趣味数学中七桥问题与一笔画
一笔画七桥问题
例3：再回到“七桥问题”，问：在 何处架设一座桥，可使游人一次走 遍所有各桥？
例4：某花园小径如图，问：你能否 从图中点1出发不重复地走过所有小 径？如果能，请标出所经过各点的 顺序；如果不能，请标出必须重复 走的小径。
练习：下面各图，能否一笔画出？ 若能，请画出走法；若不能，请说 明理由。
留一道作业：下面的五环标志可否一笔 画成？如何画？
一笔画------七桥问题
一笔画----------七桥问题
请你做下面的游戏：一笔画出图中 的 图形来。 规则：笔不离开纸面，每根 线都只能画一次。这就是古老的民间 游戏——一笔画。 你能画出来吗？
以下网络中哪一个是可以遍历的(即 一笔而不重复地画成)？
拓扑学起源于公元1736年一个著名问题—— 哥尼斯堡七桥问题——的解决．
1727年在欧拉20岁的时候，被俄国请去在圣彼得堡 （原列宁格勒）的科学院做研究。他的德国朋友告 诉了他这个曾经令许多人困惑的问题。
欧拉并没有跑到哥尼斯堡去走走。他把这个难题化成了这样 的问题来看：把二岸和小岛缩成一点，桥化为边，于是“七 桥问题”就等价于下图中所画图形的一笔画问题了， 这个 图如果能够一笔画成的话，对应的“七桥问题”也就解决了。
能否一笔画是由图的奇、偶点的数目来决定的。那么什么 叫奇、偶点呢？与奇数（单数）条边相连的点叫做奇点； 与偶数（双数）条边相连的点叫做偶点。如下图中的①、 ④为奇点，②、③为偶点。
1．凡是由偶点组成的连通图，一定可以一笔画成。画时 可以把任一偶点为起点，最后一定能以这个点为终点画完 此图。例如下图都是偶点，画的线路可以是：①→③→⑤ →⑦→②→④→⑥→⑦→①
2．凡是只有两个奇点的连通图（其余都为 偶点），一定可以一笔画成。画时必须把一 个奇点为起点，另一个奇点终点。例如下图 的线路是：①→②→
七桥问题与一笔画的通解
七桥问题与一笔画的通解（论文拟稿）在柯尼斯堡的一个公园里，有七座桥将一条河上的两座岛和两岸相连接。
当时有人提出了这么一个问题：如何一次性不重复不遗漏走完七座桥。
后来，数学家欧拉将它变成了一个一笔画问题（如图）。
从欧拉的简化图来看，似乎我们无论如何，也不能一笔画完图形。
但是，这是为什么呢?在这个图中，有ABCD 4个点，有五条线汇聚到A点，三条线汇聚到B,C,D 点，我们可以把这种有奇数条线（3条及以上）汇聚的点称为奇点，作为对应，把有偶数条线（4条及以上）汇聚的点称为偶点。
那么，我们不难发现，在任意封闭图形中，奇点的个数一定是偶数。
因为一条线定连接两个点（或重合），若存在奇数个奇点，则此图形定不符合封闭图形定义。
从一个奇点来看，若要一笔画成，则此奇点定是起笔点或停笔点。
起笔点，停笔点只有两个，所以说，奇点为两个或没有奇点的封闭图形可以一笔画。
回来看七桥问题，图中有四个奇点，以任意两个作为起笔点和落笔点，则还有两个奇点无法连接。
故七桥问题无解。
从上面总结出以下结论：■⒈凡是由偶点组成的连通图，一定可以一笔画成。
画时可以把任一偶点为起点，最后一定能以这个点为终点画完此图。
■⒉凡是只有两个奇点的连通图(其余都为偶点)，一定可以一笔画成。
画时必须把一个奇点为起点，另一个奇点为终点。
■⒊其他情况的图都不能一笔画出。
(奇点数除以二便可算出此图需几笔画成。
)我们可以把得到的结论推广到所有一笔画解法存在问题，如汉字“田”，我们观察到，它有四个奇点，故不可以一笔画。
而汉字“日”，只有两个奇点，则可以一笔画。
早在1736年，欧拉在交给彼得堡科学院的《哥尼斯堡7座桥》的论文报告中，就阐述了这种方法，也为后来的数学新分支--拓扑学的建立奠定了基础。
从这里我们可以看出，伟大的创造一开始可能并不像我们想象的那么高深莫测，仔细观察生活，我们也会有了不起的发现。
哥尼斯堡七桥问题与一笔画课件
在18世纪，人们开始对图论进行 研究，探索图的结构和性质，其 中哥尼斯堡七桥问题成为了图论 研究的重要问题之一。
哥尼斯堡七桥问题的起源
哥尼斯堡七桥问题起源于18世纪初，当时有一位名叫欧拉的 人，他是一位数学家和工程师，对图论进行了深入研究。
欧拉在研究哥尼斯堡的桥梁和河流时，提出了一个问题：是 否存在一条路径，能够遍历哥尼斯堡的所有桥梁，每座桥只 过一次？这就是著名的哥尼斯堡七桥问题。
哥尼斯堡七桥问题对一笔画问题的影响
哥尼斯堡七桥问题的解决推动了数学领域的发展，它证明了不存在一条遍历七座 桥的路径，每座桥只过一次，最后回到开始的地方。
这个问题的解决对于一笔画问题的研究具有重要意义，它揭示了一笔画问题的复 杂性和多样性，也促使数学家们深入研究一笔画问题的性质和规律。
一笔画问题在哥尼斯堡七桥问题中的应用
哥尼斯堡七桥问题是一笔画问题的经典案例，它探讨的是从哥尼斯堡的一个地方开 始，能否遍历城市的七座桥，每座桥只过一次，最后回到开始的地方。
一笔画问题则是一个更广泛的几何问题，研究的是在一个连通图上，是否存在一条 路径能够遍历所有的边，每条边只过一次。
哥尼斯堡七桥问题实际上是几何图形的一笔画问题，它为后续一笔画问题的研究提 供了基础。
哥尼斯堡七桥问题的历史意义
哥尼斯堡七桥问题的解决标志着图论 的诞生，成为图论发展史上的一个里 程碑。
该问题的解决为后续的图论研究提供 了基础和指导，推动了数学和图论的 发展。
02 一笔画问题概述
一笔画问题的定义
一笔画问题，也称为欧拉路径问题，是图论中的一个经典 问题。它主要探讨的是在一个给定的图形中，是否存在一 条路径，使得这条路径能够遍历图形的每一条边且只遍历 一次。
地图导航
一笔画七桥问题
2．凡是只有两个奇点的连通图（其余都为 偶点），一定可以一笔画成。画时必须把一 个奇点为起点，另一个奇点终点。例如下图 的线路是：①→②→③→①→④
下列图形中那几个可以一笔画出来？
（1）、（2）、（4）可以一笔画出；（3）、（5）不能一笔画 出
例1 下列哪几个图能一笔画出？如果能，给出画法。
哥尼斯堡是位于普累格河上的一座城市，它 包含两个岛屿及连接它们的七座桥．该河流 经城区的这两个岛．岛与河岸之间架有六座 桥，另一座桥则连接着两个岛．星期天散步 已成为当地居民的一种习惯，但试图走过这 样的七座桥，而且每桥只走过一次却从来没 有成功过．但直至引起瑞士数学家欧拉 (Leonhard Euler，1707—1783)注意之前， 没有人能够解决这个问题 ．
例3：再回到“七桥问题”，问：在 何处架设一座桥，可使游人一次走 遍所有各桥？
例4：某花园小径如图，问：你能否 从图中点1出发不重复地走过所有小 径？如果能，请标出所经过各点的 顺序；如果不能，请标出必须重复 走的小径。
练习：下面各图，能否一笔画出？ 若能，请画出走法；若不能，请说 明理由。
留一道作业：下面的五环标志可否一笔 画成？如何画？
能否一笔画是由图的奇、偶点的数目来决定的。那么什么 叫奇、偶点呢？与奇数（单数）条边相连的点叫做奇点； 与偶数（双数）条边相连的点叫做偶点。如下图中的①、 ④为奇点，②、③为偶点。
1．凡是由偶点组成的连通图，一定可ห้องสมุดไป่ตู้一笔画成。画时 可以把任一偶点为起点，最后一定能以这个点为终点画完 此图。例如下图都是偶点，画的线路可以是：①→③→⑤ →⑦→②→④→⑥→⑦→①
一笔画------七桥问题
一笔画----------七桥问题
请你做下面的游戏：一笔画出图中 的 图形来。 规则：笔不离开纸面，每根 线都只能画一次。这就是古老的民间 游戏——一笔画。 你能画出来吗？
小升初数学专项题第七讲 一笔画与七桥问题_通用版
小升初数学专项题第七讲一笔画与七桥问题_通用版第七讲一笔画与七桥问题【知识梳理】1.一笔画是指能够一笔画成的图形。
2.把和一条、三条、五条等奇数条线相连的点叫做奇点，把和两条、四条、六条等偶数条线相连的点叫做偶点，这样图形中要么是奇点，要么是偶点。
3.有2个奇点或0个奇点（全部是偶点）连通图能够一笔画成，否则不能一笔画成。
4.七桥问题可以转化成一笔画问题解决。
【典例精讲1】一笔画就是笔不离纸，笔画不重复，一笔画出一个图形．你能用一笔画出下列图形吗？思路分析：能够一笔画成的图形，首先必须要相连，结果不相连就一定不能一笔画成，能否一笔画成，关键在于判别奇点、偶点的个数：只有偶点，可以一笔画，并且可以以任意一点作为起点；只有两个奇点，可以一笔画，但必须以这两个奇点分别作为起点和终点；奇点超过两个，则不能一笔画。
解答：观察图形可知（1）第一个图形全是偶点，所以能一笔画出；（2）第二个图形是2个奇点，剩下的都是偶点，所以能一笔画出。
小结：解决这类问题首先要看是不是连通图，其次看奇点或偶点的个数，由偶点组成的，或只有两个奇点的连通图才能一笔画成。
【举一反三】1、下面这些图形，哪个能一笔画？哪个不能一笔画？2.“九点连线”是一道著名的数学题，你能用一笔画4条连续的直线段，把图中所有的9个点都连起来吗？请你在下图画出来。
【典例精讲2】在一个城市中有七座桥和四个区域：能不能一次走遍所有的七座桥，而每座桥只准经过一次？思路分析：用“1、2、3、4、5、6、7”表示七座桥，它们连接着A、B、C、D 四个区域（如图所示），这样一来，七座桥的问题，就转变为一个一笔画问题，即能不能一笔从头到尾不重复地画出这个图形．解答：图中有4个奇点和一个偶点，奇点个数不是2个，因为C、D、E都是奇数点。
【答案】：：（1）不能不重复地走一次穿过每扇门。
（2）当关闭C和D之间的门；或关闭D和E之间的门；或关闭E通向过道的门时，可一次通过．（用A、B、C、D、E五个点表示五个房间，F点表示过道，用线把两个点连起来，于是走的路线就简化成一笔画问题。
七桥问题和一笔画
③但凡图形中有2个以上奇点旳，不能完毕一 笔画。
用你发觉旳规律，说一说七桥问题旳答案？
因为七桥问题中旳四个点都是奇点，所以能 够判断它是无法一笔画出来旳 ，也就是说 根本不存在能不反复走遍七座桥旳路线！
● 点A、B体现岛 点C。D体现岸
▎线体现桥
问题分析
问题旳答案怎样呢？让我们先来了解三个新概念。
①有奇数条边相连旳点叫奇点。如：
●
●
●
②有偶数条边相连旳点叫偶点。如：
●
●
●
③一笔画指：1、下笔后笔尖不能离开纸。 2、每条线都只能画一次而不能反复。
活动探究
下图形中。请找出每个图旳奇点个数，偶点个数。试一试哪些能够一笔画出，请填表，从中 你能发觉什么规律？
课堂练习
1、 一辆洒水车要给某城市旳街道洒水，街道地图如下：你能否设计一条洒水车洒水旳路 线，使洒水车不反复地走过全部旳街道，再回到出发点？
小广场
超市 菜市场
文具店 电器城
服装城
课堂练习
2、 下图是一种公园旳平面图，能不能使游 人走遍每一条路不反复？入口和出口又应设 在哪儿？
E ●
●G F ● D●
这就是数学史上著名旳七桥问题，你乐意试一试吗？
问题情景
18世纪时风景秀丽旳小城哥尼斯堡中有一 条河，河旳中间有两个小岛，河旳两岸与两 岛之间共建有七座桥（如图），当初小城旳 居民中流传着一道难题：一种人怎样才干不 反复地走过全部七座桥，再回到出发点？
问题分析
数学家欧拉懂得了七桥问题他用四个点A、B、 C、D分别体现小岛和岸，用七条线段体现七 座桥（如图）于是问题就成为怎样“一笔画”出 图中旳图形？
七桥问题与一笔画
（ Ｃ点 ） ， 如图ｌ １ ． 如 果 要 选 择 最
二
Ｄ
个偶 点 ： Ａ、 Ｂ、 Ｄ、 Ｆ， ２ 个奇点 ： Ｃ、 ， 可 以 一
笔 画成 ． 图７ 中有２ 个 偶点 ： ４、 Ｃ， ２ 个奇 点 ：
Ｂ、 Ｄ， 可 以 一 笔 画 成 ．图 ８ 中有 １ 个偶 点 ： Ｄ。 ４ 个奇点 ： Ａ、 、 Ｃ、 Ｄ， 不 能 一 笔 画 成 ．再
找 几 个 图形 试 一 试 ， 你 能 发 现什 么 规 律 吗 ？
【 规律 】
① 可 以 一 笔 画 成 的 图形 ． 与 偶 点 个 数
无关 ， 与奇点个 数有关 ． 也 就是说 ， 凡 是 图
短 的线 路 ， 谁 先 回到 邮 局 ？
ｃ
形 中没 有 奇 点 的 （ 奇 点 个数 为０ ） ， 可 选 任 一
个点做起点 ． 且 一 笔 画后 可 以 回到 出 发 点 ．
７ ２
Ｅ Ｆ
图 １ １
Ｔ １ ｎ ｔ ｅ 慧 ｌ ｌ ｉ ｇ 散 ｅ ｎ 掌 ｔ ｍ ａ ｔ ｈ ｅ ｍ ａ ｔ ｉ ｃ ｓ
条线都只能画一次而不能重复． 图５ 一图 ８ 四个 图 形 中 。 你 能 找 出图５ 一
图８ 的 每 个 图形 中 奇 点 和 偶 点 的 个 数 吗 ？ 请 你 试 一 试 其 中 哪些 可 以一 笔 画 出 ？
Ｅ
超
店
图 ５
图６
７
图 ８
【 分析 】 图５ 中有６ 个偶 点 ： Ａ、 Ｂ、 ｃ、 Ｄ、
看几 个一 笔 画 的问题 ．
先 让 我 们 来 了解 三 个 新 概 念 ．
一笔画问题
一笔画问题
1.瑞士大数学家欧拉在七桥问题的过程中，发现了一笔画原理，这一原理被命名为“欧拉定理”：
（1）能一笔画的图形必须是连通的。
（2）凡是只由偶顶点组成的连通图形，一定可以一笔画出，画时可以由任一偶顶点为起点，最后仍回到这点。
(3)凡是只有两个奇顶点的连通图形一定可以一笔画出，画时必须以一个奇顶点为起点，以另一个奇顶点为终点。
（4）奇顶点个数超过两个的图形不能一笔画出。
2.能一笔画出的图形的奇顶点数目是2或0，如果图形有奇顶点2N（n为正整数）个，那么图形最少要用N笔画出。
哥尼斯堡七桥问题与一笔画精品PPT课件
著名的哥尼斯堡大学，傍倚于两条支流的河旁， 使这一秀色怡人的区域，又增添了几分庄重的韵味! 有七座桥横跨普累格河及其支流，其中五座把河岸 和河心岛连接起来。这一别致的桥群，古往今来， 吸引了众多的游人来此散步。
这在人类智慧所未及的领域，是很常见的事！
拿起栓有15个圆环的绳子，任选一个桥的支柱作为起点，沿桥依次套圈，看看 是否可以让除起点之外的13个桥柱上都有一个圈。（起点的柱子上有两个圈）。 结论是，不可能实现完成该任务。
❖ 欧拉
欧拉（L.Euler,1707.4.151783.9.18）著名的数学家。生于 瑞士的巴塞尔，卒于彼得堡。大 部分时间在俄国和德国度过。他 早年在数学天才贝努里赏识下开 始学习数学, 17岁获得硕士学位， 毕业后研究数学,是数学史上最高 产的作家。在世发表论文700多篇, 去世后还留下100多篇待发表。其 论著几乎涉及所有数学分支。
课后作业
请你观察生活，设计一个运 用“一笔画”的数学知识来解 决的实际问题。并与同伴交流。
写在最后
经常不断地学习,你就什么都知道。你知道得越多,你就越有力量 Study Constantly, And You Will Know Everything. The More
You Know, The More Powerful You Will Be
②若奇点个数为2，可选其中一个奇点做起点， 而终点一定是另一个奇点，即一笔画后不可以 回到出发点。
③凡是图形中有2个以上奇点的，不能完成一 笔画。
用你发现的规律，说一说七桥问题的答案？
由于七桥问题中的四个点都是奇点，因此可 以判断它是无法一笔画出来的 ，也就是说 根本不存在能不重复走遍七座桥的路线！
七桥问题与一笔画
赤城四小 叶考良
一、七桥问题的来历
18世纪时，欧洲有一个风景秀丽的小城哥尼斯 堡，那里有七座桥。河中有两个小岛, 一个岛与河的 左岸、右岸各有两座桥相连结，另一个岛与河的左岸、 右岸各有一座桥相连结，两个岛屿之间也有一座桥相 连结。人们经常在桥上走过，一天又一天，７座桥上 走过了无数的行人。不知从什么时候起，脚下的桥梁 触发了人们的灵感，一个有趣的问题在居民中传开了： 谁能够一次走遍所有的７座桥，而且每座桥都只通过 一次呢？大家都想找出问题的答案，但是谁也解决不 了这个七桥问题。
D
A C D C
A D C
A D
B A
C B
B A D
C B
B A D
C B
D
生活中的一笔画
1、甲乙两个邮递员去送信，两人以同样的速度走遍 所有的街道，甲从A点出发，乙从B点出发，最后都 回到邮局（C点）。如果要选择最短的线路，谁先回 到邮局？
2、下图是一个公园的平面图，要使游 人走遍每一条路不重复，出口和入口应 设在哪儿？
能不能既不 重复又不遗 漏地一次相 继走遍这七 座桥？ 七哥 桥尼 问斯 题堡
能不能既不 重复又不遗 漏地一次相 继走遍这七 座桥？
① ②
⑥
⑤
⑦
③ ④
直到1736年，瑞士著名数学家欧拉才解决了这个 问题。
把河的两岸、两个小岛看成四个点
把七座桥看成是七条线
A C D
B
数学模型建立好之后，那么“七桥问题” 也
C
B
D
2.下列图形能不能用一笔画出来？ 为什么？ A
E
A
F
能一笔画出
D
B
能一笔画出
F
C
兴趣 七桥问题与一笔画
仔细观察并找出规律
①可以一笔画成的图形，与偶点个数无关，与奇点个数有关. 其个数是0或2. ②其中若奇点个数为0，可选任一个点做起点，且一笔画后可 以回到出发点。若奇点个数为2，可选其中一个奇点做起点， 而终点一定是另一个奇点，即一笔画后不可以回到出发点。图 形中任何端点根据所连接线条数被分为奇点、偶点。只有所有 点为偶点的图形和只有两个奇点的图形可以一笔画。只有偶点 的图形不限出发点，只有两个奇点必然从其中一点出发到另一 点结束。在任何图形中，奇点都是成对出现的，没有奇数个奇 点的图形。
仔 细 观 察 并填写
下列图形中。请找出每个图的奇点个数，偶点个数。试一 试哪些可以一笔画出，请填表，从中你能发现什么规律？ 对于图①②③⑥⑦有什么共 同的特点？如果它们能一笔 画，必须从什么样的点出发 ？你得到了那些结论？ 对于图①②③④⑤⑥⑨有什 么共同的特点？如果它们能 一笔画，必须从什么样的点 出发？你得到了哪些结论？
我们是个设计规划师
知识来源于生活，通过学以致用，把在探究活动中学到的 知识又服务日常生活之中。在此设置三道练习题，让学生 分析问题及解决问题的能力在此得到升华，同时也增强数 学的趣味性。 一辆洒水车要给某 城市的街道洒水， 街道地图如下：你 能否设计一条洒水 车洒水的路线，使 洒水车不重复地走 过所有的街道，再 回到出发点？
1、今天你学到了你想要的只是了吗？ 2、所学的知识能够对你解题有帮助吗？ 3、有没有你想学但是没有学到的知识。 4、...... . . . . . .
同学们，下节课再见！
聪明在于学习，天才在于积累。
哥尼斯堡问题
用你发现的规律，说一说七桥问题的答案？
答：因为奇点个数为4，所以七桥问题不能一笔画，也就 是说，不能不重复地走过所有的七座桥，再回到出发点 。
哥尼斯堡七桥问题与一笔画通用课件
问题的意义
01
哥尼斯堡七桥问题推动了图论的 发展，成为图论和几何图形研究 的重要基础。
02
问题揭示了图论中节点和边的概 念，以及它们之间的关系和限制 条件，为后续的图论研究提供了 重要的启示。
02
一笔画问题概述
一笔画的基本概念
一笔画
一笔画是指从一个给定的点开始 ，沿着某些路径（通常是线段） 前进，最后回到起始点，路径在 任何地方都不交叉或重复。
际应用价值。
THANKS。
05
哥尼斯堡七桥问题的解决方案
欧拉解决哥尼斯堡七桥问题的方法
欧拉通过数学分析，证明了哥尼斯堡七桥问题没有一笔画的 可能性，即不存在一条路径能够遍历七座桥而不重复经过任 何一座桥。
欧拉的方法基于图论的基本原理，通过分析图中的奇点（起 点和终点）和偶点（中间的交点），证明了七桥问题没有一 笔画的可能性。
地图染色
地图染色问题是一笔画问题的一个变种，它要求将地图上 的国家或地区按照一定的规则进行染色，使得相邻的国家 或地区颜色不同。
物流配送
在物流配送中，一笔画问题可以用于解决最优配送路线问 题，即如何规划一条或多条路线，使得所有客户都被访问 且只被访问一次，同时总距离最短。
一笔画问题的未来发展
算法优化
现代技术的应用
随着计算机技术的发展，现代数学软件和算法可以模拟和验证图论中的问题，为 解决复杂问题提供了更高效的方法。
现代技术可以用于分析和处理大规模的图数据，例如社交网络、交通网络等，这 些网络结构与哥尼斯堡七桥问题类似，可以通过计算机模拟和算法找到最优解或 近似解。
对其他类似问题的启示
哥尼斯堡七桥问题的解决为图论和其他相关领域的研究提 供了基础和启示，推动了数学和科学的发展。
七桥问题和一笔画
一笔画七桥问题和一笔画18世纪时，欧洲有一个风景秀丽的小城哥尼斯堡，那里有七座桥。
如图1所示：河中的小岛A与河的左岸B、右岸C各有两座桥相连结，河中两支流间的陆地D与A、B、C各有一座桥相连结。
当时哥尼斯堡的居民中流传着一道难题：一个人怎样才能一次走遍七座桥，每座桥只走过一次，最后回到出发点？大家都试图找出问题的答案，但是谁也解决不了这个问题。
图 1 图 2七桥问题引起了著名数学家欧拉（1707—1783）的关注。
他把具体七桥布局化归为图2所示的简单图形，于是，七桥问题就变成一个一笔画问题：怎样才能从A、B、C、D中的某一点出发，一笔画出这个简单图形（即笔不离开纸，而且a、b、c、d、e、f、g各条线只画一次不准重复），并且最后返回起点？欧拉经过研究得出的结论是：图2是不能一笔画出的图形。
这就是说，七桥问题是无解的。
这个结论是如何产生呢？请看下面的分析。
如果我们从某点出发，一笔画出了某个图形，到某一点终止，那么除起点和终点外，画笔每经过一个点一次，总有画进该点的一条线和画出该点的一条线，因此就有两条线与该点相连结。
如果画笔经过一个n次，那么就有2n条线与该点相连结。
因此，这个图形中除起点与终点外的各点，都与偶数条线相连。
如果起点和终点重合，那么这个点也与偶数条线相连；如果起点和终点是不同的两个点，那么这两个点部是与奇数条线相连的点。
综上所述，一笔画出的图形中的各点或者都是与偶数条线相连的点，或者其中只有两个点与奇数条线相连。
图2中的A点与5条线相连结，B、C、D各点各与3条线相连结，图中有4个与奇数条线相连的点，所以不论是否要求起点与终点重合，都不能一笔画出这个图形。
1736年，欧拉在圣彼得堡科学院作了一次学术报告。
在报告中，他证明了上述结论。
后来他又给出了鉴别任一图形能否一笔画出的准则，即欧拉定理。
为了介绍这个定理，我们先来看下面的预备知识：由有限条线组成的图形叫做网络，其中每条线都要求有两个不同的端点。
七桥问题与一笔画
这 就 是 数 学 史 上 著 名 的 七 桥 问 题 ， 你 愿 意 试 一 试 吗 ？
每一个到此游玩或散心的人都 想试一试，可是，对于这一看 似简单的 问题，没有一个人能 符合要求地从七座桥上走一遍。 这个问题后来竟变得神乎其神， 说 是有一支队伍，奉命要炸毁 这七座桥，并且命令要他们按 照七桥问题的要求去炸。 七桥 问题也困扰着哥尼斯堡大学的 学生们，在屡遭失败之后，他 们给当时著名数学家欧 拉写了 一封信，请他帮助解决这个问 题。
问题分析
数学家欧拉知道了七桥问题他用四个点A、B、 C、D分别表示小岛和岸，用七条线段表示七 座桥（如图）于是问题就成为如何“一笔画” 出图中的图形？
C
A
D
B
● 点A、B表示岛 点C。D表示岸 ▎线表示桥
问题分析
问题的答案如何呢？让我们先来了解三个新概念。
①有奇数条边相连的点叫奇点。如：
● ● ●
十八世纪，东普鲁士 的首府哥尼斯堡是一 座景色迷人的城市， 普莱格尔河横贯城区， 使这 座城市锦上添 花，显得更加风光旖 旋。这条河有两条支 流，在城中心汇成大 河，在河的 中央有 一座美丽的小岛。河 上有七座各具特色的 桥把岛和河岸连接起 来。
问题情景
18世纪时风景秀丽的小城哥尼斯堡中有一 条河，河的中间有两个小岛，河的两岸与两 岛之间共建有七座桥（如图），当时小城的 居民中流传着一道难题：一个人怎样才能不 重复地走过所有七座桥，再回到出发点？
图⑶
图⑷
总结规律
①可以一笔画成的图形，与偶点个数无关， 与奇点个数有关。也就是说，凡是图形中没 有奇点的（奇点个数为0 ），可选任一个点做 起点，且一笔画后可以回到出发点。 ②若奇点个数为2，可选其中一个奇点做起点， 而终点一定是另一个奇点，即一笔画后不可以 回到出发点。 ③凡是图形中有2个以上奇点的，不能完成一 笔画。 用你发现的规律，说一说七桥问题的答案？
哥尼斯堡七桥问题---- 一笔画
投递路线 一笔画
欧拉回路
最理想的投递路线，就是该段道图是一条欧拉回路。 图（2）的投递路线如下图（3）。
含有奇点的段道图不能一笔画出，有些道路需要重复 走两次的都要添上一条弧。图（1）添弧后如图（4）。
图（3）
图（4）
问题：如何不重复地走 完七桥后回到起点？
一笔画问题 如何将此图一笔画出？
中国邮递员问题
• 中国邮递员问题(Chinese Postman Problem, CPP)是由我国管梅谷教授于1962年首先提出并
发表的 • 例如：观察下列段道图
图（1）
图（2）
从邮局出发，走遍邮区的所有街道至少 一次再回到邮局，按照什么样的路线投 递邮件才能使总的路程最短？
全都是偶点的连 通图可以一笔画
画时以任一点为起点，最后仍回 到该点
一
有两个奇点的连 画时以一个奇点为起点，另一个
笔
通图可以一笔画 奇点为终点
画
奇点个数超过两个的连通图 形不能一笔画
判断下列图形能否一笔画
图1
图3
图2
图4
谁能够一次走遍所有的７座桥，而且每座桥都 是偶点的连通图可以一笔画奇点个数超过两个的连通图形不能一笔画画时以任一点为起点最后仍回到该点画时以一个奇点为起点另一个奇点为终点有两个奇点的连通图可以一笔画判断下列图形能否一笔画图4图3图2图1谁能够一次走遍所有的7座桥而且每座桥都只通过一次
一笔画
一笔画 要求：①一笔画完
.
. ③也
偶点：进进出出 奇点：起点或终点
小学趣味数学——七座桥
●
②偶点
●
●
●
●
●
③一笔画：1、下笔后笔尖不能离开纸。 2、每条线只能画一次，不能重复。
活动探究
奇点个数 偶点个数 能否一笔画
图⑴
●B
2
0
能
A●
图⑵பைடு நூலகம்
●A
B●
●C
2
3
能
E●
●D
A
图⑶
●●
1
0
能
图⑷
0
10
能
奇点个数 偶点个数 能否一笔画
图(5)
4
1
否
图(6)
4
2
否
图(7)
4
1
否
图(8)
4
4
否
①一笔画成的图形，与偶点个数无关， 与奇点个数有关。
康尼斯堡
的 七桥
康尼斯堡 俄国有一座古城，
。这是一个美丽的地方，
它由两个岛组成的，七座桥把两个小岛与河岸连接起来。
康尼斯堡
一个人，不重复，一次走遍七座桥，最后又回到出 发点呢？
欧拉 瑞士著名的数学家
，
岛、岸看作一个点，桥看作一条线，
这样我们只需要研究能否一笔画出这个图形就OK了！
A
B
问题分析
②奇点=0，可一笔画，终点、起点相同。 奇点=2，可一笔画，一个奇点做起点，另
一个奇点做终点。
③奇点>2，不能一笔画。
康尼斯堡的七桥 基点个数=4，不能一笔画。
欧拉特别热爱数学，甚至在他双眼失明后，仍 然用口述的方法坚持研究。他的一生创造了将 近900本杰出的著作，是数学史上最多产的数 学家。
谢谢
二年级七桥问题一笔画问题1.5h
图 形
单数点个数
双数点个数
是否是 一笔画
起点、终点
A、B、C、D
0 0
2 2 2
4 3
1 2 4
√ √
√ √ √
A、B、C
以A、D为起 点、终点
以B、D为起 点或终点
以F、C为起 点、终点
4
4
0
5
×
×
下图能一笔画出来吗？如果能该怎么画？
图中共有4个交点，其中2个偶点， 2个奇点。
能一笔画成。从一个奇点出发，到 另一个奇点结束。
下列图形能否一笔画
不连通的图形不能一笔画
图1 图2 图3
连通的图形有可能一笔画
图4 图5
下面的图形能一笔画成吗？
为什么有的图形能一笔画成，有的图形却不 能一笔画成呢？一笔画图形有哪些特点? 研究一笔 画问题，先要了解图形的特点。
你能用一笔画出下列图形吗？
两条相交的线处都有一个交点。
任何图形都是由点、线组成.图形中的点可以分 为偶点和奇点两大类。
下图能一笔画出来吗？如果能该怎么画？
图中12个交点都是偶点。 能一笔画成。从任一个偶点出发， 还到这个偶点结束。
起点
终点
起点 终点
一个图形能否一笔画成，关键在于图 中单数点的多少。 （1）凡是图形中没有单数点的一定可以 一笔画成。 （2）凡是图形中只有一个或者两个单数 点，一定可以一笔画成。画时必须从一个 单数点为起点，以另一单数点为终点。 （3）凡是图形中单数点的个数多于两个 时，此图肯定是不能一笔画成。
红蚂蚁获胜！
故事发生在18世纪 的哥尼斯堡城.流经 那里的一条河中有两 个小岛，还有七座桥 把这两个小岛与河岸 联系起来，
那Байду номын сангаас风景优美，游人众多.在这美丽的地方，人们议 论着一个有趣的问题：一个游人怎样才能不重复地一 次走遍七座桥，最后又回到出发点呢？
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七桥问题与一笔画
教学目标：
1、让学生体会用数学知识解决问题的方法。
2、通过其中抽象出点、线的过程，使学生对点、线有进一步的认识。
3、通过“一笔画”问题及其结论的了解，扩大学生知识视野，激发学生学习兴趣。
重点：运用“一笔画”的规律，快速正确地解决问题。
难点：探究“一笔画”的规律。
教学过程：
教学过程
一、展示问题引入新课
18世纪时风景秀丽的小城哥尼斯堡中有一条河，河的中间有两个小岛，河的两岸与两岛之间共建有七座桥（如图），当时小城的居民中流传着一道难题：一个人怎样才能不重复地走过所有七座桥，再回到出发点？
这就是数学史上著名的七桥问题，你愿意试一试吗？
二、分析：数学家欧拉知道了七桥问题他用四个点A、B、C、D 分别表示小岛和岸，用七条线段表示七座桥（如图）于是问题就成为如何“一笔画”出图中的图形？
问题的答案如何呢？让我们先来了解三个新概念。
①有奇数条边相连的点叫奇点。
如：
● ●
●
②有偶数条边相连的点叫偶点。
如：
● ●
③一笔画指：1、下笔后笔尖不能离开纸。
2、每条线都只能画一次而不能重复。
三、活动探究
下列图形中。
请找出每个图的奇点个数，偶点个数。
试一试哪些
可以一笔画出，请填表，从中你能发现什么规律？
● 点A 、B 表示岛
点C 。
D 表示岸 ▎线表示桥
A
B
C ⑵ （3）
（1）
规律：①可以一笔画成的图形，与偶点个数无关，与奇点个数有关.其个数是0或2.②其中若奇点个数为0，可选任一个点做起点，且一笔画后可以回到出发点。
若奇点个数为2，可选其中一个奇点做起点，而终点一定是另一个奇点，即一笔画后不可以回到出发点。
用你发现的规律，说一说七桥问题的答案？
四、知识的拓宽与深化
在七桥问题中，如果允许再架一座桥，能否不重复地一次走遍这八座桥？这座桥应架在哪里？请你试一试！
五、课堂练习
1、一辆洒水车要给某城市的街道洒水，街道地图如下：你能否设计一条洒水车洒水的路线，使洒水车不重复地走过所有的街道，再回到出发点？
2、下图是一个公园的平面图，能不能
使游人走遍每一条路不重复？入口和出口
又应设在哪儿？
3、甲乙两个邮递员去送信，两人同时出发以同样的速度走遍所有的街道，甲从A 点出发，乙从B 点出发，最后都回到邮局（C 点）。
如果要选择最短的线路，谁先回到邮局？
六、小结：
师生共同完成，主要围绕以下两方面： ① 在探究七桥问题中，我们运用了哪些数学思想和方法去研究问题？谈谈你活动后的感受。
② 在探究过程中，你遇到了哪些困惑，是如何解决的？还有哪些问题没有解决？
七．课后作业
请你观察生活，设计一个运用“一笔画”的数学知识来解决的实际问题。
并与同伴交流。
C。