电磁场与电磁波(第四版)课后答案_第三章习题

2e y chx 0
y 函数 e chx 不是 y 0 空间中电位的解。
(2)
2 y 2 y 2 y y y ( e cos x ) ( e cos x ) ( e cos x ) e cos x e cos x 0 2 2 2 x y z
sin x cos x 0
sin x cos x 不是 y 0 空间中电位的解。
(4)
2 2 2 2 (sin x sin y sin z) 2 (sin x sin y sin z) 2 2 (sin x sin y sin z) 2 x y x z
sin x sin y sin z sin x sin y sin z sin x sin y sin z 0
0
0 x 3 Ax B 解得 6 0d 在x＝0处 0 ，B＝0
在x＝d处 U 0 ，故
0d 3 U0 Ad 6 0 d U 0 0d A d 6 0
3 x 因此 0 6 0d
U 0 0 d x d 6 0
第三章 习题
3.3 有一半径为 a 的圆柱体，已知柱内外的电位函数分别为 0 ra
a2 A(r ) cos r
ra
(1)求圆柱内、外的电场强度； (2)这个圆柱是什么材料制成的？表面有电荷分布吗？试求之。 解： (1)电场
在
ra
e E (er ez ) r r z
2
1
强度 H1 H2
(1)利用安培环路定律，当 a 时， 有 I I 2 B0 0 2 2 B0 0 2 a a 2 a
在 a b 的区域内，有
H1 H2 I
即
B1 B2 I 1 2
函数 e y cos x 是 y 0 空间中电位的解。
(3)
2 (e 2 x
2 2y sin x cos x) 2 (e y 2 2y sin x cos x) 2 (e z 2y
sin x cos x)
2y
e
函数 e
2y
2y
(cos2 x sin2 x) 2e
B e
故
12 I 1 2
a b
同轴线中单位长度存储的磁场能量为
1 b B02 1 b B2 1 b B2 Wm 2 d d d a a a 2 0 2 1 2 2 1 a 1 0 I 1 1 1 b 1 1 2 I 2 d d 2 0 a 2 0 2 a 2 1 2 0 1 2 0 I 2 12 I 2 b ln 16 2 1 2 a
1 bU 2 h (l h) 0 2 d
液体所受的沿高度方向的电场力为
bU 2 W bU 2 F (h l 0 h 0 ) ( 0 ) h h d 2d
这个力应与水平面以上的液体重量相平衡，即
（ 为体积）所以有
解：在 y 0 的空间中无电荷分布，电位函数因满足拉普拉斯方程， 题中几个函数中凡满足拉普拉斯方程的函数，便为 y 0 空间电位的解
(1)
2 2 2 2 y 2 y 2 y 2 2 2 (e chx) 2 (e chx) 2 (e chx) 2 x y z x y z
M 1
0
B2 H e
0 I
20
则磁化电流体密度
1 d J m M ez M d ez
0 I
20
1 d 1 0 d
由 B2 H e I 看出 0 处有奇异性，所以在磁介质中 2 0 处存在磁化线电流 I m 以z轴为中心、 为半径做一个圆形
B1
和
B2
解：由安培环路定律，有
H H I 2
z
I
O
1 0
利用边界条件
即
H1t H2t
2
H1t H2t H
B H
( z 0)
( z 0)
及本构关系
有
0 I B1 0 H 2
B2 H
I 2
(2)介质的磁化强度
0 x 2 U 0 0 d E ex ex x 2 0 d d 6 0
3.9 有一半径
a ，带电量 q 的导体球，其球心位于两种介质的
分界面上，此两种介质的介电常数分别为 1 和 2 ，分界面可视 为无限大平面，求（1）球的电容；（2）总静电能。 解： (1)由于电场分布仍沿径向方向，所以在两种介质的 分界面上，根据边界条件有
0 Er
r a
2 A 0 cos
3. 已知 y 0 的空间中没有电荷，下列几个函数中哪个可能 是电位函数解？
(1) exp y cosh x (3) exp( 2 y)sin x cos x (2)
exp( y) cos x
(4) sin x sin y sin z
处
a2 a2 E er A cos (1 2 ) e A(1 2 sin ) r r 即 a2 A a2 A E er ( A 2 ) cos e ( A 2 sin ) (r a) r r
在 ra 处
E 0
(2)这个圆柱体是由导体制成的，表面有电荷存在， 其电荷密度为
函数 sin x sin y sin z 不是 y 0 空间中电位的解。
3.7无限大导体平板分别置于x＝0 和 x＝d处，板间充满电荷，其体
0 x 电荷密度为 d ，极板电位分别为0和U0，求两极板间的电位
和电场强度。 解：两导体间的电位满足泊松方程 2
d 2 1 0 x 因此有 2 dx 0 d
2 2
1 2 （2）由 Wm LI ，得到单位长度的自感为 2
2Wm 0 12 b L 2 ln I 8 1 2 a
3.23一电荷量为 q 质量为 m 的小带电体，放置在无限长导体 平面下方，与平面距离 h 。求 q 的值以使带电体上受到的 3 静电力恰好与重力相平衡（设 m 2 10 kg, h 0.02m）。
其中 为液体的质量密度 证：设电容极板面积为 S bl
b 为宽，
1
（ l 为极板高），液面升高为 。电容器的电容为两个电容并联， h
即 C
bh 0b(l h) d d
电容器的储能为
2 1 U bh 0b(l h) 2 W CU 2 2 d d
E1t E2t E
En 0
所以此题仍可用高斯定理

S
D dS q
求解，即
D1S1 D2 S2 q
4 r 2 4 r 2 1E 2E q 2 2
所以
E
q 2 r 2 (1 2 )

孤立导体球的电位为 a E dr
a
a
q q dr 2 2 r (1 2 ) 2 a(1 2 )
F mg g
bU 2 ( 0 ) hbdg 2d
液面升高为
U 2 ( 0 ) 1 U 2 h ( 0 )( ) 2 2d g 2 g d
3.15 无限长直线电流 I 垂直于磁导率分别为 1 和 2 的两种 磁介质的交界面，试求(1)两种媒质中的磁感应 (2)磁化电流分布
回路C，由安培环路定律有
I Im
1
0

c
B dl
I 0
因此得到
I m 1 I 0
在磁介质表面上，磁化电流面密度为
J ms M ez |z0 e
0 I
20
3.19同轴线内导体是半径为a的圆柱，外导体是半径为b的薄圆柱 面，其厚度可忽略不计。内外导体间填充有磁导率不同的介质。 设同轴线中通过的电流为I,试求 (1)同轴线中单位长度所储存的磁场能量； (2)单位长度的自感 解：同轴线的内外导体之间的磁场沿φ方 向，在两种介质分界面上，磁场只有法向 分量，根据边界条件可知，两种介质的 磁感应强度 B1 B2 B e B 但磁场
3.29如图所示，请求出槽内的电位分布。y , 有限】
y
U0
a
x
题7图
故球的电容为
C
q
a
2 a(1 2 )
2 1 q (2)总的静电能量为 W a q 2 4 a(1 2 )
3.10 两平行的金属板，板间距离为 d ，竖直地插在介电常数为 的液体中，板间电压为 U。证明液体面升高为
U 2 h ( 0 )( ) 2 g d
解：小带电体可视为一点电荷 q ，它所受静电力，来自导体
' 平板的感应电荷，也就是镜像电荷 q（平面上方 h 处， q ' q ）对它的作用力。
q2 fe 4 0 (2h)2
吸力，向上。
令 fe 与重力mg大小相等，有
q2 mg 2 4 0 (2h)
解得
q 5.9 108 C