第十一章 机械振动

第十一章机械振动

一．简谐运动

1、机械振动：物体在某一位置附近的运动即为机械振动，简称振动。物体原来静止的位置叫做。

2、弹簧振子:

把一个有孔的小球装在弹簧的一端,弹簧的另一端固定,小球穿在光滑的杆上,能够自由滑动,两者之间的可以忽略,弹簧的与小球相比也可忽略。这样的系统称为弹簧振子。弹簧振子是一种理想模型。

3、简谐运动及其图象：

如果质点的位移与时间的关系遵从，即它的振动图象（x－t图象）是一条，这样的振动叫做简谐运动。

典例例题：

例、如图所示是某质点做简谐运动的振动图象，根据图象中的信息，回答下列问题：

1）在2s、4s、8s这三个时刻，质点的位移是多少？

2）在4s、6s、10s这三个时刻，质点各在

哪里？

3）在1s、3s、5 s这三个时刻，质点向哪

个方向运动？

4）质点在前4s内走过的路程是多少？

5）从2s到4s弹簧振动子的位移、速度、

加速度、动能、弹性势能如何变化？

课后练习：

1、如图所示是某质点做简谐运动的振动图象。根据图象中的信息，回答下列问题。

(1)质点离开平衡位置的最大距离有多大?

(2)在1.5s和2.5 s这两个时刻，质点的位置各在哪里?

(3)在1.5 s和2.5 s这两个时刻，质点向哪个方向运动?

2、如上题图所示，在t＝O到t＝4s的范围内回答以下问题。

(1)质点相对平衡位置的位移方向在哪些时间内跟它瞬时速度的方向相同?在哪些时间内跟瞬时速度的方向相反?

(2)质点在第2 s末的位移是多少?

(3)质点在前2 s内走过的路程是多少?

二.简谐振动的描述

1．振幅：

1）物理意义：振幅是描述振动 的物理量。

2）定义：振动物体离开平衡位置的 ，叫做振动的振幅。 3）单位：在国际单位制中，振幅的单位是米（m ）。 4）振幅和位移的区别:

①振幅是指振动物体离开平衡位置的 距离，是标量；而位移是振动物体所在位置相对平衡位置的位移，是矢量。

②对于一个给定的振动，振子的位移是时刻变化的，但振幅是不变的。 ③振幅等于最大位移的数值 2．周期和频率 1）全振动：

从O 点开始，一次全振动的完整过程为：O →A →O →A ／

→O 。

从A 点开始，一次全振动的完整过程为：A →O →A ／

→O →A 。

从A ／点开始，一次全振动的完整过程为：A ／→O →A →O →A ／

。 2）周期和频率 ①周期：做简谐运动的物体完成一次 所需的时间，叫做振动的周期，单位：s 。

②频率：单位时间内完成的 的次数，叫频率，单位：Hz ，1Hz=1s -1

。 ③周期和频率之间的关系：T ＝1

f

3. 简谐运动的表达式: 1）简谐运动的振动方程

既然简谐运动的位移和时间的关系可以用正弦曲线或余弦曲线来表示，那么若以x 代表质点对于平衡位置的位移，t 代表时间，根据三角函数知识，x 和t 的函数关系可以写成 x=Asin （ωt+ϕ）

公式中的A 代表振动的 ，ω叫做 ，它与频率f 之间的关系为：ω=2πf ；公式中的（ωt+ϕ）表示简谐运动的相位，t=0时的相位ϕ叫做初相位，简称 。

2）两个同频率简谐运动的相位差：

设两个简谐运动的频率相同，则据ω=2πf ，得到它们的圆频率相同，设它们的初相分别为ϕ1和ϕ2，它们的相位差就是=∆ϕ（ωt+ϕ2）－（ωt+1ϕ）=ϕ2－ϕ1 讨论：

一个物体运动时，其相位变化多少就意味着完成了一次全振动?

典例例题：

例题1、两个简谐振动分别为x 1=4asin （4πbt+

21π）和x 2=2asin （4πbt+2

3

π） 求：它们的振幅之比、各自的频率，以及它们的相位差。

例题2、如图所示是A 、B 两个弹簧振子的振动图象，求它们的相位差。

例题3、某简谐运动的位移与时间关系为：x=0.1sin （100πt+π／2）cm ，由此可知该振动的振幅是______cm ，频率是 Hz ，t=0时刻振动物体

的位移与规定正方向______（填“相同”或“相反”），t=T/2时刻振动物体的位移与规定正方向______（填“相同”或“相反”）。

课后练习：

1．右图是弹簧振子的振动图线，请回答下列问题：

(1)振子的振幅、周期、频率各是多少？

(2)指出振子在t 为0.2s 、0.3s 、0.4s 、0.6s 、0.7s 、0.8s 时刻的位移、加速度、速度的方向。（用“正”或“负”表示与x 轴正方向相同或相反。数值为零时填“零”）

2．如图所示，质点在直线上做简谐运动，经a 点向右运动0.2s 后第一次到达b 点时的速度与a 点的速度相同，由b 点又经0.1s 到达c 点时速度为零。已知cm ab 00.20 ，bc=5cm 。试求：

（1）质点振动的频率。

（2）质点经a 向右运动1.7s 内的路程。 （3）1.7s 末相对平衡位置的位移。

（4）质点在a 点的加速度大小与在c 点的加速度大小之比。

三、单摆：

1、单摆：一根绳子上端固定，下端系着一个球。如果细线的 与小球质量相比可以忽略，球的 与线的长度相比可以忽略，这样的装置叫做 。单摆是实际摆的理想化模型。

2、单摆的回复力：

3、单摆振动是简谐运动：

回复力特征： 。 单摆做简谐运动的条件： 。

a b c

4、单摆的周期：

理论推导和证明得到周期公式：（荷兰物理学家惠更斯发现）

g

L

T π

2= 这个公式的提出是在单摆做简谐运动的前提下推出的，即满足摆角α＜100

。

条件：摆角α＜100。

5、用单摆测定重力加速度:

根据这个周期公式测某地的重力加速度，g= ，即只要测出单摆的 和 ，就可以得到单摆所在地的重力加速度。

单摆周期与振幅无关的性质，叫做 。单摆的等时性是由伽利略首先发现的。 典型例题：

例题1．甲、乙两单摆在同一地点做简谐运动的图象如图，由图可知（ ）

A ．甲和乙的摆长一定相等

B ．甲的摆球质量较小

C ．甲的摆角大于乙的摆角

D ．摆到平衡位置时，甲和乙摆线所受的拉力可能相等。 例题2．用单摆测定当地的重力加速度：

在“用单摆测定重力加速度”的实验中，测出单摆摆角小于100

时，完成n 次全振动的时间为t ，用毫米刻度尺测得摆线长为L ，用螺旋测微器测得摆球直径为d 。

（1）用上述物理量的符号写出测重力加速度的一般表达式：g ＝ 。 （2）实验中，有个同学发现他测得的当地重力加速度总是偏大，其原因可能是（ ） A ．实验室处在高山上，距离水平面太高 B ．单摆所用的摆球太重了

C ．测出n 次全振动的时间t ，误作为)1(-n 次全振动的时间进行计算

D ．以摆线长与摆球直径之和作为摆长来计算 课后练习：

1．细长轻绳的下端拴一小球构成单摆，在悬点正下方

2

L

摆长处有一个能挡住摆线的光滑钉子A ，如图。现将单摆向右下方拉开一个小角度，然后无初速地释放。对于以后的运动，下列说法中正确的是（ ）

A ．摆球往返运动一次的周期比无钉子时的单摆周期大

B ．摆球在左右两侧上升的最大高度一样

C ．摆球在平衡位置左右两侧走过的最大弧长相等

D ．摆球在平衡位置右侧的最大摆角比左侧最大摆角的2倍还要大