数学七桥问题解答如下

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欧拉七桥问题

数据结构与图论
“数据结构”的研究不仅涉及到计算机硬件（特别是编码理论、存储装置和存取方法）的研究范围，而且和计算机软件的研究有着更为密切的关系。数据结构：计算机处理的对象之间通常存在着的是一种最简单的线性关系，这类数学模型可称为线性的数据结构，简单地来说，数据结构是一门研究非数值计算的程序设计问题中计算机的操作对象以及它们之间的关系和操作等的科学。在计算机面向对象的编程中，我们常常将具体事物抽象为类，从而研究类的属性，然而类的属性则不单单只是简单的外在属性的描述，更为重要的是它同其他类之间的内在逻辑关系，或者说是线性关系。可见数据结构则是支撑这一理论的根据。然而又是什么东西在支撑着数据结构呢，我们从以上分析中不难看出图论是其中很重要的一部分。
欧拉图、哈密顿图与图论
我们看看一笔画问题牵扯着计算里的算法和可计算性欧拉问题放在七桥问题上则是能否可以不重复地走完七个桥，如何走的问题当然这只是一个例子，他代表的是一种思维方式，一门新的学课思想。那就是图论。这是就有人要问那么能一笔画的问题呢，在图论中一笔画的问题交给了图论里的另一个重要研究问题即是哈密顿图，哈密顿图则是给出我们最优过程或者最优解的一种抽象的研究方法。欧拉问题促进了图论的诞生而哈密顿图则是对图论的发展和补充。
图论
图：图是一种抽象的数据结构图论：它以图为研究对象。图论中的图是由若干给定的点及连接两点的线所构成的图形，这种图形通常用来描述某些事物之间的某种特定关系，用点代表事物，用连接两点的线表示相应两个事物间具有这种关系。图论在数据结构、数据库、网络技术、程序设计等课程中都有广泛应用，成为计算机科学与应用技术中必不可少的一部分。而图论的研究起源于“哥尼斯堡城七桥问题”，欧拉成为图论的奠基人。
解决问题
因此，欧位得出以下结论：

七桥问题Seven Bridges Problem

七桥问题Seven Bridges Problem著名古典数学问题之一。

在哥尼斯堡的一个公园里，有七座桥将普雷格尔河中两个岛及岛与河岸连接起来(如图)。

问是否可能从这四块陆地中任一块出发，恰好通过每座桥一次，再回到起点?欧勒于1736年研究并解决了此问题，他把问题归结为如下右图的“一笔画”问题，证明上述走法是不可能的。

有关图论研究的热点问题。

18世纪初普鲁士的柯尼斯堡，普雷格尔河流经此镇，奈发夫岛位于河中，共有7座桥横跨河上，把全镇连接起来。

当地居民热衷于一个难题：是否存在一条路线，可不重复地走遍七座桥。

这就是柯尼斯堡七桥问题。

L.欧拉用点表示岛和陆地，两点之间的连线表示连接它们的桥，将河流、小岛和桥简化为一个网络，把七桥问题化成判断连通网络能否一笔画的问题。

他不仅解决了此问题，且给出了连通网络可一笔画的充要条件是它们是连通的，且奇顶点(通过此点弧的条数是奇数)的个数为0或2。

当Euler在1736年访问Konigsberg, Prussia(now Kaliningrad Russia)时，他发现当地的市民正从事一项非常有趣的消遣活动。

Konigsberg城中有一条名叫Pregel的河流横经其中，这项有趣的消遣活动是在星期六作一次走过所有七座桥的散步，每座桥只能经过一次而且起点与终点必须是同一地点。

Euler把每一块陆地考虑成一个点，连接两块陆地的桥以线表示。

后来推论出此种走法是不可能的。

他的论点是这样的，除了起点以外，每一次当一个人由一座桥进入一块陆地（或点）时，他（或她）同时也由另一座桥离开此点。

所以每行经一点时，计算两座桥（或线），从起点离开的线与最后回到始点的线亦计算两座桥，因此每一个陆地与其他陆地连接的桥数必为偶数。

七桥所成之图形中，没有一点含有偶数条数，因此上述的任务无法完成.欧拉的这个考虑非常重要，也非常巧妙，它正表明了数学家处理实际问题的独特之处——把一个实际问题抽象成合适的“数学模型”。

格尼斯堡七桥问题解法

格尼斯堡七桥问题解法一、问题背景格尼斯堡七桥问题，是欧拉在1735年提出的一个著名的数学难题。

该问题描述为：有一座连通的城市，其中包含七座桥，如何从任意一个地方出发，经过每座桥恰好一次，最终回到原地。

二、传统解法1.暴力搜索最简单直观的方法是暴力搜索。

遍历所有可能情况，判断是否符合条件。

但是由于状态空间巨大（7个节点有51840种排列方式），这种方法不可行。

2.欧拉回路算法欧拉回路算法是解决格尼斯堡七桥问题最常用的方法之一。

它基于欧拉定理：如果一个图中所有顶点度数均为偶数，则该图存在欧拉回路。

通过构建图模型，并计算每个节点的度数，可以判断是否存在欧拉回路。

如果存在，则可以通过遍历欧拉回路来解决问题。

但是，在实际应用中，并不是所有图都存在欧拉回路。

因此，这种方法并不能完全解决格尼斯堡七桥问题。

三、新解法1.图论与拓扑学结合将图论和拓扑学结合使用，可以更好地解决格尼斯堡七桥问题。

首先，将城市中的桥和岛屿抽象成节点，将桥连接岛屿的关系抽象成边。

然后，通过计算每个节点的度数，可以判断是否存在欧拉通路。

如果存在欧拉通路，则可以通过遍历欧拉通路来解决问题。

但是，在实际应用中，并不是所有图都存在欧拉通路。

因此，这种方法并不能完全解决格尼斯堡七桥问题。

2.基于网络流的解法基于网络流的解法是一种更高效、更准确的方法。

它基于最大流最小割定理：如果一个网络中所有源点到汇点的路径都满流，则该网络存在一组最大流，并且这组最大流等于所有源点到汇点路径上边权之和。

通过构建网络模型，并计算每个节点之间的容量和费用，可以求出从任意一个节点出发经过每座桥恰好一次回到原地所需的最小费用和路径。

具体步骤如下：（1）将城市中的桥和岛屿抽象成节点，将桥连接岛屿的关系抽象成边。

（2）对于每个节点i，设其入度为diin，出度为diout，则其容量为min(diin,diout)。

容量表示从该节点出发经过该边的最大流量。

（3）对于每条边(i,j)，其费用为1。

哥尼斯堡七桥问题与图论

1736年29《哥尼斯堡的七座桥》的论文，创了数学的一个新的分支—一、哥尼斯堡七桥问题哥尼斯堡在俄罗斯境内，现称为加里宁格勒.生和培养过许多伟大人物.格尔河，横贯城中，如图1所示.流，一条称为新河，一条主流，的商业中心.区、北区、东区和南区.桥，两支流上.这一别致的桥群，图1早在18世纪，散步中走过每座桥，发点？”走遍这七座桥共有A77=7!=验，谈何容易.那么在这5040而形成了著名的图2欧拉请他帮助解决这个他似乎看到其中.经过一年的研究，29岁的并于1736年向彼得堡科哥尼斯堡的七座桥》的论文.C（岛区）、A（南区）；七座桥看成这四个点、6、7七个数字表示，如图3所示.“一笔画”问题：否能一笔不.布勒格尔河模型蔡思明58遍历的路径称作欧拉路径（一个环或者一条链），如果路径闭合（一个圈），则称为欧拉回路.图论中的欧拉定理（一笔画定理）要分有向图（边有特定方向的图）与无向图（边没有特定方向的图）两种情况进行讨论.1.无向图的情况定理：连通无向图G有欧拉路径的充要条件为：G中奇度顶点（即与其相连的边数目为奇数的顶点）有0个或者2个.证明：必要性.如果图能够被一笔画成，那么对每个顶点，考虑路径中“进入”它的边数与“离开”它的边数（注意前提是无向图，所以我们不能称其为“入边”和“出边”）.很显然这两个值要么相同（说明该顶点度数为偶），要么相差1（说明该顶点度数为奇）.也就是说，如果欧拉路径不是回路，奇度顶点就有2个，即路径的起点和终点；如果是欧拉回路，起点与终点重合，则不存在奇度顶点.必要性得证.证明：充分性.如果图中没有奇度顶点，那么在G中随机取一个顶点v0出发，尝试构造一条回路c0.如果c0就是原路，则结束；如果不是，那么由于图是连通的，c0和图的剩余部分必然存在某公共顶点v1，从v2出发重复尝试构造回路，最终可将整张图分割为多个回路.由于两条相连的回路可以视为一条回路，所以该图必存在欧拉回路.如果图中有2个奇度顶点u和v，那么若是加一条边将u和v连接起来的话，就得到一个没有奇度顶点的连通图，由上文可知该图必存在欧拉回路，去掉这条新加的边，就是一条以u和v为起终点的欧拉路径.充分性得证.可知，哥尼斯堡七桥问题中的图有4个奇度顶点（1个度数为5，3个度数为3），所以不存在欧拉路径.2.有向图的情况定理：底图连通的有向图G有欧拉路径的充要条件为：G的所有顶点入度和出度都相等；或者只有两个顶点的入度和出度不相等，且其中一个顶点的出度与入度之差为1，另一个顶点的入度与出度之差为1.显然，可以通过与无向图情况相似的思路来证明，过程略.当时的数学界起初并未对欧拉解决七桥问题的意义有足够的认识，甚至有些人仅仅当其为一个数学游戏.图论这一数学分支诞生后并未得到很好的发展，直到200年后的1936年，匈牙利数学家科尼希出版了《有限图与无限图理论》，此为图论的第一部专著，其总结了进200年来有关图论的成果，这是图论发展的第一座里程碑.此后，图论进入发展与突破的阶段，又经过了半个多世纪的发展，现已成为数学科学的一个独立的重要分支.图论原是组合数学中的一个重要课题.我们用点表示事物，用连接点的边表示事物间的联系，便可得到图论中的图.图论为研究任何一类离散事物的关系结构提供了一种框架.图论中的理论已应用于经济学、心理学、社会学、遗传学、运筹学、逻辑学、语言学计算机科学等诸多领域.由于现代科学尤其是大型计算机的迅猛发展，使得图论大有用武之地，无论是数学、物理、化学、地理、生物等基础科学，还是信息、交通、战争、经济乃至社会科学的众多问题，都可以运用图论方法予以解决.当然，图论也是计算机科学的基础学科之一.值得一提的是，欧拉对七桥问题的研究，后演变成多面体理论，得到了著名的欧拉公式V+F=E+2，欧拉公式是拓扑学的第一个定理.哥尼斯堡的七座桥如今只剩下三座，一条新的跨河大桥已经建成，它完全跨过河心岛——内福夫岛，导游们仍向游客讲述哥尼斯堡桥的故事，有的导游甚至仍称“七桥问题”没有被解决，留给游客以遐想.虽然七座哥尼斯堡桥成了历史，但是“七桥问题”留下的“遗产”不像这些桥那样容易破坏，欧拉卓越的解答方式被永载史册.60。

七桥问题

1、七桥问题伟大的数学家欧拉（L.Euler 1707-1783）在被请到俄国做研究工作期间,他的一位德国朋友,向他求教了一个令许多哥尼斯堡（德国的一个小城镇Konigsberg）人感到困惑的问题：原来在这座城中有一条河横贯市中心,河中心有两个小岛.在当时有七座桥把这两个小岛和对岸联结起来.见下面的图示：当时有人曾想办法从家里出发走过所有的桥回到家里,他们想是否能够从某座桥出发使得所走过的桥都只过一次呢？许多人都尝试过,但都没有获得成功,那么现在是否有一种办法,能把所有的桥都走过一次呢？欧拉的朋友将这个“哥尼斯堡七桥问题”告诉了欧拉,并且要他想法子解决.欧拉并没有真的去哥尼斯堡,而是把这个问题进行了数学处理：把两岸和两个小岛缩成一点,把桥化为边,两个顶点有边线联结.欧拉得到了下面的图：欧拉考虑这个图能否用一笔画成,如果能够一笔画成的话,则对应的七桥问题也就解决了.为此,欧拉先研究了一般的能一笔画出的图形应该具有什么样的性质？他发现其中的点可以分为两种,全部点都是偶点或者有两个点是奇点（进出点的边数是偶数的点称为偶点；进出点的边数是奇数的点叫奇点）.我们知道,如果一个图能够用一笔画出,那么在这个图上一定有一个点是始点（起笔点）,一个点是终点（收笔点）,其它的点为过路点.首先,我们看过路点具有的性质.在这种点一定是有进有出的,不可能有进无出或者有出无进,即这类点为偶点；其次,考虑始点与终点,并且这两个点不重合的情况,此时它们一定是奇点；再有,始点与终点重合的情况,此时它们也是属于有进有出的点,即为偶点.综上,一个图要是能够一笔画出的话,则其中的点应该有两个奇点,其余的点全部为偶点；或者其中的点都是偶数点.由于七桥问题中的点（4个）都是奇点,所以七桥问题不可能一笔画出.这就是说,一个人要想没有重复地走过7座桥是不可能的.七桥问题是Euler在1736年解决的.一般地,该结论被视为图论历史上的第一个定理.。

组合数学-七桥

组合数学
葛勇
哥尼斯堡七桥问题
在哥尼斯堡有七座桥将普莱格尔河中的两个岛及岛与河起点。
哥尼斯堡七桥问题
• 欧拉为了解决这个问题，采用了建立数学模型的方法。他将每一块陆地用一个点来代替，将每一座桥用连接相应两点的一条线来代替，从而得到一个有四个“点”，七条“线”的“图”。问题成为从任一点出发一笔画出七条线再回到起点。欧拉考察了一般一笔画的结构特点，给出了一笔画的一个判定法则：这个图是连通的，且每个点都与偶数线相关联，将这个判定法则应用于七桥问题，得到了“不可能走通”的结果，不但彻底解决了这个问题，而且开创了图论研究的先河。

哥尼斯堡七桥问题的结论

哥尼斯堡七桥问题的结论哥尼斯堡七桥问题，这个名字听起来是不是有点像某个神秘的谜题，或者像是某种古老的传说？但其实它可是数学史上一个相当有趣，也不算特别复杂的问题。

让我们从头说起吧！话说在18世纪，哥尼斯堡（今天是俄罗斯的加尔东，那个地方在一条大河上有七座桥，大家都知道，桥嘛，就是用来跨河的嘛）。

可是问题来了，这七座桥摆得那么乱，怎么才能走过去，一桥不重复，甚至连一次都不漏掉？这可是个难题啊！走过去，过每座桥一次就得了，但不能走重复的，这不就像在玩某种跨河的游戏吗？这问题一度让很多聪明人都摸不着头脑。

特别是当时那位大数学家欧拉，他看到这个问题后，忍不住拿起了笔和纸，开始思考。

你想啊，欧拉这个人，脑袋瓜子灵光，简直能把天上的星星都给数清楚。

于是他就开始琢磨怎么才能解决这个问题。

他不拘一格，想得也很简单。

他说，这问题其实跟图有点像。

你知道，图嘛就是一堆点和连线，而那些桥啊，其实就能看作是图中的“边”，而那些岛屿什么的，就是“点”。

从这个角度来看，欧拉瞬间豁然开朗！他有一个聪明的想法——要走遍这些桥，得看看图里的点到底有多少条边。

说白了，就是要检查一下每个“岛”上面的桥数是奇数还是偶数。

你说欧拉这个人聪不聪明？他发现了一个至关重要的规律——如果一个图中有多个点的连接数是奇数，那么从一个点出发走完所有边的概率基本为零，也就是说，根本就不可能走完所有桥而不重复。

而哥尼斯堡的七座桥，连接数正好是奇数。

想啊，哥尼斯堡的岛屿就像是这些点，而每座桥就像是连接点的边。

想要从一个点出发，走遍所有的边，根本做不到，除非你能拥有神仙的运气。

这个结论真的是一语破天啊！欧拉说了：如果图中有超过两个点的连接数是奇数，那就绝对没有办法走遍所有的桥了！也就是，这个问题没有解。

哦，也有个例外，那就是图中最多只有两个点有奇数条边，或者每个点都只有偶数条边。

那样的话，也许就能有个完美的解法。

但是，哥尼斯堡的问题就是那么不凑巧，七桥问题就是一个典型的“不可能完成的任务”。

世界数学难题哥尼斯堡七桥问题

世界数学难题——哥尼斯堡七桥问题请你做下面的游戏：一笔画出如图1的图形来。

规则：笔不离开纸面，每根线都只能画一次。

这就是古老的民间游戏——一笔画。

你能画出来吗？如果你画出来了，那么请你再看图2能不能一笔画出来？虽然你动了脑筋，但我相信你肯定不能一笔画出来！为什么我的语气这么肯定？我们来分析一下图2。

我们把图2看成是由点和线组成的一种集合。

图里直线的交点叫做顶点，连结顶点的线叫做边。

这个图是联通的，即任何二个顶点之间都有边。

很显然，图中的顶点有两类：一类是有偶数条边联它的，另一类是有奇数条边联它的。

一个顶点如果有偶数条边联它的，这点就称为偶点；如果有奇数条边联它的，就称它为奇点。

我们知道，能一笔画的图形只有两类：一类是所有的点都是偶点。

另一类是只有二个奇点的图形。

图2有六个奇点，四个偶点，当然不能一笔画出来了。

为什么能一笔画的图形只有上述两类呢？有关这个问题的讨论，要追溯到二百年前的一个著名问题：哥尼斯堡七桥问题。

十八世纪东普鲁士哥尼斯堡城（今俄罗斯加里宁格勒）的普莱格尔河，它有两个支流，在城市中心汇成大河，中间是岛区，河上有7座桥，将河中的两个岛和河岸连结，如图3所示。

由于岛上有古老的哥尼斯堡大学，有教堂，还有哲学家康德的墓地和塑像，因此城中的居民，尤其是大学生们经常沿河过桥散步。

渐渐地，爱动脑筋的人们提出了一个问题：一个散步者能否一次走遍7座桥，而且每座桥只许通过一次，最后仍回到起始地点。

这就是七桥问题，一个著名的图论问题。

图3这个问题看起来似乎很简单，然而许多人作过尝试始终没有能找到答案。

因此，一群大学生就写信给当时年仅20岁的大数学家欧拉。

欧拉从千百人次的失败，以深邃的洞察力猜想，也许根本不可能不重复地一次走遍这七座桥，并很快证明了这样的猜想是正确的。

欧拉是这样解决问题的：既然陆地是桥梁的连接地点，不妨把图中被河隔开的陆地看成4个点，7座桥表示成7条连接这4个点的线，如图4所示。

图4 图5于是“七桥问题”就等价于图5中所画图形的一笔画问题了。

七桥问题应用案例

七桥问题应用案例
一、选择题。

A. 七桥问题是关于一笔画图形的问题。

B. 七桥问题中的七座桥连接着四个区域。

C. 解决七桥问题的关键在于判断图形能否一笔画成。

解析：七桥问题是一个著名的一笔画问题，它描述的是哥尼斯堡城的七座桥连接着四个区域，而解决这个问题就是要判断这样的图形能否一笔画成。

所以A、B、C选项的说法都是正确的，答案为D。

2. 在七桥问题的图中（）
A. 奇点个数为0。

B. 奇点个数为2。

C. 奇点个数为4。

D. 奇点个数为7。

解析：七桥问题中的图，四个区域连接的桥数为奇数，所以奇点个数为4。

一笔画图形的判定规则是如果奇点个数为0或者2时可以一笔画成，而七桥问题不能一笔画成，因为奇点个数为4，答案为C。

二、填空题。

1. 七桥问题是18世纪著名古典数学问题之一，它起源于（_哥尼斯堡_）城。

解析：七桥问题起源于哥尼斯堡城，这是该问题的背景知识。

2. 一笔画图形如果奇点个数为（_0或2_）时，可以一笔画成。

解析：这是一笔画图形的基本判定定理，当奇点个数为0或者2时，这个图形能够一笔画成。

三、简答题。

简述七桥问题与一笔画定理之间的关系。

解析：七桥问题是一笔画定理的典型应用案例。

七桥问题中要判断能否不重复地一次走遍七座桥，这就相当于判断由桥和陆地所构成的图形能否一笔画成。

一笔画定理指出，如果一个图形的奇点个数为0或者2时可以一笔画成。

而七桥问题中的图形奇点个数为4，所以不能一笔画成，也就是不能不重复地一次走遍七座桥。

哥尼斯堡七桥问题答案

哥尼斯堡七桥问题答案问题简介哥尼斯堡七桥问题是数学史上的一个著名问题，它由瑞士数学家欧拉在18世纪提出。

问题描述如下：哥尼斯堡的一座岛屿被普雷格尔河和纳勒曼河所环绕，而岛上有七座桥连接了岛与河岸的各个区域。

欧拉的问题是能否找到一条路线，使得每座桥都只经过一次，且最终回到起点。

欧拉图的引入为了解决这一问题，欧拉引入了欧拉图的概念。

欧拉图是指一个图中存在一条路径，经过图中每条边一次且仅一次，且最终回到起点。

欧拉图的概念为解决哥尼斯堡七桥问题提供了思路。

哥尼斯堡七桥问题的解答欧拉图的性质在欧拉引入的欧拉图概念中，他提出了以下性质：1.如果一个图是欧拉图，那么它的度数为奇数的顶点个数一定是0个或2个。

2.如果一个图是欧拉图，那么它的每个顶点都是偶数度数。

欧拉图的性质为解决哥尼斯堡七桥问题提供了重要的线索。

哥尼斯堡七桥问题的解答根据欧拉图的性质，我们可以进行如下步骤来解决哥尼斯堡七桥问题：1.对于给定的一组桥和岛屿，首先统计每个岛屿的度数（与之相连的桥的数量）。

如果某个岛屿的度数为奇数，则将其记为M。

2.如果M为0，则存在一条路径，经过所有的桥且每座桥只经过一次，最终可以回到起点，问题得到解答。

3.如果M为2，则存在两条路径，经过所有的桥且每座桥只经过一次，最终可以从一条路径回到另一条路径，问题得到解答。

4.如果M大于2，则不存在满足条件的路径，问题无解。

示例以下是一个具体的示例来解答哥尼斯堡七桥问题：给定的桥和岛屿如下图所示：A---B---C/ \\ / \\ / \\D---E---F---G根据图中的连接关系，我们可以统计每个岛屿的度数： - A的度数为2 - B的度数为3 - C的度数为2 - D的度数为3 - E的度数为4 - F的度数为4 - G的度数为2从统计结果可知，B、D、E、F的度数为奇数，即M=4。

根据步骤3的解答方法，我们可以得出结论：不存在满足条件的路径，问题无解。

结论哥尼斯堡七桥问题既是数学史上的著名问题，也是欧拉图理论的起点之一。

七桥问题解法

七桥问题解法七桥问题解法概述七桥问题是欧拉在1735年提出的一个著名的数学问题，它是图论的开山之作。

问题描述如下：柯尼斯堡城中有一些小岛和七座桥，游客想要走遍所有的桥，但是每座桥只能经过一次。

问是否存在这样的路径？欧拉在解决这个问题时，创造性地引入了图论的概念，并通过对图的分析和转化得出了结论：不存在这样的路径。

这个结论为图论奠定了基础，并成为了数学史上的里程碑。

本文将介绍欧拉提出的解决方法以及其他相关解法。

欧拉方法欧拉方法是通过将问题转化为图论中的欧拉回路来解决七桥问题。

具体步骤如下：1. 将城市和桥看作节点和边，构建无向图。

2. 判断该无向图是否连通。

如果不连通，则不存在一条路径可以经过所有桥；如果连通，则继续下一步。

3. 统计每个节点的度数（即相邻边数），如果存在奇数度节点，则不存在欧拉回路；如果所有节点度数均为偶数，则存在欧拉回路。

4. 如果存在欧拉回路，则可以通过欧拉回路经过所有桥，否则不存在这样的路径。

其他解法1. 哈密顿回路法：哈密顿回路是指一条经过每个节点恰好一次的路径。

如果七桥问题中存在哈密顿回路，则可以通过该路径经过所有桥。

但是，判断一个图是否存在哈密顿回路是一个NP完全问题，难以在多项式时间内解决。

2. 矩阵论法：可以将无向图表示为邻接矩阵，通过对矩阵进行运算得出结论。

但是，该方法复杂度较高，不适合大规模的图。

3. 拓扑排序法：将节点按照拓扑序列排序后，如果相邻节点之间都存在边，则存在欧拉回路。

但是，该方法只适用于有向无环图。

总结七桥问题是图论的开山之作，在解决这个问题时欧拉引入了欧拉回路的概念，并通过对图的分析和转化得出了结论。

除了欧拉方法外，还有其他解法如哈密顿回路法、矩阵论法和拓扑排序法等。

不同的解法适用于不同类型的图，选择合适的方法可以提高求解效率。

七桥问题答案(1)

七桥问题答案七桥问题简介七桥问题是欧拉在1735年提出的一个著名的数学问题，也是图论中的一道经典题目。

这个问题的背景是在普鲁士的一座城市，通过一片河流将城市分为四个岛屿，而七座桥分别连接着这些岛屿和对岸。

问题的关键在于，能否找到一条路径，使得每座桥都恰好走一次，并且最后回到起点。

通过分析这个问题，不仅能够加深对图的理解，还可以学习到图论中一些重要的概念和算法。

解答过程首先，我们需要将七桥问题转化为图的形式。

将每座桥都表示为图中的一条边，岛屿则表示为图中的节点。

根据问题的描述，可以得到一个由四个节点和七条边组成的图。

接下来，我们需要确定能否找到一条路径，使得每座桥都恰好走一次，并且最后回到起点。

通过观察可以发现，如果一个节点的度数为奇数，那么必须有一条边进入该节点，如果一个节点的度数为偶数，那么必须有一条边离开该节点。

因此，只有当图中除了起点和终点的节点的度数都是偶数，或者除了起点和终点的节点有且仅有两个节点的度数是奇数，其余节点的度数都是偶数时，七桥问题才有解。

对于七桥问题的图，可以发现有两个节点的度数是奇数，其余节点的度数都是偶数，因此这个问题是有解的。

然而，实际上，我们可以进一步观察到，如果一个图是连通的，并且除了起点和终点的节点的度数都是偶数，那么只需要找到一个欧拉回路，就能够解决七桥问题。

因为欧拉回路是一条通过所有边恰好一次，并且回到起点的闭合路径。

欧拉回路的寻找接下来，我们介绍一种通过深度优先搜索实现寻找欧拉回路的算法。

这个算法的基本思想是从任意一个节点开始，依次选择一条还未走过的边进行遍历，直到走过所有的边并回到起点。

具体的步骤如下： 1. 从起点开始，任意选择一条边进入一个新的节点； 2. 如果该节点还有其他的未走过的边，则继续选择一条边，进入新的节点，并且标记该边已经走过； 3. 如果该节点没有其他的未走过的边，则退回到上一个节点，并且继续选择下一条未走过的边； 4. 当所有的边都被走过并且回到起点时，就找到了一条欧拉回路。

简述欧拉的哥尼斯城堡七桥问题及其解答。

欧拉的哥尼斯城堡七桥问题是数学史上具有重要意义的问题之一，它以其简单的描述和深刻的解决方法而闻名于世。

在这篇文章中，我将从探讨欧拉的哥尼斯城堡七桥问题的背景和含义开始，逐步深入讨论其解答过程和所带来的启示，从而帮助您更全面、深刻和灵活地理解这一经典问题。

1. 哥尼斯城堡七桥问题的背景和含义哥尼斯城堡七桥问题最早出现在康托尔夫的信末提及的题，它涉及到了一座连接着市区两岸的岛屿与河岸的七座桥，问题是：是否存在一条路径，可以恰好经过每座桥一次且只一次？这个问题看似简单，实质上却涉及了数学中的图论问题，是一道离散数学的经典问题。

通过解答这个问题，我们不仅能够深入理解图论的基本概念，还能够从中感受到数学家们的奇妙思维和深刻见解。

2. 哥尼斯城堡七桥问题的解答过程让我们来看看欧拉是如何解答这一问题的。

欧拉通过巧妙的建模与抽象，将问题转化为了图论中的一个基本问题——欧拉回路的存在性问题。

他发现，只有当每个顶点的度数都是偶数时，才可能存在欧拉回路。

而对于哥尼斯城堡的七座桥来说，其中有两座桥的度数是奇数，因此不可能存在符合要求的路径。

这一广义化的解答方法，为后来图论领域的发展奠定了基础，也引发了人们对数学方法和思维方式的深刻思考。

3. 哥尼斯城堡七桥问题的启示从欧拉的解答过程中，我们不仅能够感受到他对数学方法的精妙应用，还能从中领悟到解决问题的普适性原则。

欧拉的解决方法不依赖于特定的桥的数量和位置，而是基于对整个图结构的抽象分析，这种抽象的思维方式为解决其他复杂问题提供了有益的启示。

欧拉的解答方法还向我们展示了数学家们的严谨和求真精神，这种精神对于我们解决其他领域的问题同样具有深远的影响。

4. 个人观点和理解对于欧拉的哥尼斯城堡七桥问题，我深感敬佩。

欧拉通过对具体问题的抽象分析，不仅解决了问题本身，还奠定了图论领域的基础，为后人提供了解决其他复杂问题的方法和思路。

在我看来，欧拉的解答方法不仅展现了数学的美感，更启示我们在解决其他问题时应该注重抽象思维和普适性原则，追求真理的精神。

七桥问题Seven Bridges Problem

七桥问题Seven Bridges Problem著名古典数学问题之一。

在哥尼斯堡的一个公园里，有七座桥将普雷格尔河中两个岛及岛与河岸连接起来(如图)。

有关图论研究的热点问题。

18世纪初普鲁士的柯尼斯堡，普雷格尔河流经此镇，奈发夫岛位于河中，共有7座桥横跨河上，把全镇连接起来。

当地居民热衷于一个难题：是否存在一条路线，可不重复地走遍七座桥。

这就是柯尼斯堡七桥问题。

L.欧拉用点表示岛和陆地，两点之间的连线表示连接它们的桥，将河流、小岛和桥简化为一个网络，把七桥问题化成判断连通网络能否一笔画的问题。

他不仅解决了此问题，且给出了连通网络可一笔画的充要条件是它们是连通的，且奇顶点(通过此点弧的条数是奇数)的个数为0或2。

当Euler在1736年访问Konigsberg, Prussia(now Kaliningrad Russia)时，他发现当地的市民正从事一项非常有趣的消遣活动。

Euler把每一块陆地考虑成一个点，连接两块陆地的桥以线表示。

后来推论出此种走法是不可能的。

他的论点是这样的，除了起点以外，每一次当一个人由一座桥进入一块陆地（或点）时，他（或她）同时也由另一座桥离开此点。

所以每行经一点时，计算两座桥（或线），从起点离开的线与最后回到始点的线亦计算两座桥，因此每一个陆地与其他陆地连接的桥数必为偶数。

七桥问题

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总结
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①可以一笔画成的图形，与偶点个数无关，与奇点个数有关。也就是说，凡是图形中没有奇点的（奇点个数为 0 ），可选任一个点做起点，且一笔画后可以回到出发点。
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②若奇点个数为 2 ，可选其中一个奇点做起点，而终点一定是另一个奇点，即一笔画后不可以回到出发点。
凡是图形中有2个以上奇点的，不能完成一笔画。
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3 SECTION
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网络中以某顶点为端点的弧的条数，叫做该顶点的叉数。叉数是奇数的顶点叫做奇顶点，叉数是偶数的顶点叫做偶顶点。下面介绍欧拉定理。欧拉定理如果一个网络是连通的并且奇顶点的个数等于 0或2，那么它可以一笔画出；否则它不可以一笔画出。用欧拉定理可以很方便地判断一个简单图形是否可以一笔画出。例如，图 3是不连通网络，它不能一笔画出（尽管它的奇顶点个数为 0 ）；图 4中实线所示图形有 8个奇顶点．它不能一笔画出，如果将图中虚线补为实线，那么奇顶点只有F和G两个，所得图形就能一笔画出了（以F为起点，G为终点；或G为起点，F为终点）。
E ● ●G F ● D●
C●
● B
●A

3、甲乙两个邮递员去送信，两人同时出发以同样的速度走遍所有的街道，甲从A点出发，乙从B点出发，最后都回到邮局（C点）。如果要选择最短的线路，谁先回到邮局？
试问下列图形能否一笔画出？如能画出应怎样画？如不能画出理由是什么？
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4 SECTION
练习
1、一辆洒水车要给某城市的街道洒水，街道地图如下：你能否设计一条洒水车洒水的路线，使洒水车不重复地走过所有的街道，再回到出发点？
小广场
超市

哥尼斯堡七桥问题

一、哥尼斯堡七桥问题18世纪在哥尼斯堡城(今俄罗斯加里宁格勒)的普莱格尔河上有7座桥，将河中的两个岛和河岸连结，如图1所示。

城中的居民经常沿河过桥散步，于是提出了一个问题：能否一次走遍7座桥，而每座桥只许通过一次，最后仍回到起始地点。

这就是七桥问题，一个著名的图论问题。

图1这个问题看起来似乎不难，但人们始终没有能找到答案，最后问题提到了大数学家欧拉那里。

欧拉以深邃的洞察力很快证明了这样的走法不存在。

欧拉是这样解决问题的：既然陆地是桥梁的连接地点，不妨把图中被河隔开的陆地看成A、B、C、D4个点，7座桥表示成7条连接这4个点的线，如图2所示。

图2 图3于是“七桥问题”就等价于图3中所画图形的一笔画问题了。

欧拉注意到，每个点如果有进去的边就必须有出来的边，从而每个点连接的边数必须有偶数个才能完成一笔画。

图3的每个点都连接着奇数条边，因此不可能一笔画出，这就说明不存在一次走遍7座桥，而每座桥只许通过一次的走法。

欧拉对“七桥问题”的研究是图论研究的开始，同时也为拓扑学的研究提供了一个初等的例子.二、四色猜想近代三大数学难题之一。

四色猜想的提出来自英国。

1852年，毕业于伦敦大学的弗南西斯.格思里来到一家科研单位搞地图着色工作时，发现了一种有趣的现象：“看来，每幅地图都可以用四种颜色着色，使得有共同边界的国家着上不同的颜色。

”这个结论能不能从数学上加以严格证明呢？他和在大学读书的弟弟格里斯决心试一试。

兄弟二人为证明这一问题而使用的稿纸已经堆了一大叠，可是研究工作没有进展。

1852年10月23日，他的弟弟就这个问题的证明请教他的老师、著名数学家德.摩尔根，摩尔根也没有能找到解决这个问题的途径，于是写信向自己的好友、著名数学家哈密尔顿爵士请教。

哈密尔顿接到摩尔根的信后，对四色问题进行论证。

但直到1865年哈密尔顿逝世为止，问题也没有能够解决。

1872年，英国当时最著名的数学家凯利正式向伦敦数学学会提出了这个问题，于是四色猜想成了世界数学界关注的问题。

二年级奥数习题七座桥问题讲解

1.学习欧拉，先将过桥问题转化为一笔画问题，再进行判断(见下图).过桥问题：可否一次通过的桥(每座桥只能走一次)?例：仿此例依次判断出：2.下图是乡间的一条小河，上面建有六座桥，你能一次不重复地走遍所有的小桥吗?(每座小桥最多只准走一次，陆地上可以重复地来回走)3.在我国著名数学家陈景润写的《数学趣谈》一书中，有下面的这样一道题，大意是说：在法国的首都巴黎有一条河，河中有两个小岛，那里的人们建了15座桥把两个小岛和河岸连接起来，如下图所示，请你说一说，从任一岸出发，一次连续地通过所有的桥到达另一岸，可能吗?(每座桥只能走一次)4.下图所示为一座售货厅.问顾客从入口进去时，能够一次不重复地走遍各个门吗?请说明你的理由.如果售厅出口在4号房间由你设计再开一个门，使顾客从入口进去后一次不重复地走遍各个门，再从4号房间出售厅，你打算在哪里再开一个门?习题解答1.解：见下图过桥问题：可否一次通过所有的桥(每座桥只能走一次)一笔画问题：可否一笔画成图形(笔不能抬起，不能重复)2.解：见下两图，可知不能一次不重复地走遍所有的小桥，因为下右图有4个奇点.3.解：由于通过两岛之中任何一个岛的桥的数目都是偶数，而通过两岸的任一个岸的桥的数目都是奇数，这就表示由任一个岸出发，都存在一条路，使人们将所有的桥都只走一次而到达另外一个岸.画出图来就能一目了然了.见下图.因为图中共有两个奇点，且奇点均为岸，是一笔画.所以人们可以一次通过所有的桥，每座桥只走一次，由一岸到另一岸.4.解：从入口进入售货厅后，也就是从1号房间开始不能一次不重复地走遍各个门，因为虽然整个图形(见下图)只有2个奇点，但点1是偶点.当出口在4号房间时，如再在1号和3号房间之间开一个门，则从1号房间开始后就能一次不重复地走遍各个门.因为点1变成了奇点，点4仍为奇点，而整个图形只有2个奇点，因此可以从1号房间进，4号房间出.见下图(进入售货厅后先从1号房间进入3号房间即可).。