《离散数学》第2章 谓词逻辑PPT课件
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离散数学 第二章 谓词逻辑1PPT课件
解： (1) 设 P(x): x是动物, x∈{动物}，b: 熊猫，b 是个体常元, 则命题可符号化为P(b)或P(熊猫)。 (2) P(x, y, z): x位于y与z之间。a: 上海, b: 南京, c: 杭州, 则命题可符号化为P(a, b, c)或 符号化为P(上海, 南京, 杭州)。 (3) P(x): x是偶数, Q(x): x是素数, a: 2, 则命 题可符号化为P(a)∧Q(a) 或 P(2)∧Q(2)。
（2）对于存在量词(x)，刻划其对应个体域的 特性谓词作为合取式之合取项加入。
特性谓词的例子
为什么要这样规定特性谓词加入的原则呢？若 不遵循会出现什么样的问题？
例如，符号化“所有的老虎都要吃人”这个命题 若P(x)：x会吃人 U(x)：x是老虎
则若符符号号化化的为正(确x形)(式U(应x)该∧是P(x))
因为在命题逻辑中只能将推理中出现的三个简 单命题依次符号化为p，q，r，将推理的形式结构 符号化为(p∧q)→r。由于上式不是重言式，所以 不能由它判断推理的正确性。
为了克服命题逻辑的局限性，就应该将简单命 题再细分，分析出个体词，谓词和量词，以期达到 表达出个体与总体的内在联系和数量关系，这就是 本章所研究的内容。
n元谓词：含有n个变元。
例如： F(x): x是人。 G(x,y): x与y是兄弟。
F(x)是一元谓词， G(x,y)是二元谓词。
一元谓词表达了个体的“性质”, 而多元谓 词表达了个体之间的“关系”。
例： 将下列命题符号化： (1) 熊猫是动物。 (2) 上海位于南京与杭州之间。 (3) 2是偶数且是素数。
设：H(x):x是人 M(x):x是要死的
则前提：H(x)→M(x) H(Socrates)
离散数学第二章谓词逻辑-4-6节.ppt
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四、谓词公式的蕴含式定义
定义2-5.5：在个体域E上公式A蕴含B。 给定谓词公式A、B，E是它们的个体域，如果不 论对公式A、B作任何赋值，都使得A→B为重言式， 则称在个体域E上公式A蕴含B。
定义：公式A蕴含B。 如果不论对什么个体域E，都使得公式A→B为重 言式，则称A蕴含B，记作AB。
f(1) f(2) P(1) P(2) 21 F T
其中，个体域D={1，2}，a=1 Q(1,1) Q(1,2) Q(2,1) Q(2,2)
(x)(P(x)→Q(f(x),a))
T
T
F
F
(P(1)→Q(f(1),1))∧(P(2)→Q(f(2),1))
(F →Q(2,1)) ∧(T → Q(1,1))
赋值：令P：2>1， x=4时，公式为P→N(4)，真值是“真”。
谓词公式经过赋值以后，成为具有确定真值的命题。
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带量词的公式在个体域内的展开式
个体域有限时,去掉量词公式，当个体域有限时， 如个体域D={x1,…，xn},由量词意义可知，对任意 A(x),都有:
1. (x) G(x)G(x1)∧G(x2)∧......∧G(xn) 2. (x) G(x)G(x1)∨G(x2)∨......∨G(xn)
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约束变元/指导变元/作用变元：在量词的辖域内，且在 量词后面出现的变元。
约束出现：在(x)和(x)的辖域中，x的所有出现。 自由变元：不受量词约束的变元。
自由出现：A中不是约束出现的其他变元。
约束变元
自由变元
量词
(x)P(x,y)
约束变元
辖域
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《离散数学》课件-第二章 谓词逻辑(A)
• 谓词是用来说明个体的性质或个体间的关系。
• 例如，小王是个大学生
•
谓词
•
个体词
3大于2
个体词
个体词
谓词
2
谓词
• 形如“b是A”类型的命题可表达为A(b)；
• 表示多个个体间关系的命题，可表达为B(a，b)，或P(a，b， c)
• 定义2.1.2 和一个个体相联系的谓词称为一元谓词，和二个 个体相联系的谓词称为二元谓词，和n个个体相联系的谓词 称为n元谓词。
• yxP(x，y)表示命题：“存在实数y，对每一个实数x，都 有x+y>10成立”，这是个假命题，真值为0。
• 注意：除非所有量词都是全称量词或存在量词，否则，多个 量词同时出现时，不能随意颠倒量词的顺序，颠倒后会改变 原命题的含义。
18
2.2 谓词演算公式
• 一个谓词P和n个个体变元，如x1，x2，x3， xn，表示成P(x1，x2，x3，
都是谓词公式。 • 如果A是谓词公式，x是其中的任一变元，则xA和xA都是谓
词公式。 • 当且仅当有限次地应用上面的步骤得到的符号串才是谓词公式。
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量词的辖域及变元的约束
• 定义2.2.2 • 谓词公式xA和xA中出现在量词和后面的变元x称为量词的指导变元。 • 每个量词后面的最小的谓词子公式，称为该量词的辖域。 • 在量词的辖域中，x的所有出现都称为约束出现。约束出现的变元称为约束
• 一个谓词常项P和几个个体变元如x，y，z，表示成P(x，y，z， )的形式，称为命题函数，其中的个体变元可以代表任意一个个体。
• 注意：命题的谓词表达式是有真值的，命题函数的真值是不确定的。
4
例题 • 写出下列命题的谓词表达式。
离散数学课件--2谓词逻辑共62页
。——非洲 2、最困难的事情就是认识自己。——希腊 3、有勇气承担命运这才是英雄好汉。——黑塞 4、与肝胆人共事，无字句处读书。——周恩来 5、阅读使人充实，会谈使人敏捷，写作使人精确。——培根
离散数学课件--2谓词逻辑
11、用道德的示范来造就一个人，显然比用法律来约束他更有价值。—— 希腊
12、法律是无私的，对谁都一视同仁。在每件事上，她都不徇私情。—— 托马斯
13、公正的法律限制不了好的自由，因为好人不会去做法律不允许的事 情。——弗劳德
14、法律是为了保护无辜而制定的。——爱略特 15、像房子一样，法律和法律都是相互依存的。——伯克
离散数学课件--2谓词逻辑
11、用道德的示范来造就一个人，显然比用法律来约束他更有价值。—— 希腊
12、法律是无私的，对谁都一视同仁。在每件事上，她都不徇私情。—— 托马斯
13、公正的法律限制不了好的自由，因为好人不会去做法律不允许的事 情。——弗劳德
14、法律是为了保护无辜而制定的。——爱略特 15、像房子一样，法律和法律都是相互依存的。——伯克
左孝凌离散数学课件第02章谓词逻辑
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第二章 谓词逻辑（Predicate Logic）
2.2命题函数与量词(Propositional functions & Quantifiers)
例如: H(x,y)∧H(y ,z)H(x,z)
若H(x,y)解释为: x大于y,当x,y,z都在实数中取值时,则这个 式子表示“若x大于y 且y 大于z，则x大于z” 。这是一个永 真式。
其中(1)、(2)、 (3)为一元谓词， (4) 、 (6)为二元谓词，
第二章 谓词逻辑（Predicate Logic）
2.1谓词的概念与表示(Predicate and Its Expression)
注: (1)单独一个谓词并不是命题，在谓词字母后 填上客体所得到的式子称之为谓词填式。 (2)在谓词填式中，若客体确定，则A(a1， a2...an)就变成了命题 (3)在多元谓词表达式中，客体字母出现的先 后次序与事先约定有关,一般不可以随意交换 位置(如,上例中H(s,t) 与H(t, s)代表两个不同 的命题) 。
离散数学(Discrete Mathematics)
9
第二章 谓词逻辑（Predicate Logic）
2.1谓词的概念与表示 2.2命题函数与量词 2.3谓词公式与翻译 2.4变元的约束 2.5谓词演算的等价式与蕴含式 2.6前束范式 2.7谓词演算的推理理论
第二章 谓词逻辑（Predicate Logic）
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第二章 谓词逻辑（Predicate Logic）
2.2命题函数与量词(Propoቤተ መጻሕፍቲ ባይዱitional functions & Quantifiers)
2.2.2 量词(Quantifiers)
《离散数学课件》谓词逻辑
A(a, H(b)) →F(a,b)
非一阶谓词 26/44
例3 符号化：我送他这本书。
解：令 A(e1，e2，e3)表示“e1送e3给e2”； B(e)表示“e为书”； a表示“我”； b表示“他”； c表示“这”；
则原句译为： A(a，b，c) B(c)
27/44
例4 符号化：这只大红书柜摆满了那些古书。
32/66
例 计算机学院的有些老师是青年教师
解： 设 C(e)表示e为计算机学院的人； T(e)表示e为教师; Y(e)表示e为青年.
则原句译为：
x(C(x)T(x) Y(x))
此例中：x就取值于全总个体域U， 谓词C(x)限定x取值范围。
33/66
例 个体域I为人类集合,将下列命题符号化:
(1) 凡人都呼吸。 (2) 有的人用左手写字。
21/44
一元谓词变元
A(x)
其中x为变量符号项、A为谓词变元。 此式表示x具有性质A。 注意：x，A分别在两个域上变化。
22/44
二元谓词变元
A(x，y)
其中x, y为变量符号项、A为谓词变元。 此式表示x和y具有关系A。 注意：x，y，A分别在三个域上变化。
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二、谓词语句的符号化
例1 将命题符号化 要求：先将它们在命题逻辑中符号化，再在一阶
1A(e)如下图所示: e A1 A2 a TF
2 谓词数目：
14/44
个体域{a，b}上的一元谓词
A(e)如下图所示: e A1 A2 A3 A4 a TFTF b TTFF
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谓词数目：
15/44
个体域{a，b，c}上的一元谓词
A(e)如下图所示:
e A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8
《离散数学》课件_第2章
图2.1.1
有时关系符直接采用特殊的习惯符号， 如=、 ≠、 <、
>、 ≤、 ≥、 、
如x≤y、 x≠y等。
其表达方式也可采用中缀表示法，
谓词也可以用前面介绍的联结词进行组合， 这里联结
词的意义与命题逻辑完全相同。 例如， S(x)表示“x是学习
委员”， W(x)表示“x是离散数学课代表”， 则S(x)∧W(x)
表示“x既是学习委员又是离散数学课代表”。
从谓词的定义可以看出， 谓词P(x1, x2…, xn)仅是一个函 数， 因此它没有真假值。 若将谓词符P指定一个确定的n元
关系， 每个个体变元均代入相应个体域中确定的个体常元，
则得到一个具有确定真假值的命题。
2.1.2
使用2.1.1节所讲的谓词还不能很好地表达日常生活中的
概念间的关系如图2.1.3所示，
x(H(x)∧F(x))，
x(H(x)→F(x))。
图2.1.2
图2.1.3
以上例子中的H(x)是特性谓词， 用以刻画论述个体是 “人”这一特性。 特性谓词的作用是限定论域为一个满足 该谓词的所有个体构成的一个特定的论域。 例如， 例4中特 性谓词H(x)的作用如图2.1.4所示。
x表示“存在某个x”或“至少有一个x”，
称为存在量词(existential quantifier)， x
(指导变元)。
在谓词P(x)或Q(x, y)
称个体变元x被全称量化或存在量化。 对于一个谓词，
如果为谓词符指定具体含义， 为每个个体变元指定论域，
则谓词中的所有变元都被量词量化， 则该命题成为一个具
有真假值的命题。
如果论域是全总个体域， 则(a)“所有的人都是要死的”
离散数学 章节2 谓词逻辑56页PPT
离散数学 制订一部永远 适用的 宪法， 甚至一 条永远 适用的 法律。 ——杰 斐逊 52、法律源于人的自卫本能。——英 格索尔
53、人们通常会发现，法律就是这样 一种的 网，触 犯法律 的人， 小的可 以穿网 而过， 大的可 以破网 而出， 只有中 等的才 会坠入 网中。 ——申 斯通 54、法律就是法律它是一座雄伟的大 夏，庇 护着我 们大家 ；它的 每一块 砖石都 垒在另 一块砖 石上。 ——高 尔斯华 绥 55、今天的法律未必明天仍是法律。 ——罗·伯顿
谢谢！
61、奢侈是舒适的，否则就不是奢侈 。——CocoCha nel 62、少而好学，如日出之阳；壮而好学 ，如日 中之光 ；志而 好学， 如炳烛 之光。 ——刘 向 63、三军可夺帅也，匹夫不可夺志也。 ——孔 丘 64、人生就是学校。在那里，与其说好 的教师 是幸福 ，不如 说好的 教师是 不幸。 ——海 贝尔 65、接受挑战，就可以享受胜利的喜悦 。——杰纳勒 尔·乔治·S·巴顿
53、人们通常会发现，法律就是这样 一种的 网，触 犯法律 的人， 小的可 以穿网 而过， 大的可 以破网 而出， 只有中 等的才 会坠入 网中。 ——申 斯通 54、法律就是法律它是一座雄伟的大 夏，庇 护着我 们大家 ；它的 每一块 砖石都 垒在另 一块砖 石上。 ——高 尔斯华 绥 55、今天的法律未必明天仍是法律。 ——罗·伯顿
谢谢！
61、奢侈是舒适的，否则就不是奢侈 。——CocoCha nel 62、少而好学，如日出之阳；壮而好学 ，如日 中之光 ；志而 好学， 如炳烛 之光。 ——刘 向 63、三军可夺帅也，匹夫不可夺志也。 ——孔 丘 64、人生就是学校。在那里，与其说好 的教师 是幸福 ，不如 说好的 教师是 不幸。 ——海 贝尔 65、接受挑战，就可以享受胜利的喜悦 。——杰纳勒 尔·乔治·S·巴顿
离散数学-谓词逻辑推理.ppt
[3]. 存在量词引入规则（EG规则）：
西
华
A(c) x A(x)
大 学
成立的条件是：
(1). c在是特定的个体常项；
(2). 替换c的x要选择在A(c)中不出现 的变元符号；
10
举例：存在量词引入规则
指出下列推导中的错误，并加以改正：
西华A(1).
大 学
(2).
P(a)Q(b) // 前提 (x)(P(x)Q(x)) // 存在量词引入规则
论B的推理正确，则记为(A1A2…Ak)B。
1
推理规则
在证明中常用的推理规则有：
西 华 大
[1]. 前提引入规则P：在证明的任何步骤都可以引 入已知的前提；
学 [2]. 结论引入规则：在证明的任何步骤都可以引
入这次已经得到的结论作为后续证明的前提；
[3]. 置换规则E：在证明的任何步骤上，一阶公式 中的任何子公式都可用与之等值的公式置换，得到 证明的公式序列的另一公式。
(AB)(CD)(AC)(BD)
4
一阶逻辑中特有的推理定律
[1]. x(A(x) B(x)) (x A(x)) (x B(x))
西
华大[2]. x(A(x) ∧B(x)) (x A(x)) ∧ (x B(x)) 学[3].x(A(x) B(x)) (x A(x)) (x B(x))
[4]. x(A(x) B(x)) (x A(x)) (x B(x))
[4]. 存在量词消除规则（EI规则）
西
华
x A(x) A(c)
大 学
成立的条件是：
(1). c是特定的个体常项，是使得A(c)为 真的个体常项，c不能在前面的公式序列中出 现；
(2). c不在A(x)中出现；
离散数学谓词逻辑课件
第二章谓词逻辑
第二章 小结
本章重点掌握内容： 1.各基本概念清楚。 2.会命题符号化。 3.熟练掌握等价公式和永真蕴涵式。 4.会写前束范式。 5.熟练3)b)P:2>1,Q(x):x≤3, R(x):x>5,a:5,{-2,3,6} x(P→Q(x))∨R(a)(P→xQ(x))∨R(a) (P→(Q(-2)∧Q(3)∧Q(6)))∨R(5) (T→(T ∧T ∧F ))∨F (T→F)∨FF∨F F (4)b)对约束变元换名 x(P(x)→(R(x)∨Q(x)))∧ xR(x)→zS(x,z) y(P(y)→(R(y)∨Q(y)))∧ tR(t)→uS(x,u) (5)a)对自由变元代入 (yA(x,y)→xB(x,z))∧ xzC(x,y,z) (yA(u,y)→xB(x,v))∧ xzC(x,w,z)
第二章谓词逻辑
(6)判断下面推证是否正确。 x(A(x)→B(x)) ⑴ x(A(x)∨B(x)) ⑵ x(A(x)∧B(x) ⑶ x(A(x)∧B(x)) ⑷ (xA(x)∧xB(x)) ⑸ xA(x)∨xB(x) ⑹ xA(x)∨xB(x) ⑺ xA(x)→xB(x) 第⑷步错，由⑶到⑷用的是公式： x(A(x)∧B(x))(xA(x)∧xB(x)) 无此公式，而是 x(A(x)∧B(x)) xA(x)∧xB(x)，应将⑷中的换成 即：
第二章谓词逻辑
例2.7.1 所有金属都导电。铜是金属。故铜导电。 令 M(x):x是金属。C(x):x导电。a:铜。 符号化为： x(M(x)→C(x)),M(a) C(a) ⑴ x(M(x)→C(x)) P ⑵ M(a)→C(a) US ⑴ ⑶ M(a) P ⑷ C(a) T ⑵⑶ I11
2-7 谓词演算的推理理论
第二章谓词逻辑
离散数学-谓词逻辑.ppt
客体与之相联系。
而命题“3 大于 2”中的谓词“大于”与两个客体联结， 是一个二元谓词。
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谓词与命题的关系
一般来说，谓词不是命题，它的真值无法确定；
为了使得它成为命题，必须：
西
华 指定某一谓词常项代替P；
大 学
指定n个个体常项a1,a2,…..,an分别代替n个个体变项
x1,x2,…..,xn。
例如：L（x，y）是一个2元谓词，它不是命题；当令
可以是具体事物也可以是抽象概念。个体域
（D）：个体取值的范围。 全总个体域。
个体
谓词
谓词：用于刻画个体的性质或者个体间的关系； －－谓词部分
量词(、) 量词的辖域（作用域）
6
例如
“猫是动物”一句中的“是动物”就是一个
西 华
谓词，而“猫”是客体。
大 学
“3 大于 2”中“大于”是一个谓词。3和2
是客体。
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1.所有人都是要死的。 2.有些人长寿。(续)
如果1符号化为：x（H(x) ∧ F(x) )
西 华
2符号化为：x (H(x ) → G (X))
大
学 显然是错的。
F（x）：x是要死的。G（x）：x长寿。
H(x):x是人
一般而言，在使用全称量词时，特性谓词 总是作为蕴涵式的前件；在使用存在量词时， 特性谓词总是作为一个合取式的合取项。
在命题逻辑中，命题演算的基本
单位是命题，不再对原子命题进行
分解，故无法研究命题语句的结构、
西 华
成份和内在的逻辑特征。
大 如果任何两个原子命题具有一些
学 共同特征，那么欲表达这些共同特
征，显然是不可能的事。这就使得
在命题逻辑中，甚至无法处理一些 简单而又常见的推理过程。
离散数学之谓词逻辑讲义.ppt
2.1 谓词的概念与表示
▪ 谓词 在反映判断的句子中，用以刻划客体
的性质或关系的即是谓词。 例：(1)3是有理数。 (2)x是无理数。
(3)阿杜与阿寺同岁。 (4)x与yL。 其中，“是有理数”、“是无理数”、 “与…同岁”、“…与…有关系L”均为谓词。 前两个是指明客体性质的谓词，后两个是指 明两个客体之间关系的谓词。
▪ 原子公式 元谓词，t1,
t2若, …A,(xtn1是, xF2,的…任, x意n)是n个F 项的，任则意称n
A(t1, t2, …, tn)为谓词演算的原子公式。
2.3 谓词公式与翻译
▪ 谓词演算的合式公式/谓词公式
(1)原子公式是合式公式。 (2)若A 是合式公式，则 (A) 也是合式公式。 (3)若A和B是合式公式，则(A∧B)，(A∨B)，
▪ 但客体变元在哪些范围内取特定的值，对是 否成为命题及命题的真值极有影响。
例：R(x)表示“x是大学生”，如果x的讨论范 围是某大学里班级中的学生，则R(x)是永真式。 如果x的讨论范围是某中学里班级中的学生， 则R(x)是永假式。如果x的讨论范围为一剧场 中的观众，那么对某些观众，R(x)为真，对另 一些观众，R(x)为假。
2.2 命题函数与量词
▪ 简单命题函数 由一个谓词，一些客体变
元组成的表达式称为简单命题函数。 n元谓词就是有n个客体变元的命题函数。 不带任何客体变元的谓词称为0元谓词。
▪ 复合命题函数 由一个或n个简单命题函数
以及逻辑联结词组合而成的表达式称复合命 题函数。
2.2 命题函数与量词
▪ 命题函数不是一个命题，只有客体变元取特 定名称时，才能成为一个命题。
比y 跑得快。则 xy(T(x)∧S(y) F(x,y))
▪ 谓词 在反映判断的句子中，用以刻划客体
的性质或关系的即是谓词。 例：(1)3是有理数。 (2)x是无理数。
(3)阿杜与阿寺同岁。 (4)x与yL。 其中，“是有理数”、“是无理数”、 “与…同岁”、“…与…有关系L”均为谓词。 前两个是指明客体性质的谓词，后两个是指 明两个客体之间关系的谓词。
▪ 原子公式 元谓词，t1,
t2若, …A,(xtn1是, xF2,的…任, x意n)是n个F 项的，任则意称n
A(t1, t2, …, tn)为谓词演算的原子公式。
2.3 谓词公式与翻译
▪ 谓词演算的合式公式/谓词公式
(1)原子公式是合式公式。 (2)若A 是合式公式，则 (A) 也是合式公式。 (3)若A和B是合式公式，则(A∧B)，(A∨B)，
▪ 但客体变元在哪些范围内取特定的值，对是 否成为命题及命题的真值极有影响。
例：R(x)表示“x是大学生”，如果x的讨论范 围是某大学里班级中的学生，则R(x)是永真式。 如果x的讨论范围是某中学里班级中的学生， 则R(x)是永假式。如果x的讨论范围为一剧场 中的观众，那么对某些观众，R(x)为真，对另 一些观众，R(x)为假。
2.2 命题函数与量词
▪ 简单命题函数 由一个谓词，一些客体变
元组成的表达式称为简单命题函数。 n元谓词就是有n个客体变元的命题函数。 不带任何客体变元的谓词称为0元谓词。
▪ 复合命题函数 由一个或n个简单命题函数
以及逻辑联结词组合而成的表达式称复合命 题函数。
2.2 命题函数与量词
▪ 命题函数不是一个命题，只有客体变元取特 定名称时，才能成为一个命题。
比y 跑得快。则 xy(T(x)∧S(y) F(x,y))
离散数学-2-7谓词演算的推理理论.ppt
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本课小结
US规则 UG规则 ES规则 EG规则
22
课后作业
P79 (1) 补充: 符号化下列命题并推证其结论。 所有的人或者是吃素的或者是吃荤的，吃素 的常吃豆制品，因而不吃豆制品的人是吃 荤的。（个体域为人的集合） 令 F(x)：x 是 吃 素 的 ， G(x)：x 是 吃 荤 的 ， H(x)：x吃豆制品。
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六、例题
例：给定下面2个推理,找出错误. （1） 1．x (F(x) G(x)) P 2．F(y) G(y) US(1) 3．x F(x) P 4．F(y) ES(3) 5．G(y) T(2)(3) I 6．xG(x) UG(5) （2） 1．xy F(x, y) P 2．y F(z, y) US(1) 3．F(z, c) ES(2) 4．x F(x, c) UG 5．yx F(x, y) EG *在上面推理中（1）中从3到4有错，（2）中从2到3有错
6
三、全称推广规则
2．全称推广规则（简称UG规则）
P(x) ∴(x)P(x) P（y） xP(x)
上式成立，要求以下条件： （1）y在P（y）中自由出现，且y取任何值时P（y）均为真； （2）取代y的x不能在P（y）中约束出现，否则产生错误。
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三、全称推广规则
例 在实数集中F（x，y）：x>y， 取P（y）= x F(x, y)对给定y都成立。 若应用上式时，以x取代y 得x(x(x>x))，这是假命题 *出错原因是违背了（2）。
第二章谓词逻辑
2-7 谓词演算的推理理论 授课人：李朔 Email:chn.nj.ls@
1
一、谓词演算推理规则
谓词演算的推理方法,可以看作是命题演算 推理方法的扩张。
本课小结
US规则 UG规则 ES规则 EG规则
22
课后作业
P79 (1) 补充: 符号化下列命题并推证其结论。 所有的人或者是吃素的或者是吃荤的，吃素 的常吃豆制品，因而不吃豆制品的人是吃 荤的。（个体域为人的集合） 令 F(x)：x 是 吃 素 的 ， G(x)：x 是 吃 荤 的 ， H(x)：x吃豆制品。
15
六、例题
例：给定下面2个推理,找出错误. （1） 1．x (F(x) G(x)) P 2．F(y) G(y) US(1) 3．x F(x) P 4．F(y) ES(3) 5．G(y) T(2)(3) I 6．xG(x) UG(5) （2） 1．xy F(x, y) P 2．y F(z, y) US(1) 3．F(z, c) ES(2) 4．x F(x, c) UG 5．yx F(x, y) EG *在上面推理中（1）中从3到4有错，（2）中从2到3有错
6
三、全称推广规则
2．全称推广规则（简称UG规则）
P(x) ∴(x)P(x) P（y） xP(x)
上式成立，要求以下条件： （1）y在P（y）中自由出现，且y取任何值时P（y）均为真； （2）取代y的x不能在P（y）中约束出现，否则产生错误。
7
三、全称推广规则
例 在实数集中F（x，y）：x>y， 取P（y）= x F(x, y)对给定y都成立。 若应用上式时，以x取代y 得x(x(x>x))，这是假命题 *出错原因是违背了（2）。
第二章谓词逻辑
2-7 谓词演算的推理理论 授课人：李朔 Email:chn.nj.ls@
1
一、谓词演算推理规则
谓词演算的推理方法,可以看作是命题演算 推理方法的扩张。
《离散数学课件》谓词逻辑2
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成真解释、成假解释
给定公式一个解释： (I0；a1，…，an；A1，…，Am；P10，…，Pk0) 公式在该解释下的值记为： (a，A，P0)= (a1,…,an；A1,…,Am；P10,…,Pk0)
• 若(a，A，P0)=T，则称(I0；a；A；P0)为成真解释； • 若(a，A，P0)=F，则称(I0；a；A；P0)为成假解释。
例 个体域I={2，4}. 考察
xA(x)
• • 当A(e)表示e为偶数时，xA(x)=T； 当A(e)表示e为奇数时，xA(x)=F；
6/66
(4) 命题变元
例 个体域I={2，4}，A(e)表示e为偶数. 考察 xA(x)P
• • 当P=T 时，公式的值为真； 当P=F 时，公式的值为假。
1、若对于任意的x∊I,F(x)均为真,
则xF(x)与xF(x)都为真，
从而该公式也为真。
2、若存在x0∊I, 使得F(x0)为假，
则xF(x)为假，从而该公式为真。 故在解释E下该公式为真。 由于E的任意性，所以该公式是永真式。
21/66
可满足、非永真
定义3：给定一个谓词演算公式，其个体域为I, (1)如果在个体域I上存在一个成真解释, 则称公式在I上为可满足公式； (2)如果在个体域I上存在一个成假解释， 则称公式在I上为非永真公式。
证明：在k域 I={1，2，… ，k}上， 原式= ((A(1)∧B(1))∧(A(2)∧B(2)) ∧…∧((A(k)∧B(k) )) (((A(1)∧A(2)∧…∧A(k)) ∧(B(1)∧B(2)∧…∧B(k))) =T 所以原式在k域上永真。
26/66
代换实例（补充）
定义 设A0是含命题变项p1, p2, …,pn的命题公式， A1,A2,…,An是n个谓词公式，用Ai处处代替A0中的pi (1in) ，所得公式A称为A0的代换实例.
成真解释、成假解释
给定公式一个解释： (I0；a1，…，an；A1，…，Am；P10，…，Pk0) 公式在该解释下的值记为： (a，A，P0)= (a1,…,an；A1,…,Am；P10,…,Pk0)
• 若(a，A，P0)=T，则称(I0；a；A；P0)为成真解释； • 若(a，A，P0)=F，则称(I0；a；A；P0)为成假解释。
例 个体域I={2，4}. 考察
xA(x)
• • 当A(e)表示e为偶数时，xA(x)=T； 当A(e)表示e为奇数时，xA(x)=F；
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(4) 命题变元
例 个体域I={2，4}，A(e)表示e为偶数. 考察 xA(x)P
• • 当P=T 时，公式的值为真； 当P=F 时，公式的值为假。
1、若对于任意的x∊I,F(x)均为真,
则xF(x)与xF(x)都为真，
从而该公式也为真。
2、若存在x0∊I, 使得F(x0)为假，
则xF(x)为假，从而该公式为真。 故在解释E下该公式为真。 由于E的任意性，所以该公式是永真式。
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可满足、非永真
定义3：给定一个谓词演算公式，其个体域为I, (1)如果在个体域I上存在一个成真解释, 则称公式在I上为可满足公式； (2)如果在个体域I上存在一个成假解释， 则称公式在I上为非永真公式。
证明：在k域 I={1，2，… ，k}上， 原式= ((A(1)∧B(1))∧(A(2)∧B(2)) ∧…∧((A(k)∧B(k) )) (((A(1)∧A(2)∧…∧A(k)) ∧(B(1)∧B(2)∧…∧B(k))) =T 所以原式在k域上永真。
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代换实例（补充）
定义 设A0是含命题变项p1, p2, …,pn的命题公式， A1,A2,…,An是n个谓词公式，用Ai处处代替A0中的pi (1in) ，所得公式A称为A0的代换实例.
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xy 1且 x y0，该命题真值为 0．
第二节 一阶逻辑合式公式及解释
内容： 合式公式，解释，逻辑有效式，矛盾式，可满足式。 重点： (1) 掌握合式公式的概念，
(2) 掌握量词的辖域，约束变项，自由变项的概念，
(3) 掌握逻辑有效式，矛盾式，可满足式的概念。
一般： (1) 换名规则，代替规则， (2) 解释的概念， (3) 代换实例。
若用 p, q, r 分别表示以上3个命题， 推理形式为 (pq)r ，不是重言式。
二、个体词，谓词，量词。 1、个体词，谓词 。 例如：陈景润是数学家．。 2 是无理数。 小王比小李高2厘米 。 (1) 个体词——简单命题中表示主体或客体的词 (由名词组成)。
个体常项 用 a,b, c 表示 个体词
三、命题符号化。 例1、在一阶逻辑中将下面命题符号化。
(1) 所有的有理数均可表成分数。 解：因无指定个体域，则以全总个体域为个体域。
Q ( x ) ：x 为有理数， F ( x ) ：x 可表成分数，
xQ(x)F(x)
(2) 有的有理数是整数。
解： Q ( x ) ：x 为有理数，Z ( x ) ：x 为整数，
h ( x ,y ) x y ,f a ,g ( x ,y ) a ( 2 x y 1 )
例3 设个体域为实数集，令 I(x) : x是整数． Q(x): x是有理数． A(x,y):xy1． B(x,y):xy0．
试用日常语言叙述下列命题，并指出其真值．
（1）xyA (x,y) （2）yxA (x,y) （3） x y(A (x,y) B (x,y)) （4） x y(A (x ,y) B (x ,y))
命题符号化的形式可能不一样， (2) 一般，除非有特别说明，
均以全总个体域为个体域，
(3) 在引入特性谓词后，使用全称量词用“ ”，
使用存在量词用“ ”，
(4) n 元谓词化为命题至少需要 n 个量词， (5) 当个体域为有限集时，
如D{a1,a2, an}，则 x A ( x ) A ( a 1 ) A ( a 2 ) A ( a n ) x A ( x ) A ( a 1 ) A ( a 2 ) A ( a n ) (6) 多个量词同时出现时， 不能随意颠倒顺序。
(6) 联结词符： ,,, ,
(7) 括号和逗号：( ，)， ， 。
2、元的递归定义。 (1) 个体常项和变项是元。
(2)若 (x1,x2, xn)是任意 n 元函数， t1,t2, ,tn 是元，则 (t1,t2, ,tn)是元。
(3) 只有有限次地使用(1)、(2)生成的符号串才是元。
例如：a , b , x , y , f ( x , y ) x y , g ( x , y ) 2 x y 1 ,
个体变项 用 x,y,z 表示
个体域(或称论域)——个体变项取值的范围。
(2) 谓词——刻画个体词的性质或
个体词之间关系的词。
谓词常项
谓词
都用F,G,H 表示
谓词变项
n 元谓词(用 F(x1,x2, ,xn)表示)
如F ( x , y )：x 比 y 高。
其中F ( x , y ) 是二元谓词，x , y 为个体词。
a ：小王，
b ：小明， F (a , b ) ：小王比小明高。
例如：李华是大学生，
小明是大学生。
F ( x ) ：x 是大学生，
一元谓词
a ：李华
个体常项
b ：小明
个体常项
F(a),F(b) 分别表示李华，小明是大学生，
它们是0元谓词。
2、量词——表示数量的词。
量词 全称量词
存在量词
使用量词时，应注意以下6点： (1) 在不同个体域中，
了解： (1) 闭式的概念， ( 判断合式公式的类型。
一、一阶逻辑中的合式公式。 1、字母表。
(1) 个体常项： a ,b ,c, .a i,b i,ci, ,i 1 (2) 个体变项： x,y,z, .xi,yi,zi, ,i 1 (3) 函数符号： f,g ,h , .fi,g i,h i, ,i 1 (4) 谓词符号： F ,G ,H , .F i,G i,H i, ,i 1 (5) 量词符号： ,
xF(x)H(x)
(3) 没有不犯错误的人。
解：M ( x ) ：x 是人，F ( x ) ：x 犯错误，
xM (x) F(x)
原命题即：“每个人都犯错误”。
又可符号化为：xM(x) F(x)
(4) 每列火车都比某些汽车快。 某些汽车比所有的火车慢。
解：F ( x ) ：x 是火车，G ( y ) ：y 是汽车， H ( x, y) ：x 比 y 快，
第一句为： x F ( x ) y G ( y ) H ( x ,y ) 或 x y F ( x ) G ( y ) H ( x ,y )
第二句为： y G ( y ) x F ( x ) H ( x ,y ) 或 y x G ( y ) F ( x ) H ( x ,y )
解 ： （ 1 ） 对 于 任 意 实 数 x， 存 在 着 实 数 y， 使
得 xy 1．该命题真值为1 ．
（2）存在着实数 y，使得对于任意实数 x ，都
有 xy 1．该命题真值为0．
（3）存在着实数x和 y,使得 xy 1且x y0．该
命题真值为1 ．
（4）对于任意实数 x，存在着实数 y，使得
第二章 谓词逻辑 第一节 谓词逻辑基本概念
内容： 个体词，谓词，量词，命题符号化。 重点： 1、掌握个体词，谓词，量词的有关概念，
2、掌握在一阶逻辑中的命题符号化。
一、谓词逻辑研究的内容。 例如：判断以下推理是否正确： 凡人都是要死的， 苏格拉底是人， 所以苏格拉底是要死的。
这是著名的“苏格拉底三段论”，
xQ(x)Z(x)
注：若本题指定的个体域为有理数集，
则(1)，(2)分别符号化为xF (x) 和 xZ (x) 。
例2、在一阶逻辑中将下列命题符号化。 (1) 凡偶数均能被2整除。
解：F ( x ) ：x 是偶数，G ( x ) ：x 能被2整除，
xF(x) G(x)
(2) 存在着偶素数。
解：F ( x ) ：x 是偶数，H ( x ) ：x 是素数，
第二节 一阶逻辑合式公式及解释
内容： 合式公式，解释，逻辑有效式，矛盾式，可满足式。 重点： (1) 掌握合式公式的概念，
(2) 掌握量词的辖域，约束变项，自由变项的概念，
(3) 掌握逻辑有效式，矛盾式，可满足式的概念。
一般： (1) 换名规则，代替规则， (2) 解释的概念， (3) 代换实例。
若用 p, q, r 分别表示以上3个命题， 推理形式为 (pq)r ，不是重言式。
二、个体词，谓词，量词。 1、个体词，谓词 。 例如：陈景润是数学家．。 2 是无理数。 小王比小李高2厘米 。 (1) 个体词——简单命题中表示主体或客体的词 (由名词组成)。
个体常项 用 a,b, c 表示 个体词
三、命题符号化。 例1、在一阶逻辑中将下面命题符号化。
(1) 所有的有理数均可表成分数。 解：因无指定个体域，则以全总个体域为个体域。
Q ( x ) ：x 为有理数， F ( x ) ：x 可表成分数，
xQ(x)F(x)
(2) 有的有理数是整数。
解： Q ( x ) ：x 为有理数，Z ( x ) ：x 为整数，
h ( x ,y ) x y ,f a ,g ( x ,y ) a ( 2 x y 1 )
例3 设个体域为实数集，令 I(x) : x是整数． Q(x): x是有理数． A(x,y):xy1． B(x,y):xy0．
试用日常语言叙述下列命题，并指出其真值．
（1）xyA (x,y) （2）yxA (x,y) （3） x y(A (x,y) B (x,y)) （4） x y(A (x ,y) B (x ,y))
命题符号化的形式可能不一样， (2) 一般，除非有特别说明，
均以全总个体域为个体域，
(3) 在引入特性谓词后，使用全称量词用“ ”，
使用存在量词用“ ”，
(4) n 元谓词化为命题至少需要 n 个量词， (5) 当个体域为有限集时，
如D{a1,a2, an}，则 x A ( x ) A ( a 1 ) A ( a 2 ) A ( a n ) x A ( x ) A ( a 1 ) A ( a 2 ) A ( a n ) (6) 多个量词同时出现时， 不能随意颠倒顺序。
(6) 联结词符： ,,, ,
(7) 括号和逗号：( ，)， ， 。
2、元的递归定义。 (1) 个体常项和变项是元。
(2)若 (x1,x2, xn)是任意 n 元函数， t1,t2, ,tn 是元，则 (t1,t2, ,tn)是元。
(3) 只有有限次地使用(1)、(2)生成的符号串才是元。
例如：a , b , x , y , f ( x , y ) x y , g ( x , y ) 2 x y 1 ,
个体变项 用 x,y,z 表示
个体域(或称论域)——个体变项取值的范围。
(2) 谓词——刻画个体词的性质或
个体词之间关系的词。
谓词常项
谓词
都用F,G,H 表示
谓词变项
n 元谓词(用 F(x1,x2, ,xn)表示)
如F ( x , y )：x 比 y 高。
其中F ( x , y ) 是二元谓词，x , y 为个体词。
a ：小王，
b ：小明， F (a , b ) ：小王比小明高。
例如：李华是大学生，
小明是大学生。
F ( x ) ：x 是大学生，
一元谓词
a ：李华
个体常项
b ：小明
个体常项
F(a),F(b) 分别表示李华，小明是大学生，
它们是0元谓词。
2、量词——表示数量的词。
量词 全称量词
存在量词
使用量词时，应注意以下6点： (1) 在不同个体域中，
了解： (1) 闭式的概念， ( 判断合式公式的类型。
一、一阶逻辑中的合式公式。 1、字母表。
(1) 个体常项： a ,b ,c, .a i,b i,ci, ,i 1 (2) 个体变项： x,y,z, .xi,yi,zi, ,i 1 (3) 函数符号： f,g ,h , .fi,g i,h i, ,i 1 (4) 谓词符号： F ,G ,H , .F i,G i,H i, ,i 1 (5) 量词符号： ,
xF(x)H(x)
(3) 没有不犯错误的人。
解：M ( x ) ：x 是人，F ( x ) ：x 犯错误，
xM (x) F(x)
原命题即：“每个人都犯错误”。
又可符号化为：xM(x) F(x)
(4) 每列火车都比某些汽车快。 某些汽车比所有的火车慢。
解：F ( x ) ：x 是火车，G ( y ) ：y 是汽车， H ( x, y) ：x 比 y 快，
第一句为： x F ( x ) y G ( y ) H ( x ,y ) 或 x y F ( x ) G ( y ) H ( x ,y )
第二句为： y G ( y ) x F ( x ) H ( x ,y ) 或 y x G ( y ) F ( x ) H ( x ,y )
解 ： （ 1 ） 对 于 任 意 实 数 x， 存 在 着 实 数 y， 使
得 xy 1．该命题真值为1 ．
（2）存在着实数 y，使得对于任意实数 x ，都
有 xy 1．该命题真值为0．
（3）存在着实数x和 y,使得 xy 1且x y0．该
命题真值为1 ．
（4）对于任意实数 x，存在着实数 y，使得
第二章 谓词逻辑 第一节 谓词逻辑基本概念
内容： 个体词，谓词，量词，命题符号化。 重点： 1、掌握个体词，谓词，量词的有关概念，
2、掌握在一阶逻辑中的命题符号化。
一、谓词逻辑研究的内容。 例如：判断以下推理是否正确： 凡人都是要死的， 苏格拉底是人， 所以苏格拉底是要死的。
这是著名的“苏格拉底三段论”，
xQ(x)Z(x)
注：若本题指定的个体域为有理数集，
则(1)，(2)分别符号化为xF (x) 和 xZ (x) 。
例2、在一阶逻辑中将下列命题符号化。 (1) 凡偶数均能被2整除。
解：F ( x ) ：x 是偶数，G ( x ) ：x 能被2整除，
xF(x) G(x)
(2) 存在着偶素数。
解：F ( x ) ：x 是偶数，H ( x ) ：x 是素数，