第3章静电场的边值问题详解
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G0 (r , r )
对于无限大的自由空间，表面 S 趋向无限远处，由于格林函数
G0 (r , r ) 及电位 均与距离成反比，而 dS 与距离平方成正比，所以，
对无限远处的 S 表面，上式中的面积分为零。 若 V 为无源区，那么上式中的体积分为零。因此，第二项面积 分可以认为是泊松方程在无源区中的解，或者认为是拉普拉斯方程
应用格林函数 G(r , r )，即可求出泊松方程的通解为
(r ) G0 (r , r )
V
S
( r ) dV [G0 (r , r ) (r ) (r )G0 (r , r )] dS
1 4π | r r |
式中格林函数 G(r , r )为
读者可以根据导体表面电荷密度与电场强度或电位的关系证明这个
结论。 半空间等效：上述等效性仅对于导体平面的上半空间成立，因
为在上半空间中，源及边界条件未变。
对于半无限大导体平面形成的劈形边界也可应用镜像法。但是
仅当这种导体劈的夹角等于 的整数分之一时，才可求出其镜像电 荷。为了保证这种劈形边界的电位为零，必须引入几个镜像电荷。 π 例如，夹角为 的导电劈需引入 5 个镜像电荷。 3
/3
q
/3
ຫໍສະໝຸດ Baiduq
连续分布的线电荷位于无限大的导体平面附近时，根据叠加 原理得知，同样可以应用镜像法求解。
（2）点电荷与导体球。 若导体球接地，导体球的电位
P a o d r q f q
为零。为了等效导体球边界的影响， 令镜像点电荷q' 位于球心与点电荷 q 的连线上。那么，球面上任一点 电位为
2
该方程称为泊松方程。 对于无源区，上式变为
2 0
上式称为拉普拉斯方程。
泊松方程的求解。 已知分布在 V 中的电荷 (r ) 在无限大的自由空间产生的 电位为 1 (r ) (r ) dV V 4π | r r |
因此，上式就是电位微分方程在自由空间的解。
第三章 静电场的边值问题
主 要 内 容 电位微分方程，镜像法，分离变量法。
1. 电位微分方程
已知，电位 与电场强度 E 的关系为
E
对上式两边取散度，得
E 2
对于线性各向同性的均匀介质，电场强度 E 的散度为
E
那么，线性各向同性的均匀介质中，电位满足的微分方程式为
数的关系为
S n
，可见，表面电荷给定等于给定了电位的
法向导数值。因此，给定导体上的电荷就是第二类边界。 因此，对于导体边界的静电场问题，当边界上的电位，或电 位的法向导数给定时，或导体表面电荷给定时，空间的静电场即 被惟一地确定。这个结论称为静电场惟一性定理。
2. 镜像法
实质:是以一个或几个等效电荷代替边界的影响，将原来具 有边界的非均匀空间变成无限大的均匀自由空间，从而使计算过
q q 4 π r 4 π r
可见，为了保证球面上任一点电位为零，必须选择镜像电荷为
r q q r
上任一点均具有同一数值。由上图可见，若要求三角形 △ OPq
r 为了使镜像电荷具有一个确定的值，必须要求比值 对于球面 r
以格林函数表示的积分解。
数学物理方程是描述物理量随空间和时间的变化规律。对于某 一特定的区域和时刻，方程的解取决于物理量的初始值与边界值， 这些初始值和边界值分别称为初始条件和边界条件，两者又统称为 该方程的定解条件。静电场的场量与时间无关，因此电位所满足的 泊松方程及拉普拉斯方程的解仅决定于边界条件。根据给定的边界 条件求解空间任一点的电位就是静电场的边值问题。
q q
电场线与等位面的分布特性与第二章所述的电偶极子的上半
部分完全相同。
z
电场线
等位线
由此可见，电场线处处垂直于导体平面，而零电位面与导体
表面吻合。
电荷守恒：当点电荷 q 位于无限大的导体平面附近时，导体表 面将产生异性的感应电荷，因此，上半空间的电场取决于原先的点 电荷及导体表面上的感应电荷。可见，上述镜像法的实质是以一个 异性的镜像点电荷代替导体表面上异性的感应电荷的作用。根据电 荷守恒原理，镜像点电荷的电量应该等于这些感应电荷的总电量，
静电场是客观存在的，因此电位微分方程解的存在确信无疑。
由于实际中定解条件是由实验得到的，不可能取得精确的真值， 因此，解的稳定性具有重要的实际意义。 泊松方程及拉普拉斯方程解的稳定性在数学中已经得到证明。 可以证明电位微分方程解也是惟一的。
静电场的边界通常是由导体形成的。此时，若给定导体上的 电位值就是第一类边界。 已知导体表面上的电荷密度与电位导
（1）点电荷与无限大的导体平面。
P q h h q P
r q
r
介质
导体
r
介质 介质
以一个处于镜像位臵的点电荷代替边界的影响，使整个空间 变成均匀的介电常数为 的空间，则空间任一点 P 的电位由 q 及 q' 共同产生，即
q q 4 π r 4 π r
考虑到无限大导体平面的电位为零，求得
程大为简化。
依据：惟一性定理。因此，等效电荷的引入必须维持原来的 边界条件不变，从而保证原来区域中静电场没有改变，这是确定 等效电荷的大小及其位臵的依据。这些等效电荷通常处于镜像位 臵，因此称为镜像电荷，而这种方法称为镜像法。
关键：确定镜像电荷的大小及其位臵。
局限性：仅仅对于某些特殊的边界以及特殊分布的电荷才有 可能确定其镜像电荷。
通常给定的边界条件有三种类型：
第一类边界条件给定的是边界上的物理量，这种边值问题又称 为狄利克雷问题。
第二类边界条件是给定边界上物理量的法向导数值，这种边值 问题又称为诺依曼问题。
第三类边界条件是给定一部分边界上的物理量及另一部分边界 上物理量的法向导数值，这种边界条件又称为混合边界条件。
对于任何数学物理方程需要研究解的存在、稳定及惟一性问题。 解的存在是指在给定的定解条件下，方程是否有解。 解的稳定性是指当定解条件发生微小变化时，所求得的解是否会 发生很大的变化。 解的惟一性是指在给定的定解条件下所求得的解是否惟一。
对于无限大的自由空间，表面 S 趋向无限远处，由于格林函数
G0 (r , r ) 及电位 均与距离成反比，而 dS 与距离平方成正比，所以，
对无限远处的 S 表面，上式中的面积分为零。 若 V 为无源区，那么上式中的体积分为零。因此，第二项面积 分可以认为是泊松方程在无源区中的解，或者认为是拉普拉斯方程
应用格林函数 G(r , r )，即可求出泊松方程的通解为
(r ) G0 (r , r )
V
S
( r ) dV [G0 (r , r ) (r ) (r )G0 (r , r )] dS
1 4π | r r |
式中格林函数 G(r , r )为
读者可以根据导体表面电荷密度与电场强度或电位的关系证明这个
结论。 半空间等效：上述等效性仅对于导体平面的上半空间成立，因
为在上半空间中，源及边界条件未变。
对于半无限大导体平面形成的劈形边界也可应用镜像法。但是
仅当这种导体劈的夹角等于 的整数分之一时，才可求出其镜像电 荷。为了保证这种劈形边界的电位为零，必须引入几个镜像电荷。 π 例如，夹角为 的导电劈需引入 5 个镜像电荷。 3
/3
q
/3
ຫໍສະໝຸດ Baiduq
连续分布的线电荷位于无限大的导体平面附近时，根据叠加 原理得知，同样可以应用镜像法求解。
（2）点电荷与导体球。 若导体球接地，导体球的电位
P a o d r q f q
为零。为了等效导体球边界的影响， 令镜像点电荷q' 位于球心与点电荷 q 的连线上。那么，球面上任一点 电位为
2
该方程称为泊松方程。 对于无源区，上式变为
2 0
上式称为拉普拉斯方程。
泊松方程的求解。 已知分布在 V 中的电荷 (r ) 在无限大的自由空间产生的 电位为 1 (r ) (r ) dV V 4π | r r |
因此，上式就是电位微分方程在自由空间的解。
第三章 静电场的边值问题
主 要 内 容 电位微分方程，镜像法，分离变量法。
1. 电位微分方程
已知，电位 与电场强度 E 的关系为
E
对上式两边取散度，得
E 2
对于线性各向同性的均匀介质，电场强度 E 的散度为
E
那么，线性各向同性的均匀介质中，电位满足的微分方程式为
数的关系为
S n
，可见，表面电荷给定等于给定了电位的
法向导数值。因此，给定导体上的电荷就是第二类边界。 因此，对于导体边界的静电场问题，当边界上的电位，或电 位的法向导数给定时，或导体表面电荷给定时，空间的静电场即 被惟一地确定。这个结论称为静电场惟一性定理。
2. 镜像法
实质:是以一个或几个等效电荷代替边界的影响，将原来具 有边界的非均匀空间变成无限大的均匀自由空间，从而使计算过
q q 4 π r 4 π r
可见，为了保证球面上任一点电位为零，必须选择镜像电荷为
r q q r
上任一点均具有同一数值。由上图可见，若要求三角形 △ OPq
r 为了使镜像电荷具有一个确定的值，必须要求比值 对于球面 r
以格林函数表示的积分解。
数学物理方程是描述物理量随空间和时间的变化规律。对于某 一特定的区域和时刻，方程的解取决于物理量的初始值与边界值， 这些初始值和边界值分别称为初始条件和边界条件，两者又统称为 该方程的定解条件。静电场的场量与时间无关，因此电位所满足的 泊松方程及拉普拉斯方程的解仅决定于边界条件。根据给定的边界 条件求解空间任一点的电位就是静电场的边值问题。
q q
电场线与等位面的分布特性与第二章所述的电偶极子的上半
部分完全相同。
z
电场线
等位线
由此可见，电场线处处垂直于导体平面，而零电位面与导体
表面吻合。
电荷守恒：当点电荷 q 位于无限大的导体平面附近时，导体表 面将产生异性的感应电荷，因此，上半空间的电场取决于原先的点 电荷及导体表面上的感应电荷。可见，上述镜像法的实质是以一个 异性的镜像点电荷代替导体表面上异性的感应电荷的作用。根据电 荷守恒原理，镜像点电荷的电量应该等于这些感应电荷的总电量，
静电场是客观存在的，因此电位微分方程解的存在确信无疑。
由于实际中定解条件是由实验得到的，不可能取得精确的真值， 因此，解的稳定性具有重要的实际意义。 泊松方程及拉普拉斯方程解的稳定性在数学中已经得到证明。 可以证明电位微分方程解也是惟一的。
静电场的边界通常是由导体形成的。此时，若给定导体上的 电位值就是第一类边界。 已知导体表面上的电荷密度与电位导
（1）点电荷与无限大的导体平面。
P q h h q P
r q
r
介质
导体
r
介质 介质
以一个处于镜像位臵的点电荷代替边界的影响，使整个空间 变成均匀的介电常数为 的空间，则空间任一点 P 的电位由 q 及 q' 共同产生，即
q q 4 π r 4 π r
考虑到无限大导体平面的电位为零，求得
程大为简化。
依据：惟一性定理。因此，等效电荷的引入必须维持原来的 边界条件不变，从而保证原来区域中静电场没有改变，这是确定 等效电荷的大小及其位臵的依据。这些等效电荷通常处于镜像位 臵，因此称为镜像电荷，而这种方法称为镜像法。
关键：确定镜像电荷的大小及其位臵。
局限性：仅仅对于某些特殊的边界以及特殊分布的电荷才有 可能确定其镜像电荷。
通常给定的边界条件有三种类型：
第一类边界条件给定的是边界上的物理量，这种边值问题又称 为狄利克雷问题。
第二类边界条件是给定边界上物理量的法向导数值，这种边值 问题又称为诺依曼问题。
第三类边界条件是给定一部分边界上的物理量及另一部分边界 上物理量的法向导数值，这种边界条件又称为混合边界条件。
对于任何数学物理方程需要研究解的存在、稳定及惟一性问题。 解的存在是指在给定的定解条件下，方程是否有解。 解的稳定性是指当定解条件发生微小变化时，所求得的解是否会 发生很大的变化。 解的惟一性是指在给定的定解条件下所求得的解是否惟一。