2018中考数学专题：最短距离问题分析[1]

2019深圳中考数学专题复习：最短距离问题分析

最值问题是初中数学的重要内容，也是一类综合性较强的问题，它贯穿初中数学的始终，是中考的热点问题，它主要考察学生对平时所学的内容综合运用，无论是代数问题还是几何问题都有最值问题，在中考压轴题中出现比较高的主要有利用重要的几何结论（如两点之间线段最短、三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边、垂线段最短等）。利用一次函数和二次函数的性质求最值。 一、“最值”问题大都归于两类基本模型：

Ⅰ、归于函数模型：即利用一次函数的增减性和二次函数的对称性及增减性，确定某范围内函数的最大

或最小值

Ⅱ、归于几何模型，这类模型又分为两种情况：

（1）归于“两点之间的连线中，线段最短”。凡属于求“变动的两线段之和的最小值”时，大都应用这一模型。

（2）归于“三角形两边之差小于第三边”凡属于求“变动的两线段之差的最大值”时，大都应用这一模型。

几何模型：

条件：如图，A 、B 是直线l 同旁的两个定点．

问题：在直线l 上确定一点P ，使PA PB +的值最小． 方法：作点A 关于直线l 的对称点A '，连结A B '交l 于点P

，

则PA PB A B '+=的值最小（不必证明）．

模型应用：

（1）如图1，正方形ABCD 的边长为2，E 为AB 的中点，

P 是AC 上一动点．连结BD ，由正方形对称性可知，

B 与D 关于直线A

C 对称．连结E

D 交AC 于P

，则 PB PE +的最小值是___________；

（2）如图2，O ⊙的半径为2，点A B C 、、在O ⊙上，

OA OB ⊥，60AOC ∠=°，P 是OB 上一动点，

求PA PC +的最小值；

（3）如图3，45AOB ∠=°，P 是AOB ∠内一点，10PO =，

Q R 、分别是OA OB 、上的动点，求PQR △周长的最小值． 解：（1）PB PE +的最小值是DE = （2）PA PC +的最小值是（3）PQR ∆周长的最小值是【典型例题分析】

1.如图所示，正方形ABCD 的面积为12，ABE △是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线AC 上有一点P ，使PD PE +的和最小，则这个最小值为（ ） A ． B ． C ．3 D 2．如图，抛物线21

2

4y x x =--+的顶点为A ，与y 轴交于点B ． (1)求点A 、点B 的坐标；

(2)若点P 是x 轴上任意一点，求证：PA-PB≤AB ； (3)当PA-PB 最大时，求点P 的坐标.

解：(1)令x=0，得y=2，∴ B(0，2) , ∵2211

2(2)3

44y x x x =--+=-++, ∴(2)证明：ⅰ.当点P 是AB 的延长线与x 轴交点时，PA-PB=AB ；

ⅱ.当点P 在x 轴上又异于AB 的延长线与x 轴的交点时， 在点P 、A 、B 构成的三角形中，PA-PB ＜AB.

A D E P

B

C

A B A '

P l

A B P R Q 图3

A B

p 图1

A B C

图2 P

C

∴ 综合上述：PA-PB≤AB.

(3)作直线AB 交x 轴于点P 由(2)可知：当PA-PB 最大时，点P

作AH ⊥OP 于H ∵ BO ⊥OP

∴ ∠BOP=∠AHP ，且∠

BPO=∠APH

∴ △BOP ∽△AHP ∴

AH HP

BO OP = 由(1)可知：AH=3、OH=2、OB=2 即

322OP

OP += ∴ OP=43.如图，在矩形OABC 中，已知A 、C 两点的坐标分别为(40)(02)A C ，、，，D 为OA 的中点．设点P 是AOC

∠平分线上的一个动点（不与点O 重合）． （1）试证明：无论点P 运动到何处，PC 总与PD 相等；

（2）当点P 运动到与点B 的距离最小时，试确定过O P D 、、三点的抛物线的解析式；

（3）设点E 是（2）中所确定抛物线的顶点，当点P 运动到何处时，PDE

△的周长最小？求出此时点P 的坐标和PDE △的周长； （4）设点N 是矩形OABC 的对称中心，是否存在点P ，使90CPN ∠=°？

若存在，请直接写出点P 的坐标．

解：（1）∵点D 是OA 的中点，∴2OD =，∴OD OC =． 又∵OP 是COD ∠的角平分线，∴45POC POD ∠=∠=°，

（2）过点B 作AOC ∠的平分线的垂线，垂足为P ，点P 即为所求．

易知点F 的坐标为（2，2），故2BF =，作PM BF ⊥，

∵PBF △是等腰直角三角形，∴112PM BF ==， ∴点P 的坐标为（3，3）． ∵抛物线经过原点， ∴设抛物线的解析式为y 又∵抛物线经过点(33)P ，和点(20)D ，， ∴有933420a b a b +=⎧⎨

+=⎩ 解得1

2a b =⎧⎨=-⎩

∴抛物线的解析式为22y x x =-．

（3）由等腰直角三角形的对称性知D 点关于AOC ∠的平分线的对称点即为C 点．

连接EC ，它与AOC ∠的平分线的交点即为所求的P 点（因为PE PD EC +=，而两点之间线段最短），此时PED △的周长最小．∵抛物线22y x x =-的顶点E 的坐标(11)-，，C 点的坐标(02)，， 设CE 所在直

线的解析式为y kx b =+，则有12k b b +=-⎧⎨=⎩，解得3

2k b =-⎧⎨=⎩

．

∴CE 所在直线的解析式为32y x =-+．点P 满足32y x y x =-+⎧⎨=⎩，解得12

12

x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故点P 的坐标为

1122⎛⎫

⎪⎝⎭

，． PED △的周长即是CE DE += （4）存在点P ，使90CPN ∠=°．其坐标是1122⎛⎫

⎪⎝⎭

，或(22)，

． 4.一次函数y kx b =+的图象与x 、y 轴分别交于点A （2，0），B （0，4）．

（1）求该函数的解析式；

（2）O 为坐标原点，设OA 、AB 的中点分别为C 、D ，P 为OB 上一动点，