广东专插本考试高等数学试题

广东省2012年普通高等学校本科插班生招生考试《高等数学》（公共课）试题广东专插本考试资源网一、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分。

每小题只有一个选项符合题目要求）1．已经三个数列{a n ）、{b n ）和{c n ）满足a n ≤b n ≤c n （n ∈N +），且∞→n lim a n =a ，∞→n lim c n =c(a 、b为常数，且a<c)，则数列{ b n ）必定A ．有界B ．无界C ．收敛D ．发散2．x=0是函数0x 2-10,x 12)(<≥+x x x e x f ，）（｛，的A ．连续点B ．可去间断点C ．跳跃间断点D ．第二类间断点 3．极限∞→x lim 2x sinx3= A ．0 B ．2 C ．3 D ．64．如果曲线y=ax-12+x x 的水平渐近线存在，则常数a= A ．2 B ．1 C ．0 D ．-15．设f(x ，y)为连续函数，将极坐标形式的二次积分⎰⎰=140)sin ,cos (rdr r r f d I θθθπ化为直角坐标形式，则I= A ．⎰⎰-21220),(x xdy y x f dx B ．⎰⎰-210220),(x dy y x f dxC ．⎰⎰-21220),(y y dx y x f dy D ．⎰⎰-210220),(y dx y x f dy二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 6．设f(x)在点x 0处可到，且f ’(x 0)=3，则=∆-∆-→∆xx f x x f x )()2(lim 000.7．若⎰=dx x xx f tan )(，则f ”（π）= ． 8．若曲线y=x 3+ax 2 +bx+l 有拐点(-l ，0)，则常数b= ____．9．广义积分⎰∞-=+01dx e e xx． 10．设函数f(u)可微，且f ’(o)=21，则z=f （4x 2一y 2）在点(1，2)处的全微分=)2,1(dz .三、计算题（本大题共8小题，每小题6分，共48分）11．计算xx xln 1)11(lim ++∞→． 12．设函数y=f(x)由参数方程⎪⎩⎪⎨⎧+=++=223)3ln(ty t t x 所确定，求dx dy (结果要化为最简形式).13．确定函数xe x xf arctan 4)1()(+-=π的单调区间和极值．14．求不定积分⎰+.)1ln(2dx x ．15．设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>≤≤-=+21,12121,)(2314x x x e x x f x ，利用定积分的换元法求定积分⎰-221)1(dx x f ．16．求微积分方程y ’’一4y'+13y=0满足初始条件8',10====x x y y特解．17.已知二元函数z=x(2y+1)x ，求212==∂∂∂y x xy z．18．计算二重积分⎰⎰-Dd x y σ2，其中D 是由曲线y=x 及直线y=1，x=0围成的闭区域．四、综合题（大题共2小题，第19小题12分，第20小题10分，共22分）19．已知C 经过点M(1，0)，且曲线C 上任意点P(x ，y)(x ≠0)处的切线斜率与直线OP （O 为坐标原点）的斜率之差等于ax （常数a>0）．(1)求曲线C 的方程；(2)诚确a 的值，使曲线C 与直线y=ax 围成的平面图形的面积等于83． 20．若当x →0，函数⎰+-=xat tdt x f 0332)(与x 是等价无穷小量；(1)求常数a 的值；(2)证明：8)2(21≤≤f ．广东省2012年普通高等学校本科插班生招生考试《高等数学》参考答案及评分标准广东专插本考试资源网一、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 1．A 2．C 3．D 4．B 5．C二、填空题（本大题共5小题，每个空3分，共15分） 6．-6 7．π18．3 9．ln2 10．4dx - 2dy 三、计算题（本大题共8小题，每小题6分，共48分） -Wl+x) （2分） 1l ．解：原式=xx x eln )1ln(lim +-+∞→， （2分）xx xx x x 111limln )1ln(lim+-=+-+∞→+∞→ （4分） .e 1-=∴原式 （6分）12．解：；222t 311t 31t t 31dt dx +=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++=.32tt dtdy+= （3分）t x y dx dy t t ==∴''（结果没有化简扣2分）. (6分)13．解：函数)(x f 的定义域为),(+∞-∞，2arctan 4arctan 411)1()('x ex ex f xx+•-+=++ππ21)1(arctan 4x x x xe +++=π， （2分）令0)('=x f ，解得x=0，x=-1因为在区间(-∞，-1)内，0)('>x f ；在区间(-l ，0)内，)('x f <0；在区间(0，+∞)内，0)('>x f ，所以)(x f 的递增区间是(-∞，-1)及(0，+∞)，递减区间是（-1，0）， (4分))(x f 的极大值是)(,2)1(x f f -=-的极小值4)0(πe f -=． (6分)14．解：⎰⎰+-+=+dx xx x x dx n 222212)1ln()1ln( (2分)， ⎰+--+=dx xx x )111(2)1ln(22C x x x x ++-+=arctan 22)1ln(2(6分) 15．解：⎰⎰-=-=-2211211)()1(dt t f dxx f tx （2分）⎰⎰⎰⎰+=+=--12112121212121)()()()(dx x f dx x f dt t f dt t f⎰⎰-++=212112121314dx xdx e x x （4分） 121110=-=x . （6分）16．解：由微分方程的特征方程r 2 - 4r +13=0解得r=2±3i ， （2分） 所以此微分方程的通解为)3sin 3cos (212x C x C e y x+=. （4分）因为)3cos 33sin 3()3sin 3cos (2'212212x C x C e x C x C e y xx+-++=, 由832'121010=+=====C C y C yx x 及 解得C 1=1，C 2=2，故所求特解为)3sin 23(cos 2x x e y x+=. （6分） 17．解：12)12(2-+=∂∂x y x yz, (2分) )12ln()12(2)12(41212++++=∂∂∂∴--y y x y x xy xx x ， (4分)故3ln 24112+=∂∂∂==y x xy z(6分)18．解：积分区域D 如图：⎰⎰⎰⎰-=-22102xdx y dy xd y σ （3分）=⎰--102232]0)(32[dy y x y=6132103=⎰dy y （6分） 四、综合题（本大题共2小题，第19小题12分，第20小题10分，共22分）19．解：(1)设曲线C 的方程为y=厂O ），由题意知0,'1==-=x y ax x yy 且．（2分） 由ax xyy =-'得)()(ln ln 11C dx axe e C dx axeey x x dxx dxx +=+⎰⎰=⎰⎰--（4分） )()(C ax x C adx x +=+=⎰,， 因为01=+==C a yx ，解得a C -=故曲线C 的方程为)1(2-=-=x ax ax ax y ． （6分) (2)如图，由ax ax ax =-2解得x=0，x=2， （10分） 即3838402)3(32=-=-a a x a ax ，解得a=2． （12分）由题意知⎰=+-2238)(dx ax ax ax ，20．解：(1)解：由题意知122lim 2lim303033===+-→+-→⎰a ax xx xat tx xdt， （4分）0=∴a ． (2)证：⎰⎰--==23233322)2(dx dt f xxtt，设xxx g 332)(-=，则2ln )33(2)('233-=-x x g xx， （6分）令0)('=x g ，在区间(0，2)内解得x=l ， 因为g(0)=1，g(1)=41，g(2)=4， 所以g(x)在区间[0，2]上的最大值为4，最小值为41． （8分） 由定积分的估值定理可得8212033≤≤⎰-dx e x x ， 所以有8)2(21≤≤f ． （10分）。