第1章命题逻辑
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请你构造出同时为真的两个句子。
一、命题的定义
定义1 命题是一个可以判断真假的陈述句。
例1 判断下列句子是否为命题。 (1) 3是素数。 (2) 2是无理数。 (3) x大于y。 (4) 土星上有冰。
(5) 2100年元旦是晴天。 (6) 我正在说假话。 (7) 请不要吸烟！ (8) 这朵花真美丽啊！ (9) 3大于5吗？
定义4 析取联结词∨ 设p，q为二个命题，复合命题“p或q”称作p与q的析取式， 记作p∨q，∨称作析取联结词。 并规定p∨q为假当且仅当p与q同时为假。
注意：按定义在析取式p∨q中，若p，q都为真，则p∨q为真。 “或”还有另外一种用法：当p，q都为真时，析取起来为假。 前者称为相容或，后者称为排斥或(排异或)。
数理逻辑又称符号逻辑，是用数学的方法研究思维 规律和推理过程的一门学科。
人的思维的形式结构包括概念、判断和推理之间的 结构和联系。研究推理的方法很多，用引进一套符号体 系,简洁地表示出各种推理的逻辑关系的数学方法研究 推理的就称为数理逻辑。
§1.1 现代逻辑学
现代逻辑学求助数学——符号化 现代逻辑学追随数学——公理化 现代逻辑学改造数学——形式化
§1.2 命题及其表示法
wenku.baidu.com思考题
12 命相题传逻在辑古中代有有：一个残酷的国王，为了不准别人进入 **是***
他的领地而制定了一个法规：“凡进入者若讲真话则 **不是***
杀头，若讲假话则淹死”。并要求士兵严格执行上述 两句话。 例命如令，。“一高天志，华一是个讲人师进”来和说“了高一志句华话不，是导讲致师士”兵。无法 若执其行中命一令句。是请正问确这的个，人那说么了另什一么句？就一定是不正确的。
§1.3 命题公式与翻译
一、命题公式的定义
一个赋予特定内容的命题的真值是确定的，只有“T”
和“F”两种，即命题常项或称为命题常元。 一个没有任 何意义的没有赋予具体内容的命题是一个命题变元。
下面我们正式定义命题变元：
定义：以“真”“假”为其变域的变元称为命题变元。
下面给出命题公式的递归定义。
(1) 单个命题变元是合式公式，并称为原子命题公式。 (2) 若A是合式公式，则(┐A)也是合式公式。 (3) 若A，B是合式公式，
逻辑发展历史——三个阶段
初始阶段：1660年代—19世纪末将数学应用于逻辑 Aristotle：形式逻辑（主词和谓词逻辑）。 Leibniz：建立直观而又精确的思维演算。 George Boole: 逻辑代数。 De Morgan: 关系逻辑。
过渡阶段：19世纪末— 1940前后, 逻辑应用于数学 非欧几何与公理化方法。 微积分与实数理论，Piano算术。 集合论与数学基础(1900年世界数学家大会) 悖论与第三次数学危机，Hilbert计划。
（知道问题）老师手中握有一副牌（黑桃5、4、8、J； 红心A、Q、4；方块A、5；梅花K、Q、5、4），我想好 一张牌，并将该牌的花色告述学生甲，将该牌的点数告 述学生乙。 甲说：我敢肯定你不知道这张牌。 乙说：那么我现在知道了。 甲说：那么我也知道了。 请问这张牌是什么牌？
先看著名物理学家爱因斯坦出过的一道题： 一个土耳其商人想找一个十分聪明的助手协助他经商，有两人前来
成熟阶段：1930s — 1970年,成为数学的独立分支 四个分支： 公理集合论：大基数，连续统问题 递归论（可计算性理论）：Turing机，不可解性 模型论：实数的非标准模型 证明论：超穷归纳法, Gentzen的数论和谐性证明
逻辑与计算机科学的联系
➢布尔电路：布尔逻辑。 ➢计算理论：可计算性，Turing机，形式语言，自动机，计算复杂性。 ➢程序语义与验证技术：Intel bug: 5亿美元。 ➢程序的自动生成与转换。 ➢SQL: 本质上等价于一阶逻辑。 ➢Prolog语言：以逻辑演算为基础。 ➢LISP语言：以λ演算为基础。 ➢人工智能：非单调推理，缺省推理。 ➢信息安全 ➢……
应聘，这个商人为了试试哪个更聪明些，就把两个人带进一间漆黑的屋 子里，他打开灯后说：“这张桌子上有五顶帽子，两顶是红色的，三顶 是黑色的，现在，我把灯关掉，而且把帽子摆的位置弄乱，然后我们三 个人每人摸一顶帽子戴在自己头上，在我开灯后，请你们尽快说出自己 头上戴的帽子是什么颜色的。”说完后，商人将电灯关掉，然后三人都 摸了一顶帽子戴在头上，同时商人将余下的两顶帽子藏了起来，接着把 灯打开。这时，那两个应试者看到商人头上戴的是一顶红帽子，沉默几 秒后其中一个人便喊道：“我戴的是黑帽子。” 请问这个人说得对吗？他是怎么推导出来的呢？
则(A∧B)，(A∨B)，(A→B)，(AB)也是合式公式。 (4) 只有有限次地应用(1)～(3)形式的符号串才是合式公式。
命题一般用英文字母表示。
二、简单命题与复合命题
（1）4是偶数且是2的倍数。 （2）武汉不是个小城市。 （3）小王或小李考试得第一。 （4）如果你努力，则你能成功。 （5）三角形是等边三角形，当且仅当三边相等。
上述命题都是通过诸如“或”，“且”、“如果……，则……”等连词 联结而成，这样命题，称为复合命题。相对地，构成复合命题的命题称 为简单命题。
三、命题联结词
定义2 否定联结词┐ 设p为命题，复合命题“非p”(或“p的否定”)称为p的否定式 记作┐p，符号┐称作否定联结词。 并规定┐p为真当且仅当p为假。
定义 3 合取联结词∧ 设p,q为二个命题，复合命题“p并且q”(或“p与q”)称为p 与q的合取式，记作p∧q，∧称作合取联结词。 并规定p∧q为真当且仅当p与q同时为真。
定义5 蕴涵联结词→ 设p，q为二个命题，复合命题“如果p，则q”称作p与q的 蕴涵式，记作p→q，→称作蕴涵联结词。并规定p→q为假 当且仅当p为真q为假。
注意：在自然语言中，“如果p ，则q”中的前件p与后件q 往往具有某种内在联系。而在数理逻辑中， p与q可以无 任何内在联系。
定义6 等价联结词 设p，q为二命题，复合命题“p当且仅当q”称作p与q的 等价式，记作p q， 称作等价联结词。 p q的逻辑关系表示q是p的充分必要条件。
一、命题的定义
定义1 命题是一个可以判断真假的陈述句。
例1 判断下列句子是否为命题。 (1) 3是素数。 (2) 2是无理数。 (3) x大于y。 (4) 土星上有冰。
(5) 2100年元旦是晴天。 (6) 我正在说假话。 (7) 请不要吸烟！ (8) 这朵花真美丽啊！ (9) 3大于5吗？
定义4 析取联结词∨ 设p，q为二个命题，复合命题“p或q”称作p与q的析取式， 记作p∨q，∨称作析取联结词。 并规定p∨q为假当且仅当p与q同时为假。
注意：按定义在析取式p∨q中，若p，q都为真，则p∨q为真。 “或”还有另外一种用法：当p，q都为真时，析取起来为假。 前者称为相容或，后者称为排斥或(排异或)。
数理逻辑又称符号逻辑，是用数学的方法研究思维 规律和推理过程的一门学科。
人的思维的形式结构包括概念、判断和推理之间的 结构和联系。研究推理的方法很多，用引进一套符号体 系,简洁地表示出各种推理的逻辑关系的数学方法研究 推理的就称为数理逻辑。
§1.1 现代逻辑学
现代逻辑学求助数学——符号化 现代逻辑学追随数学——公理化 现代逻辑学改造数学——形式化
§1.2 命题及其表示法
wenku.baidu.com思考题
12 命相题传逻在辑古中代有有：一个残酷的国王，为了不准别人进入 **是***
他的领地而制定了一个法规：“凡进入者若讲真话则 **不是***
杀头，若讲假话则淹死”。并要求士兵严格执行上述 两句话。 例命如令，。“一高天志，华一是个讲人师进”来和说“了高一志句华话不，是导讲致师士”兵。无法 若执其行中命一令句。是请正问确这的个，人那说么了另什一么句？就一定是不正确的。
§1.3 命题公式与翻译
一、命题公式的定义
一个赋予特定内容的命题的真值是确定的，只有“T”
和“F”两种，即命题常项或称为命题常元。 一个没有任 何意义的没有赋予具体内容的命题是一个命题变元。
下面我们正式定义命题变元：
定义：以“真”“假”为其变域的变元称为命题变元。
下面给出命题公式的递归定义。
(1) 单个命题变元是合式公式，并称为原子命题公式。 (2) 若A是合式公式，则(┐A)也是合式公式。 (3) 若A，B是合式公式，
逻辑发展历史——三个阶段
初始阶段：1660年代—19世纪末将数学应用于逻辑 Aristotle：形式逻辑（主词和谓词逻辑）。 Leibniz：建立直观而又精确的思维演算。 George Boole: 逻辑代数。 De Morgan: 关系逻辑。
过渡阶段：19世纪末— 1940前后, 逻辑应用于数学 非欧几何与公理化方法。 微积分与实数理论，Piano算术。 集合论与数学基础(1900年世界数学家大会) 悖论与第三次数学危机，Hilbert计划。
（知道问题）老师手中握有一副牌（黑桃5、4、8、J； 红心A、Q、4；方块A、5；梅花K、Q、5、4），我想好 一张牌，并将该牌的花色告述学生甲，将该牌的点数告 述学生乙。 甲说：我敢肯定你不知道这张牌。 乙说：那么我现在知道了。 甲说：那么我也知道了。 请问这张牌是什么牌？
先看著名物理学家爱因斯坦出过的一道题： 一个土耳其商人想找一个十分聪明的助手协助他经商，有两人前来
成熟阶段：1930s — 1970年,成为数学的独立分支 四个分支： 公理集合论：大基数，连续统问题 递归论（可计算性理论）：Turing机，不可解性 模型论：实数的非标准模型 证明论：超穷归纳法, Gentzen的数论和谐性证明
逻辑与计算机科学的联系
➢布尔电路：布尔逻辑。 ➢计算理论：可计算性，Turing机，形式语言，自动机，计算复杂性。 ➢程序语义与验证技术：Intel bug: 5亿美元。 ➢程序的自动生成与转换。 ➢SQL: 本质上等价于一阶逻辑。 ➢Prolog语言：以逻辑演算为基础。 ➢LISP语言：以λ演算为基础。 ➢人工智能：非单调推理，缺省推理。 ➢信息安全 ➢……
应聘，这个商人为了试试哪个更聪明些，就把两个人带进一间漆黑的屋 子里，他打开灯后说：“这张桌子上有五顶帽子，两顶是红色的，三顶 是黑色的，现在，我把灯关掉，而且把帽子摆的位置弄乱，然后我们三 个人每人摸一顶帽子戴在自己头上，在我开灯后，请你们尽快说出自己 头上戴的帽子是什么颜色的。”说完后，商人将电灯关掉，然后三人都 摸了一顶帽子戴在头上，同时商人将余下的两顶帽子藏了起来，接着把 灯打开。这时，那两个应试者看到商人头上戴的是一顶红帽子，沉默几 秒后其中一个人便喊道：“我戴的是黑帽子。” 请问这个人说得对吗？他是怎么推导出来的呢？
则(A∧B)，(A∨B)，(A→B)，(AB)也是合式公式。 (4) 只有有限次地应用(1)～(3)形式的符号串才是合式公式。
命题一般用英文字母表示。
二、简单命题与复合命题
（1）4是偶数且是2的倍数。 （2）武汉不是个小城市。 （3）小王或小李考试得第一。 （4）如果你努力，则你能成功。 （5）三角形是等边三角形，当且仅当三边相等。
上述命题都是通过诸如“或”，“且”、“如果……，则……”等连词 联结而成，这样命题，称为复合命题。相对地，构成复合命题的命题称 为简单命题。
三、命题联结词
定义2 否定联结词┐ 设p为命题，复合命题“非p”(或“p的否定”)称为p的否定式 记作┐p，符号┐称作否定联结词。 并规定┐p为真当且仅当p为假。
定义 3 合取联结词∧ 设p,q为二个命题，复合命题“p并且q”(或“p与q”)称为p 与q的合取式，记作p∧q，∧称作合取联结词。 并规定p∧q为真当且仅当p与q同时为真。
定义5 蕴涵联结词→ 设p，q为二个命题，复合命题“如果p，则q”称作p与q的 蕴涵式，记作p→q，→称作蕴涵联结词。并规定p→q为假 当且仅当p为真q为假。
注意：在自然语言中，“如果p ，则q”中的前件p与后件q 往往具有某种内在联系。而在数理逻辑中， p与q可以无 任何内在联系。
定义6 等价联结词 设p，q为二命题，复合命题“p当且仅当q”称作p与q的 等价式，记作p q， 称作等价联结词。 p q的逻辑关系表示q是p的充分必要条件。