中考数学专题复习 四点共圆模型 含答案

共圆模型
模型1共端点，等线段模型
如图①，出现“共端点，等线段”时，可利用圆定义构造辅助圆．
如图②，若OA＝OB＝OC，则A、B、C三点在以O为圆心，OA为半径的圆上．
如图③，常见结论有：∠ACB＝1
2
∠AOB，∠BAC＝
1
2
∠BOC.
模型分析
∵OA＝OB＝OC.
∴A、B、C三点到点O的距离相等．
∴A、B、C三点在以O为圆心，OA为半径的圆上．∵∠ACB是»AB的圆周角，∠AOB是»AB的圆心角，
∴∠ACB＝1
2
∠AOB.
同理可证∠BAC＝1
2
∠BOC.
（1）若有共端点的三条线段，可考虑构造辅助圆．
（2）构造辅助圆是方便利用圆的性质快速解决角度问题．
模型实例
如图，△ABC和△ACD都是等腰三角形，AB＝AC，AC＝AD，连接BD．
求证：∠1＋∠2＝90°.
证明
证法一：如图①，
∵AB＝AC＝AD．∴B、C、D在以A为圆心，AB为半径的⊙A上．∴∠ABC＝∠2.
在△BAC中，∵∠BAC＋∠ABC＋∠2＝180°,∴2∠1＋2∠2＝180°.∴∠1＋∠2＝90°.
证法二：如图②，
∵AB＝AC＝AD．∴∠BAC＝2∠1．∵AB＝AC，
∴B、C、D在以A为圆心，AB为半径的⊙O上．
延长BA与圆A相交于E，连接CE．
∴∠E＝∠1．（同弧所对的圆周角相等．）
∵AE＝AC，∴∠E＝∠ACE.
∵BE为⊙A的直径，∴∠BCE＝90°．
∴∠2＋∠ACE＝90°.∴∠1＋∠2＝90°.
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1．如图，△ABC为等腰三角形，AB＝AC，在△ABC的外侧作直线AP，点B与点D关于AP轴对称，连接BD、CD，CD与AP交于点E．求证：∠1＝∠2．
证明
∵A、D关于AP轴对称，∴AP是BD的垂直平分线．
∴AD＝AB，ED＝EB．又∵AB＝AC.
∴C、B、D在以A为圆心，AB为半径的圆上．
∵ED＝EB，∴∠EDB＝∠EBD.∴∠2＝2∠EDB.又∵∠1＝2∠CDB.∴∠1＝∠2.
2．己知四边形ABCD，AB∥CD，且AB＝AC＝AD＝a，BC＝b，且2a＞b，求BD的长．
解答
以A为圆心，以a为半径作圆，延长BA交⊙A于E点，连接ED．
∵AB∥CD，∴∠CAB＝∠DCA，∠DAE＝∠CDA. ∵AC＝AD，
∴∠DCA＝∠CDA. ∴∠DAE＝∠CAB.在△CAB和△DAE中．
∴△CAB≌△DAE.∴ED＝BC＝b
∵BE是直径，∴∠EDB＝90°.
在Rt△EDB中，ED＝b，BE＝2a，
∴BD
模型2 直角三角形共斜边模型
模型分析
如图①、②，Rt△ABC和Rt△ABD共斜边，取AB中点O，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半，可得：OC=OD=OA=OB，
∴A、B、C、D四点共圆．
（１）共斜边的两个直角三角形，同侧或异侧，都会得到四点共圆；
（２）四点共圆后可以根据圆周角定理得到角度相等，完成角度等量关系的转化，是证明角度相等重要的途径之一．
模型实例
例１如图，AD、BE、CF为△ABC的三条高，H为垂线，问：
（１）图中有多少组四点共圆？
（２）求证：∠ADF＝∠ADE．
解答
（１）６组
①C、D、H、E四点共圆，圆心在CH的中点处；
②D、B、F、H四点共圆，圆心在BH的中点处；
③A、E、H、F四点共圆，圆心在AH的中点处；
④C、B、F、E四点共圆，圆心在BC的中点处；
⑤B、A、E、D四点共圆，圆心在AB的中点处；
⑥C、D、F、A四点共圆，圆心在AC的中点处．
（２）如图，由B、D、H、F四点共圆，得∠ADF=∠1.
同理：由A、B、D、E四点共圆，得∠ADE=∠１.
∴∠ADF＝∠ADE．
例２如图，E是正方形ABCD的边AB上的一点，过点E作DE的垂线交∠ABC的外
角平分线于点F，求证：FE=DE.
解答
如图，连接DB、DF.
∵四边形ABCD是正方形，且BF是∠CBA的外角平分线，
∴∠CBF=45°，∠DBC=45°，
∴∠DBF=90°．
又∵∠DEF=90°，
∴D、E、B、F四点共圆．
∴∠DFE=∠DBE=45°（同弧所对的圆周角相等）．
∴△DEF是等腰直角三角形．
∴FE=DE．
P
1.如图，锐角△ABC中，BC.CE是高线，DG⊥CE于G，EF⊥BD于F，求证：FG BC
证明：由于Rt△BCE与Rt△BCD共斜边BC，
∴B、C、D、E四点共圆．
∴∠DBC=∠DEG，
同理，Rt∠EDF与Rt△DGE共斜边DE，
∴D、E、F、G四点共圆．
于是∠DEG=∠DFG，
因此，∠DBC=∠DFG．
于是FG∥BC
2. 如图，BE.CF为△ABC的高，且交于点H,连接AH并延长交于BC于点D,求证：AD⊥BC.
3.如图，等边△PQR内接于正方形ABCD,其中点P,Q,R分别在边AD,AB,DC上，M是QR的中点.求证：不论等边△PQR怎样运动，点M为不动点.
4.如图，已知△ABC中，AH是高，AT是角平分线，且TD⊥AB,TE⊥AC.求证：∠AHD=∠AHE.
证明：（1）∵∠ADT=∠AHT=∠AET=90°，
∴D，E，H在以AT为直径的圆上，
∴∠AHD=∠ATD，∠AHE=∠ATE，
又∵AT是角平分线，TD⊥AB，TE⊥AC，
∴∠ATD=∠ATE，
∴∠AHD=∠AHE．
补充：。