最新高中数学数列求和练习题
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1.数列a 1＋2，…，a k ＋2k ，…，a 10＋20共有十项，且其和为240，则a 1＋…＋a k ＋…＋a 10之值为
( )
A ．31
B ．120
C ．130
D ．185 解析：a 1＋…＋a k ＋…＋a 10＝240－(2＋…＋2k ＋…＋20)＝240－(2＋20)×102＝240－110＝130.
答案：C
2．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝2n －12n ，其前n 项和S n ＝321
64，
则项数n 等于 ( )
A ．13
B ．10
C ．9
D ．6 解析：∵a n ＝1－1
2
n ，
∴S n ＝(1－12)＋(1－14)＋(1－18)＋…＋(1－1
2n )
＝n －(12＋14＋18＋…＋1
2n )
＝n －12[1－(12)n ]1－
12
＝n －1＋12n ，
由S n ＝32164＝n －1＋1
2n ，
观察可得出n ＝6. 答案：D
3．已知数列{a n }中，a 1＝2，点(a n －1，a n )(n >1，且n ∈N *)满足
y ＝2x －1，则a 1＋a 2＋…＋a 10＝________.
解析：∵a n ＝2a n －1－1，∴a n －1＝2(a n －1－1) ∴{a n －1}为等比数列，则a n ＝2n －1＋1， ∴a 1＋a 2＋…＋a 10＝10＋(20＋21＋…＋29) ＝10＋1－210
1－2＝1 033.
答案：1 033
4.设函数f ()＝m ＋的导函数′(x )＝2x ＋1，则数列
{
1
f (n )}(n ∈N *)的前n 项和是 ( ) A.
n n ＋1
B.
n ＋2n ＋1
C.
n
n －1
D.
n ＋1n
解析：f ′(x )＝mx m －1＋a ＝2x ＋1，∴a ＝1，m ＝2， ∴f (x )＝x (x ＋1)，
1
f (n )＝1
n (n ＋1)＝1
n －1
n ＋1，用裂项法求和得S n ＝n
n ＋1. 答案：A 5．数列a n ＝
1
n (n ＋1)
，其前n 项之和为9
10
，则在平面直角坐标系
中，直线(n ＋1)x ＋y ＋n ＝0在y 轴上的截距为 ( )
A ．－10
B ．－9
C ．10
D ．9
解析：数列的前n 项和为
1
1×2＋1
2×3＋…＋1
n (n ＋1)＝1－1
n ＋1＝n n ＋1＝9
10， 所以n ＝9，
于是直线(n ＋1)x ＋y ＋n ＝0即为10x ＋y ＋9＝0， 所以在y 轴上的截距为－9. 答案：B
6．在数列{a n }中，a n ＝
1n ＋1＋2n ＋1＋…＋n n ＋1，又b n ＝2
a n ·a n ＋1
，
求数列{b n }的前n 项的和． 解：由已知得：a n ＝
1
n ＋1(1＋2＋3＋…＋n )＝n
2， b n ＝2
n 2·n ＋12
＝8(1
n －1n ＋1
)，
∴数列{b n }的前n 项和为
S n ＝8[(1－12)＋(12－13)＋(13－14)＋…＋(1n －1n ＋1)]
＝8(1－1
n ＋1)＝8n
n ＋1.
7.求和：S n ＝1a ＋2a 2＋3a 3＋…＋a
n .
解：当a ＝1时，S n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)
2
；
当a ≠1时，S n ＝1a ＋2a 2＋3a 3＋…＋n
a
n ，
1
a S n ＝1a 2＋2a 3＋3a 4＋…＋n －1a n ＋n
a
n ＋1， 两式相减得，(1－1
a )S n ＝1
a ＋
1a
2
＋1a
3
＋…＋
1a n
－
n a n ＋1
＝
1a [1－(1a
)n ]
1－
1a
－
n
a n ＋1
，
即S n ＝
a (a n －1)－n (a －1)
a n (a －1)2
，
∴S n
＝⎩
⎪⎨
⎪⎧
n (n ＋1)2，a ＝1，a (a n
－1)－n (a －1)
a n
(a －1)2
，a ≠1.
8．(2010·昌平模拟)设数列{a n }满足a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －
1
a n ＝n
3
，n ∈N *.
(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)设b n ＝n
a n
，求数列{b n }的前n 项和S n .