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高二数学测试题含答案

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2024-2025学年重庆市高二上学期10月月考数学质量检测试题(含解析)

2024-2025学年重庆市高二上学期10月月考数学质量检测试题(含解析)

2024-2025学年重庆市高二上学期10月月考数学质量检测试题一､单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.）1. 已知直线过点且与直线平行，则直线的一般式方程为（1l()2,5A 2:240l x y +-=1l ）A. B. 290x y ++=290x y +-=C. D. 290x y ++=290x y +-=2. 已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是（ ）(2,2,1)a =- ()4,0,3b = b aA. （4，0，3）B. （4，0，3}C. （2，2，-1）D.591559（2，2，-1）133. 如图所示，在平行六面体中，为与的交点，若1111ABCD A B C D -M 11A C 11B D ，则等于（）1,,AB a AD b AA c ===BM A. B. 1122-+a b c1122++a b cC. D. 1122--+ a b c1122a b c-++ 4. 已知空间三点O (0，0，0)，A (12)，B -1，2)，则以OA ，OB为邻边的平行四边形的面积为（ ）A. 8B. 4C. D. 5. 已知，，，直线l 过点B ，且与线段AP 相交，则直线l 的斜()2,3A -()3,2B --()1,1P率k 的取值范围是（ ）A. 或B. 4k ≤-34k ≥1354k -≤≤C .或 D.或34k ≤-4k ≥15k ≤-34k ≥6. 在棱长为的正四面体中，，，则（ ）3ABCD 2AM MB = 2CN ND=MN =A .D. 27. 如图所示，在正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，棱长为1，E ，F 分别是BC，CD 上的点，且BE ＝CF ＝a (0<a <1)，则D ′E 与B ′F 的位置关系是（）A. 平行B. 垂直C. 相交D. 与a 值有关8. 已知二面角C -AB -D 的大小为120°，CA ⊥AB ，DB ⊥AB ，AB =BD =4，AC =2，M ，N分别为直线BC ，AD 上两个动点，则最小值为（）MN二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9. 直线，则（）:10l x ++=A. 点在上B. 的倾斜角为(-l l 5π6C. 的图象不过第一象限D. 的方向向量为l l )10. 下列结论正确的是（）A. 两个不同的平面的法向量分别是，则,αβ()()2,2,1,3,4,2u v =-=-αβ⊥B. 直线的方向向量，平面的法向量，则l ()0,3,0a =α()1,0,2u =//l αC. 若，则点在平面内()()()2,1,4,4,2,0,0,4,8AB AC AP =--==--P ABC D. 若是空间的一组基底，则向量也是空间一组基底,,a b b c c a +++ ,,a b c11. 如图，在多面体中，平面，四边形是正方形，且ABCDES SA ⊥ABCD ABCD DE ∥，分别是线段的中点，是线段上的一个动点SA 22,,SA AB DE M N ===,BC SB Q DC （含端点），则下列说法正确的是（）,D CA. 存在点，使得Q NQ SB⊥B. 存在点，使得异面直线与所成的角为Q NQ SA 60oC. 三棱锥体积的最大值是Q AMN -23D. 当点自向处运动时，二面角的平面角先变小后变大Q D C N MQ A --三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）12. 已知点，则直线的倾斜角是______．)(),AB AB 13.如图，在四棱锥中，平面平面，底面是矩形，P ABCD -PCD ⊥ABCD ABCD ，，点是的中点，点为线段上靠近的三26AB BC ==,⊥=PC PD PC PD O CD E PB B 等分点，则点到直线的距离为______．E AO14.如图，在中，，过的中点的动直线与线段ABC V π6,4AC BC C ===AC M l 交于点，将沿直线向上翻折至，使得点在平面内的射影AB N AMN l 1A MN 1A BCMN 落在线段上，则斜线与平面所成角的正弦值的最大值为________．H BC 1A M BCMN四､解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）15. 已知直线过点.l (2,2)P （1）若直线与垂直，求直线的方程；l 360x y -+=l （2）若直线在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程.l l 16. 已知空间中三点，，．(),1,2A m -()3,1,4B -()1,,1C n -（1）若，，三点共线，求的值；A B C m n +（2）若，的夹角是钝角，求的取值范围．AB BCm n +17. 如图，在四棱锥中，底面ABCD 为直角梯形，且，，P ABCD -AB AD ⊥2AD BC =u u u r u u u r已知侧棱平面ABCD ，设点E 为棱PD 的中点．AP ⊥（1）证明：平面ABP ；//CE （2）若，求点P 到平面BCE 的距离．2AB AP AD ===18. 如图1，在中，，，分别为边，的中点，且MBC △BM BC ⊥A D MB MC ，将沿折起到的位置，使，如图2，连接，2BC AM ==△MAD AD PAD △PA AB ⊥PB .PC（1）求证：平面；PA ⊥ABCD （2）若为的中点，求直线与平面所成角的正弦值；E PC DE PBD （3）线段上一动点满足，判断是否存在，使二面角PC G (01)PGPC λλ=≤≤λ的值；若不存在，请说明理由.G AD P --λ19. 人脸识别是基于人的脸部特征进行身份识别的一种生物识别技术．主要应用距离测试样本之间的相似度，常用测量距离的方式有3种．设，，则欧几里得距离()11,A x y ()22,B x y；曼哈顿距离，余弦距离(,)D A B =1212(,)d A B x x y y =-+-，其中（为坐标原点）．(,)1cos(,)e A B A B =-cos(,)cos ,A B OA OB =〈〉O （1）若，，求，之间的曼哈顿距离和余弦距离；(1,2)A -34,55B ⎛⎫⎪⎝⎭A B (,)d A B (,)e A B （2）若点，，求的最大值；(2,1)M (,)1d M N =(,)e M N （3）已知点，是直线上的两动点，问是否存在直线使得P Q :1(1)l y k x -=-l ，若存在，求出所有满足条件的直线的方程，若不存在，请说明min min (,)(,)d O P D O Q =l 理由．2024-2025学年重庆市高二上学期10月月考数学质量检测试题一､单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.）1. 已知直线过点且与直线平行，则直线的一般式方程为（1l()2,5A 2:240l x y +-=1l ）A. B. 290x y ++=290x y +-=C .D. 290x y ++=290x y +-=【正确答案】B【分析】根据题意，得到，结合直线的点斜式方程，即可求解.12l k =-【详解】直线的斜截式方程为，则其斜率为，2l24y x =-+2-因为直线过点，且与直线平行，所以，1l()2,5A 2l12l k =-则直线的点斜式方程为，即为．1l()522y x -=--290x y +-=故选：B.2. 已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是（ ）(2,2,1)a =- ()4,0,3b = b aA. （4，0，3）B. （4，0，3}C. （2，2，-1）D.591559（2，2，-1）13【正确答案】C【分析】根据向量在向量上的投影向量的概念求解即可.【详解】向量在向量上的投影向量为，b a 22224035(2,2,1)22(1)9||||b aaa a a →→→→→→⋅⨯+-⋅=⋅=-++-故选：C3. 如图所示，在平行六面体中，为与的交点，若1111ABCD A B C D -M 11A C 11B D ，则等于（ ）1,,AB a AD b AA c ===BMA. B. 1122-+a b c1122++a b cC. D. 1122--+ a b c1122a b c-++ 【正确答案】D【分析】根据空间向量的线性运算即可得到答案.【详解】因为为与的交点，M 11A C 11B D 所以111111()22BM BB B M AA BD AA AD AB =+=+=+-.111112222AB AD A ca b A =-++=-++故选：D.4. 已知空间三点O (0，0，0)，A (12)，B-1，2)，则以OA ，OB为邻边的平行四边形的面积为（ ）A. 8B. 4C. D. 【正确答案】D【分析】先求出OA ，OB 的长度和夹角，再用面积公式求出的面积进而求得四边形OAB △的面积.【详解】因为O (0，0，0)，A (12)，B-1，2)，所以，OA ==OB ==2),1,2),OA OB ==-，1cos ,2OA OB ==所以sin ,OA OB =以OA ，OB 为邻边的平行四边形的面积为1222ABC S =⨯⨯= 故选：D.5. 已知，，，直线l 过点B ，且与线段AP 相交，则直线l 的斜()2,3A -()3,2B --()1,1P 率k 的取值范围是（）A. 或B. 4k ≤-34k ≥1354k -≤≤C.或 D.或34k ≤-4k ≥15k ≤-34k ≥【正确答案】B【分析】画出图形，数形结合得到，求出，得到答案.BP BA k k k ≥≥,BP BA k k 【详解】如图所示：由题意得，所求直线l 的斜率k 满足，BP BA k k k ≥≥即且，所以．231325k -+≥=---123134k +≤=+1354k -≤≤故选：B ．6. 在棱长为的正四面体中，，，则（ ）3ABCD 2AM MB = 2CNND =MN =A. D. 2【正确答案】B【分析】将用、、表示，利用空间向量数量积的运算性质可求得.MN AB AC AD MN【详解】因为，所以，，2AM MB = 23AM AB=又因为，则，所以，，2CN ND = ()2AN AC AD AN -=- 1233AN AC AD =+ 所以，，122333MN AN AM AC AD AB=-=+-由空间向量的数量积可得，293cos 602AB AC AB AD AC AD ⋅=⋅=⋅==因此，1223MN AC AD AB =+-=.==故选：B.7. 如图所示，在正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，棱长为1，E ，F 分别是BC ，CD 上的点，且BE ＝CF ＝a (0<a <1)，则D ′E 与B ′F 的位置关系是（）A. 平行B. 垂直C. 相交D. 与a 值有关【正确答案】B【分析】建立坐标系，利用向量的乘积计算出，即可求解''0D E B F ⋅=【详解】建立如图所示空间直角坐标系.则，，，，'(0,0,1)D (1,1,0)E a -'(1,1,1)B (0,1,0)F a -，'(1,1,1)D E a ∴=-- '(1,,1)B F a =---，''(1)(1)1()(1)(1)110D E B F a a a a ∴⋅=-⨯-+⨯-+-⨯-=--+=''D E B F∴⊥ 故选：B本题考查空间向量的垂直的定义，属于基础题8. 已知二面角C -AB -D 的大小为120°，CA ⊥AB ，DB ⊥AB ，AB =BD =4，AC =2，M ，N 分别为直线BC ，AD 上两个动点，则最小值为（ ）MN【正确答案】D【分析】将二面角放到长方体中，根据二面角的定义得到，根据C AB D --120CAF ∠=︒几何知识得到最小值为异面直线，的距离，然后将异面直线，的距离MNBC AD BC AD 转化为直线到平面的距离，即点到平面的距离，最后利用等体积求点BC ADE C ADE 到平面的距离即可.C ADE 【详解】如图，将二面角放到长方体中，取，过点作面交C AB D --4CE BD ==E ⊥EF ABD 面于点，ABD F 由题意可知，，所以为二面角的平面角，即AB AF ⊥CA AB ⊥CAF ∠C AB D --，120CAF ∠=︒因为，分别为直线，上的两个动点，所以最小值为异面直线，M N BC AD MNBC 的距离，AD 由题意知，，所以四边形为平行四边形，，CE BD ∥CE BD =CBDE CB DE ∥因为平面，平面，所以∥平面，则异面直线，的DE ⊂ADE CB ⊄ADE CB ADE BC AD 距离可转化为直线到平面的距离，即点到平面的距离，BC ADE C ADE 设点到平面的距离为，则，，C ADE d C ADED CAE V V --=1133ADE CAE S d S AB⋅⋅=⋅⋅ 在直角三角形中，，，所以，CAH 18012060CAH ∠=︒-︒=︒2CA =1HA=，CH EF ==3AF =AE ==直角梯形中，，ABDF FD ==AD ==，DE ==因为，，所以，，222AC AECE +=222AE DE AD +=CA AE ⊥AE DE ⊥，，122CAE S =⨯⨯=12ADE S =⨯= CAE ADE S AB d S ⋅===故选：D.方法点睛：求异面直线距离的方法：（1）找出异面直线的公垂线，然后求距离；（2）转化为过直线甲且与直线乙平行的平面与直线乙的距离.二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9. 直线，则（）:10l x ++=A. 点在上B. 的倾斜角为(-l l 5π6C. 的图象不过第一象限D. 的方向向量为l l )【正确答案】BC【分析】利用点与直线的位置关系可判断A选项；求出直线的斜率，可得出直线的倾斜l l 角，可判断B 选项；作出直线的图象可判断C 选项；求出直线的方向向量，可判断D 选l l 项.【详解】对于A 选项，，所以，点不在上，A 错；2210-++≠ (-l 对于B 选项，直线的斜率为，故的倾斜角为，B 对；lk =l 5π6对于C 选项，直线交轴于点，交轴于点，如下图所示：l x ()1,0-y 0,⎛ ⎝由图可知，直线不过第一象限，C 对；l对于D 选项，直线的一个方向向量为，而向量与这里不共线，Dl )1-)1-(错.故选：BC.10. 下列结论正确的是（）A. 两个不同的平面的法向量分别是，则,αβ()()2,2,1,3,4,2u v =-=-αβ⊥B. 直线的方向向量，平面的法向量，则l ()0,3,0a =α()1,0,2u =//l αC. 若，则点在平面内()()()2,1,4,4,2,0,0,4,8AB AC AP =--==--P ABC D. 若是空间的一组基底，则向量也是空间一组基底,,a b b c c a +++ ,,a b c【正确答案】ACD【分析】根据平面向量的法向量垂直判断A ，根据直线与平面的关系判断B ，根据空间中共面基本定理判断C ，由空间向量基本定理判断D.【详解】因为，所以，故A 正确；()()2,2,13,4,26820u v ⋅=-⋅-=-+-=αβ⊥因为直线的方向向量，平面的法向量，l ()0,3,0a =α()1,0,2u =不能确定直线是否在平面内，故B 不正确；因为，()0,4,82(2,1,4)(4,2,0)2AP AB AC→→=--=---=-所以，，共面，即点在平面内，故C 正确；AP AB ACP ABC 若是空间的一组基底，,,a b b c c a +++则对空间任意一个向量，存在唯一的实数组，d →(,,)x y z 使得，()()()d x a b y b c z c a =+++++于是，()()()d x z a x y b y z c =+++++ 所以也是空间一组基底，故D 正确.,,a b c故选：ACD.11. 如图，在多面体中，平面，四边形是正方形，且ABCDES SA ⊥ABCD ABCD DE ∥，分别是线段的中点，是线段上的一个动点SA 22,,SA AB DE M N ===,BC SB Q DC （含端点），则下列说法正确的是（）,D CA. 存在点，使得Q NQ SB⊥B. 存在点，使得异面直线与所成的角为Q NQ SA 60oC. 三棱锥体积的最大值是Q AMN -23D. 当点自向处运动时，二面角的平面角先变小后变大Q D C N MQ A --【正确答案】ACD【分析】以A 为坐标原点建立空间直角坐标系，向量法证明线线垂直判断A 选项；向量法求异面直线所成的角判断选项B ；由，求体积最大值判断C 选项；向量法求Q AMN N AMQV V --=二面角余弦值的变化情况判断选项D.【详解】平面，四边形是正方形，SA ⊥ABCD ABCD 以A 为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示空间直角坐标系，,,AB AD AS,,x y z由，22SA AB DE ===；()()()()()()()()0,0,0,2,0,0,2,2,0,0,2,0,0,2,1,0,0,2,1,0,1,2,1,0A B C D E S N M ∴对于A ，假设存在点，使得，()(),2,002Q m m ≤≤NQ SB ⊥则，又，()1,2,1NQ m =--()2,0,2SB =-，解得：，()2120NQ SB m ∴⋅=-+=0m =即点与重合时，，A 选项正确；Q D NQ SB ⊥对于B ，假设存在点，使得异面直线与所成的角为，()(),2,002Q m m ≤≤NQ SA 60o，()()1,2,1,0,0,2NQ m SA =--=-，方程无解；1cos ,2NQ SA NQ SA NQ SA ⋅∴===⋅ 不存在点，使得异面直线与所成的角为，B 选项错误；∴Q NQ SA 60o对于C ，连接；,,AQ AMAN 设，()02DQ m m =≤≤，22AMQ ABCD ABM QCM ADQ mS S S S S =---=-当，即点与点重合时，取得最大值2；∴0m =Q D AMQ S △又点到平面的距离，N AMQ 112d SA ==，C 选项正确；()()maxmax 122133Q AMN N AMQ V V --∴==⨯⨯=对于D ，由上分析知：，()()1,2,1,1,1,1NQ m NM =--=-若是面的法向量，则，(),,m x y z =NMQ ()1200m NQ m x y z m NM x y z ⎧⋅=-+-=⎪⎨⋅=+-=⎪⎩ 令，则，1x =()1,2,3m m m =-- 而面的法向量，AMQ ()0,0,1n =所以，令，cos ,m nm n m n ⋅==[]31,3t m =-∈则，而，cos ,m n ==11,13t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦由从到的过程，由小变大，则由大变小，即由小变大，Q D C m t 1t 所以先变大，后变小，由图知：二面角恒为锐角，cos ,m n故二面角先变小后变大，D 选项正确.故选：ACD.三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）12. 已知点，则直线的倾斜角是______．)(),AB AB 【正确答案】π6【分析】根据已知两点的坐标求得直线的斜率，即可求得答案.AB 【详解】由于，)(),AB故直线的斜率为，AB k ==因为直线的倾斜角范围为，[0,π)故直线的倾斜角是，AB π6故π613.如图，在四棱锥中，平面平面，底面是矩形，P ABCD -PCD ⊥ABCD ABCD ，，点是的中点，点为线段上靠近的三26AB BC ==,⊥=PC PD PC PD O CD E PB B 等分点，则点到直线的距离为______．E AO【正确答案】3【分析】说明两两垂直，从而建立空间直角坐标系，求得相关点坐标，根据空,,OO OC OP '间距离的向量求法，即可求得答案.【详解】取的中点为，连接，因为为的中点，所以AB O ',,PO OO AE ',PC PD O =CD ，PO CD ⊥又平面平面，平面平面，平面，PCD ⊥ABCD PCD ABCD CD =PO ⊂PCD 所以平面，平面，所以，⊥PO ABCD OO '⊂ABCD PO OO '⊥又底面是矩形，点是的中点，的中点为，所以，ABCD O CD AB O 'OO CD '⊥以点为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系如图所示，O ,,OO OC OP ',,x y z由，得，,,6PC PD PC PD CD ⊥==132PO CD ==所以，()()()3,3,0,3,3,0,0,0,3A B P -点为线段上靠近的三等分点，则，E PB B 22(3,3,3)33PE PB ==- 则，所以，，()2,2,1E ()1,5,1AE =-()3,3,0AO =-则，，||AE ==AO AE AO⋅== 因此点到直线的距离，E AO 3d =故314.如图，在中，，过的中点的动直线与线段ABC V π6,4AC BC C ===ACM l 交于点，将沿直线向上翻折至，使得点在平面内的射影AB N AMN l 1A MN 1A BCMN 落在线段上，则斜线与平面所成角的正弦值的最大值为________．H BC 1A M BCMN【分析】首先求出中边，角的正弦与余弦值，以底面点为空间原点建系（如ABC V AB B B 图1），设点，由，得，求出坐标，由(),,A x y z '(),0,0H x (,0,)A x z ',,A C M 得出满足的关系式，从而可得的范围也即的范围，翻折过程MC AM A M '==,x z z A H '中可得，设，，由向量的数量积为0从而得出关于MN AA '⊥1,,02N a a ⎛⎫⎪⎝⎭[)0,4a ∈x 的表达式，求得的范围，再由线面角的正弦值得出结论．a x 【详解】中，根据余弦定理，π,4C ABC =△，得AB ==sin sin ACABB C =，由知，则，sin B =AC AB <B C <cos B =如图1，以底面点为空间原点建系，根据底面几何关系，得点，设点B ()()4,2,0,6,0,0A C ，点的投影在轴上，即，由(),,A x y z 'A '(),0,0H x x ()(),0,,5,1,0A x z M '，根据两点间距离公式，MC AM A M '==．=22(5)1x z -+= 图1 图2如图2，在翻折过程中，作于点，则，AMN A MN '△≌△AE MN ⊥E A E MN '⊥并且平面，,,AE A E E AE A E ='⊂' A AE '所以平面平面，MN ⊥,A AE AA ''⊂A AE '所以，即，其中．MN AA '⊥0MN AA '⋅=()4,2,AA x z '=--又动点在线段上，设，所以，且．N AB 1,,02N a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭15,1,02MN a a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ [)0,4a ∈由，得，0MN AA '⋅= ()()132245210,52,255x a a x a ⎛⎫⎛⎤----==+∈ ⎪ ⎥-⎝⎭⎝⎦又因为，对应的的取值为，即，22(5)1x z -+=z 40,5⎛⎤ ⎥⎝⎦40,5A H ⎛⎤'∈ ⎥⎝⎦由已知斜线与平面所成角是，1A MBCMN A MH '∠所以．sin A H A MH A M ⎛∠=∈ ⎝'''故斜线与平面1A MBCMN 四､解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）15. 已知直线过点.l (2,2)P （1）若直线与垂直，求直线的方程；l 360x y -+=l （2）若直线在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程.l l 【正确答案】（1）； 380x y +-=（2）或y x =40x y +-=【分析】（1）由垂直斜率关系求得直线的斜率，再由点斜式写出方程；l （2）分别讨论截距为0、不为0，其中不为0时可设为，代入点P ，即可求得0x y m ++=参数m【小问1详解】直线的斜率为，则直线的斜率为，则直线的方程为360x y -+=3l 13-l ，即；()1223y x -=--380x y +-=【小问2详解】当截距为0时，直线的方程为；l y x =当截距不为0时，直线设为，代入解得，故直线的方程为l 0x y m ++=(2,2)P 4m =-l .40x y +-=综上，直线的方程为或l y x =40x y +-=16. 已知空间中三点，，．(),1,2A m -()3,1,4B -()1,,1C n -（1）若，，三点共线，求的值；A B C m n +（2）若，的夹角是钝角，求的取值范围．AB BCm n +【正确答案】（1）；1-（2）且不同时成立.13m n +<10m n =-⎧⎨=⎩【分析】（1）由向量的坐标表示确定、，再由三点共线，存在使，AB CBR λ∈AB CB λ= 进而求出m 、n ，即可得结果.（2）由向量夹角的坐标表示求，再根据钝角可得cos ,AB BC <>，讨论的情况，即可求范围.2(3)2(1)180m n -+--<,AB BC π<>=m n +【小问1详解】由题设，，又，，三点共线，(3,2,6)AB m =-- (2,1,3)CB n =--A B C 所以存在使，即，可得，R λ∈AB CB λ=322(1)63m n λλλ-=⎧⎪=-⎨⎪-=-⎩210m n λ=⎧⎪=-⎨⎪=⎩所以.1m n +=-【小问2详解】由，(2,1,3)BC n =--由（1）知：当时，有；,AB BC π<>=1m n +=-而，的夹角是钝cos ,||||AB BC AB BC AB BC ⋅<>==AB BC角，所以，可得；2(3)2(1)182()260m n m n -+--=+-<m n +13<综上，且不同时成立.13m n +<10m n =-⎧⎨=⎩17. 如图，在四棱锥中，底面ABCD 为直角梯形，且，，P ABCD -AB AD ⊥2AD BC =u u u ru u u r已知侧棱平面ABCD ，设点E 为棱PD 的中点．AP ⊥（1）证明：平面ABP ；//CE （2）若，求点P 到平面BCE 的距离．2AB AP AD ===【正确答案】（1）见解析 （2【分析】（1）设为的中点,连接,，利用中位线的性质证明四边形是平F PA BF EF EFBC 行四边形，则可得平面.//CE ABP （2）点为坐标原点建立合适的空间直角坐标系，求出平面的法向量，A BCE (0,1,2)n =利用点到平面的距离公式即可.【小问1详解】设为的中点，连接,，F PA BF EF是的中点，，E PD 1//,2EF AD EF AD ∴=,且，2,//AD BC AD BC =∴ 12BC AD=，//,EF BC EF BC ∴=四边形是平行四边形，，∴EFBC //CE BF ∴又平面平面,BF ⊂ ,ABP CE ⊂/ABP 平面.//CE ∴ABP 【小问2详解】由于侧棱平面，面，AP ⊥ABCD ,AB AD ⊂ABCD ，，则以点为坐标原点,以,,所在的直线,AP AB AP AD ∴⊥⊥AB AD ⊥ A AD AB AP 为轴,轴,轴建立如图空间直角坐标系,x y z，，2AD = 112BC AD ∴==，，，，(0,0,2)P ∴(0,2,0)B (1,2,0)C (1,0,1)E ，，，(1,0,0)BC ∴= (0,2,1)CE =- (0,2,2)PB =-设平面的法向量,BCE (,,)n x y z =则有，即，00n BC n CE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 020x y z =⎧⎨-+=⎩令,则，1y =(0,1,2)n =点到平面的距离.∴PBCE ||||||||||||PB n PB n d PB n PB n ⋅⋅=⋅===⋅18. 如图1，在中，，，分别为边，的中点，且MBC △BM BC ⊥A D MB MC ，将沿折起到的位置，使，如图2，连接，2BC AM ==△MAD AD PAD △PA AB ⊥PB .PC（1）求证：平面；PA ⊥ABCD （2）若为的中点，求直线与平面所成角的正弦值；E PC DE PBD （3）线段上一动点满足，判断是否存在，使二面角PC G (01)PGPC λλ=≤≤λ的值；若不存在，请说明理由.G AD P --λ【正确答案】（1）证明见解析（2（3）存在，14λ=【分析】（1）由中位线和垂直关系得到，，从而得到线面垂直；PA AD ⊥PA AB ⊥（2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，求出线面角的正弦值；（3）求出两平面的法向量，根据二面角的正弦值列出方程，求出，得到答案.14λ=【小问1详解】因为，分别为，的中点，所以.A D MB MC AD BC ∥因为，所以，所以.BM BC ⊥BM AD ⊥PA AD ⊥又，，平面，PA AB ⊥AB AD A ⋂=,AB AD ⊂ABCD 所以平面.PA ⊥ABCD 【小问2详解】因为，，，所以，，两两垂直.PA AB ⊥PA AD ⊥90DAB ∠=︒AP AB AD 以为坐标原点，所在直线分别为轴，A ,,AB AD AP ,,x y z 建立如图所示的空间直角坐标系，A xyz -依题意有，，，，，，A (0,0,0)()2,0,0B ()2,2,0C D (0,1,0)()0,0,2P ()1,1,1E 则，，，.(2,2,2)PC =- (1,0,1)DE = (2,1,0)BD =-(2,0,2)BP =- 设平面的法向量，PBD ()111,,n x y z =则有()()()()11111111112,1,0,,202,0,2,,220BD n x y z x y BP n x y z x z ⎧⋅=-⋅=-+=⎪⎨⋅=-⋅=-+=⎪⎩令，得，，所以是平面的一个法向量.12y =11x =11z =()1,2,1n = PBD 因为，cos ,DE n DE n DE n⋅〈〉====⋅所以直线与平面DE PBD 【小问3详解】假设存在，使二面角λG AD P --即使二面角G AD P --由（2）得，，(2,2,2)(01)PG PC λλλλλ==-≤≤所以，，.(2,2,22)G λλλ-(0,1,0)AD = (2,2,22)AG λλλ=-易得平面的一个法向量为.PAD ()11,0,0n =设平面的法向量，ADG ()2222,,n x y z =，()()()()()2222222222220,1,0,,02,2,22,,22220AD n x y z y AG n x y z x y z λλλλλλ⎧⋅=⋅==⎪⎨⋅=-⋅=++-=⎪⎩ 解得，令，得，20y =2z λ=21x λ=-则是平面的一个法向量.()21,0,n λλ=-ADG由图形可以看出二面角，G AD P --故二面角G AD P --则有，1cos ,n，解得，.=112λ=-214λ=又因为，所以.01λ≤≤14λ=故存在，使二面角14λ=G AD P --19. 人脸识别是基于人的脸部特征进行身份识别的一种生物识别技术．主要应用距离测试样本之间的相似度，常用测量距离的方式有3种．设，，则欧几里得距离()11,A x y ()22,B x y ；曼哈顿距离，余弦距离(,)D A B =1212(,)d A B x x y y =-+-，其中（为坐标原点）．(,)1cos(,)e A B A B =-cos(,)cos ,A B OA OB =〈〉O （1）若，，求，之间的曼哈顿距离和余弦距离；(1,2)A -34,55B ⎛⎫⎪⎝⎭A B (,)d A B (,)e A B （2）若点，，求的最大值；(2,1)M (,)1d M N =(,)e M N （3）已知点，是直线上的两动点，问是否存在直线使得P Q :1(1)l y k x -=-l ，若存在，求出所有满足条件的直线的方程，若不存在，请说明min min (,)(,)d O PD O Q =l 理由．【正确答案】（1）145（2）1-（3）存在，和1y =y x=【分析】（1）代入和的公式，即可求解；(,)d A B (,)e A B （2）首先设，代入，求得点的轨迹，再利用数形结合，结合公式(),N x y (,)1d M N =N ，结合余弦值，即可求解；(),e A B （3）首先求的最小值，分和两种情况求的最小值，对比后，(),D O P 0k =0k ≠(),d O P 即可判断直线方程.【小问1详解】，348614(,)125555d A B +=--+-==，cos(,)cos ,OA OB A B OA OB OA OB⋅=〈〉===；()(),1cos ,1e A B A B =-=-=【小问2详解】设，由题意得：，(,)N x y (,)|2||1|1d M N x y =-+-=即，而表示的图形是正方形，|2||1|1x y -+-=|2||1|1x y -+-=ABCD 其中、、、．()2,0A ()3,1B ()2,2C ()1,1D 即点在正方形的边上运动，，，N ABCD (2,1)OM =(,)ON x y = 可知：当取到最小值时，最大，相应的cos(,)cos ,M N OM ON =<> ,OM ON <>有最大值．(,)e M N 因此，点有如下两种可能：N ①点为点，则，可得；N A (2,0)ON =cos(,)cos ,M N OM ON =<>==②点在线段上运动时，此时与同向，取，N CD ON (1,1)DC =(1,1)ON = 则cos(,)cos ,M N OM ON =<>==的最大值为．>(,)e M N 1【小问3详解】易知，则min (,)D O P (,1)P x kx k -+(,)()|||1|d O P h x x kx k ==+-+当时，，则，，满足题意；0k =(,)()|||1|d O P h x x ==+min (,)1d O P =min (,)1D O P =当时，，0k ≠1(,)()1k d O P h x x kx k x k x k -==+-+=+⋅-由分段函数性质可知，min 1(,)min (0),k d O P h h k ⎛⎫-⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭又且时等号成(0)|1|h k =-≥11k k h k k --⎛⎫=≥ ⎪⎝⎭1k =立．综上，满足条件的直线有且只有两条，和．:1l y =y x =关键点点睛：本题第二问为代数问题，转化为几何问题，利用数形结合，易求解，第3问的关键是理解，同样是转化为代数与几何相结合的问题.min min (,)(,)d O P D O Q =。

高二数学直线测试及答案

高二数学直线测试及答案

（5）直线一、选择题（本大题共10小题 ：每小题5分 ：共50分） 1．和直线3x -4y +5=0关于x 轴对称的直线方程是（ ）A ．3x +4y -5=0B ．3x +4y +5=0C ．-3x +4y -5=0D ．-3x +4y +5=02．若直线的斜率k = -5 ：则倾斜角α=（ ） A ．arctan(-5) B ． π-arctan(-5) C ．arctan5D ． π-arctan53．若直线ax +b y +c=0过第一、二、三象限 ：则（ ） A ．a b>0 ： bc>0 B ．a b>0 ： bc<0 C ．a b<0 ： bc>0D ．a b<0 ： bc<04．如图 ：直线l 1的倾斜角a 1=30° ：直线l 1⊥l 2 ：则l 2的斜率为（ ）A ．-33B ． 33C ．-3D ．35．若斜率为-2的直线l 经过点（0 ：8） ：则l 与两坐标轴围成的三角形面积为（ ）A ．8B ．16C ．32D ．646．若A （-2 ：3） ：B （3 ：-2） ：C （21：m ）三点在同一直线上 ：则m 的值为 （ ）A ．-2B ．2C ．- 21D ． 217．两条直线A 1x +B 1y +C 1=0 ： A 2x +B 2y +C 2=0垂直的充要条件是（ ）A ． A 1 A 2+B 1 B 2=0 B ． A 1 A 2- B 1 B 2=0C ．2121B B A A = -1 D ．2121A A B B =1 8．已知两条直线l 1：y = x ： l 2：ax -y =0 ：其中a 为实数 ：当这两条直线的夹角在（0 ：12）内变动时 ：a 的取值范围是（ ）A ．（0 ：1）B ．(33 ： 3)C ．(33： 1) ∪(1 ： 3)D ．(1 ：3)9．已知直线l 1：y =-2x +3 ：l 2：y ==x -23：则l 1、l 2的夹角是A ．arctan3B ．arctan(-3)C ．π-arctan3D ． π-arctan(-3)10．已知直线l 1：sin θ·x +cos θ·y +m=0 ： l 2：x +cot θ·y +n=0 (θ为锐角 ：m ：n ∈R 且m ≠n)则y xl 2l 1a 2a 1l 1与l 2的位置关系是 （ ）A ．平行B ．垂直C ．重合D ．相交但不垂直二、填空题（本题共4小题 ：每小题6分 ：共24分）11．已知直线l 的方程是kx -y +2+3k =0(k ∈R) ：则直线l 必经过点 ． 12．若直线的倾斜角为π-arctan21：且过点（1 ：0） ：则直线l 的方程为 ． 13．直线 2x -y -4=0绕它与x 轴的交点逆时针旋转45°所得的直线方程是 ． 14．两条平行线3x +4y -12=0和6x +8y +6=0间的距离是 ． 三、解答题（本大题共6题 ：共76分）15．求经过原点且经过以下两条直线的交点的直线的方程:022:,022:21=--=+-y x l y x l ．(12分)16．△ABC 中 ：BC 边上的高所在直线的方程为x -2y +1=0 ：∠A 的平分线所在直线的方程为y =0 ：若点B 的坐标为（1 ：2） ：求点A 和点C 的坐标．(12分) 17．已知两点A (－1 ：－5) ：B (3 ：－2) ：直线l 的倾斜角是直线AB 倾斜角的一半 ：求直线l 的斜率． (12分)18．在△ABC 中 ：已知顶点A (1 ：1) ：B (3 ：6)且△ABC 的面积等于3 ：求顶点C 的轨迹方程．(12分)19．光线从点A （2 ：3）射出 ：若镜面的位置在直线01:=++y x l 上 ：反射线经过 B （1 ：1） ：求入射光线和反射光线所在直线的方程 ：并求光线从A 到B 所走过的路线长．（14分）20．如图 ：根据指令（γ ：θ）（γ≥0 ：-180°<θ≤180°） ：机器人在平面上能完成下列动作：先原地旋转角度θ（θ为正时 ：按逆时针方向旋转θ ：θ为负时 ：按顺时针方向旋转θ） ：再朝其面对的方向沿直线行走距离γ．（1）现机器人在平面直角坐标系的坐标原点 ：且面对x 轴正方向．试给机器人下一个指令 ：使其移动到点（4 ：4）．（2）机器人在完成该指令后 ：发现在点（17 ：0）处有一小球 正向坐标原点作匀速直线滚动．已知小球滚动的速度为机器人直线行走速度的2倍 ：若忽略机器人原地旋转所需的时间 ：问机器人最快可在何处截住小球？并给出机器人截住小球所需的指令（结果用反三角函数表示）．（14分）y4A B （1 ：2）O xy参考答案一．选择题（本大题共10小题 ：每小题5分 ：共50分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案BDDCBDACAA二．填空题（本大题共4小题 ：每小题6分 ：共24分）11．（-3 ：2） 12．x +2 y -1=0 13．3 x + y -6=0 14． 3 三、解答题（本大题共6题 ：共76分） 15．(12分)[解析]:解方程组⎩⎨⎧==⎩⎨⎧=--=+-22 022022y x y x y x 得所以 ： l 1与l 2的交点是(2 ：2)． 设经过原点的直线方程为kx y = ：把点(2 ：2)的坐标代入以上方程 ：得1=k ：所以所求直线方程为.x y =（另：求直线交点与求直线方程的综合 ：求解直线方程也可应用两点式:020020--=--x y ：即.x y =）16．(12分)[解析]：由 ⎩⎨⎧==+-0012y y x 得顶点A （-1 ：0）又 ：AB 的斜率1)1(102=---=ABk因为x 轴是∠A 的平分线 ：故AC 的斜率为-1 ：AC 所在直线的方程为y =-( x +1) ①已知BC 上的高所在直线方程为x -2 y +1=0 ：故BC 的斜率为-2 ：BC 所在的直线方程为y -2=-2(x –1)② 联立①②解得顶点C 的坐标为（5 ：-6）． 17．(12分)[解析]：设直线l 的倾斜角α ：则由题得直线AB 的倾斜角为2α．∵tan2α=ｋAB =.43)1(3)5(2=----- 43tan 1tan 22=-∴σσ即3tan 2α+8tan α－3=0 ： 解得tan α＝31或tan α＝－3． ∵tan2α＝43＞0 ：∴0°＜2α＜90° ： 0°＜α＜45° ： ∴tan α＝31． 因此 ：直线l 的斜率是31 18．(12分)[解析]：设顶点C 的坐标为(x ：y ) ：作CH ⊥AB 于H ：则动点C 属于集合P =｛Ｃ｜321=⋅CH AB ｝ ：∵ｋＡＢ＝251316=--．∴直线AB 的方程是y -1=25(x -1) ：即5x -2y -3=0．∴｜ＣＨ｜＝29325)2(532522--=-+--y x y x329325292129)16()13(22=--⨯⨯∴=-+-=y x AB化简 ：得｜5x -2y -3｜=6 ：即5x -2y -9=0或5x -2y +3=0 ：这就是所求顶点C 的轨迹方程．19．（14分）[解析]：设点A 关于直线l 的对称点为),(00y x A 'l A A 被' 垂直平分 .34123012322000000⎩⎨⎧-=-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--=++++∴y x x y y x 解得)1,1(),3,4(B A --'点 在反射光线所在直线上．∴反射光线的方程为0154414313=+-++=++y x x y 即解方程组⎩⎨⎧=++=+-010154y x y x 得入射点的坐标为)31,32(--．由入射点及点A 的坐标得入射光线方程为02453223231331=+-++=++y x x y 即光线从A 到B 所走过的路线长为41)13()14(||22=--+--='B A20．(14分)xy44OPQ[解析]：（1）如图γ=24：θ= 45 ：所下指令为（24 ： 45）（2）设机器最快在点P （x ：0）处截住小球 ：则因为小球速度是机器人速度的2倍 ：所以在相同时间内有22)40()4(217-+-=-x x即73230161232=-==-+x x ，x x或得 因为要求机器人最快地去截住小球 ：即小球滚动距离最短 ：所以x =7 ： 故机器人最快可在点P （7 ：0）处截住小球 ： 又设Q （4 ：4） ：机器人在Q 点旋转的角度为α- 则PQ|5)40()47(222=-+-=1=OQ k ：344740-=--=PQ k（法一）：由1=OQk ⇒∠QOP=45° ：34-=PQ k ⇒∠QPx=34arctan -π34arctan45+=∴ α ： -)34arctan 45(+-= α （法二）： PQOQ PQ OQ k k k k ⋅+-=1tan α71341)34(1-=⋅---=7arctan 180-=∴ α ：)7arctan 180(--=- α 故 ：所给的指令为（5 ：34arctan45--）或（5 ：7arctan 180+- ）。

高二数学__导数、定积分测试题(含答案)

高二数学__导数、定积分测试题(含答案)

高二数学 导数、定积分测试题一、选择题(共10小题，每小题4分,共40分)1. 已知函数f (x )=ax 2＋c ,且(1)f '=2,则a 的值为 （ ） A.1B.2C.－1D. 02. 已知函数()f x 在1x =处的导数为3，则()f x 的解析式可能为 （ ） A ．(x-1)3+3(x-1) B ．2(x-1)2 C ．2(x-1) D ．x-13. 已知函数()f x 在1x =处的导数为1，则(1)(1)3limx f x f x x→--+= ( )A ．3B ．23- C ．13 D ．32- 4. 函数y =(2x ＋1)3在x =0处的导数是 （ ） A.0 B.1 C.3 D.6 5．函数)0,4(2cos π在点x y =处的切线方程是 （ ）A ．024=++πy xB ．024=+-πy xC ．024=--πy xD ．024=-+πy x6.曲线3cos (0)2y x x π=≤≤与坐标轴围成的面积是 （ ） A.4 B. 52C.3D.27．一质点做直线运动,由始点起经过ts 后的距离为s=41t 4-4t 3+16t 2,则速度为零的时刻是 （ ） A.4s 末 B.8s 末 C.0s 与8s 末 D.0s,4s,8s 末 8．函数313y x x =+- 有 （ ）A.极小值-1，极大值1B. 极小值-2，极大值3C. 极小值-1，极大值3D. 极小值-2，极大值29. 已知自由下落物体的速度为V=gt ，则物体从t=0到t 0所走过的路程为（ ） A ．2012gt B ．20gt C ． 2013gt D ．2014gt10．如果10N 的力能使弹簧压缩10cm ，为在弹性限度内将弹簧拉长6cm ，则力所做的功为 （ ） A ．0.28J B ．0.12J C ．0.26J D ．0.18J11设函数f (x)在定义域内可导，y = f (x)的图象如图所示，则导函数 y =f ′(x)的图象可能是12．f (x )与g(x )是定义在R 上的两个可导函数，若f (x ),g(x )满足f ′(x )=g ′(x ),则f (x )与g (x )满足（ ）A 、f (x )=g (x )B 、f (x )－g (x )为常数函数C 、f (x )=g (x )=0D 、f (x )+g (x )为常数函数二、填空题(共5小题，每小题5分,共25分)13．函数32y x x x =--的单调区间为___________________________________。

高二数学必修二第一章检测试题(含答案)

高二数学必修二第一章检测试题(含答案)

高二数学必修二第一章测试题一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1、 图（1）是由哪个平面图形旋转得到的（ ）A B C D2、过圆锥的高的三等分点作平行于底面的截面，它们把圆锥侧面分成的三部分的面积之比（ ）A.1：2：3B.1：3：5C.1：2：4D.1：3：93、已知水平放置的ABC 的平面直观图A B C '''是边长为a 的正三角形，那么ABC 的面积为（ ） A.222a 2D. 32a4、已知圆柱与圆锥的底面积相等，高也相等，它们的体积分别为V 1和V 2，则V 1：V 2是：（ ）A. 1：3B. 1：1C. 2：1D. 3：1 5、如果两个球的体积之比为8:27,那么两个球的表面积之比为( )A.8:27B. 2:3C.4:9D. 2:96、有一个几何体的三视图及其尺寸如下（单位cm ），则该几何体的表面积及体积为（ ）A. 24πcm 2，12πcm 3B. 15πcm 2，12πcm 3C. 24πcm 2，36πcm3D. 以上都不正确7、一个球的外切正方体的表面积等于6 cm 2，则此球的体积为（ ）A.334cm π B.386cm π C. 361cm π D. 366cm π8、一个体积为38cm 的正方体的顶点都在球面上，则球的表面积是（ ）A ．28cm πB ．212cm πC ．216cm πD ．220cm π 9、一个正方体的顶点都在球面上，此球与正方体的表面积之比是（ ）A. 3πB. 4πC. 2π D. π10、如右图为一个几何体的三视图，其中府视图为正三角形，A 1B 1=2，AA 1=4，则该几何体的表面积为（ ）A. 6+3B. 24+3C. 24+23D. 32一、选择题答题表二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）11. 长方体的共顶点的三个侧面面积分别为3，5，15，则它的体积为_______________. 12.一个半球的全面积为Q ，一个圆柱与此半球等底等体积，则这个圆柱的全面积是 . 13、从长方体的一个顶点出发的三条棱上各取一点E 、F 、G ，过此三点作长方体的截面，那么截去的几何体是_________.14、一个圆柱和一个圆锥的母线相等，底面半径也相等，则侧面积之比是_________.三、解答题（本大题共6小题，15、16、17、18每题13分，19、20每题14分，共80分） 15.将圆心角为1200，面积为3π的扇形，作为圆锥的侧面，求圆锥的表面积和体积.16. （如图）在底半径为2母线长为4的圆锥中内接一个高为3的圆柱，求圆柱 的表面积A B 1正视图侧视图府视图17、如图，在四边形ABCD中，，，，，AD=2，求四边形ABCD绕AD旋转一周所成几何体的表面积及体积.18．已知长方体的全面积为11，十二条棱长度之和为24，求长方体的对角线的长。

高二数学测试题(含答案)

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高二数学测试题（含答案）一.选择题1.设集合{}{}6,4,3,2,12≤+==x x x Q P ，则Q P ⋂等于（ ）A.{1，2}B. {3，4}C.{1}D. {-2，-1，0，1，2} 2.下列函数既是奇函数，又在区间[]1,1-上单调递减的是（ ） A.x x f sin )(= B.1)(+-=x x f C.()x x a a x f -+=21)( D.xxx f +-=22ln)( 3.若函数123)(+-=a ax x f 在区间[1,1]-上无零点,则函数)43)(51()(3+--=x x a x g 的递减区间是（ ）()A (2,2)- ()B (1,1)- ()C (,1)-∞- ()D ),1()1,(∞+⋃--∞•••4.空间直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点A （3，1，0），B （-1，c b a +--21213，0），若点C 满足OC =αOA +βOB ，其中α，β∈R ，α+β=1，则点C 的轨迹为A 、平面B 、直线C 、圆D 、线段5.下列说法中错误．．的个数为 ①一个命题的逆命题为真，它的否命题也一定为真；②若一个命题的否命题为假，则它本身一定为真；③12x y >⎧⎨>⎩是32x y xy +>⎧⎨>⎩的充要条件；④a b =与a b =是等价的；⑤“3x ≠”是“3x ≠”成立的充分条件.A 、2B 、3C 、4D 、5 二．填空题1.命题“若a ，b 都是偶数，则a +b 是偶数”的逆否命题是： ．2.与曲线1492422=+y x 共焦点并且与曲线1643622=-y x 共渐近线的双曲线方程为 .3.右面的程序框图输出的结果是4.已知F 1、F 2分别是双曲线1by a x 2222=-（a>0,b>0）的左、右焦点，P 为双曲线上的一点，若︒=∠9021PF F ,且21PF F ∆的三边长成等差数列，则双曲线的离心率是 。

辽宁省普通高中2024-2025学年高二上学期11月期中数学调研测试试题(含解析)

辽宁省普通高中2024-2025学年高二上学期11月期中数学调研测试试题(含解析)

辽宁省普通高中2024-2025学年高二上学期11月期中数学调研测试试题一、单选题（本大题共8小题）1．已知a ，b 为两条直线，，为两个平面，且满足，，，αβa α⊂b β⊂l αβ= ，则“与异面”是“直线与l 相交”的（ ）//a l a b b A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件2．若方程表示双曲线，则实数的取值范围是（ ）22113x y k k +=--k A ．B ．1k <13k <<C ．D ．或3k >1k <3k >3．两平行直线与之间的距离为（）320mx y --=4670x y --=A ．B ．C ．D ．4．设AB 是椭圆（）的长轴，若把AB 一百等分，过每个分点作22221x y a b +=0a b >>AB 的垂线，交椭圆的上半部分于P 1、P 2、… 、P 99 ，F 1为椭圆的左焦点，则的值是（ ）111121991||||||||||F A F P F P F P F B +++++ A ．B ．C ．D ．98a99a100a101a5．已知为直线上的动点，为圆上的动点，点，则A 240x y +-=B 22(1)1x y ++=(1,0)C 的最小值为（ ）2AB BC +A ．B ．C ．D ．6．在四棱锥中，平面，二面角的大小为P ABCD -PA ⊥,ABCD AB BC ⊥P CD A --，若点均在球的表面上，则球的表面积最小值为（ 45,2AD CD ︒+=P A B C D ,,,,O O ）A ．B ．C ．D ．3π8π37．已知曲线：是双纽线，则下列结论正确的是（）C ()()222229xy xy +=-A ．曲线的图象不关于原点对称C B ．曲线经过4个整点（横、纵坐标均为整数的点）C C ．若直线与曲线只有一个交点，则实数的取值范围为y kx =C k (],1-∞-D ．曲线上任意一点到坐标原点的距离都不超过3C O 8．已知平面上两定点、，则所有满足（且）的点的轨迹是一A B PA PBλ=0λ>1λ≠P 个圆心在上，半径为的圆.这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，AB 21AB λλ⋅-故称作阿氏圆.已知棱长为3的正方体表面上动点满足，1111ABCD A B C D -P 2PA PB=则点的轨迹长度为（ ）P A ．B ．C ．D ．2π4π34π3(2π二、多选题（本大题共3小题）9．下列说法命题正确的是（ ）A ．已知，，则在上的投影向量为(0,1,1)a = (0,0,1)b =- a b 110,,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭B ．若直线l 的方向向量为，平面的法向量为，则()1,0,3e =α22,0,3n ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ //l αC ．已知三棱锥，点P 为平面ABC 上的一点，且O ABC -，则()1,2OP OA mOB nOC n m =+-∈R12m n -=D ．若向量，（都是不共线的非零向量）则称在基底p mx ny kz =++,,x y z p 下的坐标为，若在单位正交基底下的坐标为，则{},,x y z (,,)m n k p {,,}a b c (1,2,3)在基底下的坐标为p {,,}a b a b c -+13,,322⎛⎫- ⎪⎝⎭10．已知，是双曲线E ：的左、右焦点，过作倾斜角为1F 2F ()222210,0x y a b a b -=>>1F 的直线分别交y 轴、双曲线右支于点、点，且，下列判断正确的是6πM P 1MP MF =（ ）A ．B．的离心率等于123F PF π∠=E C ．双曲线渐近线的方程为D ．的内切圆半径是y =12PF F 1c ⎛ ⎝11．在直三棱柱中，，，M 是的中点，N111ABC A B C -12AA AB BC ===π2ABC ∠=AB 是的中点，点P 在线段上，点Q 是线段上靠近M 的三等分点，R 是线段11A C 1B NCM 的中点，若面，则（ ）．1AC PR ∥1B CMA ．B ．P 为的中点1PR B Q∥1B N C ．三棱锥的体积为D ．三棱锥的外接球表面积为1P B CM -23P ABC -748π81三、填空题（本大题共3小题）12．已知圆：与圆：交于A ，B 两点，当变1C 2216x y +=2C 22160x y kx y m ++++-=k化时，的最小值为．ABm =13．如图，已知四边形ABCD 是菱形，，点E 为AB 的中点，把4AB BD ==沿DE 折起，使点A 到达点P 的位置，且平面平面BCDE ，则异面直线ADE V PDE ⊥PD 与BC 所成角的余弦值为 ．14．倾斜角为锐角的直线经过双曲线的左焦点，分别交双曲l 2222:1(0)3x y C m m m -=>1F 线的两条渐近线于两点，若线段的垂直平分线经过双曲线的右焦点，则,A B AB C 2F 直线的斜率为.l四、解答题（本大题共5小题）15．如图所示，三棱柱中，侧棱垂直于底面，，111ABC A B C -1AA 5AB =，点分别为的中点.13,4AA AC BC ===,P D 1,AB C B(1)求证：；BC PD ⊥(2)求点到平面的距离C 1PBC 16．已知圆.22:4O x y +=(1)直线截圆的弦长为的值.430x y a -+=O a(2)记圆与、轴的正半轴分别交于两点，动点O x y ,A B Q 的轨迹与圆是否有两个公共点？若有，求出公共弦长；若没有，说明理由.Q O 17．如图，四棱锥中，P ABCD -，，，平面平面，且4AB PA ==2CD CB ==PD =60ABC ∠=︒PAB ⋂PCD l =平面，平面平面.//l ABCD PAD ⊥ABCD(1)求四棱锥的体积；P ABCD -(2)设Q 为上一点，若，求二面角的大小.PC QA QB =Q AB C --18．已知椭圆的右焦点为，点在上，且轴，2222:1(0)x y C a b a b +=>>F 81,3M ⎛⎫ ⎪⎝⎭C MF x ⊥过点且与椭圆有且只有一个公共点的直线与轴交于点．M C x P (1)求椭圆的方程；C (2)点是椭圆C 上异于的一点，且三角形的面积为，求直线的方程；R M MPR 24MR(3)过点的直线交椭圆于，两点（在的左侧），若为线段的中点，P C D E D E N FP 直线交直线于点，为线段的中点，求线段的最大值．NE MF Q T DF TQ 19．在空间直角坐标系中，已知向量，点，若直线以O xyz -(,,)u a b c =()0000,,P x y z l 为方向向量且经过点，则直线的标准式方程可表示为u0P l ；若平面以为法向量且经过点，则平面的点法式000(0)x x y y z z abc a b c ---==≠αu 0P α方程表示为.()()()0000a x xb y yc z z -+-+-=(1)已知直线的标准式方程为，平面的点法式方程可表示为l 112x z-==1α，求直线与平面所成角的正弦值；y +-50z +=l 1α(2)已知平面的点法式方程可表示为，平面外一点，求点2α2320x y z ++-=(1,2,1)P 到平面的距离;P 2α(3)（i ）若集合，记集合中所有点构成的几何体为，{(,,)|||||2,||1}M x y z x y z =+≤≤M S 求几何体的体积；S （ii ）若集合，记集合中所有点构成的{(,,)|||||2,||||2,||||2}N x y z x y y z z x =+≤+≤+≤N 几何体为，求几何体相邻两个面（有公共棱）所成二面角的大小.T T答案1．【正确答案】C【详解】当“与异面”，若直线与l 不相交，由于，则，a b b ,b l β⊂//b l 又，则，这与和异矛盾，故直线与l 相交，//a l //a b a b b 故“与异面”是“直线与l 相交”的充分条件；a b b 当“直线与l 相交”，若与不异面，则与平行或相交，b a b a b 若与平行，又，则，这与直线和l 相交相矛盾；a b //a l //l b b 若与相交，设，则且，得，a b a b A = A α∈A β∈A l ∈即A 为直线的公共点，这与 相矛盾；,a l //a l 综上所述：与异面，即“与异面”是“直线与l 相交”的必要条件；a b a b b 所以“与异面”是“直线与l 相交”的充分必要条件.a b b 故选：C.2．【正确答案】B【详解】若方程表示双曲线，22113x y k k +=--则，得.()()130k k --<13k <<故选：B3．【正确答案】C【详解】由题意知，所以，32467m --=≠--2m =则化为，4670x y --=72302x y --=所以两平行直线与之间的距离为23x y --20=4670x y --=d ==故选：C ．4．【正确答案】D【详解】设椭圆右焦点为F 2，由椭圆的定义知，2，，，12||||2(1i i F P F P a i +==⋯99)．∴99121(||||)299198iii F P F P a a=+=⨯=∑由题意知，，，关于轴成对称分布，1P 2P ⋯99Py ．∴9999112111(||)(||||)992i i i i i F P F P F P a ===+=∑∑又，11||||2F A F B a +=故所求的值为．101a 故选：D ．5．【正确答案】C 【分析】设，不妨令，根据两点间的距离公式求出点的()()011,0,,D x B x y 2BC BD=D 坐标，则要使最小，即最小，求出的最小值即可得2AB BC+()2AB BD +AB BD+解.【详解】设，不妨令，()()011,0,,D x B xy 2BC BD=则=整理得，()2221103134x y x ++=-+110484x x x ++又，所以，()22113133x y ++=2011044810x x x x ---=则，解得，()()001212410x x x +--=012x =-所以存在定点，使得，1,02D ⎛⎫- ⎪⎝⎭2BC BD=要使最小，即最小，2AB BC+()2AB BD +则，B ，D 三点共线，且DA 垂直于直线时取得最小值，如图所示，A 240xy +-=所以的最小值为．2AB BC+故选C.【关键点拨】设，令，将所求转化为求的最小值，()()011,0,,D x B x y 2BC BD=AB BD+是解决本题的关键.6．【正确答案】C【详解】由题设，，，，在一个圆上，故，又，A B C D 180ADC ABC ∠+∠=︒AB BC ⊥所以，即，故是四边形外接圆的直径，90ADC ∠=︒AD CD ⊥AC ABCD由平面，，，平面，则，PA ⊥ABCD BC CD AC ⊂ABCD PA BC ⊥，，PA CD ⊥PA AC ⊥由，，平面，则平面，平面，则，PA AB A = PA AB ⊂PAB ⊥BC PAB PB ⊂PAB BC PB ⊥由，，平面，则平面，平面，则PA AD A= PA AD ⊂PAD CD ⊥PAD PA ⊂PAD ，CD PA ⊥故，，都是以为斜边的直角三角形，故中点为外PBC △PCD △PCA V PC PC P ABCD -接球球心，且为二面角的平面角，故，PDA ∠P CD A --45PDA ∠=︒因为，，45PDA ∠=︒2AD CD +=令且，则，，AD x =02x <<PA x =2CD x =-故，AC ==所以外接球半径，11222PC R ====当时，的表面积的最小值为．23x =min R O 284ππ3⨯=故选：C7．【正确答案】D【详解】对于A ，结合曲线：，将代入，C ()()222229x y x y +=-(),x y --方程不变，即曲线的图象关于原点对称，A 错误；C 对于B ，令，则，解得，0y =()2229x x=3x =±令，则，解得，1x =±()()222191y y +=-21y =令，则，解得，2x =±()()222494y y +=-22y =<故曲线经过的整点只能是，B 错误；C ()()()0,0,3,0,3,0-对于C ，直线与曲线：必有公共点，y kx =C ()()222229x y x y +=-()0,0因此若直线与曲线只有一个交点，则只有一个解，y kx =C ()()222229x y xy y kx⎧+=-⎪⎨=⎪⎩()0,0即只有一个解为，即时，无解，()()24222191x k x k +=-0x =0x ≠()()24222191x k x k +=-故，即实数的取值范围为，C 错误，210k -≤k (][),11,-∞-+∞ 对于D ，由，可得，时取等号，()()222229xy x y +=-()22222299x y x y x y -+=≤+0y =则曲线上任意一点到坐标原点的距离为，即都不超过3，D 正确，CO 3=≤d 故选：D8．【正确答案】C【分析】根据阿氏圆性质求出阿氏圆圆心O 位置及半径，P 在空间内轨迹为以O 为球心的球，球与面，，交线为圆弧，求出截面圆的半径及圆心角，ABCD 11ABB A 11BCC B 求出在截面内的圆弧的长度即可.【详解】在平面中，图①中以B 为原点以AB 为x 轴建系如图，设阿氏圆圆心,半径为，(),0O a r ，2222,2,32123PA PA PB r AB PB=∴=∴=⋅=⨯=- 设圆O 与AB 交于M ,由阿氏圆性质知，2AM MBλ==，||2||2,||2||42BM BO a AM BM a =-=-∴==- ，422633,1,(1,0)a a a a O ∴-+-=-=∴=∴P 在空间内轨迹为以O 为球心半径为2的球，若P 在四边形内部时如图②,截面圆与分别交于M ，R ，所以P 在四边11ABB A 1AB BB ，形内的轨迹为，11ABB A MR在中2,1,RO BO == Rt O RB △，，60ROB ∠= π22π33MR∴⨯==当P 在面内部的轨迹长为，∴11ABB A 2π3同理，当P 在面内部的轨迹长为，ABCD 2π3当P 在面时,如图③所示，11BCCB 面，平面截球所得小OB ⊥11BCC B 11BCC B 圆是以B 为圆心，以BP 为半径的圆，截面圆与分别交于，且1BB BC ，R Q ，BP ===P 在正方形内的轨迹为，∴11BCC BRQ ，∴π2RQ=综上：P 的轨迹长度为.224πππ333+=故选C.9．【正确答案】CD【分析】根据投影向量公式计算判断A ，应用向量共线判断B ，判断四点共面判断C ，根据基底运算判断 D.【详解】对于A ，由于，，则在的投影向量为(0,1,1)a = (0,0,1)b =- a b ，故A 错误；()()0010,0,10,0,111a b b b b ⋅+-⎛⎫⋅=-= ⎪⨯⎝⎭对于B ，因为直线l 的方向向量为，平面的法向量为，所以()1,0,3e =α22,0,3n ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，所以或，B 错误；·220e n =-+=//l αl α⊂对于C ，因为P 为平面ABC 上的一点，所以四点共面，,,,P A B C 则由空间向量共面定理以及可得，()1,2OP OA mOB nOC n m =+-∈R，所以，C 正确；112m n +-=12m n -=对于D ，在单位正交基底下的坐标为，即，p {,,}a b c ()1,2,323a b c p +=+ 所以在基底下满足：p{},,a b a b c-+ ，()()()()x a b y a b zc x y a y x b zc -+++=++-+23a b c =++ 故，，，可得，，，1x y +=2y x -=3z =12x =-32y =3z =则在基底下的坐标为，故D 正确.p {,,}a b a b c -+ 13,,322⎛⎫- ⎪⎝⎭故选CD.10．【正确答案】ACD 【详解】如图所示，因为分别是，的中点，所以中，，所以轴，,M O 1PF 12F F 12PF F 2PF MO ∥2PF x ⊥A 选项中，因为直线的倾斜角为，所以，故A 正确；1PF 6π123F PF π∠=B 选项中，直角中，，，，12PF F 122F F c =2PF =1PF =所以，得：，故B 不正确；122PF PF a -====ce aC 选项中，由，即，即，即222c a b =+223c a =2223a b a +=ba =所以双曲线的渐近线方程为：，故C 正确；by x a =±=D 选项中，的周长为，设内切圆为r ，根据三角形的等面积法，有12PF F (2c +，得：，故D 正确(22cr c +=1r c ⎛= ⎝故选：ACD.11．【正确答案】ACD【详解】对于选项AB ，连接并延长交于S ，连接，BQ CA NS由平面几何知识可得：S 是的中点，且N ，R ，S 三点共线，是重心，CA Q ABC V 因为面，平面，平面平面，所以，PR ∥1B CM PR ⊂1B NSB 1B NSB 11B CM B Q =1PR B Q ∥作交于，由直棱柱性质有，因此是平行四边形，1//SK B Q 1B N K 1//B N BS 1B KSQ ，111133B K SQ BS B N===又由平面几何知识知是中点，因此是中点，R NS P NK 从而，即P 为上靠近N 的三等分点，所以A 正确，1111212233NP NK B N B N ==⨯=1B N B 错误；对于选项C ，，因此是平行四边形，所以与互相平分，123B P BQ BS ==1B PQB BP 1B Q 从而与点到平面的距离相等，三棱锥的体积等于三棱锥P B 1B CM1P B CM -的体积，1B B CM-而，所以C 正确；11112212323B B CM B BCM V V --==⨯⨯⨯⨯=对于选项D ，∵的外心是S ，由得平面，ABC V 1//NS CC NS ⊥ABC ∴三棱锥的外接球球心一定在直线上，P ABC -NS设三棱锥的外接球球心为O ，半径为R ，，P ABC -OS h =则，22222222R OA SA SO hh ==+=+=+，()222222238249R OP NP ON h h h ==+=+-=-+∴，解得：，，2238249h h h +=-+59h =22518728181R =+=球表面积为，所以D 正确．27484ππ81S R ==故选：ACD ．12．【正确答案】2±【详解】与相减，2216x y +=22160x y kx y m ++++-=可得两圆的公共弦所在线的方程为：，kx y m ++由圆：可得，圆的半径为4， 1C 2216x y +=()10,0C圆心到AB 直线的距离为1C d =，AB =211k +≥所以时等号成立，≥0k =又因为的最小值为|AB |所以，解得.=2m =±故答案为.2±13．【正确答案】/340.75【详解】因为，故或其补角就是异面直线PD 与BC 所成的角，//BC AD PDA ∠连接PA ，易知，，4PD AD ==2PE AE ==因为平面平面，菱形中，，PDE BCDE DE =ABCD AB BD =即是正三角形，为中点，则，所以，又，ABD E AB AE DE ⊥PE DE ⊥BE DE ⊥所以即为平面与平面所成的二面角的平面角，PEB ∠PDE BCDE 因为平面平面，PDE ⊥BCDE 所以，，所以，90PEB ∠= 90PEA ∠=PE AE ⊥所以中，PA ==PDA由余弦定理得，2223cos 24PD AD PAPDA PD AD+-∠===⋅所以异面直线PD 与BC 所成角的余弦值为．34故答案为.3414．【正确答案【详解】设中点为，两渐近线可写成，设，AB M 2203x y -=()()1122,A x y B x y 则，且1212(,)22x x y y M ++221122220303x y x y ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩①②①-②可得，()()()()121212123x x x x y y y y +-=-+整理得，，即(*)，121212122321y y y y x x x x +-⋅=+-13OM AB k k ⋅=如图，在中，，则,12Rt F MF △1211||||||2OM F F OF ==212MOF MF O ∠=∠故，即，121212tan tan tan 21tan MF O MOF MF O MF O ∠∠=∠=-∠221ABOM ABk k k =-将此式代入（*）得，解得依题意，，则.2221,13AB AB k k =-21,7AB k =0AB k>AB k =故答案为15．【正确答案】(1)证明见解析；【详解】（1）由，得，则，即5,3,4AB AC BC ===222AB AC BC =+90ACB ∠=︒，BC AC ⊥由平面，平面，则，1AA ⊥ABC ⊂BC ABC 1AA BC ⊥而，平面，于是平面，连接，1AA AC A = 1,AA AC ⊂11ACC A ⊥BC 11ACC A 1AC 又平面，则，由点分别为的中点，得，1AC ⊂11ACC A 1BC AC ⊥,P D 1,AB C B 1//AC PD 所以.BC PD ⊥（2）连接，交于点E ，连接BE ，过点C 作，F为垂足，1AC 1AC CF BE ⊥由，侧棱垂直于底面，得且，13AA AC ==1AA 1CE AC ⊥CE =又，，平面CBE ，则平面CBE ，1CB AC ⊥CB CE C = ,CB CE ⊂1AC ⊥又平面CBE ，则，又，，平面，CF ⊂1CF AC ⊥CF BE ⊥1BE AC E = 1,BE AC ⊂1ABC 因此平面，即CF 为点C 到平面的距离，CF ⊥1BC A 1PBC 由平面，平面，得，⊥BC 11ACC A CE ⊂11ACC A BC CE ⊥BE ==所以点C 到平面的距离．1PBC BC CECF BE⋅===16．【正确答案】(1)5a =±(2)有，公共弦长为【详解】（1）圆心到直线距离为，故，解得O 430x y a -+=5a d =2245a ⎛⎫+= ⎪⎝⎭；5a =±（2），设，(2,0),(0,2)A B (,)Q x y 2222(2)2(2)x y x y ⎡⎤-+=+-⎣⎦化简得：，即，224840x y x y ++-+=22(2)(4)16x y ++-=所以动点的轨迹是以为圆心，4为半径的圆，Q ()2,4E 圆心距，，两圆相交，OE ==4224-<<+所以两圆有两个公共点，由两圆方程相减得公共弦所在直线方程为，220x y -+=圆心到公共弦的距离为.()0,0==17．【正确答案】(1)6；(2).45︒【详解】（1）因为平面，平面，平面平面，//l ABCD l ⊂PAB PAB ⋂ABCD AB =所以，同理得，所以，//l AB //l CD //AB CD 因为，，，所以，4AB =2BC CD ==60ABC ∠=︒120BCD ∠=︒所以且30DBCBDC ∠=∠=︒BD ===所以且，30DBA ∠=︒2AD ===底面梯形的高为，ABCD sin sin 30h BD ABD =∠==所以底面梯形的面积ABCD 1(24)2S =⨯+=在中，，，PAD △4PA =2AD=PD =所以，所以，222PA AD PD =+PD AD ⊥因为平面平面，平面平面，，平面PAD ⊥ABCD PAD ⋂ABCD AD =PD AD ⊥PD ⊂，PAD 所以平面，PD ⊥ABCD 所以四棱锥的体积.P ABCD -11633V S PD =⋅=⨯=（2）因为，，所以即，2AD =BD =4AB =222AB AD BD =+BD AD ⊥所以，，两两垂直，可以D 为原点建立如图所示的空间直角坐标系DB AD DP ，D xyz -则，，，，，()0,0,0D A (2,0,0)()0,B C (−1,3,0)(0,0,P 所以，，，(1,CP =()3,CA =()CB =设，(,,)CQ CP λλ==所以，，()3,,QA CA CQ λ=-=--()1,QB CB CQ λ=-=-- 因为，所以，QA QB =222222(331213)(1)(112)()λλλλλλ-++=+--++解得，因此，，12λ=12QB ⎛=⎝5,2QA ⎛= ⎝ 设为平面的法向量，则，m =(x,y,z )PAQ QB m QA m ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩则，102502QB m x y QA m x y ⎧⋅==⎪⎪⎨⎪⋅==⎪⎩取，则，即，1y=x =2z =m =因为平面，所以平面的法向量为，PD ⊥ABCD ABCD ()0,0,1n =设二面角为，则，Q AB C --θcos 所以由图二面角的大小为.Q AB C --45︒18．【正确答案】(1)22198x y +=(2)83y x =(3)2【详解】（1）由题意知点在上，且轴，设椭圆焦距为，81,3M ⎛⎫ ⎪⎝⎭C MF x ⊥2c 则，1c =将代入中，得，x c =2222:1(0)x y C a b a b +=>>2b y a =±则，结合，283b a =2221a b c -==从而，，29a =28b =椭圆C 方程为；∴22198x y +=（2）由题意知过点且与椭圆有且只有一个公共点的直线的斜率不为，M C 0故设，与椭圆联立，:l x my n =+22198x y +=得，由椭圆与直线只有一个交点，()22289168720m y mny n +++-=令，即①，0∆=22890m n -+=又过，则②，:l x my n =+81,3⎛⎫⎪⎝⎭813m n =+联立①②可得，则，即得点为．39m n =-⎧⎨=⎩:39l x y =+-P ()9,0设原点，由，，O (0,0)1891223OPM S =⨯⨯= 24MPRS = 故，2MPR OPM S S = 从而到的距离为到距离的倍，即在关于对称的直线上，R l O l 2R l O 又在椭圆上，从而，关于对称，R M R O 故直线方程为MR 83y x =（3）设，，，则，()11,D x y ()22,E x y DP PE λ=()()11229,9,x y x y λ--=-则①，212199x x y y λλλ=+-⎧⎨=-⎩又由，()()22112222289728972x y x y λλλ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩可得②，1212121289721111x x x x y y y y λλλλλλλλ+-+-⋅⋅+⋅⋅=+-+-结合①②可得，，254x λλ-+=又，，，，()9,0P F (1,0)()5,0N ()22,E x y 则直线的方程为，NE ()22055y y x x -=--轴，直线与交于，MF x ⊥NE MF Q 则，故，1Q x =221245Q y y y y x λ==-=-故轴，从而，当位于椭圆左顶点时取等号,DQ y ⊥()11222TQ DF a c =≤+=D 故线段的最大值为.TQ 219．【正确答案】(1)(3)（i ）16；（ii ）2π3【详解】（1）因为直线的标准式方程为，l 112x z-==所以直线的方向向量为，l ()1,2u =又平面的点法式方程可表示为，1αy +-50z +=所以平面的法向量为，1α11)n =-所以，111cos ,u n u n u n ⋅===所以直线与平面所成角的正弦值为l 1α（2）因为平面的点法式方程可表示为，2α2320x y z ++-=所以平面的法向量为，2α(2,3,1)n =设点是平面上一点，则，()000,,Q x y z 2α000232x y z ++=不妨令，则，即点是平面上一点，00x y ==02z =(0,0,2)Q 2α所以，()1,2,1PQ =--所以点到平面的距离P 2α||||PQ n d n ⋅==（3）（i ）建立空间直角坐标系，先分别画平面 ，2,0,02,0,02,0,02,0,011x y x y x y x y x y x y x y x y z z +=>>⎧⎪-=><⎪⎪-+=⎨--=<<⎪⎪=⎪=-⎩然后得到几何体为S 因为集合，记集合中所有点构成的几何体为，{(,,)|||||2,||1}M x y z x yz =+≤≤M S 所以几何体为底面为边长为的长方体，S 2所以的体积为.S 2216⨯=（ii ）由（i ）可知，的图像是一个完全对称(){,,|2,2,2}N x y z x y y z z x =+≤+≤+≤的图像，所以我们只需讨论第一卦限的相邻两个平面的二面角即可，此时，0,0,0x y z >>>得，{}(,,)2,2,2,0,0,0N x y z x y y z z x x y z =+≤+≤+≤>>>画出第一卦限图像，显然其二面角为钝角，计算平面得二面角，2,2x y y z +=+=所以两个平面的法向量分别为，()()231,1,0,0,1,1n n == 所以其二面角的余弦值为，所以二面角为.232312n n n n -=- 2π3。

高二数学必修二综合测试题(含答案)

高二数学必修二综合测试题(含答案)

高二数学必修二综合测试题班级_______________ 姓名___________________ 总分:________________ 一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分) 1.下面四个命题:①分别在两个平面内得两直线就是异面直线;②若两个平面平行,则其中一个平面内得任何一条直线必平行于另一个平面; ③如果一个平面内得两条直线平行于另一个平面,则这两个平面平行; ④如果一个平面内得任何一条直线都平行于另一个平面,则这两个平面平行. 其中正确得命题就是( )A.①②B.②④C.①③D.②③2.过点(1,3)P -且垂直于直线032=+-y x 得直线方程为( ) A.012=-+y x B.052=-+y x C.052=-+y x D.072=+-y x3.圆(x －1)2＋y 2＝1得圆心到直线y ＝33x 得距离就是( ) A.12 B.32C.1D. 34．已知21F ,F 就是椭圆 得左右焦点,P 为椭圆上一个点,且2:1PF :PF21=,则21PF F cos ∠等于( ) A.12 B.31 C.41D.225.已知空间两条不同得直线m,n 与两个不同得平面,αβ,则下列命题中正确得就是( )A .若//,,//m n m n αα⊂则B .若,,m m n n αβα⋂=⊥⊥则C .若//,//,//m n m n αα则D .若//,,,//m m n m n αβαβ⊂=则6.圆x 2＋y 2－2x ＋4y －20＝0截直线5x －12y ＋c ＝0所得得弦长为8,则c 得值就是( ) A.10 B.10或－68 C.5或－34D.－687.已知0,0ab bc <<,则直线ax by c +=通过( ) A.第一、二、三象限 B.第一、二、四象限C.第一、三、四象限D.第二、三、四象限8.正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,E 、F 分别就是AA 1与CC 1得中点,则直线ED 与D 1F 所成角得大小就是( ) A.15 B.13 C.129、 在三棱柱111ABC A B C -中,各棱长相等,侧掕垂直于底面,点D 就是侧面11BB C C 得15y 9x 22=+QPC'B'A'CBA中心,则AD 与平面11BB C C 所成角得大小就是 ( ) A.30 B.45 C.60 D.9010.将正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角A －BD －C,有如下四个结论:①AC ⊥BD;②△ACD 就是等边三角形;③AB 与平面BCD 成60°得角;④AB 与CD 所成得角 就是60°、其中正确结论得个数就是( )A 、 1B 、 2C 、 3D 、 411.如图:直三棱柱ABC —A 1B 1C 1得体积为V ,点P 、Q 分别在侧棱AA 1 与CC 1上,AP=C 1Q ,则四棱锥B —APQC 得体积为( )A.2V B.3V C.4V D.5V(11题) 12.如图,正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1得棱长为1,线段B 1D 1上有两个动点E 、F , 且EF ＝12,则下列结论错误得就是( )A.AC ⊥BEB.EF ∥平面ABCD (12题)C.三棱锥A —BEF 得体积为定值D.△AEF 得面积与△BEF 得面积相二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.一个几何体得三视图及其尺寸(单位:cm)如图所示, 则该几何体得侧面积为_ ______cm214.两圆221x y +=与22(4)()25x y a ++-=相切, 则实数a 得值为 15.已知21F ,F 就是椭圆得两个焦点,过2F 得直线交椭圆于P 、Q 两点,PQ PF 1⊥且PQ PF 1=,则椭圆得离心率为16、过点A (4,0)得直线l 与圆(x －2)2＋y 2＝1有公共点,则直线l 斜率得取值范围为三、解答题 17.如图,在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中,△ABC 与△A 1B 1C 1都为正三角形且AA 1⊥面ABC,F 、F 1分别就是AC,A 1C 1得中点.求证:(1)平面AB 1F 1∥平面C 1BF; (2)平面AB 1F 1⊥平面ACC 1A 1、(17题) 18.已知点),(y x P 在圆1)1(22=-+y x 上运动、 (1)求21--x y 得最大值与最小值;(2)求y x +2得最大值与最小值、 19. 如图,DC ⊥平面ABC ,EB ∥DC ,AC ＝BC ＝EB ＝2DC ＝2,∠ACB ＝120°,俯视图85 58855第14题P ,Q 分别为AE ,AB 得中点.(1)证明:PQ ∥平面ACD ;(2)求AD 与平面ABE 所成角得正弦值(19题) 20．已知圆C 1:x 2+y 2－2x －4y +m =0, (1)求实数m 得取值范围;(2)若直线l :x +2y －4=0与圆C 相交于M 、N 两点,且OM ⊥ON ,求m 得值。

高二数学-空间向量与立体几何测试题及答案

高二数学-空间向量与立体几何测试题及答案

高二数学空间向量与立体几何测试题第1卷（选择题，共50分）一、选择题：（本大题共10个小题每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 在下列命题中：CD若a、b共线则a、b所在的直线平行；＠若a、b所在的直线是异面直线，则a、b一定不共面；＠若a、b、c三向量两两共面，则a、b、c三向量一定也共面；＠已知三向量a、b、c,则空间任意一个向量p总可以唯一表示为p=a+yb+zc,, y, z R.其中正确命题的个数为（ ）A. 0B. 1C. 2D. 32. 若三点共线为空间任意一点且则的值为（）A. lB.C.D.3. 设，且，则等千（）A. B. 9 C. D4. 已知a=(2, —1, 3) , b= C—1, 4, —2) , c= (7, 5, 入），若a、b、c三向量共面，则实数入等千（）A. B. C.5.如图1,空间四边形的四条边及对角线长都是，点分别是的中点则等千（）D.A.C.．．BD6. 若a、b均为非零向量，则是a与b共线的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分又不必要条件7. 已知点0是LABC所在平面内一点满足• = • = • '则点0是LABC的（）A. 三个内角的角平分线的交点B. 三条边的垂直平分线的交点C. 三条中线的交点8. 已知a+b+c=O,al =2, bl =3,A. 30°B. 45°D.三条高的交点l e = , 则向量a与b之间的夹角为（）C. 60°D. 以上都不对9. 已知， ＇ ，点Q在直线OP上运动，则当取得最小值时，点Q的坐标为（）A.B.10. 给出下列命题：CD已知，则C. D.＠为空间四点若不构成空间的一个基底，那么共面；＠已知则与任何向量都不构成空间的一个基底；＠若共线则所在直线或者平行或者重合．正确的结论的个数为（）C. 3A.1B.2D.4 第II卷（非选择题，共100分）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）11.已知LABC的三个顶点为A(3, 3, 2) , B (4, —3, 7) , C (0, 5, 1) , 则BC边上的中线长为12. 已知三点不共线为平面外一点若由向量确定的点与共面，那么13. 已知a,b,c是空间两两垂直且长度相等的基底，m=a+b,n=b-c,则m,n的夹角为14. 在空间四边形ABC D中，AC和B D为对角线G为L:.ABC的重心，E是B D上一点BE=3E D, 以｛， ， ｝为基底，则＝15. 在平行四边形ABCD中，AB=AC=l,乙ACD=90, 将它沿对角线AC折起，使AB与CD成60角，则B,D两点间的距离为16. 如图二面角a-t -B的棱上有A,B两点直线AC,B D分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直千AB,已知AB=4,AC=6, B D=8, C D= ,二面角Q—t—B的大小三、解答题（本大题共5小题，满分70分），17. C lo分）设试问是否存在实数，使成立？如果存在，求出；如果不存在，请写出证明．18. (12分）如图在四棱锥中，底面ABC D是正方形，侧棱底面ABC D,, 是PC的中点，作交PB千点F.(1)证明PAIi平面EDB:(2)证明PB上平面E F D:(3)求二面角的大小．、、、、、、、、.、19. (12分）如图在直三棱柱ABC—AlBlCl中，底面是等腰直角三角形，乙ACB=90°.侧棱AA1=2, D. E 分别是CCl与AlB的中点点E在平面ABO上的射影是DAB D的重心G.(1)求AlB与平面ABO所成角的大小．(2)求Al到平面ABO的距离1) 20. 12分）如图在三棱柱ABC-AlBlCl中，AB上AC,顶点Al在底面ABC上的射影恰为点B,且AB=AC=A1B=2.2)求棱AA1与BC所成角的大小；在棱BlCl上确定一点P,使AP=, 并求出二面角P—AB—Al的平面角的余弦值A1C1B21. (12分）如图直三棱柱ABC-AlBlCl中AB上AC,D.E分别为AAl.B lC的中点DEl_平面BCCl.C I)证明：A B=ACC II)设二面角A-BD-C为60°,求B1C与平面BCD所成的角的大小c,22. (12分）P是平面ABC D外的点四边形ABC D是平行四边形，AP= (-1, 2, -1)(1)求证：PA 平面ABC D.(2)对千向量，定义一种运算：，试计算的绝对值；说明其与几何体P—ABC D的体积关系，并由此猜想向量这种运算的绝对值的几何意义（几何体P-ABC D叫四棱锥，锥体体积公式：V= ) .一、选 1 2 择题（本大题土2上、10小题，每3 4空间向量与立体几何(2)参考答案5 6 7 8 9 10小题5/刀\.让,/、50分）题号答案D D D A B C A 二、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）11. (0, ,) 12. 0 13. 1, —3 14. 90° l厮—15。

山西省运城市20232024学年高二下学期期末考试数学含答案(可编辑)

山西省运城市20232024学年高二下学期期末考试数学含答案(可编辑)

运城市２０２３－２０２４学年第二学期期末调研测试高二数学试题２０２４ ７本试题满分１５０分，考试时间１２０分钟。

答案一律写在答题卡上。

注意事项：１ 答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。

２ 答题时使用０ ５毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。

３ 请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效。

４ 保持卡面清洁，不折叠，不破损。

一、选择题：本题共８小题，每小题５分，共４０分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．１．设全集Ｕ＝Ｒ，集合Ａ＝｛ｘ│ｙ＝２槡－ｘ｝，Ｂ＝｛ｙ│ｙ＝２ｘ，ｘ∈Ａ｝，则Ａ∩Ｂ＝Ａ．（－∞，２］Ｂ．［２，＋∞）Ｃ．（０，２］Ｄ．［２，４］２．函数ｆ（ｘ）＝│ｘ│（ｘ－１）的单调递减区间是Ａ．（－∞，０）Ｂ．（０，１２）Ｃ．（１２，１）Ｄ．（１，＋∞）３．函数ｙ＝ｓｉｎｘｅｘ＋ｅ－ｘ（ｘ∈［－２，２］）的图象大致为４．已知ｐ：３ｘ＋２＞１，ｑ：－２≤ｘ＜１，则ｐ是ｑ的（ ）条件．Ａ．充分不必要Ｂ．必要不充分Ｃ．充要Ｄ．既不充分也不必要５．已知函数ｆ（ｘ）＝（１３）ｘ，ｘ＞１１ｘ，０＜ｘ＜{１，则ｆ（ｆ（ｌｏｇ槡３２））＝Ａ．１４Ｂ．４Ｃ．１２Ｄ．２６．若（ｘ＋ｍｘ）（ｘ－１ｘ）５的展开式中常数项是２０，则ｍ＝Ａ．－２Ｂ．－３Ｃ．２Ｄ．３７．根据气象灾害风险提示，５月１２日～１４日某市进入持续性暴雨模式，城乡积涝和地质灾害风险极高，全市范围内降雨天气易涝点新增至３６处．已知有包括甲乙在内的５个排水施工队前往３个指定易涝路口强排水（且每个易涝路口至少安排一个排水施工队），其中甲、乙施工队不在同一个易涝路口，则不同的安排方法有Ａ．８６Ｂ．１００Ｃ．１１４Ｄ．１３６８．已知函数ｆ（ｘ）＝│ｌｎｘ│，ｘ＞０－ｘ２－４ｘ＋１，ｘ≤{０若关于ｘ的方程［ｆ（ｘ）］２－２ａｆ（ｘ）＋ａ２－１＝０有ｋ（ｋ∈Ｎ）个不等的实根ｘ１，ｘ２，…ｘｋ，且ｘ１＜ｘ２＜…＜ｘｋ，则下列结论正确的是Ａ．当ａ＝０时，ｋ＝４Ｂ．当ｋ＝２时，ａ的取值范围为ａ＜１Ｃ．当ｋ＝８时，ｘ１＋ｘ４＋ｘ６ｘ７＝－３Ｄ．当ｋ＝７时，ａ的取值范围为（１，２）二、选择题：本题共３小题，每小题６分，共１８分．在每小题给出的选项中有多项符合题目要求，全部选对得６分，部分选对的得部分分，有选错的得０分．９．已知全集Ｕ＝｛ｘ│ｘ＜１０，ｘ∈Ｎ｝，Ａ Ｕ，Ｂ Ｕ，Ａ∩（瓓ＵＢ）＝｛１，９｝，Ａ∩Ｂ＝｛３｝，（瓓ＵＡ）∩（瓓ＵＢ）＝｛４，６，７｝，则下列选项正确的为Ａ．２∈ＢＢ．Ａ的不同子集的个数为８Ｃ．｛１｝ ＡＤ．６ 瓓Ｕ（Ａ∪Ｂ）１０．已知由样本数据（ｘｉ，ｙｉ）（ｉ＝１，２，３，…，１０）组成的一个样本，得到经验回归方程为＾ｙ＝２ｘ－０．４，且ｘ＝２，去除两个样本点（－２，１）和（２，－１）后，得到新的经验回归方程为＾ｙ＝３ｘ＋ｂ＾．在余下的８个样本数据和新的经验回归方程中Ａ．相关变量ｘ，ｙ具有正相关关系Ｂ．新的经验回归方程为＾ｙ＝３ｘ－３Ｃ．随着自变量ｘ值增加，因变量ｙ值增加速度变小Ｄ．样本（４，８ ９）的残差为０．１１１．已知ｆ（ｘ）是定义在实数集Ｒ上的偶函数，当ｘ≥０时，ｆ（ｘ）＝２ｘ４ｘ＋１．则下列结论正确的是Ａ．对于ｘ∈Ｒ，ｆ（ｘ）＝２ｘ４ｘ＋１Ｂ．ｆ（ｘ）在（０，＋∞）上为减函数Ｃ．ｆ（ｘ）的值域为（－∞，１２］Ｄ．ｆ（０．３０．４）＞ｆ（－０．４０．３）＞ｆ（ｌｏｇ２３７）三、填空题：本题共３小题，每小题５分，共１５分．１２．已知函数ｆ（ｘ）＝ｘ３－ｓｉｎｘ（ａｘ－１）（３ｘ＋２）为奇函数，则实数ａ的值为．１３．一个袋子中有ｎ（ｎ∈Ｎ）个红球和５个白球，每次从袋子中随机摸出２个球．若“摸出的两个球颜色不相同”发生的概率记为ｐ（ｎ），则ｐ（ｎ）的最大值为．１４．已知函数ｆ（ｘ），ｇ（ｘ）的定义域均为Ｒ，ｆ（ｘ）为奇函数，ｇ（ｘ＋１）为偶函数，ｆ（－１）＝２，ｇ（ｘ＋２）－ｆ（ｘ）＝１，则∑６１ｉ＝１ｇ（ｉ）＝．四、解答题：本题共５小题，共７７分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．１５．已知集合Ａ＝｛ｘ│ｘ２－５ｘ－６＜０｝，集合Ｂ＝｛ｘ│［ｘ－（１－ａ）］［ｘ－（１＋ａ）］＞０｝，其中ａ＞０．（１）若ａ＝２，求Ａ∩（瓓ＲＢ）；（２）设命题ｐ：ｘ∈Ａ，命题ｑ：ｘ∈Ｂ，若ｐ是瓙ｑ的必要而不充分条件，求实数ａ的取值范围．１６．已知函数ｆ（ｘ）＝ｌｏｇ２（４ｘ＋ａ·２ｘ＋１６），其中ａ∈Ｒ．（１）若ａ＝－１０，求函数ｆ（ｘ）的定义域；（２）当ｘ∈［１，＋∞）时，ｆ（ｘ）＞ｘ恒成立，求实数ａ的取值范围．１７．某疾病可分为Ａ，Ｂ两种类型，为了解该疾病的类型与患者性别是否相关，在某地区随机抽取了１８００名该疾病的患者进行调查，发现女性患者人数是男性患者人数的１２，男性患Ａ型疾病的人数为男性患者人数的２３，女性患Ａ型疾病的人数是女性患者人数的３４．（１）根据所给信息完成下列２×２列联表：性别疾病类型Ａ型Ｂ型合计男女合计（２）基于（１）中完成的２×２列联表，依据小概率值α＝０．００１的 ２独立性检验，分析所患疾病的类型与性别是否有关？（３）某团队进行预防Ａ型疾病的疫苗的研发试验，试验期间至多安排２个周期接种疫苗，每人每个周期接种３次，每次接种费用为９元．该团队研发的疫苗每次接种后产生抗体的概率为２３，如果第一个周期内至少２次出现抗体，则该周期结束后终止试验，否则进入第二个周期，记该试验中１人用于接种疫苗的费用为ξ，求Ｅ（ξ）．附： ２＝ｎ（ａｄ－ｂｃ）２（ａ＋ｂ）（ｃ＋ｄ）（ａ＋ｃ）（ｂ＋ｄ），ｎ＝ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄα０．１０００．０５００．０１００．００５０．００１α２．７０６３．８４１６．６３５７．８７９１０．８２８１８．基础学科招生改革试点，也称强基计划，是教育部开展的招生改革工作，主要是为了选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生．强基计划的校考由试点高校自主命题，某试点高校校考过程中笔试通过后才能进入面试环节．２０２２年报考该试点高校的学生的笔试成绩Ｘ近似服从正态分布Ｎ（μ，σ２）．其中，μ近似为样本平均数，σ２近似为样本方差ｓ２．已知μ的近似值为７６．５，ｓ的近似值为５．５，以样本估计总体．（１）假设有８４．１３５％的学生的笔试成绩高于该校预期的平均成绩，求该校预期的平均成绩大约是多少？（２）若笔试成绩高于７６．５分进入面试，若从报考该试点高校的学生中随机抽取１０人，设其中进入面试学生数为ξ，求随机变量ξ的期望．（３）现有甲、乙、丙、丁四名学生进入了面试，且他们通过面试的概率分别为１３、１３、１２、１２．设这４名学生中通过面试的人数为Ｘ，求随机变量Ｘ的分布列和数学期望．参考数据：若Ｘ～Ｎ（μ，σ２），则：Ｐ（μ－σ＜Ｘ≤μ＋σ）≈０．６８２７；Ｐ（μ－２σ＜Ｘ≤μ＋２σ）≈０．９５４５；Ｐ（μ－３σ＜Ｘ≤μ＋３σ）≈０．９９７３．１９．定义一种新的运算“ ”： ｘ，ｙ∈Ｒ，都有ｘ ｙ＝ｌｇ（１０ｘ＋１０ｙ）．（１）对于任意实数ａ，ｂ，ｃ，试判断（ａ ｂ）－ｃ与（ａ－ｃ） （ｂ－ｃ）的大小关系；（２）若关于ｘ的不等式（ｘ－１）２＞［（ａ２ｘ２） （ａ２ｘ２）］－ｌｇ２的解集中的整数恰有２个，求实数ａ的取值范围；（３）已知函数ｆ（ｘ）＝ｌｇ（ｘ＋４－２ｘ＋槡３），ｇ（ｘ）＝（１ ｘ） （－ｘ），若对任意的ｘ１∈Ｒ，总存在ｘ２∈［－３２，＋∞），使得ｇ（ｘ１）＝ｌｇ│３ｍ－２│＋ｆ（ｘ２），求实数ｍ的取值范围．命题人：康杰中学　张阳朋运城中学　吕莹高二数学期末答案一、1-8 C B BA B DCC 二、9.ABC 10．AB 11.ABD 三、12.3213.59 14.63四 、15.（1）15.2{|650}{|16}A x x x x x =+->=-<<， …………1分 ){{|[(1)][(1]0}|1x x a B x x a x a =---+<>=-或1}x a >+． ………… 2分若2a =，则{|1B x x =<-或3}x >，{}31|≤≤-=x x B C R ， ………… 4分{}31|)(≤<-=∴x x B C A R ………… 6分（2）若的必要而不充分条件是q p ⌝，{}a x a x B C A B C U U +≤≤-=⊆∴11 ， ………… 8分∴01116a a a >⎧⎪->-⎨⎪+<⎩，解得02a <<． ………… 12分 a ∴的取值范围是(0,2)． ………… 13分16.（1）当10a =-时，()()2log 410216xxf x =-⨯+，由4102160x x -⨯+>得()()22028xx-->， ………… 2分故22x <或28x >，得1x <或3x >， ………… 4分 故函数()()2log 410216xxf x =-⨯+的定义域为()(),13,-∞⋃+∞，………… 6分(2)解一：由()f x x >得()22log 4216log 2xxxa x +⋅+>=， ………… 7分得42216x x x a +⋅+>，即()041216xxa +-⋅+>， ………… 8分22116122 9所以当[)+∞∈,1x 时，()f x x >恒成立，即为()()2116g t t a t =+-⋅+在[)+∞∈,2t 上最小值大于0， ………… 10分函数()()2116g t t a t =+-⋅+的对称轴为12at -=， 当221<-a即3->a 时，函数()g t 在[)+∞,2上单调递增， 此时0218)2(>+=a g ，得9->a ，a <-∴3 ………… 12分 当221≥-a，即3-≤a 时，函数()g t 在对称轴取得最小值， 此时()21112211602g a a a a ⎪⎛⎫=⎝---⎛⎫⎛⎫ ⎪⎝⎭+-+ ⎭>⎪⎭⎝，得79a -<<，37-≤<-∴a ………… 14分 故a 的取值范围为()7,-+∞ ………… 15分 解二：由()f x x >得()22log 4216log 2xxxa x +⋅+>=， ………… 7分得42216x x x a +⋅+>，即()041216xxa +-⋅+>， ………… 8分设2x t =，因[)+∞∈,1x ，故22≥=x t ， ………… 9分 所以当[)+∞∈,1x 时，()f x x >恒成立，即）（21)16(162≥++-=-+->t tt t t t a ………… 11分 令1)16()(++-=t t t g 则”成立时“当且仅当==-≤++-=4,71)16()(t tt t g ………… 14分故a 的取值范围为()7,-+∞ ………… 15分 17. （1）设男性患者人数为m ，则女性患者人数为12m ，由118002m m +=12001200600 2 21200800336004504322⨯列联表如下：疾病类型性别A 型B 型 合计男 800 400 1200 女 450 150 600 合计12505501800………… 5分（2）零假设0H ：所患疾病的类型与性别无关， ………… 6分 根据列联表中的数据，经计算得到()2218008001504504001441200600125055011χ⨯⨯-⨯==⨯⨯⨯，…… 8分 由于20.00114413.09110.82811χχ=≈>=， ………… 9分 依据小概率值0.001α=的2χ独立性检验，可以认为所患疾病的类型与性别有关.… 10分 （3）接种疫苗的费用ξ可能的取值为27，54， ………… 11分223322220(27)C ()(1()33327P ξ==-+=， ………… 12分207(54)12727P ξ==-=， ………… 13分则ξ的分布列为ξ27 54P2027 727期望为()2072754342727E ξ=⨯+⨯= .………… 15分 18．解：（1）由()()0.50.841352P X P X μσμσμσ-<≤+>-=+=，………2分76.5 5.576.5 5.571 4（2）由76.5μ=得，()176.52P ξ>=， 即从所有参加笔试的学生中随机抽取1名学生，该生笔试成绩76.5以上的概率为12…5分 所以随机变量ξ服从二项分布110,2X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭， ………6分 所以()11052E ξ=⨯=． ………8分 （3）X 的可能取值为0，1，2，3，4． ………9分()220022111011329P X C C ⎛⎫⎛⎫==⨯-⨯⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ………10分 ()22100122221111111111113323223P X C C C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯⨯-⨯⨯-+⨯-⨯⨯⨯-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭,…11分()22201122221111112111323322P X C C C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯⨯⨯-+⨯⨯-⨯⨯⨯- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭220222111313236C C ⎛⎫⎛⎫+⨯-⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ………12分 6121311312112131)3(2221212222=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⨯+⎪⎭⎫⎝⎛⨯==C C C C X p ， ……13分()22222211143236P X C C ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ………14分 X 0 1 2 3 4()P X19 13 1336 16 136………15分 ∴()11131150123493366363E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． ………17分 19. （1） ,x y ∀∈R ，()lg 1010xyx y ⊕=+∴()()lg 1010a b a b c c ⊕-=+-， ………2分10101010101010 45（2）()()()()222222222222lg 1010lg 210lg 2a x a xa xa x a x a x⊕=+=⨯=+∴原不等式可化为：()2221x a x ->，即()221210a x x --+>， ………6分满足题意，必有210a -<，即1a <-或1a >① ………7分令()()22121h x axx =--+，由于()010h =>，()21h a =-，结合①可得：()10h <， ………8分∴()h x 的一个零点在区间()0,1，另一个零点在区间[)1,2--， ………9分从而⎩⎨⎧>-≤-0)1(0)2(h h ，即⎩⎨⎧>+-⨯--⨯-≤+-⨯--⨯-01)1(2)1(101)2(2)2(12222）（）（a a ② ………10分 由①②可得：223232<≤-≤<-a a 或 ………11分 （3）()(lg 4f x x =+，()()lg 101010xxg x -=++ ………12分设4t x =+3,2x ⎡⎫∈-+∞⎪⎢⎣⎭r =，[)0,r ∈+∞，则()2132x r =-， ∴()()2221151*********t r r r r r =-+-=-+=-+≥， ………14分∴()lg 2f x ≥，()1()lg 32g x m f x =-+的值域为)lg 32lg 2,A m ⎡=-++∞⎣ ………15分1010101012x x -++≥=，∴()lg12g x ≥()g x 的值域为[)lg12,B =+∞ ………16分根据题意可知：B A ⊆，∴lg 32lg 2lg12m -+≤解之得：4833m -≤≤且23m ≠ ………17分为。

【高二】高二数学数学归纳法综合测试题(带答案)

【高二】高二数学数学归纳法综合测试题(带答案)

【高二】高二数学数学归纳法综合测试题（带答案）选修2-22.3数学归纳法我1．用数学归纳法证明1＋12＋13＋…＋12n－11）第一步是验证不等式（）a．1＋12<2b、 1＋12＋13＜2c．1＋12＋13＜3d、 1＋12＋13＋14＜3[答案] b[分析]∵ N∈ n*，n>1，∵ n取第一个自然数为2，左端分母最大的项为122-1=13，因此选择B2．用数学归纳法证明1＋a＋a2＋…＋an＋1＝1－an＋21－a(n∈n*，a≠1)，在验证n＝1时，左边所得的项为( )a、一,b．1＋a＋a2c、 1＋ad．1＋a＋a2＋a3[答：]B[解析] 因为当n＝1时，an＋1＝a2，所以此时式子左边＝1＋a＋a2.故应选b.3.设f（n）=1n+1+1n+2+…+12n（n∈ n*），那么f（n+1）-f（n）等于（）a.12n＋1b.12n＋2c、 12n+1+12n+2d。

12n＋1－12n＋2[答案] d[分析]f（n+1）-f（n）＝1(n＋1)＋1＋1(n＋1)＋2＋…＋12n＋12n＋1＋12(n＋1)－1n＋1＋1n＋2＋…＋12n＝12n＋1＋12（n＋1）－1n＋1＝12n＋1－12n＋2.4.命题与自然数n有关。

如果n=K（K∈ n*），命题是真的，那么可以推断n=K+1也是真的。

现在我们知道，当n=5时，这个命题是不成立的，那么它可以被推导为（）a．当n＝6时该命题不成立b、当n=6时，这个命题成立c．当n＝4时该命题不成立d、当n=4时，这个命题成立[答案] c【分析】如果原命题正确，则反命题正确5．用数学归纳法证明命题“当n是正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”，在第二步的证明时，正确的证法是( )a、假设n=K（K∈ 证明了当n=K+1时，该命题也是成立的b．假设n＝k(k是正奇数)，证明n＝k＋1时命题也成立c、假设n=K（K为正奇数），证明了当n=K+2时，命题也是成立的d．假设n＝2k＋1(k∈n)，证明n＝k＋1时命题也成立[答：]C[解析] ∵n为正奇数，当n＝k时，k下面第一个正奇数应为k＋2，而非k＋1.故应选c.6.如果凸n边形状有f（n）条对角线，则凸n+1边形状的对角线f（n+1）的数目为（）a．f(n)＋n＋1b、 f（n）＋nc．f(n)＋n－1d、 f（n）＋n－2[答案] cF（1+3）加在F（1+3）的对角线上，因此C7．用数学归纳法证明“对一切n∈n*，都有2n>n2－2”这一命题，证明过程中应验证( )a、当n=1时，这个命题成立b．n＝1，n＝2时命题成立c、当n=3时，这个命题成立d．n＝1，n＝2，n＝3时命题成立[答：]d[解析] 假设n＝k时不等式成立，即2k>k2－2，当n=K+1，2K+1=2？2k>2（k2－2）由2(k2－2)≥(k－1)2－4?k2－2k－3≥0（k＋1）（k－3）≥0? K≥ 所以当n=1,2,3时，有必要验证命题是真的。

期末高二数学选修2-2、2-3测试题(含答案)

期末高二数学选修2-2、2-3测试题(含答案)

高二数学选修2-2、2-3期末检测试题命题：伊宏斌 命题人：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分．考试用时120分钟．第Ⅰ卷（选择题，共50分）一.选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1．过函数x y sin =图象上点O （0，0），作切线，则切线方程为 （ ） A ．x y = B ．0=y C ．1+=x y D ．1+-=x y 2．设()121222104321x a x a x a a x x x ++++=+++ ,则=0a ( )A ．256B ．0C ．1-D ．1 3．定义运算a cad bc b d=-，则ii 12(i 是虚数单位)为 ( ) A ．3 B ．3- C ．12-i D ．22+i4．任何进制数均可转换为十进制数,如八进制()8507413转换成十进制数，是这样转换的：()1676913818487808550741323458=+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=,十六进制数1444706165164163162)6,5,4,3,2(23416=+⨯+⨯+⨯+⨯=,那么将二进制数()21101转换成十进制数，这个十进制数是 （ ）A ．12B ．13C ．14D ．155．用数学归纳法证明：“两两相交且不共点的n 条直线把平面分为)(n f 部分，则2)1(1)(++=n n n f 。

”在证明第二步归纳递推的过程中，用到)()1(k f k f =++ 。

( ) A ．1-k B ．k C ．1+k D ．2)1(+k k6.记函数)()2(x fy =表示对函数)(x f y =连续两次求导,即先对)(x f y =求导得)('x f y =,再对)('x f y =求导得)()2(x fy =,下列函数中满足)()()2(x f x f=的是（ ）7．甲、乙速度v 与时间t 的关系如下图，)(b a 是b t =时的加速度，)(b S 是从0=t 到b t =的路程，则)(b a 甲与)(b a 乙，)(b S 甲与)(b S 乙的大小关系是 ( )A ．)()(b a b a 乙甲>，)()(b S b S 乙甲>B ．)()(b a b a 乙甲<，)()(b S b S 乙甲<C ．)()(b a b a 乙甲<，)()(b S b S 乙甲>D ．)()(b a b a 乙甲<，)()(b S b S 乙甲< 8．如图，蚂蚁从A 沿着长方体的棱以 的方向行走至B ，不同的行走路线有( )A ．6条B ．7条C ．8条D ．9条9、等比数列{a }n 中，120143,9a a ==，122014(x)(x a )(x a )....(x )f x a =---，'(x)f 为函数(x)f 的导函数，则'(0)f =（ ）A 0B 10073C 20163D 3021310.设{}10,9,8,7,6,5,4,3,2,1=M ，由M 到M 上的一一映射中，有7个数字和自身对应的映射个数是 ( )A .120B .240C .710 D .360B第8题图第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二.填空题（本大题4个小题，每小题5分，共25分） 11（15）如果5025001250(12)(1)(1)(1)x a a x a x a x +=+-+-++-，那么1349a a a +++= ．12．设复数z 满足条件1z =，那么z i +取最大值时的复数z 为 ． 13．已知数列{}a n 为等差数列，则有，02321=+-a a a 0334321=-+-a a a aa a a a a 123454640-+-+=类似上三行,第四行的结论为__________________________。

重庆市中学2023-2024学年高二下学期阶段测试数学试题含答案

重庆市中学2023-2024学年高二下学期阶段测试数学试题含答案

高2025届高二下数学（答案在最后）一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.函数()sin f x x x=+在区间[0,]π上的平均变化率为（）A.1B.2C.πD.0【答案】A 【解析】【分析】根据平均变化率的计算即可求解.【详解】()sin f x x x =+在区间[0,]π上的平均变化率为()()π0πsin π0sin 01π0πf f -+--==-，故选：A2.质点M 按规律s ＝2t 2＋3t 做直线运动（位移单位：m ，时间单位：s ），则质点M 在t ＝2s 时的瞬时速度是（）A.2m/sB.6m/sC.4m/sD.11m/s【答案】D 【解析】【分析】本题首先分析题意，运用物理知识，进行数学结合.【详解】质点M 在t ＝2s 时位移的平均变化率为S t ＝()()2222322232t t t+++-⨯-⨯ ＝11＋2Δt ，当Δt 无限趋近于0时，St无限趋近于11m/s.故选：D.3.曲线221y x =+在点()1,3P -处的切线方程为（）A.41y x =--B.47y x =--C.41y x =-D.47y x =+【答案】A 【解析】【分析】求导，再根据导数的几何意义即可得解.【详解】求导函数4y x '=，当=1x -时，()414y '=⨯-=-，∴曲线221y x =+在点()1,3P -处的切线方程为：()341y x -=-+，即41y x =--.故选：A.4.已知函数()1f x x =，则()()011lim x f x f x∆→+∆-∆等于（）A.-1B.1C.-2D.0【答案】A 【解析】【分析】根据导数的定义及导数的运算法则即可求解.【详解】由()1f x x =，得()21f x x'=-.21(1)11f '∴=-=-()()11lim(1)1x f x f f x∆→+∆-'∴==-∆.故选：A.5.若函数()()22'1f x xf x =+，则()()'11f f --等于（）A.34-B.34C.65-D.56-【答案】C 【解析】【分析】利用导数的运算法则求出f ′（x ），令x ＝1可得f′（1）＝2f′（1）+2，计算可得f′（1），得到f′（x）、f（x）的解析式，代入x=-1,即可得答案．【详解】f′（x ）＝2f′（1）+2x ，令x ＝1得f′（1）＝2f′（1）+2，∴f′（1）＝﹣2，∴f′（x ）＝2x-4，()24f x x x=-+∴f′（-1）＝-6,又()15f -=，∴()()'11f f -=-65-故选C ．【点睛】本题考查求函数的导函数值，先求出导函数，给导函数中的x 赋值是解题的关键．6.设曲线1y x=在点()1,1P 处的切线与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则OAB 的面积等于（）A.1B.2C.4D.6【答案】B 【解析】【分析】根据导数的定义求出曲线1y x=在点()1,1P 处的切线的斜率，写出切线方程，求出直线在坐标轴上的截距，即可得解.【详解】()()()111x x x y x x x x x x x x x x x x --+∆∆+∆===-∆∆+∆⋅∆+∆，所以()2011lim x y x x x x ∆→⎡⎤'=-=-⎢⎥+∆⎣⎦，故在点()1,1P 处的切线的斜率为1-，切线方程为()11y x -=--，即2y x =-+．令0x =，得2y =，令0y =，得2x =，所以12222OAB S =⨯⨯=△，故选：B7.若一射线OP 从OA 处开始，绕O 点匀速逆时针旋转（到OB 处为止），所扫过的图形内部的面积S 是时间t 的函数，()S t 的图象如图所示，则下列图形中，符合要求的是（）A.B.C. D.【答案】D 【解析】【分析】逐个分析扫过部分的面积增速的快慢即得.【详解】因为OP 是匀速旋转，选项A ，OP 扫过的圆内阴影部分面积在开始时段缓慢增加，中间增速最快，后面时段相对增速越来越慢，不合题意；选项B ，OP 扫过的14圆内阴影部分面积是匀速变化的，不合题意；选项C ，OP 扫过正方形的阴影部分，是开始时段缓慢增加，中间增速最快，后面时段相对增速越来越慢，不合题意；选项D ，OP 扫过的三角形内阴影部分面积在开始时段的增速和最后时段的增速比中间时段快，选项D 符合故选：D8.已知函数()()221sin 1x xf x x ++=+，其中()f x '为函数()f x 的导数，则()()()()2020202020192019f f f f ''+-+--=（）A.0B.2C.2019D.2020【答案】B 【解析】【分析】将函数解析式变形为()22sin 11x xf x x +=++，求得()f x '，进而可求得所求代数式的值.【详解】()()222221sin 12sin 2sin 1111x xx x x x x f x x x x ++++++===++++ ，所以，()()()()()2222020sin 202022020sin 202020202020222020120201f f ⨯-+-⨯++-=++=+-+，()()()()()2222cos 122sin 1x x x x x f x x++-+'=+，函数()f x '的定义域为R ，()()()()()2222cos 122sin 1x x x x x f x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤+-⋅-++-+-⎣⎦⎣⎦⎣⎦-=⎡⎤-+⎣⎦'()()()()()2222cos 122sin 1x x x x x f x x++-+'==+，所以，函数()f x '为偶函数，因此，()()()()20202020201920192f f f f ''+-+--=.故选：B.【点睛】结论点睛：本题考查利用函数奇偶性求值，关于奇函数、偶函数的导函数的奇偶性，有如下结论：（1）可导的奇函数的导函数为偶函数；（2）可导的偶函数的导函数为奇函数.在应用该结论时，首先应对此结论进行证明.二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选项，每选对一个得3分；若只有3个正确选项，每选对一个得2分．）9.下列求导数运算正确的有（）A.()22sin 2sin cos x x x x x x'=+ B.211x x'⎛⎫= ⎪⎝⎭C.()31log 3ln x x'=D.()1ln x x'=【答案】AD 【解析】【分析】直接根据导数的运算法则及求导公式求解即可.【详解】解：()22sin 2sin cos x x x x x x '=+，故A 正确；211x x '⎛⎫=- ⎪⎝⎭，故B 错误；()31log ln 3x x '=，故C 错误；()1ln x x'=，故D 正确.故选：AD.10.已知双曲函数是一类与三角函数性质类似的函数．双曲余弦函数为 2-+=x xe e ch x ，双曲正弦函数为2--=x xe e sh x ．则下列结论中正确的是（）A.( ) '=ch x sh xB.22( )( )1+=sh x ch xC. 22 =⋅sh x sh x ch xD. ch x 是奇函数【答案】AC 【解析】【分析】对于A ，直接求导判断，对于BC ，通过计算判断，对于D ，由奇偶函数的定义判断【详解】解：对于A ，()''22x x x xe e e e ch x shx --⎛⎫+-=== ⎪⎝⎭，所以A 正确，对于B ，因为222222222()( )( )12242x x x x x x x xe e e e e e e e sh x ch x ----⎛⎫⎛⎫-++++=+==≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以B 错误，对于C ，因为22 22x x e e sh x --=，222 2222x x x x x xe e e e e e sh x ch x ----+-⋅=⋅⋅=，所以 22 =⋅sh x sh x ch x ，所以C 正确，对于D ，因为( )2x xe e ch x chx -+-==，所以 ch x 是偶函数，所以D 错误，故选：AC11.已知y kx =是函数()sin f x x x =的一条切线，则实数k 的值可以为（）A.0B.1C.12D.1-【答案】ABD 【解析】【分析】根据()f x 的切线过原点求得切点的横坐标，结合导数求得k 的可能取值.【详解】设(),sin t t t 是函数()sin f x x x =图象上的一点，()()''sin cos ,sin cos f x x x x f t t t t =+=+，所以在点(),sin t t t 的切线方程为()()sin sin cos y t t t t t x t -=+-①，直线y kx =过原点，由①令0x y ==得()()sin sin cos t t t t t t -=+⋅-，22sin sin cos ,cos 0t t t t t t t t =+=，所以0=t 或ππ,Z 2t n n =+∈，当0=t 时，()'00k f ==，当ππ,Z 2t n n =+∈时，'πππππsin ππcos π2222k f n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+++⋅+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭πsin π12n ⎛⎫=+=± ⎪⎝⎭，综上所述，k 的可能取值为0,1±.故选：ABD三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．）12.函数()sin x f x e x =的图象在点()()0,0f 处切线的方程为___________.【答案】0x y -=【解析】【分析】利用导数求得切线方程.【详解】切点为()0,0，()()()''sin cos ,01x f x x x e f =+⋅=，故切线方程为y x =，即0x y -=.故答案为：0x y -=13.函数()ln g x x x =有一条斜率为2的切线，则切点的坐标为_____________【答案】(e,e)【解析】【分析】设切点坐标为()000,ln x x x ，利用导数的几何意义即可求解.【详解】设切点坐标为()000,ln x x x ，由函数()ln g x x x =可得()ln 1g x x '=+，因为函数()ln g x x x =有一条斜率为2的切线，所以0ln 12x +=，解得0e x =，所以切点坐标为(e,e)，故答案为：(e,e).14.若曲线()1e xy x =+过点(),0P a 的切线有且仅有两条，则实数a 的取值范围是______.【答案】1a >-或5a <-【解析】【分析】设切点()(),1ett t +，然后利用导数的几何意义求出切线方程，将点(),0P a 的坐标代入切线方程化简，得到关于t 的二次方程，则此方程有两个不相等的实根，从而由0∆>可求得答案.【详解】()2e xy x '=+，设切点()(),1ett t +，则切线的斜率为()2e tk t =+，故切线方程为()()22e 1e tty t x t t =++--+，取x a =，0y =代入，得()()221e 0t a t t t ⎡⎤++--+=⎣⎦，∵e 0t ≠，∴()21210t a t a -+-++=有两个不等实根，故()()22Δ1421650a a a a =-++=++>，解之，得1a >-或5a <-，故答案为：1a >-或5a <-四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15.若函数()1f x x x=-，（1）用定义求()f x '；（2）求其图象在与x 轴交点处的切线方程．【答案】15.()211f x x ='+16.22y x =-和22y x =+【解析】【分析】（1）根据函数的导数的定义求出()f x '；（2）由导数的几何意义可求出切线的斜率，从而可得切线方程.【小问1详解】由导数定义可得，()()()0001111lim lim limx x x x x x x f x x f x x x x x x x x x x f x ∆→∆→∆→⎛'⎫⎛⎫+∆---∆+- ⎪ ⎪+∆-+∆⎝⎭⎝⎭+∆=∆∆==∆()2011lim 11x x x x x ∆→⎡⎤=+=+⎢+∆⎣⎦【小问2详解】函数()1f x x x=-的图象与x 轴有两个交点，交点坐标分别为()1,0A ，()1,0B -，∴()12f '=，∴在()1,0A 处的切线方程为()2122y x x =-=-；同理，在()1,0B -处的切线方程为22y x =+．16.求下列函数的导数：（1）23cos y x x =+；（2）()1ln y x x =+；（3）tan ,,2y x x x x k k Z ππ⎧⎫=≠+∈⎨⎬⎩⎭【答案】（1）6sin y x x'=-（2）1ln 1y x x'=++（3）2sin cos cos x x xy x+'=【解析】【分析】（1）根据求导公式，结合四则运算法则，计算即可得答案；（2）根据求导公式，结合四则运算法则，计算即可得答案；（3）根据求导公式，结合四则运算法则，计算即可得答案.【小问1详解】()23cos 6sin y x x x x ''=+=-；【小问2详解】()()()()11ln 1ln 1ln ln 1y x x x x x x x x''''⎡⎤=+=+++=+⎣⎦；【小问3详解】()()()2sin cos sin cos sin tan cos cos x x x x x x x x y x x x x '''-⎛⎫''=⋅==⎪⎝⎭()222sin cos cos sin sin cos cos cos x x x x x x x x x xx+++==．17.已知()f x '是一次函数，()()()2212x f x x f x '--=，求()f x 的解析式．【答案】()2442f x x x =++【解析】【分析】分析可知，函数()f x 为二次函数，可设()()20f x ax bx c a =++≠，根据导数的运算法则结合已知条件可得出关于a 、b 、c 的方程组，解出这三个未知数的值，即可得出函数()f x 的解析式.【详解】由()f x '为一次函数可知()f x 为二次函数．设()()20f x ax bx c a =++≠，则()2f x ax b '=+．所以，()()()()()()222212212x f x x f x xax b x ax bx c '--=+--++=，即()()2220a b x b c x c -+-+-=，所以，02020a b b c c -=⎧⎪-=⎨⎪-=⎩，解得442a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，因此，()2442f x x x =++.18.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足2n n S a n =-.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设()()211n n b n a =++，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】（1）21nn a =-（2）()12212n n T n +=+-⋅【解析】【分析】（1）根据题中已知条件2n n S a n =-，得出2n ≥时，()1121n n S a n --=--此两式作差整理即可得到1n a +所满足的关系，从而可求出数列{}1n a +的通项公式得到所求；（2）根据数列{}n b 的通项可知利用错位相消法进行求和，从而可求出数列{}n b 的前n 项和n T .【小问1详解】∵2n n S a n =-，当1n =时，11121a S a ==-，∴11a =，当2n ≥时，2n n S a n =-，①1121n n S a n --=-+，②①-②得121n n a a -=+即()1121n n a a -+=+，∵1120a +=≠，∴110n a -+≠，∴1121n n a a -+=+，∴{}1n a +是以首项为2，公比为2的等比数列，则11222n n n a -+=⋅=，∴21n n a =-；【小问2详解】由上可知：()212n n b n =+⋅，所以()()231325272212212n n n T n n -=⋅+⋅+⋅+⋯+-⋅++⋅，()()23412325272212212n n n T n n +=⋅+⋅+⋅+⋯+-⋅++⋅，∴()()2341622222212n n n T n +-=++++⋯+-+⋅，∴()12212n n T n +=+-⋅.19.“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题．该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”意大利数学家托里拆利给出了解答，当ABC 的三个内角均小于120︒时，使得120AOB BOC COA ∠=∠=∠=︒的点O 即为费马点；当ABC 有一个内角大于或等于120︒时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面问题：已知ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且cos2cos2cos21B C A +-=（1）求A ；（2）若2bc =，设点P 为ABC 的费马点，求PA PB PB PC PC PA ⋅+⋅+⋅ ；（3）设点P 为ABC 的费马点，PB PC t PA +=，求实数t 的最小值．【答案】（1）π2A =（2）3-（3）2+【解析】【分析】（1）根据二倍角公式结合正弦定理角化边化简cos2cos2cos21B C A +-=可得222a b c =+，即可求得答案；（2）利用等面积法列方程，结合向量数量积运算求得正确答案.（3）由（1）结论可得2π3APB BPC CPA ∠=∠=∠=，设||||||,||,||PB m PA PC n PA PA x ===，推出m n t +=，利用余弦定理以及勾股定理即可推出2m n mn ++=，再结合基本不等式即可求得答案.【小问1详解】由已知ABC 中cos2cos2cos21B C A +-=，即22212sin 12sin 12sin 1B C A -+--+=，故222sin sin sin A B C =+，由正弦定理可得222a b c =+，故ABC 直角三角形，即π2A =.【小问2详解】由（1）π2A =，所以三角形ABC 的三个角都小于120︒，则由费马点定义可知：120APB BPC APC ∠=∠=∠=︒，设,,PA x PB y PC z === ，由APB BPC APC ABC S S S S ++= 得：111122222222xy yz xz ⋅+⋅+=⨯，整理得3xy yz xz ++=，则PA PB PB PC PA PC ⋅+⋅+⋅1111222233xy yz xz ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅-+⋅-+⋅-=-- ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭.【小问3详解】点P 为ABC 的费马点，则2π3APB BPC CPA ∠=∠=∠=，设||||||||,||,00,,0,PB m PA PC n PA PA x m n x ===>>>，则由PB PC t PA +=得m n t +=；由余弦定理得()22222222π||2cos 13AB x m x mx m m x =+-=++，()22222222π||2cos 13AC x n x nx n n x =+-=++，()2222222222π||2cos 3BC m x n x mnx m n mn x =+-=++，故由222||||||AC AB BC +=得()()()222222211n n x m m x m n mn x +++++=++，即2m n mn ++=，而0,0m n >>，故22()2m n m n mn +++=≤，当且仅当m n =，结合2m n mn ++=，解得1m n ==+时，等号成立，又m n t +=，即有2480t t --≥，解得2t ≥+2t ≤-，故实数t 的最小值为2+【点睛】关键点睛：解答本题首先要理解费马点的含义，从而结合（1）的结论可解答第二问，解答第二问的关键在于设||||||,||,||PB m PA PC n PA PA x ===，推出m n t +=，结合费马点含义，利用余弦定理推出2m n mn ++=，然后利用基本不等式即可求解.。

重庆市2023-2024学年高二下学期阶段测试数学试题含答案

重庆市2023-2024学年高二下学期阶段测试数学试题含答案

重庆高2025级高二（下）数学测试（答案在最后）一､单选题（每小题5分）1.用2,3,4,5,7这五个数组成无重复数字的五位数，则不同的偶数共有（）A.120个 B.72个 C.60个D.48个【答案】D 【解析】【分析】利用分步乘法计数原理可得答案.【详解】由题可知，不同的偶数共有1424C A 48=个.故选：D.2.函数()2sin f x x x =+在区间[]0,π上的（）A.最小值为0，最大值为π+1B.最小值为0，最大值为2πC.最小值为π+1，最大值为2πD.最小值为0，最大值为2【答案】B 【解析】【分析】先求得函数()f x 的导数，进而得到()f x 在区间[]0,π上单调性，即可求得()f x 在区间[]0,π上最小值和最大值.【详解】()2cos 0f x x =+>'，所以()f x 在区间[]0,π上单调递增，因此()f x 的最小值为(0)0f =，最大值为()π2πf =.故选：B3.现有12张不同的卡片，其中红色，黄色，蓝色卡片各4张，从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一颜色，且红色卡片至多1张，则不同的取法种数为（）A.84 B.172C.160D.230【答案】C 【解析】【分析】用间接法分析．先求出“从12张卡片中任取3张的所有取法数”，再分析“取出的3张为同一种颜色”和“取出的3张有2张绿色卡片”的取法数，从而可求出答案．【详解】根据题意，不考虑限制，从12张卡片中任取3张，共有312C 种取法，如果取出的3张为同一种颜色，则有343C 种情况，如果取出的3张有2张红色卡片，则有2148C C 种情况，故所求的取法共有332112448C 3C C C 160--=种．故选：C ．4.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，12a =，()1122n n n n S a nS ++-+=，*N n ∈，则数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前10项和为（）A.910B.109C.1110D.1011【答案】D 【解析】【分析】根据已知条件构造()1n S n n ⎧⎫⎪⎪⎨⎬+⎪⎪⎩⎭为常数列，求出()1n S n n =+，再利用裂项相消法求和即可.【详解】 ()1122n n n n S a nS ++-+=，且11n n n a S S ++=-，∴()12n n nS n S +=+，即12n nS S n n +=+，∴()()()1121n n S S n n n n +=+++，故数列()1n S n n ⎧⎫⎪⎪⎨⎬+⎪⎪⎩⎭为常数列，且()1112n S a n n ==+，∴()1n S n n =+，则()111111n S n n n n ==-++，故数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前10项和12101111111111101122310111111S S S ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ .故选：D.5.关于x 的方程2e xx a +=有三个不同的实数解，则实数a 的取值范围是（）A.(],1-∞ B.[)1,+∞C.(],1ln 2-∞- D.()1ln 2,-+∞【答案】D【解析】【分析】已知方程2e xx a +=有三个不同的实数解可转化为y x a =+的图象与1e 2xy =的图象有三个点,根据导数的几何意义，数形结合可得参数范围.【详解】由已知方程2e xx a +=有三个不同的实数解可转化为y x a =+的图象与1e 2xy =的图象有三个点，设直线y x a =+的图象与1e 2xy =相切于点()00,x y ，因为1e 2x y '=，所以000001e 21e 12x x y x ay ⎧⎪=+⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩，解得：00ln 211ln 2x y a =⎧⎪=⎨⎪=-⎩，又函数()y x a =-+在(),a ∞--单调递减，且()(),0x a ∞-+∈-，函数1e 2x y =在(),a ∞--增，且11e 0,e 22x a -⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以函数()y x a =-+与1e 2xy =在(),a ∞--所有且只有一个交点，要使y x a =+的图象与1e 2xy =的图象有三个交点，则需1ln 2a >-，即实数a 的取值范围是()1ln 2,∞-+，故选：D ．6.谢尔宾斯基三角形（Sierppinskitriangle ）是一种分形，由波兰数学家谢尔宾斯基在1915年提出．先取一个实心正三角形，挖去一个“中心三角形”（即以原三角形各边的中点为顶点的三角形，即图中的白色三角形），然后在剩下的每个小三角形中又挖去一个“中心三角形”，用上面的方法可以无限操作下去．操作第1次得到图2，操作第2次得到图3．．．．．，若继续这样操作下去后得到图2024，则从图2024中挖去的白色三角形个数是（）A.20233B.20243C.2023312- D.2024312-【答案】C 【解析】【分析】根据等比数列的前n 项和公式求得正确答案.【详解】由图可知，图2024中挖去的白色三角形个数是：2202421333-++++ ()2023202311331132⨯--==-.故选：C7.设实数0t >，若()2e ln 20txt x -≥对0x >恒成立，则t 的取值范围为（）A.1,2e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ B.1,e ∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭C.10,e⎛⎤ ⎥⎝⎦D.10,2e ⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】B 【解析】【分析】先将指对混合形式变形为同构形式，再构造函数，利用函数单调性求函数最值，得到参数t 范围.【详解】由()0,x ∈+∞，则0tx >，2e 0tx t >，当10,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，ln 20x ≤，()2eln 2txt x >恒成立，即任意0t >，()2eln 20txt x -≥对10,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦恒成立；当1,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()()22e ln 202e 2ln 2tx tx t x tx x x -≥⇔≥，即()()ln 222eln 2ex txtx x ≥，其中20,ln(2)0tx x >>，构造函数()e ,0x F x x x =>，则(2)(ln 2)F tx F x ≥.()(1)e x F x x '=+，因为0x >，所以()0F x '>，()F x 单调递增；则有2ln(2)tx x ≥，则ln 2,2(1,)2xt x x≥∈+∞，构造函数ln (),(1,)xx x xϕ=∈+∞，则21ln ()x x xϕ'-=，令()0x ϕ'=，解得e x =，当(1,e)x ∈时，()0x ϕ'>，()ϕx 单调递增；当(e,)x ∈+∞时，()0x ϕ'<，()ϕx 单调递减，则max 1()(e)e x ϕϕ==，即当e2x =时，maxln 212e x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，故要使ln 2,2(1,)2x t x x ≥∈+∞恒成立，则1e t ≥，即t 的取值范围为1,e ∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭.故选：B.【点睛】一般地，在等式或不等式中指对形同时出现，可能需要利用指对同构来解决问题.解决问题的关键在于指对分离，构造“指幂—幂对”形式，再构造函数求解.常见的同构式有：e x x 与ln x x ，ln x x +与e x x +等.8.已知函数2()ln 2f x x m x=-+-（03m <<）有两个不同的零点1x ，2x （12x x <），下列关于1x ，2x 的说法正确的有（）个①221e m x x <②122x m >+③323e3m x m<<-④121x x >A.1 B.2C.3D.4【答案】D 【解析】【分析】函数()()2ln 203f x x m m x=-+-<<有两个不同零点()1212,x x x x <，转化为2ln 2x m x -+=有两个交点，构造函数()2ln 2g x x x=-+，判断单调性，利用数形结合，判断①，再根据①判断②，再根据零点,构造函数，判断选项③,根据零点判断④.【详解】由函数()()2ln 203f x x m m x=-+-<<有两个不同零点()1212,x x x x <，转化为()2ln 203x m m x-+=<<有两个交点()1212,x x x x <，构造函数()2ln 2g x x x =-+，()2ln 2h x x x =-+，则()212g x x x+'=，故()0g x '>，所以()g x 在()0,∞+单调递增，而()10g =，可得()h x图象如图所示故()h x 在()0,1单调递减，在()1,∞+单调递增，所以1201x x <<<，对于①，121222ln 2ln 2m x x x x =-+-=-+，所以212121222ln ln ln x m x x x x x ⎛⎫=-++-> ⎪⎝⎭，所以221m x e x <，故①正确；对于②，由①可知112ln 2m x x =-+-，故111122ln 0mx x x x +-=->，因此122x m >+，故②正确；对于③，因为03m <<，所以013m <<，故331,13me e m<<>-，所以()233332ln 2ln 33333m m g m m m -⎛⎫=-+=+⎪---⎝⎭，则()3ln 3ln 333m g m m m ⎛⎫-=---+⎪-⎝⎭，构造函数()()ln 3ln 33mQ x m =---+，则()()1103333mQ x m m ='=->--，而()00Q =，所以()233g m g x m ⎛⎫>=⎪-⎝⎭，所以233x m<-，因为33223m m m g e e ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，所以331213m m m m g e e ⎛⎫⎛⎫ ⎪-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令()013m t t =<<，构造()11t I t t e=-+，显然()I t 单调递增，且()00I =，所以()32m m g x g e ⎛⎫=> ⎪⎝⎭所以3233m e x m<<-，故③正确；对于④，由①可知，121222ln 44x x x x =+->，所以12ln 40x x >，n =，()42ln 4W n n n=-+，显然()W n 单调递增，且()10W =，所以121x x >，故④正确.故选：D二､多选题（每小题6分）.9.现分配甲、乙、丙三名临床医学检验专家到,,,A B C D 四家医院进行核酸检测指导，每名专家只能选择一家医院，且允许多人选择同一家医院，则（）A.所有可能的安排方法有64种B.若三名专家选择两所医院，每所医院至少去一人，则不同的安排方法有6种C.若三名专家选择三所医院，每所医院去一人，则不同的安排方法有24种D.若三名专家选择三所医院，每所医院去一人，但是甲不去A 医院，则不同的安排方法有18种【答案】ACD【解析】【分析】A 选项，根据分步计数原理计算出答案；B 选项，先从4所医院选择2所，再安排三名专家，利用分步计数原理计算出答案；C 选项，先从4所医院选择3所，再进行全排列得到C 正确；D 选项，再C 选项的基础上，计算出每所医院去一人，甲去A 医院的安排方法，从而计算出答案.【详解】A 选项，甲、乙、丙三人均有4种选择，故所有可能的安排方法有3464=种，A 正确；B 选项，先从4所医院选择2所，有24C 6=种选择，再将三名专家分到两所医院，有212312C C A 6=种选择，则不同的安排方法有6636⨯=种，B 错误；C 选项，先从4所医院选择3所，有34C 4=种选择，再将三名专家和三所医院进行全排列，有33A 6=种选择，则不同的安排方法有4624⨯=种，C 正确；D 选项，由C 选项可知，三名专家选择三所医院，每所医院去一人，共24种选择，若甲去A 医院，从,,B C D 所医院中选两所，和剩余两名专家进行全排列，共有2232C A 6=种选择，故不同的安排方法有24618-=种，D 正确.故选：ACD10.已知抛物线21:4y x Γ=的焦点为F ，准线为l ，A 是Γ上除坐标原点O 以外的动点，过点A 且与Γ相切的直线m 与y 轴交于点B ，与x 轴交于点C ，AD l ⊥，垂足为D ，则下列说法正确的是（）A.FA AD +的最小值为2B.若点B 落在l 上，则A 的横坐标为2C.四边形AFBD 为菱形D.||OB ,||BC ,||BD 成等比数列【答案】CD 【解析】【分析】根据题设条件及抛物线的性质，结合各个选项，逐一分析判断即可得出结果.【详解】对于选项A ，因为FA AD FD +≥，当且仅当,,F A D 三点共线时取等号，即A 运动到原点O 时取等号，此时2FD =，由题知A 是Γ上除坐标原点O 以外的动点，故选项A 错误，对于选项B ，易知(0,1)B -，设直线m 的方程为1y kx =-，由2141y x y kx ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，消y 得到2440x kx -+=，则216160k ∆=-=，解得1k =±，当1k =时，代入2440x kx -+=，得到2440x x -+=，解得2x =，当1k =-时，代入2440x kx -+=，得到2440x x ++=，解得2x =-，所以选项B 错误，对于选项C ，设000(,)(0)A x y y >，设直线m 的方程为010()y y k x x -=-，由201014()y x y y k x x ⎧=⎪⎨⎪-=-⎩，消y 得到21100104x k x k x y -+-=，由211000k k x y ∆=-+=，又20014y x =，所以221100104k k x x ∆=-+=，解得1012k x =，所以直线m 的方程为0001()2y y x x x -=-，令0x =，得到200000122y y x y y y =-=-=-，所以01FB y =+，又由抛物线的定义知，01AF AD y ==+，所以AD FB =，又//AD FB ，所以AFBD 为平行四边形，又AF AD =，所以AFBD 为菱形，故选项C 正确，对于选项D ，由选项C 知直线m 的方程为0001()2y y x x x -=-，又20014y x =，令0y =，得到012x x =，所以01(,0)2C x ，又0(0,)B y ，01BD AD y ==+，得到0OB y =，22222200000011()()24BC x y x y y y =+=+=+，得到2200OB AD y y BC ⋅=+=，所以||OB ,||BC ,||BD 成等比数列，故选项D正确，故选：CD.11.已知函数()()e xf x a x =+，()()lng x x a x =+，则下列说法正确的是（）A.若函数()y f x =存在两个极值，则实数a 的取值范围为21,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B.当1a =时，函数()y g x =在(0,)+∞上单调递增C.当1a =时，若存在1x ≥，使不等式()()2()ln f mx f xx x ≥+成立，则实数m 的最小值为0D.当1a =时，若()()12(0)f x g x t t ==>，则()121ln x x t +⋅的最小值为1e【答案】BC 【解析】【分析】对A 选项：由极值点的性质结合导数讨论单调性即可得；对B 选项：结合导数讨论单调性即可得；对C 选项：结合()f x 单调性，可转化为当1x ≥时，有()1ln m x x ≥+成立，求出()1ln x x +最小值即可得；对D 选项：采用同构法可确定12e xx =，再将多变量化为单变量后结合导数讨论单调性即可得.【详解】对A 选项：()()()e e 1e xxxf x x a x a +=+'=++，若函数()y f x =存在两个极值，则函数()f x '必有两个变号零点，令()()1e 0xf x x a =++='，则()1e xa x =-+，令()()1e xh x x =-+，则()()2e xh x x +'=-，则当2x >-时，()0h x '<，当<2x -时，()0h x '>，故()h x 在(),2∞--上单调递增，在()2,∞-+上单调递减，故()()()221221ee h x h -≤-=--+=，又当1x >-时，()()1e 0xh x x =-+<恒成立，当x →-∞时，()0h x →，故当210,e a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，函数()f x '有两个变号零点，即若函数()y f x =存在两个极值，则实数a 的取值范围为210,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，故A 错误；对B 选项：当1a =时，()(1)ln g x x x =+，()11ln ln 1x g x x x x x='+=+++，令()()x g x μ='，则()22111x x x x x μ'-=-=，则当()0,1x ∈时，()0x μ'<，当()1,x ∞∈+时，()0x μ'>；故()x μ在()0,1上单调递减，在()1,∞+上单调递增，故()()120g x g '='≥>，故函数()y g x =在(0,)+∞上单调递增；故B 正确；对C 选项：当1a =时，()()e 1xf x x =+，()()()e e 11e 1x x x f x x x =++=++'，令()()m x f x ='，则()()2e xm x x +'=，则当<2x -时，()0m x '<；当2x >-时，()0m x '>；故()m x 在(),2∞--上单调递减，在()2,∞-+上单调递增，故()()2212e110ef x f -≥-=-+=-'>'，故()f x 在R 上单调递增，则存在1x ≥，使不等式()()2()ln f mx fxx x ≥+成立，等价于存在1x ≥，使不等式()2ln mx x x x ≥+成立，则当1x ≥时，有()1ln m x x ≥+成立，由当1a =时，()(1)ln g x x x =+，且()y g x =在(0,)+∞上单调递增，故()11ln10m ≥+=，即实数m 的最小值为0，故C 正确；对D 选项：当1a =时，由B 、C 可知，()f x 、()g x 均为定义域上的增函数，由()00f =，()10g =，故有1>0x ，21x >，由()()12f x g x =，则()()1122e 11ln xx x x +=+，即()()()111122e 1e 1ln e 1ln xxxx x x +=+=+，故12e xx =，又()()111e 10xf x t x ==+>，故()121ln ln x x t t t +⋅=，令()ln n x x x =，则()1ln n x x x ='+，令()()1ln p x n x x x==+'，则()22111x p x x x x='-=-，则当()0,1x ∈时，()0p x '<，当()1,x ∞∈+时，()0p x '>；故()p x 在()0,1上单调递减，在()1,∞+上单调递增，即()()10n x n ''≥=，故()n x 在()0,∞+上单调递增，故()n x 无最小值，即()121ln x x t +⋅无最小值，故D 错误.故选：BC.【点睛】思路点睛：本题考查导数在研究函数中的综合应用问题，其中D 选项中涉及到多变量问题的求解，求解此类问题的基本思路是根据已知中的等量关系，将多变量转化为单变量的问题，从而将其转化为函数最值问题的求解.三､填空题（每小题5分）12.为了做好社区新疫情防控工作，需要将5名志愿者分配到甲､乙､丙､丁4个小区开展工作，若每个小区至少分配一名志愿者，则有_______________种分配方法（用数字作答）；【答案】240【解析】【分析】利用分组分配求解【详解】先把5名志愿者分成2,1,1,1共4组，然后再进行排列，有2454C A 1024240=⨯=种不同的分配方法，故答案为：24013.已知A ，B 分别为椭圆22194x y C +=：的左、右顶点，P 为椭圆C 上异于A ，B 的点，若直线PA ，PB与直线6x =交于M ，N 两点，则MN 的最小值为______.【答案】【解析】【分析】根据题意可知直线PA 和直线PB 的斜率存在，且斜率之积为49PA PB k k ⋅=-，设出两直线方程解出M ，N 两点坐标，即可得MN 的表达式，利用基本不等式即可求出其最小值.【详解】如下图所示：设()00,P x y ，则2200194x y +=，易知()3,0A -，()3,0B ，直线PA 和直线PB 的斜率存在，且斜率之积为2000200043399PA PBy y y k k x x x ⋅=⋅==-+--.设直线PA 的方程为()3y k x =+，则()6,9M k ，直线PB 的方程为()439y x k =--，则46,3N k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以4449993333MN k k k k k k=+=+≥⋅当且仅当493k k =，即239k =±时，等号成立，故MN 的最小值为3故答案为：314.已知函数()2e ,0,0x x f x x x ⎧≥=⎨-<⎩，若函数()f x 的图象在点()()()111,0A x f x x <和点()()()222,0B x f x x >处的两条切线相互平行且分别交y 轴于M 、N 两点，则AM BN的取值范围为______.【答案】e,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】由()()12f x f x =''可得出21e 2x x =-，利用弦长公式得出22e 2x AM BN x =，利用导数求出函数()e 2xg x x=在()0,∞+上的值域，即可为所求.【详解】当0x <时，()2f x x =-，()2f x x '=-，则()112f x x =-'，当0x >时，()e xf x =，()e xf x '=，则()22e xf x '=，因为函数()f x 的图象在点()()()111,0A x f x x<和点()()()222,0B x f x x >处的两条切线相互平行，则()()12f x f x =''，即212e x x -=，则21e2x x =-，1AM x =，2BN x =，所以，2122e 2x AM x BNx x ==-=，令()e 2xg x x =，其中0x >，则()()2e 12x x g x x'-=，当01x <<时，()0g x '<，此时函数()g x 在()0,1上单调递减，当1x >时，()0g x '>，此时函数()g x 在()1,∞+上单调递增，所以，()()e 12g x g ≥=，因此，AM BN 的取值范围是e ,2∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭.故答案为：e,2∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭.【点睛】关键点点睛：解决本题的关键在于利用切线斜率相等得出2x 、1x 所满足的关系式，然后将AM BN转化为含2x 的函数，转化为函数的值域问题求解.四､解答题15.4名男生和5名女生站成一排．（1）甲不在中间也不在两端的站法有多少种？（2）甲、乙两人必须站在两端的站法有多少种？（3）男、女分别排在一起的站法有多少种？（4）男、女相间的站法有多少种？（5）甲、乙、丙三人从左到右顺序一定的站法有多少种？【答案】（1）241920种（2）10080种（3）5760种（4）2880种（5）60480种【解析】【分析】（1）按有特殊位置元素的排列方法求解；（2）按有特殊位置元素的排列方法求解；（3）按捆绑法排列即可；（4）按插空法排列即可；（5）按部分均匀的排列方法求解即可.【小问1详解】先排甲有6种，其余有88A 种，∴共有886241920A ⨯=种排法.【小问2详解】先排甲、乙，再排其余7人，共有272710080A A ⋅=种排法.【小问3详解】把男生和女生分别看成一个元素，男生和女生内部还有一个全排列，共2452455760A A A ⋅⋅=种.【小问4详解】先排4名男生有44A 种方法，再将5名女生插在男生形成的5个空上有55A 种方法，故共有45452880A A ⋅=种排法.【小问5详解】9人共有99A 种排法，其中甲、乙、丙三人有33A 种排法，因而在99A 种排法中每33A 种对应一种符合条件的排法，故共有993360480A A =种排法．16.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，满足()*12n n T a n =-∈N ．（1）求1T ，2T 和n T ；（2）证明：1112222n n n n S +⎛⎫-+<<⎪⎝⎭．【答案】（1）1211113721n n T T T +===-，，（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据题意计算出12,T T ，将条件12n n T a =-中的n a 变为1n n T T -，然后化简可得11n T ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等比数列，计算可得n T ；（2）由（1）可得12121n n n a +-=-，采用放缩法可得1111222n n a +-<<，根据数列求和公式计算即可得证.【小问1详解】当1n =时，11111123T a T a =-⇔==，当2n =时，221222*********T a a a a a T =-⇔=-⇔=⇔=，∵数列{}n a 的前n 项积为n T ，满足()*12n n T a n =-∈N ，∴2n ≥时，121n n n T T T -=-，化为11121n n T T -=⨯+，变形为111121n n T T -⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，1n =时，114T+=，数列11n T ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是首项为4，公比为2的等比数列，∴11111142221n n n n n T T -+++=⨯=⇔=-，1n =时，113T =亦满足上式，即1121n n T +=-；【小问2详解】先证明左边：即证明111222n n n S +⎛⎫>-+ ⎪⎝⎭，1121n n T +=-，又由12n n T a =-，解得12121n n n a +-=-，又11121211121222n n n n n n a +++--=>=--，所以123111142111111111222222222212nn n n n n S ++⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎣⎦>-+-++-=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭- ，再证明右边：()121211212221n n n n n a +--=<=--，∴2n n S <．17.已知函数()()1ln R f x ax x a =--∈（1）讨论函数()f x 的单调性（2）若函数()f x 在1x =处取得极值，且对()()0,,2x f x bx ∞∀∈+≥-恒成立，求实数b 的取值范围【答案】（1）答案见解析（2）211e b ≤-【解析】【分析】（1）求出导函数，分类讨论判断导函数的正负即可得出答案；（2）参变分离，构造函数，利用导数求最值，即可得出答案.【小问1详解】()f x 的定义域为()0,∞+，()1f x a x'=-，当()0,0a f x '≤<时，此时()f x 在()0,∞+单调递减；当0a >时，令()0f x '=，解得1x a=，当10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，此时函数()f x 单调递减，当1,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x ¢>，此时函数()f x 单调递增，综上所述，当0a ≤，()f x 在()0,∞+单调递减；当0a >时，()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，()f x 在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增.【小问2详解】∵函数()f x 在1x =处取得极值，∴()110f a '=-=，解得1a =，经检验1a =满足题意；由已知()2f x bx ≥-，即1ln 2ax x bx --≥-，则1ln x xb x+-≤，令1ln 1ln ()1x x xg x x x x +-==+-，∴22211ln ln 2()x x g x x x x--'=--=，令()0g x '=，解得2e x =，当()20,ex ∈时，()0g x '<，此时函数()g x 单调递减，当()2e ,x ∈+∞时，()0g x '>，此时函数()g x 单调递增，∴()()22min 1e 1e g x g ==-，∴211e b ≤-，∴b 的取值范围为211eb ≤-.【点睛】结论点睛：对于恒成立问题，常用到以下两个结论：（1）()a f x ≥恒成立()max a f x ⇔≥；（2）()a f x ≤恒成立()min a f x ⇔≤.18.已知点()4,7A ，集合()22,|11612x y S x y ⎧⎫=+≤⎨⎬⎩⎭，点P S ∈，且对于S 中任何异于P 的点Q ，都有0AP PQ ⋅>．（1）试判断点P 关于椭圆2211612x y +=的位置关系，并说明理由；（2）求P 的坐标；（3）设椭圆2211612x y +=的焦点为1F ，2F ，证明：12APF APF ∠=∠．[参考公式：()()()()222222ad bc ac bd a bcd -++=++]【答案】（1）P 在椭圆2211612x y +=上，理由见详解；（2）()2,3P ；（3）证明见详解.【解析】【分析】（1）分析当P 在22:11612x y C +=内时，设线段PA 与C 有一交点Q 推导出矛盾即可；（2）记AQ 在AP上的投影向量为AQ ' ，可推导P 是C 上与A 距离最小的点，再设()00,P x y ，结合椭圆的方程与所给方程得出不等式求解最值即可；（3）设直线AP 与x 轴交于(),0B b ，根据,,A B P 共线可得1,02B ⎛⎫⎪⎝⎭，再结合112253PF BF PF BF ==与正弦定理，转证12BPF BPF ∠=∠即可.【小问1详解】P 在椭圆2211612x y +=上，理由如下：记22:11612x y C +=，若P 不在C 上，则在C 内.因为224711612+>，所以A 在C 外，设线段PA 与C 有一交点Q ，此时AP 和PQ共线反向，0AP PQ ⋅< ，不合题意，因此P 在C 上.【小问2详解】0AP PQ ⋅>等价于2AP AQ AP AP AP ⋅>⋅= .记AQ 在AP上的投影向量为AQ ' ，则条件等价于2AP AQ AP '> ，即AQ AP >' ，这表明P 是C 上与A 距离最小的点.设()00,P x y ，则22003448x y +=，()()2220047AP x y =-+- .因为()()()()222222ad bc ac bd a bcd -++=++，故()()()22222ac bd a bcd +≤++，当且仅当ad bc =时取等号.所以()()()()()()2222200000011147414214182545x y x y x y ⎡⎤-+-=-+-+≥--⎢⎥⎣⎦，又()()222000012341643x y x y ⎛⎫+≤++=⎪⎝⎭，故00828x y -≤+≤，故()221188205AP ≥⨯-= ，当且仅当0028x y +=且()()002417x y -=⨯-且0032x y =时取等号，解得002,3x y ==，故此时()2,3P .【小问3详解】因为()4,7A ，()2,3P ，设直线AP 与x 轴交于(),0B b ，则7330422b--=--，解得12b =.故1,02B ⎛⎫⎪⎝⎭，则要证12APF APF ∠=∠即证12BPF BPF ∠=∠.又()()122,0,2,0F F -，故2PF x ⊥轴，故112253PF BF PF BF ==.在1PF B △和2PF B ，由正弦定理，1212sin sin sin sin PBF PBF BPF BPF ∠∠=∠∠，又1PBF ∠和2PBF ∠互补，所以12sin sin PBF PBF ∠=∠，所以12sin sin BPF BPF ∠=∠，从而有12BPF BPF ∠=∠.所以12APF APF ∠=∠.【点睛】关键点点睛：第二问关键是如何确定点P 的位置；第三问是焦点三角形问题，利用线段长度关系结合正弦定理证明.19.已知函数()()211ln ln 122f x x x ax x ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭，其中0a ≠．（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若0a >，证明：函数()f x 有唯一的零点；（3）若()0f x >，求实数a 的取值范围．【答案】（1）答案见解析（2）证明见解析（3）321e ,4⎛⎫-- ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）求定义域，求导，分0a >，1a =-，10a -<<与1a <-四种情况，解不等式，求出函数单调性；（2）在（1）的基础上得到函数单调性，结合零点存在性定理得到结论；（3）由（2）知，0a >不合要求，故a<0，由()10f >，可得14a <-，构造()()11ln ln 122g x x x a x ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭，求导，结合隐零点得到函数单调性，且1m >，2ln 4ln 40m m m a m a -+->，2ln 40m m m a ++=，两式相加得到()ln 0m a m +>，a m >-，放缩得到不等式，求出321e m <<，进而得到321e 4a -<<-.【小问1详解】函数()f x 的定义域为()0,∞+，()()()112ln ln 11ln ln ln 22f x x x x a x x x a x x a x ⎡⎤⎛⎫=-++-+=+=+ ⎪⎢⎥'⎝⎭⎣⎦，①当0a >时，解不等式()0f x ¢>．有1x >，令()0f x '<，得01x <<，故函数()f x 的减区间为()0,1，增区间为()1,+∞；②当1a =-时．()()1ln f x x x =-'，若1x >，10x ->，ln 0x >，可得()0f x ¢>；若1x <，10x -<，ln 0x <，可得()0f x ¢>；若1x =，可得()0f x '=．故有()0f x '≥，函数()f x 单调递增，增区间为()0,∞+，没有减区间；③当10a -<<时，解不等式()0f x ¢>，有1x >或0x a <<-，令()0f x '<，解得1a x -<<，故函数()f x 的增区间为()0,a -，()1,+∞，减区间为(),1a -；④当1a <-时，解不等式()0f x ¢>，有x a >-或01x <<，令()0f x '<得1x a <<-，故函数()f x 的增区间为()0,1，(),a -+∞，减区间为()1,a -；综上，当0a >时，()f x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增；当1a =-时，()f x 在()0,∞+上单调递增；当10a -<<时，()f x 在()0,a -，()1,+∞上单调递增，在(),1a -上单调递减；当1a <-时，()f x 在()0,1，(),a -+∞上单调递增，在()1,a -上单调递减.【小问2详解】若0a >，函数()f x 的减区间为()0,1，增区间为()1,+∞，且()1104f a =--<，当01x <<时，由ln 0x <，有()()11ln ln 1022f x x x x a x ⎡⎤⎛⎫=-+-< ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦恒成立，又()21e e 04f =>，由零点存在性定理()1,+∞上存在唯一零点，由上知，函数()f x 有唯一的零点；【小问3详解】由（2）知．若()0f x >，必有0a <．又由()1104f a =-->，可得14a <-．又由0x >，不等式()0f x >可化为()11ln ln 1022x x a x ⎛⎫-+-> ⎪⎝⎭，设()()11ln ln 122g x x x a x ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭，有()11112ln 4ln ln 22244a a x x x a g x x x x x x++⎛⎫=++=++=⎝' ⎪⎭，当01x <<且04x a <<-时，ln 0x <，40x a +<，可得()0g x '<，当1x >且4x a >-时，ln 0x >，40x a +>，可得()0g x '>，当0a <时，函数11ln 24a y x x =++单调递增，故存在正数m 使得2ln 40m m m a ++=．若01m <≤，有ln 0m ≤，41a <-，有2ln 410m m m a m ++<-<，与2ln 40m m m a ++=矛盾，可得1m >，当x >m 时，()0g x '>；当x m <时，()0g x '<，可得函数()g x 的减区间为()0,m ，增区间为(),m +∞，若()0g x >，必有()()11ln ln 1022g m m m a m ⎛⎫=-+-> ⎪⎝⎭，有2ln 4ln 40m m m a m a -+->，又由2ln 40m m m a ++=，有()2ln 4ln 42ln 40m m m a m a m m m a -+-+++>，有ln ln 0m m a m +>，有()ln 0m a m +>．又由1m >，有m a >-，可得a m >-，有2ln 402ln 42ln 3m m m a m m m m m m m ++=>+-=-，可得321e m <<，由()12ln 4a m m m =-+，及2212ln 4e m m m <+<，可得321e 4a -<<-，若()0f x >．则实数a 的取值范围为321e ,4⎛⎫-- ⎪⎝⎭．。

2024-2025学年四川省德阳市高二上学期第一次月考数学质量检测试题(含解析)

2024-2025学年四川省德阳市高二上学期第一次月考数学质量检测试题(含解析)

2024-2025学年四川省德阳市高二上学期第一次月考数学质量检测试题考试范围：必修二第十章、选修第一册第一章；考试 注意事项：1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2.请将答案正确填写在答题卡上第Ⅰ卷（选择题）一、单选题1. 已知集合，，则（）{}2,0,1,3A =-{}0,2,3B =A B = A.B.C.D.{}2,1-{}2,1,2-{}0,3{}2,0,1,2,3-2.在复平面内对应的点位于（ ）2(2i)4z =+-A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限3. 某实验中学共有职工150人，其中高级职称的职工15人，中级职称的职工45人，一般职员90人，现采用分层抽样抽取容量为30的样本，则抽取的高级职称、中级职称、一般职员的人数分别为（ ）A. 5、10、15B. 3、9、18C. 3、10、17D. 5、9、164. 已知一组数据：4，6，7，9，11，13，则这组数据的第50百分位数为（ ）A. 6B. 7C. 8D. 95. 从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，取到的2个数之和为偶数的概率为（）A. B. C. D. 132312256. 已知空间中非零向量，，且，，，则的值为（ ）a b 1a =2b = 60a b = ,2a b- A. C. D. 1247. 已知空间向量，空间向量满足且，则＝（ ）()1,2,3m =n //m n u r r7⋅= m n n A. B.13,1,22⎛⎫⎪⎝⎭13,1,22⎛⎫--- ⎪⎝⎭C. D. 31,1,22⎛⎫--- ⎪⎝⎭31,1,22⎛⎫⎪⎝⎭8. 已知四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面是边长为2的正方形，侧棱与底面垂直，若点C 到平面AB 1D 1，则直线与平面所成角的余弦值为（ ）1B D 11AB D二、多选题9. 设是两个概率大于0的随机事件，则下列结论正确的是（ ）,A B A. 若A 和互斥，则A 和一定相互独立B B B. 若事件，则A B ⊆()()P A P B ≤C. 若A 和相互独立，则A 和一定不互斥B B D.不一定成立()()()P A B P A P B<+10.如图，点是正方体的顶点或所在棱的中点，则下列各图中满足平,,,,A B C M N //MN 面的是（）ABC A .B.C. D.11. 如图，在平行四边形ABCD 中，，，，沿对角线BD 将△ABD 1AB =2AD =60A ∠=︒折起到△PBD 的位置，使得平面PBD ⊥平面BCD ，连接PC ，下列说法正确的是（）A .平面PCD ⊥平面PBDB. 三棱锥外接球的表面积为P BCD -10πC. PD 与平面PBCD. 若点M 在线段PD 上（包含端点），则△BCM第Ⅱ卷（选择题）三、填空题12. 如果从甲口袋中摸出一个红球的概率是，从乙口袋中摸出一个红球的概率是，现分1413别从甲乙口袋中各摸出1个球，则2个球都是红球的概率是________．13. 已知正方体的棱长为，点是的中点，则点A 到直线的距1111ABCD A B C D -2E 11A B BE 离是__________．14. 如图，在四棱锥中，平面，底面为正方形，P ABCD -PA ⊥ABCD ABCD ，点分别为的中点，点为内的一个动点（包括边界），2PA AB ==,E F ,CD CP T PAB 若平面，则点的轨迹的长度为__________.CT ∥AEF T 四、解答题15. 《中华人民共和国民法典》于2021年1月1日正式施行．某社区为了解居民对民法典的认识程度，随机抽取了一定数量的居民进行问卷测试（），并根据测试成绩绘制了如图所示的频率分布直方图.（1）估计该组测试成绩的平均数和第57百分位数；（2）该社区在参加问卷且测试成绩位于区间和的居民中，采用分层随机抽[)80,90[]90,100样，确定了5人.若从这5人中随机抽取2人作为该社区民法典宣讲员，设事件“两人的A =测试成绩分别位于和”，求.[)80,90[]90,100()P A 16. 在直三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，∠ABC ＝90°，BC ＝2，CC 1＝4，点E 在线段BB 1上，且EB 1＝1，D ，F ，G 分别为CC 1，C 1B 1，C 1A 1的中点．（1）证明：B 1D ⊥平面ABD ；（2）证明：平面EGF ∥平面ABD .17. 已知甲射击的命中率为0.8，乙射击的命中率为0.9，甲乙两人的射击相互独立．（1）甲乙两人同时命中目标的概率；（2）甲乙两人中至少有1人命中目标的概率．18. 如图，圆柱的轴截面ABCD 是正方形，点在底面圆周上，为垂足.E ,AF DE F ⊥（1）求证.AF DB⊥（2）当直线与平面所成角的正切值为2时，DE ABE ①求平面与平面夹角的余弦值；EDC DCB ②求点到平面的距离.B CDE 19. 图1是直角梯形，，，四边形是边长为4的菱形，ABCD AB CD ∥90D Ð=°ABCE 并且，以为折痕将折起，使点到达的位置，且，60BCE ∠=︒BE BCE C 1C 1AC =如图2.（1）求证：平面平面；1BC E ⊥ABED （2）在棱上是否存在点，使得到平面，若存在，则的1DC P P 1ABC 1DP PC 值；（3）在（2）的前提下，求出直线与平面所成角的正弦值.EP 1ABC2024-2025学年四川省德阳市高二上学期第一次月考数学质量检测试题考试范围：必修二第十章、选修第一册第一章；考试 注意事项：1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2.请将答案正确填写在答题卡上第Ⅰ卷（选择题）一、单选题1. 已知集合，，则（）{}2,0,1,3A =-{}0,2,3B =A B = A .B.C.D.{}2,1-{}2,1,2-{}0,3{}2,0,1,2,3-【正确答案】C【分析】运用交集性质即可得.【详解】由，，则.{}2,0,1,3A =-{}0,2,3B ={}0,3A B ⋂=故选：C.2.在复平面内对应的点位于（ ）2(2i)4z =+-A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【正确答案】B【分析】将复数化为标准形式再根据复数的几何意义即可确定.【详解】，2(2i)414i z =+-=-+则在复平面内对应的点位于第二象限，z 故选：B.3. 某实验中学共有职工150人，其中高级职称的职工15人，中级职称的职工45人，一般职员90人，现采用分层抽样抽取容量为30的样本，则抽取的高级职称、中级职称、一般职员的人数分别为（ ）A. 5、10、15B. 3、9、18C. 3、10、17D. 5、9、16【正确答案】B【分析】利用分层抽样的定义求出对应人数，得到答案.【详解】抽取的高级职称人数为，中级职称人数为，一般职员的15303150⨯=45309150⨯=人数为，903018150⨯=故抽取的高级职称、中级职称、一般职员的人数分别为3、9、18.故选：B4. 已知一组数据：4，6，7，9，11，13，则这组数据的第50百分位数为（ ）A .6B. 7C. 8D. 9【正确答案】C【分析】借助百分位数定义计算即可得.【详解】由，故这组数据的中位数为.60.53⨯=7982+=故选：C.5. 从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，取到的2个数之和为偶数的概率为（）A. B. C. D. 13231225【正确答案】D【分析】应用列举法求古典概型的概率即可.【详解】任取2个不同数可能有、、、、、、、(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(2,3)(2,4)(2,5)、、，共10种情况，(3,4)(3,5)(4,5)其中和为偶数的情况有、、、，共4种情况，(1,3)(1,5)(2,4)(3,5)所以取到的2个数之和为偶数的概率为.42105=故选：D6. 已知空间中非零向量，，且，，，则的值为（ ）a b 1a =2b = 60a b = ,2a b- A. C. D. 124【正确答案】C【分析】根据向量的模长公式即可求解.【详解】因为2222222(2)4444cos a b a b a a b b a a b a b b-=-=-⋅+=-+ ,，所以．14412442=-⨯⨯⨯+=22a b -= 故选:C7. 已知空间向量，空间向量满足且，则＝（ ）()1,2,3m =n //m n u r r7⋅= m n n A. B.13,1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭13,1,22⎛⎫--- ⎪⎝⎭C.D. 31,1,22⎛⎫--- ⎪⎝⎭31,1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭【正确答案】A【分析】由空间向量共线的坐标表示与数量积的坐标表示求解即可.【详解】∵，且空间向量满足，()1,2,3m =n //m n u r r ∴可设，(),2,3n m λλλλ==又，∴，得．7⋅= m n 1233147λλλλ⨯+⨯+⨯==12λ=∴，故A 正确.113,1,222n m ⎛⎫== ⎪⎝⎭ 故选：A.8. 已知四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面是边长为2的正方形，侧棱与底面垂直，若点C 到平面AB 1D 1，则直线与平面所成角的余弦值为（）1B D 11AB D【正确答案】A【分析】先由等面积法求得的长，再以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系1AA 1A ，运用线面角的向量求解方法可得答案．1A xyz -【详解】如图，连接交于点，过点作于，11AC 11BD O C CH AO ⊥H 则平面，则，CH ⊥11ABD CH =设，1AA a =则，AO CO AC ===则根据三角形面积得，1122AOC S AO CH AC ∆=⨯⨯=⨯代入解得．a=以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系．1A 1A xyz -则，1111(2,0,0),(0,2,0),(0,2,(2,0,A B D D AD AB =-=-，1(2,2,B D =-设平面的法向量为，，，11AB D (n x =y )z则，即，令，得．1100n AD n AB ⎧⋅=⎨⋅=⎩2020y x ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩x=n =，111cos ,||||B D n B D n B D n ⋅〈〉==所以直线与平面1B D 1111D C B A 故选：．A二、多选题9. 设是两个概率大于0的随机事件，则下列结论正确的是（ ）,A B A. 若A 和互斥，则A 和一定相互独立B B B. 若事件，则A B ⊆()()P A P B ≤C. 若A 和相互独立，则A 和一定不互斥B B D.不一定成立()()()P A B P A P B <+ 【正确答案】BC【分析】对于AC ：根据互斥事件和独立事件分析判断即可；对于B ：根据事件间关系分析判断即可；对于D ：举反例说明即可.【详解】由题意可知：，()()0,0P A P B >>对于选项A ：若A 和互斥，则，B ()0P AB =显然，所以A 和一定不相互独立，故A 错误；()()()P AB P A P B ≠B 对于选项B ：若事件，则，故B 正确；A B ⊆()()P A P B ≤对于选项C ：若A 和相互独立，则，B ()()()0P AB P A P B =>所以A 和一定不互斥，故C 正确；B 对于选项D ：因为，()()()()P A B P A P B P AB =+- 若A 和互斥，则，则，故D 错误；B ()0P AB =()()()P A B P A P B =+ 故选：BC.10.如图，点是正方体的顶点或所在棱的中点，则下列各图中满足平,,,,A B C M N //MN 面的是（）ABCA. B.C.D.【正确答案】ACD【分析】结合题目条件，根据线面平行的判断定理，构造线线平行，证明线面平行.【详解】对A ：如图：连接，因为为正方体棱的中点，所以，又，所以，EF ,M N //MN EF //EF AC //MN AC 平面，平面，所以平面.故A 正确；AC ⊂ABC MN ⊄ABC //MN ABC对B ：如图：因为是正方体棱的中点，所以，，，,,,,A B C M N //MN GH //BC EF //GH EF 所以，//BC MN 同理：，.//AB DN //AM CD 所以5点共面，所以平面不成立.故B 错误；,,,,A B C M N //MN ABC 对C ：如图：因为是正方体棱的中点，所以，，所以.,B C //BC EF //MN EF //BC MN 平面，平面，所以平面.故C 正确；⊂BC ABC MN ⊄ABC //MN ABC 对D ：如图：因为为正方体棱的中点，连接交于，连接，,.B C M ME AC F BF 则为的中位线，所以，BF MNE //BF MN 平面，平面，所以平面.故D 正确.BF ⊂ABC MN ⊄ABC //MN ABC故选：ACD11. 如图，在平行四边形ABCD 中，，，，沿对角线BD 将△ABD 1AB =2AD =60A ∠=︒折起到△PBD 的位置，使得平面PBD ⊥平面BCD ，连接PC ，下列说法正确的是（）A. 平面PCD ⊥平面PBDB. 三棱锥外接球的表面积为P BCD -10πC. PD 与平面PBCD. 若点M 在线段PD 上（包含端点），则△BCM【正确答案】ACD【分析】结合线线垂直，线面垂直与面面垂直的相互转化关系检验A,根据外接球的球心位置即可结合三角形的边角关系求解半径，可判断B,结合空间直角坐标系及空间角及空间点到直线的距离公式检验．CD 【详解】中，，，，BCD △1CD =2BC =60A ∠=︒所以，故，所以，BD =222BD CD BC +=BD CD ⊥因为平面平面,且平面平面，又，平面PBD ⊥BCD PBD BCD BD =BD CD ⊥CD ⊂BCD所以平面，平面,所以平面平面，故A 正确；CD ⊥PBD CD ⊂PCD PCD ⊥BPD 取的中点为,中点为,过作,由平面平面,BC N PB Q N 12ON //PB,ON PB=PBD ⊥BCD 且平面平面，又,平面,故平面,因此PBD BCD BD =BD PB ⊥PB ⊂PBD PB ⊥BCD 平面,由于为直角三角形，且为斜边中点，所以,又ON ⊥BCD BCD △N OB OC OD ==,所以,因此,因此为三棱锥12ON //PB,ON PB=QB ON ,BQ //ON =OP OB =O外接球的球心，且半径为,故球的表面积为P BCD-OB ，故B 错误，54π=5π4´以为原点，联立如图所示的空间直角坐标系，则，D B 0，，，1，，0，，0)(0C 0)P 1)因为，0，，，1，，,(0BP = 1)(BC =0))01DP ,= 设平面的法向量为，PBC (),,mx y z =所以，取0000zm BP y m BC ⎧=⎧⋅=⎪⎪⇒⎨⎨+=⎪⋅=⎪⎩⎩x =)30m ,= 所以，故PD 与平面PBC，故cos ,||||m DP m DP m DP⋅<>===C 正确，因为在线段上，设，0，，则，0，，MPD M )a MB =-)a -所以点到的距离，M BCd ===当时，，此时面积取得最小值，D 正37a =d MBC ∆12BC =确．故选：ACD ．第Ⅱ卷（选择题）三、填空题12. 如果从甲口袋中摸出一个红球的概率是，从乙口袋中摸出一个红球的概率是，现分1413别从甲乙口袋中各摸出1个球，则2个球都是红球的概率是________．【正确答案】112【分析】根据相互独立事件概率乘法公式求解．【详解】从甲口袋中摸出一个红球的概率是，从乙口袋中摸出一个红球的概率是，1413现分别从甲乙口袋中各摸出1个球，则2个球都是红球的概率．1114312P =⨯=故．11213. 已知正方体的棱长为，点是的中点，则点A 到直线的距1111ABCD A B C D -2E 11A B BE 离是__________．【分析】以D 为原点，以的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标1,,DA DC DD系，利用点到直线的向量公式可得.【详解】以D 为原点，以的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标1,,DA DC DD 系.则，()()()2,0,0,2,2,0,2,1,2A B E 所以，()()0,2,0,0,1,2BA BE =-=-记与同向的单位向量为，则，BE u0,u ⎛= ⎝所以，点A 到直线BE 的距离.d ===14. 如图，在四棱锥中，平面，底面为正方形，P ABCD -PA ⊥ABCD ABCD ，点分别为的中点，点为内的一个动点（包括边界），2PA AB ==,E F ,CD CP T PAB 若平面，则点的轨迹的长度为__________.CT ∥AEF T【分析】记的中点为，点的轨迹与交于点，则平面平面，建AB G T PB H //CHG AEF 立空间直角坐标系，利用垂直于平面，的法向量确定点的位置，利用向量即可CHAEF H 得解.【详解】由题知，两两垂直，,,AB AD AP 以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，A ,,AB AD AP ,,x y z 记的中点为，连接，AB G CG因为为正方形，为中点，所以，且，ABCD E CD //AG CE AG CE =所以为平行四边形，所以，AGCE //CG AE 又平面，平面，所以平面，CG ⊄AEF AE ⊂AEF //CG AEF 记点的轨迹与交于点，由题知平面，T PB H //CH AEF 因为是平面内的相交直线，所以平面平面，,CH CG CHG //CHG AEF 所以即为点的轨迹，GH T 因为，()()()()()()0,0,0,1,2,0,1,1,1,2,2,0,0,0,2,2,0,0A E F C P B 所以，()()()()2,0,2,2,2,2,1,2,0,1,1,1PB CP AE AF =-=--==设，PH PB λ= 则，()()()2,2,22,0,222,2,22CH CP PH CP PB λλλλ=+=+=--+-=---设为平面的法向量，(),,n x y z =AEF 则，令得，200AE n x y AF n x y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=++=⎪⎩ 1y =()2,1,1n =-因为，所以，CH n ⊥()2222220λλ---+-=解得，则，又23λ=22,2,33CH ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ ()1,2,0GC AE == 所以，()22121,2,0,2,,0,3333GH GC CH ⎛⎫⎛⎫=+=+--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 所以.12,0,33GH ⎛⎫===⎪⎝⎭关键点睛：本题关键在于利用向量垂直确定点的轨迹与的交点位置，然后利用向量运T PB 算求解即可.四、解答题15. 《中华人民共和国民法典》于2021年1月1日正式施行．某社区为了解居民对民法典的认识程度，随机抽取了一定数量的居民进行问卷测试（），并根据测试成绩绘制了如图所示的频率分布直方图.（1）估计该组测试成绩的平均数和第57百分位数；（2）该社区在参加问卷且测试成绩位于区间和的居民中，采用分层随机抽[)80,90[]90,100样，确定了5人.若从这5人中随机抽取2人作为该社区民法典宣讲员，设事件“两人的A =测试成绩分别位于和”，求.[)80,90[]90,100()P A 【正确答案】（1）平均数76.2；第57百分位数79；（2）.()35P A =【分析】（1）利用频率分布直方图计算平均数及百分位数；（2）根据分层抽样确定测试成绩分别位于和的人数，按照古典概型计算即[)80,90[]90,100可.【小问1详解】由频率分布直方图可知测试成绩的平均数.450.04550.06650.2750.3850.24950.1676.2x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=测试成绩落在区间的频率为，[)40,70()0.0040.0060.02100.3++⨯=落在区间的频率为，[)40,80()0.0040.0060.020.03100.6+++⨯=所以设第57百分位数为a ，有，()0.3700.030.57a +-⨯=解得；79a =【小问2详解】由题知，测试分数位于区间、的人数之比为，[)80,90[)90,1000.2430.162=所以采用分层随机抽样确定的5人，在区间中3人，用，，表示，在区间[)80,901A 2A 3A 中2人，用，表示，[)90,1001B 2B 从这5人中抽取2人的所有可能情况有：，，，，，，，，()12,A A ()13,A A ()11,A B ()12,A B ()23,A A ()21,A B ()22,A B ()31A B ，，共10种，()32,A B ()12,B B 其中“分别落在区间和”有6种，[)80,90[)90,100所以.()35P A =16. 在直三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，∠ABC ＝90°，BC ＝2，CC 1＝4，点E 在线段BB 1上，且EB 1＝1，D ，F ，G 分别为CC 1，C 1B 1，C 1A 1的中点．（1）证明：B 1D ⊥平面ABD ；（2）证明：平面EGF ∥平面ABD .【正确答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法来证得平面.1B D ⊥ABD （2）利用向量法证得平面平面.//EGF ABD 【小问1详解】以B 为坐标原点，BA 、BC 、BB 1所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，则B (0,0,0)，D (0,2,2)，B 1(0,0,4)，设BA ＝a ，则A (a,0,0)，所以＝(a,0,0)，＝(0,2,2)，＝(0,2，－2)，BA BD1B D ·＝0，·＝0＋4－4＝0，即B 1D ⊥BA ，B 1D ⊥BD .1B D BA 1B D BD又BA ∩BD ＝B ，因此B 1D ⊥平面ABD .【小问2详解】由(1)知，E (0,0,3)，G ，F (0,1,4)，则＝，＝(0,1,1)，,1,42a ⎛⎫ ⎪⎝⎭EG u u u r ,1,12a ⎛⎫ ⎪⎝⎭EF·＝0＋2－2＝0，·＝0＋2－2＝0，即B 1D ⊥EG ，B 1D ⊥EF .1B D EG u u u r 1B D EF又EG ∩EF ＝E ，因此B 1D ⊥平面EGF . 结合(1)可知平面EGF ∥平面ABD .17. 已知甲射击的命中率为0.8，乙射击的命中率为0.9，甲乙两人的射击相互独立．（1）甲乙两人同时命中目标的概率；（2）甲乙两人中至少有1人命中目标的概率．【正确答案】（1）0.72（2）0.98【分析】（1）利用相互独立事件概率乘法公式即可求出答案.（2）利用对立事件概率计算公式和相互独立事件概率乘法公式即可求得答案.【小问1详解】因为甲射击的命中率为0.8，乙射击的命中率为0.9，甲乙两人的射击相互独立，设事件A 表示甲命中，事件B 表示乙命中，则,()0.8P A =()0.9P B =所以甲、乙两人同时命中目标的概率,()()()0.80.90.72P AB P A P B ==⨯=【小问2详解】甲乙两人中至少有1人命中目标的对立事件是甲、乙都没击中目标，甲、乙都没击中目标的概率,()()()()()10.810.90.02P AB P A P B ==--=所以甲乙两人中至少有1人命中目标的概率为：()()110.020.98P A B P AB =-=-= 18. 如图，圆柱的轴截面ABCD 是正方形，点在底面圆周上，为垂足.E ,AF DE F ⊥（1）求证.AF DB⊥（2）当直线与平面所成角的正切值为2时，DE ABE ①求平面与平面夹角的余弦值；EDC DCB ②求点到平面的距离.B CDE 【正确答案】（1）证明见解析（2）；【分析】（1）利用线面垂直得到平面，进而证明即可.AF ⊥BED AF DB ⊥（2）①建立空间直角坐标系，利用二面角的向量求法处理即可.②利用点到平面的距离公式求解即可.【小问1详解】由题意可知底面平面，故，DA ⊥,ABE BE ⊂ABE BE DA ⊥又平面，,,,BE AE AE DE E AE DE ⊥⋂=⊂AED 故平面，由平面，得，BE ⊥AED AF ⊂AED AF BE ⊥又平面，,,,AF DE BE DE E BE DE ⊥⋂=⊂BED 故平面，由平面，可得.AF ⊥BED DB ⊂BED AF DB ⊥【小问2详解】①由题意，以为原点，A 分别以AB ，AD 所在直线为轴、轴建立如图所示空间直角坐标系，y z并设AD 的长度为2，则，(0,0,0),(0,2,0),(0,2,2),(0,0,2)A B C D 因为平面，所以就是直线DE 与平面所成的角，DA ⊥ABE DEA ∠ABE 所以，所以，tan 2DA DEA AE ∠==1AE =所以1,02E ⎫⎪⎪⎭由以上可得，1(0,2,0),,22DC DE ⎫==-⎪⎪⎭ 设平面的法向量为，EDC (,,)n x y z = 则即0,0,n DC n DE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩20,120,2y x y z =⎧+-=取，得.4x=n = 又是平面的一个法向量，设平面与平面夹角的大小为，(1,0,0)m = BCD EDC DCB θ所以，cos cos m θ= 所以平面与平面.EDC DCB②因为，3,02BE ⎫=-⎪⎪⎭ 所以点到平面的距离.BCDE d 19. 图1是直角梯形，，，四边形是边长为4的菱形，ABCD AB CD ∥90D Ð=°ABCE并且，以为折痕将折起，使点到达的位置，且，60BCE ∠=︒BE BCE C 1C 1AC =如图2.（1）求证：平面平面；1BC E ⊥ABED （2）在棱上是否存在点，使得到平面，若存在，则的1DC P P 1ABC 1DP PC 值；（3）在（2）的前提下，求出直线与平面所成角的正弦值.EP 1ABC 【正确答案】（1）证明见详解（2）存在，11DP PC =（3【分析】（1）作出辅助线，得到⊥BE ，⊥BE ，且，由勾股定理逆AF 1C F 1AF C F ==定理求出AF ⊥，从而证明出线面垂直，面面垂直；1C F （2）建立空间直角坐标系，求平面的法向量，利用空间向量求解出点P 的坐标，1ABC （3）根据（2）可得，利用空间向量求线面夹角.12EP =u u r 【小问1详解】取BE 的中点F ，连接AF ，，1C F因为四边形ABCE 是边长为4的菱形，并且，60BCE ∠=︒所以均为等边三角形，1,ABE BEC故⊥BE ，⊥BE ，且，AF 1C F 1AF C F ==因为，所以，1AC =22211AF C F AC +=由勾股定理逆定理得：AF ⊥，1C F 又因为，平面ABE ，AF BE F ⋂=,AF BE ⊂所以⊥平面ABED ，1C F 因为平面，1C F ⊂1BEC 所以平面平面ABED ；1BC E ⊥【小问2详解】以F 为坐标原点，FA 所在直线为x 轴，FB 所在直线为y 轴，所在直线为z 轴，建立空1FC 间直角坐标系，则，()()()()()10,0,0,,0,2,0,0,0,,3,0,0,2,0F A B C D E --设，，，(),,P m n t 1DP DC λ= []0,1λ∈即，解得：，()(3,m n t λ-+=,33,m n t λ==-=故，),33,P λ-设平面的法向量为，1ABC (),,v x y z = 则，则，()(12,0,AB AC =-=-1200v AB y v AC ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ 令，则，故，1x=1y z ==()v =其中1,33,C P λ=-- 则，d 解得：或（舍去），12λ=32所以否存在点，使得到平面，此时.P P 1ABC 11DP PC =【小问3详解】由（2）可得：，()310,2,022EP =---= 设直线与平面所成角为，EP 1ABC θ则，sin cos ,EP θ=所以直线与平面EP 1ABC。

2024-2025学年高二年级阶段性测试数学试卷含答案

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考生注意：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有2024-2025学年高二年级阶段性测试（一）数学一项是符合题目要求的．1.图中4条直线中斜率最小的是（ ）A.1lB. 2lC. 3lD. 4l 2.已知向量()1,3,2a =-r 与()3,,b x y =r 平行，则x y -=（ ）A.15-B.3-C.3D.153.已知直线l 的一个方向向量为(1,2,4)m =-u r ，平面a 的一个法向量为(2,3,)n t =r ，若l ∥a ，则t =（ ）A.1B.2C.3D.44.将直线21y x =+绕点()1,3逆时针旋转πrad 2后所得直线的方程为（ ）A 250x y -+= B.210x y -+=C.270x y +-= D.210x y ++=5.已知平面,a b 均以(2,1,2)n =-r为法向量，平面a 经过坐标原点O ，平面b 经过点(3,2,1)P -，则平面a 与b 的距离为（）.A. 2B. C. 3D. 6. 已知直线l与()00m y c c -+=<平行，且l 、m 之间距离与点()0,2A 到l 的距离均为1，则l 在y 轴上的截距为（ ）A. 1-B. 0C. 1D. 47. 如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，1,12AD AA AB ===，M 为棱1DD 的中点，P 是线段BM 上的动点，则下列式子的值为定值的是（ ）A. 11A P A B×uuur uuur B. 1A P PB ×uuur uuu r C. 1A P PM ×uuur uuuu r D. 11A P A M×uuur uuuur 8. 如图，在正四面体O ABC -中，M 为棱OC 的中点，N 为棱AB 上靠近点A 的三等分点，则异面直线AM 与CN 所成角的余弦值为（ ）A.B. C. 45 D. 23二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9. 若直线:(21)(3)10l a x a y -+-+=不经过第四象限，则实数a 的可能取值为（ ）A. 13 B. 43 C. 3 D. 410. 在空间直角坐标系Oxyz 中，已知点(3,2,1),(,1,),(2,,)A B m n C p q -，其中,,,m n p q ÎR ，若四边的形OABC 为菱形，则（ ）A. 5m = B. 1p =-C. 2n =± D. 3q =±11. 已知点(3,3)A 和(4,2)B -，P 是直线:20l x y ++=上的动点，则（ ）A. 存在(1,3)P -，使PA PB +最小B. 存在(1,1)P --，使PA PB -最小C. 存在(5,7)P -，使PA PB -最大D. 存在15,22P æö-ç÷èø，使22PA PB +最小三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知向量(2,3,AB =uuu r，(,0,BC x =uuu r ，若4cos 5ABC Ð=-，则x =________．13. 已知0a >，平面内三点23(0,),(1,),(3,2)A a B a C a -共线，则a =________．14. 已知正四棱柱1111ABCD A B C D -体积为4，侧面积为8，动点,P Q 分别在线段1,C D AC 上，则线段PQ 长度的最小值是________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. 已知空间中三点()()()2,3,3,1,0,2,2,1,5A B C ---，设向量a AB =r uuu r ，b BC =r uuu r ．（1）若()a kb a +^r r r ，求实数k 的值；（2）若向量c r 与a b -r r 共线，且4c =r ，求c r 的坐标．16. 已知直线1l 方程为(3)20a x ay +-+=，直线2l 经过点(2,0)A 和1(0,B a ．（1）若12l l ^，求a 的值；（2）若当a 变化时，1l 总过定点C ，求AC ．17. 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PAD △为等边三角形，且PB AC =，E 为棱PD 的中点．（1）证明：平面PAD ^平面ABCD ；的的（2）求直线CE 与平面PAB 所成角的正弦值．18. 如图，将一块三角形玉石ABO置于平面直角坐标系中，已知AO AB ==，2OB =，点()1,1P ，图中阴影三角形部分为玉石上的瑕疵，为了将这块玉石雕刻成工艺品，要先将瑕疵部分切割掉，可沿经过点P 的直线MN 进行切割．（1）求直线MN 的倾斜角a 的取值范围．（2）是否存在直线MN ，使得点A 关于直线MN 的对称点在线段AB 上？（3）设玉石经切割后剩余部分的面积为S ，求S 的取值范围．19. 在空间直角坐标系Oxyz 中，过点()000,,P x y z 且以(),,u a b c =r 为方向向量的直线方程可表示为()0000x x y y z z abc a b c---==¹，过点()000,,P x y z 且以(),,u a b c =r 为法向量的平面方程可表示为000ax by cz ax by cz ++=++．（1）若直线()11:12x l y z -==--与()21:142y z l x ---==都在平面a 内，求平面a 的方程；（2）在三棱柱111ABC A B C -中，点C 与坐标原点O 重合，点A 在平面Oxz 内，平面ABC 以()1,1,3m =--u r 为法向量，平面11ABB A 的方程为38x y z +-=，求点A 的坐标；（3）若集合(){},,2M x y z x y z =++=中所有的点构成了多面体W 的各个面，求W 的体积和相邻两个面所在平面的夹角的余弦值．的2024-2025学年高二年级阶段性测试（一）数学考生注意：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．【1题答案】【答案】C【2题答案】【答案】D【3题答案】【答案】B【4题答案】【答案】C【5题答案】【答案】A【6题答案】【答案】B【7题答案】【答案】D【8题答案】【答案】A二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．【9题答案】【答案】BC【10题答案】【答案】ABD【11题答案】【答案】ACD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．【12题答案】【答案】2【13题答案】【答案】2【14题答案】四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．【15题答案】【答案】（1）193 k=（2）488,,333cæö=-ç÷èør或488,,333cæö=--ç÷èør.【16题答案】【答案】（1）32或1-；（2.【17题答案】【答案】（1）证明见解析；（2【18题答案】【答案】（1）ππ, 42éùêúëû（2）不存在，理由见解析（3）41,3éùêúëû【19题答案】【答案】（1）235x y z -+=（2）()3,0,1A（3）体积为323，相邻两个面所在平面的夹角的余弦值为13。

江苏省无锡市第三高级中学2024-2025学年高二上学期第一次基础测试(9月)数学试卷(含答案)

江苏省无锡市第三高级中学2024-2025学年高二上学期第一次基础测试(9月)数学试卷(含答案)

无锡市第三高级中学2024-2025学年高二上学期第一次基础测试（9月）数学试卷学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题1．在空间直角坐标系中,点关于平面对称的点的坐标为( )A. B. C. D.2．已知为直线l 的方向向量，，分别为平面，的法向量（，不重合），有下列说法：①；②；③；④.其中正确的有( )A.1个B.2个C.3个D.4个3．已知向量，，向量在向量上的投影向量为( )A. B. C. D.4．，，是从点P 出发的三条射线，每两条射线的夹角均为，那么直线与平面所成角的余弦值是( )5．如图，平面平面，四边形为正方形，四边形为菱形，，则直线，所成角的余弦值为( )6．已知实数x，y 满足A. B.()2,1,1A yOz (2,1,1)-(2,1,1)-(2,1,1)-(2,1,1)--v 1n 2n αβαβ12////n n αβ⇔ 12n n αβ⊥⇔⊥ 1////v n l α⇔1//v n l α⊥⇔()0,0,1a =()1,1,1b =- a b + a ()0,0,2()0,0,1()0,0,1-()0,0,2-PA PB PC 60︒PC PAB ABCD ⊥ABEF ABEF ABCD 60DAB ∠=︒AC FB 15y x =-2x ≤≤[)1,3,2⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦ 1,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C. D.7．已知直线l 和平面，且，l 的方向向量为，平面的一个法向量为，A.2B.4C.8．在三棱锥中,PA ,PB ,PC 两两垂直,且.若M 为该三棱锥外接球上的一点,则的最大值为( )A.2B.4C.二、多项选择题9．如图,四棱柱中,M 为的中点,Q 为上靠近点的五等分点,则( )A. B.C. D.10．已知空间四点，，，，则下列四个结论中正确的是( )A. B.C.点A 到直线11．如图，在多面体中，平面，四边形是正方形，且，，M ，N 分别是线段，的中点，Q 是线段上的一个动点（含端点D ，C ），则下列说法正确的是( )(][),13,-∞-+∞ []1,3-α//l α()2,,1l m =α()1,1,n n =- (0,0m n >>P ABC -2PA PB PC ===MB MC ⋅2++1111ABCD A B C D -1CD 1CA 1A 11132AM AB AD AA =++ 122AM AB AD AA =++1133545AQ AB AD AA =++ 154AQ AB AD AA =++ ()1,1,0A -()2,2,1B ()1,1,1C ()0,2,3D AB CD⊥AD =ABC ABCDES SA ⊥ABCD ABCD //DE SA 22SA AB DE ===BC SB DCA.存在点Q ，使得B.存在点Q ，使得异面直线与所成的角为C.三棱锥D.当点Q 自D 向C 处运动时，直线与平面所成的角逐渐增大三、填空题12．已知向量，，且，则________.13．已知三点,,在同一直线上,则实数a 的值是________.四、双空题14．定义：设是空间的一组基，若向量，则称实数组为向量在基下的坐标.已知是空间向量的标准正交基，是空间向量的另一组基，若向量在基下的坐标为，则向量在基下的坐标是________，向量的模是________.五、解答题15．已知空间三点,,.设,.(2)求与的夹角;(3)若向量与互相垂直,求实数k 的值.16．如图，已知四棱锥的底面是直角梯形，，，，且平面，.求：NQ SB⊥NQ SA 60︒Q AMN -DC QMN (1,2,3)a m n =-+ (3,41,25)b m n =+- //a b m n +=(1,1)A -(,3)B a (4,5)C {}123,,a a a123p xa ya za =++(,,)x y z p{}123,,a a a {},,a b c {},,2a b a b c +- p {},,2a b a b c+- (1,2,3)p {},,a b c p ()4,0,4A -()2,2,4B -()3,2,3C -a AB = b BC =a b ka b + 2ka b -P ABCD -ABCD //AD BC 2AD =90ABC ∠=︒PA ⊥ABCD 1PA AB BC ===(1)求平面与平面夹角的余弦值；(2)点A 到平面的距离.17．如图，在长方体中，，，点E 在棱上移动.(1)当点E 在棱的中点时，求平面与平面所成的夹角的余弦值；(2)当为何值时，直线与平面所成角的正弦值最小，并求出最小值.18．在如图所示的试验装置中，两个正方形框架，的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直.活动弹子M ，N 分别在正方形对角线和上移动，且和的长度保持相等，记.（1）求的长；（2）a 为何值时，的长最小？（3）当的长最小时求平面与平面夹角的余弦值.19．图①是直角梯形，，，四边形是边长为2的菱形，并且，以为折痕将折起，使点C 到达的位置，且PCD PBA PCD 1111ABCD A B C D -11AD AA ==2AB =AB AB 1D EC 1DCD AE 1A D 1D EC ABCD ABEF AC BF CM BN CM BN a ==(0a <<MN MN MN MNA MNB ABCD //AB CD 90D ∠=︒ABCE 60BCE ∠=︒BE BCE △1C 1AC =(1)求证：平面平面；(2)在棱上是否存在点P ，使得点P 到平面与平面所成角的正弦值：若不存在，请说明理由.1BC E ABED 1DC ABC EP 1ABC参考答案1．答案：A解析：在空间直角坐标系中,点关于平面对称点的坐标为．故选：A.2．答案：B解析：因为，不重合，对①，平面，平行等价于平面，的法向量平行，故①正确；对②，平面，垂直等价于平面，的法向量垂直，故②正确；对③，若，故③错误；对④，或，故④错误.故选：B.3．答案：A解析：因为向量，，所以，所以向量在向量上的投影向量为：，故选：A.4．答案：B 解析：解法一：如图，设直线在平面的射影为，作于点G ，于点H ，连接，(2,1,1)A yOz (2,1,1)-αβαβαβαβαβ1//v n l α⇔⊥1//v n l α⊥⇔l α⊂()0,0,1a =()1,1,1b =- ()1,1,2a b +=-a b + a()()()220,0,10,0,21a b a a a+⋅⋅=⋅=PC PAB PD CG PD ⊥CH PA ⊥HG易得，又，平面，则平面，又平面，则，有故.已知，，故解法二：如图所示，把，，放在正方体中，，，的夹角均为.建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为1，则，，，，所以，，，设平面的法向量，则令，则，，所以，所以设直线与平面所成角为，所以所以故选B.CG PA ⊥CH CG C = ,CH CG ⊂CHG PA ⊥CHG HG ⊂CHG PA HG ⊥cos cos cos PH CPA PC PG PH PH CPD APD PC PG PC ⎧∠=⎪⎪⎨⎪∠⨯∠=⋅=⎪⎩cos cos cos CPA CPD APD ∠=∠⨯∠60APC ∠=︒30APD ∠=︒cos cos 60cos cos cos30CPA CPD APD ∠︒=∠︒∠==PA PB PC PA PB PC 60︒(1,0,0)P (0,0,1)C (1,1,1)A (0,1,0)B (1,0,1)PC =- (0,1,1)PA = (1,1,0)PB =-PAB (,,)n x y z = 00n PA y z n PB x y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩1x =1y =1z =-(1,1,1)n =-cos ,PC n PC n PC n⋅===⋅PC PAB θsin cos ,PC n θ==cos θ==5．答案：D解析：取的中点O ，连接，四边形为菱形，，所以，由于平面平面，且两平面交线为，，平面，故平面，又四边形为正方形，故以O 为坐标原点，为y 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设正方形的边长为2，则，，，，故，，则故直线，故选：D.6．答案：A解析：由于点满足关系式，可知在线段上移动，且，设，则，因为点在线段，故选：A.AB OD ABCD 60DAB ∠=︒DO AB ⊥ABCD ⊥ABEF AB DO AB ⊥DO ⊂ABCD DO ⊥ABEF ABEF AB ABEF (0,1,0)A -(0,1,0)B (2,1,0)F -(0,C AC = (2,2,0)BF =-cos ,AC BF AC BF AC BF ⋅===⋅AC (),x y 15y x =23x ≤≤(),M x y AB (2,1)A --(3,0)B ()1,2Q -()()21312QA k --==---201132QB k -==---(),M x y AB [)1,3,2⎤-∞-+∞⎥⎦7．答案：A解析：由得：，因为，，，当且仅当等号成立，故选：A.8．答案：C解析：如图,将三棱锥放置在正方体中,三棱锥的外接球就是正方体的外接球,球心为正方体对角线的交点,,,,,,,设三棱锥外接球的半径为R ,,,,,,,,//l α()()02,,11,1,202l n m n m n m n ⋅=⇒⋅-=-++=⇒+=()11111222n m m n n m n m n ⎛⎫⎛⎫+=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭0m >n >2m n +≥=()112222n +≥+=1m n ==()0,0,0P ()2,0,0A ()0,2,0B ()0,0,2C ()1,1,1O (),,M x y z 2R ==R =()()MB MC MO OB MO OC ⋅=+⋅+ ()2MO OB OC MO OB OC =++⋅+⋅ 223MO R == ()1,1,1OB =-- ()1,1,1OC =-- ()2,0,0OB OC +=- 1111OB OC ⋅=--=-,所以当时,取得最大值故选:C 9．答案：BD解析：,即,故A 错误、B 正确;,即,故C 错误,D 正确.故选:BD.10．答案：ABD解析：对于选项A:结合题意可得，，因为，所以，故选项A 正确；对于选项B:结合题意可得对于选项C ：结合题意可得取，，所以故选项C错误；对于选项D：结合题意可得，，，设平面的法向量为，()cos ,,OB OC MO OB OC MO OB OC MO OB OC MO +⋅=++=+ 3,12,MB MC OB OC MO OB OC ⋅=++-=++ cos ,1OB OC MO += MB MC ⋅2+()112AM AB CM A BC B CD AD CC =++=+++1111112222AD AA AD A A B A B A AB =+-+=++ 122AM AB AD AA =++()11111111111155A Q A C A AQ AA AA AA D C D C C=+=+=+++ ()11111145555A AD AB AB A A A A D A A =++-=++ 154AQ AB AD AA =++()3,1,1AB = ()1,1,2CD =-3120AB CD ⋅=-++=AB CD ⊥AD ==()1,1,0BC =--()3,1,1a BA ==--- )1,1,0BC u BC ⎛⎫==--= ⎪ ⎪⎝⎭2a =u ⋅= BC ==()3,1,1AB = ()2,0,1AC = ()1,1,3AD =ABC (),,n x y z =则，令，则，所以点D到平面的距离为故选：ABD.11．答案：ACD解析：以A为坐标原点，，，正方向为x，y，z轴，可建立如图所示空间直角坐标系，，，，，，，，；对于A，假设存在点，使得，则，又，所以，解得，即点Q与D重合时，，A正确；对于B，假设存在点，使得异面直线与所成的角为，因为，，，B错误；3020n AB x y zn AC x z⎧⋅=++=⎪⎨⋅=+=⎪⎩1x=()1,1,2n=--ABC dABADAS()0,0,0A()2,0,0B()2,2,0C()0,2,0D()0,2,1E()0,0,2S()1,0,1N()2,1,0M()(),2,002Q m m≤≤NQ SB⊥()1,2,1NQ m=--()2,0,2SB=-()2120NQ SB m⋅=-+=m=NQ SB⊥()(),2,002Q m m≤≤NQ SA60︒()1,2,1NQ m=--()0,0,2SA=-,NQ SANQ SANQ SA⋅===⋅对于C ，连接，，，设，因为所以当，即点Q 与点D 重合时，取得最大值2；又点N 到平面的距离，所以对于D ，由上分析知：，，若是面的法向量，则，令，则，因为，设直线与平面所成的角为，，所以当点Q 自D 向C 处运动时，m 的值由0到2变大，此时也逐渐增大，因为在为增函数，所以也逐渐增大，故D 正确.故选：ACD12．答案：解析：向量，，，AQ AM AN ()02DQ m m =≤≤2AMQ ABCD ABM QCM ADQ S S S S S =---= △△△△0m =AMQ S △AMQ 112d SA ==()()max max 1213Q AMN N AMQ V V --==⨯⨯=()1,2,1NQ m =-- ()1,1,1NM =-(),,m x y z = NMQ ()1200m NQ m x y z m NM x y z ⎧⋅=-+-=⎪⎨⋅=+-=⎪⎩ ()1,2,3m m m =-- ()2,0,0DC = DC QMN θπ0,2θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦sin DC n DC n θ⋅===⋅ sin θsin y x =π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦θ21-(1,2,3)a m n =-+ (3,41,2b m n =+- 412m m +==-7m =-14n =-所以.故答案为：.13．答案：3解析：三点,,在同一直线上,,.故答案为:3.14．答案：解析：因为向量在基，下的坐标为，所以，所以向量在基下的坐标是，又因为是空间向量的标准正交基，，且，故答案为：15．答案：（1）（3）解析：（1）因为,,所以,所以因为,,所以（2）由（1）可知21m n +=-21- (1,1)A -(,3)B a (4,5)C AB AC k k ∴=∴41a =-3=(3,-p {},,2a b a b c +- (1,2,3)()()23236p a b a b c a b c =++-+⨯=-+ p {},,a b c (3,1,6)-{},,a b c 0a b b c c a ⋅=⋅=⋅= ====(3,-k =()4,0,4A -()2,2,4B -()2,2,0a AB == a == ()2,2,4B -()3,2,3C -(1,0,1b BC ==-- =cos ,a b a b a b〈〉===⋅⋅又,所以与（3）由（1）可知,,又向量与互相垂直,所以,所以,即,解得解析：（1）以A为坐标原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴，所在直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系，，，，，，所以，，设平面法向量，则，令，则，，所以，取平面法向量为，与面（2）因为，平面法向量为，所以点A到平面的距离(2)当时，直线与平面[]0,π,a b〈〉∈,a b〈〉=b()21,2,1ka b k k+=--()22,22,2kka kb-=+ka b+2ka b-()()20kaka bb-+⋅=()()21,2,122,2,20k k k k--⋅+=()()22122420k k k-++-=k=AB AD AP (0,0,0)A(1,0,0)B()1,1,0C(0,2,0)D(0,0,1)P(0,2,1)PD=-(1,1,1)PC=-PCD(,,)n x y z=20y zx y z-=⎧⎨+-=⎩2z=1y=1x= (1,1,2)n=PBA(0,1,0)m==(0,2,0)AD=PCD(1,1,2)n=PCD||||AD nnd⋅==2AE=1A D1D EC解析：（1）以D 为坐标原点，，，所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，当点E 在棱的中点时，则，，，，，则，，，设平面的一个法向量为，则，令，则，，所以平面的一个法向量为，又平面的一个法向量为，所以所以平面与平面（2）设，则，，，，，则，，，设平面的一个法向量为，则，令，则，，所以平面的一个法向量为，设直线与平面所成的角为，DA DC 1DD AB 1(0,0,1)D (1,1,0)E (0,2,0)C (0,0,0)D (1,0,0)A 1(1,1,1)ED =-- (1,1,0)EC =- (1,0,0)DA = 1D EC (,,)n x y z = 1·0·0n ED x y z n EC x y ⎧=--+=⎪⎨=-+=⎪⎩ 1x =1y =2z =1D EC (1,1,2)n = 1DCD (1,0,0)DA = ·cos ,DA n DA n DA n===⋅ 1D EC DCD AE m =1(0,0,1)D (1,,0)E m (0,2,0)C (0,0,0)D 1(1,0,1)A 1(1,,1)ED m =-- (1,2,0)EC m =-- (02)m ≤≤1(1,0,1)DA = 1D EC (,,)n x y z = 1·0·(2)0n ED x my z n EC x m y ⎧=--+=⎪⎨=-+-=⎪⎩ 1y =2x m =-2z =1D EC (2,1,2)n m =- 1A D 1D EC θ则令，则当时，（2）解析：解析：如图建立空间直角坐标系，，，，，，，.当（3）由（2）可知，当M ，N 为中点时，最短，11sin n DA n DA θ⋅===⋅ 4[2,4]m t -=∈sin θ====2t =sin θMN =a =()1,0,0A ()0,0,1C ()1,1,0F ()0,1,0E CM BN a == M ∴-N ⎫⎪⎭MN ==MN ==a =MN则，，取的中点G ，连接，，则，，，，，是平面与平面的夹角或其补角.，，平面与平面19．答案：(1)证明过程见解析；(2)存在，直线与平面解析：（1）取的中点F ，连接，，因为四边形是边长为2的菱形，并且，所以，均为等边三角形，故，，且因为，由勾股定理逆定理得：，又因为，是平面内两条相交直线，11,0,22M ⎛⎫ ⎪⎝⎭11,,022N ⎛⎫ ⎪⎝⎭MN AG BG 111,,244G ⎛⎫ ⎪⎝⎭AM AN = BM BN =AG MN ∴⊥BG MN ⊥AGB ∴∠MNA MNB 111,,244GA ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ 111(,,244GB =--- cos ,GA GB GA GB GA GB⋅∴=⋅ ==∴MNA MNB EP ABC BE AF 1C F ABCE 60BCE ∠=︒ABE △1BEC △AF BE ⊥1C F BE ⊥1AF C F ==1AC =22211AF C F AC +=1AF C F ⊥AF BE ABE所以平面，即平面，因为平面，所以平面平面；(2)以F 为坐标原点，所在直线为x 轴，所在直线为y 轴，所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系，则，，，，，，设，，，故，解得：，，故，设平面的法向量为，则，，，故，令，则，故，其中1CF ⊥ABE 1C F ⊥ABED 1C F ⊂1BEC 1BC E ⊥ABED FA FB 1C F()0,0,0F )A ()0,1,0B (1C ()0,1,0E -3,02D ⎫-⎪⎪⎭(,,)P m n t 1DP DC λ= [0,1]λ∈[]33,,0,122m n t λλ⎛⎫⎛-+=∈ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝m =32n λ==33,22P λ⎫--⎪⎪⎭1ABC (,,)v x y z = (AB = 1(AC = 100v AB y v AC ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ 1x =y =1z =v = 33(,)22AP λ=-则解得：，，设直线与平面所成角为，则，直线与平面d λ=3(4AP =- 14EP = EP 1ABC θsin =cos ,EP v EP v EP vθ⋅==⋅ EP ABC。

全国高二高中数学同步测试带答案解析

全国高二高中数学同步测试带答案解析

全国高二高中数学同步测试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、填空题1.把一枚硬币任意抛掷两次，记第一次出现正面为事件A，第二次出现正面为事件B，则P(B|A)等于________．2.已知P(AB)＝，P(A)＝，则P(B|A)＝________.3.设A、B是两个事件，0＜P(A)＜1，P(|A)＝1.则下列结论：①P(AB)＝0；②P(A＋)＝P(A)；③P()＝P(B)；④P(A)＝P()．其中正确的是________．4.一个袋中装有6个红球和4个白球(这10个球各不相同)，不放回地依次摸出2个球，在第一次摸出红球的条件下，第二次摸出红球的概率为________．5.6位同学参加百米短跑初赛，赛场共有6条跑道，已知甲同学排在第一跑道，则乙同学在第二跑道的概率为________．6.抛掷两颗均匀的骰子，已知它们的点数不同，则至少有一颗是6点的概率为________．7.一个家庭中有两个小孩，假定生男，生女是等可能的．已知这个家庭有一个是女孩，问这时另一个小孩是男孩的概率是________．8.已知某种产品的合格率是95%，合格品中的一级品率是20%，则这种产品的一级品率为________．9.某种电子元件用满3000小时不坏的概率为，用满8000小时不坏的概率为.现有一只此种电子元件，已经用满3000小时不坏，还能用满8000小时的概率是________．10.已知A、B是相互独立事件，且P(A)＝，P(B)＝，则P(A)＝________；P()＝________.11.将一枚硬币连续抛掷5次，5次都出现正面朝上的概率是________．12.某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球中至多命中一次的概率为，则该队员每次罚球的命中率为________．13.有一道数学难题，在半小时内甲能解决的概率是，乙能解决的概率为，两人试图独立地在半小时解决，则两人都未解决的概率为________．14.在一次数学考试中，第14题和第15题为选做题．规定每位考生必须且只须在其中选做一题．设4名考生选做这两题的可能性均为.则其中甲、乙两名学生选做同一道题的概率为________．15.甲、乙、丙三人将参加某项测试，他们能达标的概率分别是0.8,0.6,0.5，则三人都达标的概率为________，三人中至少有一人达标的概率为________．16.某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮．假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率等于________．17.从某地区的儿童中挑选体操学员，已知儿童体型合格的概率为，身体关节构造合格的概率为，从中任挑一儿童，这两项至少有一项合格的概率是________(假定体型与身体关节构造合格与否相互之间没有影响)．二、解答题1.某种动物由出生算起活到20岁的概率为0.8，活到25岁的概率为0.4，现有一个20岁的动物，求它能活到25岁的概率．2.盒子里装有16只球，其中6只是玻璃球，另外10只是木质球．而玻璃球中有2只是红色的，4只是蓝色的；木质球中有3只是红色的，7只是蓝色的，现从中任取一只球，如果已知取到的是蓝色的球，求这个球是玻璃球的概率．3.抛掷红、蓝两颗骰子，设事件A为“蓝色骰子的点数为3或6”，事件B为“两颗骰子的点数之和大于8”．(1)求P(A)，P(B)，P(AB)；(2)当已知蓝色骰子的点数为3或6时，求两颗骰子的点数之和大于8的概率．4.1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱随机取出一球，问从2号箱取出红球的概率是多少？5.设甲、乙、丙三人每次射击命中目标的概率分别为0.7、0.6和0.5.三人各向目标射击一次，求至少有一人命中目标的概率及恰有两人命中目标的概率．6.某课程考核分理论与实验两部分进行，每部分考核成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考核都是“合格”，则该课程考核“合格”，若甲、乙、丙三人在理论考核中合格的概率分别为0.9,0.8,0.7，在实验考核中合格的概率分别为0.8,0.7,0.9，所有考核是否合格相互之间没有影响．(1)求甲、乙、丙三人在理论考核中至少有两人合格的概率； (2)求这三个人该课程考核都合格的概率(结果保留三位小数)．7.如图，由M 到N 的电路中有4个元件，分别标为T 1，T 2，T 3，T 4，电流能通过T 1，T 2，T 3的概率都是p ，电流能通过T 4的概率是0.9.电流能否通过各元件相互独立．已知T 1，T 2，T 3中至少有一个能通过电流的概率为0.999.(1)求p ；(2)求电流能在M 与N 之间通过的概率．8.甲、乙两人破译一密码，它们能破译的概率分别为和，试求：(1)两人都能破译的概率； (2)两人都不能破译的概率； (3)恰有一人能破译的概率； (4)至多有一人能破译的概率；(5)若要使破译的概率为99%，至少需要多少乙这样的人？全国高二高中数学同步测试答案及解析一、填空题1.把一枚硬币任意抛掷两次，记第一次出现正面为事件A ，第二次出现正面为事件B ，则P(B|A)等于________． 【答案】【解析】事件A 与事件B 相互独立， 故P(B|A)＝P(B)＝.2.已知P(AB)＝，P(A)＝，则P(B|A)＝________. 【答案】【解析】P(B|A)＝＝＝.3.设A 、B 是两个事件，0＜P(A)＜1，P(|A)＝1. 则下列结论：①P(AB)＝0；②P(A ＋)＝P(A)；③P()＝P(B)；④P(A)＝P()．其中正确的是________． 【答案】①【解析】由P(|A)＝1，得P(B|A)＝0， 即＝0，所以P(AB)＝0.4.一个袋中装有6个红球和4个白球(这10个球各不相同)，不放回地依次摸出2个球，在第一次摸出红球的条件下，第二次摸出红球的概率为________． 【答案】【解析】设第一次摸出红球为事件A ，第二次摸出红球为事件B ， 则P(A)＝，P(AB)＝＝.∴P(B|A)＝＝.5.6位同学参加百米短跑初赛，赛场共有6条跑道，已知甲同学排在第一跑道，则乙同学在第二跑道的概率为________． 【答案】【解析】甲排在第一跑道，其他5位同学共有A 55种排法，乙排在第二跑道共有A 44种排法，所以P ＝＝.6.抛掷两颗均匀的骰子，已知它们的点数不同，则至少有一颗是6点的概率为________． 【答案】【解析】事件A 为至少有一颗是6点，事件B 为两颗骰子点数不同，则n(B)＝6×5＝30，n(A∩B)＝10，P(A|B)＝＝.7.一个家庭中有两个小孩，假定生男，生女是等可能的．已知这个家庭有一个是女孩，问这时另一个小孩是男孩的概率是________． 【答案】【解析】一个家庭的两个小孩只有4种可能{两个都是男孩}，{第一个是男孩，第二个是女孩}，{第一个是女孩，第二个是男孩}，{两个都是女孩}，由题意知，这4个事件是等可能的．设基本事件空间为Ω，A ＝“其中一个是女孩”，B ＝“其中一个是男孩”，则Ω＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)}，A ＝{(男，女)，(女，男)，(女，女)}，B ＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)}，AB ＝{(男，女)，(女，男)}， ∴P(B|A)＝＝＝.8.已知某种产品的合格率是95%，合格品中的一级品率是20%，则这种产品的一级品率为________． 【答案】19%【解析】A ＝“产品为合格品”，B ＝“产品为一级品”，P(B)＝P(AB)＝P(B|A)P(A)＝0.2×0.95＝0.19.所以这种产品的一级品率为19%.9.某种电子元件用满3000小时不坏的概率为，用满8000小时不坏的概率为.现有一只此种电子元件，已经用满3000小时不坏，还能用满8000小时的概率是________． 【答案】【解析】记事件A ：“用满3000小时不坏”，P(A)＝；记事件B ：“用满8000小时不坏”， P(B)＝.因为B ⊂A ，所以P(AB)＝P(B)＝，则P(B|A)＝＝＝×＝.10.已知A 、B 是相互独立事件，且P(A)＝，P(B)＝，则P(A )＝________；P()＝________.【答案】【解析】P(A)＝，∴P()＝，P()＝1－P(B)＝.∵A、B相互独立，∴A与，与也相互独立，∴P(A)＝P(A)·P()＝，∴P()＝P()·P()＝.11.将一枚硬币连续抛掷5次，5次都出现正面朝上的概率是________．【答案】【解析】每一次出现正面朝上的概率为，且它们相互独立，所以P＝5＝.12.某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球中至多命中一次的概率为，则该队员每次罚球的命中率为________．【答案】【解析】设该队员每次罚球的命中率为p(其中0＜p＜1)，则依题意有1－p2＝，p2＝.又0＜p＜1，因此有p＝.13.有一道数学难题，在半小时内甲能解决的概率是，乙能解决的概率为，两人试图独立地在半小时解决，则两人都未解决的概率为________．【答案】【解析】都未解决的概率为×＝.14.在一次数学考试中，第14题和第15题为选做题．规定每位考生必须且只须在其中选做一题．设4名考生选做这两题的可能性均为.则其中甲、乙两名学生选做同一道题的概率为________．【答案】【解析】设事件A表示“甲选做第14题”，事件B表示“乙选做第14题”，则甲、乙2名学生选做同一道题的事件为“AB＋”，且事件A、B相互独立∴P(AB＋)＝P(A)P(B)＋P()P()＝×＋×＝.∴甲、乙两名学生选做同一道题的概率为.15.甲、乙、丙三人将参加某项测试，他们能达标的概率分别是0.8,0.6,0.5，则三人都达标的概率为________，三人中至少有一人达标的概率为________．【答案】0.240.96【解析】每个人是否达标是相互独立的，“三人中至少有一人达标”的对立事件为“三人均未达标”，设三人都达标为事件A，三人中至少有一人达标为事件B，则P(A)＝0.8×0.6×0.5＝0.24，P(B)＝1－0.2×0.4×0.5＝0.96.16.某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮．假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率等于________．【答案】0.128【解析】此选手恰好回答4个问题就晋级下一轮，说明此选手第2个问题回答错误，第3、第4个问题均回答正确，第1个问题答对答错都可以．因为每个问题的回答结果相互独立，故所求的概率为1×0.2×0.82＝0.128.17.从某地区的儿童中挑选体操学员，已知儿童体型合格的概率为，身体关节构造合格的概率为，从中任挑一儿童，这两项至少有一项合格的概率是________(假定体型与身体关节构造合格与否相互之间没有影响)．【答案】【解析】两项都不合格的概率为P＝×＝，∴至少有一项合格的概率是1－＝.二、解答题1.某种动物由出生算起活到20岁的概率为0.8，活到25岁的概率为0.4，现有一个20岁的动物，求它能活到25岁的概率．【答案】0.5【解析】解:设A＝“能活到20岁”，B＝“能活到25岁”，则P(A)＝0.8，P(B)＝0.4.而所求概率为P(B|A)，由于B⊆A，故P(AB)＝P(B)，所以P(B|A)＝＝＝＝0.5，所以这个动物能活到25岁的概率为0.5.2.盒子里装有16只球，其中6只是玻璃球，另外10只是木质球．而玻璃球中有2只是红色的，4只是蓝色的；木质球中有3只是红色的，7只是蓝色的，现从中任取一只球，如果已知取到的是蓝色的球，求这个球是玻璃球的概率．【答案】【解析】解:设A表示“任取一球，是玻璃球”，B表示“任取一球，是蓝色的球”，则AB表示“任取一球是蓝色玻璃球”．P(B)＝，P(AB)＝，P(A|B)＝＝.3.抛掷红、蓝两颗骰子，设事件A为“蓝色骰子的点数为3或6”，事件B为“两颗骰子的点数之和大于8”．(1)求P(A)，P(B)，P(AB)；(2)当已知蓝色骰子的点数为3或6时，求两颗骰子的点数之和大于8的概率．【答案】(1) (2)【解析】解:(1)①P(A)＝＝.②∵两个骰子的点数之和共有36个等可能的结果，点数之和大于8的结果共有10个．∴P(B)＝＝.③当蓝色骰子的点数为3或6时，两颗骰子的点数之和大于8的结果有5个，故P(AB)＝.(2)由(1)知P(B|A)＝＝＝.4.1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱随机取出一球，问从2号箱取出红球的概率是多少？【答案】【解析】解:记事件A＝{从2号箱中取出的是红球}，事件B＝{从1号箱中取出的是红球}．P(B)＝＝，P()＝1－P(B)＝.P(A|B)＝，P(A|)＝＝. 从而P(A)＝P(A)＋P(AB)＝×＋×＝.即从2号箱取出红球的概率是.5.设甲、乙、丙三人每次射击命中目标的概率分别为0.7、0.6和0.5.三人各向目标射击一次，求至少有一人命中目标的概率及恰有两人命中目标的概率． 【答案】0.94 0.44【解析】解:设A k 表示“第k 人命中目标”，k ＝1,2,3.这里，A 1，A 2，A 3独立，且P(A 1)＝0.7，P(A 2)＝0.6，P(A 3)＝0.5.从而，至少有一人命中目标的概率为1－P(1·2·3)＝1－P(1)P(2)P(3)＝1－0.3×0.4×0.5＝0.94. 恰有两人命中目标的概率为 P(A 1·A 2·3＋A 1·2·A 3＋1·A 2·A 3) ＝P(A 1·A 2·3)＋P(A 1·2·A 3)＋P(1·A 2·A 3) ＝P(A 1)P(A 2)P(3)＋P(A 1)P(2)P(A 3)＋P(1)P(A 2)P(A 3)＝0.7×0.6×0.5＋0.7×0.4×0.5＋0.3×0.6×0.5＝0.44.∴至少有一人命中目标的概率为0.94，恰有两人命中目标的概率为0.44.6.某课程考核分理论与实验两部分进行，每部分考核成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考核都是“合格”，则该课程考核“合格”，若甲、乙、丙三人在理论考核中合格的概率分别为0.9,0.8,0.7，在实验考核中合格的概率分别为0.8,0.7,0.9，所有考核是否合格相互之间没有影响．(1)求甲、乙、丙三人在理论考核中至少有两人合格的概率； (2)求这三个人该课程考核都合格的概率(结果保留三位小数)． 【答案】(1) 0.902 (2) 0.254【解析】解:记“甲理论考核合格”为事件A 1，“乙理论考核合格”为事件A 2，“丙理论考核合格”为事件A 3，记事件i 为A i 的对立事件，i ＝1,2,3.记“甲实验考核合格”为事件B 1，“乙实验考核合格”为事件B 2，“丙实验考核合格”为事件B 3.(1)记“理论考核中至少有两人合格”为事件C ，记为事件C 的对立事件， P(C)＝P(A 1A 2A 3＋A 1A 2＋A 1A 3＋A 2A 3)＝P(A 1A 2A 3)＋P(A 1A 2)＋P(A 1A 3)＋P(A 2A 3)＝0.9×0.8×0.7＋0.9×0.8×0.3＋0.9×0.2×0.7＋0.1×0.8×0.7＝0.902. 所以，理论考核中至少有两人合格的概率为0.902. (2)记“三个人该课程考核都合格”为事件D. P(D)＝P[(A 1·B 1)·(A 2·B 2)·(A 3·B 3)] ＝P(A 1·B 1)·P(A 2·B 2)·P(A 3·B 3) ＝P(A 1)·P(B 1)·P(A 2)·P(B 2)·P(A 3)·P(B 3) ＝0.9×0.8×0.8×0.7×0.7×0.9≈0.254.所以，这三个人该课程考核都合格的概率为0.254.7.如图，由M 到N 的电路中有4个元件，分别标为T 1，T 2，T 3，T 4，电流能通过T 1，T 2，T 3的概率都是p ，电流能通过T 4的概率是0.9.电流能否通过各元件相互独立．已知T 1，T 2，T 3中至少有一个能通过电流的概率为0.999.(1)求p ；(2)求电流能在M 与N 之间通过的概率． 【答案】(1)p ＝0.9 (2)0.9891【解析】解:记A i 表示事件：电流能通过T i ，i ＝1,2,3,4.A 表示事件：T 1，T 2，T 3中至少有一个能通过电流．B 表示事件：电流能在M 与N 之间通过．(1)＝1·2·3，A 1，A 2，A 3相互独立， P()＝P(1·2·3)＝P(1)P(2)P(3)＝(1－p)3，又P()＝1－P(A)＝1－0.999＝0.001，故(1－p)3＝0.001，p ＝0.9. (2)B ＝A 4＋(4·A 1·A 3)∪(4·1·A 2·A 3) P(B)＝P(A 4)＋P(4·A 1·A 3＋4·1·A 2·A 3)，＝P(A 4)＋P(4)P(A 1)P(A 3)＋P(4)P(1)P(A 2)P(A 3) ＝0.9＋0.1×0.9×0.9＋0.1×0.1×0.9×0.9 ＝0.9891.8.甲、乙两人破译一密码，它们能破译的概率分别为和，试求：(1)两人都能破译的概率； (2)两人都不能破译的概率； (3)恰有一人能破译的概率； (4)至多有一人能破译的概率；(5)若要使破译的概率为99%，至少需要多少乙这样的人？ 【答案】（1）（2）（3）（4）（5）16个【解析】解:设事件A 为“甲能译出”，事件B 为“乙能译出”，则A 、B 相互独立，从而A 与、与B 、与均相互独立．(1)“两人都能译出”为事件AB ，则 P(AB)＝P(A)P(B)＝×＝.(2)“两人都不能译出”为事件，则 P()＝P()P()＝[1－P(A)][1－P(B)] ＝＝.(3)“恰有一人能译出”为事件A ＋B ，又A与B 互斥，则P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝P(A)P()＋P()P(B) ＝×＋×＝. (4)“至多一人能译出”为事件A ＋B ＋，且A 、B 、互斥，故P(A ＋B ＋)＝P(A)P()＋P()P(B)＋P()P() ＝×＋×＋×＝.(5)设至少需n 个乙这样的人，而n 个乙这样的人译不出的概率为n，故n 个乙这样的人能译出的概率为1－n≈99%.解得n ＝16.故至少需16个乙这样的人，才能使译出的概率为99%.。

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高二数学测试题含答案 Document number：WTWYT-WYWY-BTGTT-YTTYU-2018GT高二数学测试题2014-3-9一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分,只有一项是符合题目要求的.)1.命题 “若△ABC 不是等腰三角形,则它的任何两个内角不相等”的逆否命题是（ ） A.若△ABC 是等腰三角形,则它的任何两个内角相等 B.若△ABC 任何两个内角不相等,则它不是等腰三角形 C.若△ABC 有两个内角相等,则它是等腰三角形 D.若△ABC 任何两个角相等,则它是等腰三角形2.“三角函数是周期函数，tan y x =，ππ22x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，是三角函数，所以tan y x =，ππ22x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，是周期函数”．在以上演绎推理中，下列说法正确的是（ ） (A)推理完全正确 (B)大前提不正确 (C)小前提不正确 (D)推理形式不正确3．以下有四种说法，其中正确说法的个数为：（ ） （1）“m 是实数”是“m 是有理数”的充分不必要条件； (2) “a b >”是“22a b >”的充要条件；(3) “3x =”是“2230x x --=”的必要不充分条件； （4）“A B B =”是“A φ=”的必要不充分条件. A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个4 .已知动点P （x ，y ）满足2)2()2(2222=+--++y x y x ,则动点P 的轨迹是 A.双曲线B.双曲线左支C. 双曲线右支D. 一条射线5．用S 表示图中阴影部分的面积，则S 的值是（ ）A ．dx x f ca⎰)( B ．|)(|dx x f ca ⎰C ．dx x f dx x f c bb a⎰⎰+)()( D ．dx x f dx x f bac b⎰⎰-)()(6 . 已知椭圆221102x y m m +=--，若其长轴在y 轴上.焦距为4，则m 等于 A.4. B.5. C. 7. D .8.7.已知斜率为1的直线与曲线1xy x =+相切于点p ，则点p 的坐标是（ ）( A ) ()2,2- (B) ()0,0 (C) ()0,0或()2,2- (D) 11,2⎫⎛ ⎪⎝⎭8．以坐标轴为对称轴，以原点为顶点且过圆096222=++-+y x y x 的圆心的抛物线的方程是 （ ）A ．23x y =或23x y -=B ．23x y =C ．x y 92-=或23x y =D ．23x y -=或x y 92=9.设'()f x 是函数()f x 的导函数，将()y f x =和'()y f x =的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是 （ ）A B C D．10.试在抛物线x y 42-=上求一点P ，使其到焦点F 的距离与到()1,2-A 的距离之和最小，则该点坐标为 （ ）（A ）⎪⎭⎫⎝⎛-1,41 （B ）⎪⎭⎫ ⎝⎛1,41 （C ）()22,2-- （D ）()22,2-11.已知点F 1、F 2分别是椭圆22221x y a b+=的左、右焦点，过F 1且垂直于x 轴的直线与椭圆交于A 、B 两点，若△ABF 2为正三角形，则该椭圆的离心率e 为（ ）（A ）12 （B ）2（C ）13（D ）12．已知βα,是三次函数bx ax x x f 22131)(23++=的两个极值点，)2,1(),1,0(∈∈βα,则12--a b 的取值范围是( ） A )1,41( B )1,21( C )41,21(- D )21,21(-二、填空题(共4个小题，每小题5分，共20分) 13. 用数学归纳法证明：)12(312)()2)(1(-⨯⨯⨯⨯=+++n n n n n n 时,从“k 到1+k ”左边需增加的代数式是______________________14．已知1623++++=x a ax x x f )()(有极大值和极小值，则a 的取值范围为15. 与双曲线221916x y -=有共同的渐近线，且过点(3,3)-的双曲线的方程为 . 16、已知函数)(x f 是定义在R 上的奇函数,0)1(=f ,0)()(2>-'x x f x f x (0)x >,则不等式()0f x >的解集是 .三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17（本小题满分10分）给定两个命题：p ：对任意实数x 都有012>++ax ax 恒成立；q ：关于x 的方程02=+-a x x 有实数根；如果p 与q 中有且仅有一个为真命题，求实数a 的取值范围．18. 设函数3()f x ax bx c =++(0)a ≠为奇函数,其图象在点(1,(1))f 处的切线与直线1870x y +-=垂直,导函数'()f x 的最小值为12.(1)求a ,b ,c 的值;(2)设2()()f x g x x=,当0x >时,求()g x 的最小值. 19. (本小题满分14分)在数列{}n a 中，113a =，且123(21)nn a a a a n a n++++=-*()n ∈N ．（1）写出此数列的前5项；（2）归纳猜想{}n a 的通项公式，并加以证明．20.（本小题12分）如图，点P 为斜三棱柱111C B A ABC -的侧棱1BB 上一点，1BB PM ⊥交1AA 于点M ，1BB PN ⊥交1CC 于点N .(1) 求证：MN CC ⊥1；(2) 在任意DEF ∆中有余弦定理：DFE EF DF EF DF DE ∠⋅-+=cos 2222.拓展到空间，类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中两个侧面所成的二面角之间的关系式，并予以证明. 21. （本题满分12分）如图所示，F 1、F 2分别为椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 的左、右两个焦点，A 、B 为两个顶点，已知椭圆C 上的点)23,1(到F 1、F 2两点的距离之和为4.（1）求椭圆C 的方程和焦点坐标；（2）过椭圆C 的焦点F 2作AB 的平行线交椭圆于P 、Q 两点，求△F 1PQ 的面积.22. 已知函数2()(2ln ),(0)f x x a x a x=-+->。

（1）讨论()f x 的单调性.（2）若)(x f 在区间（1，2）上单调递减，求实数a 的取值范围。

高二数学测试题答案2014-3-9CBACD DCDDA DA 13. 2(2k+1) 14.63>-<a a 或 15.149422=-y x16. ),1()0,1(+∞- 可得()'()f x f x x>,由导数的定义得,当01x <<时, ()(1)()1f x f f x x x->-,又0)1(=f ,()(1)()xf x x f x <-,∴()0f x <;当1x >时, 同理得()0f x <.又)(x f 是奇函数,画出它的图象得()0f x >⇒(1,0)(1,)x ∈-+∞. 17解：对任意实数x 都有012>++ax ax 恒成立⎩⎨⎧<∆>=⇔000a a 或40<≤⇔a ；………………………………………………3分关于x 的方程02=+-a x x 有实数根41041≤⇔≥-⇔a a ；……………2分 如果p 正确，且q 不正确，有44141,40<<∴><≤a a a 且；……………2分如果q 正确，且p 不正确，有041,40<∴≤≥<a a a a 且或．…………2分 所以实数a 的取值范围为()⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-4,410, ……………………………………10分18. 解:(1)∵()f x 为奇函数,∴()()f x f x -=-,即33ax bx c ax bx c --+=---, ∴0c =,又∵2'()3f x ax b =+的最小值为12,∴12b =; 又直线1870x y +-=的斜率为118- ,因此,'(1)318f a b =+=, ∴2a =, ∴2a =,12b =,0c =为所求.(2)由(1)得3()212f x x x =+,∴当0x >时,2()()f x g x x=62()2x x =+≥⋅=,∴()g x 的最小值为.19.解：（1）由已知113a =，123(21)nn a a a a n a n++++=-，分别取2345n =，，，，得2111153515a a ===⨯，312111()145735a a a =+==⨯，4123111()277963a a a a =++==⨯，51234111()4491199a a a a a =+++==⨯，所以数列的前5项是：113a =，2115a =，3135a =，4163a =，5199a =；（2）由（1）中的分析可以猜想1(21)(21)n a n n =-+．下面用数学归纳法证明： ①当1n =时，猜想显然成立． ②假设当n k =时猜想成立，即1(21)(21)k a k k =-+．那么由已知，得12311(21)1k k k a a a a a k a k +++++++=++，即21231(23)k k a a a a k k a +++++=+．所以221(2)(23)k k k k a k k a +-=+， 即1(21)(23)k k k a k a +-=+， 又由归纳假设，得11(21)(23)(21)(21)k k k a k k +-=+-+，所以11(21)(23)k a k k +=++，即当1n k =+时，公式也成立． 由①和②知，对一切*n ∈N ，都有1(21)(21)n a n n =-+成立20(1) 证：MN CC PMN CC PN CC PM CC BB CC ⊥⇒⊥∴⊥⊥⇒111111,,//平面 ；(2) 解：在斜三棱柱111C B A ABC -中，有αcos 21111111111222A ACC B BCC A ACC B BCC A ABB S S S S S ⋅-+=，其中α为平面B B CC 11与平面A A CC 11所组成的二面角.∴⊥,1PMN CC 平面 上述的二面角为MNP ∠,在PMN ∆中， cos 2222⇒∠⋅-+=MNP MN PN MN PN PMMNP CC MN CC PN CC MN CC PN CC PM ∠⋅⋅⋅-+=cos )()(211111222222，由于111111111,,BB PM S CC MN S CC PN S A ABB A ACC B BCC ⋅=⋅=⋅=，∴有αcos 21111111111222A ACC B BCC A ACC B BCC A ABB S S S S S ⋅-+=21、解：（1）由题设知：2a = 4，即a = 2， 将点)23,1(代入椭圆方程得1)(2122232=+b，解得b 2 = 3 ∴c 2 = a 2－b 2 = 4－3 = 1 ，故椭圆方程为13422=+y x ， (5)分焦点F 1、F 2的坐标分别为（-1，0）和（1，0） ……………………………6分（2）由（Ⅰ）知)3,0(),0,2(B A -，23==∴AB PQ k k ， ∴PQ 所在直线方程为)1(23-=x y ， 由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=134)1(2322y x x y 得 093482=-+y y 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则89,232121-=⋅-=+y y y y ， ……………………………9分.2212212212121211=⨯⨯=-⋅=∴∆y y F F S PQ F ……………………………12分 22.解：（1）()f x 的定义域是(0,+∞),22222()1.a x ax f x x x x -+'=+-=设2()2g x x ax =-+,二次方程()0g x =的判别式28a ∆=-.① 当280a ∆=-<，即0a <<0x >都有()0f x '>,此时()f x 在(0,)+∞上是增函数。

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