初中八年级数学竞赛培优讲义全套专题15 全等三角形

专题15 全等三角形

阅读与思考

两个几何图形的全等是指两个图形之间的一种关系，其中最基本的关系是两个图形的点的对应关系，以及对应边之间、对应角之间的相等关系．全等三角形是研究三角形、四边形等图形性质的主要工具，是解决有关线段、角等问题的一个出发点，证明线段相等、线段和差相等、角相等、两直线位置关系等问题总要直接或间接用到全等三角形，我们把这种应用全等三角形来解决问题的方法称为全等三角形法．

我们实际遇到的图形，两个全等三角形并不重合在一起，而是处于各种不同的位置，但其中一个是由另一个经过平移、翻折、旋转等变换而成的．了解全等变换的这几种形式，有助于发现全等三角形、确定对应元素．善于在复杂的图形中发现、分解、构造基本的全等三角形是解题的关键，应熟悉涉及有关会共边、公共角的以下两类基本图形：

例题与求解

【例1】考查下列命题：

①全等三角形的对应边上的中线、高、角平分线对应相等；

②两边和其中一边上的中线（或第三边上的中线）对应相等的两个三角形全等；

③两角和其中一角的角平分线（或第三角的角平分线）对应相等的两个三角形全等；

④两边和其中一边上的高（或第三边上高）对应相等的两个三角形全等．

其中正确命题的个数有（）

A．4个B．3个C．2个D．1个

（山东省竞赛试题）解题思路：真命题给出证明，假命题举出一个反例．

【例2】如图，已知BD、CE是△ABC的高，点P在BD的延长线上，BP＝AC，点Q在CE上，CQ

＝AB ．

求证：（1）AP ＝AQ ；（2）AP ⊥AQ ．

（第十六届江苏省竞赛试题）

解题思路：（1）证明对应的两个三角形全等；（2）证明∠P AQ ＝90°．

【例3】如图，已知为AD 为△ABC 的中线，求证：AD ＜1

()2

AB AC ．

（陕西省中考试题）

解题思路：三角形三边关系定理是证明线段不等关系的基本工具，关键是设法将AB ，AC ，AD 集中到同一个三角形中，从构造2AD 入手．

【例4】如图，已知AC ∥BD ，EA 、EB 分别平分∠CAB 、∠DBA ，CD 过点E ． 求证：AB ＝AC ＋BD ．

（“希望杯”邀请赛试题）

解题思路：本例是线段和差问题的证明，截长法（或补短法）是证明这类问题的基本方法，即在AB 上截取AF ，使AF ＝AC ，以下只要证明FB ＝BD 即可，于是将问题转化为证明两线段相等．

【例5】如图1，CD 是经过∠BCA 顶点C 的一条直线，CA ＝CB ，E ，F 分别是直线CD 上两点，且

Q

A

B

C D

E

O

P

A

B

C

D

A

B

C

D

E

∠BEC ＝∠CF A ＝∠α．

（1）若直线CD 经过∠BCA 内部，且E ，F 在射线CD 上，请解决下面两个问题：

①如图2，若∠BCA ＝90°，∠α＝90°，则BE ＿＿＿＿CF ，EF ＿＿＿＿BE AF -（填“＞”、“＜”或“＝”）；

②如图3，若0°＜∠BCA ＜180°，请添加一个关于∠α与∠BCA 关系的条件＿＿＿＿，使①中的两个结论仍然成立，并证明这两个结论；

（2）如图4，若直线CD 经过∠BCA 的外部，∠α＝∠BCA ，请提出EF ，BE 、AF 三条线段数量关系的合理猜想（不要求证明）．

（台州市中考试题）

解题思路：对于②，可用①进行逆推，寻找△BCE ≌△CAF 应满足的条件．对于（2）可用归纳类比方法提出猜想．

【例6】如图，在四边形ABCD 中，∠ACB ＝∠BAD ＝105°，∠ABC ＝∠ADC ＝45°． 求证：CD ＝AB ．

（天津市竞赛试题）

解题思路：由已知易得∠CAB ＝30°，∠GAC ＝75°，∠DCA ＝60°，∠ACB ＋∠DAC ＝180°，由特殊度数可联想到特殊三角形、共线点等．

能力训练

A

B

C

D

E

F

α

α

图1

A

B

C

D

E

F 图2 A

B

C

E F

图3

D A

B

C

D

E

F

图4

A

B C

D

A 级

1．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝40，AD 是∠BAC 的平分线交BC 于D ，且DC ︰DB ＝3︰5，则点D 到AB 的距离是＿＿＿＿．

2．如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，分别过B ，C 作经过点A 的直线的垂线BD ，CE ，若BD ＝3cm ，CE ＝4cm ，则DE ＝＿＿＿＿．

3．如图，△ABE 和△ACF 分别是以△ABC 的边AB 、AC 为边的形外的等腰直角三角形，CE 和BF 相交于O ，则∠EOB ＝＿＿＿＿．

4．如图，四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点E ，若AC 平分∠DAB ，且AB ＝AE ，AC ＝AD ．有如下四个结论：①AC ⊥BD ；②BC ＝DE ；③∠DBC ＝

1

2

∠DAB ；④△ABE 是等边三角形．请写出正确结论的序号＿＿＿＿．（把你认为正确结论的序号都填上）

（天津市中考试题）

5．如图，点E 在△ABC 外部，点D 在BC 边上，DE 交AC 于F ，若∠1＝∠2＝∠3，AC ＝AE ，则（ ）

A ．△ABD ≌△AFD

B ．△AFE ≌△AD

C C ．△AFE ≌△DFC

D ．△ABC ≌△ADE

6．如图，△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC ，AD 平分∠CAB 交BC 于D ，DE ⊥AB 于E ．若AB ＝6cm ，则△DEB 的周长为（ ）

A ．5cm

B ．6cm

C ．7cm

D ．8cm

7．如图，从下列四个条件：①BC ＝B 'C ；②AC ＝A ′C ；③∠A ′CA ＝∠B ′CB ；④AB ＝A ′B ′中，任取三个为题设，余下的一个为结论，则最多可以构成的正确命题的个数是（ ）

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个

（北京市东城区中考试题）

8．如图1，在锐角△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，BE ⊥AC 于E ，AD 与BE 交于F ，且BF ＝AC ． （1）求证：ED 平分∠FEC ；

A

B

C

D 第1题

A

B

C

D E

第2题

A

B

C E

F

O

第3题

A

B

C

D

E

第4题

第5题

A

B

C

D

E F

3

21

A

B

C

D

E

第6题

A

B

C

B '

A '

第7题