小学奥数：完全平方数及应用(一).专项练习

1. 学习完全平方数的性质；

2. 整理完全平方数的一些推论及推论过程

3. 掌握完全平方数的综合运用。

一、完全平方数常用性质

1.主要性质 1.完全平方数的尾数只能是0，1，4，5，6，9。不可能是2，3，7，8。

2.在两个连续正整数的平方数之间不存在完全平方数。

3.完全平方数的约数个数是奇数，约数的个数为奇数的自然数是完全平方数。

4.若质数p 整除完全平方数2a ，则p 能被a 整除。

2.性质

性质1：完全平方数的末位数字只可能是0，1，4，5，6，9．

性质2：完全平方数被3，4，5，8，16除的余数一定是完全平方数．

性质3：自然数N 为完全平方数⇔自然数N 约数的个数为奇数．因为完全平方数的质因数分解

中每个质因数出现的次数都是偶数次，所以，如果p 是质数，n 是自然数，N 是完全平方数，且21|n p N -，则2|n p N ．

性质4：完全平方数的个位是6⇔它的十位是奇数．

性质5：如果一个完全平方数的个位是0，则它后面连续的0的个数一定是偶数．如果一个完

全平方数的个位是5，则其十位一定是2，且其百位一定是0，2，6中的一个．

性质6：如果一个自然数介于两个连续的完全平方数之间，则它不是完全平方数．

3.一些重要的推论

1.任何偶数的平方一定能被4整除；任何奇数的平方被4（或8）除余1.即被4除余2或3的数一定不是完全平方数。

2.一个完全平方数被3除的余数是0或1.即被3除余2的数一定不是完全平方数。

3.自然数的平方末两位只有：00，01，21，41，61，81，04，24，44，64，84，25，09，29，49，69，89，16，36，56，76，96。

4.完全平方数个位数字是奇数（1，5，9）时，其十位上的数字必为偶数。

5.完全平方数个位数字是偶数（0，4）时，其十位上的数字必为偶数。

6.完全平方数的个位数字为6时，其十位数字必为奇数。

7.凡个位数字是5但末两位数字不是25的自然数不是完全平方数；末尾只有奇数个“0”的自然数不是完全平方数；个位数字为1，4，9而十位数字为奇数的自然数不是完全平方数。

3.重点公式回顾：平方差公式：22()()a b a b a b -=+-

模块一、完全平方数计算及判断 【例 1】 已知：1234567654321×49是一个完全平方数，求它是谁的平方?

例题精讲

知识点拨

教学目标

5-4-4.完全平方数及应用（一）

【例 2】 1234567654321(1234567654321)⨯++++++++++++是 的平

方．

【例 3】 已知自然数n 满足：12!除以n 得到一个完全平方数，则n 的最小值是 。

【例 4】 有一个正整数的平方，它的最后三位数字相同但不为0，试求满足上述条件的最

小的正整数．

【例 5】 A 是由2002个“4”组成的多位数，即20024

4444L 14243个，A 是不是某个自然数B 的平方？

如果是，写出B ；如果不是，请说明理由．

【巩固】 A 是由2008个“4”组成的多位数，即444L 12

32008个4

，A 是不是某个自然数B 的平方？如果是，写出B ；如果不是，请说明理由．

【例 6】 计算1111L 1232004个1－2222L 142431002个2

=A ×A ，求A ．

【例 7】 ①22004420038

444488889A =L L 1424314243个个，求A 为多少?

②求是否存在一个完全平方数，它的数字和为2005？

模块二、平方数特征

（1） 平方数的尾数特征

【例 8】 下面是一个算式：112123123412345123456+⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯⨯，

这个算式的得数能否是某个数的平方？

【例 9】 一个数与它自身的乘积称为这个数的平方．各位数字互不相同且各位数字的平方

和等于49的四位数共有________个．

【例 10】 用1～9这9个数字各一次，组成一个两位完全平方数，一个三位完全平方数，

一个四位完全平方数．那么，其中的四位完全平方数最小是 ．

【例 11】 称能表示成1+2+3+…+K 的形式的自然数为三角数，有一个四位数N ，它既是三角

数，又是完全平方数，N= 。

（2） 奇数个约数——指数是偶数

【例 12】 在224⨯=，339⨯=，4416⨯=，5525⨯=，6636⨯=，……等这些算是中，4，

9，16，25，36，……叫做完全平方数。那么，不超过2007的最大的完全平方数

是_________。

【例 13】 写出从360到630的自然数中有奇数个约数的数．

【例 14】 1016与正整数a 的乘积是一个完全平方数，则a 的最小值是________．

【巩固】 已知3528a 恰是自然数b 的平方数，a 的最小值是 。

【例 15】从1到2008的所有自然数中，乘以72后是完全平方数的数共有多少个？

【例 16】已知自然数n满足：12!除以n得到一个完全平方数，则n的最小值是。

【例 17】有5个连续自然数，它们的和为一个平方数，中间三数的和为立方数，则这五个数中最小数的最小值为．

【例 18】求一个最小的自然数，它乘以2后是完全平方数，乘以3后是完全立方数，乘以5后是5次方数．

【例 19】三个连续正整数，中间一个是完全平方数，将这样的三个连续正整数的积称为“美妙数”．问：所有小于2008的美妙数的最大公约数是多少？

【例 20】考虑下列32个数：1!，2!，3!，……，32!，请你去掉其中的一个数，使得其余