2019年中考数学几何变形题归类辅导 专题03 截长补短法(解析版)

【2019年中考数学几何变形题归类辅导】

专题3：截长补短法

【典例引领】

例题：（2013黑龙江龙东地区）正方形ABCD的顶点A在直线MN上，点O是对角线AC、BD的交点，过点O作OE MN于点E，过点B作BF⊥MN于点F。

（1）如图1，点O、B两点均在直线MN上方时，易证：AF+BF=2OE（不需证明）

（2）当正方形ABCD绕点A顺时针旋转至图2、图3的位置时，线段AF、BF、OE之间又有怎样的关系？请直接写出你的猜想，并选择一种情况给予证明。

【答案】图2结论：AF﹣BF=2OE，图3结论：BF-AF=2OE

【分析】（1）过点B作BG⊥OE于G，可得四边形BGEF是矩形，根据矩形的对边相等可得EF=BG，BF=GE，根据正方形的对角线相等且互相垂直平分可得OA=OB，∠AOB=90°，再根据同角的余角相等求出∠AOE=∠OBG，然后利用“角角边”证明△AOE和△OBG全等，根据全等三角形对应边相等可得OG=AE，OE=BG，再根据AF﹣EF=AE，整理即可得证；（2）选择图2，过点B作BG⊥OE交OE的延长线于G，可得四边形BGEF是矩形，根据矩形的对边相等可得EF=BG，BF=GE，根据正方形的对角线相等且互相垂直平分可得OA=OB，∠AOB=90°，再根据同角的余角相等求出∠AOE=∠OBG，然后利用“角角边”证明△AOE和△OBG 全等，根据全等三角形对应边相等可得OG=AE，OE=BG，再根据AF﹣EF=AE，整理即可得证；选择图3同理可证．

【解答】（1）证明：如图，

过点B作BG⊥OE于G，

则四边形BGEF是矩形，

∴EF=BG，BF=GE，

在正方形ABCD中，OA=OB，∠AOB=90°，

∵BG⊥OE，

∴∠OBG+∠BOE=90°，

又∵∠AOE+∠BOE=90°，

∴∠AOE=∠OBG，

∵在△AOE和△OBG中，

，

∴△AOE≌△OBG（AAS），

∴OG=AE，OE=BG，

∵AF﹣EF=AE，EF=BG=OE，AE=OG=OE﹣GE=OE﹣BF，∴AF﹣OE=OE﹣BF，

∴AF+BF=2OE；

（2）图2结论：AF﹣BF=2OE，

图3结论：AF﹣B F=2OE．

对图2证明：过点B作BG⊥OE交OE的延长线于G，

则四边形BGEF是矩形，

∴EF=BG，BF=GE，

在正方形ABCD中，OA=OB，∠AOB=90°，

∵BG⊥OE，

∴∠OBG+∠BOE=90°，

又∵∠AOE+∠BOE=90°，

∴∠AOE=∠OBG，

∵在△AOE和△OBG中，

，

∴△AOE≌△OBG（AAS），

∴OG=AE，OE=BG，

∵AF﹣EF=AE，EF=BG=OE，AE=OG=OE+GE=OE+BF，∴AF﹣OE=OE+BF，

∴AF﹣BF=2OE；

若选图3，其证明方法同上

．

【强化训练】

1、（2018黑龙江龙东地区）如图，在RtΔBCD中，∠CBD=90°，BC=BD，点A在CB的延长线上，且BA=BC，点E在直线BD上移动，过点E作射线EF⊥EA，交CD所在直线于点F.

（1）当点E在线段BD上移动时，如图（1）所示，求证：BC﹣DE=DF.

（2）当点E在直线BD上移动时，如图（2）、图（3）所示。线段BC、DE和DF又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不需证明.

【答案】(1)答案见解答（2）图（2）DE﹣BC=DF．图（3）BC+DE=DF．

【分析】为了证明图（2）的结论，需要构造等腰直角三角形，在BC上截取BH，使得BH=BE.连接EH，再证△AHE≌△EDF，即可得出结论．图（3）同理可证．

【解答】（1）证明：如图1中，在BA上截取BH，使得BH=BE．

∵BC=AB=BD，BE=BH，∴AH=ED，

∵∠AEF=∠ABE=90°，

∴∠AEB+∠FED=90°，∠AEB+∠BAE=90°，∴∠FED=∠HAE，∵∠BHE=∠CDB=45°，∴∠AHE=∠EDF=135°，∴△AHE≌△EDF，∴EH=DF，

∴BC﹣DE=BD﹣DE=BE=EH

∵EH=DF．

∴BC﹣DE=DF．

（3）解：如图2中，在BC上截取BH=BE，同法可证：DF=EH．可得：DE﹣BC=DF．

如图3中，在BA上截取BH，使得BH=BE．同法可证：DF=HE，可得BC+DE=DF．

2．如图，（图1，图2），四边形ABCD是边长为4的正方形，点E在线段BC上，∠AEF=90°,且EF交正方形外角平分线CP于点F，交BC的延长线于点N, FN⊥BC. （1）若点E是BC的中点（如图1），AE与EF相等吗？

（2）点E在BC间运动时（如图2），设BE=x，△ECF的面积为y。

①求y与x的函数关系式；

②当x取何值时，y有最大值，并求出这个最大值.

【答案】（1）AE=EF；（2）①y=-x2+2x（0＜x＜4)，②当x=2,y最大值=2.

【分析】

（1）在AB上取一点G，使AG=EC，连接GE，利用ASA，易证得：△AGE≌△ECF，则可证得：AE=EF；

（2）同（1）可证明AE=EF，利用AAS证明△ABE≌△ENF，根据全等三角形对应边相等可得FN=BE，再表示出EC，然后利用三角形的面积公式即可列式表示出△ECF 的面积为y，然后整理再根据二次函数求解最值问题．

【解答】

（1）如图，在AB上取AG=EC，

∵四边形ABCD是正方形，

∴AB=BC，

有∵AG=EC ，∴BG=BE ，

又∵∠B=90°，

∴∠AGE=135°，

又∵∠BCD=90°，CP平分∠DCN，

∴∠ECF=135°，

∵∠BAE＋∠AEB=90°，∠AEB＋∠FEC=90°，

∴∠BAE=∠FEC，

在△AGE和△ECF中，

,

∴△AGE≌△ECF，