产品销量预测模型

2012年河南科技大学数学建模第二次模拟训练

承诺书

我们仔细阅读了数学建模竞赛选拔的规则.

我们完全明白，在做题期间不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人研究、讨论与选拔题有关的问题。

我们知道，抄袭别人的成果是违反选拔规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。

我们郑重承诺，严格遵守选拔规则，以保证选拔的公正、公平性。如有违反选拔规则的行为，我们将受到严肃处理。

我们选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： B

队员签名：1.

2.

3.

日期： 2012 年月--日

2012年河南科技大学数学建模第二次模拟

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B 题产品销量预测

摘要

对产品销售量的预测，无论是对于整体掌控市场的发育与成长态势的政策制定者，还是对于研究市场行情以制定营销策略的厂商而言，都具有极其重要的作用。

本文针对市场上新产品进入市场的销量预测的实际问题，确定模型应有的变量，做出一般的假设并确定约束条件，从而建立有效的模型，以更好的解决新产品进入市场的销量预测问题。

对于问题一，经过分析可设()=dx

kx t dt ，从而建立简单的Malthus 模型，很

好地解决了产品销售量的预测问题。

对于问题二，针对市场中存在市场容量N 这一约束条件，又有

=k[N-x(t)]dx

dt

，则可建立阻滞增长模型，即可得到产品的销售量在一定时间内迅速增加，达到一定时期后销售量开始趋于稳定。

对于问题三，综合考虑各个影响产品销售量的因素，通过筛选和忽略微小因素，主要考虑产品价格、产品广告投入、消费者习惯等因素，并引用媒体广告产出的模型，分别建立各因素与销售量的函数关系式，并通过这些关系式的组合，得到一种新的新产品扩散模型。通过该模型与logistic 模型和巴斯新产品扩散模型比较来进行模型检验，并通过Matlab 编程画图可以得出，该模型和两种已知的模型的曲线走向一致。

关键字：销量预测、Malthus 模型、阻滞增长模型、logistic 模型、巴斯新产品 扩散模型、Matlab 、媒体广告产出的模型

一 问题重述

随着我国市场经济的发展，各种产品层出不穷的进入市场，无论是作为整体掌控市场的发育与成长态势的政策制定者，还是研究市场行情以制定营销策略的厂商总是希望在一个新产品进入市场之前能够预测出产品在各种可能的情况下的销售量，研究产品销量预测算法，解决现阶段存在的问题，实现准确判断销量对国家决策者和厂家来说都具有很高现实意义。

有某种新产品要推向市场, t 时刻的销量为),(t x 假设产品性能良好, 每个产品都是一个宣传品, 则t 时刻产品销量()x t 与t 有关。

问题一设t 时刻产品销量的增长率

dx

dt

与)(t x 成正比, 预测0t 时的产品销量0()x t ；

问题二设考虑到产品销售存在一定的市场容量N , 统计表明dt

dx

与该产品的潜在容量)(t x N -成正比, 预测0t 时的产品销量0()x t ；

问题三试考虑影响产品销量的其他因素，并建立模型，预测0t 时的产品销量

0()x t .

二 问题分析

对于问题一，已知t 时刻的产品销量,又t 时刻产品销量的增长率

dx

dt

与)(t x 成正比，则可设为k )(t x ,由Malthu s 模型即可预测出0t 时刻的销售量0()x t 。 对于问题二，考虑到现实市场中有市场容量这一因素，又知t 时刻的增长率dt dx 与该产品的潜在容量)(t x N -成正比,可设为 =k[N-x(t)]dx

dt ,由阻滞增长模型即可预测出0t 时刻的销售量。

对于问题三，现实市场中对一件产品进入市场后的销量存在众多问题，我们考虑影响其销量的主要因素而忽略其他次要因素，主要考虑以下：

1） 产品本身的质量和价格； 2) 广告的投入和产出；

3) 消费者的消费习惯； 4） 厂商的利润。

在弱化其他次要因素的前提下可建立一种全新的数学模型，从而预测出在时刻0t 时的销售量0()x t 。

三 模型假设

1. 假设产品市场定位合理；

2. 假设产品是全面推向市场的；

3. 假设产品在市场中是公平竞争的；

4. 假设产品质量优越且在一定时间内保持稳定；

5. 假设产品的销售不受一些意外性的灾难影响。

四 符号说明

x : 产品销量；

t : 产品进入市场后的某一时间；

m n k 、、:各比例系数； d : 常数；

T : 新产品销售量翻一番所需的时间；

1v : 为受广告影响的媒体受众在T 时段内的购买率； 1n : 为受广告影响的媒体受众在T 时段内的平均购买次数；

p : 为单位产品售价；

2n :为受口碑传播影响的受众在T 时段内购买一产品或服务的数量；

M :为媒体受众的最大覆盖人数； a :为媒体受众的创新系数；

b :为媒体受众的模仿系数；

u :为广告主在T 时段内在某媒体的广告投放费用额；

A :为商誉衰减系数；

0A :为广告主在t=0时(即评估初期)的商誉初始值；

1k :为媒体受众所完成的销售力（包括即期销售力和远期销售力）的权重系数； 2k :为媒体受众的品牌记忆力和品牌忠诚的权重系数； 3k :为媒体广告受众对非广告受众的口碑传播力的权重系数；

y ：企业净利润；

h ：单位产品的生产成本；

u ：企业从推出新产品到时间t 时所需的各种费用。

五 模型建立及求解

1 问题一 t 时刻产品销量的增长率

dx

dt

与)(t x 成正比, 预测0t 时的产品销量0()x t

1.1 建立模型

根据问题说明，t 时刻产品的增长率dx

dt

与t 时刻的销量)(t x 呈简单的正比系， 即：

()dx

x t dt

∝ 设比例常数为k ,即得：

()=dx

kx t dt

假设新产品推出初期1t 时刻的销量为1 x ，即得模型：

()11=()=dx

kx t dt x t x ⎧⎪⎨⎪⎩ 从上式可以看出，该模型即众所周知的Malthus 模型。

1.2 模型求解