力对点的矩与力对轴的矩

x
rOA投影（A点坐标）：x、y、z rOA = x i +y j +z k
F 投影：Fx、Fy、Fz F =Fx i +Fy j +Fz k
i jk MO( F ) = rOA×F x y z
Fx Fy Fz
i jk MO( F ) = rOA×F x y z
Fx Fy Fz
yFz zFy i zFx xFz j xFy yFx k
力对某轴之矩，等于力在垂直于该轴的平 面上的分力对该轴与此平面交点的矩。
§2.5 力对轴之矩
一、力对轴之矩的概念
z
F
Fz
O
xy d
Fxy
Mz ( F ) =Fxy.d ★:注意
①力对轴之矩是代数量,正负由右手 螺旋法则确定;
②力作用线与轴平行或相交(即力 与轴共面)时,力对该轴矩为零;
③力沿其作用线移动时,它对轴之 矩不变。
对于平面汇交力系，各力对力系平面内任一点的矩矢量共 线，因此可看作代数量。
此时合力之矩等于各分力之矩的代数和。
MO( FR ) =Σ MO( Fi )
a O
b Fh
F
α
Fv
例：求力 F 对 O 的矩。
解：将力 F 沿水平垂直方向分解 则 MO( F ) =Σ MO( Fi ) = MO( Fv ) + MO( Fh )
{ F1、F2、F3、F4 }
O
F3
F5
F2
F4
F1
{ F1、F2、F4、F5 }
空间力系中，各力作用线与矩心所确定的力矩平面不再重合
空间力系中，力对矩心的矩取决于三方面（要素）
①力矩的大小（F.d） ②力矩平面在空间中的方位（法线方位） ③力矩平面内，力使物体绕矩心的转向
——需用矢量表示空间力系中力对点的矩
——力对点矩矢量的解析表达式
力对点的矩矢量在 x、y、z 轴上的投影 [MO( F )]x = yFz - zFy [MO( F )]y = zFx - xFz [MO( F )]z = xFy - yFx
§2.4 力对点的矩
三、汇交力系合力之矩定理
n
对于由n个力组成的汇交力系 FR F1 F2 Fn Fi Fi i 1 MO( FR ) = rOA×FR = rOA×ΣFi =∑（rOA×Fi） =ΣMO( Fi ) 汇交力系的合力对任一点的力矩矢量，等于力系中各分 力对同一点的力矩矢量的矢量和。 ——汇交力系合力之矩定理
0 Fsin a2 b2 Fsin a2 b2
§2.5 力对轴之矩
一、力对轴之矩的概念
z
F
Fz
O
xy d
Fxy
过力 F 的始端做垂直力的平面 xy 将力 F 分解
Fz∥z 轴 Fxy⊥z 轴
定义： Fxy 对 O 点之矩为力 F 对 z 轴之矩：Mz ( F )
即 Mz ( F ) = MO ( Fxy ) =Fxy .d
MO（F）
O
①过矩心作垂直于力矩平面的矢量， 其长度表示力矩的大小
②矢量的方向表示力矩平面的法线方向
F
③矢量的指向按右手螺旋法则确定
空间力系中力对点的矩矢量 MO（F）
z MO（F）
B
rOA
F A
O
y
d
|MO( F ) |= F.d =2S∆OAB
定义矢量 rOA
MO( F ) = rOA×F
空间力系中，力对点的矩矢量 等于力始点相对于矩心的矢量 与力矢量的矢量积
MO (F )=[Mx ( F )] i + [My ( F )] j + [Mz ( F )] k
§2.5 力对轴之矩
二、力对点之矩与力对过该点的轴之矩的关系
z Fz
O′
A
O Fxz yFra bibliotekB F
Fy
Fxy y
x
A点坐标：x、y、z F 投影：Fx、Fy、Fz 力F 对 oz 轴的矩为 Mz ( F ) = MO′ ( Fxy )
= MO′ ( Fx ) + MO′ ( Fy ) = -Fx.y + Fy .x
x
同理力F 对 ox 轴的矩为 = -Fy.z + Fz .y
力F 对 oy 轴的矩为 = -Fz.x + Fx .z
§2.5 力对轴之矩
二、力对点之矩与力对过该点的轴之矩的关系
z Fz
A点坐标：x、y、z F 投影：Fx、Fy、Fz
B
O′
F
Mx (F )= yFz – zFy
A O Fx
zx
Fy
Fxy y
My (F )= zFx - xFz Mz (F )= xFy - yFx.
y
力F 对 O 点之矩矢量的解析表达式
x
MO (F )=( yFz – zFy) i + ( zFx – xFz) j +( yFz – zFy) k
力对某点矩矢量在通过该点的任一轴上的投影等于力对该轴的矩
[MO( F )]x = Mx ( F ) [MO( F )]y = My ( F ) [MO( F )]z = Mz ( F )
一、平面力系中力对点的矩
标量
★注意
O
B
d
F
A
1. 矩心不一定要选为物体可以绕之转动的固定点。 2. 力为0或力作用线过矩心时，力矩为0。 3. 力沿其作用线滑动时，力矩值不变。 4. 必须指明矩心，力矩才有意义。
§2.4 力对点的矩
二、空间力系中力对点的矩
平面力系中，各力作用线与矩心所确定的力矩平面是重合的
§2.4 力对点的矩
一、平面力系中力对点的矩
标量
O
B
d
F
A
定义：力 F 的大小×点 O 到 F 作用线的距离 d，加 以适当的正负号，为力F 对 O 点的矩。
MO（F）=F.d
O为力矩中心，简称矩心
=2S∆OAB
力与矩心确定的平面称为力矩平面
规定：力使物体绕矩心有逆时针转动趋势时力矩为正
§2.4 力对点的矩