隐函数组

解 2：
x2 y2 z2 50,
方程两端对 x 求导。
x 2 y 3z 4.
得
2x
2y
dy dx
2z
dz dx
0,
1
2
dy dx
3
dz dx
0.
注意： y y( x), z z( x).
即
y
dy dx
z
dz dx
x,
2
dy dx
3
dz dx
1.
D
y 2
z 3
3y
2z.
3. (F1, F2 , , Fm )
0
( y1, y2 , , ym ) ( X 0 ,Y0 )
其中， X (x1, x2 , , xn ) , Y ( y1, y2 , , ym ) , 则
方程组 F1( X , Y ) 0 , , Fm ( X , Y ) 0 在 U( X 0 )
内唯一确定一组函数
18.2 隐函数组
一、隐函数组概念 二、方程组的情形 三、反函数组和坐标变换
一、隐函数组概念
问题1
设方程组
F ( x, G(x,
y, y,
z) z)
0 0
确定函数
z z(x) , y y(x) , F ,G C1, 求d y , d z 。
dx dx
想一想，怎么做 ？
移项，得
F y
dy dx
F z
dz dx
F x
G y
dy dx
G z
dz dx
G x
运用克莱满法则解此二元一次方程组
当
(F,G) 0 (y, z)
时，方程组有唯一解：
dy
dx
(F,G) (x, z) (F,G) (y, z)
dz
dx
Baidu Nhomakorabea
(F,G) (y, x) (F,G) (y, z)
这样我们实际上已找到了求方程组确 定的隐函数的偏导数的公式(之一)。
隐函数的求导法则 （分下列几种情况）
(1) F ( x, y) 0 (2) F( x, y, z) 0
(3)
F ( x, y, u,v) 0 G( x, y, u,v) 0
公式法 常用解法：
方程两边求导法
(F ,G) ( y, z)
Fy Gy
Fz Gz
2y 2
2z 3
6y 4z.
(F ,G) ( x, z)
Fx Gx
Fz 2x Gz 1
2z 3 6x 2z.
(F ,G) Fx (x,z) Gx
Fz Gz
2x 1
2z 3 6x 2z.
(F ,G) ( y, x)
Fx Gx
Fx 2 y Gx 2
D2 D
1 J
(F ,G) (u, x)
.
类似，对
F[ x, y, u( x, y),v( x, y)] 0 G[ x, y, u( x, y),v( x, y)] 0
等式两边对 y 求导， 得关于
u y
,
v y
的线性方程组。
解方程组得
u y
1 J
(F ,G) ( y,v)
.
v y
1 J
(F ,G) (u, y)
F1 x1
F2
x1
Fn x1
F1
F1
x2
xn
F2
F2
x2
xn
Fn
Fn
x2
xn
当所出现的函数均有一阶连续偏导数时， 雅可比行列式有以下两个常用的性质：
1.
(u1, u2 , , un ) (x1, x2 , , xn ) 1. (x1, x2 , , xn ) (u1, u2 , , un )
x y x y
自己动手做！
当
(F,G) (u, v)
0时,，
将将yx看看成成常常数数
( F( F, G, G) )
uu ((xy,v,v))
xy
( F( F, G, G) )
(u(u, v, v))
( F( F, G, G) )
vv (u(u, ,xy))
xy
( F( F, G, G) )
(u(u, v, v))
v v(x, y), 求 u , u , v , v 。
解
令
x y x y
F (x, y,u, v) u2 v x ,
G(x, y,u, v) u v2 y ,
则
(F,G) 2u (u, v) 1
1
2v 4uv 1
(F,G) 1
1
2v
(x, v) 0 2v
u 2v x 4uv 1
Fu Fv Gu Gv
Fu Fv , Gu Gv
v y
1 J
(F ,G) (u, y)
Fu Gu
Fy Gy
Fu Fv . Gu Gv
下面推导公式：
现
F ( x, y, u,v) 0 G( x, y, u,v) 0
确定了 u u( x, y), v v( x, y).
即，
F[ x, y, u( x, y),v( x, y)] 0 G[ x, y, u( x, y),v( x, y)] 0
Fx Gx
Fv Gv
Fx Gx
Fv Gv
(F ,G) ( x, v)
D2
Fu Gu
Fx Gx
Fu Gu
Fx Gx
(F ,G) (u, x)
u x
D1 D
1 J
(F ,G) (x,v)
.
v x
D2 D
1 J
(F ,G) (u, x)
.
u x
D1 D
1 J
(F ,G) (x,v)
.
v x
x u D2 y v yu xv.
u x
D1 D
xu x2
yv y2
,
v D2 x D
yu xv x2 y2
,
将所给方程的两边对 y 求导，用同样方法得
u y
xv x2
yu y2
,
v y
xu x2
yv y2
.
例3
设
u2 v {u v2
x y
0 0
确定函数
u u(x, y),
F F
(F,G) (x, z)
x G
z G
x z
F F
(F,G) (y, x)
y G
x G
y x
F F
(F,G) (y, z)
y G
z G
y z
问题2
依葫芦画瓢哦 ！
设方程组
将F (xx,或y,uy,
v) 0 看成常数
G(x, y,u, v) 0
确定函利数用问u 题u(1x,的y)结, 论v ，v你(x,可y)能, 已F经, G知道C应1, 该求怎么u 做, 了u 。, v , v 。
上连续，点
是
D的内点，且
则在点
的某邻域
一的一组反函数
内存在唯
使得
且当
时，有
2.坐标变换: 两个重要的坐标变换.
例2 直角坐标 间的变换为
与极坐标 之
由于 所以除原点外，在一切点上都能确定出反函数组
例3 直角坐标
与球坐标变换
其 Jacobian 行列式为
所以在 可唯一确定出
的一切点， 的函数
四、小结
yi I ( X ) C1(U( X 0 ))
且 Fi ( X , 1( X ), ,m ( X )) 0 , (i 1, 2, , m) ,
Y0 (1( X 0 ), ,m ( X 0 )) 。
雅可比行列式 ui Fi (x1, x2 , , xn ) C1() ,
J (u1, u2 , , un ) (F1, F2 , , Fn ) (i 1, 2, , n) (x1, x2 , , xn ) (x1, x2 , , xn )
求
u ， u ， v 和 v . x y x y
解1 直接代入公式；
解2 运用公式推导的方法。
将所给方程的两边对 x 求导并移项:
x
u x
y
v x
u
y
u x
x
v x
v
,
x DJ
y
y x
x2 y2,
x DJ
y x2 y2,
yx
u y D1 v x ux yv,
当 D J 0 时，
2x 1
2y 4x.
当 (F ,G) 6 y 4z 0 时，
( y, z)
(F ,G)
dy dx
(x, z) (F ,G)
6x 6y
2z 4z
z 3x 3y 2z
,
( y, z)
(F ,G)
dz dx
( y, x) (F ,G)
2y 6y
4x 4z
2x y 3y 2z
,
( y, z)
Gy Fy
Gx Fz
.
( y, z)
Gy Gz
例1 设
x2 y2 z2 50,
x 2 y 3z 4.
求
dy dx
,
dz dx
.
解 1： 令 F ( x, y, z) x2 y2 z2 50 0,
G( x, y, z) x 2 y 3z 4 0.
则 Fx 2x, Fy 2 y, Fz 2z, Gx 1, Gy 2, Gz 3.
公公式式
二、方程组的情形
F ( x, y, u,v) 0 G( x, y, u,v) 0
何时唯一确定函数 u u( x, y), v v( x, y)？
u x
?
u y
?
v x
?
v y
?
定理 18.4（隐函数组定理）
设F ( x, y, u, v)、G( x, y, u, v)在点 P( x0 , y0 , u0 , v0 )的某 一邻域内有对各个变量的连续偏导数，且 F ( x0 , y0 , u0 , v0 ) 0，G( x0 , y0 , u0 , v0 ) 0，且偏导数所组成的 函数行列式（或称雅可比式）
等式两边对 x 求导，
Fx
Fu
u x
Fv
v x
0
Gx
Gu
u x
Gu
v x
0
Fu Gu
u x
u x
Fv Gu
v x
v x
Fx Gx
Fu
u x
Fv
v x
Fx
Gu
u x
Gu
v x
Gx
这是关于
u x
,
v x
的
二元线性方程组。
D Fu Fv J 0, Gu Gv
方程组有唯一解。
D1
同理可得
(F,G) 2u (u, x) 1
1
1
0
v 1 x 4uv 1
(F,G) 0
1
1
( y, v) 1 2v
u 1 y 4uv 1
(F,G) 2u 0 2u
(u, y) 1 1
v 2u y 4uv 1
问题 1 和问题 2 的方法可以推广到更一 般的情形.
定理 (隐函数存在定理) 设 1. Fi ( X ,Y ) C1(U( X 0 ,Y0 )) , i 1, 2, , m； 2. Fi ( X 0 ,Y0 ) 0 , i 1, 2, , m；
.
特别地，方程组
F(x, y, z) 0 G( x, y, z) 0
可以确定函数 y y( x), z z( x), 且
(F ,G)
Fx Fz
dy dx
( x, z) (F ,G)
Gx Fy
Gz , Fz
( y, z)
Gy Gz
(F ,G)
Fy Fx
dz dx
( y, x) (F ,G)
2. (u1, u2 , , un ) (t1, t2 , , tn ) (u1, u2 , , un ) (x1, x2 , , xn ) . (x1, x2 , , xn ) (t1, t2 , , tn )
三、反函数组和坐标变换
1. 定理18.5（反函数组定理）设函数
组
及其一阶偏导数
在某区域
v v( x, y)，它们满足条件u0 u( x0 , y0 ),v0 v ( x0 , y0 ),
并有
Fx Fv
u 1 (F ,G) Gx
x J ( x, v)
Fu
Gv Fv
,
Gu Gv
v 1 (F ,G) Fu Fx x J (u, x) Gu Gx u 1 (F ,G) Fy Fv y J ( y, v) Gy Gv
F F
J
(F ,G) (u, v)
u G
v G
u v 在点 P( x0 , y0 , u0 , v0 )不等于零，则方程组
F ( x, y, u, v) 0、 G( x, y, u, v) 0
在点 P( x0 , y0 , u0 , v0 )的某一邻域内恒能唯一确定一 组单值连续且具有连续偏导数的函数u u( x, y)，
即
y
dy dx
z
dz dx
x,
2
dy dx
3
dz dx
1.
D
y 2
z 3
3y
2z.
D1
x 1
z 3 z 3x,
D2
y 2
x 1
2x y.
当 D 0时，
dy D1 dx D
z 3x 3y 2z
,
dz dx
D2 D
2x y 3y 2z
,
例2
设
xu yu
yv xv
0,， 1