分三个阶段进行．(1)小组赛：经抽签分成甲、乙两组，每组6队进行单循环比赛，以积分及净剩球数取前两名；(2)半决赛：甲组第一名与乙组第二名，乙组第一名与甲组第二名作主客场交叉淘汰赛(每两队主客场各赛一场)决出胜者；(3)决赛：两个胜队参加决赛一场，决出胜负．问全程赛程共需比赛多少场？[解析] (1)小组赛中每组6队进行单循环比赛，就是6支球队的任两支球队都要比赛一次，所需比赛的场次即为从6个元素中任取2个元素的组合数，所以小组赛共要比赛2C26＝30(场)．(2)半决赛中甲组第一名与乙组第二名(或乙组第一名与甲组第二名)主客场各赛一场，所需比赛的场次即为从2个元素中任取2个元素的排列数，所以半决赛共要比赛2A22＝4(场)．(3)决赛只需比赛1场，即可决出胜负．所以全部赛程共需比赛30＋4＋1＝35(场)．18．有9本不同的课外书，分给甲、乙、丙三名同学，求在下列条件下，各有多少种分法？(1)甲得4本，乙得3本，丙得2本；(2)一人得4本，一人得3本，一人得2本；(3)甲、乙、丙各得3本．[分析] 由题目可获取以下主要信息：①9本不同的课外书分给甲、乙丙三名同学；②题目中的3个问题的条件不同．解答本题先判断是否与顺序有关，然后利用相关的知识去解答．[解析] (1)分三步完成：第一步：从9本不同的书中，任取4本分给甲，有C49种方法；第二步：从余下的5本书中，任取3本给乙，有C35种方法；第三步：把剩下的书给丙有C22种方法，∴共有不同的分法有C49C35C22＝1260(种)．(2)分两步完成：第一步：将4本、3本、2本分成三组有C49C35C22种方法；第二步：将分成的三组书分给甲、乙、丙三个人，有A33种方法，∴共有C49C35C22A33＝7560(种)．(3)用与(1)相同的方法求解，得C39C36C33＝1680(种)．。
组合数学竞赛试题及答案
组合数学竞赛试题及答案1. 排列问题给定一个包含n个不同元素的集合，求这个集合的所有排列的数量。
2. 组合问题从n个不同元素的集合中选取k个元素（k≤n），求所有可能的组合数量。
3. 二项式系数计算二项式系数C(n, k)，即从n个元素中选取k个元素的组合数。
4. 鸽巢原理如果有m个鸽巢和n个鸽子（n > m），至少有一个鸽巢至少有几只鸽子？5. 包含与排除原理在一个有30个元素的集合中，有A和B两个子集，A有15个元素，B有20个元素。
求同时属于A和B的元素数量。
6. 组合恒等式证明：\( \sum_{k=0}^{n} C(n, k) = 2^n \)。
7. 组合优化问题给定一个由n个元素组成的集合，要求找到一个子集，使得子集中任意两个元素的和都不是2的倍数，求这个子集的最大可能大小。
8. 组合图论问题在一个无向图中，有n个顶点和m条边。
如果图中的每个顶点至少有一个邻接点，求证图是连通的。
9. 组合几何问题在一个平面上，有n个点，没有任何三个点共线。
求这些点可以形成多少条直线段。
10. 组合设计问题给定一个有限集合，设计一个方案，使得对于任意两个不同的元素，它们要么完全相同，要么互不相交。
答案1. 排列的数量是n!（n的阶乘）。
2. 组合的数量是C(n, k) = n! / [k! * (n - k)!]。
3. 二项式系数C(n, k)可以通过组合公式计算。
4. 根据鸽巢原理，至少有一个鸽巢有 \( \lceil \frac{n}{m}\rceil \) 只鸽子，其中 \( \lceil x \rceil \) 表示向上取整。
5. 同时属于A和B的元素数量可以通过公式|A ∩ B| = |A| + |B| - |A ∪ B| 来计算。
6. 组合恒等式可以通过二项式定理证明。
7. 这个问题可以通过构造性地选择元素来解决，最大可能大小是\( \lfloor \frac{n}{2} \rfloor \)。
组合数学测试题含答案
测 试 题——组合数学一、选择题1. 把101本书分给10名学生,则下列说法正确的是A.有一名学生分得11本书B.至少有一名学生分得11本书C.至多有一名学生分得11本书D.有一名学生分得至少11本书2. 8人排队上车,其中A,B 两人之间恰好有4人,则不同的排列方法是A.!63⨯B.!64⨯C. !66⨯D. !68⨯3. 10名嘉宾和4名领导站成一排参加剪彩,其中领导不能相邻,则站位方法总数为A.()4,11!10P ⨯B. ()4,9!10P ⨯C. ()4,10!10P ⨯D. !3!14-4. 把10个人分成两组,每组5人,共有多少种方法A.⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛510B.⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛510510 C.⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛49 D.⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4949 5. 设x,y 均为正整数且20≤+y x ,则这样的有序数对()y x ,共有个6. 仅由数字1,2,3组成的七位数中,相邻数字均不相同的七位数的个数是7. 百位数字不是1且各位数字互异的三位数的个数为8. 设n 为正整数,则∑=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛nk k n 02等于A.n 2B. 12-nC. n n 2⋅D. 12-⋅n n9. 设n 为正整数,则()k k n k k n 310⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-∑=的值是A.n 2B. n2- C. ()n 2- 10. 设n 为正整数,则当2≥n 时,∑=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-nk k k 22=A.⎪⎪⎭⎫⎝⎛3n B. ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+21n C. ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+31n D. 22+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n 11. ()632132x x x +-中23231x x x 的系数是12. 在1和610之间只由数字1,2或3构成的整数个数为 A.2136- B. 2336- C. 2137- D. 2337- 13. 在1和300之间的整数中能被3或5整除的整数共有个14. 已知(){}o n n f ≥是Fibonacci 数列且()()348,217==f f ,则()=10f15. 递推关系3143---=n n n a a a 的特征方程是A.0432=+-x xB. 0432=-+x xC. 04323=+-x xD. 04323=-+x x16. 已知()⋯⋯=⨯+=,2,1,0232n a n n ,则当2≥n 时,=n a A.2123--+n n a a B. 2123---n n a aC.2123--+-n n a aD. 2123----n n a a17. 递推关系()⎩⎨⎧=≥+=-312201a n a a n n n 的解为 A.32+⨯=n n n a B. ()221+⨯+=nn n a C. ()122+⨯+=n n n a D. ()nn n a 23⨯+= 18. 设()⋯⋯=⨯=,2,1,025n a nn ,则数列{}0≥n n a 的常生成函数是 A.x 215- B. ()2215x - C.()x 215- D. ()2215x - 19. 把15个相同的足球分给4个人,使得每人至少分得3个足球,不同的分法共有种20. 多重集{}b a S ⋅⋅=4,2的5-排列数为21. 部分数为3且没有等于1的部分的15-分拆的个数为22. 设n,k 都是正整数,以()n P k 表示部分数为k 的n-分拆的个数,则()116P 的值是23. 设A,B,C 是实数且对任意正整数n 都有⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=1233n C n B n A n,则B 的值是24. 不定方程1722321=++x x x 的正整数解的个数是25. 已知数列{}0≥n n a 的指数生成函数是()()t t e e t E521⋅-=,则该数列的通项公式是 A.n n n n a 567++= B. n n n n a 567+-=C. n n n n a 5627+⨯+=D. nn n n a 5627+⨯-= 二、填空题1. 在1和2000之间能被6整除但不能被15整除的正整数共有_________个2. 用红、黄、蓝、黑4种颜色去图n ⨯1棋盘,每个方格涂一种颜色,则使得被涂成红色的方格数是奇数的涂色方法共有_______种3. 已知递归推关系()31243321≥-+=---n a a a a n n n n 的一个特征根为2,则其通解为___________4. 把()3≥n n 个人分到3个不同的房间,每个房间至少1人的分法数为__________5. 棋盘⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯的车多项式为___________ 6. 由5个字母a,b,c,d,e 作成的6次齐次式最多可以有_________个不同类的项;7. ()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-∑=k n k kn k 201=_____________________8. 求由2个0,3个1和3个2作成的八位数的个数______________9.含3个变元x, y, z 的一个对称多项式包含9个项,其中4项包含x,2项包含xyz ,1项是常数项,则包含xy 的项数为____________10．已知()n f 是n 的3次多项式且()10=f ,()11=f ,()32=f ,()193=f ,则()=n f ____________g,表示把n元集划分成k个元素个数均不小于2的子集的不同方法数, 则11. 已()k n()2,n g=___________12.部分数为3且没有等于k的部分的n-分拆数________________13. 把24颗糖分成5堆,每堆至少有3颗糖,则有___________种分法三、计算题1．在1000至9999之间有多少个数字不同的奇数2、以3种不同的长度,8种不同的颜色和4种不同的直径生产粉笔,试问总共有多少种不同种类的粉笔3、至多使用4位数字可以写成多少个2进制数2进制数只能用符号0或14、由字母表L={a,b,c,d,e}中字母组成的不同字母且长度为4的字符串有多少个如果允许字母重复出现,则由L中字母组成的长度为3的字符串有多少个5、从{1,2,3……9}中选取不同的数字且使5和6不相邻的7位数有多少6、已知平面上任3点不共线的25个点,它们能确定多少条直线能确定多少个三角形7、计算数字为1,2,3,4,5且满足以下两个性质的4位数的个数： a数字全不相同； b数为偶数8、正整数7715785有多少个不同的正因子1除外9、50中有多少个0在结尾处10、比5400大并且只有下列性质的数有多少 a数字全不相同； b不出现数字2和711. 将m=3761写成阶乘和的形式;12. 根据序数生成的排列p=3214,其序号是多少13. 如果用序数法对5个文字排列编号,则序号为117的排列是多少14. 设中介数序列为120,向它所对应的4个文字的全排列是什么15. 按字典序给出所有3个文字的全排列;16. 按递归生成算法,依次写出所有的4个文字的全排列;17. 根据邻位互换生成算法,4个文字的排列4231的下一个排列是什不同的方案18. 有5件不同的工作任务,由4个人去完成它们,每件工作只能由一个人完成,问有多少种方式完成所有这5件工作19. 有纪念章4枚,纪念册6本,分送给十位同学,问有多少种分法如限制每人得一件物品,则又有多少种分法20．写出按次序产生的所有从1,2,3,4,5,6中任取2个的组合;21．给定一个n 边形,能画出多少个三角形使得三角形的顶点为n 边形的顶点,三角形的边为n 边形的对角线不是边22．试问x+y+z 的6次方中有多少不同的项23. 如果没有两个相邻的数在同一个集合里,由{1,2,…20}中的数可形成3个数的集合有多少24. 试列出重集{2·a,1·b,3·c}的所有3组合和4组合;25. 设{Fn}为fibonna 序列,求出使Fn = n 的所有的n;26. 试求从1到1000中,不能被4,5或6整除的个数27. 计算12+22+……+n228. 设某地的街道把城市分割成矩形方格,每个方格叫它块,某甲从家里出发上班,向东要走过7块,向北要走过5块,问某甲上班的路经有多少条29.设n=4,试求能除尽数n 的正整数的数目;30.求1+x 4+x 810 中x 20项的系数;31.试给出3个文字的对称群S 3中的所有元素,并说出各个元素的格式;32.有一BIBD,已知b=14,k=3,λ=2,求v 和r;33.将39写成∑a i i0≤a i ≤i 的形式;34.8个人围坐一圈,问有多少种不同的坐法35.求()()()()10,10103,1032,1021,10C C C C +⋯⋯+++36.试给出两个正交的7阶拉丁方;37.在3n+1个球中,有n 个相同,求从这3n+1个球中选取n 个的方案数;38.用红、黄两种颜色为一个等边三角形的三个顶点着色,问有多少种实质不同的着色方案39.在r,s,t,u,v,w,x,y,z 的排列中,求y 居x 和z 中间的排列数;40.求1040和2030的公因数数目;41.求1到1000中不被5和7整除,但被3整除的数的数目;42.求4444321n +⋯⋯+++的和;43.用母函数法求递推关系08621=+---n n n a a a 的解,已知a 0=0,a 1=1;44.试求由a,b,c 这3个文字组成的n 位符号串中不出现aa 图像的符号串的数目; 45.26个英文小写字母进行排列,要求x 和y 之间有5个字母的排列数;46.8个盒子排成一列,5个有标志的球放到盒子里,每个盒子最多放一个球,要求空盒不相邻,问有多少种排列方案47.有红、黄、蓝、白球各两个,绿、紫、黑球各3个,从中取出6个球,试问有多少种不同的取法;48.用b 、r 、g 这三种颜色的5颗珠子镶成的圆环,共有几种不同的方案49.n 个完全一样的球放到rn ≥r 个有标志的盒中,无一空盒,试问有多少种方案50.51.假设某个凸n 边形的任意三条对角线不共点,试求这凸n 边形的对角线交于多少个点52.求()()21432321+++⋯⋯+⨯⨯+⨯⨯=n n n S n 从k 个不同文字中取n 个文字作允许重复的排列,但不允许一个文字连续出现3次,求这样的排列的数目;53.求下图中从A 点出发到n 点的路径数;54.n 条直线将平面分成多少个区域 假设无三线共点,且两两相交;55.四位十进制数a b c d,试求满足a+b+c+d=31的数的数目;56.两名教师分别对6名学生面试,每位教师各负责一门课,每名学生面试时间固定,6名学生面试时间定于下周一的第1节至第6节课,两门课的面试分别在901和902两个教室进行;试问共有多少种面试的顺序;57. 对正六角形的6个顶点用5种颜色进行染色,试问有多少种不同的方案 旋转或翻转使之重合的视为相同的方案;58. 生成矩阵试求相应的校验矩阵H;59.由m 个0,n 个1组成的n+m 位符号串,其中n ≤m+1,试求不存在两个1相邻的符号串的数目;60.n 个男人与n 个女人沿一圆桌坐下,问两个女人之间坐一个男人的方案数,又m个女人n 个男人,且m<n,沿一圆桌坐下求无两个女人并坐的方案数;61.求由A,B,C,D 组成的允许重复的排列中AB 至少出现一次的排列数目;62.求满足下列条件：40321=++x x x ,2510,205,156321≤≤≤≤≤≤x x x 的整数解数目;63.求不超过120的素数的数目;64.试说明A 4群中各置换的不同格式及其个数;65.已知生矩阵求下列信息的码字（a ） 1110 b 1000 c 0001 d 110166.有n 个不同的整数,从中取出两组来,要求第1组的最小数大于另一组的最大数,有多少种取法67.设某组织有26名成员,要选一名主席,一名会计,一名秘书,且规定一人不得担任一个以上职务,问有多少种选法68.从整数1,2,…,100中选取两个数;1使得它们的差等于7；2使得它们的差小于或等于7,各有多少种选取方式69.有n 个相同的红球和m 个相同的白球；那么这m+n 个球有多少种不同的排列方式70.一个工厂里已装配了30辆汽车,可供选择的设备是收音机、空调和白圈轮胎;这30辆汽车中,15辆有收音机,8辆有空调,6辆是白圈轮胎,而这三种设备都具有的汽车有3辆,试求这三种设备都不具备的汽车至少有多少辆71.数1,2,…,9的全排列中,求偶数在原来位置上,其余都不在原来位置上的错排数目;72.在等于300的自然数中：1有多少个不能被3,5和7整除的数2有多少个能被3整除,但不能被5和7整除的数73.求下列数值函数的生成函数：1r r c a =r=0,1,2,…,其中C 为实数;2 ()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=r q a r r 1,r=0,1,2,…,其中a 为正整数;74.求下列生成函数的数值函数：其中()()2265x x x x A +-=75.用生成函数求下式之和： ()()().2121n n n n n ++•+• 76.一个人上楼梯,可以一步上一个台阶,也可以一步上两个台阶,令n a 表示有n个台阶时的上楼方式数,写出n a 的递推关系,并求解之;77.利用特征方程法解递推关系：78.求下列递推关系的特解 n n n n a a a 22321=+---求小于10000的含1的正整数的个数 2求小于10000的含0的正整数的个数;80．在100名选手之间进行淘汰赛即一场的比赛结果,失败者退出比赛,最后产生一名冠军,问要举行几场比赛81. 计算1,n 的无重不相邻组合()r n C ,的计数问题82. 某保密装置须同时使用若干把不同的钥匙才能打开;现有７人,每人持若干钥匙;须４人到场,所备钥匙才能开锁;问①至少有多少把不同的钥匙 ②每人至少持几把钥匙83. 凸10边形的任意三个对角线不共点,试求这凸10边形的对角线交于多少点又把所有对角线分割成多少段84.在5个0,4个1组成的字符串中,出现01或10的总次数为4的,有多少个85. 整数n 拆分成1,2,3,…,m 的和,并允许重复,求其母函数;86.某甲参加一种会议,会上有6位朋友,某甲和其中每人在会上各相遇12次, 每二人各相遇6次,每三人各相遇3次,每五人各相遇2次,每六人各相遇1次,1人也没有遇见的有5次,问某甲共参加了几次会议87. 给出下列等式的组合意义：a ()m k n k l n l m k n m n l ml ≥≥⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--∑=,10b ()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-+⋯⋯-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+l m l m m l m m l m m l m m l m l 12111 88.将正整数10写成3个非负整数321,,n n n 的和,要求6,4,3321≤≤≤n n n ,有多少种不同的写法89.89. 计算母函数()()()23121x x x x G +++=的头6项; 90. 红、白、黑三色球各8个,现从中取出9个,要求3种颜色的球都有,问有多少种不同取法91. 求序列()()()()()n n c n c n c n c n,1,,2,,1,,0,-⋯⋯-的母函数; 92. 解递归关系2,0,0102===+-a a a a n n93.求下列表达式中求出50a 的值94.设r a 是掷两个骰子时和为r 的方式数,其中第一个骰子的点数为偶数,第二个骰子的点数为奇数,求序列{}⋯⋯210,,a a a 的母函数;95. 有多少棵有n 个顶点的二叉数96．求下式之和97．展开多项式()4321x x x ++ 98.六个引擎分列两排,要求引擎的点火的次序两排交错开来,试求从一特定引擎开始点火有多少种方案;99.试求n 个完全一样的骰子掷出多少种不同的方案100. 写出全部部分数最小的19-完备分拆101. 已知()()nn n f -+=2,求()n f k ∆ 102. 求方程1742321=++x x x 的非负整数解的个数;四、证明题 1.证明：{1,2,…,n}的全排列的最大逆序数是nn-1/2;试确定具有nn-1/2个逆序的唯一排列;2.证()()()1,1,1++=-r n c r r n nc ．并给出组合意义.个完全一样的球,放到r 个有标志的盒子,n ≥r,要求无一空盒,试证其方案数为()1,1--r n c .4. 试证一整数是另一个整数的平方的必要条件是除尽它的数目为奇数．5. 试证明：()()()()1,1,,1,0++=+⋯⋯++m n c m n c m c m c6. 证明：Cn,02+Cn,12+…+Cn,n 2 = C2n,n7. 证明：若121==F F , 21--+=n n n F F F n>2,则其中α=1+√5/2,β=1-√5/28. N 个代表参加会议,试证其中至少有两个人各自的朋友数相等;9. 证明：()()6/12121222++=+++n n n n10.证明：()n n 2/!2是整数;11.证明：在边长为1的等边三角形内任取5点,试证至少有两点的距离小于1/2;12.证明： ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+110111n n n n n F F F F 其中n F 定义为：121==F F ,21--+=n n n F F F13.任取11个整数,求证其中至少有两个数它们的差是10的倍数;14.在边长为1的正方形内任取5点,试证其中至少有两点,2;15.若H 是群G 的子群,试证：|xH|=K, 其中K ＝|H|,x ∈G;16.二维空间的点x,y 的坐标x 和y 都是整数的点称为格点;任意5个格点的集合A,试证A 中至少存在两个点,它们的中点也是格点;17.证明：在由字母表{0,1,2}生成的长度为n 的字符串中,0出现偶数次的字符串有3n +1/2个;18.试证任意r 个相邻的正整数的连乘积n+1n+2…n+r 必被r 除尽;19.证明：()()()()()()()n m c n m c n m c n m c m c n m c m c n ,20,,1,11,,0,=-+⋯⋯+--+20.证明()()()12,2,21,-=+⋯⋯++n n n n nc n c n c21. 任取5个整数,试求其中必存在3个数,其和能被3整除;22. 若H 是群G 的子群,x 和y 是G 的元素;试证xH ∩yH 或为空集,或xH=yH.23. 令S={1,2,…,n+1},n ≥2,(){}z y z x S z y x T <<∈=,,,,试证：()()3,122,1......21222+++=+++=n C n C n T ;24. 证明：任何K 个相继的正整数之积,必是r 的倍数,其中r=1,2,…,K;25. 求证：()221++n n =()()()n n n n n n 212212-+++;26. 使用二项式定理证明()k n k nk n 20=∑=,试推广到任意实数r,求()k n k nk r 0=∑; 27. 证明C B A C B C A B A C B A C B A +---++=28. 证明任何k 个相继正整数中,有一个必能被k 整除;29. 证明在小于或等于2n 的任意n+1个不同的正整数中,必有两个是互等的;30. 证任一正整数n 可唯一地表成如下形式:,0≤a i ≤i,i ＝1,2,…; 31. 对于给定的正整数n,证明当 时,()k n C ,是最大值;32. 证明在由字母表{0,1,2}生成的长度为n 的字符串中,0出现偶数次的字符串有个；33. 设有三个7位的二进制数：7654321a a a a a a a ,7654321b b b b b b b ,7654321c c c c c c c ;试证存在整数i 和j,71≤≤≤j i ,使得下列之一必定成立,j i j i j i j i j i j i c c b b c c a a b b a a =========,,;34.证明：在n 阶幻方中将每个数码a 换成a n -+12,所得的阵列仍是一个n阶幻方;注：所谓幻方是指一个n n ⨯方阵,其中的元素分别是22,1n ⋯⋯,且每列的元素和均相等35.证明：把有n 个元素的集合s 划分为k 个有序集合的个数等于n k36.试证明：()()()1,,111/10<-+-=+∑∞=x x k k n c x k kk n37.证明：如果在边长为1的等边三角形内任取10个点,则必有2个点,它们的距离不大于1/3;测 试 题 答 案——组合数学一、选择题二、填空题1. 2676. 2107. 08. 4209. 210. 135223++-n n n11. 121---n n 12. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎥⎦⎤⎢⎣⎡+21232k n n 13. 23三、计算题1、 在1000至9999之间的数都是4位数;我们可以先选个位,再选千位,百位和十位;因为我们要的数是奇数,所以个位数字可以是1,3,5,7,9中的任何一个,即有5种选择;选定个位数之后,十位就只有8种选择了;百位也只有8种选择,而十位则只有7种选择,因此应用乘法原则,问题的答案是5×8×8×7=2240种;2、 在这个问题中,我们要计算的是组合数,因为粉笔的特性与上面三种数的顺序无关,利用乘法法则可知共有3×8×4=96种不同种类的粉笔;3、 因为2进制数必须考虑其数字的次序,故要计算的是排列问题;有4种选择要做,并且每种都可以独立地选择0或1,于是有2×2×2×2=24=16种至多4位数字的2进制数,它们分别是{0,1,10,11,100,101,111,1000,1001,1010,1011,1100,1101,1110,1111}4、 从5个字母中选取4个组成的字符串共有p5,4=5×4×3×2=120种;如果允许字母重复出现,则长度为3的字符串共有5×5×5=125种;5、 可以这样考虑：在9个数字中不重复地选取7个作排列共有()7,9P 种,其中出现5和6相邻的排列数共有()5,762P ⨯⨯种,因为出现5和6相邻的排列可看成是从1,2,3,4,7,8,9七个数中选5个排列后,将56或65插入到这5个数的6个间隔位置上数前、数后及两个数字之间的间隔共6个位置,所以包含相邻的5和6的7位数共有()5,762P ⨯⨯,于是所求数的个数为()()1512005,7627,9=⨯⨯-P P ;6、 因为任3点均不共线,所以25个点中每两个点组成一条直线,每3个点了构成一个三角形,所以共有()3002,25=C 条直线和()23003,25=C 个三角形;7、 因为所求的数为偶数,所以个位只有2种选择：2或4;因为4位数字全不相同,所以乘余3位数只能是1,2,3,4,5中去掉用于个位数的数字之后的4个数字的3排列,可是共有2×P4,3=24个这样的数;8、 因为117537715785324⨯⨯⨯=,所以共有()()()()119111131214=-++++个不同的正因子 9、因为在1到50中共有10个数含有因子5而这10个数中又有2个包含有因子25;因此50中含有10+2=12个5因子,显然50中至少含有12个因子2,因为在1到50这50个数中有25个是偶数所以50中含有12个因子10,即50在结尾处有12个0;10、符合条件的数可分成以下几类：18位数：共有7×P7,7=35280个27位数：共有7×P7,6=35280个36位数：共有7×P7,5=17640个45位数：共有7×P7,4=5880个54位数：8位数>5的有3×P7,3=630个8位数=5,百位数>4的有4×P6,2=120个 8位数=5,百位数=4的有P6,2=30个所以符合条件的数共有94860个11. 3761 =5·6+5+4+2·3+2+112. 因为和p=3214对应的中介数是021,所以p 的序号为m=0·3+2·2+1=5,即p 是第5个排列13. 因为117=4·4+3·3+2+1,则中介数为4311,所以序号为117的5个文字的全排列为54231;14. 因为a1=0,所以2在1的右边,a2=2,所以3在1和2的左边,a3=1,所以4在2的前面且在3和1的后面,因此所对应的排列为3142;15. 123,132,213,231,312,32116. 1234 1243 1423 4123 1324 1342 1432 4132 3124 3142 3412 4312 2134 2143 2413 4213 2314 2341 2431 4231 3214 3241 3421 432117. 排列4231的下一个排列是4213;18. 因为5件工作中的每一件工作都可由4个人中的任一人完成,因此每件工作有4种分配方法,所以总共有4×4×4×4×4=1024种完成任务的方案;19. 因为没有限制一个同学可得纪念章和纪念册的个数,所以将4枚纪念章分给十个同学的方法有C10+4-1,4=C13,4,将6本纪念册分给十个同学的方法有C10+6-1,6=C15,6,所以若有C13,4、C15,6种方案;20. 如果限制每人得1件物品,则共有10/4612,13,14,15,16,23,24,25, 26,34,35,36,45,46,5621. 因为n边形的每个顶点有n-3条对角线,要使另一边也是对角线,则选中的两条对角线不能相邻,于是相当于在n-4条对角线中选2条对角线作三角形的两边,另一条边即为此二对角线顶点的连线;所以共有Cn-4,2个这样的三角形,有n个顶点,共有n·cn-4,2个三角形;但这里有重复,因为每一个满足条件的三角形在三个顶点处重复了3次,所以真正不同的三角形只有n·cn-4,2/3.例如,6边形中可以找出6·c2,2/3=2个这样的三角形;22. 共有C3+6-1,6=C8,6=C8,2=28项;23. 因为可以在{1,2,…,18}中任取3个的组合同在{1,2,…,20}中任取3个没有相邻的数组成的集合之间建立起一一对应关系,所以答案是C18,3=81624.{c,c,c},{b,c,c},{a,c,c},{a,b,c},{a,a,c},{a,a,b},共6个3组合,{a,c ,c,c},{b,c,c,c},{a,b,c,c},{a,a,c,c},{a,a,b,c}共5个4组合;25. F1 = 1, F 5 = 526. 因为能被4整除的有10000/4=2500,能被5整除的有1000/5=2000,能被6整除的有10000/6=1666,能同时被4,5整除的有10000/20=500,能同时被4,6整除的有10000/24=416,能同时被5,6整除的有10000/30=333,能同时被4,5,6整除的有10000/120=83,所以符合要求的有10000-2500+2000+1666+500+416+333-83=5000个27. 因为k2=2Ck,2+Ck,1=2×kk－1/2+k= k2所以12+22+……+n2=2C1,2+C2,2+……+Cn,2+C1,1+C2,1+……+Cn,1=2×Cn+1,3+Cn+1,2=2×n+1nn－1/3×2+n+1n/2=nn+12n+1/628. N=C7+5,7=C7+5,5=C12,5=792一般情况 N=Cm+n,n29. N=1+51+21+31+4=36030.令x4=y, 则x8=y2, x20=y5,于是1+y+y210中y5项的系数N即为1+x4+x810中x20项的系数,而y5=yy·y·y·y=y·y·y·y2=y·y2·y2,于是N=C10,5+c10,3c7,1+c10,1 ·c9,2=132631 S3={123,23,12,13,123,132}123的格式是1323,12,13的格式是1122123,132的格式是3132 因为bk=vr , rk-1=λv-1,已知 b=14,k=3,λ=2所以 14×3=vr 即时 vr=42 求得 v=7 r3-1=2v-1 2r=2v-1 r=6 33. 39=4+23+2+1=24+12+2+134. N=7=504035. 因为Cn,1+2Cn,2+…+nCn,n=n2n-1所以C10,1+2C10,2+…+10C10,10=10210-1=512036. ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛6543217543217643217653217654217654317654327654321和⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛5432176321765417654326543217432176521765437654321 37. N=C2n+1,0+C2n+1,1+…+C2n+1,2+…+C2n+1,n=2C2n+1,0+C2n+1,1+…+C2n+1,n/2=C2n+1,0+C2n+1,2n+1+C2n+1,1+C2n+1,2n+… +C2n+1,n+C2n+1,n+1/2=22n+1/2=22n =4n 38. N=23+221+322/6=439. 解：N=27=1008040. 解：∵M=gcd1040,2030=240530,∴N=40+130+1=127141. 解：N=int1000/3-int1000/15-int1000/21+int1000/105=333-66-47+9=22942. 解： ∵ △S n =S n+1-S n =n+14∴可设S n =ACn,0+BCn,1+CCn,2+DCn,3+ECn,4+FCn,5,于是可知：A=0 解得： A=0A+B=1 B=1A+2B+C=17 c=15A+3B+3C+D=98 D=50A+4B+6C+4D+E=354 E=60A+5B+10C+10D+5E+F=979 F=24所以 S n =Cn,1+15Cn,2+50Cn,3+60Cn,4+24Cn,5=nn+12n+13n 2+3n-1/3043．解：特征函数为x 2-6x+8=0,x 1=2,x 2=4,所以可设a n =A2n +B4n ,于是 a 0=0=A+B 解得 A=-1/2a 1=1=2A+4B B=1/2即a n =4n -2n /244．解：设a n 为n 位符号串中不出现aa 图像的符号串的个数,则a n =2a n-1+2a n-2,即 a n －2a n-1－2a n-2＝０,a 1=3,a 2=8,由此知 a 0=1;特征方程为x 2-2x-2=0, x 1=1+√3 , x 2=1-√3 ,可设a n =A1+√3n +B1-√3n ,于是有 a 0 = 1 =Ａ＋Ｂa 1 = 3 = 1+√3A+ 1-√3B解此方程组得 Ａ=３＋2√3/6B=３-2√3/6a n=３＋2√31+√3n+３-2√31-√3n/645．解：M=220 5 C24,5=402446.解：如图_0_0_0_0_0_ ,3个空盒可插在两个球之间,共有C6,3=20种方案,5个有标志的球共有5种排序,所以总计有M=205=2400种排列方案;47.解：母函数为Gx= 1+x+x241+x+x2+x33,其中x6的系数为M=110+412+1012+1610+196+163+101=510,因为Gx= 1+4x+10x2+16x3+19x4+16x5+10x6+4x7+x8×48. 解：运动群G={12345,1 2 3 4 5,1 3 5 2 4,1 4 2 5 3, 1 5 4 3 2 , 12534, 21345, 32415, 43512, 51423}={ p1,p2,p3,p4,p5,p6,p7,p8,p9,p10}c p1=5, cp2=cp3= cp4=cp5=1, cp6=cp7= cp8= cp9= cp10=3, m=3,|G|=10,据Plya定理,M=1/|G|m cp1+ m cp2+ m cp3+;;;+ m cp10=1/1035+431+533=1/10243+12+45=30;49．Ｃｎ－１,ｒ－１将ｎ个球排成一行,两球之间有一间隔,共有ｎ－１个间隔;在此ｎ－１个间隔中任取ｒ－１个,将ｎ个球分成ｒ段,将第ｉ段的球其中至少有１球放入第ｉ个盒子,所以共有Ｃｎ－１,ｒ－１种方案;50.Ｃｎ,４凸ｎ边形有ｎ个顶点,任取其中４个顶点可以组成一个凸４边形,该４边形的两条对角线有一个交点,所以凸ｎ边形的对角线交于Ｃｎ,４个交点根据假设,没有３条对角线相交于一点;51.Ｓｎ＝ｎｎ＋１ｎ＋２ｎ＋３／４Ｓｎ＝１·２·３＋２·３·４＋．．．＋ｎｎ＋１ｎ＋２＝３１·２·３／３＋２·３·４／３＋．．．＋ｎｎ＋１ｎ＋２／３＝３Ｃ３,３＋Ｃ４,３＋．．．＋Ｃｎ＋２,３＝３Ｃ３,０＋Ｃ４,１＋．．．＋Ｃｎ＋２,ｎ－１＝３Ｃｎ＋３,ｎ－１＝３Ｃｎ＋３,４＝ｎｎ＋１ｎ＋２ｎ＋３／４52.ａｎ＝ｋ／２ｋ－１＋ｋ／２·ｓｑｒｔｋ－１ｋ＋３·ｋ－１＋ｓｑｒｔｋ－１ｋ＋３／２ｎ＋ｋ／２ｋ－１－ｋ／２·ｓｑｒｔｋ－１ｋ＋３·ｋ－１－ｓｑｒｔｋ－１ｋ＋３／２ｎ假设从ｋｋ＞１个不同文字取出ｎ个可以重复作排列,但不允许一个文字连续出现３次的排列所组成的集合为Ａｎ,则所求排列数ａｎ＝｜Ａｎ｜;将Ａｎ中的字符串按最后一个文字可以分成两类：一类是最后一个文字同其前一个文字不相同的那些字符串,共有ｋ－１ａｎ－１个最后一位有ｋ－１种选择,而前ｎ－１位是没有一个文字连续出现３次的字符串,另一类是最后两个文字相同,但与倒数第３个文字不相同的字符串,共有ｋ－１ａｎ－２个,所以有递推关系ａｎ＝ｋ－１ａｎ－１＋ｋ－１ａｎ－２而ａ１＝ｋ,ａ２＝ｋ２,ａ３＝ｋ３－ｋ＝ｋｋ－１ｋ＋１递推关系的特征方程为ｘ２－ｋ－１ｘ－ｋ－１＝０其根为：α１＝ｋ－１＋ｓｑｒｔｋ－１ｋ＋３／２α２＝ｋ－１－ｓｑｒｔｋ－１ｋ＋３／２于是知ａｎ＝Ａ１α１ｎ＋Ａ２α２ｎ由于ａ１＝ｋ,ａ２＝ｋ２,由递推关系知ａ０＝ｋ／ｋ－１,所以ａ０＝ｋ／ｋ－１＝Ａ１α１０＋Ａ２α２０Ａ＝Ａ１＋Ａ２ａ１＝ｋ＝Ａ１α１１＋Ａ２α２１＝Ａ１ｋ－１＋ｓｑｒｔｋ－１ｋ＋３／２＋Ａ２ｋ－１－ｓｑｒｔｋ－１ｋ＋３／２解得Ａ１＝ｋ／２ｋ－１＋ｋ／２·ｓｑｒｔｋ－１ｋ＋３Ａ２＝ｋ／２ｋ－１－ｋ／２·ｓｑｒｔｋ－１ｋ＋３所以ａｎ＝ｋ／２ｋ－１＋ｋ／２·ｓｑｒｔｋ－１ｋ＋３·ｋ－１＋ｓｑｒｔｋ－１ｋ＋３／２ｎ＋ｋ／２ｋ－１－ｋ／２·ｓｑｒｔｋ－１ｋ＋３·ｋ－１－ｓｑｒｔｋ－１ｋ＋３／２ｎ53.fn＝１＋√５／２n＋1－１－√５／２n＋1／√５假设从A编号为０到编号为i的顶点有fi条路径,则f１＝１,f２＝２,当i＞2时,fi＝fi-1＋fi－2,由此知f０＝fA＝１;当i＝n时,fn＝fn-1＋fn－2,即fn－fn-1－fn－2＝０;其特征方程为：x2－x－1=0,它的两个根分别为：α１＝１＋√５／２,α２＝１－√５／２;于是知fn＝Ａ１α１ｎ＋Ａ２α２ｎ,根据f０＝１＝A1＋A2f１＝１＝A1１＋√５／２＋A2１－√５／２,解得A1＝１＋√５／２√５,A2＝１－√５／２√５所以,fn＝１＋√５／２n＋1－１－√５／２n＋1／√５＝Fn＋1其中Fn为第n个Fibonacci数;54.a n＝n2＋n＋２／２设n条符合条件的直线将平面分成a n个区域,那么n－１条直线可将平面分成a n－１个区域,而第n条直线与前n-1条直线均相交,有n－１个交点,因此第n条直线被分成n段,而每一段对应一个新增的区域,所以有a n＝a n－１＋n,即a n－a n－１＝n;于是a n－１－a n－２＝n－１,由此得a n－２a n－１＋a n－２＝１,同样有a n－１－２a n－２＋a n－３＝１,故得a n－３a n－１＋３a n－２－a n－３＝０,其特征方程为x3－３x2＋３x－1＝０,解此方程得α＝α１＝α２＝α３＝１,所以a n＝A0＋A1n＋A2n2αn＝A0＋A1n＋A2n2 ,而a0＝１＝A0a1＝２＝A0＋A1＋A2a２＝４＝A0＋２A1＋４A2解得A0=1A1=1/2A2=1/2由此知a n＝n2＋n＋２／２55、56因为x1＋x2＋x3＋x４＝31,x i≥0i＝１,２,３,４的整数解共有C4+31-1,31＝C34,３＝34·33·32/6＝5984个;再考虑x1＋x2＋x3＋x４＝31,x i≥１0i＝１,２,３,４的整数解的个数;令N为全体非负整数解,则｜N｜＝5984;令A i i＝１,２,３,４为其中x i≥１0的解集合;则｜A1｜即为x1＋10＋x2＋x3＋x４＝31,也就是x1＋x2＋x3＋x４＝21的非负整数解的个数;所以,｜A1｜＝C４＋21－１,21＝C24,3＝24·23·22/6＝2024;同理可知｜A２｜＝｜A３｜＝｜A４｜＝｜A1｜＝2024;类似地,｜A i∩A j｜＝C4＋11－１,11＝C14,3＝14·13·12/6＝364１≤i<j≤4,｜A i∩A j∩A k｜＝C4＋1－１,1＝C4,1＝4１≤i<j<k≤4,而｜A１∩A２∩A３∩A４｜＝０;根据容斥原理,a＋b＋c＋d＝31,０≤a,b,c,d≤９的整数解个数等于｜１∩ ２∩ ３∩ ４｜＝｜N｜－４｜A１｜＋C4,2｜A１∩A２｜－C4,3｜A１∩A２∩A３｜＋｜A１∩A２∩A３∩A４｜＝5984－4·2024＋6·364—4·4＋0＝5656. 190800假设６个学生参加第１位教师的面试的顺序为１、２、３、４、５、６即对第１个面试的学生编号１,．．．,对第６个面试的学生编号６,那么,这６个学生参加第２位教师的面试的顺序必定是１、２、３、４、５、６的一个错排;不然,就有至少一个学生要同时参加两为教师的面试;于是面试方案总数为6D6＝661－1＋1/2－1/3＋1/4－1/5＋1/6＝6256＝19080057. 1505对应于旋转与翻转的运动群的置换为：p1不动123456 格式为１６p2逆时针旋转60o 123456 格式为６１p3逆时针旋转120o 135246 格式为32p4逆时针旋转180o 142536 格式为23p5逆时针旋转240o 153264 格式为32p6逆时针旋转300o 654321 格式为６１p7沿14轴翻转142635 格式为12２2p8沿25轴翻转251346 格式为12２2p9沿36轴翻转361524 格式为12２2p10沿12边54边中线翻转123645 格式为２３p11沿23边56边中线翻转142356 格式为２３p12沿16边34边中线翻转162534 格式为２３所以,总方案数为l＝56＋2·51＋2·52＋4·53＋3·54/12＝18060/12＝150558．因为而59. Ｃm＋１,ｎ将ｍ个０排成一行,两个０之间有一间隔,共有ｍ＋１≥ｎ个间隔包括头尾处的间隔;在此ｍ＋１个间隔中任取ｎ个插入１,则所得符号串满足要求,所以共有Ｃｍ＋１,ｎ个这样的符号串;60. ｎ－１ｎ,ｎ－１ｎ／ｎ－ｍ先让ｎ个男人围坐一圈,共有ｎ－１种坐法;对应于每一种坐法,有n 个间隔,将n 个女人排成一行插入这n 个间隔中,有n 种方案,所以共有n —1n 种不同的坐法;若只有mm<n 个女人,则在n 个间隔中任取m 个排列,将m 个女人插入这n 个间隔中,有Pn,m ＝n/n-m 种方案,所以共有n-1n/n-m 种不同的坐法;61．ａｎ＝4ｎ-√32+√3n+1/6+√32-√3n+1/6设长度为n 的由A 、B 、C 、D 组成的允许重复的排列中AB 至少出现一次的排列所组成的集合为S n ,又设ａｎ＝｜S ｎ｜;而AB 一次也不出现的排列所组成的集合为B n ,又设b ｎ＝ ｜B ｎ｜;可将S ｎ中的所有排列按AB 出现的位置分为两类：一类是在前n-1位中均未出现AB,它仅出现在最末两位,则这种排列共有b n-2个;另一类是在前n-1位中已出现AB,而最后一位可以是A 、B 、C 、D 中的任一个,所以这类排列共有4a n-1个,于是知ａｎ＝4a n-1 +b n-2,而ａｎ+b n =4n ,即a ｎ-2+b n-2=4n-2,也就是b n-2=4n-2 -a ｎ-2,由此知ａｎ＝4a n-1 +4n-2 -a ｎ-2,即ａｎ-4a n-1 +a ｎ-2=4n-2,可推知4ａｎ-1-4a n-2 +a ｎ-3=4n-2于是得ａｎ-8a n-1 +17a ｎ-2-4a n-3=0,其特征方程为x 3-8x 2+17x-4=0,解此方程得α１＝4,α２＝2+√3,α３＝2-√3,所以可设ａｎ＝A 1α１n +A 2α２n +A 3α３n,已知ａ1＝0,a 2 =1,由此推知a 0=0,所以有a 0=0= A 1+A 2+A 3a 1=0= 4A 1+2+√3A 2+2-√3A 3a 2=1= 16A 1+7+4√3A 2+7-4√3A 3化简得A 1+A 2+A 3=02A 1+√3A 2-√3A 3=09A 1+4√3A 2-4√3A 3=0解得A 1=1A 2=-3+2√3/6A 3=-3-2√3/6所以ａｎ=4ｎ-3+2√32+√3n /6-3-2√32-√3n /6=4ｎ-√32+√3n+1/6+√32-√3n+1/662．135令y 1+6=x 1,y 2+5=x 2,y 3+10=x 3,则0≤y 1≤9,0≤y 2≤15,0≤y 3≤15,于是有y 1+6+y 2+5+y 3+10=40,即y 1+y 2+y 3=19,0≤y 1≤9,0≤y 2≤15,0≤y 3≤15,因为y 1+y 2+y 3=19的非负整数解的个数为C3+19-1,19=C21,2=21·20/2=210;令A 1是y 1+y 2+y 3=19当y 1≥10时的非负整数解集合,则| A 1|=C3+9-1,9=C11,2=11·10/2=55,令A 2是y 1+y 2+y 3=19当y 2≥16时的非负整数解集合,则| A 2|=C3+3-1,3=C5,2=5·4/2=10,令A 3是y 1+y 2+y 3=19当y 3≥16时的非负整数解集合,则| A 3|=C3+3-1,9=C5,2=5·4/2=10,而且| A 1 ∩A 2|=| A 2 ∩A 3|=| A 1 ∩A 3|=0,| A 1 ∩A 2 ∩A 3|=0,根据容斥原理可知,符合条件的解的个数为｜１∩ ２∩ ３｜=210-55+10+10=210-75=13563．30设S={1,2,3,…,120},若n ∈S 且n 为合数,即n=n 1·n 2,则因为11·11=121>120,所以n 1或n 2中必有一数∈{2,3,5,7};设A1表示S中能被2整除的数,则| A1|=int120/2=60intx表示不超过x的最大整数,设A2表示S中能被3整除的数,则| A2|=int120/3=40,设A3表示S中能被5整除的数,则| A3|=int120/5=24,设A4表示S中能被7整除的数,则| A4|=int120/7=17,而且,| A1∩A2|=20,| A1∩A3|=12,| A1∩A4|=8,| A2∩A3|=8,| A2∩A4|=5,| A3∩A4|=3,| A1∩A2∩A3|=4,| A1∩A2∩A4|=2,| A1∩A3∩A4|=1,| A2∩A3∩A4|=1,| A1∩A2∩A3∩A4|=0,所以,根据容斥原理知,S中既不是2、3、5的倍数,也不是7的倍数的个数共有120-60+40+24+17+20+12+8+8+5+3-4+2+1+1+0=176-149=27但是,这27个数中包含了1,它不是素数,却没有包含2、3、5、7,所以,1至120之间的素数共有27-1+4=30个;64．因为A4={1234,123,124,132,134,142,143,234,243,1234,1324,1423},它共有12个置换,其中格式为14的有1个：1234,格式为1131的有8个：123,124,132,134,142,143,234,243,格式为22的有3个：1234,1324,142365． a w1=1111G=1111111b w2=1000G=1000011c w3=0001G=0001111d w4=1101G=110100166．n-22n-1+1从n个不相同的数a1,a2,. . . ,a n中取出rr=2,3,. . . ,n个,将这r个数从小到大排序：a i1≤a i2≤. . . ≤a ir;将这r个数分成前后两部分,使每一部分非空,共有r-1种分法;前面部分形成第2组,后面部分形成第1组,则第1组中的最小数大于第2组中的最大数;所以满足条件的取法共有r=2∑n Cn,rr-1=r=2∑n rCn,r-r=2∑n Cn,r= r=1∑n rCn,r-Cn,1-r=0∑n Cn,r- Cn,1- Cn,0=n2n-1-n-2n-n-1=n-22n-1+167. 解根据题设,无论选哪一名,有26种可能结果；余下选一名只有25种可能结果；最后选一名就只有24种可能结果;由于同时选出三名,所以由积的法则知,共有26×25×24=15600种选法;68. 解 1这100个数的前7个数,任选取两个数的差不可能等于7,只有100－7=93种选取方式,才能使这100个数两数之差等于7;2同理,选取两数之差等于6的有100－6=94种选取方式；等于5的有100－5=95；…,等于1的有100－1=99种;以上两数之差均小于7;故两数的差小于或等于7的选取方式,根据和的法则,共有94+95+96+97+98+99+93=672种选取方式;69. 解 这是一个多重集S=｛n ·红球；m ·白球｝的重复排列问题;S 的一个排列就是它的m+n 个元素的一个全排列,因为S 中有n 个红球,在排列时要占据n 个位置,这些位置的选法是C n n m +种,接下去,在剩下的n+m －n=m 个位置选择m 个位置的选法是 C m m ,由积运算法则,S 的排列数为N=Cn n m +·C m m =()!!!m n n m + ·1=()!!!n m n m +,以下化为较简单形式：()!!!m n n m •+=()()()[]!!!11m n n m n n m n m •--+-++ =()()()!!!11m n m m n m n •+-++ =()()()!11n m m n m n +-++这即为所求排列方式数; 70. 解 设分别具备这三种设备的汽车依次为A 1,A 2,A 3,由题设151=A ,82=A ,63=A , 33323121321===⇒=A A A A A A A A A ,于是这三种设备都不具备的汽车,由容斥原理2知为32132132130A A A A A A A A A -== =()()[]32132312132130A A A A A A A A A A A A +++-++- =()()[]73333681530=+++-++-71. 解 实际上是求奇数1,3,5,7,9这5个数的移位排列数目Dn,由于n=5,所以： D5=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-+-!51!41!31!21!111!5 =⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-+-•1201241612111120 =()44120152060120=-+-•72. 解 设A 1,A 2,A 3分别为能被3,5,7整除的集合,则10033001=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=A , 6053002=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=A ,4273003=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=A ；205330021=⎥⎦⎤⎢⎣⎡•=A A ,147330031=⎥⎦⎤⎢⎣⎡•=A A , 87530032=⎥⎦⎤⎢⎣⎡•=A A ；2753300321=⎥⎦⎤⎢⎣⎡••=A A A ; 1由容斥原理2知,不能被3,5,7整除的数的个数为： =()()[]321323121321300A A A A A A A A A A A A +++-++-=()()[]1382814204260100300=+++-++-2能被3整除但不能被5和7整除的数的个数为：=6821420100=+--。
组合练习题及答案
组合练习题及答案练习题一：组合的基本运算1. 给定集合A={1, 2, 3, 4}，求A的所有子集。
2. 集合B={a, b, c}，求B的所有真子集。
3. 若集合C={1, 2, 3}，求C的幂集。
4. 集合D={x | x是小于10的正整数}，求D的元素个数。
答案一：1. 集合A的子集有：∅, {1}, {2}, {3}, {4}, {1, 2}, {1, 3}, {1, 4}, {2, 3}, {2, 4}, {3, 4}, {1, 2, 3}, {1, 2, 4}, {1, 3, 4}, {2, 3, 4}, {1, 2, 3, 4}。
2. 集合B的真子集有：∅, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}。
3. 集合C的幂集为：∅, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}。
4. 集合D的元素个数为9，因为D={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}。
练习题二：组合的应用问题1. 从5个不同的球中选出3个球，有多少种不同的选法？2. 有6个人参加一个会议，需要选出3个人组成委员会，有多少种不同的组合方式？3. 一个班级有30个学生，需要选出5个学生代表，有多少种不同的组合方式？4. 一个团队有10名成员，需要选出队长和副队长各一名，有多少种不同的选择方式？答案二：1. 从5个不同的球中选出3个球的选法为C(5, 3) = 5! / (3! * (5-3)!) = 10种。
2. 从6个人中选出3个人组成委员会的组合方式为C(6, 3) = 6! / (3! * (6-3)!) = 20种。
3. 从30个学生中选出5个学生代表的组合方式为C(30, 5) = 30! / (5! * (30-5)!)。
4. 从10名成员中选出队长和副队长的组合方式为C(10, 1) * C(9, 1) = 10 * 9 = 90种。
组合数学习题答案.
第一章答案 第二章答案 第三章答案 第四章答案第一章答案1．(a) 45 ( {1,6},{2,7},{3,8},…,{45,50} )(b) 45⨯5+(4+3+2+1) = 235( 1→2~6, 2→3~7, 3→4~8, …,45→46~50, 46→47~50, 47→48~50, 49→50 ) 2．(a) 5!8!(b) 7! P(8,5) (c) 2 P(5,3) 8! 3. (a) n!P(n+1, m) (b) n!(m+1)!(c) 2!((m+n-2)+1)! 4. 2 P(24,5) 20!5. 2⨯5⨯P(8,2)+3⨯4⨯P(8,2)6. (n+1)!-17. 用数学归纳法易证。
8. 41⨯319. 设 n=p 1n 1p 2n 2…p kn k , 则n 2的除数个数为 ( 2p 1+1) (2p 2+1) …(2p k+1).10．1）用数学归纳法可证n 能表示成题中表达式的形式；2）如果某n 可以表示成题中表达式的形式，则等式两端除以2取余数，可以确定a 1；再对等式两端的商除以3取余数，又可得a 2；对等式两端的商除以4取余数，又可得a 3；…；这说明表达式是唯一的。
11．易用C(m,n)=m!/(n!(m-n)!)验证等式成立。
组合意义：右：从n 个不同元素中任取r+1个出来，再从这r+1个中取一个的全体组合的个数；左：上述组合中，先从n 个不同元素中任取1个出来，每一个相同的组合要生复 C(n-1,r) 次。
12．考虑,)1(,)1(101-=-=+=+=∑∑n nk k k n nnk kknx n x kC x x C 求导数后有令x=1, 即知.210-==∑n nk kn n kC13. 设此n 个不同的数由小到大排列后为a 1, a 2, …, a n 。
当第二组最大数为a k 时，第二组共有2k-1种不同的可能，第一组有2n-k -1种不同的可能。
组合排列测试题及答案
组合排列测试题及答案一、选择题1. 以下哪个选项不是排列？A. ABCB. ACBC. ABCDD. ACBD答案：C2. 从5个不同的元素中取出3个元素进行排列，有多少种不同的排列方式？A. 20B. 60C. 120D. 5答案：B3. 以下哪个选项是组合？A. ABCB. ACBC. ABD. A, B, C答案：D4. 从4个不同的元素中取出2个元素进行组合，有多少种不同的组合方式？A. 6B. 12C. 8D. 4答案：A二、填空题1. 有5个不同的数字，进行全排列，共有________种排列方式。
答案：1202. 从6个不同的元素中取出3个元素进行组合，共有________种组合方式。
答案：20三、解答题1. 一个班级有10个学生，要选出3个学生代表参加比赛，有多少种不同的选法？答案：从10个学生中选出3个学生代表，这是一个组合问题，可以使用组合公式 C(n, k) = n! / (k!(n-k)!) 来计算，其中 n=10，k=3。
所以 C(10, 3) = 10! / (3! * (10-3)!) = 120 种不同的选法。
2. 有8个不同的球，要求将它们排成一行，其中3个白球必须相邻，其余5个黑球可以任意排列，求有多少种不同的排列方式？答案：首先考虑3个白球作为一个整体，那么问题就转化为排列6个元素（3个白球作为一个整体，5个黑球）。
总共有6!种排列方式。
但是3个白球之间也有3!种排列方式，所以总的排列方式为 6! * 3! = 4320 种不同的排列方式。
组合数学题目及标准答案
组合数学题目及标准答案————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：组合数学例1: 将8个“车”放在8×8的国际象棋棋盘上，如果它们两两均不能互吃，那么称8个“车”处于一个安全状态。
问共有多少种不同的安全状态?解：8个“车”处于安全状态当且仅当它们处于不同的8行和8列上。
用一个排列a1,a2,…,a8 ，对应于一个安全状态，使ai 表示第i 行的ai 列上放置一个“车”。
这种对应显然是一对一的。
因此，安全状态的总数等于这8个数的全排列总数8!＝40320。
例4：n 位客人在晚会上每人与他人握手d 次，d 是奇数。
证明n 偶数。
证：由于每一次握手均使握手的两人各增加 一次与他人握手的次数，因此n 位客人与他人握手 次数的总和 nd 是偶数 — 握手次数的2倍。
根据奇偶 性质，已知d 是奇数，那么n 必定是偶数。
例４ 从1到2n 的正整数中任取n +1个，则这n +1个数中，至少有一对数，其中一个是另一个的倍数。
证 设n +1个数是a 1, a 2, ···, an +1。
每个数去掉一切2的因子，直至剩下一个奇数为止。
组成序列r 1, r 2,, ···, rn +1。
这n +1个数仍在[1 , 2n ]中，且都是奇数。
而[1, 2n ]中只有n 个奇数，故必有ri =rj = r , 则ai = 2αi r , aj = 2αj r 。
若ai ＞aj ，则ai 是aj 的倍数。
例5 设a 1, a 2, ···, am 是正整数，则至少存在一对k 和l , 0≤k<l ≤m ，使得和ak+1+ ak +2+ ···+ al 是m 的倍数。
证 设Sh = , Sh ≡rh mod m, 0≤rh ≤m -1，h = 1 , 2 , ···, m . 若存在l , Sl ≡0 mod m 则命题成立．否则，1≤rh ≤m -1．但h = 1 , 2 , ···,m ．由 鸽巢原理，故存在rk= rl , 即Sk ≡Sl mod m ，不妨设l ＞k ．则Sl －Sk= ak+1+ ak+2+…+ al ≡0 mod m例6 设a 1, a 2, a3是任意三个整数，b1 b2 b3为a1, a2, a3的任一排列，则a1－b1, a2－b2 ,a3－b3中至少有一个是偶数．证 由鸽巢原理：a1, a2, a3至少有两个奇偶性相同．则这３个数被２除的余数至少有两个是相同的，不妨设为x; 同样b1, b2, b3中被２除的余数也至少有２个x ．这样a1－b1, a2－b2 , a3－b3被２除的余数至少有一个为０．例7 设a 1, a 2,…, a100是由数字1和２组成的序列, 已知从其任一数开始的顺序10个数的和不超过16．即ai+ ai+1+…+ ai+9≤16，1≤i ≤91。
组合数学题目及答案
组合数学例1: 将8个“车”放在8×8的国际象棋棋盘上，如果它们两两均不能互吃，那么称8个“车”处于一个安全状态。
问共有多少种不同的安全状态?解：8个“车”处于安全状态当且仅当它们处于不同的8行和8列上。
用一个排列a1,a2,…,a8 ，对应于一个安全状态，使ai 表示第i 行的ai 列上放置一个“车”。
这种对应显然是一对一的。
因此，安全状态的总数等于这8个数的全排列总数8!＝40320。
例4：n 位客人在晚会上每人与他人握手d 次，d 是奇数。
证明n 偶数。
证：由于每一次握手均使握手的两人各增加 一次与他人握手的次数，因此n 位客人与他人握手 次数的总和 nd 是偶数 — 握手次数的2倍。
根据奇偶 性质，已知d 是奇数，那么n 必定是偶数。
例４ 从1到2n 的正整数中任取n +1个，则这n +1个数中，至少有一对数，其中一个是另一个的倍数。
证 设n +1个数是a 1, a 2, ···, an +1。
每个数去掉一切2的因子，直至剩下一个奇数为止。
组成序列r 1, r 2,, ···, rn +1。
这n +1个数仍在[1 , 2n ]中，且都是奇数。
而[1, 2n ]中只有n 个奇数，故必有ri =rj = r , 则ai = 2αi r , aj = 2αj r 。
若ai ＞aj ，则ai 是aj 的倍数。
例5 设a 1, a 2, ···, am 是正整数，则至少存在一对k 和l , 0≤k<l ≤m ，使得和ak+1+ ak +2+ ···+ al 是m 的倍数。
证 设Sh = , Sh ≡rh mod m, 0≤rh ≤m -1，h = 1 , 2 , ···, m . 若存在l , Sl ≡0 mod m 则命题成立．否则，1≤rh ≤m -1．但h = 1 , 2 , ···,m ．由 鸽巢原理，故存在rk= rl , 即Sk ≡Sl mod m ，不妨设l ＞k ．则Sl －Sk= ak+1+ ak+2+…+ al ≡0 mod m例6 设a 1, a 2, a3是任意三个整数，b1 b2 b3为a1, a2, a3的任一排列，则a1－b1, a2－b2 ,a3－b3中至少有一个是偶数．证 由鸽巢原理：a1, a2, a3至少有两个奇偶性相同．则这３个数被２除的余数至少有两个是相同的，不妨设为x; 同样b1, b2, b3中被２除的余数也至少有２个x ．这样a1－b1, a2－b2 , a3－b3被２除的余数至少有一个为０．例7 设a 1, a 2,…, a100是由数字1和２组成的序列, 已知从其任一数开始的顺序10个数的和不超过16．即ai+ ai+1+…+ ai+9≤16，1≤i ≤91。
组合加减练习题
组合加减练习题（正文开始）组合加减练习题本文将提供一系列组合加减练习题，帮助读者巩固并提高数学能力。
请按照题目要求进行计算，并在下方给出答案。
每道题后都附有解析，以便读者更好地理解解题思路。
题目一：计算下列组合加减式的结果：1. 5 + 2 - 32. 10 - 4 + 73. 6 + 9 - 24. 12 - 8 + 5答案与解析：1. 5 + 2 - 3 = 7 - 3 = 4解析：先进行加法运算，得到7，然后再减去3，结果为4。
2. 10 - 4 + 7 = 6 + 7 = 13解析：先进行减法运算，得到6，然后再进行加法运算，结果为13。
3. 6 + 9 - 2 = 15 - 2 = 13解析：先进行加法运算，得到15，然后再减去2，结果为13。
4. 12 - 8 + 5 = 4 + 5 = 9解析：先进行减法运算，得到4，然后再进行加法运算，结果为9。
题目二：计算下列组合加减式的结果：1. (6 + 3) - 22. (10 - 5) + 83. 4 + (9 - 1)4. (7 - 4) + 6答案与解析：1. (6 + 3) - 2 = 9 - 2 = 7解析：先计算括号内的加法，得到9，然后再减去2，结果为7。
2. (10 - 5) + 8 = 5 + 8 = 13解析：先计算括号内的减法，得到5，然后再进行加法运算，结果为13。
3. 4 + (9 - 1) = 4 + 8 = 12解析：先计算括号内的减法，得到8，然后再进行加法运算，结果为12。
4. (7 - 4) + 6 = 3 + 6 = 9为9。
题目三：计算下列组合加减式的结果：1. 8 + 5 - (2 + 4)2. 12 - (9 - 6) + 13. (7 + 3) - 1 - 24. 9 - (6 + 2) + 5答案与解析：1. 8 + 5 - (2 + 4) = 8 + 5 - 6 = 7解析：先计算括号内的加法，得到6，然后再进行加减混合运算，结果为7。
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组合数学练习题第一章排列组合1, 在1到10000之间，有多少个每位上数字全不相同而且由偶数构成的整数？本题分为四种情况:1位整数有4个: 2, 4, 6, 82位整数有4*4种方案, 有16个3位整数有4*4*3种方案, 有48个4位整数有4*4*3*2种方案, 有96个总共有4+16+48+96=164个这样的整数.2, 一教室有两排，每排9个坐位，今有14名学生，问按下列不同的方式入座，各有多少种坐法？(1) 规定某5人总坐在前排，某4人总在后排，但每人具体坐位不指定；(2) 要求前排至少坐5人，后排至少坐4人。
(1)本问中, 第一排和第二排各有5名和4名同学被确定, 那么14名同学中还有5名同学没有固定在哪一排, 所以可以根据这5名同学的不同排列来计算, 分5种情况考虑; 1)从这5名同学中选出4名同学坐在第一排, 这4名和固定的5名同学进行全排列、另外1名同学和第二排固定的4名同学进行全排列，以此类推；2) 从5名同学中选出3名同学坐第一排; 3) 从5名同字中选出2名同学坐第一排; 4) 从5名同学中选出1名同学坐第一排; 5) 最后5名同学全部坐在第二排; 把这5种情况的坐法安排数全部加起来就是结果.C(5,4)*P(9,9)*P(9,5)+C(5,3)*P(9,8)*P(9,6)+C(5,2)*P(9,7)*P(9,7)+C(5,1)*P(9,6)*P(9,8)+P(9,5)*P(9,9)(2)本问中, 第一排和第二排所坐的同学的数量被确定, 分别是5名和4名, 那么要从14名同学中把省下的5名同学选出来, 然后再按照坐在不同排的情况进行计算, 同样分5种情况考虑; 1) 从这5名同学中选出4名同学坐在第一排, 这4名和固定的5名同学进行全排列、另外1名同学和第二排固定的4名同学进行全排列，以此类推；2) 从5名同学中选出3名同学坐第一排; 3) 从5名同字中选出2名同学坐第一排; 4) 从5名同学中选出1名同学坐第一排; 5) 最后5名同学全部坐在第二排; 把这5种情况的坐法安排数全部加起来再乘以从14名同学中任选出5名同学方法的数就是结果.C(14,5)*[P(9,9)*P(9,5)+P(9,8)*P(9,6)+P(9,7)*P(9,7)+P(9,6)*P(9,8)+ P(9,5)*P(9,9)] 3, n对夫妇,要求排成一男女相间的队伍，试问有多少种不同的方案？若围成一圆桌坐下，又有多少种不同的方案？围一圆桌而坐且要求每对夫妇坐在一起,又有多少种方案?(1)本问中, 男女各有n名, 分别进行全排列各有n!种方案, 将他们交叉排列就有(n!)2种方案, 同时男在女前或女在男前又是不同的方案, 所以要乘以2, 所以方案数为--- 2 (n!)2(2)本问较第一问要去掉变为圆周排列后的重复度, 总的人数为2n, 用第一问的方案数除以2n, 所以方案数为--- (n!)2/n(3)本问中, 每对夫妇交换位置坐的方案数为2n, 再把每对夫妇看成单个元素进行圆周全排列, 方案为n!/n, 最后把两种方案数相乘, 所以方案数为--- 2n n!/n4, 有16名选手，其中6名只能打后卫，8名只能打前锋，2名能打前锋或后卫，今欲选出11人组成一支球队，而且需要7人打前锋，4人打后卫，试问有多少种选法？根据2名既能打前锋也能打后卫选手的不同情况来计算方案(1) 方法一, 分成6种情况: 1) 这2名选手全部打前锋; 2) 这2名选手全部打后卫; 3) 从2名选手中选出1名打前锋, 另一名不上场; 4) 从2名选手中选出1名打后卫, 另一名不上场; 5) 2名选手全部上场, 分别打前锋和后卫; 6) 2名选手全部不上场; 把这些方案加起来就是全部选法.C(8,5)*C(6,4)+C(8,7)*C(6,2)+2C(8,6)*C(6,4)+2C(8,7)*C(6,3)+C(8,6)*C(6,3)+C(8,7)*C(6,4) = 2800(2) 方法二, 分成3种情况: 1) 把这2名选手全部加入前锋后选组进行组合; 2) 把这2名选手合部加入后卫后选组进行组合; 但这两种方案中这2名选手全部不上场的方案是重复的, 所以要减掉一个2名选全部不上场的方案数; 3) 上面的方案中也包括了2名选手中只有1名上场的情况, 所以省下只考虑2名选手都上场, 但分别打前锋和后位的方案; 把这些方案加起来就是全部选法.C(6,4)*C(10,7)+C(8,4)*C(8,7) -C(8,7)*C(6,4)+ C(6,3) *C(8,6) = 28005, 从1到10这10个正整数中每次取出一个并登记，然后放回，连续取5次，得到一个由5个数字组成的数列。
按这种方式能够得到多少个严格递减数列？能够得到多少个不减数列？(1) C(10,5) = 10!/((10-5)!5!) = 252(2) C(10+5-1,5) = 14!/((14-5)!5!) = 20026,证明 ()∑=nk k n kC 1,＝12-n n 。
证明:将等式左边展开为:C(n,1)+2C(n,2)+3C(n,3)+…+kC(n,k)+…+ (n-1)C(n,n-1)+nC(n,n)设这个多项式等于Q设等式1为Q = Q将等式1左右两边分别加上下面的等式P:nC(n,0)+(n-1)C(n,1)+…+C(n,n-1)得到等式2, 等式右边合并项为: nC(n,0)+nC(n,1)+…+nC(n,n -1)+nC(n,n)提取公因子n, 等于n[C(n,0)+C(n,1)+…+C(n,n -1)+C(n,n)]根据定理, 等式右边等于n2n由定理C(n,r) = C(n,n-r) 可将P 变型为P’:nC(n,n)+(n-1)C(n,n-1)+…+2C(n, 2)+C(n,1)P’就等于Q等式2左边是Q+P, 等于2Q等式2左右两边同时除以2, 得到等式3: Q = n2n /2 = n2n-1多项式Q 就是题目中等式的左项, 所以证明题目中等式左右相等第二章 母函数与递推关系1, 设平面内有n 条直线两两相交，且无三线共点。
问这样的n 条直线把平面分割成多少个不重叠的区域？解：设集合{a 0,a 1,…,a n }为本题的解，当有0条线的时候，平面只有一个区域，所以a 0=1，当有1条直线的时候，平面被分为2个区域，当有2条线的时候，平面被分为4个区域，也就是说每增加一条直线，这条直线都会穿过上次每条线所构成的相邻的区域，被穿过区域的个数为(n-1)+1个，即n 个，所以有下面的递推关系：a n = a n-1 + n 初始条件为：a 0=1 a 1=2先求一般解设特征方程：X - 1 = 0 r = 1a’n = A ×1n = A再求特解, 因为1是特征方程的根, 所以设特解a*n = k 0n + k 1n 2, 代入原特征多项式a n – a n-1 = k 0n + k 1n 2 - k 0(n-1) - k 1(n-1)2 = k 0 + 2 k 1n – k 1 = n可得出k 0 = k 1 = 1/2特解为: a*n = n/2 + n 2/2一般解为: a n = A + n/2 + n 2/2当n=0时，有A = 1a n = 1 + n(n+1)/22, 求下列递推关系的一般解：（1）11425,2.n n n a a a -⎧-=⨯⎨=⎩；解: 先求一般解设特征方程：X - 4 = 0 r = 4a ’n = A ×4n再求特解, 因为3是特征方程的根, 所以设特解a*n = p5n , 代入原特征多项式a n – 4a n-1 = p5n – 4p5n-1 = 2×5n当n=1 时, 有5p – 4p = 10 所以p = 10特解为: a*n = 10×5n ,一般解为: a n = A ×4n + 10×5n当n=1时，有2 = 4A + 50，所以A = -12a n = (-12) ×4n + 10×5n（2） 1201693,1, 3.n n n n a a a a a --⎧-+=⎨==⎩。
解: 先求一般解设特征方程：X 2 - 6X + 9 = 0 (X - 3)2 = 0 r 1 = r 2 = 3通解为: a ’n = (A + B*n)3n = 3n再求特解, 因为3是特征方程的重根, 所以设特解a*n = pn 23n , 代入原特征多项式a n – 6a n-1 + 9a n-2 = pn 23n - 6p(n-1) 23n-1 + 9p(n-2) 23n-2 = 3n当n=2时, 有36p – 18p = 9 所以p = 1/2特解为: a*n = n23n/2,一般解为: a n = (A + B*n +n2/2)3n根据a0和a1的值，可列出方程组：A = 13(A + B + 1/2) = 3 可求出B = -1/2一般解为: a n = (1 –n/2 +n2/2)3n3, 求解下列递推关系: (n-1)a n-(n-2)a n-1-2a n-2=0(n 2), a0=0,a1=1.4, 设有2个红球，1个黑球，2个白球，问(1)有多少种不同的选取方法，试加以枚举？(2),从中任取3个，有多少种不同的取法？解: 设红球多项式为1+t+t2, 黑球多项式为1+t, 红球多项式为1+t+t2所以的取球方法可以用多项式(1+t+t2)( 1+t)( 1+t+t2)表示多项式展开=1+3t+5t2+5t3+3t4+t5一共有1+3+5+5+3+1=18种选取方式从中任取3个球的方式有5种5, 用{1, 3,6,8}组成的3和6出现偶数次的4位数的个数是多少?解：根据题目可设指数型母函数为：G e(x) = (1 + x + x2/2! + x3/3! +x4/4!)2×( 1 + x2/2! +x4/4!)2将等式右侧展开，其中x4项为：80×x4/4!即可以组成80个不同的4位数6, 求由直线x+2y=n与坐标轴围成的三角形内(含边界)整点的个数S n第三章 容斥原理与鸽巢原理1,求由1、2、3、4组成的10位数中，1、3、4都至少出现一次的数的个数。
解: 设A1为1不出现的集合, A2为3不出现的集合, A3为4不出现的集合，可求出: 全集个数为|U| = 410每个数字分别不出现的个数为|A1| = |A2| = |A3| = 310分别有2个数字不出现的个数为|A1|∩|A2| = |A1|∩|A3| = |A 2|∩|A 3| = 210分别有3个数字不出现的个数为|A1|∩|A2|∩|A3| = 110题目所求为:|A1|∩|A2|∩|A3|= |A1|U|A2|U|A3|= |U| - C(3,1)×|A1| + C(3,2)×|A1|∩|A2| - |A1|∩|A2|∩|A3|= 410 - 3×310 + 3×210 - 12,求从10到9999的正整数中是n 2是但不是n 3,n 4形式的数的个数解: 从10到9999中一共有9990个正整数, 其中为n 2的数有99-3=96个,n 为4到99,设这个集合为全集,这其中又为n 2的数有9-1=8个,n 为2到9,设这个集合为A1,全集中为n 3的数有4-1=3个,n 为2,3,4,设这个集合为A2, A1中的82=64，A2中的43=64，所以|A1|∩|A2|=1，题目所求为:|U| - |A1|U|A2| = |U| - |A1| - |A2| + |A1|∩|A2| = 96 – 8 – 3 + 1 = 86 (个)3, 设n 为大于1的奇数，证明：在1221,21,,21n --- 中必有一个数能被n 整除.4, 某学者每周上班工作35小时，每天工作的小时数是整数，每天工作时间不少于5小时也不多于8小时。