第二章第五讲 平均数专题

基本平均数问题

局部平均数求总平均（加权平均）

平均速度

平均数问题在我们的日常生活中经常遇到的。例如，为了比较六（1）班和六（2）班在期中考试中，哪个班考得更好一些，我们可以计算出每个班的平均分数，平均分数高的班通常就被认为考得好些。又如，通过计算两辆汽车行驶的平均速度，来比较这两辆汽车的快慢。求平均分数、平均速度、平均身高等，都是求平均数。

求平均数，要知道两个条件：被平均分的事物的总数量和平均分的总分数。用总数量除以相应的总份数，就可以求出平均数。即：

平均数=总数量÷总份数

由这个基本数量关系式，可以得出：

总数量=平均数×总份数

总份数=总数量÷平均数

求平均速度时一定要注意

平均速度=总路程÷总时间，其中总时间指的是行驶过程中消耗的所有时间，包括休息时间。

例1. 五（1）班第一小组7个同学测量身高，有两个同学的身高都是153厘米，有一个同学的身高是152厘米，有两个同学的身高是149厘米，还有两个同学和身高是147厘米。这个小组同学的平均身高是多少厘米？

解析：这是最基础的平均数问题，直接根据“平均数=总数量÷总份数”可得出结果。

解：（153×2＋152＋149×2）÷5=151.2（厘米）

答：这个小组同学的平均身高是151.2厘米。

平均数问题中，在我们计算总数时由于数据较多，计算比较麻烦，在此我们介绍一种简便方法：取基准数法（详见《第一章计算篇》）。

例如，在本题中，各个数据都比较接近150，因此取150作为基准数，然后各个数据与基准数比较，“多加少减”，则总数为150×5＋（3＋3＋2－1－1），平均数=[150×5＋（3＋3＋2－1－1）]÷5=150＋（3＋3＋2－1－1）÷5。由此我们还可以得出

平均数=基准数＋“零头”之和÷总份数（零头指的是各个数据比基准数多或少的部分，零头之和采用的的多加少减的原则求和，如本题中的（3＋3＋2－1－1））。

例2. 小红上学期共参加数学测试五次，前两次的平均分数是93分，后三次的平均分数是88分。小红这五次测试的平均分数是多少？

解析：对于知道局部平均数要求总平均数的问题，通常我们采用局部先汇总，再总体求和算出总数进而求解的方法。

解：（93×2＋88×3）÷5=90（分）

答：小红这五次测试的平均分数是90分。

在此我们介绍另外一种求法：加权平均，即计算出每一个部分在总体中所占的比重（通常是各部分的分数占总份数的比重），然后再用各部分的平均值乘比重求和就是总体平均数了。

例如，在本题中，一共5次测试，则前两次所占的比重为52，后三次所占的比重为5

3，故平均数为905

3885293=⨯+⨯（分）。

例3. 小明前五次数学测试的平均成绩是88分。为了使平均成绩达到92.5分，小明要连续考多少次满分？（每次测验的满分是100分）

解析：列方程求解会比较方便一些。（学习浓度问题时我们再介绍另外的方法：浓度三角） 解：设要连续考x 次满分，由题意可得

()x x +⨯=+⨯55.92100588，解得

3=x

答：小明要连续考3次满分。

例4. 求下列两组数据的平均数

○

11993，1995，1997，1999,2001,2003，2005 ○

21993，1995，1997，1999,2001,2003，2005，2007,2009,2011 解：○1（1993＋1995＋1997＋1999＋2001＋2003＋2005）÷7=1999

○

2（1993＋1995＋1997＋1999＋2001＋2003＋2005＋2007＋2009＋2011）÷10=2002

观察两组数据的平均数，我们会发现：奇数个连续数（前后了两项的差值相等）的平均数为这组数据的中间数；偶数个连续数（前后了两项的差值相等）的平均数为这组数据中间两数的平均数。

例5. 一辆汽车从甲地开往乙地，每小时行20千米。到达乙地后，又从乙地沿原路返回甲地，每小时行30千米。这辆汽车往返甲、乙两地的平均速度是多少？

解析：求平均速度的问题，需要知道总路程和总时间，然后利用平均速度=总路程÷总时间进行求解。本题并未告诉总路程是多少，想到来回路程一样，并且为了计算方便，我们可以假设从甲地到乙地的路程为60千米。

解：假设甲地到乙地的路程为60千米，则有

60×2÷（60÷20＋60÷30）=24（千米/小时）

答：平均速度为24千米/小时。

点评：求平均速度的问题切记不能用两个速度相加除以2。

本题还可以用加权平均来求。根据路程一定，时间和速度成反比可知，去和回的时间之比为

3:2，即去的速度所占比重为5

3，回的速度所占比重为52，故平均速度为 245

2305320=⨯+⨯（千米/小时）。

例6. A ，B ，C ，D 四个自然数，两两相配可配成不同的六对。分别求出每对数的和，这六个和从小到大排列是24，26，30，34，38，40。A ，B ，C ，D 四个数的平均数是多少？

解析：四个自然数两两配成不用的6对，则每个自然数被用了3次，即所有对数的和为四个自然数和的3倍。

解：（24＋26＋30＋34＋38＋40）÷3÷4=16

答：A ，B ，C ，D 四个数的平均数是16。

真题解读

【2009年云大附中】某登山队上午8:00从一座山的山脚开始登山，速度为2千米/小时，中午12:00到达山顶，下午14:00从山顶开始下山，原路返回，速度为4千米/小时，下午16:00回到山脚，则登山队上山、下山的平均速度是_________千米/小时。

解析：上山时间为12－8=4小时，下山时间为16－14=2小时，假设上山路程为4千米，则平均速度为4×2÷（4÷2＋4÷4）=3

22（千米/小时）。 注：本题问的是“上山、下山的平均速度”，故在山顶休息的两小时不算在内，倘若问的是“从登山到回到山脚的平均速度”则需要考虑中间休息时间。

【2011年师大实验】有甲乙丙丁四个数，已知甲、乙、丙三个数的平均数是32，丁是44，这四个数的平均数是（ ）

A. 33

B. 34

C. 35

D. 36

解析：（32×3＋44）÷4=35，答案选C 。

【2011年白塔中学】某班同学数学考试平均成绩为91.5分，事后复查发现计算成绩时将一位同学的98分误作89分计算了，重新计算后，全班的平均分是91.7分，那么这个班有多少名学生？