小学思维数学讲义:容斥原理之重叠问题(二)-含答案解析

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(小学奥数)容斥原理之重叠问题(二)

(小学奥数)容斥原理之重叠问题(二)

1. 瞭解容斥原理二量重疊和三量重疊的內容;2. 掌握容斥原理的在組合計數等各個方面的應用.一、兩量重疊問題 在一些計數問題中,經常遇到有關集合元素個數的計算.求兩個集合並集的元素的個數,不能簡單地把兩個集合的元素個數相加,而要從兩個集合個數之和中減去重複計算的元素個數,即減去交集的元素個數,用式子可表示成:A B A B A B =+-(其中符號“”讀作“並”,相當於中文“和”或者“或”的意思;符號“”讀作“交”,相當於中文“且”的意思.)則稱這一公式為包含與排除原理,簡稱容斥原理.圖示如下:A 表示小圓部分,B 表示大圓部分,C 表示大圓與小圓的公共部分,記為:A B ,即陰影面積.圖示如下:A 表示小圓部分,B 表示大圓部分,C 表示大圓與小圓的公共部分,記為:A B ,即陰影面積.包含與排除原理告訴我們,要計算兩個集合A B 、的並集AB 的元素的個數,可分以下兩步進行:第一步:分別計算集合A B 、的元素個數,然後加起來,即先求A B +(意思是把A B 、的一切元素都“包含”進來,加在一起);第二步:從上面的和中減去交集的元素個數,即減去C AB =(意思是“排除”了重複計算的元素個數).二、三量重疊問題A 類、B 類與C 類元素個數的總和A =類元素的個數B +類元素個數C +類元素個數-既是A 類又是B 類的元素個數-既是B 類又是C 類的元素個數-既是A 類又是C 類的元素個數+同時是A 類、B 類、C 類的元素個數.用符號表示為:A B C A B C A B B C A C A B C =++---+.圖示如下:教學目標知識要點7-7-2.容斥原理之重疊問題(二)1.先包含——A B +重疊部分A B 計算了2次,多加了1次;2.再排除——A B A B +-把多加了1次的重疊部分A B 減去.在解答有關包含排除問題時,我們常常利用圓圈圖(韋恩圖)來幫助分析思考.模組一、三量重疊問題【例 1】 一棟居民樓裏的住戶每戶都訂了2份不同的報紙。

重叠问题(动画版含答案)

重叠问题(动画版含答案)

举一反三3
2.四(1)班订《数学报》的有33人,订《语文报》的有27 人,两份报纸都订的有16人,全班每人至少订一种报纸。 四(1)班有学生多少人?
法一:33+27-16=44(人) 法二:33+(27-16)=44(人) 法三:27+(33-16)=44(人)
经典例题4
某班有20个同学参加学校“庆六一”书法和绘画比赛。 其中参加书法比赛的有14人,两项比赛都参加的有9人, 问:参加绘画比赛的有多少人?
法一:72+86-128=30(人) 法二:86-(128-72)=30(人) 法三:72-(128-86)=30(人)
举一反三3
1.一次数学测试中,全班42人中,做对第一道聪明题的 有26人,做对第二道聪明题的有19人,每人至少做对一 题,问两道聪明题都做对的有几人?
法一:26+19-42=3(人) 法二:19-(42-26)=3(人) 法三:26-(42-19)=3(人)
法一: 80×2-140 =160-140 =20(厘米)
法二: 80-(140-80) =80-60 =20(厘米)
法三: 140÷2=70(厘米) (80-70)×2 =10×2 =20(厘米)
举一反三2
1.两块各长90厘米的木板,像下图这样钉成一块长木板, 中间重合部分是18厘米,这块钉成的长木板一共长多少 厘米?
法一: (120+16)÷2 =136÷2 =68(厘米)
法二:
法三:
(120-16)÷2 120÷2=60(厘米)
=104÷2
16÷2+60
=52(厘米)
=8+60
52+16=68(厘米) =68(厘米)
举一反三1
1.把两根同样长短的木棍钉在一起,钉成一根280厘米的

重叠问题详解

重叠问题详解

重叠问题详解【探究必备】日常生活或数学问题中,在把一些数据按照某个标准分类时,常常出现其中的一部分数据同时属于两种或两种以上不同的类别,这样在计算总数时就会出现重复计算的情况,这类问题就叫做重叠问题,解答重叠问题常用方法是:先不考虑重叠的情况,把有重复包含的几个计数部分加起来,再从它们的和中排除重复部分元素的个数,使得计算的结果既无遗漏又不重复。

这个原理叫做包含与排除原理,也叫容斥原理。

容斥原理包含以下两条基本计算公式:①容斥原理一,如果被计数的对象,被分为A、B两大类,则:被计数对象的总个数=A类元素个数+B类元素个数—同时属于A类和B类的元素个数。

②容斥原理二,如果被计数的对象,被分为A、B、C三大类,则:被计数对象的总个数=A类元素+B类元素个数+C类元素个数—同时属于A类和B类的元素个数—同时属于A类和C类的元素个数—同时属于B类和C类的元素个数+同时属于A、B、C三类的元素个数。

运用容斥原理解答重叠问题应用题的关键是,画出示意图,认真分析已知条件,找出哪些是重复的,重复了几次?题目要求的又是哪一部分?借助示意图进行思考,找到正确的解答方法。

【王牌题目】1、三(1)班有48人,其中订《少年报》的有32人,订《数学报》的有38人,有25人两份报都订,那么:(1)只订《少年报》而没有订《数学报》的有多少人?(2)只订《数学报》而没有订《少年报》的有多少人?(3)有多少人两种报都没订?【解析】:先画出订报情况示意图,如下图:用长方形的面积表示全班人数;字母A所在的椭圆表示订《少年报》的人数32人;字母B所在的椭圆表示订《数学报》的人数38人;字母C所在区域即两个椭圆的重叠部分表示同时订了两份报的人数25人;字母D所在的空白部分表示两种报都没有的订的人数。

(1)用订《少年报》的总人数A,减去重叠部分C,剩下来的就是只订《少年报》而没有订《数学报》的人数:32-25=7(人);(2)同理,(B-C)就是只订《数学报》而没有订《少年报》的人数:38-25=13(人);(3)先求出订报的总人数,即图中所有阴影部分表示的人数,再用班级总人数减去订报总人数,即是两种报都没订的人数D。

小学奥数教程:几何中的重叠问题_全国通用(含答案)

小学奥数教程:几何中的重叠问题_全国通用(含答案)

1. 了解容斥原理二量重叠和三量重叠的内容;2. 掌握容斥原理的在组合计数等各个方面的应用.一、两量重叠问题 在一些计数问题中,经常遇到有关集合元素个数的计算.求两个集合并集的元素的个数,不能简单地把两个集合的元素个数相加,而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数,即减去交集的元素个数,用式子可表示成:A B A B A B =+-(其中符号“”读作“并”,相当于中文“和”或者“或”的意思;符号“”读作“交”,相当于中文“且”的意思.)则称这一公式为包含与排除原理,简称容斥原理.图示如下:A 表示小圆部分,B 表示大圆部分,C 表示大圆与小圆的公共部分,记为:A B ,即阴影面积.图示如下:A 表示小圆部分,B 表示大圆部分,C 表示大圆与小圆的公共部分,记为:A B ,即阴影面积.包含与排除原理告诉我们,要计算两个集合A B 、的并集A B 的元素的个数,可分以下两步进行: 第一步:分别计算集合A B 、的元素个数,然后加起来,即先求A B +(意思是把A B 、的一切元素都“包含”进来,加在一起);第二步:从上面的和中减去交集的元素个数,即减去C A B =(意思是“排除”了重复计算的元素个数). 二、三量重叠问题A 类、B 类与C 类元素个数的总和A =类元素的个数B +类元素个数C +类元素个数-既是A 类又是B 类的元素个数-既是B 类又是C 类的元素个数-既是A 类又是C 类的元素个数+同时是A 类、B 类、C 类的元素个数.用符号表示为:A B C A B C A B B C A C A B C =++---+.图示如下:在解答有关包含排除问题时,我们常常利用圆圈图(韦恩图)来帮助分析思考.教学目标知识要点7-7-3.几何中的重叠问题1.先包含——A B + 重叠部分A B 计算了2次,多加了1次; 2.再排除——A B A B +- 把多加了1次的重叠部分A B 减去.图中小圆表示A 的元素的个数,中圆表示B 的元素的个数,大圆表示C 的元素的个数.1.先包含:A B C ++ 重叠部分A B 、B C 、C A 重叠了2次,多加了1次. 2.再排除:A B C A B B C A C ++--- 重叠部分A B C 重叠了3次,但是在进行A B C ++- A B B C A C --计算时都被减掉了. 3.再包含:A B C A B B C A C A B C ++---+.【例 1】 把长38厘米和53厘米的两根铁条焊接成一根铁条.已知焊接部分长4厘米,焊接后这根铁条有多长?【考点】几何中的重叠问题 【难度】1星 【题型】解答【解析】 因为焊接部分为两根铁条的重合部分,所以,由包含排除法知,焊接后这根铁条长3853487+-=(厘米).【答案】87厘米【巩固】 把长23厘米和37厘米的两根铁条焊接成一根铁条.已知焊接部分长3厘米,焊接后这根铁条有多长?【考点】几何中的重叠问题 【难度】1星 【题型】解答【解析】 焊接部分为两根铁条的重合部分,由包含排除法知,焊接后这根铁条长:2337357+-=(厘米).【答案】57厘米【例 2】 两张长4厘米,宽2厘米的长方形纸摆放成如图所示形状.把它放在桌面上,覆盖面积有多少平方厘米?【考点】几何中的重叠问题 【难度】1星 【题型】解答图32厘米4厘米【解析】 两个长方形如图摆放时出现了重叠(见图中的阴影部分),重叠部分恰好是边长为2厘米的正方形,如果利用两个42⨯的长方形面积之和来计算被覆盖桌面的面积,那么重叠部分在两个长方形面积中各被计算了一次,而实际上这部分只需计算一次就可以了.所以,被覆盖面积=长方形面积之和-重叠部分.于是,被覆盖面积4222212=⨯⨯-⨯=(平方厘米).【答案】12厘米【巩固】 如图3,一张长8厘米,宽6厘米,另一个正方形边长为6厘米,它们中间重叠的部分是一个边长为4厘米的正方形,求这个组合图形的面积.【考点】几何中的重叠问题 【难度】1星 【题型】解答图3468【解析】 两个图形如图摆放时出现了重叠(见图中的阴影部分),重叠部分恰好是边长为4厘米的正方形,如果利用长方形和正方形面积之和来计算被覆盖桌面的面积,那么重叠部分在长方形和正方形面积中各被计算了一次,而实际上这部分只需计算一次就可以了.所以,组合图形的面积=长方形面积+正方形面积-重叠部分.于是,组合图形的面积:86664468⨯+⨯-⨯=(平方厘米).【答案】68平方厘米【巩固】 一个长方形长12厘米,宽8厘米,另一个长方形长10厘米,宽6厘米,它们中间重叠的部分是一个边长4厘米的正方形,求这个组合图形的面积.【考点】几何中的重叠问题 【难度】1星 【题型】解答106412【解析】 两个长方形如图摆放时出现了重叠(见图中的阴影部分),重叠部分恰好是边长为4厘米的正方形,如例题精讲果利用两个长方形面积之和来计算被覆盖桌面的面积,那么重叠部分在两个长方形面积中各被计算了一次,而实际上这部分只需计算一次就可以了.所以,组合图形的面积=长方形面积之和-重叠部分.于是,组合图形的面积12810644140=⨯+⨯-⨯=(平方厘米).【答案】140平方厘米【例 3】 三个面积均为50平方厘米的圆纸片放在桌面上(如图),三个纸片共同重叠的面积是10平方厘米.三个纸片盖住桌面的总面积是100厘米.问:图中阴影部分面积之和是多少?【考点】几何中的重叠问题 【难度】2星 【题型】解答CBA10 【解析】 将图中的三个圆标上A 、B 、C .根据包含排除法,三个纸片盖住桌面的总面积=(A 圆面积B +圆面积C +圆面积-)(A 与B 重合部分面积A +与C 重合部分面积B +与C 重合部分面积+)三个纸片共同重叠的面积,得:100505050A =++-()(与B 重合部分面积A +与C 重合部分面积B +与C 重合部分面积10+),得到A 、B 、C 三个圆两两重合面积之和为:16010060-=平方厘米,而这个面积对应于圆上的那三个纸片共同重叠的面积的三倍与阴影部分面积的和,即:60103=⨯+阴影部分面积,则阴影部分面积为:603030-=(平方厘米).【答案】30平方厘米【巩固】 如图,已知甲、乙、丙3个圆的面积均为30,甲与乙、乙与丙、甲与丙重合部分的面积分别为6,8,5,而3个圆覆盖的总面积为73.求阴影部分的面积.【考点】几何中的重叠问题 【难度】2星 【题型】解答【解析】 设甲圆组成集合A ,乙圆组成集合B ,丙圆组成集合C . A B C ===30,A B =6,B C =8,A C =5,A B C =73,而A B C =A B C +--A B B C A C A B C --+.有73=30×3-6-8-5+AB C ,即A B C =2,即甲、乙、丙三者的公共面积(⑧部分面积)为2.那么只是甲与乙(④),乙与丙(⑥),甲与丙(⑤)的公共的面积依次为6-2=4,8-2=6,5-2=3,所以有阴影部分(①、②、③部分之和)的面积为73-4-6-3-2=58.【答案】58【例 4】 如图,三角形纸板、正方形纸板、圆形纸板的面积相等,都等于60平方厘米.阴影部分的面积总和是40平方厘米,3张板盖住的总面积是100平方厘米,3张纸板重叠部分的面积是多少平方厘米?【考点】几何中的重叠问题 【难度】3星【题型】解答【解析】 阴部分的面积60310040220=⨯--÷=()(平方厘米).【答案】20平方厘米【巩固】 如图所示,A 、B 、C 分别是面积为12、28、16的三张不同形状的纸片,它们重叠在一起,露在外面的总面积为38.若A 与B 、B 与C 的公共部分的面积分别为8、7,A 、B 、C 这三张纸片的公共部分为3.求A 与C 公共部分的面积是多少?【考点】几何中的重叠问题 【难度】3星 【题型】解答【解析】设A与C公共部分的面积为x,由包含与排除原理可得:⑴先“包含”:把图形A、B、C的面积相加:12281656++=,那么每两个图形的公共部分的面积都重复计算了1次,因此要排除掉.⑵再“排除”:5687x---,这样一来,三个图形的公共部分被全部减掉,因此还要再补回.⑶再“包含”:56873x---+,这就是三张纸片覆盖的面积.根据上面的分析得:5687338x=.x---+=,解得:6【答案】6。

专题09 重叠问题(解析)

专题09 重叠问题(解析)

2022-2023学年小学三年级思维拓展举一反三精编讲义专题09 重叠问题知识精讲专题简析:三(1)班准备给参加班级绘画比赛的16位同学和参加朗读比赛的12位同学每人发一份纪念品,当中队长玲玲将28份纪念品发下去时,却多出5份,这是怎么回事?对了,因为有5位同学既参加了绘画比赛,又参加了朗读比赛,所以奖品就多出了5份。

数学中,我们将这样的问题称为重叠问题。

解答重叠问题要用到数学中的一个重要原理——包含与排除原理,即当两个计数部分有重复包含时,为了不重复计数,应从它们的和中排除重复部分。

解答重叠问题的应用题,必须从条件入手进行认真的分析,有时还要画出图示,借助图形进行思考,找出哪些是重复的,重复了几次?明确求的是哪一部分,从而找出解答方法。

典例分析【典例分析01】六一儿童节,学校门口挂了一行彩旗。

小张从前数起,红旗是第8面;从后数起,红旗是第10面。

这行彩旗共多少面?【思路引导】根据题意,画出下图:8面10面面从图上可以看出,从前数起红旗是第8面,从后数起是第10面,这样红旗就数了两次,重复了一次,所以这行彩旗共有8+10-1=17面。

【典例分析02】同学们排队做操,每行人数同样多。

小明的位置从左数起是第4个,从右数起是第3个,从前数起是第5个,从后数起是第6个。

做操的同学共有多少个?【思路引导】根据题意,画出下图:由图可看出:小明的位置从左数第4个,右数第3个,说明横行有4+3-1=6个人;从前数第5个,从后数第6个,说明竖行有5+6-1=10人,所以做操的同学共有:6×10=60人。

【典例分析03】 把两块一样长的木板像下图这样钉在一起成了一块木板。

如果这块钉在一起的木板长120厘米,中间重叠部分是16厘米,这两块木板各长多少厘米?【思路引导】把等长的两块木板的一端钉起来,钉在一起的长度就是重叠部分,重叠的部分是16厘米,所以这两块木板的总长度是120+16=136厘米,每块木板的长度是136÷2=68厘米。

小学思维数学讲义:几何中的重叠问题-带详解

小学思维数学讲义:几何中的重叠问题-带详解

几何中的重叠问题1. 了解容斥原理二量重叠和三量重叠的内容;2. 掌握容斥原理的在组合计数等各个方面的应用.一、两量重叠问题在一些计数问题中,经常遇到有关集合元素个数的计算.求两个集合并集的元素的个数,不能简单地把两个集合的元素个数相加,而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数,即减去交集的元素个数,用式子可表示成:A B A B A B =+-(其中符号“”读作“并”,相当于中文“和”或者“或”的意思;符号“”读作“交”,相当于中文“且”的意思.)则称这一公式为包含与排除原理,简称容斥原理.图示如下:A 表示小圆部分,B 表示大圆部分,C 表示大圆与小圆的公共部分,记为:A B ,即阴影面积.图示如下:A 表示小圆部分,B 表示大圆部分,C 表示大圆与小圆的公共部分,记为:A B ,即阴影面积.包含与排除原理告诉我们,要计算两个集合A B 、的并集A B 的元素的个数,可分以下两步进行: 第一步:分别计算集合A B 、的元素个数,然后加起来,即先求A B +(意思是把A B 、的一切元素都“包含”进来,加在一起);第二步:从上面的和中减去交集的元素个数,即减去C A B =(意思是“排除”了重复计算的元素个数). 二、三量重叠问题A 类、B 类与C 类元素个数的总和A =类元素的个数B +类元素个数C +类元素个数-既是A 类又是B 类的元素个数-既是B 类又是C 类的元素个数-既是A 类又是C 类的元素个数+同时是A 类、B 类、C 类的元素个数.用符号表示为:A B C A B C A B B C A C A B C =++---+.图示如下:在解答有关包含排除问题时,我们常常利用圆圈图(韦恩图)来帮助分析思考.教学目标 知识要点 1.先包含——A B + 重叠部分A B 计算了2次,多加了1次; 2.再排除——A B A B +- 把多加了1次的重叠部分A B 减去.图中小圆表示A 的元素的个数,中圆表示B 的元素的个数,大圆表示C 的元素的个数.1.先包含:A B C ++ 重叠部分A B 、B C 、C A 重叠了2次,多加了1次. 2.再排除:A B C A B B C A C ++--- 重叠部分A B C 重叠了3次,但是在进行A B C ++- A B B C A C --计算时都被减掉了. 3.再包含:A B C A B B C A C A B C ++---+.【例 1】 把长38厘米和53厘米的两根铁条焊接成一根铁条.已知焊接部分长4厘米,焊接后这根铁条有多长?【考点】几何中的重叠问题 【难度】1星 【题型】解答【解析】 因为焊接部分为两根铁条的重合部分,所以,由包含排除法知,焊接后这根铁条长3853487+-=(厘米).【答案】87厘米【巩固】 把长23厘米和37厘米的两根铁条焊接成一根铁条.已知焊接部分长3厘米,焊接后这根铁条有多长?【考点】几何中的重叠问题 【难度】1星 【题型】解答【解析】 焊接部分为两根铁条的重合部分,由包含排除法知,焊接后这根铁条长:2337357+-=(厘米).【答案】57厘米【例 2】 两张长4厘米,宽2厘米的长方形纸摆放成如图所示形状.把它放在桌面上,覆盖面积有多少平方厘米?【考点】几何中的重叠问题 【难度】1星 【题型】解答图32厘米4厘米【解析】 两个长方形如图摆放时出现了重叠(见图中的阴影部分),重叠部分恰好是边长为2厘米的正方形,如果利用两个42⨯的长方形面积之和来计算被覆盖桌面的面积,那么重叠部分在两个长方形面积中各被计算了一次,而实际上这部分只需计算一次就可以了.所以,被覆盖面积=长方形面积之和-重叠部分.于是,被覆盖面积4222212=⨯⨯-⨯=(平方厘米).【答案】12厘米【巩固】 如图3,一张长8厘米,宽6厘米,另一个正方形边长为6厘米,它们中间重叠的部分是一个边长为4厘米的正方形,求这个组合图形的面积.【考点】几何中的重叠问题 【难度】1星 【题型】解答图3 【解析】 两个图形如图摆放时出现了重叠(见图中的阴影部分),重叠部分恰好是边长为4厘米的正方形,如果利用长方形和正方形面积之和来计算被覆盖桌面的面积,那么重叠部分在长方形和正方形面积中各被计算了一次,而实际上这部分只需计算一次就可以了.所以,组合图形的面积=长方形面积+正方形面积-重叠部分.于是,组合图形的面积:86664468⨯+⨯-⨯=(平方厘米).【答案】68平方厘米【巩固】 一个长方形长12厘米,宽8厘米,另一个长方形长10厘米,宽6厘米,它们中间重叠的部分是一个边长4厘米的正方形,求这个组合图形的面积.【考点】几何中的重叠问题 【难度】1星 【题型】解答例题精讲12【解析】 两个长方形如图摆放时出现了重叠(见图中的阴影部分),重叠部分恰好是边长为4厘米的正方形,如果利用两个长方形面积之和来计算被覆盖桌面的面积,那么重叠部分在两个长方形面积中各被计算了一次,而实际上这部分只需计算一次就可以了.所以,组合图形的面积=长方形面积之和-重叠部分.于是,组合图形的面积12810644140=⨯+⨯-⨯=(平方厘米).【答案】140平方厘米【例 3】 三个面积均为50平方厘米的圆纸片放在桌面上(如图),三个纸片共同重叠的面积是10平方厘米.三个纸片盖住桌面的总面积是100厘米.问:图中阴影部分面积之和是多少?【考点】几何中的重叠问题 【难度】2星 【题型】解答CBA10 【解析】 将图中的三个圆标上A 、B 、C .根据包含排除法,三个纸片盖住桌面的总面积=(A 圆面积B +圆面积C +圆面积-)(A 与B 重合部分面积A +与C 重合部分面积B +与C 重合部分面积+)三个纸片共同重叠的面积,得:100505050A =++-()(与B 重合部分面积A +与C 重合部分面积B +与C 重合部分面积10+),得到A 、B 、C 三个圆两两重合面积之和为:16010060-=平方厘米,而这个面积对应于圆上的那三个纸片共同重叠的面积的三倍与阴影部分面积的和,即:60103=⨯+阴影部分面积,则阴影部分面积为:603030-=(平方厘米).【答案】30平方厘米【巩固】 如图,已知甲、乙、丙3个圆的面积均为30,甲与乙、乙与丙、甲与丙重合部分的面积分别为6,8,5,而3个圆覆盖的总面积为73.求阴影部分的面积.【考点】几何中的重叠问题 【难度】2星 【题型】解答【解析】 设甲圆组成集合A ,乙圆组成集合B ,丙圆组成集合C . A B C ===30,A B =6,B C =8,A C =5,A B C =73,而A B C =A B C +--A B B C A C A B C --+.有73=30×3-6-8-5+AB C ,即A B C =2,即甲、乙、丙三者的公共面积(⑧部分面积)为2.那么只是甲与乙(④),乙与丙(⑥),甲与丙(⑤)的公共的面积依次为6-2=4,8-2=6,5-2=3,所以有阴影部分(①、②、③部分之和)的面积为73-4-6-3-2=58.【答案】58【例 4】 如图,三角形纸板、正方形纸板、圆形纸板的面积相等,都等于60平方厘米.阴影部分的面积总和是40平方厘米,3张板盖住的总面积是100平方厘米,3张纸板重叠部分的面积是多少平方厘米?【考点】几何中的重叠问题 【难度】3星【题型】解答【解析】 阴部分的面积60310040220=⨯--÷=()(平方厘米).【答案】20平方厘米【巩固】如图所示,A、B、C分别是面积为12、28、16的三张不同形状的纸片,它们重叠在一起,露在外面的总面积为38.若A与B、B与C的公共部分的面积分别为8、7,A、B、C这三张纸片的公共部分为3.求A与C公共部分的面积是多少?【考点】几何中的重叠问题【难度】3星【题型】解答【解析】设A与C公共部分的面积为x,由包含与排除原理可得:⑴先“包含”:把图形A、B、C的面积相加:12281656++=,那么每两个图形的公共部分的面积都重复计算了1次,因此要排除掉.⑵再“排除”:5687x---,这样一来,三个图形的公共部分被全部减掉,因此还要再补回.⑶再“包含”:56873---+,这就是三张纸片覆盖的面积.x根据上面的分析得:5687338x=.x---+=,解得:6【答案】6。

第3讲 重叠问题初步(解析)

第3讲 重叠问题初步(解析)

TG(2)第三讲重叠问题知识要点:重叠问题是数学上非常常见的一类数学问题,它要用到数学中的一个非常重要的原理:容斥原理,即当两个(或多个)计数部分有重复包含时,为了不重复计数,应从他们的和中排除重复部分。

解决重叠问题时,必须从条件入手进行认真的分析,有时还要画图(韦恩图),借助图形进行思考,找出哪些是重叠的和重叠的次数,明确求的是哪一部分,从而找出解答方法。

当两个计数部分重叠时,可从它们的单项和中减去重叠的部分,得出总数。

1、学校组织看文艺演出,冬冬的座位从左数起是第 12 个,从右数起是第 21 个。

这一行座位有多少个?答案:32 个。

解析:由于从左向右数与从右向左数,冬冬被算了两次,去掉一次即可。

12+21-1=32 个。

练1、学校组织二年级(4)班同学去听报告,小虎的座位从左向右数是第 18 个,从右向左数是第 13 个。

请问这一排座位共有多少个?答案:30 个。

解析:由于从左向右数与从右向左数,小虎被算了两次,去掉一次即可。

故这一排座位共有18+13-1=30(个)。

2、洗好的 8 块手帕用夹子夹在绳子上晾干,每一块手帕的两边必须用夹子夹住,同1个夹子夹住相邻的两块手帕的两边,这样一共要多少个夹子?答案:9 个。

解析1块手帕要用2个夹子;2 块手帕有1个重叠,用3个夹子;3 块手帕有2个重叠,用4个夹子……8 块手帕有7个重叠,每个重叠的边需要1个夹子,两头不重叠的边各要1个夹子。

因此需要的夹子数为7+2=9 个。

总结本题规律:把手帕挂在绳子上晾干,需要的夹子数比手帕数多一个。

练2、把10 块木条用铁钉钉成一条长木条,每两块之间加钉4个,如下图,共需钉上多少个钉?答案:36 个。

解析:10 块木块用铁钉钉成一条长木条,中间重叠部分有9段,一个重叠处需要4个铁钉,那么一共需要9×4=36 个铁钉。

3、小朋友围成一个三角形做游戏,每边3人,三个角各有1人,一共有多少个小朋友?答案:6。

小学奥数教程:几何中的重叠问题_全国通用(含答案)

小学奥数教程:几何中的重叠问题_全国通用(含答案)

小学奥数教程:几何中的重叠问题_全国通用(含答案)1. 了解容斥原理二量重叠和三量重叠的内容;2. 掌握容斥原理的在组合计数等各个方面的应用.一、两量重叠问题在一些计数问题中,经常遇到有关集合元素个数的计算.求两个集合并集的元素的个数,不能简单地把两个集合的元素个数相加,而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数,即减去交集的元素个数,用式子可表示成:A B A B A B =+-(其中符号“”读作“并”,相当于中文“和”或者“或”的意思;符号“”读作“交”,相当于中文“且”的意思.)则称这一公式为包含与排除原理,简称容斥原理.图示如下:A 表示小圆部分,B 表示大圆部分,C 表示大圆与小圆的公共部分,记为:A B ,即阴影面积.图示如下:A 表示小圆部分,B 表示大圆部分,C 表示大圆与小圆的公共部分,记为:A B ,即阴影面积.包含与排除原理告诉我们,要计算两个集合A B 、的并集A B 的元素的个数,可分以下两步进行:第一步:分别计算集合A B 、的元素个数,然后加起来,即先求A B +(意思是把A B 、的一切元素都“包含”进来,加在一起);第二步:从上面的和中减去交集的元素个数,即减去C A B =(意思是“排除”了重复计算的元素个数).二、三量重叠问题A 类、B 类与C 类元素个数的总和A =类元素的个数B +类元素个数C +类元素个数-既是A 类又是B 类的元素个数-既是B 类又是C 类的元素个数-既是A 类又是C 类的元素个数+同时是A 类、B 类、C 类的元素个数.用符号表示为:A B C A B C A B B C A C A B C =++---+.图示如下:在解答有关包含排除问题时,我们常常利用圆圈图(韦恩图)来帮助分析思考.教学目标知识要点7-7-3.几何中的重叠问题1.先包含——A B + 重叠部分A B 计算了2次,多加了1次;2.再排除——A B A B +- 把多加了1次的重叠部分A B 减去.图中小圆表示A 的元素的个数,中圆表示B 的元素的个数,大圆表示C 的元素的个数.1.先包含:A B C ++ 重叠部分A B 、B C 、C A 重叠了2次,多加了1次. 2.再排除:A B C A B B C A C ++--- 重叠部分A B C 重叠了3次,但是在进行A B C ++- A B B C A C --计算时都被减掉了. 3.再包含:A B C A B B C A C A B C ++---+.【例 1】把长38厘米和53厘米的两根铁条焊接成一根铁条.已知焊接部分长4厘米,焊接后这根铁条有多长?【考点】几何中的重叠问题【难度】1星【题型】解答【解析】因为焊接部分为两根铁条的重合部分,所以,由包含排除法知,焊接后这根铁条长3853487+-=(厘米).【答案】87厘米【巩固】把长23厘米和37厘米的两根铁条焊接成一根铁条.已知焊接部分长3厘米,焊接后这根铁条有多长?【考点】几何中的重叠问题【难度】1星【题型】解答【解析】焊接部分为两根铁条的重合部分,由包含排除法知,焊接后这根铁条长:2337357+-=(厘米).【答案】57厘米【例2】两张长4厘米,宽2厘米的长方形纸摆放成如图所示形状.把它放在桌面上,覆盖面积有多少平方厘米?【考点】几何中的重叠问题【难度】1星【题型】解答图32厘米4厘米【解析】两个长方形如图摆放时出现了重叠(见图中的阴影部分),重叠部分恰好是边长为2厘米的正方形,如果利用两个42?的长方形面积之和来计算被覆盖桌面的面积,那么重叠部分在两个长方形面积中各被计算了一次,而实际上这部分只需计算一次就可以了.所以,被覆盖面积=长方形面积之和-重叠部分.于是,被覆盖面积4222212=??-?=(平方厘米).【答案】12厘米【巩固】如图3,一张长8厘米,宽6厘米,另一个正方形边长为6厘米,它们中间重叠的部分是一个边长为4厘米的正方形,求这个组合图形的面积.【考点】几何中的重叠问题【难度】1星【题型】解答图3 【解析】两个图形如图摆放时出现了重叠(见图中的阴影部分),重叠部分恰好是边长为4厘米的正方形,如果利用长方形和正方形面积之和来计算被覆盖桌面的面积,那么重叠部分在长方形和正方形面积中各被计算了一次,而实际上这部分只需计算一次就可以了.所以,组合图形的面积=长方形面积+正方形面积-重叠部分.于是,组合图形的面积:86664468?+?-?=(平方厘米).【答案】68平方厘米【巩固】一个长方形长12厘米,宽8厘米,另一个长方形长10厘米,宽6厘米,它们中间重叠的部分是一个边长4厘米的正方形,求这个组合图形的面积.【考点】几何中的重叠问题【难度】1星【题型】解答【解析】两个长方形如图摆放时出现了重叠(见图中的阴影部分),重叠部分恰好是边长为4厘米的正方形,如例题精讲果利用两个长方形面积之和来计算被覆盖桌面的面积,那么重叠部分在两个长方形面积中各被计算了一次,而实际上这部分只需计算一次就可以了.所以,组合图形的面积=长方形面积之和-重叠部分.于是,组合图形的面积12810644140=?+?-?=(平方厘米).【答案】140平方厘米【例 3】三个面积均为50平方厘米的圆纸片放在桌面上(如图),三个纸片共同重叠的面积是10平方厘米.三个纸片盖住桌面的总面积是100厘米.问:图中阴影部分面积之和是多少?【考点】几何中的重叠问题【难度】2星【题型】解答CBA10 【解析】将图中的三个圆标上A 、B 、C .根据包含排除法,三个纸片盖住桌面的总面积=(A 圆面积B +圆面积C +圆面积-)(A 与B 重合部分面积A +与C 重合部分面积B +与C 重合部分面积+)三个纸片共同重叠的面积,得:100505050A =++-()(与B 重合部分面积A +与C 重合部分面积B +与C 重合部分面积10+),得到A 、B 、C 三个圆两两重合面积之和为:16010060-=平方厘米,而这个面积对应于圆上的那三个纸片共同重叠的面积的三倍与阴影部分面积的和,即:60103=?+阴影部分面积,则阴影部分面积为:603030-=(平方厘米).【答案】30平方厘米【巩固】如图,已知甲、乙、丙3个圆的面积均为30,甲与乙、乙与丙、甲与丙重合部分的面积分别为6,8,5,而3个圆覆盖的总面积为73.求阴影部分的面积.【考点】几何中的重叠问题【难度】2星【题型】解答【解析】设甲圆组成集合A ,乙圆组成集合B ,丙圆组成集合C . A B C ===30,A B =6,B C =8,A C =5,A B C =73,而A B C =A B C +--A B B C A C A B C --+.有73=30×3-6-8-5+AB C ,即A B C =2,即甲、乙、丙三者的公共面积(⑧部分面积)为2.那么只是甲与乙(④),乙与丙(⑥),甲与丙(⑤)的公共的面积依次为6-2=4,8-2=6,5-2=3,所以有阴影部分(①、②、③部分之和)的面积为73-4-6-3-2=58.【答案】58【例4】如图,三角形纸板、正方形纸板、圆形纸板的面积相等,都等于60平方厘米.阴影部分的面积总和是40平方厘米,3张板盖住的总面积是100平方厘米,3张纸板重叠部分的面积是多少平方厘米?【考点】几何中的重叠问题【难度】3星【题型】解答【解析】阴部分的面积60310040220=?--÷=()(平方厘米).【答案】20平方厘米【巩固】如图所示,A 、B 、C 分别是面积为12、28、16的三张不同形状的纸片,它们重叠在一起,露在外面的总面积为38.若A 与B 、B 与C 的公共部分的面积分别为8、7,A 、B 、C 这三张纸片的公共部分为3.求A 与C 公共部分的面积是多少?【考点】几何中的重叠问题【难度】3星【题型】解答【解析】设A与C公共部分的面积为x,由包含与排除原理可得:⑴先“包含”:把图形A、B、C的面积相加:12281656++=,那么每两个图形的公共部分的面积都重复计算了1次,因此要排除掉.⑵再“排除”:5687x---,这样一来,三个图形的公共部分被全部减掉,因此还要再补回.⑶再“包含”:56873x---+,这就是三张纸片覆盖的面积.根据上面的分析得:5687338x=.x---+=,解得:6【答案】6。

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容斥原理之重叠问题(二)1. 了解容斥原理二量重叠和三量重叠的内容;2. 掌握容斥原理的在组合计数等各个方面的应用.一、两量重叠问题在一些计数问题中,经常遇到有关集合元素个数的计算.求两个集合并集的元素的个数,不能简单地把两个集合的元素个数相加,而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数,即减去交集的元素个数,用式子可表示成:A B A B A B =+-(其中符号“”读作“并”,相当于中文“和”或者“或”的意思;符号“”读作“交”,相当于中文“且”的意思.)则称这一公式为包含与排除原理,简称容斥原理.图示如下:A 表示小圆部分,B 表示大圆部分,C 表示大圆与小圆的公共部分,记为:A B ,即阴影面积.图示如下:A 表示小圆部分,B 表示大圆部分,C 表示大圆与小圆的公共部分,记为:A B ,即阴影面积.包含与排除原理告诉我们,要计算两个集合A B 、的并集A B 的元素的个数,可分以下两步进行: 第一步:分别计算集合A B 、的元素个数,然后加起来,即先求A B +(意思是把A B 、的一切元素都“包含”进来,加在一起);第二步:从上面的和中减去交集的元素个数,即减去C A B =(意思是“排除”了重复计算的元素个数).二、三量重叠问题A 类、B 类与C 类元素个数的总和A =类元素的个数B +类元素个数C +类元素个数-既是A 类又是B 类的元素个数-既是B 类又是C 类的元素个数-既是A 类又是C 类的元素个数+同时是A 类、B 类、C 类的元素个数.用符号表示为:A B C A B C A B B C A C A B C =++---+.图示如下:在解答有关包含排除问题时,我们常常利用圆圈图(韦恩图)来帮助分析思考.教学目标 例题精讲知识要点 1.先包含——A B + 重叠部分A B 计算了2次,多加了1次; 2.再排除——A B A B +- 把多加了1次的重叠部分A B 减去. 图中小圆表示A 的元素的个数,中圆表示B 的元素的个数,大圆表示C 的元素的个数.1.先包含:A B C ++ 重叠部分A B 、B C 、C A 重叠了2次,多加了1次. 2.再排除:A B C A B B C A C ++--- 重叠部分A B C 重叠了3次,但是在进行A B C ++- A B B C A C --计算时都被减掉了. 3.再包含:A B C A B B C A C A B C ++---+.模块一、三量重叠问题【例1】一栋居民楼里的住户每户都订了2份不同的报纸。

如果该居民楼的住户只订了甲、乙、丙三种报纸,其中甲报30份,乙报34份,丙报40份,那么既订乙报又订丙报的有___________户。

【考点】三量重叠问题【难度】3星【题型】填空【关键词】希望杯,4年级,1试【解析】总共有(30+34+40)÷2=52户居民,订丙和乙的有52-30=22户。

【答案】22户【例2】某班学生手中分别拿红、黄、蓝三种颜色的小旗,已知手中有红旗的共有34人,手中有黄旗的共有26人,手中有蓝旗的共有18人.其中手中有红、黄、蓝三种小旗的有6人.而手中只有红、黄两种小旗的有9人,手中只有黄、蓝两种小旗的有4人,手中只有红、蓝两种小旗的有3人,那么这个班共有多少人?【考点】三量重叠问题【难度】3星【题型】解答C BA【解析】如图,用A圆表示手中有红旗的,B圆表示手中有黄旗的,C圆表示手中有蓝旗的.如果用手中有红旗的、有黄旗的与有蓝旗的相加,发现手中只有红、黄两种小旗的各重复计算了一次,应减去,手中有三种颜色小旗的重复计算了二次,也应减去,那么,全班人数为:342618943++-++-()()6250⨯=(人).【答案】50人【巩固】某班有42人,其中26人爱打篮球,17人爱打排球,19人爱踢足球,9人既爱打篮球又爱踢足球,4人既爱打排球又爱踢足球,没有一个人三种球都爱好,也没有一个人三种球都不爱好.问:既爱打篮球又爱打排球的有几人?【考点】三量重叠问题【难度】3星【题型】解答【解析】由于全班42人没有一个人三种球都不爱好,所以全班至少爱好一种球的有42人.根据包含排除法,4226171994=++-++()(既爱打篮球又爱打排球的人数0+),得到既爱打篮球又爱打排球的人数为:49427-=(人).【答案】7人【例3】四年级一班有46名学生参加3项课外活动.其中有24人参加了数学小组,20人参加了语文小组,参加文艺小组的人数是既参加数学小组也参加文艺小组人数的3.5倍,又是3项活动都参加人数的7倍,既参加文艺小组也参加语文小组的人数相当于3项都参加的人数的2倍,既参加数学小组又参加语文小组的有10人.求参加文艺小组的人数.【考点】三量重叠问题【难度】3星【题型】解答【解析】设参加数学小组的学生组成集合A,参加语文小组的学生组成集合B ,参加文艺小组的学生组成集合G.三者都参加的学生有z人.有A B C =46,A=24,B=20,C=3.5,A C=7A B C,B C=2A B C,A B=10.因为A B C A B C A B A C B C A B C=++---+,所以46=24+20+7x-10-2x-2x+x,解得x=3,即三者的都参加的有3人.那么参加文艺小组的有3⨯7=21人.【答案】21人【巩固】五年级三班学生参加课外兴趣小组,每人至少参加一项.其中有25人参加自然兴趣小组,35人参加美术兴趣小组,27人参加语文兴趣小组,参加语文同时又参加美术兴趣小组的有12人,参加自然同时又参加美术兴趣小组的有8人,参加自然同时又参加语文兴趣小组的有9人,语文、美术、自然3科兴趣小组都参加的有4人.求这个班的学生人数.【考点】三量重叠问题 【难度】3星 【题型】解答C 语文B 美术A 自然 【解析】 设参加自然兴趣小组的人组成集合A ,参加美术兴趣小组的人组成集合日,参加语文兴趣小组的人组成集合C .A =25,B =35,C =27,B C =12,A B =8,A C =9, A B C =4.A B C =A B C A B A C B C A B C ++---+.所以,这个班中至少参加一项活动的人有25+35+27-12-8-9+4=62,而这个班每人至少参加一项.即这个班有62人.【答案】62人【巩固】 光明小学组织棋类比赛,分成围棋、中国象棋和国际象棋三个组进行,参加围棋比赛的有42人,参加中国象棋比赛的有55人,参加国际象棋比赛的有33人,同时参加了围棋和中国象棋比赛的有18人,同时参加了围棋和国际象棋比赛的有10人,同时参加了中国象棋和国际象棋比赛的有9人,其中三种棋赛都参加的有5人,问参加棋类比赛的共有多少人?【考点】三量重叠问题 【难度】3星 【题型】解答【解析】 根据包含排除法,先把参加围棋比赛的42人,参加中国象棋比赛的55人与参加国际象棋比赛的33人加起来,共是425533130++=人.把重复加一遍同时参加围棋和中国象棋的18人,同时参加围棋和国际象棋的10人与同时参加中国象棋和国际象棋的9人减去,但是,同时参加了三种棋赛的5人被加了3次,又被减了3次,其实并未计算在内,应当补上,实际上参加棋类比赛的共有:130********-+++=()(人).或者根据学过的公式:A B C A B C A B B C A C A B C =++---+,参加棋类比赛的总人数为:42553318109598++---+=(人).【答案】98人【例 4】 新年联欢会上,共有90人参加了跳舞、合唱、演奏三种节目的演出.如果只参加跳舞的人数三倍于只参加合唱的人数;同时参加三种节目的人比只参加合唱的人少7人;只参加演奏的比同时参加演奏、跳舞但没有参加合唱的人多4人;50人没有参加演奏;10人同时参加了跳舞和合唱但没有参加演奏;40人参加了合唱;那么,同时参加了演奏、合唱但没有参加跳舞的有________人.【考点】三量重叠问题 【难度】3星 【题型】填空【关键词】西城实验【解析】 设只参加合唱的有x 人,那么只参加跳舞的人数为3x ,由50人没有参加演奏、10人同时参加了跳舞和合唱但没有参加演奏,得到只参加合唱的和只参加跳舞的人数和为501040-=人,即340x x +=,得10x =,所以只参加合唱的有10人,那么只参加跳舞的人数为30人,又由“同时参加三种节目的人比只参加合唱的人少7人”,得到同时参加三项的有3人,所以参加了合唱的人中“同时参加了演奏、合唱但没有参加跳舞的”有:401010317---=人.【答案】17人【巩固】 六年级100名同学,每人至少爱好体育、文艺和科学三项中的一项.其中,爱好体育的55人,爱好文艺的56人,爱好科学的51人,三项都爱好的15人,只爱好体育和科学的4人,只爱好体育和文艺的17人.问:有多少人只爱好科学和文艺两项?只爱好体育的有多少人?【考点】三量重叠问题 【难度】3星 【题型】解答【解析】 只是A 类和B 类的元素个数,有别于容斥原理Ⅱ中的既是A 类又是B 类的元数个数.依题意,画图如下.设只爱好科学和文艺两项的有x 人.由容斥原理,列方程得55565117154151515100x ++-+-+-++=()()()即 555651174152x ++----⨯= 111100x -=11x = 只爱好体育的有:551715419---=(人).【答案】11人只爱好科学和文艺,19人只爱好体育。

【例5】在某个风和日丽的日子,10个同学相约去野餐,每个人都带了吃的,其中6个人带了汉堡,6个人带了鸡腿,4个人带了芝士蛋糕,有3个人既带了汉堡又带了鸡腿,1个人既带了鸡腿又带了芝士蛋糕.2个人既带了汉堡又带了芝土蛋糕.问:⑴三种都带了的有几人?⑵只带了一种的有几个?【考点】三量重叠问题【难度】4星【题型】解答ABC【解析】如图,用A圆表示带汉堡的人,B圆表示带鸡腿的人,C圆表示带芝士蛋糕的人.⑴根据包含排除法,总人数=(带汉堡的人数+带鸡腿的人数+带芝士蛋糕的人数-)(带汉堡、鸡腿的人数+带汉堡、芝士蛋糕的人数+带鸡腿、芝士蛋糕的人数+)三种都带了的人数,即-=(人).()()三种都带了的人数,得三种都带了的人数为:10100 10664321-++-+++⑵求只带一种的人数,只需从10人中减去带了两种的人数,即103214()(人).只带了一种-++=的有4人.【答案】(1)0人,(2)4人【巩固】盛夏的一天,有10个同学去冷饮店,向服务员交了一份需要冷饮的统计表:要可乐、雪碧、橙汁的各有5人;可乐、雪碧都要的有3人;可乐、橙汁都要的有2人;雪碧、橙汁都要的有2人;三样都要的只有1人,证明其中一定有1人这三种饮料都没有要.【考点】三量重叠问题【难度】4星【题型】解答【解析】略【答案】根据根据包含排除法,至少要了一种饮料的人数=(要可乐的人数+要雪碧的人数+要橙汁的人数)-(要可乐、雪碧的人数+要可乐、橙汁的人数+要雪碧、橙汁的人数)+三种都要的人数,即至少要了一种饮料的人数为:55532219-=(人),所以其中有1人这三种()()(人).1091++-+++=饮料都没有要.【例6】全班有25个学生,其中17人会骑自行车,13人会游泳,8人会滑冰,这三个运动项目没有人全会,至少会这三项运动之一的学生数学成绩都及格了,但又都不是优秀.若全班有6个人数学不及格,那么,⑴数学成绩优秀的有几个学生?⑵有几个人既会游泳,又会滑冰?【考点】三量重叠问题【难度】4星【题型】解答【解析】⑴有6个数学不及格,那么及格的有:25619-=(人),即最多不会超过19人会这三项运动之一.而又因为没人全会这三项运动,那么,最少也会有:17138219++÷=()(人)至少会这三项运动之一.于是,至少会三项运动之一的只能是19人,而这19人又不是优秀,说明全班25人中除了19人外,剩下的6名不及格,所以没有数学成绩优秀的.⑵上面分析可知,及格的19人中,每人都会两项运动:会骑车的一定有一部分会游泳,一部分会滑冰;会游泳的人中若不会骑车就一定会滑冰,而会滑冰的人中若不会骑车就一定会游泳,但既会游泳又会滑冰的人一定不会骑自行车.所以,全班有19172-=(人)既会游泳又会滑冰.【答案】(1)0人,(2)2人【巩固】五年级一班共有36人,每人参加一个兴趣小组,共有A、B、C、D、E五个小组,若参加A组的有15人,参加B组的人数仅次于A组,参加C组、D组的人数相同,参加E组的人数最少,只有4人.那么,参加B组的有_______人.【考点】三量重叠问题【难度】4星【题型】填空【解析】参加B,C,D三组的总人数是3615417--=(人),C,D每组至少5人,当C,D每组6人时,--=(人).B组为5人,不符合题意,所以参加B组的有17557【答案】7人【例7】五一班有28位同学,每人至少参加数学、语文、自然课外小组中的一个.其中仅参加数学与语文小组的人数等于仅参加数学小组的人数,没有同学仅参加语文或仅参加自然小组,恰有6个同学参加数学与自然小组但不参加语文小组,仅参加语文与自然小组的人数是3个小组全参加的人数的5倍,并且知道3个小组全参加的人数是一个不为0的偶数,那么仅参加数学和语文小组的人有多少人?【考点】三量重叠问题 【难度】4星 【题型】解答【解析】 参加3个小组的人数是一个不为0的偶数,如果该数大于或等于4,那么仅参加语文与自然小组的人数则大于等于20,而仅参加数学与自然小组的人有6个,这样至少应有30人,与题意矛盾,所以参加3个小组的人数为2.仅参加语文与自然小组的人数为10,于是仅参加语文与自然、仅参加数学与自然和参加3个小组的人数一共是18人,剩下的10人是仅参加数学与语文以及仅参加数学的.由于这两个人数相等,所以仅参加数学和语文小组的有5人.【答案】5人【例 8】 在一个自助果园里,只摘山莓者两倍于只摘李子者;摘了草莓、山莓和李子的人数比只摘李子的人数多3个;只摘草莓者比摘了山莓和草莓但没有摘李子者多4人;50个人没有摘草莓;11个人摘了山莓和李子但没有摘草莓;总共有60人摘了李子.如果参与采摘水果的总人数是100,你能回答下列问题吗?① 有 人摘了山莓;② 有 人同时摘了三种水果;③ 有 人只摘了山莓;④ 有 人摘了李子和草莓,而没有摘山莓;⑤ 有 人只摘了草莓.草莓李子山莓GF EDC B A【考点】三量重叠问题 【难度】3星 【题型】填空【解析】 如图,根据题意有2A C =3G C -=4B E -=50A D C ++=11D =60C D F G +++=40A B E ++=代入求解:26A =,9B =,13C =,11D =,5E =,20F =,16G =所以①有261151658A D E G +++=+++=(人)摘了山莓;②有16人同时摘了三种水果;③有26人只摘了山莓;④有20人摘了李子和草莓,而没有摘山莓;⑤有9人只摘了草莓.【答案】①有58(人)摘了山莓;②有16人同时摘了三种水果;③有26人只摘了山莓;④有20人摘了李子和草莓,而没有摘山莓;⑤有9人只摘了草莓.【例 9】 某学校派出若干名学生参加体育竞技比赛,比赛一共只有三个项目,已知参加长跑、跳高、标枪三个项目的人数分别为10、15、20人,长跑、跳高、标枪每一项的的参加选手中人中都有五分之一的人还参加了别的比赛项目,求这所学校一共派出多少人参加比赛?科学51人文艺56人17154体育55人x【考点】三量重叠问题 【难度】4星 【题型】解答【解析】 由条件可知,参加长跑的人中有2人参加其它项目,参加跳高的人中有3人参加其它项目,参加标枪的人中有4人还参加别的项目,假设只参加长跑和跳高的人数为x ,只参加长跑和标枪的人数为y ,只参加标枪和跳高的有z 人,三项都参加的有n 人.那么有以下方程组:由条件可知,参加长跑的人中有2人参加其它项目,参加跳高的人中有3人参加其它项目,参加标枪的人中有4人还参加别的项目,假设只参加长跑和跳高的人数为x ,只参加长跑和标枪的人数为y ,只参加标枪和跳高的有z 人,三项都参加的有n 人.那么有以下方程组:23 4x y n x z n z y n ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩ 将3条等式相加则有2(x +y +z )+3n =9,由这个等式可以得到,n 必须是奇数,所以,n 只能是1或3、5、7……,如果n ≥3时x 、y 、z 中会出现负数.所以n =1,这样可以求得x =0,y =1,z =2.由此可得到这个学校一共派出了10+15+20-0-1-2-2×1=40人.将3条等式相加则有2(x +y +z )+3n =9,由这个等式可以得到,n 必须是奇数,所以,n 只能是1或3、5、7……,如果n ≥3时x 、y 、z 中会出现负数.所以n =1,这样可以求得x =0,y =1,z =2.由此可得到这个学校一共派出了10+15+20-0-1-2-2×1=40人.【答案】40人模块二、四个量的重叠问题【例 10】 养牛场有2007头黄牛和水牛,其中母牛1105头,黄牛1506头,公水牛200头,那么母黄牛有头。

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