函数零点易错题三角函数重难点教师版

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高考数学热点难点突破技巧三角函数的零点问题的处理

第09讲三角函数零点问题的处理【知识要点】三角函数的零点问题，是考试经常考察的重点、热点和难点.三角函数的零点问题的处理一般有以下三种方法：1、单调性+数形结合 .2、分离参数+数形结合. 3、方程+数形结合. 三种方法也不是绝对的，要注意灵活使用.【方法讲评】方法一单调性+数形结合解题步骤一般先研究三角函数的单调性，再数形结合分析.【例1】已知向量，，设函数．（1）若函数的图象关于直线对称，且时，求函数的单调增区间；（2）在（1）的条件下，当时，函数有且只有一个零点，求实数的取值范围．（1）∵函数图象关于直线对称，∴，解得：，∵，∴，∴，由，解得：，所以函数的单调增区间为．∴当或时函数有且只有一个零点．即或，所以满足条件的．【点评】（1）本题第2小问是在第1问的前提下进行的，第1问求出了函数的单调增区间，所以第2小问对零点问题的研究，可以利用单调性+数形结合方法分析解答.第2问首先求复合函数在上的单调性，再数形结合分析函数零点的个数. （2）在解答数学问题时，只要写不等式，一定要注意取等问题，本题第2问，左边可以取等，右边不能取等.【反馈检测1】设P是⊙O：上的一点，以轴的非负半轴为始边、OP为终边的角记为，又向量。

且.（1）求的单调减区间；（2）若关于的方程在内有两个不同的解，求的取值范围.方法二分离参数+数形结合解题步骤先分离参数，再画出方程两边的函数的图像，数形结合分析解答.【例2】已知函数的最大值为．（1）求函数的单调递增区间；（2）将的图象向左平移个单位，得到函数的图象，若方程-＝0在∈上有解，求实数的取值范围．【解析】（1），由，解得，所以函数的单调递增区间当时，，取最小值-3．方程在∈上有解，即 -3≤≤【点评】(1)本题就是先分离参数，再分别画方程左右两边的函数的图像数形结合分析.(2)本题也可以单调性+数形结合的方法分析解答.它们之间不是绝对的，要注意灵活使用. 【反馈检测2】已知函数的周期为.（1）若，求它的振幅、初相；（2）在给定的平面直角坐标系中作出该函数在的图像；（3）当时，根据实数的不同取值，讨论函数的零点个数.方法三方程+数形结合解题步骤先解方程，再数形结合分析解答.【例3】已知函数.（Ⅰ）当时，求值；（Ⅱ）若存在区间(且)，使得在上至少含有6个零点，在满足上述条件的中，求的最小值.【点评】（1）本题就是先解方程，再数形结合分析解答.本题如果用前面的两种方法，也可以解答，不过比较复杂. （2）如果，所以它不是最小值.【反馈检测3】已知函数，其中常数；（1）若在上单调递增，求的取值范围；（2）令，将函数的图像向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数的图像，区间（且）满足：在上至少含有30个零点，在所有满足上述条件的中，求的最小值．高中数学热点难点突破技巧第09讲：三角函数零点问题的处理参考答案【反馈检测1答案】（1）的单调减区间是：、；（2），且.【反馈检测1详细解析】（2）因，则.设，所以有两个不同的解，由题得. 借助函数图象可知：，即所以得：，且【反馈检测2答案】（1），；（2）详见解析；（3）当或时，函数无零点；当时，函数仅有一个零点；当或时，函数有两个零点；当时，函数有三个零点.【反馈检测2详细解析】（1）化为，由得，即.（1）函数的振幅是，初相为（2）列表2 0 0【反馈检测3答案】（1）（2）【反馈检测3详细解析】(1)因为，根据题意有(2) ，或，即的零点相离间隔依次为和，故若在上至少含有30个零点，则的最小值为．。

三角函数易错题

高中数学易做易错题(三角函数)1．若角α终边上一点P 的坐标为（θcos ，θsin ）（Z k k ∈+≠,2ππθ），则θα-＝。

错解：由θαtan tan =得πθαk =-（Z k ∈）。

正解：同时θαsin sin =，θαcos cos =，∴πθαk 2=-（Z k ∈）。

2．已知βαβαtan 3tan ,sin 2sin ==，求α2cos 。

错解：由1cot csc 22=-ββ消去β得1cot 9csc 422=-αα，解得83cos 2=α。

分析：遗漏0sin =α的情形。

还有1cos 2=α的情形。

3．已知α、β∈（0，π），135)sin(,212tan=+=βαα，求βcos 。

错解：544112122tan12tan2sin 2=+⨯=+=ααα，534114112tan12tan 1cos 22=+-=+-=ααα∵α、β∈（0，π），∴1312169251)(sin 1)cos(2±=-±=+-±=+βαβα，∴αβααβααβαβsin )sin(cos )cos(])cos[(cos +++=-+= ∴6516cos -=β，或6556cos =β。

分析：∵)sin(13554sin βαα+=>=，∴2πβα>+，∴1312)c o s (-=+βα，∴6516cos -=β。

4．设πα<<0，21cos sin =+αα，则α2cos 的值为。

错解：432sin -=α，∵πα220<<，∴472cos ±=α。

正解：∵0cos ,0sin <>αα且021cos sin >=+αα，∴432παπ<<，∴232παπ<<，∴472cos -=α。

4－1．已知π<≤=+x x x 0,137cos sin ，则=x tan 。

高考数学热点难点专题11+三角函数的图像与性质中的易错点(文)(教师版)

专题11 三角函数的图像与性质中的易错点一．学习目标1．理解三角函数的定义域、值域和最值、奇偶性、单调性与周期性、对称性．2．会判断简单三角函数的奇偶性，会求简单三角函数的定义域、值域、最值、单调区间及周期． 3．理解三角函数的对称性，并能应用它们解决一些问题．二．方法总结1.三角函数奇偶性的判断与其他函数奇偶性的判断步骤一致： (1)首先看定义域是否关于原点对称； (2)在满足(1)后，再看f (－x )与f (x )的关系.另外三角函数中的奇函数一般可化为y ＝A sin ωx 或y ＝A tan ωx ，偶函数一般可化为y ＝A cos ωx ＋b 的形式. 2.三角函数的单调性(1)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的单调区间的确定，其基本思想是把ωx ＋φ看作一个整体，比如：由2k π－π2≤ωx ＋φ≤2k π＋π2(k ∈Z)解出x 的范围，所得区间即为增区间.若函数y ＝A sin(ωx ＋φ)中A ＞0，ω＜0，可用诱导公式将函数变为y ＝－A sin(－ωx －φ)，则y ＝A sin(－ωx －φ)的增区间为原函数的减区间，减区间为原函数的增区间. 对函数y ＝A cos(ωx ＋φ)，y ＝A tan(ωx ＋φ)等单调性的讨论同上.(2)三角函数单调性的应用主要有比较三角函数值的大小，而比较三角函数值大小的一般步骤：①先判断正负；②利用奇偶性或周期性转化为属于同一单调区间上的两个同名函数；③再利用单调性比较. 3.求三角函数的最值常见类型：(1)y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 或y ＝A tan(ωx ＋φ)＋B ， (2)y ＝A (sin x －a )2＋B ，(3)y ＝a (sin x ±cos x )＋b s in x cos x (其中A ，B ，a ，b ∈R ，A ≠0，a ≠0). 三．函数图象与性质需要掌握的题型（一）三角函数图象平移（二）三角函数的零点（三）函数的单调性（四）函数的解析式（五）三角函数图象综合（六）三角函数的奇偶性（七）三角函数的对称性（八）三角函数的最值（九）三角函数与数列的综合（十）三角函数的周期性四．典例分析（一）三角函数图象平移例1．为了得到函数的图象，只需将函数图象上所有的点（）A．向左平行移动个单位长度B．向右平行移动个单位长度C．向左平行移动个单位长度D．向右平行移动个单位长度【答案】B【点睛】本题考查的是三角函数的平移问题，首先保证三角函数同名，不是同名通过诱导公式化为同名，在平移中符合左加右减的原则，在写解析式时保证要将x的系数提出来，针对x本身进行加减和伸缩.练习1．为了得到的图像，只需把函数的图像（）A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度【答案】D【解析】【分析】逆用两角和的余弦公式，得=，再分析两个函数图象的变换. 【详解】因为，要得到函数，只需将的图象向右平移个单位长度即可．故选D.【点睛】本题考查了三角函数的图象与变换，考查了两角和的余弦公式的应用；解决三角函数图象的变换问题，首先要把变换前后的两个函数化为同名函数.（二）三角函数的零点例2．函数的零点个数为A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】利用两角和与差的三角函数化简函数的解析式，通过函数为0，转化为两个函数的图象交点个数问题.【详解】由已知，令，即，在同一坐标系中画出函数和的图象，如图所示，两个函数图象有两个不同的交点，所以函数的零点个数为2个，故选B.【点睛】本题主要考查了函数与方程的综合应用，其中根据三角函数的恒等变换，把函数的零点问题转化为两个函数的图象的交点问题，在同一坐标系中作出两个函数的图象是解答的关键，着重考查了转化思想和数形结合思想的应用.练习1．设函数为定义域为的奇函数，且，当时，，则函数在区间上的所有零点的和为A．10 B．8 C．16 D．20【答案】B【解析】根据函数是定义在R上的奇函数得函数图像关于原点对称，又由可得函数图像关于直线对称，故而得出函数是以4为周期的周期函数，然后利用数形结合便可得解。

专题1-1三角函数重难点、易错点突破（含答案）

专题1-1三⾓函数重难点、易错点突破（含答案）专题1-1 三⾓函数重难点、易错点突破（建议⽤时：180分钟）1 同⾓三⾓函数关系巧应⽤同⾓三⾓函数的⽤途主要体现在三⾓函数的求值和恒等变形中各函数间的相互转化，下⾯结合常见的应⽤类型举例分析，体会其转化作⽤，展现同⾓三⾓函数关系的巧应⽤. ⼀、知⼀求⼆例1 已知sin α＝255，π2≤α≤π，则tan α＝_________________________________.⼆、“1”的妙⽤例2 证明：1－sin 6x －cos 6x 1－sin 4x －cos 4x ＝32.三、齐次式求值例3 已知tan α＝2，求值： (1)2sin α－3cos α4sin α－9cos α＝________； (2)2sin 2α－3cos 2α＝________.2 三⾓函数的性质总盘点三⾓函数的性质是⾼考考查的重点和热点内容之⼀，应⽤“巧⽽活”.要能够灵活地运⽤性质，必须在脑海中能及时地浮现出三⾓函数的图象.下⾯通过典型例题对三⾓函数的性质进⾏盘点，请同学们⽤⼼体会. ⼀、定义域例1 函数y ＝cos x －12的定义域为________.⼆、值域与最值例2 函数y ＝cos(x ＋π3)，x ∈(0，π3]的值域是________.三、单调性例3 已知函数f (x )＝sin(π3－2x )，求：(1)函数f (x )的单调减区间；(2)函数f (x )在[－π，0]上的单调减区间.四、周期性与对称性例4 已知函数f (x )＝sin(2ωx －π3)(ω>0)的最⼩正周期为π，则函数f (x )的图象的对称轴⽅程是________.五、奇偶性例5 若函数f (x )＝sin x ＋φ3(φ∈[0，2π))是偶函数，则φ＝________.1 善⽤数学思想——巧解题⼀、数形结合思想例1 在(0，2π)内，使sin x >cos x 成⽴的x 的取值范围是________.⼆、分类讨论思想例2 已知⾓α的终边在直线3x ＋4y ＝0上，求sin α，cos α，tan α的值.三、函数与⽅程的思想例3 函数f (x )＝3cos x －sin 2x (π6≤x ≤π3)的最⼤值是________.四、转化与化归思想例4 ⽐较下列两个数的⼤⼩tan(－13π4)与tan(－17π5).2 三⾓恒等变形的⼏个技巧三⾓函数是⾼考的热点，素以“⼩⽽活”著称．除了掌握基础知识之外，还要注意灵活运⽤⼏个常⽤的技巧．下⾯通过例题进⾏解析，希望对同学们有所帮助．⼀、灵活降幂例13－sin 70°2－cos 210°＝________.⼆、化平⽅式例2 化简求值： 12－12 12＋12cos 2α(α∈(3π2，2π))．三、灵活变⾓例3 已知sin(π6－α)＝13，则cos(2π3＋2α)＝________.四、构造齐次弦式⽐，由切求弦例4 已知tan θ＝－12，则cos 2θ1＋sin 2θ的值是________．五、分⼦、分母同乘以2n sin α求cos αcos 2αcos 4α·cos 8α…cos 2n －1α的值例5 求值：sin 10°sin 30°sin 50°sin 70°.1 数形结合百般好，形象直观烦琐少——构建正弦、余弦函数图象解题正弦、余弦函数的图象是本章的重点，也是⾼考的⼀个热点，它不仅能直观反映三⾓函数的性质，⽽且它还有着⼴泛的应⽤，若能根据问题的题设特点灵活构造图象，往往能直观、准确、快速解题. ⼀、确定函数的值域例1 定义运算a ※b ＝?a ，a ≤b ，b ，a >b ，例如，1※2＝1，则函数f (x )＝sin x ※cos x 的值域为________.⼆、确定零点个数例2 函数f (x )＝12x－sin x 在区间[0，2π]上的零点个数为________.三、确定参数的值例3 已知f (x )＝sin(ωx ＋π3)(ω>0)，f π6＝f π3，且f (x )在区间π6，π3上有最⼩值，⽆最⼤值，则ω＝_________.四、判断函数单调性例4 设函数f (x )＝sin x ＋π3(x ∈R )，则f (x )________.(将正确说法的序号填上) ①在区间2π3，4π3上是单调增函数②在区间3π4，13π12上是单调增函数③在区间－π8，π4上是单调减函数④在区间π3，5π6上是单调减函数五、确定参数范围例5 当0≤x ≤1时，不等式sin πx2≥kx 恒成⽴，则实数k 的取值范围是________. 六、研究⽅程的实根例6 已知⽅程2sin x ＋π4＝k 在[0，π]上有两个实数根x 1，x 2，求实数k 的取值范围，并求x 1＋x 2的值.2 聚焦三⾓函数最值的求解策略⼀、化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的形式求解例1 求函数f (x )＝sin 4x ＋cos 4x ＋sin 2x cos 2x2－sin 2x 的最值．例2 求函数y ＝sin 2x ＋2sin x cos x ＋3cos 2x 的最⼩值，并写出y 取最⼩值时x 的集合．⼆、利⽤正弦、余弦函数的有界性求解例3 求函数y ＝2sin x ＋12sin x －1的值域．例4 求函数y ＝sin x ＋3cos x －4的值域．三、转化为⼀元⼆次函数在某确定区间上求最值例5 设关于x 的函数y ＝cos 2x －2a cos x －2a 的最⼩值为f (a )，写出f (a )的表达式．四、利⽤函数的单调性求解例7 求函数y ＝(1＋sin x )(3＋sin x )2＋sin x 的最值．例8 在Rt △ABC 内有⼀内接正⽅形，它的⼀条边在斜边BC 上，设AB ＝a ，∠ABC ＝θ，△ABC 的⾯积为P ，正⽅形⾯积为Q .求PQ的最⼩值．易错问题盘点⼀、求⾓时选择三⾓函数类型不当⽽致错例1 已知sin α＝55，sin β＝1010，α和β都是锐⾓，求α＋β的值．⼆、忽视条件中隐含的⾓的范围⽽致错例2 已知tan 2α＋6tan α＋7＝0，tan 2β＋6tan β＋7＝0，α、β∈(0，π)，且α≠β，求α＋β的值．三、忽略三⾓形内⾓间的关系⽽致错例3 在△ABC 中，已知sin A ＝35，cos B ＝513，求cos C .四、忽略三⾓函数的定义域⽽致错例4 判断函数f (x )＝1＋sin x －cos x1＋sin x ＋cos x 的奇偶性．五、误⽤公式a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)⽽致错例5 若函数f (x )＝sin(x ＋θ)＋cos(x －θ)，x ∈R 是偶函数，求θ的值．专题1-1 三⾓函数重难点、易错点突破参考答案1 同⾓三⾓函数关系巧应⽤例1 解析由sin α＝255，且sin 2α＋cos 2α＝1得cos α＝±55，因为π2≤α≤π，可得cos α＝－55，所以tan α＝sin αcos α＝－2.答案－2点评已知某⾓的弦函数值求其他三⾓函数值时，先利⽤平⽅关系求另⼀弦函数值，再求切函数值，需要注意的是利⽤平⽅关系时，若没有⾓度的限制，要注意分类讨论.例2 证明因为sin 2x ＋cos 2x ＝1，所以1＝(sin 2x ＋cos 2x )3，1＝(sin 2x ＋cos 2x )2，所以1－sin 6x －cos 6x 1－sin 4x －cos 4x ＝(sin 2x ＋cos 2x )3－sin 6x －cos 6x (sin 2x ＋cos 2x )2－sin 4x －cos 4x ＝3sin 4x cos 2x ＋3cos 4x sin 2x 2sin 2x cos 2x ＝3(sin 2x ＋cos 2x )2＝32.即原命题得证.点评本题在证明过程中，充分利⽤了三⾓函数的平⽅关系，对“1”进⾏了巧妙的代换，使问题迎刃⽽解. 例3 解析 (1)因为cos α≠0，分⼦分母同除以cos α，得2sin α－3cos α4sin α－9cos α＝2tan α－34tan α－9＝2×2－34×2－9＝－1.(2)2sin 2α－3cos 2α＝2sin 2α－3cos 2αsin 2α＋cos 2α，因为cos 2 α≠0，分⼦分母同除以cos 2α，得2sin 2α－3cos 2αsin 2α＋cos 2α＝2tan 2α－3tan 2α＋1＝2×22－322＋1＝1.答案 (1)－1 (2)1点评这是⼀组在已知tan α＝m 的条件下，求关于sin α、cos α的齐次式值的问题.解这类问题需注意以下⼏点：(1)⼀定是关于sin α、cos α的齐次式(或能化为齐次式)的三⾓函数式；(2)因为cos α≠0，所以分⼦、分母可同时除以cos n α(n ∈N ＋).这样可以将所求式化为关于tan α的表达式，整体代⼊tan α＝m 的值求解.2 三⾓函数的性质总盘点例1解析由题意得cos x ≥12，所以2k π－π3≤x ≤2k π＋π3，k ∈Z .即函数的定义域是[2k π－π3，2k π＋π3]，k ∈Z .答案 [2k π－π3，2k π＋π3]，k ∈Z点评解本题的关键是先列出保证函数式有意义的三⾓不等式，然后利⽤三⾓函数的图象或者单位圆中三⾓函数线求解.例2 解析因为03π，f (x )＝cos x 的图象如图所⽰：可知cos 23π≤cos(x ＋π3)2).答案 [－12，12)点评解本题的关键是从x 的范围⼊⼿，先求得ωx ＋φ的范围，再结合余弦函数的图象对应得出cos(ωx ＋φ)的范围，从⽽可得函数的值域或者最值.例3 解由f (x )＝sin(π3－2x )可化为f (x )＝－sin(2x －π3).所以原函数的单调减区间即为函数y ＝sin(2x －π3)的单调增区间.(1)令2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，解得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z .所以f (x )＝sin(π3－2x )的单调减区间为[k π－π12，k π＋5π12]，k ∈Z .(2)在减区间[k π－π12，k π＋5π12]，k ∈Z 中，令k ＝－1、0时，可以得到当x ∈[－π，0]时，f (x )＝sin(π3－2x )的单调减区间为[－π，－7π12]，[－π12，0].点评解本题的关键是先把函数化为标准形式y ＝sin(ωx ＋φ)，ω>0，然后把ωx ＋φ看做⼀个整体，根据y ＝sin x 的单调性列出不等式，求得递减区间的通解；如果要求某⼀个区间上的单调区间，再对通解中的k 进⾏取值，便可求得函数在这个区间上的单调区间.例4 解析由T ＝π＝2π2ω得ω＝1，所以f (x )＝sin(2x －π3)，由2x －π3＝π2＋k π，k ∈Z ，解得f (x )的对称轴为x ＝5π12＋k π2，k ∈Z .答案 x ＝5π12＋k π2，k ∈Z点评解本题的关键是先由周期公式求得ω的值，再解决对称轴问题，求解对称轴有两种⽅法：⼀种是直接求得函数的对称轴；另⼀种是根据对称轴的特征——对应的函数值为函数的最值解决.同样地，求解对称中⼼也有两种⽅法.例5 解析函数是偶函数，所以函数关于x ＝0对称. 由x ＋φ3＝π2＋k π，k ∈Z ，可得函数的对称轴⽅程是x ＝x 3π2＋3k π－φ，k ∈Z .令3π2＋3k π－φ＝0，k ∈Z ，解得φ＝3π2＋3k π，k ∈Z ，⼜φ∈[0，2π)，故φ＝3π2.答案3π2点评解本题的关键是把奇偶性转化为对称性解决：偶函数?函数图象关于y 轴对称；奇函数?函数图象关于原点对称.1 善⽤数学思想——巧解题例1 解析在同⼀坐标系中画出y ＝sin x ，y ＝cos x ，x ∈(0，2π)的图象如图：由图知，x ∈(π4，5π4).答案 (π4，5π4)点评求解三⾓函数的⽅程、不等式时，通常利⽤函数的图象使问题变得更简单. 例2 解⾓α的终边在直线3x ＋4y ＝0上，在⾓α的终边上任取⼀点P (4t ，－3t )(t ≠0)，则x ＝4t ，y ＝－3t ， r ＝x 2＋y 2＝(4t )2＋(－3t )2＝5|t |.当t >0时，r ＝5t ，sin α＝y r ＝－3t 5t ＝－35，cos α＝x r ＝4t 5t ＝45，tan α＝y x ＝－3t 4t ＝－34；当t <0时，r ＝－5t ，sin α＝y r ＝－3t －5t ＝35，cos α＝x r ＝4t －5t ＝－45，tan α＝y x ＝－3t 4t ＝－34，综上可知，sin α＝－35，cos α＝45，tan α＝－34；或sin α＝35，cos α＝－45，tan α＝－34.点评 (1)若⾓的终边位置象限不确定，应分类讨论.(2)若三⾓函数值含有变量，因变量取不同的值会导致不同的结果，需要讨论.例3 解析 f (x )＝3cos x －sin 2x ＝cos 2x ＋3cos x －1＝(cos x ＋32)2－74，设cos x ＝t ，因为π6≤x ≤π3，所以由余弦函数的单调性可知，12≤cos x ≤32，即12≤t ≤32，⼜函数f (t )＝(t ＋32)2－74在[12，32]上是单调增函数，故f (t )max ＝f (32)＝54，所以f (x )的最⼤值为54. 答案 54点评遇平⽅关系，可想到构造⼆次函数，再利⽤⼆次函数求解最⼤值. 例4 解 tan(－13π4)＝－tan π4，tan(－17π5)＝－tan 2π5.因为0<π4<2π5<π2，且y ＝tan x 在(0，π2)上是单调增函数，所以tan π4－tan 2π5，即tan(－13π4)>tan(－17π5).点评三⾓函数值⽐较⼤⼩问题⼀般将其转化到某⼀三⾓函数的⼀个单调区间内，然后利⽤三⾓函数的单调性⽐较⼤⼩.另外诱导公式的使⽤也充分体现了将未知化为已知的化归与转化思想.2 三⾓恒等变形的⼏个技巧例1 解析3－sin 70°2－cos 210°＝3－sin 70°2－1＋cos 20°2＝3－cos 20°3－cos 20°2＝2.答案 2点评常⽤的降幂技巧还有：因式分解降幂、⽤平⽅关系sin 2θ＋cos 2θ＝1进⾏降幂：如cos 4θ＋sin 4θ＝(cos 2θ＋sin 2θ)2－2cos 2θsin 2θ＝1－12sin 22θ，等等．例2 解因为α∈(3π2，2π)，所以α2∈(3π4，π)，所以cos α>0，sin α2>0，故原式＝12－121＋cos 2α2＝ 12－12cos α＝ sin 2α2＝sin α2.点评⼀般地，在化简求值时，遇到1＋cos 2α、1－cos 2α、1＋sin 2α、1－sin 2α常常化为平⽅式：2cos 2α、2sin 2α、(sin α＋cos α)2、(sin α－cos α)2.例3 解析 cos(2π3＋2α)＝2cos 2(π3＋α)－1＝2sin 2(π6－α)－1＝2×(13)2－1＝－79.答案－79点评正确快速求解本题的关键是灵活运⽤已知⾓“π6－α”表⽰待求⾓“2π3＋2α”，善于发现前者和后者的⼀半互余．例4 解析 cos 2θ1＋sin 2θ＝cos 2θ－sin 2θcos 2θ＋sin 2θ＋2sin θcos θ＝1－tan 2θ1＋tan 2θ＋2tan θ＝1－141＋14＋2×(－12)＝3414＝3.答案 3点评解本题的关键是先由⼆倍⾓公式和平⽅关系把“cos 2θ1＋sin 2θ”化为关于sin θ和cos θ的⼆次齐次弦式⽐．例5 解原式＝12cos 20°cos 40°cos 80°＝4sin 20°cos 20°cos 40°cos 80°8sin 20°＝2sin 40°cos 40°cos 80°8sin 20°＝sin 80°cos 80°8sin 20°＝116·sin 160°sin 20°＝116.点评这类问题的解决⽅法是分⼦、分母同乘以最⼩⾓的正弦的倍数即可.1 数形结合百般好，形象直观烦琐少——构建正弦、余弦函数图象解题例1 解析根据题设中的新定义，得f (x )＝?sin x ，sin x ≤cos x ，cos x ，sin x >cos x ，作出函数f (x )在⼀个周期内的图象，如图可知函数f (x )的值域为?－1，22. 答案 ?－1，22点评有关三⾓函数的值域的确定，常常作出函数的图象，借助于图象直观、准确地求解. 例2 解析在同⼀直⾓坐标系内，画出y ＝12x及y ＝sin x 的图象，由图象可观察出交点个数为2. 答案 2点评有关三⾓函数的交点个数的确定，常常作出函数的图象，借助于图象直观、准确求解.例3 解析∵f (x )＝sin ωx ＋π3(ω>0)且f π6＝fπ3，⼜f (x )在区间π6，π3内只有最⼩值、⽆最⼤值，画出函数⼤致图象，如图所⽰，∴f (x )在π6＋π32＝π4处取得最⼩值.∴π4ω＋π3＝2k π－π2(k ∈Z ).∴ω＝8k －103(k ∈Z ). ∵ω>0，∴当k ＝1时，ω＝8－103＝143；当k ＝2时，ω＝16－103＝383，此时在区间π6，π3内已存在最⼤值.故ω＝143. 答案143点评本⼩题考查对y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及性质的理解与应⽤，求解本题应注意两点：⼀是f (x )在π4处取得最⼩值；⼆是在区间π6，π3内只有最⼩值⽽⽆最⼤值，求解时作出其草图可以帮助解题.例4 解析作出函数y ＝sin x ＋π3的图象如图所⽰.由图象可知②正确. 答案②点评形如f (x )＝|A sin(ωx ＋φ)＋k |(A ≠0，ω≠0)的函数性质，可作出其图象，利⽤数形结合思想求解. 例5 解析作出函数y ＝πx2，y ＝kx 的函数图象，如图所⽰.当k ≤0时，显然成⽴；当0πx2≥kx 在[0，1]上成⽴.综上所述，k ≤1. 答案 (－∞，1]点评数形结合时，函数图象要根据题⽬需要作得精确可信，必要时应结合计算判断.本题讨论y ＝kx 与y ＝sinπx2的图象关系时，不要忘记k ≤0的情况. 例6 解在同⼀坐标系内作出函数y 1＝2sin x ＋π4(0≤x ≤π)与y 2＝k 的图象，如图所⽰.当x ＝0时，y 1＝2sin0＋π4＝1. 所以当k ∈[1，2)时，两曲线在[0，π]上有两个交点，即⽅程有两个实数根x 1、x 2，且x 1、x 2关于x ＝π4对称，x 1＋x 2＝π2.故实数k 的取值范围是[1，2)，且x 1＋x 2＝π2.点评本题通过函数图象的交点个数判断⽅程实数根的个数，应重视这种⽅法.2 聚焦三⾓函数最值的求解策略例1 解原函数变形得：f (x )＝(sin 2x ＋cos 2x )2－sin 2x cos 2x2－sin 2x＝1－14sin 22x 2－sin 2x＝1＋12sin 2x 1－12sin 2x 21－12sin 2x ＝14sin 2x ＋12.∴f (x )max ＝34，f (x )min ＝14.例2 解原函数化简得：y ＝sin 2x ＋cos 2x ＋2＝2sin ?2x ＋π4＋2. 当2x ＋π4＝2k π＋32π，k ∈Z ，即x ＝k π＋58π，k ∈Z 时，y min ＝2－ 2.此时x 的集合为{x |x ＝k π＋58π，k ∈Z }．点评形如y ＝a sin 2ωx ＋b sin ωx cos ωx ＋c cos 2ωx ＋d (a ，b ，c ，d 为常数)的式⼦，都能转化成y ＝A sin(2ωx ＋φ)＋B 的形式求最值．例3 解原函数整理得sin x ＝y ＋12(y －1).∵|sin x |≤1，∴??y ＋12(y －1)≤1，解出y ≤13或y ≥3.即函数的值域为－∞，13∪[3，＋∞)．例4解原函数整理得sin x －y cos x ＝－4y －3，∴y 2＋1sin(x ＋φ)＝－4y －3，∴sin(x ＋φ)＝－4y －31＋y 2.∵|sin(x ＋φ)|≤1，解不等式－4y －31＋y 2≤1得：－12－2615≤y ≤－12＋2615. 即值域为??－12－2615，－12＋2615.点评对于形如y ＝a sin x ＋b c sin x ＋d 或y ＝a sin x ＋bc cos x ＋d 的这类函数，均可利⽤三⾓函数中弦函数的有界性去求最值．例5 解y ＝cos 2x －2a cos x －2a ＝2cos 2x －2a cos x －(2a ＋1)＝2cos x －a 22－a 22＋2a ＋1.当a2<－1，即a <－2时，f (a )＝y min ＝1，此时cos x ＝－1. 当－1≤a 2≤1，即－2≤a ≤2时，f (a )＝y min ＝－a 22－2a －1，此时cos x ＝a2.当a2>1，即a >2时，f (a )＝y min ＝1－4a ，此时cos x ＝1. 综上所述，f (a )＝1(a <－2)，－a22－2a －1(－2≤a ≤2)，1－4a (a >2).点评形如y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c 的三⾓函数可转化为⼆次函数y ＝at 2＋bt ＋c 在区间[－1,1]上的最值问题解决．例6 解设sin x ＋cos x ＝t ，t ∈[－2， 2 ]，则2sin x cos x ＝t 2－1，原函数变为y ＝t 2＋t ＋1，t ∈[－2，2 ]，当t ＝－12时，y min ＝34；当t ＝2时，y max ＝3＋ 2.点评⼀般地，既含sin x ＋cos x (或sin x －cos x )⼜含sin x cos x 的三⾓函数采⽤换元法可以转化为t 的⼆次函数解最值．注意以下结论的运⽤，设sin x ＋cos x ＝t ，则sin x cos x ＝12(t 2－1)；sin x －cos x ＝t ，则sin x cosx ＝12(1－t 2)．例7 解 y ＝sin 2x ＋4sin x ＋3sin x ＋2＝(sin x ＋2)2－1sin x ＋2＝(sin x ＋2)－1(sin x ＋2)，令t ＝sin x ＋2，则t ∈[1,3]，y ＝t －1t.利⽤函数单调性的定义易证函数y ＝t －1t 在[1,3]上为增函数．故当t ＝1即sin x ＝－1时，y min ＝0；当t ＝3即sin x ＝1时，y max ＝83.例8 解 AC ＝a tan θ，P ＝12AB ·AC ＝12a 2tan θ.设正⽅形边长为x ，AG ＝x cos θ，BC ＝acos θ.BC 边上的⾼h ＝a sin θ，∵AG AB ＝h －x h ，即x cos θa ＝a sin θ－x a sin θ，∴x ＝a sin θ1＋sin θcos θ，∴Q ＝x 2＝a 2sin 2θ(1＋sin θcos θ)2.从⽽P Q ＝sin θ2cos θ·(1＋sin θcos θ)2sin 2θ＝(2＋sin 2θ)24sin 2θ＝1＋sin 2θ4＋1sin 2θ. 易知函数y ＝1t ＋t 4在区间(0,1]上是减少的，所以当sin 2θ＝1时，P Q min ＝94. 点评⼀些复杂的三⾓函数最值问题，可以通过适当换元转化为简单的代数函数后，利⽤函数单调性巧妙解决．易错问题盘点例1 [错解] 因为α和β都是锐⾓，且sin α＝55，sin β＝1010，所以cos α＝255，cos β＝31010， sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝55×31010＋255×1010＝22. 因为α，β∈0，π2，则α＋β∈(0，π)．所以α＋β＝π4或3π4. [剖析] 由sin α＝55，sin β＝1010，α和β都是锐⾓，可以知道α和β都是定值，因此α＋β也是定值，因此上述解法出现两个答案，其中就有⼀个是错误的．这是因为sin(α＋β)在第⼀、第⼆象限没有区分度，应选择计算cos(α＋β)的值．[正解] 因为α和β都是锐⾓，且sin α＝55，sin β＝1010，所以cos α＝255，cos β＝31010， cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝255×31010－55×1010＝22.因为α，β∈0，π2，则α＋β∈(0，π)，所以α＋β＝π4.温馨点评根据条件求⾓，主要有两步：(1)求⾓的某种三⾓函数值；(2)确定⾓的范围，从⽽确定所求⾓的值.完成第⼀步⼀般要选择相对⾓的范围区分度⽐较⼤的三⾓函数，且确定范围要尽量缩⼩.例2 [错解] 由题意知tan α、tan β是⽅程x 2＋6x ＋7＝0的两根，由根与系数的关系得：tan α＋tan β＝－6 ①tan αtan β＝7 ②∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－61－7＝1.∵0<α<π，0<β<π，∴0<α＋β<2π，∴α＋β＝π4或α＋β＝54π.[剖析] 由①②知tan α<0，tan β<0，⾓α、β都是钝⾓．上述解法忽视了这⼀隐含条件．[正解] 由?tan α＋tan β＝－6，tan αtan β＝7易知tan α<0，tan β<0.∵α、β∈(0，π)，∴π2<α<π，π2<β<π.∴π<α＋β<2π.⼜∵tan(α＋β)＝1，∴α＋β＝54π.例3 [错解] 由sin A ＝35，得cos A ＝±45，由cos B ＝513，得sin B ＝1213，当cos A ＝45时，cos C ＝－cos(A ＋B )＝sin A sin B －cos A cos B ＝16 65.当cos A ＝－45时，cos C ＝－cos(A ＋B )＝sin A sin B －cos A cos B ＝5665.[剖析] 在△ABC 中，三个内⾓A 、B 、C 的和为π，解题时要充分利⽤这⼀定理．本题得到cos A ＝±45后，没有对cos A ＝－45这⼀结果是否合理进⾏检验，从⽽导致结论不正确．[正解] 由cos B ＝513>0，∴B ∈0，π2，且sin B ＝1213. 由sin A ＝35，得cos A ＝±45，当cos A ＝－45时，cos A <－12.∴A >2π3.∵sin B ＝1213>32，B ∈0，π2，∴B >π3. 故当cos A ＝－45时，A ＋B >π，与A 、B 是△ABC 的内⾓⽭盾．∴cos A ＝45，cos C ＝－cos(A ＋B )＝sin A sin B －cos A cos B ＝1665.例4 [错解] f (x )＝1＋sin x －cos x 1＋sin x ＋cos x＝1＋2sin x 2cos x 2－1－2sin 2x 21＋2sin x 2cos x 2＋2cos 2x 2－1＝2sin x2cos x 2＋sin x 22cos x 2sin x 2＋cos x 2＝tan x2，由此得f (－x )＝tan －x 2＝－tan x2＝－f (x )，因此函数f (x )为奇函数．[剖析] 运⽤公式后所得函数f (x )＝tan x2的定义域为{}x |x ∈R ，x ≠2k π＋π，k ∈Z .两函数的定义域不同，变形后的函数定义域扩⼤致错．[正解] 事实上，由1＋sin x ＋cos x ≠0可得sin x ＋cos x ≠－1，即2sin x ＋π4≠－1，从⽽sin x ＋π4≠－22，所以x ＋π4≠2k π＋5π4且x ＋π4≠2k π＋7π4(k ∈Z )，故函数f (x )的定义域是?x |x ≠2k π＋π，且x ≠2k π＋3π2，k ∈Z ，显然该定义域不关于原点对称．所以函数f (x )为⾮奇⾮偶函数．例5 [错解] ∵f (x )＝sin(x ＋θ)＋cos(x －θ)，∴f (0)＝sin θ＋cos θ＝2sin θ＋π4. ∵f (x )＝sin(x ＋θ)＋cos(x －θ)是偶函数，∴|f (0)|＝f (x )max ＝ 2. ∴f (0)＝2sinθ＋π4＝±2，∴sin θ＋π4＝±1，∴θ＋π4＝k π＋π2，k ∈Z . 即θ＝k π＋π4，k ∈Z .[剖析] 因为x ＋θ与x －θ是不同的⾓，所以函数f (x )的最⼤值不是2，上述解答把f (x )的最⼤值误当作2来处理．[正解] 因为f (x )＝sin(x ＋θ)＋cos(x －θ)是偶函数，所以f (x )＝f (－x )对⼀切x ∈R 恒成⽴．即sin(x ＋θ)＋cos(x －θ)＝sin(－x ＋θ)＋cos(－x －θ)恒成⽴．∴[sin(x ＋θ)＋sin(x －θ)]＋[cos(x －θ)－cos(x ＋θ)]＝0. ∴2sin x cos θ＋2sin x sin θ＝0恒成⽴．即2sin x (cos θ＋sin θ)＝0恒成⽴．∴cos θ＋sin θ＝0.∵cos θ＋sin θ＝2sin θ＋π4＝0，∴θ＋π4＝k π，即θ＝k π－π4，k ∈Z .。

第五章三角函数典型易错题集(解析版)

第五章三角函数典型易错题集易错点1．忽略顺时针旋转为负角，逆时针旋转为正角。

【典型例题1】（2022·全国·高一专题练习）将手表的分针拨快10分钟，则分针在旋转过程中形成的角的弧度数是（） A ．6πB ．3π C ．6π-D ．3π-【错解】B将手表的分针拨快10分钟，则分针在旋转过程中形成的角的弧度数是102603ππ⨯=. 点评：学生对角的理解还是局限在0360之间，把角都当成正数，容易忽视角的定义，顺时针旋转为负，逆时针旋转为正。

【正解】D 【详解】将手表的分针拨快10分钟，则分针在旋转过程中形成的角的弧度数是102603ππ-⨯=-. 故选：D.易错点2．在三角函数定义中，忽略点坐标值的正负。

【典型例题2】（2022·湖北襄阳·高一期中）设α是第三象限角，(),4P x -为其终边上的一点，且1cos 5x α=，则tan α=（） A ．43-或43B ．34C ．43D ．34-【错解】A解：(,4)P x -为其终边上的一点，且1cos 5x α=， ∴15x，解得：3x =±，所以(3,4)P ∴--或者(3,4)P ∴-，所以44tan 33α-∴==-或者44tan 33α-∴==-点评：学生在解此类问题时往往忽略了角α15x=方程时容易造成两种错误:①293a a =⇒=,这类错误往往学生只能看到正根，没有负根。

②第二类错误，本题也解出了3x =±，但是忽视了本题α是第三象限角，此时x 是负数，要舍去其中的正根。

【答案】C 【详解】解：(,4)P x -为其终边上的一点，且1cos 5x α=， ∴15x，解得：0x =或3x =±，又α是第三象限角，0x ∴<，3x ∴=-，(3,4)P ∴--， 44tan 33α-∴==-．故选：C ．易错点3．分数的分子分母同乘或者同除一个数，分数的值不变（分数基本性质）【典型例题3】（2022·安徽省五河第一中学高二月考）已知tan 2θ=则22sin sin cos 2cos θθθθ+-的值为________．【错解】4222222sin sin cos 2cos (sin sin cos 2cos )cos tan tan 24θθθθθθθθθθθ+-=+-÷=+-=点评：学生在此类问题时多数出现分式问题，习惯了分子分母同除以cos θ（或者2cos θ），但本题是一个整式，要先化成分式，才能进一步同时除以cos θ（或者2cos θ）。

三角函数典型超级易错题

三角函数典型超级易错题三角函数是高中数学中的一个重要章节，涉及到许多概念和性质。

虽然三角函数的基本理论并不难以理解，但由于其具有一些易错点，所以在做题过程中可能会遇到一些挑战。

本文将就三角函数中的一些典型易错题进行详细分析和解答，以帮助读者更好地理解和掌握这一知识点。

1. 题目：已知$\tan x=\frac{3}{4}$，求$\sin x$和$\cos x$的值。

解答：首先，根据定义，$\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}$，所以我们可以得到一个等式：$$\frac{\sin x}{\cos x}=\frac{3}{4}$$接下来，我们可以利用三角函数的定义和性质，将$\sin x$和$\cosx$之间的关系进行转化。

通过三角函数的定义，我们知道$\sin x$和$\cos x$是有关的：$$\sin^2x+\cos^2x=1$$将其变形得到：$$\sin^2x=1-\cos^2x$$将上式代入第一个等式中，得到：$$\frac{1-\cos^2x}{\cos x}=\frac{3}{4}$$进一步整理，得到二次方程：$$4-4\cos^2x=3\cos x$$将其变形，得到：$$4\cos^2x+3\cos x-4=0$$这是一个关于$\cos x$的一元二次方程，我们可以使用求根公式求解。

令$a=4$，$b=3$，$c=-4$，带入求根公式：$$\cos x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$代入数值，我们可以解得：$$\cos x=\frac{-3\pm\sqrt{9+64}}{8}$$将其化简得到：$$\cos x=\frac{-3\pm\sqrt{73}}{8}$$但是我们需要注意的是，对于给定的条件$\tan x=\frac{3}{4}$，角$x$的值是有限制的。

在单位圆上，正切函数$\tan x$的定义域是$(-\infty, \infty)$，而我们已知$\tan x=\frac{3}{4}$，所以根据正切函数在单位圆上的性质，我们可以得到一个范围限制：$$0<x<\frac{\pi}{2}$$在这个范围内，$\cos x>0$，所以我们可以舍弃$\cos x<0$的解，只考虑$\cos x>0$的解。

初三《三角函数》经典习题汇编(易错题、难题)

初三《三角函数》经典习题汇编(易错题、
难题)
初三《三角函数》经典题汇编（易错题、难题）
概述
本文档以初三数学学科的《三角函数》为主题，整理了一些经
典的题，主要包括易错题和难题。

这些题旨在帮助学生加深对三角
函数的理解和应用能力。

题目列表
1. 题目：已知直角三角形的一条直角边为5，斜边为13，求另
一条直角边的长度。

难度：易错题
答案：12
2. 题目：已知角A的正弦值为1/2，求角A的度数。

难度：易错题
答案：30°
3. 题目：已知角B的余弦值为3/5，求角B的度数。

难度：易错题
答案：53.13°
4. 题目：已知角C的正切值为2，求角C的度数。

难度：难题
答案：63.43°
5. 题目：已知直角三角形的一条直角边为8，角A的正弦值为3/4，求斜边的长度。

难度：难题
答案：10
6. 题目：已知角A的弧度为π/6，求角A的正弦值。

难度：难题
答案：1/2
7. 题目：已知角B的弧度为5π/6，求角B的正切值。

难度：难题
答案：√3
结论
通过解答这些经典习题，学生可以巩固对三角函数的基本概念和相关计算方法的掌握。

这些题目既包括易错题，帮助学生强化知识记忆，又包括难题，提高学生的解题能力。

建议学生针对这些题目进行练习，加深对三角函数的理解和应用能力，从而在考试中取得好成绩。

高一下学期数学北师大版必修第二册第一章三角函数易错题精析课件

sin − cos = −
13
13
12
5
∴ tan = − 或 .
5
12
12
5
sin =
sin = −
13
13
⇒
或
5
12
cos = −
cos = −
13
13
四、忽视角的范围致错
【例5】已知 ∈ 0 , + =
【正解】∵ + =
7
，
13
7
，求tanα的值.
−
11
，
2
三、复合函数单调区间时忽视自变量的符号
【例3】求函数 = 2sin

4
− 2 的递增区间.

4
【错解】令 = − 2 ，则 = 2sin在 2 −

8
∴ − ≤ ≤ +
∴函数 = 2sin

4
3
8

2
2 +

2
上是增函数，
∈ .
− 2 的递增区间为 −

8
+
3
8
∈ .
三、复合函数单调区间时忽视自变量的符号
【例3】求函数 = 2sin

4
− 2 的递增区间.

4

4
【正解】令 = − 2 ，则 = − 2在R上是减函数，要求 = 2sin

4
− 2 的增区间，
只需求y=2sin u的递减区间.

2

4
∴2 + ≤ − 2 ≤ 2 +
1
7
1
3
【例4】已知tan = , tan = , 、均为锐角，求 α+2β 的值.

高考数学导数与三角函数压轴题综合归纳总结教师版

高考数学导数与三角函数压轴题综合归纳总结教师版导数与三角函数的问题在近几年的高考数学试题中频繁出现，主要包括函数零点个数的确定、根据函数零点个数求参数围、隐零点问题及零点存在性赋值理论。

这些问题的形式逐渐多样化、综合化。

一、零点存在定理例1.【2019全国Ⅰ理20】函数$f(x)=\sin x-\ln(1+x)$，$f'(x)$为$f(x)$的导数。

证明：1）$f'(x)$在区间$(-1,)$存在唯一极大值点；2）$f(x)$有且仅有2个零点。

解析】（1）设$g(x)=f'(x)$，则$g(x)=\cos x-\frac{1}{1+x}$，$g'(x)=-\sin x+\frac{1}{(1+x)^2}$。

当$x\in(-1,\frac{\pi}{2})$时，$g'(x)$单调递减，而$g'(0)>0$，$g'(\frac{\pi}{2})<0$，可得$g'(x)$在$(-1,\frac{\pi}{2})$有唯一零点，设为$\alpha$。

则当$x\in(-1,\alpha)$时，$g'(x)>0$；当$x\in(\alpha,\frac{\pi}{2})$时，$g'(x)<0$。

所以$g(x)$在$(-1,\alpha)$单调递增，在$(\alpha,\frac{\pi}{2})$单调递减，故$g(x)$在$(-1,\frac{\pi}{2})$存在唯一极大值点，即$f'(x)$在$(-1,\frac{\pi}{2})$存在唯一极大值点。

2）$f(x)$的定义域为$(-1,+\infty)$。

i) 由(1)知，$f'(x)$在$(-1,0)$单调递增，而$f'(0)=0$，所以当$x\in(-1,0)$时，$f'(x)<0$，故$f(x)$在$(-1,0)$单调递减，又$f(0)=0$，从而$x=0$是$f(x)$在$(-1,0]$的唯一零点。

专题1-1 三角函数重难点、易错点突破(含答案)

专题1-1 三角函数重难点、易错点突破（建议用时：180分钟）1 同角三角函数关系巧应用同角三角函数的用途主要体现在三角函数的求值和恒等变形中各函数间的相互转化，下面结合常见的应用类型举例分析，体会其转化作用，展现同角三角函数关系的巧应用.一、知一求二例1 已知sin α＝255，π2≤α≤π，则tan α＝_________________________________.二、“1”的妙用例2 证明：1－sin 6x －cos 6x 1－sin 4x －cos 4x ＝32.三、齐次式求值例3 已知tan α＝2，求值：(1)2sin α－3cos α4sin α－9cos α＝________； (2)2sin 2α－3cos 2α＝________.2 三角函数的性质总盘点三角函数的性质是高考考查的重点和热点内容之一，应用“巧而活”.要能够灵活地运用性质，必须在脑海中能及时地浮现出三角函数的图象.下面通过典型例题对三角函数的性质进行盘点，请同学们用心体会.一、定义域例1 函数y ＝cos x －12的定义域为________.二、值域与最值例2 函数y ＝cos(x ＋π3)，x ∈(0，π3]的值域是________.三、单调性例3 已知函数f (x )＝sin(π3－2x )，求： (1)函数f (x )的单调减区间；(2)函数f (x )在[－π，0]上的单调减区间.四、周期性与对称性例4 已知函数f (x )＝sin(2ωx －π3)(ω>0)的最小正周期为π，则函数f (x )的图象的对称轴方程是________.五、奇偶性例5 若函数f (x )＝sin x ＋φ3(φ∈[0，2π))是偶函数，则φ＝________.1 善用数学思想——巧解题一、数形结合思想例1 在(0，2π)内，使sin x >cos x 成立的x 的取值范围是________.二、分类讨论思想例2 已知角α的终边在直线3x ＋4y ＝0上，求sin α，cos α，tan α的值.三、函数与方程的思想例3 函数f (x )＝3cos x －sin 2x (π6≤x ≤π3)的最大值是________.四、转化与化归思想例4 比较下列两个数的大小tan(－13π4)与tan(－17π5).2 三角恒等变形的几个技巧三角函数是高考的热点，素以“小而活”著称．除了掌握基础知识之外，还要注意灵活运用几个常用的技巧．下面通过例题进行解析，希望对同学们有所帮助．一、灵活降幂例1 3－sin 70°2－cos 210°＝________. 二、化平方式例2 化简求值：12－1212＋12cos 2α(α∈(3π2，2π))．三、灵活变角例3 已知sin(π6－α)＝13，则cos(2π3＋2α)＝________. 四、构造齐次弦式比，由切求弦例4 已知tan θ＝－12，则cos 2θ1＋sin 2θ的值是________．五、分子、分母同乘以2n sin α求cos αcos 2αcos 4α·cos 8α…cos 2n －1α的值例5 求值：sin 10°sin 30°sin 50°sin 70°.1 数形结合百般好，形象直观烦琐少——构建正弦、余弦函数图象解题正弦、余弦函数的图象是本章的重点，也是高考的一个热点，它不仅能直观反映三角函数的性质，而且它还有着广泛的应用，若能根据问题的题设特点灵活构造图象，往往能直观、准确、快速解题.一、确定函数的值域例1 定义运算a ※b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≤b ，b ，a >b ，例如，1※2＝1，则函数f (x )＝sin x ※cos x 的值域为________.二、确定零点个数例2 函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x －sin x 在区间[0，2π]上的零点个数为________.三、确定参数的值例3 已知f (x )＝sin(ωx ＋π3)(ω>0)，f ⎝⎛⎭⎫π6＝f ⎝⎛⎭⎫π3，且f (x )在区间⎝⎛⎭⎫π6，π3上有最小值，无最大值，则ω＝_________.四、判断函数单调性例4 设函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3(x ∈R )，则f (x )________.(将正确说法的序号填上) ①在区间⎣⎡⎦⎤2π3，4π3上是单调增函数 ②在区间⎣⎡⎦⎤3π4，13π12上是单调增函数 ③在区间⎣⎡⎦⎤－π8，π4上是单调减函数 ④在区间⎣⎡⎦⎤π3，5π6上是单调减函数五、确定参数范围例5 当0≤x ≤1时，不等式sinπx 2≥kx 恒成立，则实数k 的取值范围是________. 六、研究方程的实根例6 已知方程2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝k 在[0，π]上有两个实数根x 1，x 2，求实数k 的取值范围，并求x 1＋x 2的值.2 聚焦三角函数最值的求解策略一、化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的形式求解例1 求函数f (x )＝sin 4x ＋cos 4x ＋sin 2x cos 2x 2－sin 2x的最值．例2 求函数y ＝sin 2x ＋2sin x cos x ＋3cos 2x 的最小值，并写出y 取最小值时x 的集合．二、利用正弦、余弦函数的有界性求解例3 求函数y ＝2sin x ＋12sin x －1的值域．例4 求函数y ＝sin x ＋3cos x －4的值域．三、转化为一元二次函数在某确定区间上求最值例5 设关于x 的函数y ＝cos 2x －2a cos x －2a 的最小值为f (a )，写出f (a )的表达式．四、利用函数的单调性求解例7 求函数y ＝(1＋sin x )(3＋sin x )2＋sin x的最值．例8 在Rt △ABC 内有一内接正方形，它的一条边在斜边BC 上，设AB ＝a ，∠ABC ＝θ，△ABC 的面积为P ，正方形面积为Q .求P Q的最小值．易错问题盘点一、求角时选择三角函数类型不当而致错例1 已知sin α＝55，sin β＝1010，α和β都是锐角，求α＋β的值．二、忽视条件中隐含的角的范围而致错例2 已知tan 2α＋6tan α＋7＝0，tan 2β＋6tan β＋7＝0，α、β∈(0，π)，且α≠β，求α＋β的值．三、忽略三角形内角间的关系而致错例3 在△ABC 中，已知sin A ＝35，cos B ＝513，求cos C .四、忽略三角函数的定义域而致错例4 判断函数f (x )＝1＋sin x －cos x 1＋sin x ＋cos x的奇偶性．五、误用公式a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)而致错例5 若函数f (x )＝sin(x ＋θ)＋cos(x －θ)，x ∈R 是偶函数，求θ的值．专题1-1 三角函数重难点、易错点突破参考答案1 同角三角函数关系巧应用例1 解析由sin α＝255，且sin 2α＋cos 2α＝1得cos α＝±55，因为π2≤α≤π，可得cos α＝－55，所以tan α＝sin αcos α＝－2. 答案－2点评已知某角的弦函数值求其他三角函数值时，先利用平方关系求另一弦函数值，再求切函数值，需要注意的是利用平方关系时，若没有角度的限制，要注意分类讨论.例2 证明因为sin 2x ＋cos 2x ＝1，所以1＝(sin 2x ＋cos 2x )3，1＝(sin 2x ＋cos 2x )2，所以1－sin 6x －cos 6x 1－sin 4x －cos 4x ＝(sin 2x ＋cos 2x )3－sin 6x －cos 6x (sin 2x ＋cos 2x )2－sin 4x －cos 4x＝3sin 4x cos 2x ＋3cos 4x sin 2x 2sin 2x cos 2x ＝3(sin 2x ＋cos 2x )2＝32. 即原命题得证.点评本题在证明过程中，充分利用了三角函数的平方关系，对“1”进行了巧妙的代换，使问题迎刃而解.例3 解析 (1)因为cos α≠0，分子分母同除以cos α，得2sin α－3cos α4sin α－9cos α＝2tan α－34tan α－9＝2×2－34×2－9＝－1. (2)2sin 2α－3cos 2α＝2sin 2α－3cos 2αsin 2α＋cos 2α，因为cos 2 α≠0，分子分母同除以cos 2α，得2sin 2α－3cos 2αsin 2α＋cos 2α＝2tan 2α－3tan 2α＋1＝2×22－322＋1＝1. 答案 (1)－1 (2)1点评这是一组在已知tan α＝m 的条件下，求关于sin α、cos α的齐次式值的问题.解这类问题需注意以下几点：(1)一定是关于sin α、cos α的齐次式(或能化为齐次式)的三角函数式；(2)因为cos α≠0，所以分子、分母可同时除以cos n α(n ∈N ＋).这样可以将所求式化为关于tan α的表达式，整体代入tan α＝m 的值求解.2 三角函数的性质总盘点例1解析由题意得cos x ≥12，所以2k π－π3≤x ≤2k π＋π3，k ∈Z . 即函数的定义域是[2k π－π3，2k π＋π3]，k ∈Z . 答案 [2k π－π3，2k π＋π3]，k ∈Z 点评解本题的关键是先列出保证函数式有意义的三角不等式，然后利用三角函数的图象或者单位圆中三角函数线求解.例2 解析因为0<x ≤π3，所以π3<x ＋π3≤23π，f (x )＝cos x 的图象如图所示：可知cos 23π≤cos(x ＋π3)<cos π3，即－12≤y <12.故函数的值域是[－12，12). 答案 [－12，12) 点评解本题的关键是从x 的范围入手，先求得ωx ＋φ的范围，再结合余弦函数的图象对应得出cos(ωx ＋φ)的范围，从而可得函数的值域或者最值.例3 解由f (x )＝sin(π3－2x )可化为f (x )＝－sin(2x －π3). 所以原函数的单调减区间即为函数y ＝sin(2x －π3)的单调增区间. (1)令2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，解得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z . 所以f (x )＝sin(π3－2x )的单调减区间为[k π－π12，k π＋5π12]，k ∈Z . (2)在减区间[k π－π12，k π＋5π12]，k ∈Z 中，令k ＝－1、0时，可以得到当x ∈[－π，0]时，f (x )＝sin(π3－2x )的单调减区间为[－π，－7π12]，[－π12，0]. 点评解本题的关键是先把函数化为标准形式y ＝sin(ωx ＋φ)，ω>0，然后把ωx ＋φ看做一个整体，根据y ＝sin x 的单调性列出不等式，求得递减区间的通解；如果要求某一个区间上的单调区间，再对通解中的k 进行取值，便可求得函数在这个区间上的单调区间.例4 解析由T ＝π＝2π2ω得ω＝1，所以f (x )＝sin(2x －π3)，由2x －π3＝π2＋k π，k ∈Z ，解得f (x )的对称轴为x ＝5π12＋k π2，k ∈Z . 答案 x ＝5π12＋k π2，k ∈Z 点评解本题的关键是先由周期公式求得ω的值，再解决对称轴问题，求解对称轴有两种方法：一种是直接求得函数的对称轴；另一种是根据对称轴的特征——对应的函数值为函数的最值解决.同样地，求解对称中心也有两种方法.例5 解析函数是偶函数，所以函数关于x ＝0对称.由x ＋φ3＝π2＋k π，k ∈Z ，可得函数的对称轴方程是x ＝x 3π2＋3k π－φ，k ∈Z .令3π2＋3k π－φ＝0，k ∈Z ，解得φ＝3π2＋3k π，k ∈Z ，又φ∈[0，2π)，故φ＝3π2. 答案 3π2点评解本题的关键是把奇偶性转化为对称性解决：偶函数⇔函数图象关于y 轴对称；奇函数⇔函数图象关于原点对称.1 善用数学思想——巧解题例1 解析在同一坐标系中画出y ＝sin x ，y ＝cos x ，x ∈(0，2π)的图象如图：由图知，x ∈(π4，5π4).答案 (π4，5π4)点评求解三角函数的方程、不等式时，通常利用函数的图象使问题变得更简单. 例2 解角α的终边在直线3x ＋4y ＝0上，在角α的终边上任取一点P (4t ，－3t )(t ≠0)，则x ＝4t ，y ＝－3t ， r ＝x 2＋y 2＝(4t )2＋(－3t )2＝5|t |.当t >0时，r ＝5t ，sin α＝y r ＝－3t 5t ＝－35，cos α＝x r ＝4t 5t ＝45，tan α＝y x ＝－3t 4t ＝－34；当t <0时，r ＝－5t ，sin α＝y r ＝－3t －5t ＝35，cos α＝x r ＝4t －5t ＝－45，tan α＝y x ＝－3t 4t ＝－34，综上可知，sin α＝－35，cos α＝45，tan α＝－34；或sin α＝35，cos α＝－45，tan α＝－34.点评 (1)若角的终边位置象限不确定，应分类讨论.(2)若三角函数值含有变量，因变量取不同的值会导致不同的结果，需要讨论.例3 解析 f (x )＝3cos x －sin 2x ＝cos 2x ＋3cos x －1＝(cos x ＋32)2－74，设cos x ＝t ，因为π6≤x ≤π3，所以由余弦函数的单调性可知，12≤cos x ≤32，即12≤t ≤32，又函数f (t )＝(t ＋32)2－74在[12，32]上是单调增函数，故f (t )max ＝f (32)＝54，所以f (x )的最大值为54. 答案 54点评遇平方关系，可想到构造二次函数，再利用二次函数求解最大值. 例4 解 tan(－13π4)＝－tan π4，tan(－17π5)＝－tan 2π5.因为0<π4<2π5<π2，且y ＝tan x 在(0，π2)上是单调增函数，所以tan π4<tan 2π5.所以－tan π4>－tan 2π5，即tan(－13π4)>tan(－17π5).点评三角函数值比较大小问题一般将其转化到某一三角函数的一个单调区间内，然后利用三角函数的单调性比较大小.另外诱导公式的使用也充分体现了将未知化为已知的化归与转化思想.2 三角恒等变形的几个技巧例1 解析3－sin 70°2－cos 210°＝3－sin 70°2－1＋cos 20°2＝3－cos 20°3－cos 20°2＝2.答案 2点评常用的降幂技巧还有：因式分解降幂、用平方关系sin 2θ＋cos 2θ＝1进行降幂：如cos 4θ＋sin 4θ＝(cos 2θ＋sin 2θ)2－2cos 2θsin 2θ＝1－12sin 22θ，等等．例2 解因为α∈(3π2，2π)，所以α2∈(3π4，π)，所以cos α>0，sin α2>0，故原式＝12－121＋cos 2α2＝ 12－12cos α＝ sin 2α2＝sin α2.点评一般地，在化简求值时，遇到1＋cos 2α、1－cos 2α、1＋sin 2α、1－sin 2α常常化为平方式：2cos 2α、2sin 2α、(sin α＋cos α)2、(sin α－cos α)2.例3 解析 cos(2π3＋2α)＝2cos 2(π3＋α)－1＝2sin 2(π6－α)－1＝2×(13)2－1＝－79.答案－79点评正确快速求解本题的关键是灵活运用已知角“π6－α”表示待求角“2π3＋2α”，善于发现前者和后者的一半互余．例4 解析 cos 2θ1＋sin 2θ＝cos 2θ－sin 2θcos 2θ＋sin 2θ＋2sin θcos θ＝1－tan 2θ1＋tan 2θ＋2tan θ＝1－141＋14＋2×(－12)＝3414＝3.答案 3点评解本题的关键是先由二倍角公式和平方关系把“cos 2θ1＋sin 2θ”化为关于sin θ和cos θ的二次齐次弦式比．例5 解原式＝12cos 20°cos 40°cos 80°＝4sin 20°cos 20°cos 40°cos 80°8sin 20°＝2sin 40°cos 40°cos 80°8sin 20°＝sin 80°cos 80°8sin 20°＝116·sin 160°sin 20°＝116.点评这类问题的解决方法是分子、分母同乘以最小角的正弦的倍数即可.1 数形结合百般好，形象直观烦琐少——构建正弦、余弦函数图象解题例1 解析根据题设中的新定义，得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ，sin x ≤cos x ，cos x ，sin x >cos x ，作出函数f (x )在一个周期内的图象，如图可知函数f (x )的值域为⎣⎡⎦⎤－1，22. 答案 ⎣⎡⎦⎤－1，22点评有关三角函数的值域的确定，常常作出函数的图象，借助于图象直观、准确地求解. 例2 解析在同一直角坐标系内，画出y ＝⎝⎛⎭⎫12x及y ＝sin x 的图象，由图象可观察出交点个数为2. 答案 2点评有关三角函数的交点个数的确定，常常作出函数的图象，借助于图象直观、准确求解.例3 解析 ∵f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3(ω>0)且f ⎝⎛⎭⎫π6＝f ⎝⎛⎭⎫π3，又f (x )在区间⎝⎛⎭⎫π6，π3内只有最小值、无最大值，画出函数大致图象，如图所示， ∴f (x )在π6＋π32＝π4处取得最小值.∴π4ω＋π3＝2k π－π2(k ∈Z ).∴ω＝8k －103(k ∈Z ). ∵ω>0，∴当k ＝1时，ω＝8－103＝143；当k ＝2时，ω＝16－103＝383，此时在区间⎝⎛⎭⎫π6，π3内已存在最大值.故ω＝143. 答案143点评本小题考查对y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及性质的理解与应用，求解本题应注意两点：一是f (x )在π4处取得最小值；二是在区间⎝⎛⎭⎫π6，π3内只有最小值而无最大值，求解时作出其草图可以帮助解题.例4 解析作出函数y ＝⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图象如图所示.由图象可知②正确. 答案 ②点评形如f (x )＝|A sin(ωx ＋φ)＋k |(A ≠0，ω≠0)的函数性质，可作出其图象，利用数形结合思想求解. 例5 解析作出函数y ＝sinπx2，y ＝kx 的函数图象，如图所示.当k ≤0时，显然成立；当0<k ≤1时，由图象可知： sinπx2≥kx 在[0，1]上成立.综上所述，k ≤1. 答案 (－∞，1]点评数形结合时，函数图象要根据题目需要作得精确可信，必要时应结合计算判断.本题讨论y ＝kx 与y ＝sinπx2的图象关系时，不要忘记k ≤0的情况. 例6 解在同一坐标系内作出函数y 1＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4(0≤x ≤π)与y 2＝k 的图象，如图所示.当x ＝0时，y 1＝2sin ⎝⎛⎭⎫0＋π4＝1. 所以当k ∈[1，2)时，两曲线在[0，π]上有两个交点，即方程有两个实数根x 1、x 2，且x 1、x 2关于x ＝π4对称，x 1＋x 2＝π2.故实数k 的取值范围是[1，2)，且x 1＋x 2＝π2.点评本题通过函数图象的交点个数判断方程实数根的个数，应重视这种方法.2 聚焦三角函数最值的求解策略例1 解原函数变形得：f (x )＝(sin 2x ＋cos 2x )2－sin 2x cos 2x2－sin 2x＝1－14sin 22x 2－sin 2x＝⎝⎛⎭⎫1＋12sin 2x ⎝⎛⎭⎫1－12sin 2x 2⎝⎛⎭⎫1－12sin 2x ＝14sin 2x ＋12.∴f (x )max ＝34，f (x )min ＝14.例2 解原函数化简得：y ＝sin 2x ＋cos 2x ＋2＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋2. 当2x ＋π4＝2k π＋32π，k ∈Z ，即x ＝k π＋58π，k ∈Z 时，y min ＝2－ 2.此时x 的集合为{x |x ＝k π＋58π，k ∈Z }．点评形如y ＝a sin 2ωx ＋b sin ωx cos ωx ＋c cos 2ωx ＋d (a ，b ，c ，d 为常数)的式子，都能转化成y ＝A sin(2ωx ＋φ)＋B 的形式求最值．例3 解原函数整理得sin x ＝y ＋12(y －1).∵|sin x |≤1，∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪y ＋12(y －1)≤1，解出y ≤13或y ≥3.即函数的值域为⎝⎛⎦⎤－∞，13∪[3，＋∞)．例4解原函数整理得sin x －y cos x ＝－4y －3，∴y 2＋1sin(x ＋φ)＝－4y －3， ∴sin(x ＋φ)＝－4y －31＋y 2.∵|sin(x ＋φ)|≤1，解不等式⎪⎪⎪⎪⎪⎪－4y －31＋y 2≤1得：－12－2615≤y ≤－12＋2615. 即值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12－2615，－12＋2615.点评对于形如y ＝a sin x ＋b c sin x ＋d 或y ＝a sin x ＋bc cos x ＋d 的这类函数，均可利用三角函数中弦函数的有界性去求最值．例5 解y ＝cos 2x －2a cos x －2a ＝2cos 2x －2a cos x －(2a ＋1)＝2⎝⎛⎭⎫cos x －a 22－⎝⎛⎭⎫a 22＋2a ＋1.当a2<－1，即a <－2时，f (a )＝y min ＝1，此时cos x ＝－1. 当－1≤a 2≤1，即－2≤a ≤2时，f (a )＝y min ＝－a 22－2a －1，此时cos x ＝a2.当a2>1，即a >2时，f (a )＝y min ＝1－4a ，此时cos x ＝1. 综上所述，f (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧1(a <－2)，－a22－2a －1(－2≤a ≤2)，1－4a (a >2).点评形如y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c 的三角函数可转化为二次函数y ＝at 2＋bt ＋c 在区间[－1,1]上的最值问题解决．例6 解设sin x ＋cos x ＝t ，t ∈[－2， 2 ]，则2sin x cos x ＝t 2－1，原函数变为y ＝t 2＋t ＋1，t ∈[－2，2 ]，当t ＝－12时，y min ＝34；当t ＝2时，y max ＝3＋ 2.点评一般地，既含sin x ＋cos x (或sin x －cos x )又含sin x cos x 的三角函数采用换元法可以转化为t 的二次函数解最值．注意以下结论的运用，设sin x ＋cos x ＝t ，则sin x cos x ＝12(t 2－1)；sin x －cos x ＝t ，则sin x cosx ＝12(1－t 2)．例7 解 y ＝sin 2x ＋4sin x ＋3sin x ＋2＝(sin x ＋2)2－1sin x ＋2＝(sin x ＋2)－1(sin x ＋2)，令t ＝sin x ＋2，则t ∈[1,3]，y ＝t －1t.利用函数单调性的定义易证函数y ＝t －1t 在[1,3]上为增函数．故当t ＝1即sin x ＝－1时，y min ＝0；当t ＝3即sin x ＝1时，y max ＝83.例8 解 AC ＝a tan θ，P ＝12AB ·AC ＝12a 2tan θ.设正方形边长为x ，AG ＝x cos θ，BC ＝acos θ.BC 边上的高h ＝a sin θ，∵AG AB ＝h －x h ，即x cos θa ＝a sin θ－x a sin θ， ∴x ＝a sin θ1＋sin θcos θ， ∴Q ＝x 2＝a 2sin 2θ(1＋sin θcos θ)2. 从而P Q ＝sin θ2cos θ·(1＋sin θcos θ)2sin 2θ＝(2＋sin 2θ)24sin 2θ＝1＋⎝⎛⎭⎫sin 2θ4＋1sin 2θ. 易知函数y ＝1t ＋t 4在区间(0,1]上是减少的，所以当sin 2θ＝1时，⎝⎛⎭⎫P Q min ＝94. 点评一些复杂的三角函数最值问题，可以通过适当换元转化为简单的代数函数后，利用函数单调性巧妙解决．易错问题盘点例1 [错解] 因为α和β都是锐角，且sin α＝55，sin β＝1010，所以cos α＝255，cos β＝31010， sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝55×31010＋255×1010＝22. 因为α，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则α＋β∈(0，π)．所以α＋β＝π4或3π4. [剖析] 由sin α＝55，sin β＝1010，α和β都是锐角，可以知道α和β都是定值，因此α＋β也是定值，因此上述解法出现两个答案，其中就有一个是错误的．这是因为sin(α＋β)在第一、第二象限没有区分度，应选择计算cos(α＋β)的值．[正解] 因为α和β都是锐角，且sin α＝55，sin β＝1010，所以cos α＝255，cos β＝31010， cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝255×31010－55×1010＝22.因为α，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则α＋β∈(0，π)，所以α＋β＝π4.温馨点评根据条件求角，主要有两步：(1)求角的某种三角函数值；(2)确定角的范围，从而确定所求角的值.完成第一步一般要选择相对角的范围区分度比较大的三角函数，且确定范围要尽量缩小.例2 [错解] 由题意知tan α、tan β是方程x 2＋6x ＋7＝0的两根，由根与系数的关系得：⎩⎪⎨⎪⎧tan α＋tan β＝－6 ①tan αtan β＝7 ②∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－61－7＝1.∵0<α<π，0<β<π，∴0<α＋β<2π， ∴α＋β＝π4或α＋β＝54π.[剖析] 由①②知tan α<0，tan β<0，角α、β都是钝角．上述解法忽视了这一隐含条件．[正解] 由⎩⎪⎨⎪⎧tan α＋tan β＝－6，tan αtan β＝7易知tan α<0，tan β<0.∵α、β∈(0，π)， ∴π2<α<π，π2<β<π.∴π<α＋β<2π.又∵tan(α＋β)＝1，∴α＋β＝54π.例3 [错解] 由sin A ＝35，得cos A ＝±45，由cos B ＝513，得sin B ＝1213，当cos A ＝45时，cos C ＝－cos(A ＋B )＝sin A sin B －cos A cos B ＝1665.当cos A ＝－45时，cos C ＝－cos(A ＋B )＝sin A sin B －cos A cos B ＝5665.[剖析] 在△ABC 中，三个内角A 、B 、C 的和为π，解题时要充分利用这一定理．本题得到cos A ＝±45后，没有对cos A ＝－45这一结果是否合理进行检验，从而导致结论不正确．[正解] 由cos B ＝513>0，∴B ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且sin B ＝1213. 由sin A ＝35，得cos A ＝±45，当cos A ＝－45时，cos A <－12.∴A >2π3.∵sin B ＝1213>32，B ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴B >π3. 故当cos A ＝－45时，A ＋B >π，与A 、B 是△ABC 的内角矛盾．∴cos A ＝45，cos C ＝－cos(A ＋B )＝sin A sin B －cos A cos B ＝1665.例4 [错解] f (x )＝1＋sin x －cos x 1＋sin x ＋cos x＝1＋2sin x 2cos x 2－⎝⎛⎭⎫1－2sin 2x 21＋2sin x 2cos x 2＋⎝⎛⎭⎫2cos 2x 2－1＝2sin x2⎝⎛⎭⎫cos x 2＋sin x 22cos x 2⎝⎛⎭⎫sin x 2＋cos x 2＝tan x2，由此得f (－x )＝tan ⎝⎛⎭⎫－x 2＝－tan x2＝－f (x )，因此函数f (x )为奇函数．[剖析] 运用公式后所得函数f (x )＝tan x2的定义域为{}x |x ∈R ，x ≠2k π＋π，k ∈Z .两函数的定义域不同，变形后的函数定义域扩大致错．[正解] 事实上，由1＋sin x ＋cos x ≠0可得sin x ＋cos x ≠－1，即2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4≠－1，从而sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4≠－22，所以x ＋π4≠2k π＋5π4且x ＋π4≠2k π＋7π4(k ∈Z )，故函数f (x )的定义域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠2k π＋π，且x ≠2k π＋3π2，k ∈Z ，显然该定义域不关于原点对称．所以函数f (x )为非奇非偶函数．例5 [错解] ∵f (x )＝sin(x ＋θ)＋cos(x －θ)， ∴f (0)＝sin θ＋cos θ＝2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4. ∵f (x )＝sin(x ＋θ)＋cos(x －θ)是偶函数， ∴|f (0)|＝f (x )max ＝ 2. ∴f (0)＝2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝±2， ∴sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝±1，∴θ＋π4＝k π＋π2，k ∈Z . 即θ＝k π＋π4，k ∈Z .[剖析] 因为x ＋θ与x －θ是不同的角，所以函数f (x )的最大值不是2，上述解答把f (x )的最大值误当作2来处理．[正解] 因为f (x )＝sin(x ＋θ)＋cos(x －θ)是偶函数，所以f (x )＝f (－x )对一切x ∈R 恒成立．即sin(x ＋θ)＋cos(x －θ)＝sin(－x ＋θ)＋cos(－x －θ)恒成立． ∴[sin(x ＋θ)＋sin(x －θ)]＋[cos(x －θ)－cos(x ＋θ)]＝0. ∴2sin x cos θ＋2sin x sin θ＝0恒成立．即2sin x (cos θ＋sin θ)＝0恒成立． ∴cos θ＋sin θ＝0.∵cos θ＋sin θ＝2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝0， ∴θ＋π4＝k π，即θ＝k π－π4，k ∈Z .。

高考数学备考冲刺之易错点点睛系列专题三角函数(教师版)

三角函数一、高考预测该专题是高考重点考查的部分，从最近几年考查的情况看，主要考查三角函数的图象和性质、三角函数式的化简与求值、正余弦定理解三角形、三角形中的三角恒等变换以及三角函数、解三角形和平面向量在立体几何、解析几何等问题中的应用．该部分在试卷中一般1.考小题，重在基础运用考查的重点在于基础知识：解析式、图象及图象变换、两域（定义域、值域）、四性（单调性、奇偶性、对称性、周期性）、反函数以及简单的三角变换（求值、化简及比较大小）。

2.考大题，难度明显降低有关三角函数的大题即解答题，通过三角公式变形、转换来考查思维能力的题目已经没有了，而是考查基础知识、基本技能和基本方法。

解答题的形式进行考查，且难度不大，主要考查以下四类问题：（1）与三角函数单调性有关的问题；（2）与三角函数图象有关的问题；（3）应用同角三角函数的基本关系和诱导公式求三角函数值及化简和等式证明的问题；（4）与周期有关的问题．高考备考是紧张的、同时也是收获的前夜。

成功永远属于那些准备充分的人们．祝愿各位在2012年的高考中取得辉煌成绩。

图象上升时与x 轴的交点）为002x k ωϕπ+=+，其他依次类推即可。

3．五点法作y =A sin （ωx +ϕ）的简图：五点取法是设x =ωx +ϕ，由x 取0、2π、π、2π3、2π来求相应的x 值及对应的y 值，再描点作图。

3．函数B x A y ++=)sin(ϕω），（其中00>>ωA 最大值是B A +，最小值是A B -，周期是ωπ2=T ，频率是πω2=f ，相位是ϕω+x ，初相是ϕ；其图象的对称轴是直线)(2Z k k x ∈+=+ππϕω，凡是该图象与直线B y =的交点都是该图象的对称中心。

4．由y ＝sin x 的图象变换出y ＝sin(ωx ＋ϕ)的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换。

利用图象的变换作图象时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现无论哪种变形，请切记每一个变换总是对字母x 而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少。

高考数学备考冲刺之易错点点睛系列专题三角函数（教师版）

成功永远属于那些准备充分的人们．祝愿各位在的高考中取得辉煌成绩。

图象上升时与x 轴的交点）为002x k ωϕπ+=+，其他依次类推即可。

3．五点法作y =A sin （ωx +ϕ）的简图：五点取法是设x =ωx +ϕ，由x 取0、2π、π、2π3、2π来求相应的x 值及对应的y 值，再描点作图。

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广东省部分中学2023高中数学必修一第五章三角函数重点易错题

广东省部分中学2023高中数学必修一第五章三角函数重点易错题单选题1、已知α ∈(0,π)，且3cos 2α−8cos α=5，则sin α=（）A ．√53B ．23 C ．13D ．√59 答案：A分析：用二倍角的余弦公式，将已知方程转化为关于cosα的一元二次方程，求解得出cosα，再用同角间的三角函数关系，即可得出结论.3cos2α−8cosα=5，得6cos 2α−8cosα−8=0，即3cos 2α−4cosα−4=0，解得cosα=−23或cosα=2（舍去），又∵α∈(0,π),∴sinα=√1−cos 2α=√53. 故选：A.小提示：本题考查三角恒等变换和同角间的三角函数关系求值，熟记公式是解题的关键，考查计算求解能力，属于基础题.2、将函数f (x )=2cosx 的图象先向右平移φ(0<φ<π)个单位长度，再把所得函数图象的横坐标变为原来的1ω(ω>0)倍，纵坐标不变，得到函数g (x )的图象，若对g (x )满足|g (x 1)−g (x 2)|=4，有|x 1−x 2|min =π4恒成立，且g (x )在区间(π6，π3)上单调递减，则φ的取值范围是（） A ．[π12，π3]B ．[π3，π2]C ．(π3，2π3]D ．[π3，2π3]答案：D分析：可得g(x)=2cos(ωx−φ)，根据题意可求出最小正周期，得出ω，求出g(x)的单调递减区间，根据包含关系可求出.由题可得g(x)=2cos(ωx−φ)，若满足|g(x1)−g(x2)|=4，则x1和x2必然一个极大值点，一个极小值点，又|x1−x2|min=π4，则T2=π4，即T=π2，所以ω=2πT=4，令2kπ≤4x−φ≤2kπ+π，可得kπ2+φ4≤x≤kπ2+π4+φ4，即g(x)的单调递减区间为[kπ2+φ4,kπ2+π4+φ4],k∈Z，因为g(x)在区间(π6，π3)上单调递减，所以(π6，π3)⊆[kπ2+φ4,kπ2+π4+φ4],k∈Z，则{kπ2+φ4≤π6kπ2+φ4+π4≥π3，解得−2kπ+π3≤φ≤−2kπ+2π3,k∈Z，因为0<φ<π，所以可得π3≤φ≤2π3.故选：D.3、函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0)图像上一点P(s,t)(−2<t<2)向右平移2π个单位，得到的点Q也在f(x)图像上，线段PQ与函数f(x)的图像有5个交点，且满足f(π4−x)=f(x)，f(−π2)>f(0)，若y=f(x)，x∈[0,π2]与y=a有两个交点，则a的取值范围为（）A．(−2,−√2]B．[−2,−√2]C．[√2,2)D．[√2,2]答案：A分析：首先根据已知条件分析出|PQ|=2π=2T，可得ω=2，再由f(π4−x)=f(x)可得y=f(x)对称轴为x=π8，利用f(−π2)>f(0)可以求出符合题意的一个φ的值，进而得出f(x)的解析式，再由数形结合的方法求a的取值范围即可.如图假设P(0,0)，线段PQ与函数f(x)的图像有5个交点，则|PQ|=2π，所以由分析可得|PQ|=2π=2T，所以T=π，可得ω=2πT =2ππ=2，因为f(π4−x)=f(x)所以f[π4−(π8+x)]=f(π8+x)，即f(π8−x)=f(π8+x)，所以x=π8是f(x)的对称轴，所以2×π8+φ=π2+kπ(k∈Z)，即φ=π4+kπ(k∈Z)，f(−π2)=2sin(−π+φ)=−2sinφ>f(0)=2sinφ，所以sinφ<0，可令k=−1得φ=−3π4，所以f(x)=2sin(2x−3π4)，当x∈[0,π2]时，令2x−3π4=t∈[−3π4,π4]，则f(t)=2sint，t∈[−3π4,π4]作f(t)图象如图所示：当t =−3π4即x =0时y =−√2，当t =−π2即x =π8时，y =−2，由图知若y =f (x )，x ∈[0,π2]与y =a 有两个交点，则a 的取值范围为(−2,−√2]，故选：A小提示：关键点点睛：本题解题的关键是取特殊点P (0,0)便于分体问题，利用已知条件结合三角函数图象的特点，以及三角函数的性质求出f (x )的解析式，再利用数形结合的思想求解a 的取值范围.4、已知简谐振动f (x )=Asin (ωx +φ)(|φ|<π2)的振幅是32，图象上相邻最高点和最低点的距离是5，且过点(0,34)，则该简谐振动的频率和初相是（） A ．16，π6B ．18，π3 C ．18，π6D ．16，π3 答案：C分析：根据正弦型函数的图象与性质求出振幅、周期，再由过点(0,34)求出初相即可得解. 由题意可知，A ＝32，32＋(T2)2＝52，则T ＝8，ω＝2π8＝π4，∴ y ＝32sin (π4x +φ).由32sin φ＝34，得sin φ＝12.∵|φ|＜π2，∴φ＝π6.因此频率是18，初相为π6. 故选：C5、若sin(π−α)+cos(−α)=15，α∈(0,π)，则tan (32π−α)的值为（）A ．−43或−34B ．−43C ．−34D ．34 答案：C分析：根据同角三角函数的基本关系及诱导公式求解.由sin(π−α)+cos(−α)=15可得：sinα+cosα=15，平方得：sin 2α+2sinαcosα+cos 2α=125所以tan 2α+2tanα+1tan 2α+1=125，解得tanα=−43或tanα=−34，又sinα+cosα=15，所以|sinα|>|cosα|，故tanα=−43，故选：C6、已知函数f(x)=2sin (x +π4)+m 在区间(0,π)上有零点，则实数m 的取值范围为（） A ．(−√2,√2)B ．(−√2,2]C ．[−2,√2]D ．[−2,√2) 答案：D分析：令f(x)=0，则2sin (x +π4)=−m ，令g (x )=2sin (x +π4)，根据x 的取值范围求出g (x )的值域，依题意y =g (x )与y =−m 在(0,π)上有交点，即可求出参数的取值范围；解：令f(x)=0，即2sin (x +π4)=−m ，令g (x )=2sin (x +π4)，因为x ∈(0,π)，所以x +π4∈(π4,5π4)，所以sin (x +π4)∈(−√22,1]，即g (x )∈(−√2,2]，依题意y =g (x )与y =−m 在(0,π)上有交点，则−√2<−m ≤2，所以−2≤m <√2，即m ∈[−2,√2)；故选：D7、函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π2)的部分图象如图所示，则下列叙述正确的是A．函数f(x)的图象可由y=Asinωx的图象向左平移π6个单位得到B．函数f(x)的图象关于直线x=π3对称C．函数f(x)在区间[−π3,π3]上是单调递增的D．函数f(x)图象的对称中心为(kπ2−π12,0)(k∈Z)答案：D解析：根据题意求出解析式，利用正弦函数的对称性及单调性依次判断选项. 由图象可知A＝2，f（0）＝1，∵f（0）＝2sinφ＝1，且0＜φ＜π2，∴φ=π6，∴f（x）＝2sin（ωx+π6），∵f（5π12）＝0且为单调递减时的零点，∴ω⋅5π12+π6=π+2kπ，k∈Z，∴ω=2+24k5，k∈Z，由图象知T=2πω＞2×5π12，∴ω＜125，又∵ω＞0， ∴ω＝2，∴f （x ）＝2sin （2x +π6），∵函数f （x ）的图象可由y ＝A sinωx 的图象向左平移π12个单位得， ∴A 错，令2x +π6=π2+kπ，k ∈Z ，对称轴为x =π6+kπ2，则B 错，令2x +π6∈[−π2+kπ,π2+kπ],则x ∈[−π3+kπ2,π6+kπ2]，则C 错，令2x +π6=k π，k ∈Z ，则x ＝kπ2−π12，则D 对，故选：D ．小提示：本题考查三角函数图象及其性质，考查了正弦函数的对称性及单调性，属于中档题．8、已知tanθ=2，则sin(π2+θ)−cos(π−θ)cosθ−sin(π−θ)=（）A ．2B ．-2C ．0D ．23 答案：B分析：根据tanθ=2，利用诱导公式和商数关系求解. 因为tanθ=2，所以sin(π2+θ)−cos(π−θ)cosθ−sin(π−θ)，=2cosθcosθ−sinθ，=21−tanθ=−2，故选：B9、若函数f (x )=sin (ωx −π3)(0<ω<40)的图象经过点(16,−1)，则f (x )的最小正周期为（）A ．211B ．29C ．27D ．25答案：A分析：f (16)=−1，据此求出ω的表达式，再根据ω的范围求得ω的值即可求最小正周期.依题意可得f (16)=−1，则ω6−π3=−π2+2k π(k ∈Z )，得ω=(12k −1)π(k ∈Z ).因为0<ω<40，所以ω=11π，T =2π|ω|=211. 故选：A.10、若f (x )=cos (x −π3)在区间[−a,a ]上单调递增，则实数a 的最大值为（） A ．π3B ．π2C ．2π3D ．π答案：A分析：先求出函数的增区间，进而建立不等式组解得答案即可.易知将函数y =cosx 的图象向右平移π3得到函数f (x )=cos (x −π3)的图象，则函数f (x )=cos (x −π3)的增区间为[−23π+2kπ,π3+2kπ](k ∈Z )，而函数又在[−a,a ]上单调递增，所以{−a ≥−23πa ≤π3⇒a ≤π3，于是0<a ≤π3，即a的最大值为π3. 故选：A. 填空题11、已知sin α＝√55，sin(α－β)＝－√1010，α，β均为锐角，则β＝________. 答案：π4分析：通过α，β，α－β的范围求出他们的正弦，余弦值，再通过sin β＝sin[α－(α－β)]可得sin β，进而可得β.因为α，β均为锐角，所以－π2<α－β<π2.又sin(α－β)＝－√1010，所以cos(α－β)＝3√1010. 又sin α＝√55，所以cos α＝2√55，所以sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)＝√55×3√1010－2√55×(−√1010)＝√22. 所以β＝π4. 所以答案是：π412、函数f(x)是定义域为R 的奇函数，满足f (π2−x)=f (π2+x)，且当x ∈[0,π)时，f(x)=sinx x 2−πx+π，给出下列四个结论： ① f(π)=0；② π是函数f(x)的周期；③ 函数f(x)在区间(−1,1)上单调递增；④ 函数g(x)=f(x)−sin1(x ∈[−10,10])所有零点之和为3π. 其中，正确结论的序号是___________. 答案：① ③ ④分析：由f (π2−x)=f (π2+x)可得f(π)=f (0)直接计算f (0)即可判断① ；根据函数f(x)的奇偶性和对称性即可求得周期，从而可判断② ；先判断f(x)在(0,1)的单调性，再根据奇函数关于原点对称的区间单调性相同即可判断③ ；根据对称性以及函数图象交点的个数即可判断④. 对于①：由f (π2−x)=f (π2+x)可得f(π)=f (0)=sin0π=0，故①正确；对于② ：由f (π2−x)=f (π2+x)可得f(x)关于直线x =π2对称，因为f(x)是定义域为R的奇函数，所以f(π+x)=f(−x)=−f(x)所以f(2π+x)=−f(x+π)=f(x)，所以函数f(x)的周期为2π，故②不正确；对于③：当0<x<1时，y=sinx单调递增，且y=sinx>0，y=x2−πx+π=(x−π2)2+π−π24在0<x<1单调递减，且y>1−π+π=1，所以f(x)=sinxx2−πx+π在0<x<1单调递增，因为f(x)是奇函数，所以函数f(x)在区间(−1,1)上单调递增；故③正确；对于④：由f(π2−x)=f(π2+x)可得f(x)关于直线x=π2对称，作出示意图函数g(x)=f(x)−sin1(x∈[−10,10])所有零点之和即为函数y=f(x)与y=sin1两个函数图象交点的横坐标之和，当x∈[−π2,3π2]时，两图象交点关于x=π2对称，此时两根之和等于π，当x∈(3π2,10]时两图象交点关于x=5π2对称，此时两根之和等于5π，当x∈[−5π2,−π2)时两图象交点关于x=−3π2对称，此时两根之和等于−3π,x∈[−10,−5π2)时两图象无交点，所以函数g(x)=f(x)−sin1(x∈[−10,10])所有零点之和为3π.故④正确；所以答案是：①③④小提示：求函数零点的方法：画出函数f(x)的图象，函数f(x)的图象与x轴交点的个数就是函数f(x)的零点个数；将函数f(x)拆成两个函数，ℎ(x)和g(x)的形式，根据f(x)=0⇔ℎ(x)=g(x)，则函数f(x)的零点个数就是函数y=ℎ(x)和y=g(x)的图象交点个数；零点之和即为两个函数图象交点的横坐标之和.13、若函数f(x)=sin(x+φ)+cosx的最大值为2，则常数φ的一个取值为________．答案：π2（2kπ+π2,k∈Z均可）分析：根据两角和的正弦公式以及辅助角公式即可求得f(x)=√cos2φ+(sinφ+1)2sin(x+θ)，可得√cos2φ+(sinφ+1)2=2，即可解出.因为f(x)=cosφsinx+(sinφ+1)cosx=√cos2φ+(sinφ+1)2sin(x+θ)，所以√cos2φ+(sinφ+1)2=2，解得sinφ=1，故可取φ=π2.所以答案是：π2（2kπ+π2,k∈Z均可）.小提示：本题主要考查两角和的正弦公式，辅助角公式的应用，以及平方关系的应用，考查学生的数学运算能力，属于基础题.解答题14、已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)最小正周期为π，图象过点(π4,√2).（1）求函数f(x)解析式（2）求函数f(x)的单调递增区间.答案：（1）f(x)=2sin(2x+π4)；（2）[−3π8+kπ,π8+kπ](k∈Z).分析：（1）利用周期公式可得ω,将点(π4,√2)代入即得解析式;（2）由−π2+2kπ≤2x+π4≤π2+2kπ(k∈Z)计算即可求得单调递增区间.（1）由已知得π=2πω，解得ω=2.将点(π4,√2)代入解析式，√2=2sin(2×π4+φ)，可知cosφ=√22，由0<φ<π可知φ=π4，于是f(x)=2sin(2x+π4).（2）令−π2+2kπ≤2x+π4≤π2+2kπ(k∈Z)解得−3π8+kπ≤x≤π8+kπ(k∈Z)，于是函数f(x)的单调递增区间为[−3π8+kπ,π8+kπ](k∈Z).小提示：本题考查正弦函数的图像和性质,基础题.15、已知函数f(x)=3sin(2x+φ)(φ∈(0,π2))，其图象向左平移π6个单位长度后，关于y轴对称．(1)求函数f(x)的表达式；(2)说明其图象是由y=sinx的图象经过怎样的变换得到的．答案：(1)f(x)=3sin(2x+π6)(2)答案见解析分析：（1）写出变换后的函数解析式，根据函数的对称性可得出关于φ的等式，结合φ的取值范围可求得φ的值，即可得出函数f(x)的解析式；（2）根据三角函数图象的变换规律可得出结论.(1)解：将函数f(x)=3sin(2x+φ)图象上的所有点向左平移π6个单位长度后，所得图象的函数解析式为y=3sin[2(x+π6)+φ]=3sin(2x+π3+φ)．因为图象平移后关于y轴对称，所以2×0+π3+φ=kπ+π2(k∈Z)，所以φ=kπ+π6(k∈Z)．因为φ∈(0,π2)，所以φ=π6，所以f(x)=3sin(2x+π6)．(2)解：将函数y=sinx的图象上的所有点向左平移π6个单位长度，所得图象的函数解析式为y=sin(x+π6)，再把所得图象上各点的横坐标变为原来的12（纵坐标不变），得函数y =sin (2x +π6)的图象，再把图象上各点的纵坐标伸长到原来的3倍（横坐标不变），即得函数y =3sin (2x +π6)的图象．。

三角函数的易错题专题及答案

三角函数的易错题专题及答案三角函数易错题专题一、选择题1.___α的终边落在直线x+y=0上，则sinα1-cos2α的值等于( )解析：由于终边在直线x+y=0上，所以sinα=-cosα，代入原式得：-cosα-cos2α。

再利用余弦的半角公式cos2α=2cos^2α-1，得到原式化简为-2cos^2α-cosα。

选项B。

2.将函数y=sin2x的图像向右平移π/4个单位，得到的解析式为( )解析：向右平移π/4个单位相当于将原来的自变量x替换成x-π/8，所以新的解析式为y=sin2(x-π/8)。

根据正弦的平移公式sin(x-π/8)=sinxcos(π/8)-cosxsin(π/8)=cos(π/8)sinx-sin(π/8)cosx，所以新的解析式为y=cos(π/8)sin2x-sin(π/8)cos2x。

选项D。

3.在△ABC中，锐角A满足sin4A-cos4A≤sinA-cosA，则( )解析：利用正弦的平方和余弦的平方公式，将不等式右边化简为2sin^2A-2sinAcosA，左边化简为2sin^2A-2cos^2A。

所以原不等式化简为sin^2A+2cos^2A-2sinAcosA≤0，即(sinA-cosA)^2≤0，只有当sinA=cosA时等号成立。

所以A=π/4，选项B。

4.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=1，A=60°，若三角形有两解，则b的取值范围为( )解析：根据正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC，代入数据得sinB=√3/2，所以B=π/3或5π/3.由于三角形有两解，所以B的取值范围为(π/3,π)∪(5π/3,2π)，即选项D。

5.将函数y=3sin(2x+π/7)的图像向右平移1/2个单位长度，得到的图像对应的函数( )解析：向右平移1/2个单位相当于将原来的自变量x替换成x-1/4，所以新的解析式为y=3sin(2(x-1/4)+π/7)。

专题04 三角函数备战2021年新高考数学清除易错点(教师版)

易错04 三角函数易错点1 定义求参忽略正负【例1】（2020·云南省玉溪）已知角α的终边过点()2,8P m-，且3cos 5α=，则tan α的值为 A ．34B ．C ．43-D ．【答案】43【解析】由题得3cos 5α==，解得3m =±，因为3cos 5α=为正数，所以m>0,则m=3，所以点()6,8P ，所以84tan 63α==．【举一反三】1．（2020·全国高三二模（文））已知O 为坐标原点，角α的终边经过点(3,)(0)P m m <且sin 10m α=，则sin 2α= 。

【答案】35【解析】根据题意，sin 10m α==，解得1m =-，所以(3,1)OP =-，所以sin ,cos 1010αα=-=，所以3sin 22sin cos 5ααα==-. 2．（2020·山东潍坊·高考模拟）已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴，且3cos 5θ=-，若点(,8)M x 是角θ终边上一点，则x = ．【答案】-6【解析】由任意角的三角函数的定义可得3cos 5xrθ===-，解得6x =-3．（2020·全国）若α是第二象限角，其终边上一点(P x，且cos 4x α=，则sin α的值是【解析】由三角函数的定义得cos 4x x rα===，解得x ＝0或x或x． ∵α是第二象限角即x<0，可得x所以sin y r α===易错点2 诱导公式“符号”理解有误【例2】（2020·江苏省南通中学）已知角α终边上一点()43P ,-，求()cos sin 2119cos sin 22παπαππαα⎛⎫+-- ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值.【答案】34-【解析】原式sin sin tan sin cos ααααα-⋅==-⋅.根据三角函数的定义，得3tan 4y x α==-，所以原式34=-.【举一反三】1．（2020·全国高三其他（理））已知点()3,4P 在角α的终边上，则5cos 2απ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为 A ．35B ．35C ．45D ．【答案】45-【解析】点()3,4P 在角α的终边上，∴4sin 5α==∴54cos sin 25ααπ⎛⎫+=-=- ⎪⎝⎭. 2．（2020·湖北宜昌·高三一模（理））在平面直角坐标系xOy 中，已知角θ的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在直线2y x =上，则3sin 22πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭【答案】35【解析】因为222222223sin cos tan 1sin 2cos 2sin cos 2sin cos tan 1πθθθθθθθθθθ--⎛⎫+=-=-== ⎪++⎝⎭，且tan 2θ=，所以3413sin 22415πθ-⎛⎫+==⎪+⎝⎭.3．（2020·乐平市第一中学高三其他（理））若3cos sin 4αα-=，则3cos 22πα⎛⎫+=⎪⎝⎭【答案】716【解析】23997cos sin (cos sin )1sin 2,sin 24161616αααααα-=∴-=∴-==37cos 2sin 2216παα⎛⎫∴+== ⎪⎝⎭易错点3 含有绝对值的周期【例3】（2020·广西南宁三中高三）下列函数中，以2π为周期且在区间3,24ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减的是（）A ．()cos 2f x x =B ．()sin 2f x x =C ．()2sin cos f x x x =D ．()22sin 1f x x =-【答案】D【解析】A: ()cos 2cos2f x x x ==，周期为π，排除； B: ()sin 2f x x =,不具有周期性，排除； C: ()2sin cos sin 2f x x x x ==,周期为2π,在区间3,24ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，排除； D: ()22sin 1cos 2f x x x =-=,周期为2π,在区间3,24ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减故选D【举一反三】1．（2020·怀仁县大地学校月考）函数tan y x =周期为（） A ．2πB ．2πC ．πD ．3π【答案】C【解析】函数tan y x =的最小正周期就是函数tan y x =的最小正周期为π， 2．（2020·辽宁）下列函数中，周期为2π的偶函数是（） A ．tan y x = B ．2cos 2y x = C ．2tan 1tan xy x=- D ．sin 2cos 2y x x =-【答案】B【解析】∵函数tan y x =的周期，即tan y x =的周期，为π，故排除A ；函数21cos 4cos 22x y x +==的周期为242ππ=，且函数为偶函数，故B 满足条件；函数2tan 1tan 21tan 2x y x x ==⋅-，它的周期为2π，但该函数为奇函数，故C 不满足条件；函数sin 2y x =的周期为22ππ=，故D 不满足条件，故选：B . 3．（2020·广西贺州·高二月考）下列函数中，周期为π，且在02，上单调递增的是( )A ．y ＝tan|x |B ．y ＝|tan x |C ．y ＝sin|x |D ．y ＝|cos x |【答案】B【解析】函数tan y x =不是周期函数，函数tan y x =周期为π，且在(0,)2π上单调递增，所以选B.4．（多选）（2020·江苏省如皋中学月考）若函数()()sin f x x ω=的最小正周期为4π，则ω的值可能是（） A ．2 B ．12C ．12-D ．-2【答案】BC【解析】因为函数()()sin f x x ω=的最小正周期为4π所以221||42T ππωπ===， 12ω=±故选：BC . 5．（多选）（2020·湖南省衡阳县第四中学高三月考）在下列函数中，最小正周期为π的所有函数为（）A ．sin 2y x =B ．cos y x =C ．cos 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D ．tan 24y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭【答案】ABC 【解析】对于A ，2T ππω==，对于B ，cos y x =的周期是2π，cos y x =的图像是把cos y x =的图像的x 轴下方部分关于x 轴对称，周期减半，故cos y x =的周期是π，对于C ，2T ππω==，对于D ，2ππT ω==，故选：ABC. 易错点4 对称中心【例4】（2020·吉林高三其他（文））若函数44()sin cos f x x x =+，则此函数的图象的对称中心为（）A ．(44k ππ+，3)()4k Z ∈B ．(44k ππ+，0)()k Z ∈C ．(84k ππ+，3)()4k Z ∈D ．(84k ππ+，0)()k Z ∈【答案】C【解析】44()sin cos f x x x =+22222(sin cos )2sin cos x x x x =+- 11cos 4311cos 42244x x -=-⨯=+，令42x k ππ=+，k Z ∈，可得84k x ππ=+，k Z ∈，故此函数的图象的对称中心为(84k ππ+，3)4k Z ∈．故选：C ．【举一反三】1．（2020·江西南昌二中高三月考（理））若将函数πsin 213y x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的图象向右平移π6个单位长度后，所得图象的一个对称中心为（）A ．π,04⎛⎫⎪⎝⎭B ．π,14⎛⎫⎪⎝⎭C ．π,03⎛⎫⎪⎝⎭D ．π,13⎛⎫⎪⎝⎭【答案】D【解析】πsin 213y x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的图象向右平移π6个单位长度后得到的函数为π2sin 21sin 21633y x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--+=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 令22()3x k k Z ππ-=∈，则()32k x k Z ππ=+∈. 所以，所得图象的对称中心为,1()32k k Z ππ⎛⎫+∈⎪⎝⎭. 当0k =时，所得图象的一个对称中心为,13π⎛⎫⎪⎝⎭.故选：D. 易错点5 单调区间【例5】（2020·全国高三课时练习）函数12sin 6y x π⎛⎫=+-⎪⎝⎭的单调递增区间是____. 【答案】()252,233k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z【解析】12sin 12sin 66y x x ππ⎛⎫⎛⎫=+-=--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.令6u x π=-，根据复合函数的单调性知，所给函数的单调递增区间就是sin y u =的单调递减区间解226k x πππ+-()322k k ππ+∈Z ，得()252233k x k k ππππ++∈Z ，故函数12sin 6y x π⎛⎫=+-⎪⎝⎭的单调递增区间是()252,233k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z .答案：()252,233k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z【举一反三】1．（2020·湘乡市第二中学）函数tan 23x y π⎛⎫=+⎪⎝⎭的单调递增区间是（） A ．()242,233k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭B ．()52,233k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭C ．()244,433k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭D ．()5,33k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭【答案】B【解析】解不等式()2232x k k k Z πππππ-<+<+∈，可得()52233k x k k Z ππππ-<<+∈，因此，函数tan 23x y π⎛⎫=+⎪⎝⎭的单调递增区间是()52,233k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭.故选：B.2．函数π()cos 2([0,π]2f x x x ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭)的单调减区间为 .【答案】π3π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】()cos 2sin 22f x x x π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭,又[0,]x π∈,2[0,2]x π∴∈;又sin y x =在[0,2]π上的单调递减区间为:3,22ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦∴由3222x ππ≤≤得,344ππ≤≤x ;()sin 2,[0,]f x x x π∴=∈的单调减区间为3,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦.故答案为3,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦.3．（2020·陕西省商丹高新学校）函数cos 2y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的单调增区间是________. 【答案】2,222k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈【解析】因为cos sin 2y x x π⎛⎫=-=⎪⎝⎭，所以cos 2y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的单调增区间是2,222k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈．易错点6 函数的伸缩平移【例6】（2020·湖南月考）已知曲线12:sin 2,:cos 3C y x C y x π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，则下面结论正确的是（） A ．先将曲线2C 向左平移3π个单位长度，再把所得的曲线上各点横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标保持不变，便得到曲线1C B ．先将曲线2C 向右平移3π个单位长度，再把所得的曲线上各点横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标保持不变，便得到曲线1C C ．先将曲线2C 向左平移56π个单位长度，再把所得的曲线上各点横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标保持不变，便得到曲线1C D ．先将曲线2C 向右平移56π个单位长度，再把所得的曲线上各点横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标保持不变，便得到曲线1C 【答案】D【解析】A. 先将曲线2C 向左平移3π个单位长度得到cos +3y x π⎛⎫= ⎪⎝⎭，再把所得的曲线上各点横坐标缩短为原来的12倍得到5cos 2+=sin 2sin 23326y x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，错误；B. 先将曲线2C 向右平移3π个单位长度得到cos 3y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再把所得的曲线上各点横坐标伸长为原来的2倍1cos 23y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，不合题意；C. 先将曲线2C 向左平移56π个单位长度的得到5cos +6y x π⎛⎫= ⎪⎝⎭，再把所得的曲线上各点横坐标伸长为原来的2倍得15cos +26y x π⎛⎫=⎪⎝⎭，不合题意； D. 先将曲线2C 向右平移56π个单位长度得到5cos 6y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再把所得的曲线上各点横坐标缩短为原来的12倍得55cos 2=sin 2sin 26623y x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，得到曲线1C 故选:D.【举一反三】1．（2020·湖南学业考试）要得到函数y =1+sin x 的图象，只需将函数y =sin x 的图象（） A ．向上平移1个单位长度 B ．向下平移1个单位长度 C ．向右平移1个单位长度 D ．向左平移1个单位长度【答案】A【解析】根据“左加右减，上加下减”的原则，将函数y =sin x 的图象向上平移1个单位可得y =1+sin x 的图象，故选：A.【易错总结】纵坐标的变化：A 、B横坐标的变化：w 、φ2．（2020·重庆八中高三月考）已知函数()sin()(0,0)2f x x πωϕωϕ=+><<的图象经过点(,0)6B π-，且()f x 的相邻两个零点的距离为2π，为得到()y f x =的图象，可将cos y x =图象上所有点（） A ．先向右平移6π个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的12，纵坐标不变 B ．先向右平移12π个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的12，纵坐标不变 C ．先向右平移6π个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变 D ．先向右平移12π个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变【答案】A【解析】由题意可知，22T ππ=⨯=，22πωπ==，∵sin[2]06πϕ⎛⎫⋅-+= ⎪⎝⎭，∴3k πϕπ=+，k Z ∈，∵02πϕ<<，∴3πϕ=，可得：()2cos 236f x sin x x ππ⎛⎫⎛⎫=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴将cos y x =的图象先向右平移6π个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的12倍，纵坐标不变，得到()y f x =的图象，故选A.3．（2020·利辛县阚疃金石中学）若将函数()y f x =的整个图象沿x 轴向左平移8π个单位，再将所得图象上每一点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再将所得图象沿y 轴向下平移1个单位，得到函数1sin 2y x =的图象，则()y f x =解析式是（）A ．y =1sin(2)122x π++ B ．y =1sin(2)122x π-+ C ．y =1sin(2)124x π++ D ．y =1sin(2)124x π-+ 【答案】D【解析】由函数1sin 2y x =的图象沿y 轴向上平移1个单位得到1sin 12y x =+，再将图象上每一点的横坐标缩为原来的12(纵坐标不变)得到1sin 212y x =+，再将整个图象沿x 轴向右平移8π个单位得到()1sin 2124f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭.故选：D4．（2020·安徽安庆·高三月考（理））已知曲线1C ：sin y x =，2C ：cos 23y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，则下面结论正确的是（）A ．把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移3π个单位长度，得到曲线2CB ．把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移23π个单位长度，得到曲线2CC ．把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移12π个单位长度，得到曲线2CD ．把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移12π个单位长度，得到曲线2C 【答案】C【解析】已知曲线1sin cos :2C y x x π⎛⎫==-⎪⎝⎭，2cos 23:C y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭， ∴把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，可得cos 22y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，再把得到的曲线向左平移 12π个单位长度，得到曲线2cos 2cos 263:2C x x πππ⎛⎫⎛⎫+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象，故选C ．易错点7 正弦定理大边对大角【例7】（2020·北京期末）在ABC 中，3A π∠=，3BC =，AB =C ∠=（）A ．3πB ．3π或23π C ．4πD ．4π或34π【答案】C【解析】由正弦定理sin sin BC AB A C =，即3sin sin 3C π=，∴sin 2C =. ∴4Cπ(34C π=时，三角形内角和大于π，不合题意舍去).故选：C . 【举一反三】1．（2020·湖北宜昌市一中）在ABC ∆中，若03,30a b A ===，则B 等于（） A ．030 B ．030或0150C ．060或0120D ．060【答案】C【解析】由正弦定理得sin sin a b A B =，即312∴∴B=60°或B=120°．故选：C .2．（2019·江苏南京）在ABC ∆中，已知1a =，60A =︒，c =，则角C 的度数为（）. A ．30︒ B ．60︒C ．30150︒︒或D ．60120︒︒或【答案】A【解析】由正弦定理sin sin a c A C =得：sin 1sin 2c A C a === c a < C A∴<()0,C π∈ 30C ∴=本题正确选项：A易错点8 解三角函数不等式【例8】（2020·甘肃省岷县第一中学）若点(),P sin cos tan ααα-在第一象限，则在[0,2)π内α的取值范围是（）. A ．5,,424ππππ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．35,,244ππππ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．353,,2442ππππ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．33,,244ππππ⎛⎫⎛⎫⋃⎪⎪⎝⎭⎝⎭【答案】A【解析】点(),P sin cos tan ααα-在第一象限，sin cos 0,tan 0.ααα->⎧⇒⎨>⎩sin cos ,tan 0.ααα>⎧⇒⎨>⎩，如下图所示：在[)0,2π内α的取值范围是5,,424ππππ⎛⎫⎛⎫⋃⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，本题选A.【举一反三】1．（2020·辽宁期中）不等式tan x ≥ ） A ．{|,}32x k x k k Z ππππ-+≤≤+∈ B ．{|,}32x k x k k Z ππππ-+≤<+∈ C ．{|22,}32x k x k k Z ππππ-+≤≤+∈D ．{|22,}32x k x k k Z ππππ-+≤<+∈【答案】B【解析】因为tan x ≥tan y x =的图象可得{|,}32x k x k k Z ππππ-+≤<+∈，故选：B.2．（2020·河南洛阳·）满足tan cos sin ααα<<的α一个可能值为（）. A ．π12B ．3π8C ．9π16D ．13π12【答案】C 【解析】当12πα=时，coscos124ππ>=，sin sin 124ππ<=cos sin αα<，所以A 选项错误；当38πα=时，3tan tan 184ππ>=，3cos 18π<，不满足tan cos αα<，所以B 选项错误；当916πα=时，93tantan 1164ππ<<-，91cos 016π-<<，9sin 016π>，满足tan cos sin ααα<<，所以C 选项正确；当1312πα=时，135cos cos 1242ππ<=-，135sin sin 1242ππ>=-，不满足cos sin αα<，所以D 选项错误. 故选：C.3．（2020·福建三明一中）y =____________________【答案】[2,2]33k k k Z ππππ-+∈【解析】12cos 10,cos ,22,233x x k x k k Z ππππ-≥≥-≤≤+∈即定义域为[2,2]33k k k Z ππππ-+∈4．（2020·江西宜春·）函数y ＝lg(2sin x －1)__________________. 【答案】()52,236k k Z k ππππ⎡⎫++⎪⎢⎭∈⎣【解析】要使原函数有意义，必须有2sin 1012cos 0x x ->⎧⎨-⎩即1sin 21cos 2x x⎧>⎪⎪⎨⎪⎪⎩，如图，在单位圆中作出相应的三角函数线，由图可知，解集为()()522,66522,33k x k k Z k x k k Z ππππππππ⎧+<<+∈⎪⎪⎨⎪+≤≤+∈⎪⎩,取交集可得原函数的定义域为()52,236k k Z k ππππ⎡⎫++⎪⎢⎭∈⎣故答案为：()52,236k k Z k ππππ⎡⎫++⎪⎢⎭∈⎣1．（2020·河南高三其他（理））若角α的终边过点8,6cos ()60P m --，且4cos 5α=-则实数m 的值为（） A ．12-B ．C ．12D 【答案】C【解析】6cos603-=-，则点P 的坐标为(8,3)P m --，因为4cos 5a =-．所以角a 的终边在第二象限或第三象限，故0m >． 45=-，即214m =，解得12m =-（舍)或12m =.故选：C ． 2．（2019·黑龙江哈尔滨市第六中学校高三其他（理））在平面直角坐标系xOy 中，锐角θ顶点在坐标原点，始边为x 轴正半轴，终边与单位圆交于点5P m ⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭，则sin 24πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（） A ．10B C ．10D 【答案】A【解析】由题可知：2215m ⎛+= ⎝⎭，又θ为锐角所以0m >，m = 根据三角函数的定义：255sin ,cos θθ 所以4sin 22sin cos 5θθθ==223cos 2cos sin 5θθθ=-=-由sin 2sin 2cos cos 2sin 444πππθθθ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭所以43sin 24525210πθ⎛⎫+=⨯-⨯= ⎪⎝⎭ 故选：A3．（2020·辽宁辽阳·高三三模（文））已知()1,P m 为角α终边上一点，且1tan 43πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则cos2=α______．【答案】35【解析】因为()1,P m 为角α终边上一点所以tan m α=因为1tan 43πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以tan tan14tan 431tan tan 4παπαπα-⎛⎫-== ⎪⎝⎭+，即1113m m -=+解得2m =所以cos α=，23cos 22cos 15αα=-=-故答案为：354．（2020·上海市南洋模范中学）已知点((0)P t t ≠是角α其终边上一点，若cos 4t α=，则sin α=______【解析】|OP|=cosα4==，解得t． ∴sinα4===. 5．（2019·临川二中实验学校）已知α是第三象限角，其终边上一点(,P x ，且2cos 3α=-，则x 的值为________. 【答案】-2【解析】因为2cos 03α==-< ，所以-2x =，故答案为2x =- 6．（2020·上海浦东新·华师大二附中）如果sin 3α=-，α为第三象限角，则3sin 2πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭________．【答案】13【解析】由sin α=，α为第三象限角,有1cos 3α==-.由诱导公式可得3sin cos 2παα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭所以31sin 23πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭故答案为：137．（2019·哈尔滨市第一中学校高三开学考试（文））已知函数：①tan y x =，②sin y x =，③sin y x =，④cos y x =，其中周期为π，且在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增的是（）A ．①②B ．①③C ．①②③D ．①③④【答案】B【解析】对于①tan y x =周期为π，由正切函数的图象可得在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，所以①正确；对于②sin y x =为偶函数，根据图象判断它不是周期函数，所以②不正确；对于③由于函数sin y x =周期为122ππ⋅=，利用正弦函数的图象可得在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，故③正确；对于④cos y x =的周期为π，利用余弦函数的图象可得在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，故④不正确；故选：B.8．（2020·湖北武汉·）给出下列函数：①=2y cos x ，②=y cos x ，③sin(22)y x π=+），④=y tan x ，其中周期为π的所有偶函数为（） A ．①② B ．①②③C ．②④D ．①③【答案】D【解析】①=2=2y cos x cos x ，是偶函数，周期T 22π==π，满足条件 ②==y cos x cosx ，是偶函数，周期=2T π，不满足条件 ③sin(2)=cos 22y x x π=+，是偶函数，周期T 22π==π，满足条件 ④=y tan x 是偶函数，但不是周期函数，不满足条件.故选：D .9．（2020·湖南怀化·高三三模（理））函数()tan()3π=+f x x 的最小正周期是（）A ．2πB ．4π C ．πD ．2π【答案】C【解析】因为()tan()3π=+f x x 的图像为tan y x =向左移动3π个单位,再将x 轴下方的部分往上翻折所得.故最小正周期与tan y x =相同为π.故选：C10．（2020·台州市书生中学高一开学考试）在下列函数①sin 26y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭② sin 4y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭③cos 2y x = ④tan 24y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭⑤tan y x = ⑥sin y x =中周期为π的函数的个数为（）A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个【答案】C【解析】①sin 26y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭最小正周期为22ππ=.正确. ②因为sin sin sin 444x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=-+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.正确. ③cos 2cos2y x x ==,最小正周期为22ππ=.正确. ④tan 24y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭最小正周期为2π,故周期为π成立.正确. ⑤()tan tan tan x x x π+=-=故周期为π.正确. ⑥sin y x =为偶函数且无周期.错误.故选：C 11．（2019·广东中山一中）函数2sin 23y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的单调递增区间为_____________ 【答案】()511+,1212k k k Z ππππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦【解析】2sin 22sin 233y x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当()322,2322x k k k Z πππππ⎡⎤-∈++∈⎢⎥⎣⎦时，函数单调递增解得：()511,1212x k k k Z ππππ⎡⎤∈++∈⎢⎥⎣⎦即2sin 23y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的单调递增区间为：()511,1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦本题正确结果：()511,1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦12．（2020·全国）求函数3tan 24y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的单调区间 . 【答案】单调递减区间为3(,)2828k k ππππ-+，k Z ∈，无单调递增区间【解析】3tan 23tan 244y x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令()2242k x k k Z πππππ-<-<+∈，解得：()32828k k x k Z ππππ-<<+∈， ∴3tan 24y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的单调递减区间为3(,)2828k k ππππ-+，k Z ∈；无单调递增区间.13．（2020·全国）求函数tan 34y x π⎛⎫=-+⎪⎝⎭的单调区间 . 【答案】,()12343k k k ππππ⎛⎫-++∈ ⎪⎝⎭Z 【解析】tan 3tan 344y x x ππ⎛⎫⎛⎫=-+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.由3()242k x k k πππππ-+<-<+∈Z ，得()12343k k x k ππππ-+<<+∈Z ，所以函数tan 34y x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的单调递减区间为,()12343k k k ππππ⎛⎫-++∈ ⎪⎝⎭Z . 14．（2020·广东广州·高三月考）函数()sin()f x x ωϕ=+(其中0>ω，02πϕ<≤)的图象如下图所示，为了得到sin y x =的图象，则需将()y f x =的图象（）A ．横坐标缩短到原来的12，再向右平移4π个单位 B ．横坐标缩短到原来的12，再向左平移8π个单位 C ．横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移4π个单位 D ．横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移8π个单位【答案】C 【解析】由图可知，1732882T πππ=-=，所以T π=，故22T πω==，故函数()()sin 2f x x ϕ=+，又函数图象经过点3,08π⎛⎫⎪⎝⎭，故有3sin 208πϕ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭，即328k πϕπ⨯+=，所以34k πϕπ=-（k Z ∈），又02πϕ<≤，所以4πϕ=，所以()sin 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，故将函数()sin 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图象的横坐标伸长到原来的2倍得到4y sin x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，然后再向右平移4π个单位即可得到sin y x =的图象.故选：C . 15．（多选）（2020·福清西山学校高三月考）由函数()sin f x x =的图象得到函数()cos 23g x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象的过程中，下列表述正确的是（） A ．先将()sin f x x =的图象上各点的横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变），再向左平移个12π单位长度 B ．先将()sin f x x =的图象上各点的横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变），再向左平移6π个单位长度C ．先将()sin f x x =的图象向左平移6π个单位长度，再将图象上各点的横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变）D ．先将()sin f x x =的图象向左平移12π个单位长度，再将图象上各点的横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变）【答案】AC 【解析】()cos 2cos 2sin 2336g x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．方式一：先将()sin f x x =的横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变），再向左平移12π个单位长度．方式二：先将()sin f x x =的图象向左平移6π个单位长度，再将横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变）．故选：AC16．（多选）（2020·福建省罗源第一中学高三月考）要得到函数cos y x =的图像，只需将函数sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像上所有的点（） A ．先向右平移6π个单位长度，再将横坐标伸长到原来的12（纵坐标不变） B ．先向左平移个12π单位长度，再将横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）C ．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移6π个单位长度 D ．横坐标伸长到原来的12（纵坐标不变），再向右平移3π个单位长度【答案】BC 【解析】对于A ，sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，向右平移6π个单位长度（纵坐标不变），可得sin 2sin 263y x x ππ⎡⎤⎛⎫=-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，再将横坐标伸长到原来的12，可得sin 4y x =，故A 不正确；对于B ，sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，向左平移个12π单位长度（纵坐标不变），可得sin 2sin 2cos21232y x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，再将横坐标伸长到原来的2倍，可得cos y x =，故B 正确；对于C ，sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），可得sin 3y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再向左平移6π个单位长度，可得sin sin cos 632y x x x πππ⎛⎫⎛⎫=++=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故C 正确；对于D ，sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，横坐标伸长到原来的12（纵坐标不变），可得sin 43y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再向右平移3π个单位长度，可得()sin 4sin 4sin 433y x x x πππ⎡⎤⎛⎫=-+=-=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，故D 错误；故选：BC 17．（2019·陕西西安·高新一中）在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且60b c C ===︒，则角B =（）A ．45︒B ．30C ．45︒或135︒D ．30或150︒【答案】A【解析】由正弦定理得b c sinB sinC==，得sin B 2=，又b ＜c ，∴B ＜C ，∴B ＝45°，故选A ． 18．（2020·河南平顶山·高三月考（文））在ABC 中，角A ，B ，C 所対的边分别为a ，b ，c ，已知222a b c +-=，且sin ac B C =，则ABC S =（）A ．12B ．2C ．1D 【答案】B【解析】222cos 22a b c C ab +-==，∵()0,πC ∈∴π6C =，1sin 2C ∴=sin ac B C =，acb ∴=，即=ab∴ABC S=111sin 222ab C C =⋅==.故选：B. 19．（2020·海原县第一中学月考）在ABC中，60,A a b ︒===B 等于（） A ．45︒B ．45︒或135︒C ．135︒D ．以上答案都不对【答案】A【解析】在ABC中，60,A a b ︒=== 由正弦定理，可得sin sin a b A B =，所以sin 2sin 2b A B a ===，又因为a b >，可得A B >，所以45B =.故选：A.20．（2020·河南高二其他（文））已知ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，且sin sin 3sin 0A B C +-=，4a b c ++=，29ABCab S =△，则22sin sin a b a A b B +=+____________. 【答案】94【解析】∵sin sin 3sin 0A B C +-=，∴由正弦定理得30a b c +-=，又4a b c ++=，则34c c +=，则1c =，又21sin 92ABC ab S ab C ==△，∴4sin 9C =，由正弦定理9sin sin sin 4a b c A B C ===得4sin 9A a =，4sin 9B b =， ∴222222944sin sin 499a b a b a A b B a b ++==++．故答案为：94．21．（2020·辉县市第二高级中学高一月考）求下列函数的定义域：（1）y =（2）lg(1)y x =-+．【答案】（1）π2π2π,2π()33x k k k ⎡⎤∈++∈⎢⎥⎣⎦Z ；（2）π3π5π7π2π,2π2π,2π()4444x k k k k k ⎛⎤⎡⎫∈++++∈ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭Z 【解析】（1）∵2sin 0x -，∴3sin 2x，在单位圆中作出满足该不等式的角的集合，如图①所示，可得π2π2π,2π()33x k k k ⎡⎤∈++∈⎢⎥⎣⎦Z．（2）∵1010x x ⎧>⎪⎨⎪⎩，，∴cos x <，在单位圆中作出满足该不等式的角的集合，如图②所示，可得π3π5π7π2π,2π2π,2π()4444x k k k k k ⎛⎤⎡⎫∈++++∈ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭Z ．。

专题05 三角函数(5大易错点分析+解题模板+举一反三+易错题通关)(新高考专用)(原卷版)

D．
1 8
D． 3 4 3 10
D． 5 6
D． 4 7 3
9．已知 sin
cos
π 6
3cos
sin
π 6
，则
tan
.
10．已知是第四象限角，且满足 sin cos 7 ，则 tan
．
13
11．若 0
π 2
，且
tan
2
，则
sin cos cos 2
．
易错点三：忽视三角函数图象变换研究对象选取（三角函数的图象和性质）
5
A． 84 85
B． 36 85
C． 13 85
D．
77 85
3．在平面直角坐标系中，角的顶点为坐标原点，始边在 x 轴的正半轴上，终边过点 m,6 ，且
tan 3，则 cos （）
A． 10 5
B． 10 10
C． 10 5
4．已知 sin
cos
1 ，则
2 sin
2
π 4
变式 1．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，锐角的顶点与原点重合，始边与 x 轴的非负半轴重合，终边与
单位圆交于点 P x1, y1 ， cos
5. 5
(1)求 y1 的值；
(2)射线 OP 绕坐标原点 O 按逆时针方向旋转 2
后与单位圆交于点
M (x2 ,
y2 )
，点
N
与M
关于
x
轴对称，求
5
10
(1)求 tan( ) 的值； (2)求 cos(2 ) 的值．
cos πsin 2π tan 2π
变式 2．．已知 cos 1 ，且 π 0 ，化简并求