线性代数(王定江)第4章答案
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习
题
四
1．设 α1 = (1,0, −1)T , α2 = (3, 2, −1)T , α3 = (6,8,1)T , 求 3α1 + 2α2 − α3 .
1 3 6 3 6 6 3 解: 3α1 + 2α 2 − α 3 = 3 0 + 2 2 − 8 = 0 + 4 − 8 = −4 . −1 −1 1 −3 −2 1 −6
解: （1）令 α = x1α1 + x2α 2 + x3α 3 + x4α 4 , 即
x1 1 x 1 α = (α 1 , α 2 , α 3 , α 4 ) 2 = x3 0 x4 1
T T
0 x1 0 1 1 1 x2 0 , = 3 0 −1 x3 0 1 0 −1 x4 1 2 1
求解得 ( x1 , x2 , x3 , x4 ) = (1, 0, − 1, 0 ) , 即 α = α1 − α 3 . （2）令 α = x1α1 + x2α 2 + x3α 3 + x4α 4 , 即
x1 1 1 1 1 x1 1 x2 1 1 −1 −1 x2 = 2 , α = (α 1 , α 2 , α 3 , α 4 ) = x3 1 −1 1 −1 x3 1 x4 1 −1 −1 1 x4 1
(α1 + α 2 , α 2 + α 3 , α 3 + α1 ) = (α1 , α 2 , α 3 ) C .
3．将向量 α 表示成 α1 , α2 , α3 , α4 的线性组合.
0 1 2 1 0 0 1 1 1 1 （1） α = , α1 = , α2 = , α3 = , α4 = ; 0 0 3 0 −1 1 1 1 0 −1 1 1 1 1 1 2 1 1 −1 −1 （2） α = , α1 = , α2 = , α3 = , α4 = 1 1 −1 1 −1 1 1 −1 −1 1
x1 (α1 + α 2 ) + x2 (α1 − α 2 ) = 0 ,
那么
( x1 + x2 )α1 + ( x1 − x2 )α 2 = 0 .
因为 α1 , α 2 线性无关, 所以
x1 + x2 = 0 , x1 − x2 = 0 ,
求解得唯一解
x1 = x2 = 0 ,
所以 α1 + α 2 , α1 − α 2 线性无关. 7．证明: α1 + α2 , α2 + α3 , α3 + α1 线性无关的充要条件是 α1 , α2 , α3 线性无关. 证明: 方法一: （必要性 =>）令 x1α1 + x2α 2 + x3α 3 = 0 , 那么
综上所述, 当 a ≠ −4 时, 向量 γ 能由向量组 A 线性表示, 且表示式唯一; 当 a = −4 , b ≠ 0 时, 向量 γ 不能由向量组 A 线性表示; 当 a = −4 , b = 0 时 , 向量 γ 能由向量组 A 线性表示, 且表示式不唯一, 通用 表示式是 γ = kα1 − (2k + 1)α 2 + α 3 , k ∈ R . 6．证明: 若 α1 , α2 线性无关, 则 α1 + α2 , α1 − α2 也线性无关. 证明: 令
由 α1 , α 2 , α 3 的线性无关性知
x3 + x1 = x1 + x2 = x2 + x3 = 0 ,
求解得唯一解 x1 = x2 = x3 = 0 , 所以 α1 + α 2 , α 2 + α 3 , α 3 + α1 线性无关. 方法二: 令 1 0 1 C = 1 1 0 , 0 1 1 则
求解得 ( x1 , x2 , x3 , x4 ) = ( 5 4, 1 4, − 1 4, − 1 4 ) , 即
T T
-1-
5 1 1 1 α = α1 + α 2 − α 3 − α 4 . 4 4 4 4
4．判别下列向量组的线性相关性:
1 0 1 （1） α1 = 1 , α2 = 2 , α3 = 3 ; 1 5 6 1 −1 2 0 −1 3 （2） α1 = , α2 = , α3 = ; −1 2 1 2 −4 0 ax ay az （3） α1 = bx , α2 = by , α3 = bz , 其中 a, b, c, x, y, z 全不为零; cx cy cz
2．设 α = (6,1, −1, 0) T , β = (0, 2, −1,3)T , 求向量 γ , 使得 2α + 3γ = β .
0 6 −12 −4 1 1 2 1 1 0 0 解: γ = ( β − 2α ) = −2 = = . 3 3 −1 −1 3 1 1 3 3 1 3 0
因为 R( A) = 2 < 3 , 所以 α1 , α 2 , α 3 线性相关. 方法二: 因为
1 0 1 A =1 2 3 1 5 6 r2 − r1 r3 − r1 1 0 1 0 2 2 =0, 0 5 5
所以 α1 , α 2 , α 3 线性相关. （2）对矩阵 A = (α1 , α 2 , α 3 ) 做初等行变换
1 −1 0 −1 −1 2 2 −4 2 1 −1 2 1 −1 2 1 −1 r +5r 3 r3 + r1 0 −1 3 r3 + r2 0 −1 3 4 3 3 0 −1 → → → 0 0 1 r4 − 2 r1 0 1 3 r4 − 2 r2 0 0 6 0 0 −2 −4 0 0 −10 0 0 2 3 , 6 0
因为 R( A) = 3 , 所以 α1 , α 2 , α 3 线性无关. （3）方法一: 对矩阵 A = (α1 , α 2 , α 3 ) 做初等行变换
-2-
ax ay az ax ay az 1 x y z b r2 + a r1 a r1 A = bx by bz 0 0 → 0 0 0 c → 0 r3 − r1 a cx cy cz 0 0 0 0 0 0
解: （1）方法一: 对矩阵 A = (α1 , α 2 , α 3 ) 做初等行变换
1 0 1 1 0 1 1 0 1 5 r2 − r1 r3 − 2 r2 → 0 2 2 → 0 2 2 , A = 1 2 3 r3 − r1 1 5 6 0 5 5 0 0 0
值时, （1）向量 γ 不能由向量组 A 线性表示; （2）向量 γ 能由向量组 A 线性表示, 且表示式唯一; （3）向量 γ 能由向量组 A 线性表示, 且表示式不唯一, 并求其表示式. 解: 令 γ = x1α1 + x2α 2 + x3α 3 , 即
a −2 −1 x1 1 2 1 1 x2 = b . 10 5 4 x −1 3
-3-
1 2b −1
−4 −2 −1 → 0 0 1 0 0 32
r2 + r1 5 r3 + r1 2
1 2 −4 −2 0 3 r3 2b + 1 → 0 0 1 r3 − r2 r + r 1 2 0 0 0 32
因为系数行列式 a A= 2 10 −2 −1 1 5 a −2 −1 1 0 1 = 2 4 0 a −2 1 =− = − ( a + 4) , 2 1 −1
所以, 当 a + 4 ≠ 0 , 即 a ≠ −4 时, A ≠ 0 , 即上述方程组有唯一解. 当 a = −4 时, 对增广矩阵做初等行变换 A =(A −4 −2 −1 b) = 2 1 1 10 5 4 1 −4 −2 −1 2 r2 b → 4 2 2 10 5 4 −1
因为 R( A) = 1 < 3 , 所以 α1 , α 2 , α 3 线性相关. 方法二: 因为
ax ay az cx cy cz x x y y y z z = 0, z A = bx by bz = abc x
来自百度文库
所以 α1 , α 2 , α 3 线性相关.
a −2 −1 1 5． 设有向量组 A : α1 = 2 , α2 = 1 , α3 = 1 , 以及向量 γ = b , 问 a, b 为何 10 5 4 −1
求解得唯一解 x1 = x2 = x3 =0 , 因此 α1 , α 2 , α 3 线性无关. （充分性 <=）令 x1 (α1 + α 2 ) + x2 (α 2 + α 3 ) + x3 (α 3 + α1 ) = 0 , 那么
( x3 + x1 )α1 +( x1 + x2 )α 2 +( x2 + x3 )α 3 = 0 .
2b + 2 2b + 1 , −2b
当 −2b ≠ 0 , 即 b ≠ 0 时, R ( A) = 2 < R ( A b ) = 3 , 此时方程组无解. 当 b = 0 时, R ( A ) = R ( A b ) = 2 , 方程组有无穷多解, 其通解为
k x1 x = x2 = −(2k + 1) . x 1 3
( x1 + x2 − x3 )(α1 + α 2 ) +( − x1 + x2 + x3 )(α 2 + α 3 ) +( x1 − x2 + x3 )(α1 + α 3 ) = 0 .
-4-
由 α1 + α 2 , α 2 + α 3 , α 3 + α 2 的线性无关性得
x1 + x2 − x3 = − x1 + x2 + x3 =x1 − x2 + x3 =0 ,
题
四
1．设 α1 = (1,0, −1)T , α2 = (3, 2, −1)T , α3 = (6,8,1)T , 求 3α1 + 2α2 − α3 .
1 3 6 3 6 6 3 解: 3α1 + 2α 2 − α 3 = 3 0 + 2 2 − 8 = 0 + 4 − 8 = −4 . −1 −1 1 −3 −2 1 −6
解: （1）令 α = x1α1 + x2α 2 + x3α 3 + x4α 4 , 即
x1 1 x 1 α = (α 1 , α 2 , α 3 , α 4 ) 2 = x3 0 x4 1
T T
0 x1 0 1 1 1 x2 0 , = 3 0 −1 x3 0 1 0 −1 x4 1 2 1
求解得 ( x1 , x2 , x3 , x4 ) = (1, 0, − 1, 0 ) , 即 α = α1 − α 3 . （2）令 α = x1α1 + x2α 2 + x3α 3 + x4α 4 , 即
x1 1 1 1 1 x1 1 x2 1 1 −1 −1 x2 = 2 , α = (α 1 , α 2 , α 3 , α 4 ) = x3 1 −1 1 −1 x3 1 x4 1 −1 −1 1 x4 1
(α1 + α 2 , α 2 + α 3 , α 3 + α1 ) = (α1 , α 2 , α 3 ) C .
3．将向量 α 表示成 α1 , α2 , α3 , α4 的线性组合.
0 1 2 1 0 0 1 1 1 1 （1） α = , α1 = , α2 = , α3 = , α4 = ; 0 0 3 0 −1 1 1 1 0 −1 1 1 1 1 1 2 1 1 −1 −1 （2） α = , α1 = , α2 = , α3 = , α4 = 1 1 −1 1 −1 1 1 −1 −1 1
x1 (α1 + α 2 ) + x2 (α1 − α 2 ) = 0 ,
那么
( x1 + x2 )α1 + ( x1 − x2 )α 2 = 0 .
因为 α1 , α 2 线性无关, 所以
x1 + x2 = 0 , x1 − x2 = 0 ,
求解得唯一解
x1 = x2 = 0 ,
所以 α1 + α 2 , α1 − α 2 线性无关. 7．证明: α1 + α2 , α2 + α3 , α3 + α1 线性无关的充要条件是 α1 , α2 , α3 线性无关. 证明: 方法一: （必要性 =>）令 x1α1 + x2α 2 + x3α 3 = 0 , 那么
综上所述, 当 a ≠ −4 时, 向量 γ 能由向量组 A 线性表示, 且表示式唯一; 当 a = −4 , b ≠ 0 时, 向量 γ 不能由向量组 A 线性表示; 当 a = −4 , b = 0 时 , 向量 γ 能由向量组 A 线性表示, 且表示式不唯一, 通用 表示式是 γ = kα1 − (2k + 1)α 2 + α 3 , k ∈ R . 6．证明: 若 α1 , α2 线性无关, 则 α1 + α2 , α1 − α2 也线性无关. 证明: 令
由 α1 , α 2 , α 3 的线性无关性知
x3 + x1 = x1 + x2 = x2 + x3 = 0 ,
求解得唯一解 x1 = x2 = x3 = 0 , 所以 α1 + α 2 , α 2 + α 3 , α 3 + α1 线性无关. 方法二: 令 1 0 1 C = 1 1 0 , 0 1 1 则
求解得 ( x1 , x2 , x3 , x4 ) = ( 5 4, 1 4, − 1 4, − 1 4 ) , 即
T T
-1-
5 1 1 1 α = α1 + α 2 − α 3 − α 4 . 4 4 4 4
4．判别下列向量组的线性相关性:
1 0 1 （1） α1 = 1 , α2 = 2 , α3 = 3 ; 1 5 6 1 −1 2 0 −1 3 （2） α1 = , α2 = , α3 = ; −1 2 1 2 −4 0 ax ay az （3） α1 = bx , α2 = by , α3 = bz , 其中 a, b, c, x, y, z 全不为零; cx cy cz
2．设 α = (6,1, −1, 0) T , β = (0, 2, −1,3)T , 求向量 γ , 使得 2α + 3γ = β .
0 6 −12 −4 1 1 2 1 1 0 0 解: γ = ( β − 2α ) = −2 = = . 3 3 −1 −1 3 1 1 3 3 1 3 0
因为 R( A) = 2 < 3 , 所以 α1 , α 2 , α 3 线性相关. 方法二: 因为
1 0 1 A =1 2 3 1 5 6 r2 − r1 r3 − r1 1 0 1 0 2 2 =0, 0 5 5
所以 α1 , α 2 , α 3 线性相关. （2）对矩阵 A = (α1 , α 2 , α 3 ) 做初等行变换
1 −1 0 −1 −1 2 2 −4 2 1 −1 2 1 −1 2 1 −1 r +5r 3 r3 + r1 0 −1 3 r3 + r2 0 −1 3 4 3 3 0 −1 → → → 0 0 1 r4 − 2 r1 0 1 3 r4 − 2 r2 0 0 6 0 0 −2 −4 0 0 −10 0 0 2 3 , 6 0
因为 R( A) = 3 , 所以 α1 , α 2 , α 3 线性无关. （3）方法一: 对矩阵 A = (α1 , α 2 , α 3 ) 做初等行变换
-2-
ax ay az ax ay az 1 x y z b r2 + a r1 a r1 A = bx by bz 0 0 → 0 0 0 c → 0 r3 − r1 a cx cy cz 0 0 0 0 0 0
解: （1）方法一: 对矩阵 A = (α1 , α 2 , α 3 ) 做初等行变换
1 0 1 1 0 1 1 0 1 5 r2 − r1 r3 − 2 r2 → 0 2 2 → 0 2 2 , A = 1 2 3 r3 − r1 1 5 6 0 5 5 0 0 0
值时, （1）向量 γ 不能由向量组 A 线性表示; （2）向量 γ 能由向量组 A 线性表示, 且表示式唯一; （3）向量 γ 能由向量组 A 线性表示, 且表示式不唯一, 并求其表示式. 解: 令 γ = x1α1 + x2α 2 + x3α 3 , 即
a −2 −1 x1 1 2 1 1 x2 = b . 10 5 4 x −1 3
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1 2b −1
−4 −2 −1 → 0 0 1 0 0 32
r2 + r1 5 r3 + r1 2
1 2 −4 −2 0 3 r3 2b + 1 → 0 0 1 r3 − r2 r + r 1 2 0 0 0 32
因为系数行列式 a A= 2 10 −2 −1 1 5 a −2 −1 1 0 1 = 2 4 0 a −2 1 =− = − ( a + 4) , 2 1 −1
所以, 当 a + 4 ≠ 0 , 即 a ≠ −4 时, A ≠ 0 , 即上述方程组有唯一解. 当 a = −4 时, 对增广矩阵做初等行变换 A =(A −4 −2 −1 b) = 2 1 1 10 5 4 1 −4 −2 −1 2 r2 b → 4 2 2 10 5 4 −1
因为 R( A) = 1 < 3 , 所以 α1 , α 2 , α 3 线性相关. 方法二: 因为
ax ay az cx cy cz x x y y y z z = 0, z A = bx by bz = abc x
来自百度文库
所以 α1 , α 2 , α 3 线性相关.
a −2 −1 1 5． 设有向量组 A : α1 = 2 , α2 = 1 , α3 = 1 , 以及向量 γ = b , 问 a, b 为何 10 5 4 −1
求解得唯一解 x1 = x2 = x3 =0 , 因此 α1 , α 2 , α 3 线性无关. （充分性 <=）令 x1 (α1 + α 2 ) + x2 (α 2 + α 3 ) + x3 (α 3 + α1 ) = 0 , 那么
( x3 + x1 )α1 +( x1 + x2 )α 2 +( x2 + x3 )α 3 = 0 .
2b + 2 2b + 1 , −2b
当 −2b ≠ 0 , 即 b ≠ 0 时, R ( A) = 2 < R ( A b ) = 3 , 此时方程组无解. 当 b = 0 时, R ( A ) = R ( A b ) = 2 , 方程组有无穷多解, 其通解为
k x1 x = x2 = −(2k + 1) . x 1 3
( x1 + x2 − x3 )(α1 + α 2 ) +( − x1 + x2 + x3 )(α 2 + α 3 ) +( x1 − x2 + x3 )(α1 + α 3 ) = 0 .
-4-
由 α1 + α 2 , α 2 + α 3 , α 3 + α 2 的线性无关性得
x1 + x2 − x3 = − x1 + x2 + x3 =x1 − x2 + x3 =0 ,