2021版高考数学一轮复习第六章数列第2讲等差数列及其前n项和练习理北师大版

第2讲 等差数列及其前n 项和

[基础题组练]

1．(一题多解)(2019·高考全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知S 4＝0，a 5

＝5，则( )

A ．a n ＝2n －5

B ．a n ＝3n －10

C ．S n ＝2n 2

－8n

D ．S n ＝12

n 2

－2n

解析：选A.法一：设等差数列{a n }的公差为d ，

因为⎩⎪⎨⎪

⎧S 4＝0，a 5＝5，所以⎩⎪

⎨

⎪⎧4a 1＋4×3

2d ＝0，

a 1＋4d ＝5，

解得⎩⎪⎨

⎪⎧a 1＝－3，d ＝2，

所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝－3＋2(n －

1)＝2n －5，S n ＝na 1＋

n （n －1）

2

d ＝n 2－4n .故选A.

法二：设等差数列{a n }的公差为d ，

因为⎩⎪⎨⎪⎧S 4＝0，a 5＝5，所以⎩⎪

⎨

⎪⎧4a 1＋4×3

2d ＝0，

a 1＋4d ＝5，

解得⎩

⎪⎨⎪⎧a 1＝－3，

d ＝2.

选项A ，a 1＝2×1－5＝－3；

选项B ，a 1＝3×1－10＝－7，排除B ； 选项C ，S 1＝2－8＝－6，排除C ； 选项D ，S 1＝12－2＝－3

2

，排除D.故选A.

2．(一题多解)(2020·沈阳质量监测)在等差数列{a n }中，若S n 为前n 项和，2a 7＝a 8＋5，则S 11的值是( )

A ．55

B ．11

C ．50

D ．60

解析：选A.通解：设等差数列{a n }的公差为d ，由题意可得2(a 1＋6d )＝a 1＋7d ＋5，得

a 1＋5d ＝5，则S 11＝11a 1＋

11×10

2

d ＝11(a 1＋5d )＝11×5＝55，故选A. 优解：设等差数列{a n }的公差为d ，由2a 7＝a 8＋5，得2(a 6＋d )＝a 6＋2d ＋5，得a 6＝5，所以S 11＝11a 6＝55，故选A.

3．(一题多解)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 4＋a 5＝24，S 6＝48，则{a n }的公差为( )

A ．1

B ．2

C ．4

D ．8

解析：选C.法一：等差数列{a n }中，S 6＝（a 1＋a 6）×6

2＝48，则a 1＋a 6＝16＝a 2＋a 5，

又a 4＋a 5＝24，所以a 4－a 2＝2d ＝24－16＝8，得d ＝4，故选C.

法二：由已知条件和等差数列的通项公式与前n 项和公式可列方程组，得⎩

⎪⎨⎪

⎧2a 1＋7d ＝24，6a 1＋6×5

2d ＝48， 即⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋7d ＝24，2a 1＋5d ＝16，解得⎩

⎪⎨⎪⎧a 1＝－2，d ＝4，故选C. 4．(2020·焦作市统一模拟考试)《九章算术》是我国古代第一部数学专著，全书收集了246个问题及其解法，其中一个问题为“现有一根九节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面四节容积之和为3升，下面三节的容积之和为4升，求中间两节的容积各为多少？”该问题中的第2节，第3节，第8节竹子的容积之和为( )

A.176升 B ．72升 C.11366

升 D ．10933

升

解析：选 A.自上而下依次设各节竹子的容积分别为a 1，a 2，…，a 9，依题意有

⎩

⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝3a 7＋a 8＋a 9＝4，因为a 2＋a 3＝a 1＋a 4，a 7＋a 9＝2a 8，故a 2＋a 3＋a 8＝32＋43＝176.选A.

5．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a m ＝4，S m ＝0，S m ＋2＝14(m ≥2，且m ∈N +)，则

a 2 017的值为( )

A ．2 018

B ．4 028

C ．5 037

D ．3 019

解析：选B.由题意得

⎩⎪⎨⎪⎧a m

＝a 1

＋（m －1）d ＝4，

S m ＝ma 1

＋m （m －1）2d ＝0，S m ＋2－S m ＝a m ＋1＋a m ＋2＝2a 1

＋（m ＋m ＋1）d ＝14，

解得⎩⎪⎨⎪

⎧a 1＝－4，m ＝5，d ＝2，

所以a n ＝－4＋(n －1)×2＝2n －6，

所以a 2 017＝2×2 017－6＝4 028.故选B.

6．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 6＝2a 3，则

S 11

S 5

＝________．

解析：S 11S 5＝11

2（a 1＋a 11）

52（a 1＋a 5）＝11a 65a 3＝225

.

答案：225

7．在等差数列{a n }中，公差d ＝1

2，前100项的和S 100＝45，则a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 99＝

________．

解析：因为S 100＝1002(a 1＋a 100)＝45，所以a 1＋a 100＝910，a 1＋a 99＝a 1＋a 100－d ＝2

5，则a 1

＋a 3＋a 5＋…＋a 99＝502(a 1＋a 99)＝502×2

5

＝10.

答案：10

8．在单调递增的等差数列{a n }中，若a 3＝1，a 2a 4＝3

4

，则a 1＝________．

解析：由题知，a 2＋a 4＝2a 3＝2，又因为a 2a 4＝34，数列{a n }递增，所以a 2＝12，a 4＝3

2.所

以公差d ＝

a 4－a 22

＝1

2

.所以a 1＝a 2－d ＝0.

答案：0

9．已知等差数列{a n }的前三项的和为－9，前三项的积为－15. (1)求等差数列{a n }的通项公式；

(2)若{a n }为递增数列，求数列{|a n |}的前n 项和S n .

解：(1)设公差为d ，则依题意得a 2＝－3，则a 1＝－3－d ，a 3＝－3＋d ， 所以(－3－d )(－3)(－3＋d )＝－15，得d 2

＝4，d ＝±2， 所以a n ＝－2n ＋1或a n ＝2n －7.

(2)由题意得a n ＝2n －7，所以|a n |＝⎩

⎪⎨⎪⎧7－2n ，n ≤3

2n －7，n ≥4，

①n ≤3时，S n ＝－(a 1＋a 2＋…＋a n )＝5＋（7－2n ）

2

n ＝6n －n 2；

②n ≥4时，S n ＝－a 1－a 2－a 3＋a 4＋…＋a n ＝－2(a 1＋a 2＋a 3)＋(a 1＋a 2＋…＋a n )＝18－6n ＋n 2

.

综上，数列{|a n |}的前n 项和S n ＝⎩

⎪⎨⎪⎧－n 2

＋6n ，n ≤3n 2－6n ＋18，n ≥4.

10．已知等差数列{a n }的公差d >0.设{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S 2·S 3＝36. (1)求d 及S n ；