2018-2019学年七宝中学高一年级下学期期中考试数学试卷

2018-2019学年上海市闵行区七宝中学高一下学期期中考试数学试卷

一. 填空题

1. 函数12sin(4)y x =-的最小正周期是 【答案】：

2

π 【解析】：242

T ππ=

= 2. 函数cos2y x =的对称轴方程是 【答案】2

k x π

=

，k ∈Z 【解析】：2x k π=，k ∈Z

3. 在平面直角坐标系中，已知角θ的顶点在坐标原点，始边与x 轴正半轴重合，终边在直 线3y x =上，则sin2θ= 【答案】

3

5

【解析】：sin 22sin cos θθθ= 4. 若锐角α、β满足3cos 5α=，5

cos()13

αβ+=-，则cos β= 【答案】

33

65

【解析】：()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=- 5. 函数2sin(2)3

y x π

=-的单调递减区间为

【答案】511[,]1212

k k ππ

ππ+

+，k ∈Z 【解析】：22,2,322x k k k Z π

ππππ⎡⎤

-

∈-++∈⎢⎥⎣⎦

6. 已知2sin 5

x =-（32

x π

π<<），则x = （用反正弦表示） 【答案】2arcsin

5

π+ 【解析】：,02x ππ⎛⎫

-∈-

⎪⎝⎭

7. 方程sin x x =的解是 【答案】7212x k ππ=+

或13212

x k ππ=+，k ∈Z 【解析】：先用辅助角公式

8. 在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，面积为S ，且224()S a b c =+-， 则cos C =

【答案】0

【解析】：1sin 2

S ab C =，222

cos 2a b c C ab +-=

9. 若将函数()cos()8

f x x π

ω=-

（0ω>）的图像向左平移

12

π

个单位后，所得图像对应的 函数为偶函数，则ω的最小值是 【答案】

32

【解析】：()()f x f x -= 10. 已知函数sin(2)cos(2)sin(2)cos(2)

()||22

x x x x f x ππππ+-=

+，对任意x ∈R ，都有不

等式12()()()f x f x f x ≤≤恒成立，则21||x x -的最小值为 【答案】

3

8

【解析】：比较sin(2)cos(2)x x ππ和的大小 11. 已知函数1sin()

()20192019x x

x f x π-=

+（x ∈R ），下列命题：

① 函数()f x 是奇函数；

② 函数()f x 在区间[2,2]ππ-上共有13个零点； ③ 函数()f x 在区间(0,1)上单调递增； ④ 函数()f x 的图像是轴对称图形.

其中真命题有 （填所有真命题的序号） 【答案】②④ 【解析】

()()1

12

f x f x x -=∴=

为()f x 的对称轴，故①错④对； ()()0,sin 0,,.f x x x k k Z π=∴=∴=∈

所以区间[2,2]ππ-有654321,0,1,2,3,4,5,6------，，，，，共计13个零点，故②对；

()()()01,f f f x =∴在区间(0,1)不可能单调，故③错。

12. 已知k 是正整数，且12019k ≤≤，则满足方程

sin1sin2sin sin1sin2sin k k ︒+︒+⋅⋅⋅+︒=︒⋅︒⋅⋅⋅︒的k 有 个

【答案】11 【解析】

sin1sin2sin 1.k ︒⋅︒⋅⋅⋅︒<∴只有当除1k =外

sin1sin2sin sin1sin2sin k k ︒+︒+⋅⋅⋅+︒=︒⋅︒⋅⋅⋅︒等式两边都等于0才成立。

有正弦函数的性质可知在[]1360k ∈，时有两解，所以201921=11360⎡⎤

⨯+⎢⎥⎣⎦

二. 选择题 13. “[,]22

x ππ

∈-

”是“sin(arcsin )x x =”的（ ）

【A 】 充分非必要条件 【B 】 必要非充分条件 【C 】充要条件 【D 】 既非充分条件又非必要条件 【答案】B

【解析】前面不能推后面，后面可以推前面 14. 将函数sin()12y x π=-

图像上的点(,)4

P t π

向左平移s （0s >）个单位，得到点P '，若 P '位于函数sin 2y x =的图像上，则（ ）

【A 】 1

2

t =，s 的最小值为6π

【B 】 t =

，s 的最小值为6π 【C 】 12t =，s 的最小值为12

π

【D 】 2t =，s 的最小值为12

π 【答案】A

【解析】P 点代入可求t ，在进行平移运算

15. 若方程212cos sin 0x x a --+=有实数解，则实数a 的取值范围（ ）

【A 】 9(,]8

-∞ 【B 】9[2,]8

- 【C 】 9[0,]8

【D 】 9[1,]8

- 【答案】B 【解析】换元法

16. 如图，在△ABC 中，BC a =，AC b =，AB c =，

O 是△ABC 的外心，OD BC ⊥于D ，OE AC ⊥于E ， OF AB ⊥于F ，则::OD OE OF 等于（ ）

【A 】 ::a b c 【B 】 cos :cos :cos A B C 【C 】 sin :sin :sin A B C 【D 】

111::a b c

【答案】B

【解析】如图，连接,,.

OA OB OC

22,;BOC BAC BOD BAC BOD ∠=∠=∠∴∠=∠同理可得,BOF BAC AOE ABC ∠=∠=∠,设圆的半径为,R

cos OD R BOD A =⋅∠=∠,cos cos ,

OE R AOE R B =⋅∠=⋅∠cos cos OF R BOF R C =⋅∠=⋅∠,故::=cos :cos :cos OD OE OF A B C ，选B.

三. 解答题

17. 已知7

cos(23)25

θπ-=

，且θ是第四象限角； （1）求cos θ和sin θ的值；