高中数学含参不等式恒成立问题的求解策略

含参不等式恒成立问题的求解策略

“含参不等式恒成立问题”把不等式、函数、三角、几何等内容有机地结合起来，其以覆盖知识点多，综合性强，解法灵活等特点而倍受高考、竞赛命题者的青睐。另一方面，在解决这类问题的过程中涉及的“函数与方程”、“化归与转化”、“数形结合”、“分类讨论”等数学思想对锻炼学生的综合解题能力，培养其思维的灵活性、创造性都有着独到的作用。本文就结合实例谈谈这类问题的一般求解策略。 一、判别式法

若所求问题可转化为二次不等式，则可考虑应用判别式法解题。一般地，对于二次函数

),0()(2R x a c bx ax x f ∈≠++=,有

1）0)(>x f 对R x ∈恒成立⎩⎨

⎧<∆>⇔0

a ;

2）0)(

⎩

⎨⎧<∆<⇔a

例1．已知函数])1(lg[2

2

a x a x y +-+=的定义域为R ，求实数a 的取值范围。

解：由题设可将问题转化为不等式0)1(2

2

>+-+a x a x 对R x ∈恒成立，即有

04)1(22<--=∆a a 解得3

1

1>

-

1

()1,(+∞--∞ 。

若二次不等式中x 的取值范围有限制，则可利用根的分布解决问题。

例2．设22)(2

+-=mx x x f ，当),1[+∞-∈x 时，m x f ≥)(恒成立，求实数m 的取值范围。 解：设m mx x x F -+-=22)(2，则当),1[+∞-∈x 时，0)(≥x F 恒成立 当120)2)(1(4<<-<+-=∆m m m 即时，0)(>x F 显然成立； 当0≥∆时，如图，0)(≥x F 恒成立的充要条件为：

⎪⎪⎩

⎪

⎪⎨⎧

-≤--≥-≥∆1

220)1(0m F 解得23-≤≤-m 。 综上可得实数m 的取值范围为)1,3[-。

二、最值法

将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题的一种处理方法，其一般类型有： 1）a x f >)(恒成立min )(x f a <⇔ 2）a x f <)(恒成立max )(x f a >⇔

例3．已知x x x x g a x x x f 4042)(,287)(2

3

2

-+=--=，当]3,3[-∈x 时，)()(x g x f ≤恒成立，求实数a 的取值范围。

解：设c x x x x g x f x F -++-=-=1232)()()(2

3

， 则由题可知0)(≤x F 对任意]3,3[-∈x 恒成立 令01266)(2

'

=++-=x x x F ，得21=-=x x 或

而,20)2(,7)1(a F a F -=-=-,9)3(,45)3(a F a F -=-=- ∴045)(max ≤-=a x F

∴45≥a 即实数a 的取值范围为),45[+∞。

例4．函数),1[,2)(2+∞∈++=

x x a

x x x f ，若对任意),1[+∞∈x ，0)(>x f 恒成立，求实数a 的取值范围。

解：若对任意),1[+∞∈x ，0)(>x f 恒成立，

即对),1[+∞∈x ，02)(2>++=

x

a

x x x f 恒成立， 考虑到不等式的分母),1[+∞∈x ，只需022

>++a x x 在),1[+∞∈x 时恒成立而得 而抛物线a x x x g ++=2)(2

在),1[+∞∈x 的最小值03)1()(min >+==a g x g 得3->a 注：本题还可将)(x f 变形为2)(++

=x

a

x x f ，讨论其单调性从而求出)(x f 最小值。 三、分离变量法

若所给的不等式能通过恒等变形使参数与主元分离于不等式两端，从而问题转化为求主元函数的最值，进而求出参数范围。这种方法本质也还是求最值，但它思路更清晰，操作性更强。一般地有：

1）为参数）a a g x f )(()(<恒成立max )()(x f a g >⇔

2）为参数）a a g x f )(()(>恒成立max )()(x f a g <⇔ 实际上，上题就可利用此法解决。

略解：022>++a x x 在),1[+∞∈x 时恒成立，只要x x a 22

-->在),1[+∞∈x 时恒成立。而易求得二次函数x x x h 2)(2

--=在),1[+∞上的最大值为3-，所以3->a 。 例5．已知函数]4,0(,4)(2∈--=x x x ax x f 时0)(

x x a 2

4-<

对]4,0(∈x 恒成立。 令x

x x x g 2

4)(-=

，则min )(x g a < 由14

4)(2

-=

-=x

x

x x x g 可知)(x g 在]4,0(上为减函数，故0)4()(min ==g x g ∴0

注：分离参数后，方向明确，思路清晰能使问题顺利得到解决。 四、变换主元法

处理含参不等式恒成立的某些问题时，若能适时的把主元变量和参数变量进行“换位”思考，往往会使问题降次、简化。

例6．对任意]1,1[-∈a ，不等式024)4(2

>-+-+a x a x 恒成立，求x 的取值范围。

分析：题中的不等式是关于x 的一元二次不等式，但若把a 看成主元，则问题可转化为一次不等式044)2(2

>+-+-x x a x 在]1,1[-∈a 上恒成立的问题。

解：令44)2()(2

+-+-=x x a x a f ，则原问题转化为0)(>a f 恒成立（]1,1[-∈a ）。 当2=x 时，可得0)(=a f ，不合题意。

当2≠x 时，应有⎩

⎨⎧>->0)1(0)1(f f 解之得31>

故x 的取值范围为),3()1,(+∞-∞ 。

注：一般地，一次函数)0()(≠+=k b kx x f 在],[βα上恒有0)(>x f 的充要条件为