计算题标准练(六)

计算题标准练(六)

1.(12分)如图所示,光滑绝缘水平桌面上固定有一半径为R 、关于OB 所在直线对称的圆弧形光滑绝缘轨道ABC,在桌面内加一沿OB 方向、场强大小为E 的水平匀强电场,现将一质量为m 、带电量为+q 的绝缘小球从轨道左侧某位置以垂直OB 所在直线的初速度v 0推出,小球在电场的作用下恰好从A 点沿圆弧轨道切线方向进入圆弧轨道(已知OA 与垂直OB 的直径之间的夹角为θ),并最终从C 点离开圆弧轨道,试求:

(1)小球推出点距O 点沿电场方向的距离; (2)小球经过B 点时对轨道的压力大小。

【解析】(1)设小球从推出点到A 点所用时间为t,从推出到A 的过程中,沿电场方向匀加速直线运动,有 qE=ma

(1分)

x=12

at 2

(1分) v x =at

(1分)

在A 点时,由速度方向关系有 tanθ=

v 0v x

(1分)

联立解得x=

mv 0

22qEtan θ

(1分)

推出点到O 点沿电场方向的距离为

L=

mv 0

22qEtan θ

+Rsinθ (1分)

(2)小球过A 点时,有 v A sinθ=v 0

(1分)

从A 到B,由动能定理,有 qER (1

+

sinθ)=1

2m v B 2

-12

m v A 2

(2分)

在B 点,对小球,有

F N -qE=m

v B 2R

(1分)

则由牛顿第三定律,有小球对轨道的压力为 F′N =F N (1分)

联立解得F N ′=

mv 02Rsin 2θ

+qE (3+2sinθ)

(1分)

答案:(1)

mv 0

22qEtan θ

+Rsinθ

(2)

mv 0

2Rsin 2θ

+qE (3

+2sinθ)

2.(20分)在相互平行且足够长的两根水平光滑的硬杆上,穿着三个半径相同的刚性球A 、B 、C,三球的质量分别为m A =1 kg 、m B =2 kg 、m C =6 kg,初状态BC 球之间连着一根轻质弹簧并处于静止,B 、C 连线与杆垂直并且弹簧刚好处于原长状态,A 球以v 0=9 m/s 的速度向左运动,与同一杆上的B 球发生完全非弹性碰撞(碰撞时间极短),求:

(1)A 球与B 球碰撞过程中损耗的机械能; (2)在以后的运动过程中弹簧的最大弹性势能;

(3)在以后的运动过程中C 球的最大速度。

【解析】(1)A 、B 发生完全非弹性碰撞,根据动量守恒定律,得 m A v 0=(m A +m B )v 1 (2分)

碰后A 、B 的共同速度为

v 1=

m A m A +m B

v 0=3 m/s (1分)

损失的机械能为

ΔE=1

2m A v 02-12

(m A +m B )v 12

(2分)

解得ΔE=27 J

(1分)

(2)A 、B 、C 系统所受合外力为零,动量守恒,机械能守恒,三者共速时弹簧弹性势能最大: (m A +m B )v 1=(m A +m B +m C )v 2 (2分)

解得v 2=

m A +m B

m A +m B +m C

v 1=1 m/s

最大弹性势能为

E pm =1

2(m A +m B )v 12-12

(m A +m B +m C )v 22

(2分)

解得E pm =9 J(2分)

(3)三者第一次有共同速度时,弹簧处于伸长状态,A 、B 在前,C 在后。此后C 向左加速,A 、B 的加速度沿杆向右,直到弹簧恢复原长,弹簧第一次恢复原长时,取向左为正方向,根据动量守恒定律,得

(m A +m B )v 1=(m A +m B )v 3+m C v 4 (3分)

根据机械能守恒定律,得

1

2(m A +m B )v 12=12(m A +m B )v 32+12

m C v 42 (3分)

此时A、B的速度为

v3=m A+m B-m C

m A+m B+m C v1=-1 m/s

C的速度为

v4=

2(m A+m B)

m A+m B+m C v1=2 m/s (2分)

答案:(1)27 J(2)9 J(3)2 m/s