2021高考数学二轮专题复习课件：专题二 微专题1 等差数列与等比数列

答案：B
微专题1 等差数列与等比数列
对点训练
2．(2020·随州调研)已知等比数列{an}的前 n 项和为
Sn，若 S4＝3S2，且 a2＋a6＝15，则 a4＝( )
A．8
B．6
C．4
D．2
解析：当数列{an}的公比 q＝1 时，S4＝4a1，3S2＝6a1， S4≠3S2，所以 q≠1.
所以a1（11－－qq4）＝3×a1（11－－qq2），得 q2＝2.因为 a2＋ a6＝a2(1＋q4)＝15，所以 a2＝3，所以 a4＝a2q2＝6，故选 B.
(2)设等比数列{an}的公比为 q，由等比数列的性质可 得：a1an＝a3an－2＝81，
又 a1＋an＝82，所以 a1 和 an 是方程 x2－82x＋81＝0 的两根，解方程得 x＝1 或 x＝81.
微专题1 等差数列与等比数列
对点训练
若等比数列{an}递增，则 a1＝1，an＝81，因为 Sn＝121， a11－－aqnq＝1－1－81qq＝121，
微专题1 等差数列与等比数列
对点训练
“甲”重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，之后地支回到“子” 重新开始，即“丙子”，…，以此类推，已知 2016 年为丙 申年，那么到改革开放 100 年时，即 2078 年为______年．
解析：(1)a3＝a1＋2d＝2，a1＋a4＝2a1＋3d＝5，解得 a1＝4，d＝－1，故 S6＝6a1＋15d＝9.
所以 S15∶S5＝34. 答案：(1)C (2)A
微专题1 等差数列与等比数列
对点训练
等差、等比数列性质的应用策略 1．项数是关键：解题时要特别关注条件中项的下标 即项数的关系，寻找项与项之间、多项之间的关系，选 择恰当的性质解题． 2．整体代入：计算时要有整体的思想，如求 Sn 可以 将与 a1＋an 相等的式子整体代入，不一定非要求出具体 的项．
A.34
B.23
C.12
D.13
解析：(1)把每段重量依次用 ai(i＝1，2，…，20)表示，
数列{an}是等差数列，
由题意aa11＋ 7＋aa2＋ 18＋a3a＋19＋a4＝a204＝，2，两式相加得 a1＋a20＝
14×(4＋2)＝32，
所以 a10＋a11＝a1＋a20＝32.
微专题1 等差数列与等比数列
答案：(1)B (2)B (3)戊戌
微专题1 等差数列与等比数列
对点训练
等差、等比数列的求解策略 1．抓住基本量，首项 a1，公差 d(公比 q)． 2．熟悉一些基本的结构特征，如前 n 项和为 Sn＝an2 ＋bn 的形式的数列为等差数列，通项为 an＝pqn－1(p≠0) 的形式的数列为等比数列． 3．等比数列由于变量 n 在指数的位置，常采用两式 相除的方法(即比值的方式)进行计算．
因为 S31＝31（a12＋a31）＝31a16<0，故 D 错误，故选 ABC.
(2)当 n＝1 时，a1＝－1－221＋1＝129；
微专题1 等差数列与等比数列
对点训练
当
n≥2
时
，
an
＝
Sn
－
Sn
－
1
＝
－
n2－21n＋1 2
＋
（n－1）2－221（n－1）＋1＝11－n，
故 an＝129，n＝1， 11－n，2≤n≤10.
微专题1 等差数列与等比数列
对点训练
1．(2020·南昌二中模拟)已知各项为正数的等比数列
{an}满足 a1＝1，a2a4＝16，则 a6＝( )
A. 64
B. 32
C. 16
D. 4
解析：由 a2a4＝16 得 a21q4＝16，q4＝16，因为 q>0， 所以 q＝2.所以 a6＝a1q5＝25＝32.故选 B.
答案：B
微专题1 等差数列与等比数列
对点训练
3．《算法统宗》全称《新编直指算法统宗》，是中国 古代数学名著，程大位著．书中有如下问题：“今有五人 均银四十两，甲得十两四钱，戊得五两六钱．问：次第均 之，乙丙丁各该若干？”意思是：有 5 人分 40 两银子， 甲分 10 两 4 钱，戊分 5 两 6 钱，且相邻两项差相等，则 乙丙丁各分几两几钱？(注：1 两等于 10 钱)( )
an＋5|＝15|11－2n| 所以当 n＝5 或 n＝6 时，Tn 取得最小值 T5＝T6＝15.
答案：B
微专题1 等差数列与等比数列
对点训练
小题考法 3 等差数列、等比数列的综合问题
(1)(多选题)(2020·淄博模拟)等差数列{an}的前 n
项和记为 Sn，若 a1>0，S10＝S20，则( )
微专题1 等差数列与等比数列
对点训练
1．(2020·天一大联考“顶尖计划”联考)记单调递增的
等比数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 a2＋a4＝10，a2a3a4＝64，
则( )
A．Sn＋1－Sn＝2n＋1
B．an＝2n
C．Sn＝2n－1
D．Sn＝2n－1－1
解析：因为{an}为等比数列，所以 a23＝a2a4，故 a33＝
又因为 b1＝1，bn＋1＝n＋n 1bn，所以 nbn＝(n＋1)bn＋1，所
以数列{nbn}是常数列，即 nbn＝1×b1＝1，
微专题1 等差数列与等比数列
对点训练
所以 bn＝n1(n∈N*，n≤12)， 又数列{an}，{bn}的公共周期为 60，所以 a2 020·b2 020＝ a40·b40， 而 a40＝a10＝1，b40＝b4＝14，所以 a2 020·b2 020＝a40·b40＝14.
A．乙分 8 两，丙分 8 两，丁分 8 两 B．乙分 8 两 2 钱，丙分 8 两，丁分 7 两 8 钱 C．乙分 9 两 2 钱，丙分 8 两，丁分 6 两 8 钱 D．乙分 9 两，丙分 8 两，丁分 7 两
微专题1 等差数列与等比数列
对点训练
解析：由题意可得甲、乙、丙、丁、戊所得钱数成等差 数列{an}，
答案：(1)ABC
1 (2)4
微专题1 等差数列与等比数列
对点训练
求等差数列前 n 项和最值的常用方法 1．利用等差数列的单调性，求出其正负转折项． 2．利用性质求出其正负转折项，便可求得和的最值． 3．将等差数列的前 n 项和 Sn＝An2＋Bn(A，B 为常 数)看作二次函数，根据二次函数的性质求最值．
64，即 a3＝4，
由aa22＋ a4＝a4＝ 16，10，可得aa24＝ ＝28， ，或aa24＝ ＝82， ，因为{an}为
递增数列，故aa24＝ ＝28， ，符合．
微专题1 等差数列与等比数列
对点训练
此时 q2＝4，所以 q＝2 或 q＝－2(舍，因为{an}为递 增数列)．
故 an＝a3qn－3＝4×2n－3＝2n－1，Sn＝1×（1－1－22n）＝ 2n－1.
对点训练
(2)因为数列{an}为等比数列，且其前 n 项和记为 Sn， 所以 S5，S10－S5，S15－S10 成等比数列．
因为 S10∶S5＝1∶2，即 S10＝12S5，所以等比数列 S5， S10－S5，S15－S10 的公比为S10S－5 S5＝－12，所以 S15－S10＝ －12(S10－S5)＝14S5，所以 S15＝14S5＋S10＝34S5，
解得 q＝3，所以 81＝1×3n－1，解得 n＝5； 若等比数列{an}递减，则 a1＝81，an＝1，因为 Sn＝121， a11－－aqnq＝811－－qq＝121，解得 q＝13，所以 1＝81×13n－1，解 得 n＝5.则此数列的项数 n 等于 5，故选 B.
微专题1 等差数列与等比数列
答案：C
微专题1 等差数列与等比数列
对点训练
5n2－75n
2．已知数列{an}满足 3a1·3a2·…·3an＝13 2 (n
∈N*)．令 Tn＝|an＋an＋1＋…＋an＋5|(n∈N*)，则 Tn 的最小
值为( )
A．20 B．15
C．25
D．30
5n2－75n
解析：依题意，由 3 a1·3 a2·…·3 an＝13 2 (n∈N*)，
A．4
B．5
C．6
D．7
微专题1 等差数列与等比数列
对点训练
(3)(2020·长沙市明达中学模拟)天干地支纪年法，源 于中国，中国自古便有十天干与十二地支．十天干：甲、 乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸．十二地支：子、 丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥．天干地 支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起 来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子” 起，比如第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为 “丙寅”，…，以此类推，排列到“癸酉”后，天干回到
微专题1 等差数列与等比数列
对点训练
1．(2020·石家庄二中质检)在等差数列{an}中，Sn 为其 前 n 项的和，已知 3a8＝5a13，且 a1>0，若 Sn 取得最大值， 则 n 为( )
微专题1 等差数列与等比数列
对点训练
小题考法 2 等差数列、等比数列的性质
(1)(2020·宜昌模拟)我国古代数学著作《九章
算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重
四斤，斩末一尺，重二斤．问次一尺各重几何？”意思是：
“现有一根金杖，长 5 尺，一头粗，一头细．在粗的一端
截下 1 尺，重 4 斤，在细的一端截下 1 尺，重 2 斤．问依
对点训练
(3)由题意，可得数列天干是以 10 为公差的等差数列， 地支是以 12 为公差的等差数列，从 2017 年到 2078 年经 过了 61 年，且 2017 年为丁酉年，以 2017 年的天干和地 支分别为首项，则 61÷10＝6 余 1，则 2078 年的天干为戊， 61÷12＝5 余 1，则 2078 年的地支为戌，所以 2078 年为戊 戌年．
则 a1＝10.4，a5＝5.6，设公差为 d，所以 a5＝a1＋4d＝5.6， 即 10.4＋4d＝5.6，解得 d＝－1.2，可得 a2＝a1＋d＝10.4 －1.2＝9.2； a3＝a1＋2d＝10.4－1.2×2＝8；a4＝a1＋3d＝10.4－1.2× 3＝6.8， 所以乙分 9 两 2 钱，丙分 8 两，丁分 6 两 8 钱，故选 C. 答案：C
专题二 数 列
微专Hale Waihona Puke Baidu1 等差数列与等比数列
对点训练
小题考法 1 等差数列、等比数列基本量的运算
(1)(2020·北 京 市 西 城 区 模 拟 ) 设 等 差 数 列 {an}
的前 n 项和为 Sn，若 a3＝2，a1＋a4＝5，则 S6＝( )
A．10 B．9
C．8
D．7
(2)(2020·滁州定远育才学校模拟)在等比数列中{an}， a1＋an＝82，a3an－2＝81，且前 n 项和 Sn＝121，则此数列 的项数 n 等于( )
次每一尺各重多少斤？”假定该金杖被截成长度相等的若
干段时，其重量从粗到细构成等差数列．若将该金杖截成
长度相等的 20 段，则中间两段的重量和为( )
A.65斤
B.43斤
C.32斤
D.54斤
微专题1 等差数列与等比数列
对点训练
(2)(2020·佛山一中月考)设等比数列{an}的前 n 项和记 为 Sn，若 S10∶S5＝1∶2，则 S15∶S5＝( )
A．d<0
B．a16<0
C．Sn≤S15 D．当且仅当 Sn<0 时 n≥32
(2)(2020·衡水中学第十次调研)已知数列{an}，{bn}，其中 数列{an}满足 an＋10＝an(n∈N*)，前 n 项和为 Sn 满足 Sn＝－ n2－221n＋1(n∈N*，n≤10)；数列{bn}满足：bn＋12＝bn(n∈N*)，
且 b1＝1，bn＋1＝n＋n 1bn，(n∈N*，n≤12)，则数列{an·bn}的 第 2 020 项的值为________．
微专题1 等差数列与等比数列
对点训练
解析：(1)因为等差数列中 S10＝S20，所以 a11＋a12＋…＋ a19＋a20＝5(a15＋a16)＝0，
又 a1>0，所以 a15>0，a16<0，所以 d<0，Sn≤S15，故 ABC 正确；
5n2－75n
可得：3 a1＋a2＋…＋an＝3－ 2 .
设数列{an}的前 n 项和为 Sn，则 Sn＝－5n2－2 75n.
微专题1 等差数列与等比数列
对点训练
当 n＝1 时，a1＝S1＝－5×12－2 75×1＝35.
当
n≥2
时
，
an
＝
Sn
－
Sn
－
1
＝
－
5n2－75n 2
－
－5（n－1）2－2 75（n－1）＝40－5n. n＝1 也满足上式，故 an＝40－5n，n∈N*. 数列{an}是以 35 为首项，－5 为公差的等差数列， 所以 Tn＝|an＋an＋1＋an＋2＋an＋3＋an＋4＋an＋5|＝3|an＋