2018-2019学年七宝中学高一年级下学期期中考试数学试卷

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2018-2019学年上海市闵行区七宝中学高一下学期期中考试数学试卷
一. 填空题
1. 函数12sin(4)y x =-的最小正周期是 【答案】:
2
π 【解析】:242
T ππ=
= 2. 函数cos2y x =的对称轴方程是 【答案】2
k x π
=
,k ∈Z 【解析】:2x k π=,k ∈Z
3. 在平面直角坐标系中,已知角θ的顶点在坐标原点,始边与x 轴正半轴重合,终边在直 线3y x =上,则sin2θ= 【答案】
3
5
【解析】:sin 22sin cos θθθ= 4. 若锐角α、β满足3cos 5α=,5
cos()13
αβ+=-,则cos β= 【答案】
33
65
【解析】:()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=- 5. 函数2sin(2)3
y x π
=-的单调递减区间为
【答案】511[,]1212
k k ππ
ππ+
+,k ∈Z 【解析】:22,2,322x k k k Z π
ππππ⎡⎤
-
∈-++∈⎢⎥⎣⎦
6. 已知2sin 5
x =-(32
x π
π<<),则x = (用反正弦表示) 【答案】2arcsin
5
π+ 【解析】:,02x ππ⎛⎫
-∈-
⎪⎝⎭
7. 方程sin x x =的解是 【答案】7212x k ππ=+
或13212
x k ππ=+,k ∈Z 【解析】:先用辅助角公式
8. 在△ABC 中,角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,面积为S ,且224()S a b c =+-, 则cos C =
【答案】0
【解析】:1sin 2
S ab C =,222
cos 2a b c C ab +-=
9. 若将函数()cos()8
f x x π
ω=-
(0ω>)的图像向左平移
12
π
个单位后,所得图像对应的 函数为偶函数,则ω的最小值是 【答案】
32
【解析】:()()f x f x -= 10. 已知函数sin(2)cos(2)sin(2)cos(2)
()||22
x x x x f x ππππ+-=
+,对任意x ∈R ,都有不
等式12()()()f x f x f x ≤≤恒成立,则21||x x -的最小值为 【答案】
3
8
【解析】:比较sin(2)cos(2)x x ππ和的大小 11. 已知函数1sin()
()20192019x x
x f x π-=
+(x ∈R ),下列命题:
① 函数()f x 是奇函数;
② 函数()f x 在区间[2,2]ππ-上共有13个零点; ③ 函数()f x 在区间(0,1)上单调递增; ④ 函数()f x 的图像是轴对称图形.
其中真命题有 (填所有真命题的序号) 【答案】②④ 【解析】
()()1
12
f x f x x -=∴=
为()f x 的对称轴,故①错④对; ()()0,sin 0,,.f x x x k k Z π=∴=∴=∈
所以区间[2,2]ππ-有654321,0,1,2,3,4,5,6------,,,,,共计13个零点,故②对;
()()()01,f f f x =∴在区间(0,1)不可能单调,故③错。

12. 已知k 是正整数,且12019k ≤≤,则满足方程
sin1sin2sin sin1sin2sin k k ︒+︒+⋅⋅⋅+︒=︒⋅︒⋅⋅⋅︒的k 有 个
【答案】11 【解析】
sin1sin2sin 1.k ︒⋅︒⋅⋅⋅︒<∴只有当除1k =外
sin1sin2sin sin1sin2sin k k ︒+︒+⋅⋅⋅+︒=︒⋅︒⋅⋅⋅︒等式两边都等于0才成立。

有正弦函数的性质可知在[]1360k ∈,时有两解,所以201921=11360⎡⎤
⨯+⎢⎥⎣⎦
二. 选择题 13. “[,]22
x ππ
∈-
”是“sin(arcsin )x x =”的( )
【A 】 充分非必要条件 【B 】 必要非充分条件 【C 】充要条件 【D 】 既非充分条件又非必要条件 【答案】B
【解析】前面不能推后面,后面可以推前面 14. 将函数sin()12y x π=-
图像上的点(,)4
P t π
向左平移s (0s >)个单位,得到点P ',若 P '位于函数sin 2y x =的图像上,则( )
【A 】 1
2
t =,s 的最小值为6π
【B 】 t =
,s 的最小值为6π 【C 】 12t =,s 的最小值为12
π
【D 】 2t =,s 的最小值为12
π 【答案】A
【解析】P 点代入可求t ,在进行平移运算
15. 若方程212cos sin 0x x a --+=有实数解,则实数a 的取值范围( )
【A 】 9(,]8
-∞ 【B 】9[2,]8
- 【C 】 9[0,]8
【D 】 9[1,]8
- 【答案】B 【解析】换元法
16. 如图,在△ABC 中,BC a =,AC b =,AB c =,
O 是△ABC 的外心,OD BC ⊥于D ,OE AC ⊥于E , OF AB ⊥于F ,则::OD OE OF 等于( )
【A 】 ::a b c 【B 】 cos :cos :cos A B C 【C 】 sin :sin :sin A B C 【D 】
111::a b c
【答案】B
【解析】如图,连接,,.
OA OB OC
22,;BOC BAC BOD BAC BOD ∠=∠=∠∴∠=∠同理可得,BOF BAC AOE ABC ∠=∠=∠,设圆的半径为,R
cos OD R BOD A =⋅∠=∠,cos cos ,
OE R AOE R B =⋅∠=⋅∠cos cos OF R BOF R C =⋅∠=⋅∠,故::=cos :cos :cos OD OE OF A B C ,选B.
三. 解答题
17. 已知7
cos(23)25
θπ-=
,且θ是第四象限角; (1)求cos θ和sin θ的值;
(2)求3cos(
)
sin()
22tan [cos()1]tan()cos()
π
πθθθπθπθθ--
+
+---的值. 【答案】(1)3
4
cos =sin =55θθ-, (2)89
【解析】 (1)
277
cos(23)cos2,12sin 2525
θπθθ-=-=
∴-=- θ是第四象限角,43sin =cos =.55
θθ∴-,
(2)3cos()sin()
sin cos 22tan [cos()1]tan()cos()tan cos tan tan cos ππθθθθθπθπθθθθθθθ
--+=-
+----⋅-⋅ cos cos 8
1cos sin 9
θθθθ=
-=--
18. 在△ABC 中,角A 、B 、
C 的对边分别为a 、b 、c ,已知2a b -=,4c =,sin 2sin A B =. (1)求△ABC 的面积S ;(2)求sin(2)A B -的值. 【答案】(1
;(2
)32
. 【解析】(1)
sin 2sin 224,2A B a b a b a b =∴=-=∴==
2227cos sin 288
a c
b B B a
c +-∴==∴==
1
sin 2
ABC S ac B ∆∴=
=(2
)2221cos sin sin 22sin cos 24b c a A A A A A bc +-==∴===7
cos 28
A =-,(
)sin 22cos cos 2sin 32A B sin A B A B ∴-=-=
19.
已知函数()2sin 2f x x x =-. (1)求()y f x =的最小正周期和对称中心;
(2)将()f x 的图像向左移α(0α>)个单位得函数()y g x =的图像,若(0,)2
π
α∈,
()y g x =的一条对称轴为12
x π
=
,求()y g x =,[0,]2
x π
∈的值域.
【答案】(1)T π=,(,0)6
2
k π
π
+
,k ∈Z ;
(2)[-. 【解析】
(1)()sin 2=2cos 26f x x x x π⎛⎫
=-+
⎪⎝

,2,2,,,26262
k T x k k Z x k Z πππππππ=
=+=+∈∴=+∈ 所以()y f x =的最小正周期T π=,对称中心为(
,0)6
2
k π
π
+
,k ∈Z (2)
()y g x =的一条对称轴为12
x π
=
,∴22=
12
612
π
π
π
α⋅
++
,(0,)2
π
α∈
()=2cos 236g x x ππα⎛⎫∴∴=+ ⎪

⎭,
551150,,2,cos 21,266662x x x πππππ⎡
⎡⎤⎡⎤⎛⎫∈∴+∈∴+∈-⎢
⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎝
⎭⎣⎦
()
g x ⎡∴∈-⎣
20. 如题所示:扇形ABC 是一块半径为2千米,圆心角为60°的风景区,P 点在弧BC 上,现欲在风景区中规划三条商业街道PQ 、QR 、RP ,要求街道PQ 与AB 垂直,街道PR 与
AC 垂直,直线PQ 表示第三条街道.
(1)如果P 位于弧BC 的中点,求三条街道的总长度;
(2)由于环境的原因,三条街道PQ 、PR 、QR 每年能产生的经济效益分别为每千米300万元,200万元及400万元,问:这三条街道每年能产生的经济总效益最高为多少?(精确到1万元)
【答案】(1)2千米;(2)1222万元. 【解析】
(1) 由题意知:302sin 301PAQ PQ ︒

∠=∴==,同理PR=1,
120,QPR QR ︒∠===条街道的总长度2千米。

(2)设0,
,2sin ,PR 2sin 33PAQ PQ ππθθθ⎛

⎛⎫
∠=∈∴==- ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭
,,,A P Q R AP 均在以为直径的圆上,由正弦定理得
2sin QR
AP RAQ
==∠
得QR =
3002sin 2002sin 4003arctan 2T πθθθ⎛⎫
=⨯+⨯-+ ⎪⎝⎭
⎛⎫
=++ ⎪ ⎪⎝

当=arctan 0,23π
πθ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
时,总效益最高为1222≈万元。

21. 给出集合{()|(2)(1)(),}M f x f x f x f x x =+=+-∈R . (1)若()sin
3
x
g x π=,求证:函数()g x M ∈;
(2)由(1)可知,()sin
3
x
g x π=是周期函数且是奇函数,于是张三同学得出两个命题:
命题甲:集合M 中的元素都是周期函数;命题乙:集合M 中的元素都是奇函数,请对此给 出判断,如果正确,请证明;如果不正确,请举出反例;
(3)设P 为常数,且0P ≠,x ∈R ,求()sin h x px M =∈的充要条件并给出证明. 【答案】(1)略;(2)甲真命题,周期为6,乙假命题,如cos 3
x
y π=;(3)略.
【解析】
(1)()g x M ∈转化证明
()()()()()12sin
1sin
sin
23
3
3
g x g x g x x x x π
π
π
+-=+⇔+-=+
左边=(
)1sin
1sin
=sin sin 3
323233
x x x x x π
π
πππ
+-+- ()2sin sin 2333x x ππ
π⎛⎫
=+
=+ ⎪⎝⎭
=右边
(2) 命题甲为真命题,集合M 中的元素都是周期为6的周期函数,验证()()
6f x f x +=即可;命题乙为假命题,集合M 中的元素不都是奇函数。

如()3
g x x π
=
为奇函数,
()sin 34x h x ππ⎛⎫
=+ ⎪⎝
⎭不是奇函数。

(3) ()1,n f n a M =-∈则()21211111n n n n n n a a a a a a ++++-=---⇒=-+
假设存在实数,p q 满足题设,则
21363
211
21n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a +++++++=-+⎧⇒+=⇒=⎨
=-+⎩ 所以数列{}n a 是周期为6的周期数列,且前6项依次为2,3,2,0,-1,0
()()()(),61,61,653,62,644,63
n n n k n n k n k S k N n n k n k n n k =⎧⎪
+=-=-⎪=∈*⎨+=-=-⎪
⎪+=-⎩
当6n k =,k N ∈*时,()11n
n
S n
-⋅
= 当61,65n k n k =-=-,k N ∈*时,()[)1
1=12,1n
n S n n -⋅
--∈- 当62,64n k n k =-=-,k N ∈*时,()351=11,2n
n S n n ⎛⎤-⋅+∈ ⎥⎝⎦
当63n k =-,k N ∈*时,()471=1,13n
n S n n ⎡⎫
-⋅--∈--⎪⎢⎣⎭
综上()75111,32n
n S n ⎡⎫⎡⎤
-⋅
∈--⋃⎪⎢⎢⎥⎣⎭⎣⎦
,,,要使对任意n N ∈*,都有()1n n S p q n ≤-⋅≤恒成立,只要7
5
,32
p q ≤-≥
即可。

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