必修一 第一课 集合

【变式训练】已知集合A={m+2,2m2+m},若3∈A,则m的值为
.
【解析】因为3∈A,所以m+2=3或2m2+m=3.
当m+2=3,即m=1时,2m2+mΒιβλιοθήκη Baidu3,此时集合A中有重复元素3,
所以m=1不符合题意,舍去;
当2m2＋m=3时，解m得 3 或m=1(舍去)，
2
当 m 时3， m＋2符 合1 题3，意．所以
(2)当B≠∅时，要使B⊆A，则 a 1，
解得 3＜a 1.
a＋3＜5，
2
由(1)(2)可知，a的取值范围为{a|a≤-1}．
【方法技巧】 1.判断两集合关系的两种常用方法 一是化简集合,从表达式中寻找两集合间的关系;二是用列举法表示各 集合,从元素中寻找关系. 2.处理集合间关系问题的关键点 已知两集合间的关系求参数时,关键是将两集合间的关系转化为元素 间的关系,进而转化为参数满足的关系.解决这类问题常常需要合理利 用数轴、Venn图帮助分析.
【方法技巧】集合基本运算的关注点 (1)看元素组成.集合是由元素组成的,从研究集合中元素的构成入手 是解决集合运算问题的前提. (2)有些集合是可以化简的,先化简再研究其关系并进行运算,可使问 题简单明了,易于解决. (3)注意数形结合思想的应用,常用的数形结合形式有数轴、坐标系和 Venn图.
【变式训练】已知全集U为R，集合A={x|0<x≤2}，B={x|x<-3或 x>1}． 求：(1)A∩B
2
2
m 3. 2
答案： 3
2
类型二 集合间的基本关系 【 典 例 2】 已 知 集 合 A={x|1≤x<5},B={x|-a<x≤a+3}. 若 B∩A=B, 求 a 的取值范围.
【解析】因为B∩A=B，所以B⊆A.
(1)当B=∅时，满足B⊆A，此时-a≥a＋3，即a 3 .
2
a＜a＋3，
(2) CU A I CU B
(3) CU ( A U B)
【解析】CU =A {x|x≤0或x>2}， CU =B{x|-3≤x≤1}，A∪B={x|x<-3或x>0}． (1)A∩B={x|1<x≤2}.
(2) CU A I =C{UxB|-3≤x≤0}.
(3) CU ( A U={Bx)|-3≤x≤0}．
【解析】(1)集合A={x|x2-5x+6=0}={x|(x-2)(x-3)=0}={2,3}. (2)若A⊆B,即{2,3}⊆{a,2,2a-1}. 所以a=3,或2a-1=3. 当a=3时,2a-1=5,B={3,2,5},满足A⊆B. 当2a-1=3时,a=2,集合B不满足元素的互异性,故舍去. 综上,a=3.
【变式训练】设全集为U,集合A={0,2,4,6}, CU A ={-1,-3,1,3}, CU B ={-1,0,2},求A∩B和A∪B. 【解析】因为A={0,2,4,6}, CU=A{-1,-3,1,3}, 所以U={-3,-1,0,1,2,3,4,6}. 又 CU =B{-1,0,2},所以B={-3,1,3,4,6}. 则A∩B={4,6}. A∪B={-3,0,1,2,3,4,6}.
个数是 ( )
A.1
B.3
C.5
D.9
【解析】选C.因为x∈A,y∈A, 当x=0时,由y=0,1,2得,x-y=0,-1,-2; 当x=1时,由y=0,1,2得,x-y=1,0,-1; 当x=2时,由y=0,1,2得,x-y=2,1,0. 由集合中元素的互异性可知,B={-2,-1,0,1,2}共5个元素.
且(-1)2-a×(-1)+b=0,此时a=-2,b=1.若B={1}时,则方程x2-ax+b=0有
且只有一个实数根1,即Δ=(-a)2-4b=0,且12-a×1+b=0,此时a=2,b=1.
若B={-1,1},则方程x2-ax+b=0有两个不相等的实数根-1,1,即(-1)2-
a×(-1)+b=0,12-a×1+b=0,此时a=0,b=-1.综上所述,当a2<4b时,不论
【拓展延伸】集合运算与集合关系的转化 在集合的运算关系和两个集合的包含关系之间往往存在一定的
联系，在一定的情况下可以相互转化，如A⊆B⇔A∩B=A⇔A∪B=B ⇔ CU A CU B A I CU B =∅，在解题中运用这种转化能有效地简化解 题过程．
【变式训练】已知集合A={x|x2-5x+6=0},B={a,2,2a-1}. (1)求集合A. (2)若A⊆B,求实数a的值. 【解题指南】(1)解一元二次方程求得x的值,即可得到集合A. (2)若A⊆B,即{2,3}⊆{a,2,2a-1},可得a=3,或2a-1=3,分别求得a的值, 再代入条件检验.
(3)补集的相关性质: A I (CU A) U , A I (CU A) ,CU (CU A) A.
【易错提醒】 1.关于元素与集合的两个关注点 (1)认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正 确求解的两个先决条件. (2)要注意区分元素与集合的从属关系,以及集合与集合的包含关系.
【变式训练】已知A={-1,1},B={x|x2-ax+b=0},若B⊆A,求实数a,b 的值.
【解析】因为B⊆A={-1,1},所以B=∅或B={-1}或B={1}或B={-1,1}.若
B=∅,则方程x2-ax+b=0无实数根,即Δ=(-a)2-4×1×b<0,此时a2<4b.
若B={-1},则方程x2-ax+b=0有且只有一个实数根-1,即Δ=(-a)2-4b=0,
3.集合间的三种运算 (1)并集:A∪B=_{_x_|_x_∈__A_,_或__x_∈__B_}_(读作“A并B”). (2)交集:A∩B=_{_x_|_x_∈__A_,_且__x_∈__B_}_(读作“A交B”). (3)补集:A={x|x∈U,且x_∉_A}. 4.集合的运算性质 (1)并集的性质:A⊆B⇔A∪B=_B_. (2)交集的性质:A⊆B⇔A∩B=_A_.
【 延 伸 探 究 】 若 将 本 例 中 的 集 合 B 更 换 为 B={(x,y)|x∈A,y∈A,xy∈A},则集合B中有多少个元素? 【解析】当x=0时,y=0;当x=1时,y=0或y=1;当x=2时,y=0,1,2. 故集合B={(0,0),(1,0),(1,1),(2,0),(2,1),(2,2)},即集合B中有6个元素.
a,b取何值,B⊆A;当
a b
2,或 1
a b
12时,或，Bab ⊆ 0A,1.
类型三 集合的基本运算
【典例3】(1)设全集U=R,集合A={x|x<-1或2≤x<3},B={x|-2≤x<4},
则 CU A U B =
.
(2)设f(x)=x2+px+q,A={x|x=f(x)},B={x|x=f(f(x))},
集合
【网络体系】
1.集合的含义与表示 (1)集合元素的特性:_确__定__性__、_互__异__性__、无序性.
(2)元素与集合的关系:属于(∈),不属于(∉). (3)自然数集:_N_;正整数集:_N_+_或__N_*;整数集:_Z_;有理数集:_Q_; 实数集:_R_. (4)集合的表示方法:_列__举__法__、_描__述__法__和_V_e_n_n_图__法__.
①求证:A∪B=B;
②如果A={-1,3},求B.
【解析】(1)由数轴得, CU=A{x|-1≤x<2或x≥3},
再由数轴得, CU A=U{xB|x≥-2}.
答案:{x|x≥-2}
(2)①设x∈A,那么,根据A的定义,f(x)=x. 所以f(f(x))=f(x)=x,所以x∈B. 从而A⊆B,故有A∪B=B; ②A={-1,3},即x=x2+px+q有两根-1,3. 根据根与系数的关系可得,-1+3=-(p-1),则p=-1, (-1)×3=q,则q=-3;故f(x)=x2-x-3, 代入x=f(f(x))可得,(x2-x-3)2-(x2-x-3)-3=x, 化简可得,x2-x-3=-x,x2-x-3=x, 解可得，x 3,1, 3即, 3; B {3,1, 3, 3}.
2.集合的基本关系 (1)集合A与集合B的关系:子集(A⊆B)、真子集(_A___B_)和集合相等 (_A_=_B_). (2)子集与真子集的关系:若A⊆B,则A与B的关系为_A___B_或__A_=_B. (3)子集个数结论: ①含有n个元素的集合有_2_n 个子集; ②含有n个元素的集合有_2_n-_1_个真子集; ③含有n个元素的集合有_2_n-_2_个非空真子集.
2.处理集合问题的三个易错点 (1)易忘空集的特殊性,在写集合的子集时不要忘了空集和它本身. (2)运用数轴图示法易忽视端点是实心还是空心. (3)在解决含参数的集合问题时,要注意检验集合中元素的互异性,否 则很可能会因为不满足“互异性”而导致解题错误.
类型一 集合的基本概念
【 典 例 1】 已 知 集 合 A={0,1,2}, 则 集 合 B={x-y|x∈A,y∈A} 中 元 素 的
【方法技巧】解决集合的概念问题应关注两点 (1)研究一个集合,首先要看集合中的代表元素,然后再看元素的限制 条件,当集合用描述法表示时,注意弄清其元素表示的意义是什么.如 本例中集合B中的元素为实数x-y,在“延伸探究”中,集合B中的元素 为点(x,y). (2)对于含有字母的集合,在求出字母的值后,要注意检验集合是否满 足互异性.