小学数学 容斥原理之重叠问题(一).教师版
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
长方形中阴影部分表示两部分都有错的人数． 已知第一部分对的有 25 人，全对的有12 人，可知只对第一部分的有： 25 12 13 (人)．又因为第二 部分有19 人有错，其中第一部分对第二部分有错的有13 人，那么余下的19 13 6 (人)必是第一部分 和第二部分均有错的，两部分都有错的有 6 人．
【考点】两量重叠问题 【难度】1 星 【题型】解答 【解析】如图所示， A 圆表示参加语文兴趣小组的人， B 圆表示参加数学兴趣小组的人， A 与 B 重合的部分
C (阴影部分)表示同时参加两个小组的人．图中 A 圆不含阴影的部分表示只参加语文兴趣小组未参 加数学兴趣小组的人，有 28 12 16 (人)；图中 B 圆不含阴影的部分表示只参加数学兴趣小组未参 加语文兴趣小组的人，有 29 12 17 (人)． 方法一：由此得到参加语文或数学兴趣小组的有：16 12 17 45 (人)． 方法二：根据包含排除法，直接可得：
30 20 42 8 (人)． ⑵ 只写完语文作业的人数 写完语文作业的人数-语文数学都写完的人数，即 30 8 22 (人)．
【答案】 22 人
【巩固】四（1）班有 46 人，其中会弹钢琴的有 30 人，会拉小提琴的有 28 人，则这个班既会弹钢琴又会拉
小提琴的至少有
人。
【考点】两量重叠问题 【难度】1 星 【题型】填空
【答案】 42 人
【例 10】在 46 人参加的采摘活动中，只采了樱桃的有18 人，既采了樱桃又采了杏的有 7 人，既没采樱桃又 没采杏的有 6 人，问：只采了杏的有多少人？
【考点】两量重叠问题 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】如图，用长方形表示全体采摘人员 46 人， A 圆表示采了樱桃的人数， B 圆表示采了杏的人数．长方
1．先包含—— A B 重叠部分 A B 计算了 2 次，多加了1 次；
2．再排除—— A B A B 把多加了1次的重叠部分 A B 减去．
包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合 A、B 的并集 A B 的元素的个数，可分以下两步进行： 第一步：分别计算集合 A、B 的元素个数，然后加起来，即先求 A B (意思是把 A、B 的一切元素都“包含”进
【答案】16 人
【巩固】四年级一班有 45 人，其中 26 人参加了数学竞赛，22 人参加了作文比赛，12 人两项比赛都参加了．一
3
班有多少人两项比赛都没有参加？ 【考点】两量重叠问题 【难度】1 星 【题型】解答 【解析】由包含排除法可知，至少参加一项比赛的人数是： 26 22 12 36 (人)，所以，两项比赛都没有参
【答案】 23 人
【例 8】 某次英语考试由两部分组成，结果全班有12 人得满分，第一部分有 25 人做对，第二部分有19 人有 错，问两部分都有错的有多少人？
【考点】两量重叠问题 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】如图，用长方形表示参加考试的人数， A 圆表示第一部分对的人数． B 圆表示第二部分对的人数，
【答案】 21 人
【例 7】 全班 50 个学生，每人恰有三角板或直尺中的一种，28 人有直尺，有三角板的人中，男生是 14 人， 若已知全班共有女生 31 人，那么有直尺的女生有____人。
【考点】两量重叠问题 【难度】1 星 【题型】填空 【关键词】华杯赛，初赛，第 8 题 【解析】有三角板的学生共 50-28=22（人），其中女生 22-14=8（人），那么有直尺的女生有 31-8=23（人）。
形中阴影部分表示既没采樱桃又没采杏的人数． 由图中可以看出，全体人员是至少采了一种的人数与两种都没采的人数之和，则至少采了一种的人 数为： 46 6 40 (人)，而至少采了一种的人数 只采了樱桃的人数 两种都采了的人数 只采了杏 的人数，所以，只采了杏的人数为： 40 18 7 15 (人)．
【考点】两量重叠问题 【难度】1 星 【题型】填空 【关键词】希望杯，四年级，二试，第 3 题 【解析】阴影部分是两人都爱好的：数学、音乐 【答案】数学、音乐
【例 2】 四（1）班全体同学站成一排，当从左向右报数时，小华报：18；当从右向左报数时，小华报：13. 那么该班有学生______________名。
【考点】两量重叠问题 【难度】1 星 【题型】解答 【解析】已知全班总人数，从反面思考，找出参加美术或音乐小组的人数，只需用全班总人数减去这个人数，
就得到既没参加美术小组也没参加音乐小组的人数．根据包含排除法知，该班至少参加了一个小组 的总人数为12 23 5 30 (人)．所以，该班未参加美术或音乐小组的人数是 46 30 16 (人)．
图中小圆表示 A 的元素的个数，中圆表示 B 的元素的个数， 大圆表示 C 的元素的个数．
1．先包含： A B C 重叠部分 A B 、B C 、C A 重叠了 2 次，多加了1 次．
2．再排除： A B C A B B C A C 重叠部分 A B C 重叠了 3 次，但是在进行 A B C A B B C A C 计算时都被减掉了．
【关键词】希望杯，四年级，二试，第 6 题
【解析】至少一项不会的最多有(46-30)+(46-28)=34,那么两项都会的至少有 46-34=12 人
【答案】12 人
【例 4】 如图，圆 A 表示 1 到 50 这 50 个自然数中能被 3 整除的数，圆 B 表示这 50 个数中能被 5 整除的数，
用式子可表示成： A B A B A B (其中符号“ ”读作“并”，相当于中文“和”或者“或”的意思；符号“ ”
读作“交”，相当于中文“且”的意思．)则称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理．图示如下: A 表示小圆
部分， B 表示大圆部分， C 表示大圆与小圆的公共部分，记为： A B ，即阴影面积．图示如下: A 表示小圆 部分， B 表示大圆部分， C 表示大圆与小圆的公共部分，记为： A B ，即阴影面积．
来，加在一起)； 第二步：从上面的和中减去交集的元素个数，即减去 C A B (意思是“排除”了重复计算的元素个数)．
二、三量重叠问题
A 类、 B 类与 C 类元素个数的总和 A 类元素的个数 B 类元素个数 C 类元素个数 既是 A 类又是 B 类 的元素个数 既是 B 类又是 C 类的元素个数 既是 A 类又是 C 类的元素个数 同时是 A 类、 B 类、 C 类的元 素个数．用符号表示为： A B C A B C A B B C A C A B C ．图示如下：
则阴影部分表示的数是
。
【考点】两量重叠问题 【难度】1 星 【题型】填空 【关键词】希望杯，四年级，二试，第 4 题 【解析】阴影部分是 A 和 B 共有的，即 1 到 50 这 50 个自然数中能被 3×5＝15 整除的数，即 15，30，45 【答案】15 ， 30 ， 45
【例 5】 学校为了丰富学生的课余生活，组建了乒乓球俱乐部和篮球俱乐部，同学们踊跃报名参加，其中 有 321 人报名参加乒乓球俱乐部，429 人报名参加了篮球俱乐部，但学校最后发现有 50 人既报名 参加了乒乓球俱乐部，又报名参加了篮球俱乐部，还有 23 人什么俱乐部都没报名，问该学校共有 名学生．
加的人数为： 45 36 9 (人)．
【答案】 9 人
【巩固】 实验二校一个歌舞表演队里，能表演独唱的有 10 人，能表演跳舞的有 18 人，两种都能表演的有 7 人．这个表演队共有多少人能登台表演歌舞？
【考点】两量重叠问题 【难度】1 星 【题型】解答 【解析】根据包含排除法，这个表演队能登台表演歌舞的人数为：10 18 7 21 (人)．
7-7-1.容斥原理之重叠问题（一）
教学目标
1. 了解容斥原理二量重叠和三量重叠的内容； 2. 掌握容斥原理的在组合计数等各个方面的应用．
知识要点
一、两量重叠问题
在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算．求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把 两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数，
【答案】 6 人
【例 9】 对全班同学调查发现，会游泳的有 20 人，会打篮球的有 25 人．两项都会的有10 人，两项都不会的 有 9 人．这个班一共有多少人？
【考点】两量重叠问题 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】如图，用长方形表示全班人数， A 圆表示会游泳的人数， B 圆表示会打篮球的人数，长方形中阴影
4
【考点】两量重叠问题 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】如图， A 圆表示参加象棋比赛的人， B 圆表示参加军棋比赛的人， A 与 B 重合的部分表示同时参加
两项比赛的人．图中 A 圆不含阴影的部分表示只参加象棋比赛不参加军棋比赛的人，有 32 18 14 ( 人 ) ； 图 中 B 圆 不 含 阴 影 的 部 分 表 示 只 参 加 军 棋 比 赛 不 参 加 象 棋 比 赛 的 人 ， 有 28 18 10 (人)．由此得到参加棋类比赛的人有14 18 10 42 (人)． 或者根据包含排除法直接得： 32 28 18 42 (人)．
【考点】两量重叠问题 【难度】1 星 【题型】填空 【关键词】希望杯，四年级，二试，第 2 题 【解析】该班学生人数为：18 13 1 30 （名）。 【答案】 30 名 【例 3】 实验小学四年级二班，参加语文兴趣小组的有 28 人，参加数学兴趣小组的有 29 人，有12 人两个小
组都参加．这个班有多少人参加了语文或数学兴趣小组？
【考点】两量重叠问题 【难度】1 星 【题型】填空 【关键词】学而思杯，4 年级，第 5 题 【解析】 321 429 50 23 723 人 【答案】 723 人
【例 6】 某班共有 46 人，参加美术小组的有12 人，参加音乐小组的有 23 人，有 5 人两个小组都参加了．这 个班既没参加美术小组也没参加音乐小组的有多少人？
参加语文或数学兴趣小组的人 参加语文兴趣小组的人 参加数学兴趣小组的人 两个小 组都参加的人，即： 28 29 12 45 (人)． 【答案】 45 人 【巩固】 芳草地小学四年级有 58 人学钢琴， 43 人学画画，37 人既学钢琴又学画画，问只学钢琴和只学画画 的分别有多少人？
【考点】两量重叠问题 【难度】1 星 【题型】解答 【解析】解包含与排除题，画图是一种很直观、简捷的方法，可以帮助解决问题，画图时注意把不同的对象
部分表示两项都不会的人数． 由图中可以看出，全班人数 至少会一项的人数 两项都不会的人数，至少会一项的人数为： 20 25 10 35 (人)，全班人数为： 35 9 44 (人)．
【答案】 44 人
【巩固】某班组织象棋和军棋比赛，参加象棋比赛的有 32 人，参加军棋比赛的有 28 人，有18 人两项比赛都 参加了，这个班参加棋类比赛的共有多少人？
2
与不同的区域对应清楚．建议教师帮助学生画图分析，清楚的分析每一部分的含义．
如图， A 圆表示学画画的人， B 圆表示学钢琴的人， C 表示既学钢琴又学画画的人，图中 A 圆不含 阴影的部分表示只学画画的人，有： 43 37 6 (人)，图中 B 圆不含阴影的部分表示只学钢琴的人， 有： 58 37 21 (人)．
3．再包含： A B C A B B C A C A B C ． 在解答有关包含排除问题时，我们常常利用圆圈图(韦恩图)来帮助分析思考．
1
例题精讲
两量重叠问题
【例 1】 小明喜欢：踢足球、上网、游泳、音乐、语文、数学；小英喜欢：数学、英语、音乐、陶艺、跳 绳。用圆 A、圆 B 分别表示小明、小英的爱好，如图所示，则图中阴影部分表示________。
【答案】 21 人
【巩固】四(二)班有 48 名学生，在一节自习课上，写完语文作业的有 30 人，写完数学作业的有 20 人，语文 数学都没写完的有 6 人． ⑴ 问语文数学都写完的有多少源自文库？
⑵ 只写完语文作业的有多少人？
【考点】两量重叠问题 【难度】1 星 【题型】解答 【解析】⑴ 由题意，有 48 6 42 (人)至少完成了一科作业，根据包含排除原理，两科作业都完成的学生有：
【考点】两量重叠问题 【难度】1 星 【题型】解答 【解析】如图所示， A 圆表示参加语文兴趣小组的人， B 圆表示参加数学兴趣小组的人， A 与 B 重合的部分
C (阴影部分)表示同时参加两个小组的人．图中 A 圆不含阴影的部分表示只参加语文兴趣小组未参 加数学兴趣小组的人，有 28 12 16 (人)；图中 B 圆不含阴影的部分表示只参加数学兴趣小组未参 加语文兴趣小组的人，有 29 12 17 (人)． 方法一：由此得到参加语文或数学兴趣小组的有：16 12 17 45 (人)． 方法二：根据包含排除法，直接可得：
30 20 42 8 (人)． ⑵ 只写完语文作业的人数 写完语文作业的人数-语文数学都写完的人数，即 30 8 22 (人)．
【答案】 22 人
【巩固】四（1）班有 46 人，其中会弹钢琴的有 30 人，会拉小提琴的有 28 人，则这个班既会弹钢琴又会拉
小提琴的至少有
人。
【考点】两量重叠问题 【难度】1 星 【题型】填空
【答案】 42 人
【例 10】在 46 人参加的采摘活动中，只采了樱桃的有18 人，既采了樱桃又采了杏的有 7 人，既没采樱桃又 没采杏的有 6 人，问：只采了杏的有多少人？
【考点】两量重叠问题 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】如图，用长方形表示全体采摘人员 46 人， A 圆表示采了樱桃的人数， B 圆表示采了杏的人数．长方
1．先包含—— A B 重叠部分 A B 计算了 2 次，多加了1 次；
2．再排除—— A B A B 把多加了1次的重叠部分 A B 减去．
包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合 A、B 的并集 A B 的元素的个数，可分以下两步进行： 第一步：分别计算集合 A、B 的元素个数，然后加起来，即先求 A B (意思是把 A、B 的一切元素都“包含”进
【答案】16 人
【巩固】四年级一班有 45 人，其中 26 人参加了数学竞赛，22 人参加了作文比赛，12 人两项比赛都参加了．一
3
班有多少人两项比赛都没有参加？ 【考点】两量重叠问题 【难度】1 星 【题型】解答 【解析】由包含排除法可知，至少参加一项比赛的人数是： 26 22 12 36 (人)，所以，两项比赛都没有参
【答案】 23 人
【例 8】 某次英语考试由两部分组成，结果全班有12 人得满分，第一部分有 25 人做对，第二部分有19 人有 错，问两部分都有错的有多少人？
【考点】两量重叠问题 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】如图，用长方形表示参加考试的人数， A 圆表示第一部分对的人数． B 圆表示第二部分对的人数，
【答案】 21 人
【例 7】 全班 50 个学生，每人恰有三角板或直尺中的一种，28 人有直尺，有三角板的人中，男生是 14 人， 若已知全班共有女生 31 人，那么有直尺的女生有____人。
【考点】两量重叠问题 【难度】1 星 【题型】填空 【关键词】华杯赛，初赛，第 8 题 【解析】有三角板的学生共 50-28=22（人），其中女生 22-14=8（人），那么有直尺的女生有 31-8=23（人）。
形中阴影部分表示既没采樱桃又没采杏的人数． 由图中可以看出，全体人员是至少采了一种的人数与两种都没采的人数之和，则至少采了一种的人 数为： 46 6 40 (人)，而至少采了一种的人数 只采了樱桃的人数 两种都采了的人数 只采了杏 的人数，所以，只采了杏的人数为： 40 18 7 15 (人)．
【考点】两量重叠问题 【难度】1 星 【题型】填空 【关键词】希望杯，四年级，二试，第 3 题 【解析】阴影部分是两人都爱好的：数学、音乐 【答案】数学、音乐
【例 2】 四（1）班全体同学站成一排，当从左向右报数时，小华报：18；当从右向左报数时，小华报：13. 那么该班有学生______________名。
【考点】两量重叠问题 【难度】1 星 【题型】解答 【解析】已知全班总人数，从反面思考，找出参加美术或音乐小组的人数，只需用全班总人数减去这个人数，
就得到既没参加美术小组也没参加音乐小组的人数．根据包含排除法知，该班至少参加了一个小组 的总人数为12 23 5 30 (人)．所以，该班未参加美术或音乐小组的人数是 46 30 16 (人)．
图中小圆表示 A 的元素的个数，中圆表示 B 的元素的个数， 大圆表示 C 的元素的个数．
1．先包含： A B C 重叠部分 A B 、B C 、C A 重叠了 2 次，多加了1 次．
2．再排除： A B C A B B C A C 重叠部分 A B C 重叠了 3 次，但是在进行 A B C A B B C A C 计算时都被减掉了．
【关键词】希望杯，四年级，二试，第 6 题
【解析】至少一项不会的最多有(46-30)+(46-28)=34,那么两项都会的至少有 46-34=12 人
【答案】12 人
【例 4】 如图，圆 A 表示 1 到 50 这 50 个自然数中能被 3 整除的数，圆 B 表示这 50 个数中能被 5 整除的数，
用式子可表示成： A B A B A B (其中符号“ ”读作“并”，相当于中文“和”或者“或”的意思；符号“ ”
读作“交”，相当于中文“且”的意思．)则称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理．图示如下: A 表示小圆
部分， B 表示大圆部分， C 表示大圆与小圆的公共部分，记为： A B ，即阴影面积．图示如下: A 表示小圆 部分， B 表示大圆部分， C 表示大圆与小圆的公共部分，记为： A B ，即阴影面积．
来，加在一起)； 第二步：从上面的和中减去交集的元素个数，即减去 C A B (意思是“排除”了重复计算的元素个数)．
二、三量重叠问题
A 类、 B 类与 C 类元素个数的总和 A 类元素的个数 B 类元素个数 C 类元素个数 既是 A 类又是 B 类 的元素个数 既是 B 类又是 C 类的元素个数 既是 A 类又是 C 类的元素个数 同时是 A 类、 B 类、 C 类的元 素个数．用符号表示为： A B C A B C A B B C A C A B C ．图示如下：
则阴影部分表示的数是
。
【考点】两量重叠问题 【难度】1 星 【题型】填空 【关键词】希望杯，四年级，二试，第 4 题 【解析】阴影部分是 A 和 B 共有的，即 1 到 50 这 50 个自然数中能被 3×5＝15 整除的数，即 15，30，45 【答案】15 ， 30 ， 45
【例 5】 学校为了丰富学生的课余生活，组建了乒乓球俱乐部和篮球俱乐部，同学们踊跃报名参加，其中 有 321 人报名参加乒乓球俱乐部，429 人报名参加了篮球俱乐部，但学校最后发现有 50 人既报名 参加了乒乓球俱乐部，又报名参加了篮球俱乐部，还有 23 人什么俱乐部都没报名，问该学校共有 名学生．
加的人数为： 45 36 9 (人)．
【答案】 9 人
【巩固】 实验二校一个歌舞表演队里，能表演独唱的有 10 人，能表演跳舞的有 18 人，两种都能表演的有 7 人．这个表演队共有多少人能登台表演歌舞？
【考点】两量重叠问题 【难度】1 星 【题型】解答 【解析】根据包含排除法，这个表演队能登台表演歌舞的人数为：10 18 7 21 (人)．
7-7-1.容斥原理之重叠问题（一）
教学目标
1. 了解容斥原理二量重叠和三量重叠的内容； 2. 掌握容斥原理的在组合计数等各个方面的应用．
知识要点
一、两量重叠问题
在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算．求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把 两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数，
【答案】 6 人
【例 9】 对全班同学调查发现，会游泳的有 20 人，会打篮球的有 25 人．两项都会的有10 人，两项都不会的 有 9 人．这个班一共有多少人？
【考点】两量重叠问题 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】如图，用长方形表示全班人数， A 圆表示会游泳的人数， B 圆表示会打篮球的人数，长方形中阴影
4
【考点】两量重叠问题 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】如图， A 圆表示参加象棋比赛的人， B 圆表示参加军棋比赛的人， A 与 B 重合的部分表示同时参加
两项比赛的人．图中 A 圆不含阴影的部分表示只参加象棋比赛不参加军棋比赛的人，有 32 18 14 ( 人 ) ； 图 中 B 圆 不 含 阴 影 的 部 分 表 示 只 参 加 军 棋 比 赛 不 参 加 象 棋 比 赛 的 人 ， 有 28 18 10 (人)．由此得到参加棋类比赛的人有14 18 10 42 (人)． 或者根据包含排除法直接得： 32 28 18 42 (人)．
【考点】两量重叠问题 【难度】1 星 【题型】填空 【关键词】希望杯，四年级，二试，第 2 题 【解析】该班学生人数为：18 13 1 30 （名）。 【答案】 30 名 【例 3】 实验小学四年级二班，参加语文兴趣小组的有 28 人，参加数学兴趣小组的有 29 人，有12 人两个小
组都参加．这个班有多少人参加了语文或数学兴趣小组？
【考点】两量重叠问题 【难度】1 星 【题型】填空 【关键词】学而思杯，4 年级，第 5 题 【解析】 321 429 50 23 723 人 【答案】 723 人
【例 6】 某班共有 46 人，参加美术小组的有12 人，参加音乐小组的有 23 人，有 5 人两个小组都参加了．这 个班既没参加美术小组也没参加音乐小组的有多少人？
参加语文或数学兴趣小组的人 参加语文兴趣小组的人 参加数学兴趣小组的人 两个小 组都参加的人，即： 28 29 12 45 (人)． 【答案】 45 人 【巩固】 芳草地小学四年级有 58 人学钢琴， 43 人学画画，37 人既学钢琴又学画画，问只学钢琴和只学画画 的分别有多少人？
【考点】两量重叠问题 【难度】1 星 【题型】解答 【解析】解包含与排除题，画图是一种很直观、简捷的方法，可以帮助解决问题，画图时注意把不同的对象
部分表示两项都不会的人数． 由图中可以看出，全班人数 至少会一项的人数 两项都不会的人数，至少会一项的人数为： 20 25 10 35 (人)，全班人数为： 35 9 44 (人)．
【答案】 44 人
【巩固】某班组织象棋和军棋比赛，参加象棋比赛的有 32 人，参加军棋比赛的有 28 人，有18 人两项比赛都 参加了，这个班参加棋类比赛的共有多少人？
2
与不同的区域对应清楚．建议教师帮助学生画图分析，清楚的分析每一部分的含义．
如图， A 圆表示学画画的人， B 圆表示学钢琴的人， C 表示既学钢琴又学画画的人，图中 A 圆不含 阴影的部分表示只学画画的人，有： 43 37 6 (人)，图中 B 圆不含阴影的部分表示只学钢琴的人， 有： 58 37 21 (人)．
3．再包含： A B C A B B C A C A B C ． 在解答有关包含排除问题时，我们常常利用圆圈图(韦恩图)来帮助分析思考．
1
例题精讲
两量重叠问题
【例 1】 小明喜欢：踢足球、上网、游泳、音乐、语文、数学；小英喜欢：数学、英语、音乐、陶艺、跳 绳。用圆 A、圆 B 分别表示小明、小英的爱好，如图所示，则图中阴影部分表示________。
【答案】 21 人
【巩固】四(二)班有 48 名学生，在一节自习课上，写完语文作业的有 30 人，写完数学作业的有 20 人，语文 数学都没写完的有 6 人． ⑴ 问语文数学都写完的有多少源自文库？
⑵ 只写完语文作业的有多少人？
【考点】两量重叠问题 【难度】1 星 【题型】解答 【解析】⑴ 由题意，有 48 6 42 (人)至少完成了一科作业，根据包含排除原理，两科作业都完成的学生有：