数学竞赛中的条件最值问题

-
x)
> 0.
故函数 f ( x)
=
sin x
x在
π 0,2
上递减.
而
g ( x)
= sin
x在
π 2
π,
上递减 ,因此 ,
f ( x)
=
sin x
x在
π 2
π,
上也递减.
又 0 < (1 - y) x ≤x ≤π,所以 ,
sin x
x
≤sin (1 (1 -
- y) x y) x
,
即 sin
x
≤sin (1 1-
∑ ≥
( b2 + c2 - a2 ) 2 4 b2 c2 + ( b2 + c2 ) ( b2 + c2 -
a2) .
①
设 ui > 0 , vi > 0 ( i = 1 ,2 ,3) .
由柯西不等式得
3
∑2 ui =
i =1
∑ ∑ ∑ 3
i =1
ui · vi
vi
≤ · 2
3 u2i i = 1 vi
易知 1 -
ac
≠0.
于是
,有
b
=
a+ c 1 - ac
.
由此结构联想到两角和的正切公式 ,因
而作正切代换.
令 a = tan α, b = tan β, c = tan γ,α、β、γ
∈
0
π ,2
.则
tan
β=
tan α+ tan γ 1 - tan α·tan γ
=
tan
(α+
γ)
.
又 β、α+γ∈(0 π, ) ,则 β=α+γ. 从而 ,
1 4
,
n 为偶数 ;
n2 4
n2
1
,
n
为奇数.
注 :此法通常适用于条件和结论都是关于
x1 , x2 , …, xn 的对称式.
5 换元法
求条件最值问题常用的代换有 :整体代换、 比值代换、三角代换等. 需要注意的是 ,应根据 所给问题的特点 ,选取适当的代换.
例 5 设 a 、b、c 为正实数. 求
≤2sin γ+ 3 (1 - sin2γ)
2006 年第 12 期
=
10 3
-
3
sin γ-
1 3
2
≤10 3
.
当且仅当
α+
β=
π 2
,
sin
γ
=
1 3
,即
a=
2 2
,
b
=
2
,c =
2时 4
,
Pmax
=
10 3
.
6 利用重要不等式
在求条件最值时 ,往往应用一些重要不 等式 (如均值不等式 、柯西不等式等) . 要特别 注意 ,等号是否成立 ,否则容易导致错误.
2 配方法
先将所给函数表达式 (或隐函数方程) 配 成若干 个 平 方 式 及 一 些 常 数 的 代 数 和 的 形
式 ,然后再求最值. 例 2 试求函数 f ( x , y) = 6 ( x2 + y2 ) ·
( x + y) - 4 ( x2 + xy + y2 ) - 3 ( x + y) + 5 在 区域 A = { ( x , y) | x > 0 , y > 0}上的最小值.
y) y
x.
11
注意到 (1 - y) 2 = 1 - 2 y + y2 ≥1 - 2 y > 0 ,
则sin (1 1-
y) y
x
≤1 1-
y 2y
sin
(1
-
y) x ,
sin
x
≤1 1-
y 2y
sin (1
-
y) x.
故 (2 y - 1) sin x + (1 - y) sin (1 - y) x ≥0 ,
方法 ,由数想形 ,直观转化 ,有时容易奏效.
例 1 已知 a 、b 是正实数 ,方程
x2 + ax + 2 b = 0 与 x2 + 2 bx + a = 0
都有实数根. 求 a2 + b2 的最小值.
讲解 :由于所给方程均有实根 ,故得约束
条件
a2 - 8 b ≥0 ,
①
b2 - a ≥0 ,
≤sin x +δcos x .
故sin
x
x
-
sin ( x +δ) x +δ
=源自文库
(
x
+δ) sin x - xsin ( x ( x +δ)
x
+δ)
≥( x +δ) sin
x - x (sin x ( x +δ)
x +δcos
x)
=
δsin
x
x (
x
δxcos +δ)
x
=
δcos
x (tan x x ( x +δ)
a +3c a +2b +
c
+a
4b + b +2c
-
8c a + b +3c
的最小值.
(2004 ,女子数学奥林匹克)
讲解 :作整体代换.
令 a +2b + c = x , a + b + 2c = y , a + b +
3c = z ,则
a +3c =2y - x ,b = x + z - 2y ,c = z - y.
= b2 + c2 - a2 ,
即
x
=
b2
+ c2 2 bc
a2 .
同理 , y =
a2 + c2 2 ac
b2 , z =
a2 + b2 2 ab
c2 .
用 ∑表示循环求和. 于是 ,有
∑ f ( x , y , z) =
x2 1+ x
∑ =
( b2 + c2 - a2 ) 2 4 b2 c2 + 2 bc ( b2 + c2 - a2 )
2
.
由于 f 是 x1 在[ a , a + 1 ]上的二次函数 ,
二次项系数 1
n
-
1 n2
>0
,所以
,
f ≡f ( x1 , x2 , …, xn )
≤max{f ( a , x2 , …,xn ) ,f ( a + 1 , x2 , …, xn ) }.
同理 ,由对称性得
12
f ( x1 , x2 , …, xn )
=
2x,
z = 2 x 时 ,上式等号成立.
由 a + b + 2 c = 2 ( a + 2 b + c) ,得 a + b + 3 c = 2 ( a + 2 b + c) ,
b = (1 + 2) a ,
c = (4 + 3 2) a.
故对任意正实数 a , 当 b = (1 + 2) a ,
≥0 ,当
x
= 0 时 ,等号成立.
当 0 ≤y <
1 2
,且
x = 0 时 ,f ( x , y)
= 0.
下面考虑 0 ≤y <
1 2
,0 <
x ≤π的情形.
对于任意
0
<
x
<
x
+δ<
π 2
,有
tan x > x > sin x ,
且 sin ( x +δ) = sin x·cos δ+ cos x·sin δ
10
中等数学
数学竞赛中的条件最值问题
江厚利
(安徽省安庆市第一中学 ,246003)
(本讲适合高中) 条件 最 值 问 题 是 数 学 竞 赛 中 的 热 点 之
一. 解这类问题涉及的知识面较广 ,且技巧性 较强. 本文通过例题介绍求多元函数条件最 值的常用方法和技巧.
1 数形转换
在求条件最值时 ,利用数形结合的思想
P
=
1
+
2 tan2α
-
1
+
2 tan2β
+
1
3 + tan2γ
= 2cos2α- 2cos2 (α+ γ) + 3cos2γ
= (cos 2α+ 1) - [cos(2α+ 2γ) + 1] + 3cos2γ
= 2sin γ·sin (2α+γ) + 3cos2γ
= 2sin γ·sin (α+β) + 3cos2γ
中等数学
故
a
a +3c +2b +
c
+
a
+
4b b+
2
c
-
8c a + b +3c
=
2
y
x
x
+
4(
x
+
z y
-
2 y)
-
8(z z
y)
=
-
17
+
2y x
+
4x y
+
4z y
+
8y z
≥- 17 + 2 8 + 2 32 = - 17 + 12 2.
当且仅当2 y
x
=
4x y
,
4z y
=
8y z
,即
y
例 7 设正数 a 、b 、c 、x 、y 、z 满足
cy + bz = a , az + cx = b , bx + ay = c.
求函数
f(x
,y
, z)
=
1
x2 +
x
+
1
y2 +
y
+
1
z2 +
z
的最小值.
(2005 ,全国高中数学联赛)
讲解 :由条件得
b ( az + cx) + c ( bx + ay) - a ( cy + bz)
当 n = 1 时 , f = 0 ,显然 , f max = 0.
当 n > 1 时 ,若固定 x2 , x3 , …, xn ,则有
n
∑ f = y -
x2 =
1 n
j=1
x2j -
∑n
1 n
j=1
xj
2
∑ =
1 n
-
1 n2
x21
-
2 x1 n2
n j=2
xj
+
n
∑ 1
n
j=2
x2j
-
∑n
1 n j = 2 xj
主元 (其余变量暂时固定) ,依次求出这些一
元函数的最值 ,进而求出多元函数的最值.
例 4 设 x1 , x2 , …, xn 取值于某个长度
n
n
∑ ∑ 为 1 的区间. 记
x
=
1 n
j=1
xj
,y
=
1 n
j=1
x2j . 求
函数 f = y - x2 的最大值.
讲解 :设 x1 , …, xn ∈[ a , a + 1 ] ( a ∈R) .
≤
xi
max {f
∈{ a , a + 1}
(
x1
, x2
, …, xn ) }
(1 ≤i
≤n) .
令 b = a + 1 ,设 x1 , x2 , …, xn 中有 s 个
xi = a , n - s 个 xi = b. 则
max {f
xi ∈{ a , b}
( x1
, x2
,
…, xn ) }
= 1 [ sa2 + ( n - s) b2 ] n
②
a > 0 , b > 0.
③
求 a2 + b2 的最小值 ,用代数方法显然比
较棘手 ,于是 ,考虑数形转化.
如图 1 ,作出抛物线 a2 = 8 b ( a > 0) 的右
半支 ,再作出抛物线
b2 = a ( b > 0) 的上半
支,两图像交点为
M (4 ,2) . 于是 , 满足
式 ①、②、③ 的 点
讲解 :若 x + y ≤1 ,则
xy
≤1 4
(x
+
y) 2
≤1 4
.
故 f ( x , y)
= 6 ( x3 + y3 ) + 6 xy ( x + y) - 4 xy -
4 ( x2 + y2 ) - 3 ( x + y) + 5
=6
xy -
1 4
( x + y - 1) + (6 x + 1) ·
P ( a , b) 在图 1 所示
图1
的阴影区域 G(含边界) 上.
而 a2 + b2 表示点 P ( a , b) 与原点 O 的
距离的平方 ,易知 ,当 a = 4 , b = 2 时 ,
( a2 + b2 ) min = | OM| 2 = 20.
收稿日期 :2006 - 03 - 08 修回日期 :2006210210
x-
1 2
2
+ (6 y + 1)
y-
1 2
2
+
( x + y - 1) 2 + 2
≥2.
当且仅当
x
=
y
=
1 2
时
,上式等号成立.
若 x + y > 1 ,则
x2
+
y2
≥1 2
(x
+
y) 2
>
1 2
.
故 f ( x , y)
=6
x2 + y2 -
1 2
( x + y - 1) + 2( x - y)2 + 2
3
vi ,
i =1
3
∑3
即
u2i ≥
i = 1 vi
∑ui
i =1 3
∑vi
2
.
i =1
当且仅当
u1 v1
=
u2 v2
=
u3 v3
时
,上式等号成立.
13
∑ 故
( b2 + c2 - a2 ) 2 4 b2 c2 + ( b2 + c2 ) ( b2 + c2 - a2 )
c = (4 + 3 2) a 时 ,原式取最小值 - 17 + 12 2. 例 6 设 a 、b 、c 为正实数 ,且 abc + a +
c = b. 试确定
P=
2 a2 + 1
-
2 b2 + 1
+
c2
3 +
1
的
最大值.
(1999 ,越南数学奥林匹克)
讲解 :由题设有 a + c = (1 - ac) b.
例 3 设 0 ≤x ≤π,0 ≤y ≤1. 试求函数
f ( x , y) = (2y - 1) sin x + (1 - y) sin(1 - y) x 的最小值.
讲解 :易知 ,对一切 0 ≤x ≤π,有 sin x ≥0 ,sin (1 - y) x ≥0.
于是
,当
1 2
≤y ≤1 时 , f ( x , y)
1 n
( sa +
(n-
s)
b)
2
=
1 n2
s(n
-
s) ( b -
a) 2
=
1 n2
s(n
-
s)
≤
1 4
,
n 为偶数 ;
n2 4
n2
1
,
n
为奇数.
当且仅当 x1 , x2 , …, xn 中有
n + 1 个取 2
a (或 a + 1) ,其余的取 a + 1(或 a) 时 ,上式等号
成立.
故 f max =
> 2. 综上所述 ,对任意 ( x , y) ∈A ,有 f ( x , y) ≥2.
当且仅当
x
=
y
=
1 2
时
,
f
(
x
, y) min
= 2.
注 :配方时要兼顾各个变量 ,还要与因式
2006 年第 12 期
分解法结合使用.
3 利用函数的单调性
先将多元函数转化为一元函数 ,然后利 用函数的单调性来确定最值.
即 f ( x , y) ≥0.
当 y = 0 时 ,等号成立.
综上 ,当 x = 0 或 y = 0 时 ,
f ( x , y) min = 0.
注 :也可利用求导数方法结合 tan x > x ,
x∈
π 0,2
来判断函数
f ( x)
=
sin x 在
x
π 0,2
上的单调性.
4 主元素法
求多元函数最值时 ,可任选一个变量作