§4.2 换元积分法(第二类换元法)
B1-4.2换元积分法(第2类换元法)
(
)
• 原变量回代 所谓原变量回代就是从代换函数 x =( t ),t It 解
出相应的反函数并代入求得的积分结果中。
对三角代换，可通过辅助三角形确定相应反函数。 本例，由代换 x = ( t )= asin t，可作出辅助三角形：
由此写出相应反函数及相关三角函数。 t = ( x ) = arcsin x , a a cos t = a 2 − x 2 .
由复合函数微分关系式逆转可得积分关系式
f ( x)d x
x = ( t )
f ( t ) ( t ) d t .
将此关系式看成是积分转换式，其意义可理解为： 若右端积分∫ f[( t )] ( t )d t 易于积出，则可由其求出左端的
积分 ∫ f( x )d x .
此时有
=a
x 2 − a 2 d x = tan t a sec t tan t d t = a tan 2 t d t sec t x
= a ( sec 2 t − 1 ) d t = a ( tan t − t ) + C 1
x 2 − a 2 - a arccos a + C 1 . x
例. 求
), , 解: 令 x = a tan t , t ( − 则 2 2
x 2 + a 2 = a 2 tan 2 t + a 2 = a sec t
dx = a sec t d t a sec 2 t d t = sec t d t ∴ 原式 = a sec t = ln sec t + tan t + C1
−1 (t = + (C t )] )d t( tx=) −1 ( x ) t= [ft[]
高等数学-4_2换元法
（2） tan x d x
3
解(1): 原式 sec2 x sec2 x d x
(tan
(tan
1 3
3
2
x 1) sec x d x
2
2
x 1) d (tan x )
tan x tan x C
sec x d x d (tanx )
2
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结束
例7. （1）
sec
2
x x
dx
2
（2）
xd
dx x (1 x )
解 (1) 原式 = (2) 原式 =
2
sec
x 2tan x 2
x c
1 d x
2
(1 x ) d
1
1 (
x)
2
2arctan
1 x d x 2d
x c
2 a x b)
x
x
x
1 e x e (1 ) dx x 1 e x e dx dx x 1 e
x
(1 e ) e
dx
e d x de
x
x
d (e 1 )
x
x ln(1 e x ) C
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结1 x
1 2
x
d(
1 2
2
x ) 2e
1
1 2
x
c
（4）
dx
2
1 d( 1 3 x )
（1 3 x )
4.2 换元积分法
解：
(1)
a2
1
x2
dx
1 a
1 a2
1
1(ax1)21da(xax22)dx
1 a
arctan
x a
C
用类似的方法还可以求得
1 a2
x2
dx
arcsin
x a
C．
4.2.1 第一换元积分法 4.第一换元积分法的常见类型
例4
求不定积分 (2)
dx a2 x2
4.2.1 第一换元积分法 2.第一换元积分法
计算过程
f
[ ( x)] ( x)dx
凑微分
f
[ ( x)]d ( x)
令 ( x)u
积分
回代
f (u)du F (u) C F ((x)) C
利用复合函数求导公式，可以验证以上公式的正确性．
用这种方法的计算程序是：先“凑”微分式，再作变量置换。 我们将这类求不定积分的方法称为第一类换元积分法，也称凑微 分法。
4.2.1 第一换元积分法 3.第一换元积分公式的应用
例1 求下列不定积分
(1)
dx x 1
解： 令 x 1 u 则 dx du，于是
dx x 1
du u
ln u C
同理可得:
(2)
dx 1 x
ln
1
x
C
(3)
dx 1 x
2
1 x C
再将u x 1 代回，得
(2)
ln x x
dx
解：
(2)
4.2_换元积分法
x x
dx 3
t2
t
3
2tdt
2
t2 3 dt 2 t3 6t C 3
再将t x 3代回整理得
x dx 2 x3 3
3
x3 6 x3C
补充例：求
1 dx
ex 1
解: 令 ex 1 t 则x ln(1 t 2 )
dx
2t 1 t2
dt , 于 是
1 dx
ex 1
Fu C
Fx C
由此可得换元法定理P103定理4.3
P103定理4.3 设 f (u)具有原函数，u ( x)可导，
则有换元公式
f [ ( x)] ( x)dx [ f (u)du]u ( x)
第一类换元公式（凑微分法） 说明 使用此公式的关键在于将
g( x)dx 化为 f [( x)]( x)dx.
2
2
xex2dx 1 ex2 x2 dx（直接凑微分） 2
1 ex2dx 2
2
1 2
eudu
堂上练习 P108-习题4.2----4、5、6、
4、
2x 1 x2 dx
1 1 x2
1 x2
dx
1
1 x2
d1
x
2
ln
1
x
2
C
5、 x x2 5dx 1 2
x2
1 t
2t 1 t2
dt
2
1 1 t 2 dt
2arctant C
2arctan ex 1 C
课堂练习： 求
x 1dx . x
解 : 令 x 1 t,则x 1 t 2 , dx 2tdt;于是有
x-1 dx. 2 x
t2 1 t 2 dt
第二类换元积分法
例2 求
6
1 dx. 2 3 x x
5 dx 6 u du, 解 令 xu 2 1 1 u 5 dx 6 u du 6 du 3 4 2 3 u u x x 1 u
u2 1 1 1 6 du 6 u 1 du 1 u 1 u 1 2 6( u u ln | 1 u |) C 2
3.4
第二类换元积分法
• 一、第二类换元积分法
• 二、例题分类讲解
第二元积分法 思考：求
1 dx 1 x
该不定积分不能直接积分，也不属于常见的凑 微分法的类型。 该积分矛盾在于被积函数含有根式，为了去掉根 号，我们可以做变量代换，令
xt
第二换元积分法 思考：求 解 令 所以
1 dx 1 x
x t2
xt 则
dx 2tdt
1 2t (1 t ) 1 去根号 dx dt 2 dt 1 x 1 t 1 t 1 2 (1 )dt 2( t ln 1 t ) C 1 t
上述用的变量代换求积分的方法就是变量置换法。
变量置换法也称为第二换元法
解
令 x u， x u2 (u 0) dx 2udu 1 2u ( u 1) 1 1 x dx 1 udu 2 1 u du 1 2[ (1 )du] 2( u ln 1 u ) C 1 u
回代
2( x ln 1 x ) C
回代
3 3 x 6 6 x 6 ln | 1 6 x | C
阅读课本例2. 课堂练习：课后习题（1）（2）
2. 被积函数含有根式 a x 或 x a
§4.2 换元积分法(第二类换元法)
§4。
2 换元积分法（第二类)Ⅰ授课题目（章节)：§4。
2 换元积分法 （第二类换元积分法） Ⅱ教学目的与要求:1。
了解第二类换元法的基本思想2.掌握几种典型题的第二类换元积分法解法 Ⅲ教学重点与难点：重点：第二换元法中的三角代换及根式代换 难点：积分后的结果进行反代换 Ⅳ讲授内容：第一类换元积分法的思想是：在求积分()g x dx ⎰时,如果函数g (x ）可以化为[()]()f x x ϕϕ'的形式,那么()()[()]()[()]()()u x g x dx f x x dx f x d x f u du ϕϕϕϕϕ='==⎰⎰⎰⎰()F u C =+[()]F x C ϕ=+所以第一换元积分法体现了“凑”的思想。
把被积函数凑出形如[()]()f x x ϕϕ'函数来。
对于某些函数第一换元积分法无能为力,例如⎰-dx x a 22.对于这样的无理函数的积分我们就得用今天要学习的第二类换元积分法。
第二类换元的基本思想是选择适当的变量代换)(t x ψ=将无理函数()f x 的积分()f x dx ⎰化为有理式[()]()f t t ψψ'的积分[()]()f t t dt ψψ'⎰。
即()[()]()f x dx f t t dt ψψ'=⎰⎰若上面的等式右端的被积函数[()]()f t t ψψ'有原函数()t Φ，则[()]()()f t t dt t C ψψ'=Φ+⎰，然后再把()t Φ中的t 还原成1()x ψ-，所以需要一开始的变量代换)(t x ψ=有反函数。
定理2 设)(t x ψ=是单调、可导的函数，且0)(≠ψ't ，又设)()]([t t f ψ'ψ有原函数()t Φ,则⎰⎰+ψΦ=+Φ=ψ'ψ=-C x C t dt t t f dx x f )]([)()()]([)(1分析 要证明1()[()]f x dx x C ψ-=Φ+⎰，只要证明1[()]x ψ-Φ的导数为()f x ，1[()]d d dt x dx dt dx ψ-ΦΦ=⋅ ， ?dt dx=证明 )(t x ψ= 单调、可导,∴()x t ψ=存在反函数)(1x t -=ψ，且)(11t dtdx dx dt ψ'== 11[()][()]()()()d d dt x f t t f x dx dt dx t ψψψψ-Φ'Φ=⋅==' )]([1x -ψΦ∴是)(x f 是一个原函数⎰+ψΦ=-C x dx x f )]([)(1.第二换元法,常用于如下基本类型 类型1：被积函数中含有22x a -(0>a ）,可令t a x sin =（并约定(,)22t ππ∈-)则t a x a cos 22=-，tdx a dx cos =，可将原积分化作三角有理函数的积分.例1 求⎰-dx x a 22)0(>a解 令t a x sin = ，(,)22t ππ∈-,则t a x a cos 22=-tdt a dx cos = 22cos cos a x dx a ta tdt ∴-=⎰⎰22211(cos 2)sin 22224a a a t dt t t C =+=++⎰22222sin cos arcsin 2222a a a x x t t t C a x C a =++=+-+. 借助下面的辅助三角形把sin t ，cos t 用x 表示.例2 求⎰-dx xx 224解 令t x sin 2=,(,)22t ππ∈-,则t x cos 242=-，tdt dx cos 2=2224sin 1cos22cos =42cos 24t t tdt dt t x-∴=⋅-⎰⎰ =(22cos2)2sin 2t dt t t C -=-+⎰222sin cos 2arcsin 422x xt t t C x C =-+=--+类型2:被积函数中含有)0(22>+a x a 可令 t a x tan = 并约定(,)22t ππ∈-，则t a x a sec 22=+；tdt a dx 2sec =；可将原积分化为三角有理函数的积分。
换元积分法和分部积分法
对于含有根式的函数的 积分，原则上是设法去 掉根式。
有些含有根式的函数的 积分，直接令根式为新 变量 即可将问题转化为一般 的不含根式的函数的积 分。
补充例题11 计算
解:
1 6
dx . 3 x x
xx ,
1 2
3
xx ,
1 3
它们的指数部分的 分母的最小公倍数 为6 .
令 t x , t 0,
则 x t , d x 6 t d t, 故
6 5
t 3 1 1 dx 6 t3 dt d t 6 3 t 1 x x t 1
1 6 ( t t 1 )dt t 1
2
2 t 3 3 t 2 6 t 6 ln | t 1 | C 2 x 33 x 66 x 6 ln( 6 x 1) C .
第二类换元法常见类型:
(1)
(2)
f ( x , n ax b ) dx , 令
a x b n ( x , c x d ) dx ,
f
令 或
第 三 节 讲
(3) (4) (5)
f ( x , a 2 x 2 ) dx , 令 f ( x , a 2 x 2 ) dx , 令 f ( x , x 2 a 2 ) dx , 令
求
f (tan x)sec 2 xdx
补充例题4
1 解: 原式 = 1 2 ln x 2 1 2 ln x
自主学习课本P141例4.2.6、例4.2.7、例4.2.8
例4.2.9 求
tan xdx 和 cot xdx
．
解: cot xdx cos x dx 1 d sin x = ln sinx + C sin x sin x
第二类换元法
令u =
ex
−1,
则
d
x
=
1
2u + u2
d
u
∫ = 2x ex −1− 4
u22+u12 − 1+ u2
1
d
u
− 4(u − arctan u) + C
= 2x ex −1 − 4 ex −1 + 4arctan ex −1 + C
方法2 (先换元,再分部)
令 u=
ex
−1,
则
x
=
ln(1 +
u2),
积分得: uv = ∫ u′vdx + ∫ uv′dx ∫ uv′dx = uv − ∫ u′v dx 分部积分公式
或 ∫uv′dx =∫udv = uv − ∫ vdu
选取 u 及 v′(或dv) 的原则: 1) v’ 容易积，u求导简单 ;
2) ∫ u′v dx 比 ∫ u v′ dx 容易计算 .
2
2
∫ 2. 求 I =
dx . 4x2 + 9
解:
I
=
1 2
∫
d (2x) = 1 ln 2x + (2x)2 + 32 2
4x2 + 9 + C
∫ 3. ∫ x2
1 dx x3 +1
=1 3
1 d (x3 +1) x3 +1
= 2 x3 +1+ C 3
∫ 4.
∫
2x + 3 dx 1+ 2x+ a2 = a2 tan2 t + a2 = a sect
dx = a sec2 t d t
高数4.2
2
其中C 1=C−ln a ．
例 23 求 ∫ 例21
dx x −a
2 2
x (a>0)．
解 当 x>a 时，设 x=a sec t (0<t< 那么
π
2
t
)，
a
x 2 − a 2 = a 2 sec 2 t − a 2 = a sec 2 t − 1 =a tan t ， 于是
∫
a sec t tan t =∫ dt = ∫ sec tdt = ln |sec t + tan t |+C ． 2 2 a tan t x −a
§4．2 换元积分法 ．
一、第一类换元法 二、第二类换元法 三、积分公式小结
一、第一类换元法
定理1 设f(u)具有原函数，u=ϕ(x)可导，则有换元公式
∫
f[ϕ(x)]ϕ′(x)dx = dx
∫
f[ϕ(x)]dϕ(x)= [ )
∫
f(u)d u]u = ϕ(x) ．
根据得
∫
cot x dx=ln|sin x|+C ．
熟练之后，不必再写出变量代换．
例6 例6
∫
1 a2 + x2
dx =
1 a2
∫
1 x = arctan +C ． a a x x x x ch dx =a ch d = a sh +C ． 例7 例7 a a a a 1 例8 dx (a>0)． 例8 求 a2 − x2 1 1 1 1 x dx = 解 dx = d 2 2 a a a2 − x2 x x 1− 1− a a x = arc sin +C ． a
补充公式：
不定积分的换元积分法4.2
f [j ( t )] j ( t )dt
．
最后将t =j1(x)代入f [j(t)]j(t) 的原函数中．
第二类换元法用于求特殊类型的不定积分．
例 21 例18
求
a
2
x
2
d x (a > 0 )．
x
2
a t
a x
2 2
解
设 x a sin t ，
a x
a
2
< t<
2 2
ln | x
x a
2
2
| C
．
三、积分公式小结
(1 ) kdx kx C ,
( 2 ) x dx
m
(k是常数)，
x
m 1
1
m 1
C,
(m 1)，
(3)
(4)
(5 )
1 x
dx ln | x | C ,
1 dx arctan x C ,
例 23 例21
求
dx x
2
x
2
(a > 0 )．
a
解 那么
当 x> a 时 ， 设 x a se c t (0 < t<
x a
2 2
2
t
)，
sec
2
a
t 1
a sec
2
2
ta
2
a
a tan t ， 于是
dx x a
2 2
2
a sec t tan t a tan t
2
1 3
sin
3
§4.2换元积分法(第二类换元法)
§ 4.2 换元积分法(第二类)I 授课题目(章节)：§ 4.2 换元积分法(第二类换元积分法)n 教学目的与要求：1.了解第二类换元法的基本思想2.掌握几种典型题的第二类换元积分法解法川教学重点与难点：重点：第二换元法中的三角代换及根式代换难点：积分后的结果进行反代换IV 讲授内容：第一类换元积分法的思想是：在求积分g(x)dx时如果函数g(x)可以化为f[ (x)] (x)的形式那么g(x)dx f[ (x)] (x)dx f[ (x)]d (x)u (x) f(u)duF(u) C F[ (x)] C所以第一换元积分法体现了“凑”的思想•把被积函数凑出形如f[ (x)] (x)函数来.对于某些函数第一换元积分法无能为力，例如a2x2 dx.对于这样的无理函数的积分我们就得用今天要学习的第二类换元积分法。
第二类换元的基本思想是选择适当的变量代换x (t)将无理函数f (x)的积分f (x)dx化为有理式f[ (t)] (t)的积分f[ (t)] (t)dt。
即f(x)dx f[ (t)] (t)dt若上面的等式右端的被积函数f[ (t)] (t)有原函数(t)，则f[ (t)] (t)dt (t) C ,然后再把(t)中的t还原成1 (x)，所以需要一开始的变量代换x (t)有反函数。
定理2设x (t)是单调、可导的函数，且(t) 0,又设f[ (t)] (t)有原函数(t)，则1f(x)dx f[ (t)] (t)dt (t) C [ (x)] C分析要证明f(x)dx [ 1(x)] C，只要证明[1(x)]的导数为f(x),d 「1,、■, d dt dt[(x)] , ?dx dt dx dx可将原积分化作三角有理函数的积分x2例2求 . 2 dx4 x,)，则 ' 4 x2 24sin 2t2costdt =2cost2cost，dx 2costdt(2 2cos2t)dt 2t si n2t C2 2证明x (t)单调、可导，x (t)存在反函数t-(x)，且字dx1dxdt1It)Q —dx-J -JI A[1(x)]頁匸f[ (t)]⑴飞f(x)1 (x)］是f (x)是一个原函数f (x)dx [-(x)]第二换元法，常用于如下基本类型类型1 ：被积函数中含有..a2x2( a 0) ,可令x asint (并约定例1求a2x2dx (a 0)解令x asint acost dx acostdt.a2x2dx a costa costdt a2 (21-cos2t)dt2at22 a sin 2t42at22a sin tcost2a2x x —C arcs in a2 a 2把sin t，cost用x表示.借助下面的辅助三角形2t 2sin tcost解令x 2sint，4—^dt2C 2arcsi n ——44x2 C2 2类型2 :被积函数中含有,a2x2(a 0)可令x ata nt 并约定t ( ,)，则2 2asect ；dx 2a sec tdt ；可将原积分化为三角有理函数的积分dx(a 0)解令x atant，t ( , )，^V .”.：x a2 22asect, dx a sec tdtsectdt In sect tant C例4求解令xdxx 2 \ 42ta ntdxx2.4 x21 cost ,,2 dt4 sin t-^^dsi nt sint.4 x2 21 sect4 2dtant1 1 cC1dt414 sin t,)，则2 22sec t24tan t 2sectdx(x2 9)2（分母是二次质因式的平方23sec tdt2dx 2 sec tdt1萼dtsin2tcos t4 x2Cdx 3sec21 工 127cos2 tdt(x29) 2481sec1 t 1 t—(1 cos2t)dt ——cos 2tdt —54 54 54 54t 1 t 1—sin 2t —一sin t cost C54 2 54 54 54解令x 3tant,贝U x2 9 9sec21, dx12 54cos2td2t3x（第二换兀积分法分）(x 2x 5)1x 1 arcta n —2 2解(x 2x 5)2 2 2[2 (x 1)]，令x 1 2ta ntt (i ，2)则dx 2 2(x 2x 5)笄壬水1 (12 sec t 16cOs2t)dt1sin t cost C161 x 1 arcta n — 16 21 x 1 8 x 22x 类型3 被积分函数中含有(a 0)，当 x a 时，可令x asect ，并约定I 2 2t （0,—），贝U x a ata nt , 将原积分化为三角有理函数的积分。
第二类换元积分法
基 本 积 分 表 2
(14)
tan xdx ln cos x C ;
(15)
(16)
sec xdx ln sec x tan x C ;
a
dx arctan
cot xdx ln sin x C ;
(17)
(18)
cot csc xdx ln csc x x x C ; 1 1
x a sint
a2 于是 原式
2
a 1 [t sin2t ] C 2 2
a x x a x [arcsin ( )] C . 2 a a a
2 2 2
a
x
t
a2 x2
例4 求
1 dx ( a 0). 2 2 x a
2
, 解 令 x a tan t dx a sec tdt t 2 2 1 1 2 x 2 a 2 dx a sec t a sec tdt sec tdt ln sect tan t C
说明 无理函数去根号时, 取根指数的最小公倍数.
6t 5 t3 ( t 3 1) 1 于是 原式 3 2 dt 6 dt 6 dt t t t 1 t 1
例3 求
解 令
a 2 x 2 dx (a 0).
, dx a cos tdt t 2 2 2 2 1 cos 2t dt cos tdt a 2
a x
dx
1 x 2 1( ) a
x d( ) a
x arcsin C a
x dx arcsin C 2 2 a a x
2第二节换元积分法
2 sin 2
x 2
1 cos x
csc x cot x.
2 cos x sin x
sin x
2
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解（二）
csc
xdx
1 sin
x
dx
sin x sin2 x
dx
1
1 cos2 x d(cos x) u cos x
1
1 u2
du
1 2
1
1
u
1
1
u
du
2 cos xd(cos x) cos x2 C.
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例2
求
3
1 dx. 2x
解
1 1 1 (3 2x),
3 2x 2 3 2x
3
1 2
dx x
1 2
3
1 2
x
(3
2
x)dx
1 2
1du u
1 ln u 2
C
1 2
ln(3
2x)
C.
一般地
f
(ax b)dx
例5 求
1 dx a 0.
a2 x2
解
1 dx 1
a2 x2
a
1 dx
1
x a
2
1
1
x a
2
d
x a
arcsin x C a
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例6 求 tan xdx.
解
tan xdx
sin cos
x x
dx
1 cos
x
d
cos
x
ln cos x C.
x4
高等数学 4-2换元积分法
4
例 12
求 cos 3 x cos 2 xdx.
∫
解： cos A cos B =
1 [cos( A − B ) + cos( A + B )], 2
cos 3 x cos 2 x =
1 (cos x + cos 5 x), 2 1 1 1 ∫ cos 3x cos 2 xdx = 2 ∫ (cos x + cos 5x)dx = 2 sin x + 10 sin 5 x + C.
第一类换元公式（凑微分法） 第一类换元公式（凑微分法）
说明：使用此公式的关键在于将 说明：使用此公式的关键在于将 g ( x ) dx 化为
∫
∫ f [ϕ ( x)]ϕ ′( x)dx.
∫
解（一） sin 2 xdx =
∫ ∫ ∫
1 1 ∫ sin 2 xd (2 x) = − 2 cos 2 x + C; 2
=
1 1 − cos x ln + C. 2 1 + cos x
类似地可推出 sec xdx = ln(sec x + tan x ) + C. 例 14
2 2 设 f ′(sin x) = cos x, 求 f (x) .
∫
解：令 u = sin x ⇒
2
cos 2 x = 1 − u ,
f ′(u ) = 1 − u , 1 f (u ) = ∫ (1 − u )du = u − u 2 + C , 2 1 f ( x) = x − x 2 + C. 2 1 例 15 求 ∫ dx. x 2 4 − x arcsin 2
第二类换元积分法分部积分法
ln 2 x2 x C
2
2
2
辅助三角形ຫໍສະໝຸດ ln 2 x2 x C1 C1 C ln 2
公式 dx ln x a2 x2 C
a2 x2
例3 求不定积分
dx 4x2 3
解 令 x 3 sec u, 则 dx 3 secu tan udu
2
2
原式 1 secudu 2 1 ln secu tan u C 2
原式
u
u 2
1
2udu
u2 11
2 u2 1 du
直接令根式为u， 化根式为有理式
2
(1
1
u2
)du 1
2u
arctan
u
C
2( x 1 arctan x 1) C
dx
例2 求不定积分 3 x 1
直接令根式为u， 化根式为有理式
解 令 u 3 x , 则 x u3, dx 3u2du
例2 求不定积分 xaxdx
udv uv vdu
解 令 u x, dv axdx
则 du dx,
a
a
dx arcsin x C(a 0)
a2 x2
a
dx ln | x x2 a2 | C x2 a2
dx ln | x x2 a2 | C x2 a2
◆公式的直接应用
例1
dx 1
d( 3x)
1 arcsin 3x C
5 3x2 3 ( 5)2 ( 3x)2 3
原式 xsin x sin xdx
xsin x cos x C
u 与 dv 的选择原则
v 1、 可求；
2、 vdu 可求，
或较易求
若令 u cos x, dv xdx
4.2第二类换元积分法
t 1
6
(t 2
t
1
t
1 )dt 1
2t3 3t 2 6t 6 ln t 1 c
2 x 33 x 66 x 6 ln 6 x 1 c
例3
求
1 dx. 1 ex
解 令 t 1 e x e x t 2 1, x lnt 2 1,
ex f (ex 1)dx.
4.2 换元积分法
思考题
x2
1 2x
dx 4
3
1 (1
x)2
dx
1
1 u2
du
arctanu
c
1 3
1
1 1
x
2
dx
3
1 3
3
1
1 1
x
2
d
1
x 3
3
1 arctan 1 x c
(u 1)u10du
x u 1
(u11 u10)du
基本积分表(续)
tan xdx ln cosx C;
cot xdx ln sin x C;
secxdx ln secx tan x C;
cscxdx ln cscx cotx C;
2
a2
x asin t 作直角三角形
t arcsin x a
t
a2 x2
sin 2t 2sin t cost 2 x
a
a2 x2 a
不定积分的第二类换元积分法
其中tj-1(x)是xj(t)的反函数.
这是因为, 由复合函数和反函数求导法则,
{F[j -1(x)]}
F (t)
dt dx
f
[j(t)]j(t)
1 dx
f
[j(t)]
f
(x)
.
dt
一、第二类换元法基本类型
❖（1）三角代换去根式
❖（2）根式代换(去根式) ❖（3）倒代换
t 1
2ln( 1 ex -1) - x C
(3)倒代换 一些情况下(如被积函数是分式, 分母的方
例6
求
1 x(x7
dx 2)
较高时幂),可作倒代换x 1.
t
解
令x 1, t
dx
-
1 t2
dt
1
x(x7
dx 2)
t 17 t
-
1 t2
2
dt
-
t6 1 2t 7 dt 1 d(1 2t 7 )
22
a2 x2 a sect.
•去 根 x2 - a2 (a 0) 式作代换 x asect, t (0, )
2 x2 - a2 a tan t.
dx asect tantdt
y sec x
例1 求 a2 - x2 dx (a 0)
解 令x asin t dx acostdt t - ,
6[t
-
arctant]
C
6[6 x - arctan 6 x ] C
❖（2）根式代换(去根式)
例5
1
求 1 ex dx
解令 t 1 ex , ex t 2 -1,
x ln(t 2 -1),
第二节 第二类换元积分法
例10. 求
解: 原式
d e x x arcsin e C 2 x 1 e
(P205 公式 (22) )
例11. 求
1 解: 令 x ,得 t 原式
倒代换
t a 2t 2 1
dt
1 d (a 2t 2 1) 1 2 2 2 a t 1 C 2 2 2 2a a a t 1
去根号
x 2 a 2 a 2 tan 2 t a 2 a sec t
d x a sec t d t 2 a sec t d t sec t d t ∴ 原式 a sec t
2
x tan t a
x2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ a2
ln sec t tan t C1
ln
思考与练习
1.(1)设函数ƒ(x)的一个原函数是arctanx,求不定积分
解
由题意知 则
(2) 若己知
, 求：
解
由题意知
2. 计算不定积分
解: 令
(3) 解： 利用凑微分法 , 得 原式 = 令
(1 x ) 1 x 解: 令 x sin t , 1 x 2 1 sin 2 t , d x cos td t cos t 原式 dt 2 (1 sin t ) cos t 2 分子分母同除以 cos t
1 解 令 x t
1 说明: 当分母的次数较高时, 可采用倒代换 x . t
用它往往能把分母上的较高次幂去掉
小结:
1. 第二类换元法常见类型:
(1) ( 2)
f ( x , n ax b ) dx ,
令ax b t
4-2换元积分法(二)(2015)
2
1 4
(1
2
cos
2
x
cos2
2
x)
1 4
(1
2 cos 2 x
1cos 2
4x)
1 4
( 23
2
cos
2
x
1 2
cos
4
x)
cos4x dx
1 4
(
3 2
2
cos
2x
1 2
cos
4x)
dx
3 2
dx
cos2x d(2x)
1 8
cos
4x d(4x)
d F[(x)] f [(x)](x)
dx
F[(x)] C
F (u) C u (x) f (u)du u (x)
第一类换元法 第二类换元法
u ( x)
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常用基本积分公式的补充 (P205)
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被积函数为三角函数的积分公式 (P188 六个)
（02考研）
解: 原式=
ex
ex
(
1 x ex
1
1 x
ex
) d(x ex )
ln x ex ln 1 x ex C
x ln x ln 1 x ex C
分析:
1 xex (1
xex )
1 xe
xex xe x (1 xex
x
)
(x 1)ex dx
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§4.2 换元积分法（第二类）Ⅰ 授课题目（章节）：§4.2 换元积分法 （第二类换元积分法） Ⅱ 教学目的与要求：1.了解第二类换元法的基本思想2.掌握几种典型题的第二类换元积分法解法 Ⅲ 教学重点与难点：重点：第二换元法中的三角代换及根式代换 难点：积分后的结果进行反代换 Ⅳ 讲授内容：第一类换元积分法的思想是：在求积分()g x dx ⎰时, 如果函数g (x )可以化为[()]()f x x ϕϕ'的形式, 那么()()[()]()[()]()()u x g x dx f x x dx f x d x f u du ϕϕϕϕϕ='==⎰⎰⎰⎰()F u C =+[()]F x C ϕ=+所以第一换元积分法体现了“凑”的思想.把被积函数凑出形如[()]()f x x ϕϕ'函数来.对于某些函数第一换元积分法无能为力，例如⎰-dx x a 22.对于这样的无理函数的积分我们就得用今天要学习的第二类换元积分法。
第二类换元的基本思想是选择适当的变量代换)(t x ψ=将无理函数()f x 的积分()f x dx ⎰化为有理式[()]()f t t ψψ'的积分[()]()f t t dt ψψ'⎰。
即()[()]()f x dx f t t dt ψψ'=⎰⎰若上面的等式右端的被积函数[()]()f t t ψψ'有原函数()t Φ，则[()]()()f t t dt t C ψψ'=Φ+⎰,然后再把()t Φ中的t 还原成1()x ψ-，所以需要一开始的变量代换)(t x ψ=有反函数。
定理2 设)(t x ψ=是单调、可导的函数，且0)(≠ψ't ，又设)()]([t t f ψ'ψ有原函数()t Φ，则⎰⎰+ψΦ=+Φ=ψ'ψ=-C x C t dt t t f dx x f )]([)()()]([)(1分析 要证明1()[()]f x dx x C ψ-=Φ+⎰，只要证明1[()]x ψ-Φ的导数为()f x ，1[()]d d dt x dx dt dx ψ-ΦΦ=⋅ ， ?dtdx= 证明 )(t x ψ= 单调、可导，∴()x t ψ=存在反函数)(1x t -=ψ，且)(11t dtdx dx dt ψ'== 11[()][()]()()()d d dt x f t t f x dx dt dx t ψψψψ-Φ'Φ=⋅==' )]([1x -ψΦ∴是)(x f 是一个原函数⎰+ψΦ=-C x dx x f )]([)(1.第二换元法，常用于如下基本类型类型1：被积函数中含有22x a -（0>a ）,可令t a x sin =（并约定(,)22t ππ∈-）则t a x a cos 22=-，tdx a dx cos =，可将原积分化作三角有理函数的积分.例1 求 ⎰-dx x a 22)0(>a解 令t a x sin = ，(,)22t ππ∈-，则t a x a cos 22=- tdt a dx cos =cos cos a ta tdt ∴=⎰22211(cos 2)sin 22224a a a t dt t t C =+=++⎰222sin cos arcsin 222a a a x t t t C C a =++=+. 借助下面的辅助三角形把sin t ，cos t 用x 表示.例2求⎰-dx xx22 4解令tx sin2=，(,)22tππ∈-，则tx cos242=-，tdtdx cos2=2224sin1cos22cos=42cos24t tdx tdt dttx-∴=⋅-⎰⎰⎰=(22cos2)2sin2t dt t t C-=-+⎰222sin cos2arcsin422x xt t t C x C=-+=--+类型2：被积函数中含有)0(22>+axa可令tax tan=并约定(,)22tππ∈-，则taxa sec22=+；tdtadx2sec=；可将原积分化为三角有理函数的积分.例3求⎰+22axdx)0(>a解令tax tan=，)2,2(ππ-∈t，则22secx a a t+=，2secdx a tdt=22sec tdtx a∴=+⎰⎰ln sec tant t C=++22221ln lnx a xC x x a Ca a+=++=+++.例4求⎰+224xxdx解 令t x tan 2=，)2,2(ππ-∈t ，则242sec x t +=，tdt dx 2sec 2=22222sec 4tan 2sec 4t dt t t xx ∴=⋅+⎰⎰1cos 22sin 2cos 1sec 14tan 4t t tt dt dt t ==⎰⎰2221cos 111114sin 4sin 4sin 4sin 4t x dt d t C C t t t +===-⋅+=-⋅+⎰⎰ 例5求⎰+22)9(x dx（分母是二次质因式的平方） 解 令t x tan 3=，则t x 22sec 99=+， tdt dx 2sec 3=222243sec 1cos (9)81sec 27dx t dt tdt x t ==+⎰⎰⎰111(1cos 2)cos 2cos 2254545454254t t t dt tdt td t =+=+=+⨯⎰⎰⎰ 11sin 2sin cos 542545454t t t t t C =+=++⨯ 2113arctan 543549x x C x =+⋅++练习： 求221(25)dx x x -+⎰（第二换元积分法分）解 22222])1(2[)52(-+=+-x x x ，令t x tan 21=- )2,2(ππ-∈t 则222442sec 11(1cos 2)sin cos (25)2sec 161616dx t t dt t dt t t C x x t ==+=++-+⎰⎰⎰21111arctan 162825x x C x x --=+⋅+-+ 类型3 被积分函数中含有22a x - )0(>a ，当a x ≥时，可令t a x sec =，并约定(0,)2t π∈，则t a a x tan 22=-，sec tan dx a t tdt =，当a x -≤时，可令x u -=，则a u ≥，可将原积分化为三角有理函数的积分。
例6 求⎰-22ax dx)0(>a解 被积函数的定义域为),(),(+∞--∞a a ， 当(,)x a ∈+∞时，令t a x sec =，)2,0(π∈t ，则t a a x tan 22=-，tdt t a dx tan sec =有22sec tan sec tan a t tdt tdt a tx a==-⎰⎰⎰22ln(sec tan )ln(x x a t t C C a -=++=++221ln(x x a C =-+.当(,)x a ∈-∞-时，令x u =-，则),(+∞∈a u 有2222112222ln()ln(u u a C x x a C x au a=-=--+=--+-+--2211222222()()x a C C x x ax x a x x a -=+=-+--+----2222211ln()(ln )x x a C x x a C a ---=+=--+- 222ln()x x a C =--+),(),(+∞--∞∈∴a a x 时，C a x x a x dx +-+=-⎰2222ln例7 求⎰-122x xdx解 ),1(+∞∈x 时，令t x sec =,)2,0(π∈t 则t x tan 12=-,tdt t dx tan sec =，有C xx C t tdt dt t t t t x xdx+-=+===-⎰⎰⎰1sin cos tan sec tan sec 12222，)1,(-∞∈x 时，令x u -=，则),1(+∞∈u 有C xx C u u u u du x xdx+-=+--=--=-⎰⎰1111222222∴无论1-<x 或1>x 均有C xx x xdx +-=-⎰11222注意：(1)以上三种三角代换，目的是将无理式的不定积分化为三角有理函数的不定积分(2)在利用第二类换元积分法时将积分的结果还原为x 的函数时，常常用到同角三角函数的关系，一种较简单和直接的方法是作“辅助三角形”(3)在既可用第一换元法也可用第二换元法的时候，用第一换元法就使计算更为简洁.例8 求⎰-22ax x dx)0(>a解法一（用第一换元法）a x >时C x a a xax a d a xa xdx a x x dx +=--=-=-⎰⎰⎰arccos 1)(1)(11222222， a x -<时，令x u -=则a u >C xa a C u a a a u u du a x xdx +-=+=----⎰⎰arccos 1arccos 1)(2222＝ 两式合并C xaa a x x dx+=-⎰arccos 122解法二 （第二换元法）（1）当a x >时，sec x a t =,)2,0(π∈ttan a t =,sec tan dx a t tdt =sec tan sec tan a t t dt a ta t =⎰111arccos t adt C C a a a x==+=+⎰.（2）当a x -<时，令x u -===11arccos arccos a aC C a u a x =+=+- 由(1)(2)两种情况可得C xaa a x x dx +=-⎰arccos 122 Ⅴ 归纳总结1、第二类换元积分法的思想若()f x dx ⎰中的被积函数()f x 为无理函数，可以选择适当的变量代换)(t x ψ=，将无理函数()f x 的积分()f x dx ⎰化为有理式的积分[()]()f t t dt ψψ'⎰.1()()[()]()()[()]x t f x dx f t t dt t C x C ψψψψ-='=Φ+=Φ+⎰⎰2、第二类换元积分法适用的被积函数类型类型1：被积函数中含有22x a -（0>a ）,可令t a x sin =（并约定(,)22t ππ∈-）则t a x a cos 22=-；tdx a dx cos =可将原积分化作三角有理函数的积分.类型2：被积函数中含有)0(22>+a x a 可令 t a x tan = 并约定(,)22t ππ∈-，则t a x a sec 22=+；tdt a dx 2sec = ；可将原积分化为三角有理函数的积分.类型3 被积分函数中含有22a x - )0(>a ，当a x ≥时，可令t a x sec =，并约定(0,)2t π∈，则t a a x tan 22=-，sec tan dx a t tdt =，当a x -≤时，可令x u -=，则a u ≥，可将原积分化为三角有理函数的积分。