广东专插本考试高等数学试题

广东省2012年普通高等学校本科插班生招生考试

《高等数学》（公共课）试题

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一、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分。每小题只有一个选项符合题目

要求）

1．已经三个数列{a n ）、{b n ）和{c n ）满足a n ≤b n ≤c n （n ∈N +），且∞

→n lim a n =a ，∞

→n lim c n =c(a 、b

为常数，且a

A ．有界

B ．无界

C ．收敛

D ．发散

2．x=0是函数

0x 2-10

,x 1

2)(<≥+x x x e x f ，）

（｛，的

A ．连续点

B ．可去间断点

C ．跳跃间断点

D ．第二类间断点 3．极限∞

→x lim 2x sin

x

3

= A ．0 B ．2 C ．3 D ．6

4．如果曲线y=ax-1

2

+x x 的水平渐近线存在，则常数a= A ．2 B ．1 C ．0 D ．-1

5．设f(x ，y)为连续函数，将极坐标形式的二次积分⎰⎰=1

40

)sin ,cos (rdr r r f d I θθθπ

化

为直角坐标形式，则I= A ．

⎰⎰-2

12

20

),(x x

dy y x f dx B ．⎰

⎰-2

10

2

20

),(x dy y x f dx

C ．

⎰

⎰

-2

12

20),(y y dx y x f dy D ．⎰

⎰

-2

10

2

20

),(y dx y x f dy

二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 6．设f(x)在点x 0处可到，且f ’(x 0)=3，则=∆-∆-→∆x

x f x x f x )

()2(lim 000

.

7．若⎰=

dx x x

x f tan )(，则f ”

（π）= ． 8．若曲线y=x 3+ax 2 +bx+l 有拐点(-l ，0)，则常数b= ____．

9．广义积分⎰∞-=+0

1dx e e x

x

． 10．设函数f(u)可微，且f ’(o)=

2

1

，则z=f （4x 2一y 2）在点(1，2)处的全微分=)

2,1(dz .

三、计算题（本大题共8小题，每小题6分，共48分）

11．计算x

x x

ln 1

)11(

lim ++∞→． 12．设函数y=f(x)由参数方程⎪⎩⎪⎨⎧+=++=2

23)

3ln(t

y t t x 所确定，求dx dy (结果要化为最简形式).

13．确定函数x

e x x

f arctan 4

)

1()(+-=π

的单调区间和极值．

14．求不定积分⎰

+.)1ln(2dx x ．

15．设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>≤≤-=+21,12

121

,)(2

314x x x e x x f x ，利用定积分的换元法求定积分⎰-221)1(dx x f ．

16．求微积分方程y ’’一4y'+13y=0满足初始条件8'

,10

====x x y y

特解．

17.已知二元函数z=x(2y+1)x ，求

2

12

==∂∂∂y x x

y z

．

18．计算二重积分

⎰⎰

-D

d x y σ2，其中D 是由曲线y=x 及直线y=1，x=0围成的闭区域．

四、综合题（大题共2小题，第19小题12分，第20小题10分，共22分）

19．已知C 经过点M(1，0)，且曲线C 上任意点P(x ，y)(x ≠0)处的切线斜率与直线OP （O 为坐标原点）的斜率之差等于ax （常数a>0）．

(1)求曲线C 的方程；

(2)诚确a 的值，使曲线C 与直线y=ax 围成的平面图形的面积等于8

3． 20．若当x →0，函数⎰

+-=

x

a

t t

dt x f 0

33

2)(与x 是等价无穷小量；

(1)求常数a 的值；(2)证明：8)2(2

1

≤≤f ．

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《高等数学》参考答案及评分标准

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一、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 1．A 2．C 3．D 4．B 5．C

二、填空题（本大题共5小题，每个空3分，共15分） 6．-6 7．

π

1

8．3 9．ln2 10．4dx - 2dy 三、计算题（本大题共8小题，每小题6分，共48分） -Wl+x) （2分） 1l ．解：原式=x

x x e

ln )1ln(lim +-+∞

→， （2分）

x

x x

x x x 111

lim

ln )

1ln(lim

+-

=+-+∞→+∞→ （4分） .e 1

-=∴原式 （6分）

12．解：；222t 311t 31t t 31dt dx +=⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛++++=

.32

t

t dt

dy

+= （3分）

t x y dx dy t t ==∴'

'

（结果没有化简扣2分）. (6分)

13．解：函数)(x f 的定义域为),(+∞-∞，

2

arctan 4

arctan 4

11

)1()('x e

x e

x f x

x

+•

-+=++π

π

2

1)1(arctan 4

x x x x

e +++=π

， （2分）

令0)('=x f ，解得x=0，x=-1

因为在区间(-∞，-1)内，0)('>x f ；在区间(-l ，0)内，)('x f <0；