趣味数学七桥问题教学文稿

拓扑学-神奇的莫比乌斯带
拓扑学-神奇的莫比乌斯带
拓扑学-神奇的莫比乌斯带
拓扑学-神奇的莫比乌斯带
• 一、1979年，美国著名的“百路驰”轮胎公司创 造性地把传送带制成莫比乌斯带形状，这样一来 ，整条传送带环面各处均匀地承受磨损，避免了 原来单面传送带单面受损的情况，使得其寿命延 长了整整一倍。
哥尼斯堡七桥问题
让微积分成长成人 全才数学家 多产数学家
莱昂哈德·欧拉（1707年4月 15日～1783年9月18日）， 瑞士数学家、自然科学家。。
数学家：欧拉 他欧是拉数喜学欢史音上乐最、多生产活的丰数富学多家彩，，平结均过每两年次
写婚出，八生百了多13页个的孩论子文，，存还活写5个了，大据量说的工力作学
思路清晰，善抓关键点！
根据王珞丹的微博，推测其住址
第一步，信息获取
• 第一，楼体外观和窗框难擦干净的痕迹，说明这是 已经建成一段时间的西式小区。
• 第二，王珞丹家在顶层。 • 第三，小区内有三个在一条直线上大小一样的正方
形花坛。
第二步，区域筛选
• 王珞丹微博1：“四环堵死了，联排迟到了。”——— 她 家在四环外。
透过现象看本质
• 在把36道简单数学题（加减乘除）做 完后并加以分类的一组学生，比单独 做完这些题目的学生最终在类似数学 题的测验中成绩要好。
及时复习，善于归纳和总结。
拓扑学
• 当我们不考虑图形的大小和角度时，只研 究图形各部分相对的位置关系，这样的研 究分支在数学上叫拓扑学。
• 拓扑学最早就是由欧拉奠基的。
小热身 七桥问题 一笔画 欧拉定理
下列图形中，你能一笔画成吗？若能，请画出路径。
小热身 七桥问题 一笔画 欧拉定理 小练习
下图是国际奥委会的会标，你能把它一笔画出来吗？
小热身 七桥问题 一笔画 欧拉定理 小练习 画一画
案例：西北大学的洒水车要给主要路 面洒水，该如何确定行车路线？
下列图形最少能几笔画成？有什么规律？
小热身 七桥问题
能一笔画的图形必须是连通图。从图的一点出发，笔不离纸，经过每条边恰好一次， 不能重复。 但是，并不是所有的连通图都可以一笔画出。它是由图的奇、偶点的数目来决定的。 ① 有奇数条边相连的点叫奇点。如：
② 有偶数条边相连的点叫偶点。如：
小热身 七桥问题 一笔画
欧拉定理：
①凡是由偶点组成的连通图，一定可以一笔画成。画时可以任一偶点 为起点，最后一定能以这个点为终点画完此图。 ②只有两个奇点的连通图，一定可以一笔画完。画时必须以一个奇点 为起点，另一个奇点为终点。 ③其他情况的图，都不能一笔画出。
• 王珞丹微博2：“演出这么多年，还没有在北京中心地带买 一套房子。”——— 说明她家不在市中心。
• 王珞丹微博3：“爸爸送我和小6去给《无人驾驶》(影评)配 音，光顾着看微博留言，忘记给老爸指路，车都开到中关 村了！(爸爸开始唠叨我说开导航吧)”——— 她家不在中 关村及进城路过中关村的地方。
• 王珞丹微博4：“患了严重的痢疾，20分钟后赶到了附近的 一所小医院。”——— 她家周边无大医院。
B
A
B
A
C
I
J
C
K
L
D
HGF E
D
有N个奇点的图形，要N÷2笔才能画成。
小热身 七桥问题 一笔画 欧拉定理 小练习 画一画 拓展
透过现象看本质
• 一列火车在穿过一座横跨山谷的大桥时， 火车上的一个旅客从窗口丢下一块石头， 请问，这块石头的落点会在哪里？
正确答案是——呈抛物线坠落，除了重 力外，石头同时还有与火车同向的初始速 度需要考虑。
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1836年，瑞士著名的数学家——欧拉，欧拉发现了这个问题 的本质：这个问题与岛的形状和大小无关，与河岸的形状长短 无关、与桥的形状、长短无关，重要的是桥、河岸、岛之间的 位置关系。把两岸和小岛缩成一个点，桥当作连接这些点的一 条线。
小热身 七桥问题
问题转化为：笔尖不离开纸面，一笔画出给定的图形，不允许 重复任何一条线，这样的图形简称为“一笔画”
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小热身
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作完。就倒下，停止了生命和计算。
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小热身 七桥问题
透过现象看本质
• 聪明的人在他们的脑海中有一个更科学、 精密、高效的“抽象地图”，这个地图里 面存储的不是地标、边界、线路，而是概 念、知识、事实和程序。他们跟普通人的 最大区别就是——既拿着一张信息又多又 全的好地图，又特别会从这些地图中高效 提取与组合信息
透过现象看本质
• 在世界地图里面找“北京”，你需要先找到“中国”的大 概位置。在心理地图里面，找“产前抑郁症”相关的问题 ，聪明人不会第一反应就把知识体系和上面提到的整体表 征直接定位到“气象学”去，相应的，他们会直接定位到 “心理学”，甚至能直接精确定位到“临床心理学”，进 而增加解决问题的效率。这就是考验你头脑里心理地图的 信息量、精度、自己对自己的心理地图理解程度的时候了 。在实验过程中，有的学生看了题目的前几个字就能意识 到这道题是要考“重力加速度”这一概念，进而在读题解 题的过程中刻意地关注与重力加速度有关的信息，甚至主 动地间接寻找缺失信息。同时，还有一些学生直到读完了 全题，才激活了相关的心理地图。
• 剩下区域中排除开发晚、多为新建高层小区的南城区域。 分析排除至此，只剩下一个区域被锁定。
第三步，网络筛选
• 网友在电子地图上截取锁定区域俯视图，放大局部 寻找王珞丹照片中有标志性花坛的小区，很快就找 到目标。
第四步，实地核对
• 该网友亲身前往这个小区，现场拍摄照片，与王珞 丹所发的照片进行比较，确认推理正确。
18世纪，在（现俄罗斯）哥尼斯堡 城风景秀美的普莱格尔河上有7座 别致的拱桥，将河中的两个岛和河 岸连结（如左图）。 城中的居民经常沿河过桥散步。城 中有位青年很聪明，爱思考，有一 天，这位青年给大家提出了这样一 个问题：能否一次走遍7座桥，而 每座桥只许通过一次，最后仍回到 起始地点。 这就是数学史上著名的七桥问题。