§4.2 换元积分法(第二类换元法)
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§4.2 换元积分法（第二类）
Ⅰ 授课题目（章节）：
§4.2 换元积分法 （第二类换元积分法） Ⅱ 教学目的与要求：
1.了解第二类换元法的基本思想
2.掌握几种典型题的第二类换元积分法解法 Ⅲ 教学重点与难点：
重点：第二换元法中的三角代换及根式代换 难点：积分后的结果进行反代换 Ⅳ 讲授内容：
第一类换元积分法的思想是：在求积分()g x dx ⎰时, 如果函数g (x )可以化为[()]()f x x ϕϕ'的形式, 那么
()
()[()]()[()]()
()u x g x dx f x x dx f x d x f u du ϕϕϕϕϕ='==⎰⎰⎰⎰
()F u C =+[()]F x C ϕ=+
所以第一换元积分法体现了“凑”的思想.把被积函数凑出形如
[()]()f x x ϕϕ'函数来.对于某些函数第一换元积分法无能为力，例如⎰-dx x a 22.
对于这样的无理函数的积分我们就得用今天要学习的第二类换元积分法。
第二类换元的基本思想是选择适当的变量代换)(t x ψ=将无理函数()f x 的积分()f x dx ⎰化为有理式[()]()f t t ψψ'的积分[()]()f t t dt ψψ'⎰。即
()[()]()f x dx f t t dt ψψ'=⎰⎰
若上面的等式右端的被积函数[()]()f t t ψψ'有原函数()t Φ，则
[()]()()f t t dt t C ψψ'=Φ+⎰
,然后再把()t Φ中的t 还原成1()x ψ-，
所以需要一开始的变量代换)(t x ψ=有反函数。
定理2 设)(t x ψ=是单调、可导的函数，且0)(≠ψ't ，又设)()]([t t f ψ'ψ有原
函数()t Φ，则⎰⎰+ψΦ=+Φ=ψ'ψ=-C x C t dt t t f dx x f )]([)()()]([)(1
分析 要证明1()[()]f x dx x C ψ-=Φ+⎰，只要证明1[()]x ψ-Φ的导数为()f x ，
1[()]d d dt x dx dt dx ψ-ΦΦ=⋅ ， ?dt
dx
= 证明 )(t x ψ= 单调、可导，∴()x t ψ=存在反函数)(1x t -=ψ，且
)
(11t dt
dx dx dt ψ'== 11[()][()]()()()
d d dt x f t t f x dx dt dx t ψψψψ-Φ'Φ=⋅==' )]([1x -ψΦ∴是)(x f 是一个原函数⎰+ψΦ=-C x dx x f )]([)(1.
第二换元法，常用于如下基本类型
类型1：被积函数中含有22x a -（0>a ）,可令t a x sin =（并约定
(,)22
t ππ
∈-
）则t a x a cos 22=-，tdx a dx cos =，可将原积分化作三角有理函数的积分.
例1 求 ⎰-dx x a 22
)0(>a
解 令t a x sin = ，(,)22
t ππ
∈-，则t a x a cos 22=- tdt a dx cos =
cos cos a ta tdt ∴=⎰22
2
11(cos 2)sin 22224
a a a t dt t t C =+=++⎰
222
sin cos arcsin 222a a a x t t t C C a =++=+. 借助下面的辅助三角形把sin t ，cos t 用x 表示.
例2求⎰
-
dx x
x
2
2 4
解令t
x sin
2
=，(,)
22
t
ππ
∈-，则t
x cos
2
42=
-，tdt
dx cos
2
=
22
2
4sin1cos2
2cos=4
2cos2
4
t t
dx tdt dt
t
x
-
∴=⋅
-
⎰⎰⎰
=(22cos2)2sin2
t dt t t C
-=-+
⎰
2
22sin cos2arcsin4
22
x x
t t t C x C
=-+=--+
类型2：被积函数中含有)0
(
2
2>
+a
x
a可令t
a
x tan
=并约定
(,)
22
t
ππ
∈-，则t
a
x
a sec
2
2=
+；tdt
a
dx2
sec
=；可将原积分化为三角有理函数的积分.
例3求⎰
+2
2a
x
dx
)0
(>
a
解令t
a
x tan
=，)
2
,
2
(
π
π
-
∈
t，则22sec
x a a t
+=，2
sec
dx a tdt
=
22
sec tdt
x a
∴=
+
⎰⎰ln sec tan
t t C
=++
22
22
1
ln ln
x a x
C x x a C
a a
+
=++=+++.
例4求⎰
+2
24x
x
dx