电动力学答案4

由题意
ε 1 = ε 0 , ε 2 = ε 0ε r = 2ε 0
∴θ 2 = 30 o 2 3 − 2 2 )2 = 2 − 3 ∴R = ( 2 2 3 2+ 3 + 2 2 2 4ε 0 2 ( ε0 2 3 2 2 2 3 2+ 3
T=
2 3 2 + ε0 2 ) 2 2
=
3
有一可见平面光波由水入射到空气 入射角为 60 证明这时将会发生全反射 并求 折射波沿表面传播的相速度和透入空气的深度 设该波在空气中的波长为
变化
但D
v
v
即 D = εE 不成立
v
v
1 证明 k ⋅ B = k ⋅ D = B ⋅ D = B ⋅ E = 0, 但一般k ⋅ E ≠ 0
-2-
v v
v v
v v
v v
v v
电动力学习题解答
第四章
电磁波的传播
2 证明 D =
v
1
ω 2µ
v
v v v v [k 2 E − (k ⋅ E )k ] v
ωµσ 2
原题得证.
∴Q =
σ 2 β E0 = E 02 4α 2ωµ
−1
7
已知海水的 µ r = 1, σ = 1S ⋅ m
试计算频率 ν 为 50,10 和10 Hz 的三种电磁波在海
6 9
水中的透入深度 解 取电磁波以垂直于海水表面的方式入射 透射深度
δ =
1
α
=
2
ωµσ
Q µr = 1 ∴ µ = µ 0 µ r = µ 0 = 4π × 10 −7 ∴1 > ν = 50 Hz时 : δ 1 = 2 = 2 = 72m 2π × 50 × 4π × 10 −7 × 1
亭矢量的周期平均值 则反射系数 R 和折射系数 T 定义为
r '2 < S ' > ⋅n E 0 = r < S > ⋅n E 02 r < S ' ' > ⋅n n2 cosθ 2 E ' ' 2 T= r = < S > ⋅n n1 cosθE 02 R=
又根据电场强度垂直于入射面的菲涅耳公式 可得
x = A0 cos(ωt − kz ) = A0 cos(ωt + ϕ 0 x )
在 y 轴上的波可记为
y = A0 cos(ωt − kz + ∆ϕ = ϕ 0 y − ϕ 0 x =
合成得轨迹方程为
π 2
π ) = A0 cos(ωt + ϕ 0 y ) 2
x 2 + y 2 = A02 [cos 2 (ωt + ϕ 0 x ) + cos 2 (ωt + ϕ 0 y )] = A02 [cos 2 (ωt + ϕ 0 x ) + sin 2 (ωt + ϕ 0 x )] = A02
µω
µω
v v v 1 2v Q k ⋅ E 一般 ≠ 0 ∴ S 一般 ≠ E k
µω
即 S 一般不与 k 同向
v
v
5
有两个频率和振幅都相等的单色平面波沿 z 轴传播 但相位比前者超前
一个波沿 x 方向偏振 另一个沿 y
方向偏振
π 2
求合成波的偏振
反之 一个圆偏振可以分解为怎样的两个线偏振 解 偏振方向在 x 轴上的波可记为
v v v [(k × E ) × k ] =
1
µω
2
v v v v [k 2 E − (k ⋅ E )k ]
3
由B =
v
ω
v 1 v v 1 v v (k × E ) (k × E ) 得 H =
µω
v v v v v v r 1 v v v 1 ∴S = E × H = E × (k × E ) = [ E 2 k − (k ⋅ E ) E ]
3 证明能流 S 与波矢 k 一般不在同方向上 证明 1 由麦氏方程组
v v ∂B ∇ × E = − ∂t v v ∂D ∇ × H = ∂t v ∇ ⋅ D = 0 v ∇ ⋅ B = 0
得
vv v v vv v v v v ∇ ⋅ B = B0 ⋅ ∇e i ( k ⋅ x −ωt ) = ik ⋅ B0 e i ( k ⋅ x −ωt ) = ik ⋅ B = 0
r
r r
i ( kx −ωt )
ω k 群速 dk ⋅ x − dω ⋅ t = 0 dω ∴ vg = dk
∴vp =
2 一平面电磁波以 θ = 45 从真空入射到 ε r = 2 的介质
o
kx − ωt = 0
电场强度垂直于入射面
求反射
系数和折射系数 解
r n 为界面法向单位矢量
< S >, < S ' >, < S ' ' > 分别为入射波 反射波和折射波的玻印
2 z
α z2 =
ω2 1 ω4 2 sin θ + [ 2 sin 4 θ 1 + ω 2 µ 2σ 2 ] 1 2 2 c 2c
1
2
无限长的矩形波导管 在在 z 0 处被一块垂直地插入地理想导体平板完全封闭 z = −∞ 到 z 0 这段管内可能存在的波模 解 在此中结构得波导管中 电磁波的传播依旧满足亥姆霍兹方程 9
在导体内部
v v v J = σE = σE 0 e −αz e i ( βz −ωt ) v v 1 1 Re( J * × E ) = σE 02 e − 2αz 2 2
所以金属导体单位面积那消耗的焦耳热的平均值为
dQ =
作积分 耳热 又Q αβ =
∞ 1 σ 2 Q = σE 02 ∫ e − 2αz dz = E 0 即得单位面积对应的导体中消耗的平均焦 0 2 4α
∴βx = v ∴α 只有 α z 存在
ω sin θ 1 c
∴α y = 0, β y = 0
v ω β 有 β x 与β z 其中 β x = sin θ 1 c
ω ( sin θ 1 ) 2 + β z2 − α z2 = ω 2 µε c ∴ 有 α β = 1 ωµσ z z 2
其中 k1 = k + dk , k 2 = k − dk ; ω1 = ω + dω , ω 2 = ω − dω
r r r ∴ E = 2 E 0 ( x ) cos(kx − ωt ) cos(dk ⋅ x − dω ⋅ t )
用复数表示 E = 2 E 0 ( x ) cos(dk ⋅ x − dω ⋅ t )e 相速
投入空气的深度
κ=
λ1
2π sin θ − n
2 2 21
=
6.28 × 10 −5 1 2 2π sin 2 60 − ( ) 1.33 v v v v
≈ 1.7 × 10 −5 cm
4
频率为 ω 的电磁波在各向同性介质中传播时 若 E , D, B, H 仍按 e 不再与 E 平行
vv i ( k ⋅ x −ωt )
r r r r r r r E = E1 ( x , t ) + E 2 ( x , t ) = E 0 ( x )[cos(k1 x − ω 1t ) + cos(k 2 x − ω 2 t )] r r k + k2 ω + ω2 k − k2 ω −ω2 = 2 E 0 ( x ) cos( 1 x− 1 t ) cos( 1 x− 1 t) 2 2 2 2
r v ∴k ⋅ B = 0 v v k ⋅D =0
同理
vv v v v v v ∇ × H = [∇e i ( k ⋅ x −ωt ) ] × H 0 = ik × H = −iωD
v v v ∴ ik × B = −iµωD v v 1 v v v ∴B⋅D = − B ⋅ (k × B) = 0
λ 0 = 6.28 × 10 −5 cm 水的折射率为 n 1.33
解 由折射定律得 临界角 θ c = arcsin( 将会发生全反射 折射波
1 ) = 48.75 1.33
所以当平面光波以 60
入射时
k ′′ = k sin θ 3 ω ′′ ω = = c 2 k ′′ k sin θ
相速度 v p =
-6-
电动力学习题解答
第四章
电磁波的传播
其相速度为
v=
ω β
衰减深度为 1
α
如果是良导体
则
ω 2 sin 2 θ 1 + β z2 − α z2 = 0 c2 α β = 1 ωµσ z z 2
1 2
ω2 1 ω4 ∴ β = − 2 sin 2θ 1 + [ 4 sin 4 θ 1 + ω 2 µ 2σ 2 ] 2 c 2c
-3-
电动力学习题解答
第四章
电磁波的传播
v v ∂B 2 由∇× E = − 得 ∂t v v ∂D 另由 ∇ × H = 得 ∂t
v 1 v v B = (k × E )
ω
v 1 v v D=− (k × B)
µω
1
v 1 v v v ∴D = − [k × (k × E )] = 2
µω
µω
2
v v E = E 0 e −αz e i ( βz −ωt )
于是 由z 0 的表面 单位面积进入导体的能量为
v v v S = E×H v
其中
v 1 v v 1 v v ( β + iα ) n × E H= k ×E =
ωµ
ωµ
其平均值为 S =
v v 1 β Re( E * × H ) = E 02 2 2ωµ
即
x 2 + y 2 = A02
反之 一个圆偏
所以合成的振动是一个圆频率为 ω 的沿 z 轴方向传播的右旋圆偏振
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电动力学习题解答 相位差为 π
第四章
电磁波的传播
振可以分解为两个偏振方向垂直
同振幅
同频率
2
的线偏振的合成
6 平面电磁波垂直直射到金属表面上 试证明透入金属内部的电磁波能量全部变为焦耳热 证明 设在 z>0 的空间中是金属导体 电磁波由 z<0 的空间中垂直于导体表面入射 已知导体中电磁波的电场部分表达式是
µω
vv v v v v v ∇ × E = [∇e i ( k ⋅ x −ωt ) ] × E 0 = ik × E = iωB
v v 1 v v v ∴ B ⋅ E = (k × E ) ⋅ E = 0
ω
v v v ∇ ⋅ E = ik ⋅ E
v v Q D ≠ εE
v v v ∴ ∇ ⋅ E 一般 ≠ 0 即 k ⋅ E 一般 ≠ 0
电动力学习题解答
第四章
电磁波的传播
1. 考虑两列振幅相同的 偏振方向相同 频率分别为 ω + dϖ和ω − dω 的线偏振平面波 它们都沿 z 轴方向传播 1 求合成波 证明波的振幅不是常数 而是一个波 2 求合成波的相位传播速度和振幅传播速度 解
r r r r E1 ( x , t ) = E 0 ( x ) cos(k1 x − ω 1t ) r r r r E 2 ( x , t ) = E 0 ( x ) cos(k 2 x − ω 2 t )
2
ε cosθ − ε 2 cosθ 2 R= 1 ε cosθ + ε cosθ 2 2 1
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电动力学习题解答
第四章
电磁波的传播
T=
4 ε 1 ε 2 cosθ cosθ 2 ( ε 1 cosθ + ε 2 cosθ 2 ) 2
又根据反射定律和折射定律
θ = θ 1 = 45o ε 2 sin θ 2 = ε 1 sin θ
入射角为 θ 1
求导电介质中电磁波的
相速度和衰减长度 若导电介质为金属 提示 解 导电介质中的波矢量 k = 如图所示
v
v v v β + iα ,α 只有 z 分量 为什么
z
θ3
v k ''
根据题意
入射平面是 xz 平面
导体中的电磁波表示为
v v vv vv E = E 0 e −α ⋅ x e i ( β ⋅ x −ωt ) v v v k '' = β + iα
解得
1 1 ω2 1 ω2 2 2 β = ( µεω − 2 sin θ 1 ) + [( 2 sin 2 θ 1 − ω 2 µε ) 2 + ω 2 µ 2σ 2 ] 2 2 2 c c 2 z 1 1 ω2 1 ω2 α z2 = − ( µεω 2 − 2 sin 2 θ 1 ) + [(ω 2 µε − 2 sin 2 θ 1 ) 2 + ω 2 µ 2σ 2 ] 2 2 2 c c
ωµσ
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电动力学习题解答
第四章
电磁波的传播
2 > ν = 10 6 Hz时 δ 2 3 > ν = 10 9 Hz时 : δ 3 =
2
ωµσ
2
2 2π × 10 × 4π × 10
6
7
×1
≈ 0.5m
ωµσ
=
2 ≈ 16mm 2π × 10 × 4π × 10 −7 × 1
9
8
平面电磁波由真空倾斜入射到导电介质表面上 结果如何
介质 真空
与介质中的有关公式比较可得
x
v θ1 k
β 2 − α 2 = Biblioteka Baidu 2 µε v v 1 α ⋅ β = ωµσ 2
根据边界条件得
'' kx = β x + iα x = 实数 ∴α x = 0
θ2
v k'
又 k x = k x = k sin θ 1 =
''
ω sin θ 1 c v v '' 而入射面是 xz 平面 故 k , k 无 y 分量