北京市北京四中2020-2021学年第一学期高一数学适应性考试
北京四中高一数学上学期期中考试试卷
北京四中高一上学期期中考试试卷数学试卷分为两卷，卷（Ⅰ）100分，卷（Ⅱ）50分，满分共计150分考试时间：120分钟卷（Ⅰ）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分1. 如果A ＝{}1->x x ，那么正确的结论是A ． 0⊆A B. {0}∈A C. {0}⊂≠ A D. φ∈A 2. 函数f （x ）＝22-x ，则f （21）＝ A. 0 B. －2 C. 22 D. －22 3. 设全集I ＝{}33<<-∈x Z x ，A ＝{1，2}，B ＝{－2，－1，2}，则A （C I B ）等于A. {1}B. {1，2}C. {2} D{0，1，2}4. 与函数y ＝10)1lg(-x 的定义域相同的函数是A. y ＝x －1B. y ＝1-xC. y ＝11-x D. y ＝1-x 5. 若函数f （x ）＝3x ＋3x -与g （x ）＝3x －3x -的定义域均为Ｒ，则A. f （x ）与g （x ）均为偶函数B. f （x ）为偶函数，g （x ）为奇函数C. f （x ）与g （x ）均为奇函数D. f （x ）为奇函数，g （x ）为偶函数6. 设a ＝log 32，b ＝ln2，c ＝521，则A. a<b<cB. b<c<aC. c<a<bD. c<b<a7. 设函数y ＝x 3与y ＝x ⎪⎭⎫ ⎝⎛21的图象的交点为（x 0，y 0），则x 0所在的区间是 A. （0，1） B. （1，2） C. （2，3） D. （3，4）8. 已知函数f （x ）是Ｒ上的偶函数，当x ≥0时1)(-=x x f ，则f （x ）<0的解集是A. （－1，0）B. （0，1）C. （－1，1）D. ()()∞+-∞-，，119. 某商店同时卖出两套西服，售价均为168元，以成本计算，一套盈利20%，另一套亏损20%，此时商店A. 不亏不盈B. 盈利37.2元C. 盈利14元D. 亏损14元10. 设函数f （x ）在()∞+∞-，上是减函数，则A. f （a ）>f （2a ）B. f （a 2）<f （a ）C. f （a 2＋a ）<f （a ）D. f （a 2＋1）<f （a ）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分11. log 64＋ log 69－832＝____.12. 已知函数y ＝f （x ）为奇函数，若f （3）－f （2）＝1，则f （－2）－f （－3）＝____。
北京市第四中学2024-2025学年高一上学期期中数学试题(含答案)
2024北京四中高一（上）期中数 学试卷分为两卷，卷（I ）100分，卷（II ）50分，满分150分，考试时间120分钟卷（I ）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分1. 已知集合，，则集合A. B. C. D.2. 函数的定义域是A. B. C. D. 3. 命题“，”的否定是A. ，B. ，C. ，D. ，4. 如果，那么下列不等式中正确的是A ． BC ． D．5. 下列函数中，在区间上为减函数的是A ． B. C. D. 6. 函数的图像关于A ．原点对称B ．x 轴对称C ．y 轴对称D ．点对称 7. 已知，则“”是“”的A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件8. 函数在区间内的零点个数是A ．0 B ．1 C ．2 D ．39. 下列函数中，满足的是A ．B ．C ．D ．10. 两个不同的函数，满足，，则可能的情况是{0,1,2,3}A ={1,3,5,7}B =A B ={1,2,3}{3}{1,3}{0,1,2,3,5,7}()f x =[2,1]-(,2][1,)-∞-+∞ (,2)(1,)-∞-+∞ [2,)-+∞R x ∀∈3210x x -+≤R x ∃∉3210x x -+>R x ∃∈3210x x -+>R x ∃∈3210x x -+≥R x ∀∈3210x x -+>0b a >>2ab b -<<22a b <11a b <()0,+∞22y x x =-y =31x y x +=+21y x =+()|1||1|f x x x =+--(1,0)0a b >>0c >a b a c b c >++31()2f x x x=--(0,)+∞(2)2()f x f x =2()(2)f x x =+()1f x x =+4()f x x=()f x x x =-()f x ()g x R x ∀∈()()0f x g x ⋅>A ．是一次函数，是二次函数B ．在上递增，在上递减C ．，都是奇函数D ．是奇函数，是偶函数二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分11．若，则实数x 的值为 .12. 不等式的解集为，则 ， .13. 函数是定义在上的奇函数，当时，，则 ．14. 函数，则的减区间为 ，的值域是 .15. 已知函数.①当时，在定义域内单调递减；②当时，一定有；③若存在实数，使得函数没有零点，则一定有；④若存在实数，使得函数恰有三个零点，则一定有；以上结论中，所有正确结论的序号是 .三、解答题：本大题共3小题，共35分16. （12分）设集合，，. （I ）求；（II ）求；（III ）若，求实数k 的取值范围.17. （11分）某学校课外活动小组根据预报的当地某天（0 ~ 24时）空气质量指数数据绘制成散点图，并选择函数来近似刻画空气质量指数随时间变化的规律（如下图所示）：（I ）求的值；（II ）当空气质量指数大于150时，有关部门建议市民外出活动应戴防雾霾口罩，并禁止特殊行业施工.请结合上面选择的函数模型，回答以下问题，并说明理由：()f x ()g x ()f x R ()g x R ()f x ()g x ()f x ()g x {21,3,5}x x ∈-210ax bx +-≥1(,1][,)4-∞-+∞U a =b =()f x R 0x >2()3f x x x =-((1))f f =231, 02()2, 20x x f x x x x +≤≤⎧=⎨+-≤<⎩()f x ()f x 2()(,4)2R x a f x a a x +=∈≠--1a =()f x 4a <-(3)(4)(1)f f f <<k ()y f x x k =-+4a <-k 2()1y f x kx =-+4a >-{||1|2}A x x =->4{|0}23x B x x +=≤-{|2121}C x k x k =-<<+()U A B ðA B C A B ⊆ 2118,08264,824at t y t t b t +≤≤⎧=⎨-+<≤⎩y t ,a b①某同学该天7:00出发上学，是否应戴防雾霾口罩？②当天特殊行业可以连续施工的最长时间为多少小时？18. （12分）已知函数.（I ）判断在上的单调性，并用定义证明；（II ）若是偶函数，求的值.卷（Ⅱ）一、选择题：本大题共3小题，每小题5分，共15分1. 已知集合，，，则A ．B ．C ．D ．2. 当时，恒成立，则的最大值为 A ．6 B ．10C ．12D ．133. 设集合的最大元素为，最小元素为，记的特征值为，若集合中只有一个元素，规定其特征值为.已知，，，，是集合的元素个数均不相同的非空真子集，且，则的最大值为A ．14 B ．15 C ．16 D ．18二、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分4. ________.5. 若二次函数的图像关于对称，且，则实数的取值范围是 .6. 设函数. 当时，的最小值是________；若是的最小值，则a 的取值范围是________.三、解答题：本大题共2小题，共20分7. （10分）已知函数.（I ）求方程组的解集；（II ）在答题纸的坐标系中，画出函数的图像；（III ）若在上具有单调性，求实数a 的取值范围.1()(2)f x x x =-)(x f (1,2)()()g x f x a =+a {1,1}A =-{|,,}B z z x y x A y A ==+∈∈{|,,}C z z x y x A y A ==-∈∈B C =B CÞB C =∅I B C A =U 2x >142x a x +≥-a A M m A A X M m =-01A 2A 3A n A *N 123120nA A A A X X X X ++++= n 13213410.125()25627--+---=()f x 2x =()()()01f a f f <<a 2(),0()1,0x a x f x x x x ⎧-≤⎪=⎨+>⎪⎩12a =()f x (0)f ()f x ()(2)1f x x x =-+()20y f x x y =⎧⎨-=⎩()f x ()f x (,1)a a +8. （10分）如果正整数集的子集满足：①；②，，使得，则称为集.（I ）分别判断与是否为集（直接写出结论）；（II ）当时，对于集，设，求证：；（III ）当时，若，求集中所有元素的和的最小值.{}*12,,,(,2)N n A a a a n n =∈≥ 121n a a a =<<< ()2k a A k n ∀∈≤≤(),1i j a a A i j n ∃∈≤≤≤k i j a a a =+A ψ{}1,3,5A ={}1,2,3,6B =ψ5n =ψ{}12345,,,,A a a a a a =15S a a =++ 521a S +≤7n ≥36n a =ψA参考答案I 卷一、单项选择题（每题4分，共40分）题号12345678910答案C B B D C A A B DB 二、填空题（每题5分，共25分）11. 1或5 12. 4，3 13. 214. ， 15. ②③注：12、14题第一空3分，第二空2分；15题少选3分，错选漏选0分.三、解答题（共35分）16. 由题意，，，(I) ；(II) ；(III) 显然，，解得，因此的取值范围是.17. (I) ，解得(II) ①是. .②时，，解得；时，，解得；,所以可以连续施工的最长时间为12小时.18. (I)在上单调递减.124⎛⎫-- ⎪⎝⎭，178⎡⎤-⎢⎥⎣⎦()()13A =-∞-+∞ ，，A R ð[]1,3=34,2B ⎡⎫=-⎪⎢⎣⎭31,2A B ⎡⎫=⎪⎢⎣⎭R ð()3,3,2A B ⎛⎫=-∞+∞ ⎪⎝⎭ 2121,k k C -<+≠∅3212132k k +≤-≥或124k k ≤≥或k [)124⎛⎤-∞+∞ ⎥⎝⎦ ，，8118206264648206a b +=⎧⎨⨯-⨯+=⎩11590a b =⎧⎨=⎩711118195150⨯+=>08t ≤≤11118150t +≤32011t ≤≤824t ≤≤2264590150t t -+≤1022t ≤≤3222101211-=>)(x f ()1,2定义域为，任取且，所以在上单调递减.(II)，是偶函数，则定义域关于原点对称，，则，此时，定义域，，符合题意，所以.II 卷一、单项选择题（每题5分，共15分）1. A2. C3. C二、填空题（每题5分，共15分）4. 5. 6. ，注：6题第一空3分，第二空2分.三、解答题（共20分）7. ，(I) ，()()()00,22-∞+∞ ，，()12,1,2x x ∈12x x <()()()()1211221122f x f x x x x x -=---()()()22221112122222x x x x x x x x ---=--()()()()211212122220x x x x x x x x -+-=-->)(x f ()1,2()()1(2)g x x a x a =++-()g x ()(2)0a a -+-=1a =()()11(1)g x x x =+-()()()11,11-∞--+∞ ，，()()()()111(1)1(1)g x g x x x x x -===-+--+-1a =15-()(),04,-∞+∞ 14⎡⎣()()()()()21,121,1x x x f x x x x -+≥-⎧⎪=⎨---<-⎪⎩()2()0202y f x x f x x y y x =-=⎧⎧⇔⎨⎨-==⎩⎩当，，，解得或当， ，即，解得或（舍）；综上，方程组的解集是.(II)（作图过程略）(III) 在递增，在递减，所以或或，因此实数a 的取值范围是.8. (I) 注意到：，因此数集不是集.注意到：，因此数集是集.(II) 由于集合是集，即对任意的，存在，使得成立。
北京四中2020-2021高一上学期期中考试
北京四中2020-2021高一上学期期中考试一．选择题1.已知全集U ，集合{1,2,3,4,5},{3,2}A B ==-，则图中阴影部分表示的集合为A．{3} B.{3,2}- C.{2} D.{2,3}-2.不等式201x x -≤+的解集是A．(,1)(1,2]-∞-⋃- B.[1,2]- C.(,1)[2,)-∞-⋃+∞ D.(1,2]-3.下列函数中，在区间(0,)+∞上为减函数的是A．22y x x =- B.||y x = C.21y x =+ D.y =4.已知函数2()51f x x x =-+，则下列区间中一定包含()f x 零点的区间是A．(2,1)-- B.(1,0)- C.(0,1) D.(1,2)5.若函数()f x 是偶函数，且在区间[0,3]上单调递增，则A．(1)(2)(3)f f f ->> B.(3)(1)(2)f f f >->C.(2)(1)(3)f f f >-> D.(3)(2)(1)f f f >>-6.已知12,x x 是方程220x -+=的两根，则2212x x +=A．2 B.3 C.4 D.57.已知,,a b R ∈且,a b >则下列结论中正确的是A．1a b > B.11a b< C.||||a b > D.33a b >8.“2a =”是“函数()||f x x a =-在区间上[2,)+∞为增函数”的A．充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件9.向某容器中匀速注水时容器水面高度h 随时间t 变化的函数()t f h =的图像如右图所示，则容器的形状可以是A B C D10.若一系列函数的解析式相同、值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“同族函数”.函数解析式为()12+=x x f ，值域为{}3,1的同族函数有A.1个B.2个C.3个D.4个二．填空题11.设全集R U =，集合{}2|<=x x A ，集合{}1|<=x x B ，则集合=A C U ____________集合()B A C U ⋃=____________.12.命题“1<∀x ，11>x”的否定是_____________.13.某班共38人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，16人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为__________.14.函数()()111>-+=x x x x f 的最小值是________，此时=x ________.15.能够说明“设a ,b ,c 是任意实数.若c b a >>，则c b a >+”是假命题的一组整数a ，b ，c 的值依次为____________.三．解答题16.已知0>a ，记关于x 的不等式()()01<+-x a x 的解集为P ，不等式11≤-x 的解集为Q .（1）若3=a ，求集合P ；（2）若P Q ⊆，求a 的取值范围.17.（本小题9分）已知定义在R 上的奇函数()21x m f x x +=+，m R ∈。
2020-2021学年北京四中高一(上)适应性数学试卷(附答案详解)
2020-2021学年北京四中高一（上）适应性数学试卷一、单选题（本大题共10小题，共40.0分）1.若集合A={1,3}，B={2,3，4}，则A∩B=()A. {1}B. {2}C. {3}D. {1,2，3，4}2.已知a∈R，则“a+c>b+d”是“a>b且c>d”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3.集合A={x|x2−3x−4≥0}，B={x|1<x<5}，则集合(∁R A)∪B=()A. [−1,5)B. (−1,5)C. (1,4]D. (1,4)4.若A、B、C为三个集合，且有A∪B=B∩C，则一定有()A. A⊆CB. C⊆AC. A≠CD. A=⌀5.已知命题p：∀x>0，总有(x+1)2x>1，则命题p的否定为()A. ∃x0≤0，使得(x0+1)2x0≤1B. ∃x0>0，使得(x0+1)2x0≤1C. ∀x>0，总有(x+1)2x≤1D. ∀x≤0，总有(x+1)2x≤16.设a，b∈R，集合{1,a+b,a}={0,ba,b}，则b−a=()A. 1B. −1C. 2D. −27.不等式x−1x2−4>0的解集是()A. (−2,1)∪(2,+∞)B. (2,+∞)C. (−2,1)D. (−∞,−2)∪(1,+∞)8.若集合A={1,m2}，集合B={2,4}，则m=2是A∩B={4}的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件9.若a>b>0，c<d<0，则一定有()A. ad >bcB. ad<bcC. ac>bdD. ac<bd10.若不等式{x−1>a2x−4<2a的解集不是空集，则实数a的取值范围是()A. (−1,3)B. (−∞,−1)∪(3,+∞)C. (−3,1)D. (−∞,−3)∪(1,+∞)二、单空题（本大题共5小题，共25.0分）11.集合A={x∈N|1≤x≤10}，集合B={x∈R|x2+x−6≤0}，则A∩B=______．12.命题p：“∀x∈R，x3−x2+1≤0”则命题￢p是______，￢p是______命题(用“真”、“假”填空)．13.设全集U=R，集合M={x|√x2>2}，集合P=(1,3)，则M∩(∁U P)=______．14.不等式|x+1|(2x−1)≥0的解集为______．15.关于x的不等式x2−2ax−8a2<0(a>0)的解集为(x1,x2)，且x2−x1=15，则a=______ ．三、多空题（本大题共1小题，共5.0分）16.将含有3n个正整数的集合M分成元素个数相等且两两没有公共元素的三个集合A、B、C，其中A={a1,a2,…,a n}，B={b1,b2,…,b n}，C={c1,c2,…,c n}，若A、B、C中的元素满足条件：c1<c2<⋯<c n，a k+b k=c k，k=1，2，…，n，则称M 为“完并集合”．(1)若M={1,x，3，4，5，6}为“完并集合”，则x的一个可能值为(1).(写出一个即可)(2)对于“完并集合”M={1,2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12}，在所有符合条件的集合C中，其元素乘积最小的集合是(2)．四、解答题（本大题共3小题，共30.0分）17.已知二次函数y=x2−x+m的图象与x轴交于A(x1,0)，B(x2,0)两点，且x13+x23=2.求实数m的值．18.已知a，b，c，d均为正数，且a+b=c+d，求证：“√a+√b>√c+√d”是“|a−b|<|c−d|”的充要条件．19.已知关于x的不等式−x2+ax+4≥|x+1|+|x−1|(a∈R)．(1)当a=1时，求该不等式的解集；(2)若该不等式在区间[−1,1]上恒成立，求实数a的取值范围．答案和解析1.【答案】C【解析】解：A∩B={1,3}∩{2,3，4}={3}，故选：C．直接求A、B的公共元素．本题考查集合的交集运算，很基本．2.【答案】B【解析】解：令p：“a+c>b+d”，q：“a>b且c>d”由于a+c>b+d推不出a>b且c>d，则p⇒q为假命题；由于a>b且c>d，根据不等式同向可加性得到a+c>b+d，则q⇒p为真命题．故命题p是命题q的必要不充分条件，故答案选B．若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；判断充要条件的方法是：①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．3.【答案】B【解析】解：因为集合A={x|x2−3x−4≥0}={x|x≤−1或x≥4}，又B={x|1<x<5}，所以∁R A=(−1,4)则集合(∁R A)∪B=(−1,5)．故选：B．先求出集合A，然后由集合补集与并集的定义求解即可．本题考查了集合的运算，解题的关键是掌握集合补集与并集的定义，属于基础题．4.【答案】A【解析】解：因为A⊆A∪B且C∩B⊆C，A∪B=C∩B由题意得A⊆C，故选A本题考查三个抽象集合之间的关系，由交集、并集的定义有结论A⊆A∪B，B⊆A∪B，A∩B⊆A，A∩B⊆B．本题主要考查．集合的并集与交集运算，集合之间关系的理解．5.【答案】B【解析】解：命题为全称命题，则命题p：∀x>0，总有(x+1)2x>1，则命题p的否定为，∃x0>0，使得(x0+1)2x0≤1．故选：B．根据含有量词的命题的否定即可得到结论．本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．6.【答案】C,b}，【解析】解：根据题意，集合{1,a+b,a}={0,ba又∵a≠0，∴a+b=0，即a=−b，=−1，∴bab=1；故a=−1，b=1，则b−a=2，故选：C．,b}，注意到后面集合中有元素0，由集合相等的意根据题意，集合{1,a+b,a}={0,ba义，结合集合中元素的特征，可得a+b=0，进而分析可得a、b的值，计算可得答案．本题考查集合元素的特征与集合相等的含义，注意从特殊元素下手，有利于找到解题切入点．7.【答案】A>0等【解析】解：不等式x−1x2−4价于(x+2)(x−1)(x−2)>0，令(x+2)(x−1)(x−2)=0，解得x=−2，或x=1，或x=2，如图所示，由图象可知不等式的解集为(−2,1)∪(2,+∞)，故选：A．根据不等式的解法解得即可．本题利用穿根法解高次不等式，第一步：通过不等式的诸多性质对不等式进行移项，使得右侧为0.(注意：一定要保证x前的系数为正数)第二步：将不等号换成等号解出所有根，第三步：在数轴上从左到右依次标出各根，第四步：画穿根线：以数轴为标准，从“最右根”的右上方穿过根，往左下画线，然后又穿过“次右根”上去，一上一下依次穿过各根．第五步：观察不等号，如果不等号为“>”，则取数轴上方，穿根线以内的范围；如果不等号为“<”则取数轴下方，穿根线以内的范围．x的次数若为偶数则不穿过，即奇过偶不过．8.【答案】A【解析】解：若m=2，则A={1,4}，B={2,4}，A∩B={4}，“m=2”是“A∩B={4}”的充分条件；若A∩B={4}，则m2=4，m=±2，所以“m=2”不是“A∩B={4}”的必要条件．则“m=2”是“A∩B={4}”的充分不必要条件．故选A．当m=2时，可直接求A∩B；反之A∩B={4}时，可求m，再根据必要条件、充分条件与充要条件的定义进行判断即可．本题考查必要条件、充分条件与充要条件的判断，属基本题．9.【答案】B【解析】 【分析】利用特值法或不等式的基本性质，判断选项即可． 本题考查比较大小，属于基础题． 【解答】解法一：若a >b >0，c <d <0， 不妨令a =3，b =1，c =−3，d =−1， 则ac =−1,bd =−1， ∴C 、D 不正确；a d =−3，bc =−13 ∴A 不正确，B 正确．解法二：∵c <d <0，∴−c >−d >0， ∵a >b >0，∴−ac >−bd ， 又cd >0，∴−ac cd>−bd cd，∴a d<bc．故选：B ．10.【答案】A【解析】 【分析】本题主要考查不等式的解法，交集非空的条件，属于基础题． 由题意可得a 2+1<2a +4，由此求得a 的范围． 【解答】解：不等式{x −1>a 2x −4<2a ，即{x >a 2+1x <2a +4，根据它的解集非空，可得a 2+1<2a +4，求得−1<a<3，故选：A．11.【答案】{1,2}【解析】解：因为集合A={x∈N|1≤x≤10}，又集合B={x∈R|x2+x−6≤0}={x|−3≤x≤2}，则A∩B={1,2}．故答案为：{1,2}．先求出集合B，然后由集合交集的定义求解即可．本题考查了集合的运算，解题的关键是掌握集合交集定义的应用，属于基础题．12.【答案】∃x∈R，x3−x2+1>0真【解析】解：命题为全称命题，则命题的否定为：∃x∈R，x3−x2+1>0，当x=0时，不等式成立，所以命题的否定是真命题．故答案为：∃x∈R，x3−x2+1>0；真．根据含有量词的命题的否定即可得到结论，然后判断真假．本题主要考查含有量词的命题的否定，是基础题．13.【答案】(−∞,−2)∪(2,+∞)【解析】解：因为集合M={x|√x2>2}={x|x<−2或x>2}，又集合P=(1,3)，所以∁U P=(−∞,1]∪[3,+∞)，则M∩(∁U P)=(−∞,−2)∪(2,+∞)．故答案为：(−∞,−2)∪(2,+∞)．先求出集合M，然后由集合补集与交集的定义求解即可．本题考查了集合的运算，解题的关键是掌握集合的补集与交集的定义，考查了运算能力，属于基础题．,+∞)14.【答案】{−1}∪[12【解析】解：由不等式|x+1|(2x−1)≥0可得2x−1≥0，解得x≥1，或x=−12,+∞)，故不等式的解集为{−1}∪[12,+∞)．故答案为{−1}∪[12由不等式|x+1|(2x−1)≥0可得2x−1≥0，由此求得不等式的解集．本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，体现了转化的数学思想，属于中档题．15.【答案】52【解析】解：∵关于x的不等式x2−2ax−8a2<0(a>0)的解集为(x1,x2)，∴x1，x2是一元二次方程x2−2ax−8a2=0(a>0)的实数根，∴△=4a2+32a2>0．∴x1+x2=2a，x1x2=−8a2．∵x2−x1=15，∴152=(x1+x2)2−4x1x2=4a2+32a2，又a>0．．解得a=52故答案为：5．2关于x的不等式x2−2ax−8a2<0(a>0)的解集为(x1,x2)，则x1，x2是一元二次方程x2−2ax−8a2=0(a>0)的实数根，利用根与系数的关系即可得出．本题考查了一元二次不等式的解集与相应的一元二次方程的根与系数的关系，属于基础题．16.【答案】7，9，11{6,10，11，12}【解析】解：(1)若集合A={1,4}，B={3,5}，根据完并集合的概念知集合C={6,x}，∴x=“4+3=7，“若集合A={1,5}，B={3,6}，根据完并集合的概念知集合C={4,x}，∴x=“5+6= 11，“若集合A={1,3}，B={4,6}，根据完并集合的概念知集合C={5,x}，∴x=3+6=9，故x的一个可能值为7，9，11中任一个；(2)若A={1,2，3，4}，B={5,8，7，9}，则C={6,10，12，11}，若A={1,2，3，4}，B=“{5,6，8，10}，则C={7,9，12，11}，若A={1,2，3，4}，B={5,6，7，11}，则C={8,10，12，9}，这两组比较得元素乘积最小的集合是{6,10，11，12}故答案为：7，9，11，{6,10，11，12}(1)讨论集合A与集合B，根据完并集合的概念知集合C，根据a k+b k=c k建立等式可求出x的值；(2)讨论集合A与集合B，根据完并集合的概念知集合C，然后比较得元素乘积最小的集合即可．这类题型的特点是在通过假设来给出一个新概念，在新情景下考查考生解决问题的迁移能力，要求解题者紧扣新概念，对题目中给出的条件抓住关键的信息，进行整理、加工、判断，实现信息的转化17.【答案】解：由题意可得x1，x2是方程x2−x+m=0的两个实数解，可得x1+x2=1，x1x2=m，且Δ=1−4m≥0，由x13+x23=2，即(x1+x2)(x12+x22−x1x2)=(x1+x2)[(x1+x2)2−3x1x2]=1−3m=2，，满足Δ≥0，解得m=−13．所以m=−13【解析】由韦达定理和判别式大于等于0，结合立方和公式，解方程可得所求值．本题考查二次方程的韦达定理的运用，以及立方和公式的运用，考查转化思想和运算能力，属于基础题．18.【答案】证明：若√a+√b>√c+√d，平方得a+b+2√ab>c+d+2√cd，即√ab>√cd，则ab>cd，(a−b)2=(a+b)2−4ab<(c+d)2−4cd=(c−d)2，即“|a−b|<|c−d|”成立．若“|a−b|<|c−d|”成立，则|a−b|2<|c−d|2，即(a+b)2−4ab<(c+d)2−4cd，由于a+b=c+d，则ab>cd，则a+b+2√ab>c+d+2√cd，即(√a+√b)2>(√c+√d)2，则√a+√b>√c+√d，成立，综上“√a+√b>√c+√d”是“|a−b|<|c−d|”的充要条件．【解析】根据不等式的性质以及充要条件的定义进行证明即可．本题主要考查充要条件的证明，利用不等式的性质是解决本题的关键，是中档题．19.【答案】解：(1)函数y=|x+1|+|x−1|={2x,x>12,−1≤x≤1−2x,x<−1，当a=1时，y=−x2+x+4的图象是开口向下，对称轴为x=12的二次函数，当x>1时，令−x2+x+4≥2x，解得1<x≤√17−12；当x<−1时，y=−x2+x+4>1，y=|x+1|+|x−1|<2，不等式无解．综上所述，不等式的解集为[−1,√17−12]；(2)问题可转化为x2−2≤ax在[−1,1]上恒成立，作出图象如图所示，由图可知，函数y=ax必须在l1，l2之间，所以−1≤a≤1，故实数a的取值范围为[−1,1]．【解析】(1)利用绝对值的定义将函数转化为分段函数，然后分类讨论，分别求解不等式即可；(2)将不等式转化为x2−2≤ax在[−1,1]上恒成立，利用数形结合法求解即可．本题考查了含有绝对值的函数的应用，对于含有绝对值的函数，常见的解法是利用绝对值的定义去掉绝对值，将函数转化为分段函数进行求解，考查了逻辑推理能力与转化化归能力，属于中档题．第11页，共11页。
2020-2021北京市北京四中高一数学上期末模拟试题(带答案)
t f x ，则 f t 3，作出 f x 的图象，结合图象可知，方程 f t 3 有三个实根，
进而可得答案. 【详解】
由题意，函数 y f f x 3 的零点个数，即方程 f f x 3 的实数根个数，
设 t f x ，则 f t 3，作出 f x 的图象，
如图所示，结合图象可知，方程
4．设 a log4 3 ， b log8 6 ， c 20.1 ，则（ ）
A． a b c
B． b a c
C． c a b
D． c b a
5．酒驾是严重危害交通安全的违法行为．为了保障交通安全，根据国家有关规定：100mL
血液中酒精含量低于 20mg 的驾驶员可以驾驶汽车，酒精含量达到 20～79mg 的驾驶员即为
【详解】
由题意，对数的运算公式，可得
a
log4
3
log2 log2
3 4
1 2
log2
3
log2
3，
b
log8
6
log2 log2
6 8
1 3
log
2
6
log2
3
6
，
又由 3 3 6 2 ，所以 log2 3 log2 3 6 log2 2 1，即 a b 1，
由指数函数的性质，可得 c 20.1 20 1 ， 所以 c b a .
所以 g(2) 2 ， g 2 2，
所以 f (2) g(2) 3 2 3 1，故选 D.
【点睛】 本题主要考查函数的奇偶性的应用，属于中档题．
3．B
解析：B 【解析】 【分析】
先化简集合 A,B,再求 B A 得解.
【详解】
由题得 A x | 2x1 20 {x | x 1} ， B y | y 0 .
2020-2021学年北京第四中学顺义分校高一数学文模拟试卷含解析
2020-2021学年北京第四中学顺义分校高一数学文模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 若，规定：，例如：（），则的奇偶性为A、是奇函数不是偶函数B、是偶函数不是奇函数C、既是奇函数又是偶函数D、既不是奇函数又不是偶函数参考答案：B2. 以下四个命题：①对立事件一定是互斥事件；②函数的最小值为2；③八位二进制数能表示的最大十进制数为256；④在中，若，，，则该三角形有两解．其中正确命题的个数为（）A．4 B．3 C.2 D．1参考答案：C3. 向高为H的水平瓶中注水，注满为止。
如果注水量V与水深h的函数关系的图象如图所示，那么水瓶的形状是（）参考答案：A略4. 若为递减数列,则的通项公式可以为（）A. B. C. D.参考答案：C略5. 如图中阴影部分的面积S是h的函数（其中0≤h≤H），则该函数的大致图象为（）A. B. C. D.参考答案：D【分析】利用排除法求解．首先确定当时，阴影部分面积为0，排除A与B，又由当时，阴影部分的面积小于整个半圆面积的一半，排除C，从而得到答案D．【详解】解：∵当时，对应阴影部分的面积为0，∴排除A与B；∵当时，对应阴影部分的面积小于整个区域面积的一半，且随着h的增大，S随之减小，减少的幅度不断变小，∴排除C．从而得到答案D．故选：D．【点睛】此题考查了函数问题的实际应用．注意排除法在解选择题中的应用，还要注意数形结合思想的应用．6. 的值等于（）A. B. C. D.参考答案：D【分析】利用诱导公式先化简，再利用差角的余弦公式化简得解.【详解】由题得原式=.故选：D【点睛】本题主要考查诱导公式和差角的余弦公式化简求值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.7. 在等差数列{a n}中，已知，则（）A．40 B．43 C．42 D．45参考答案：C分析：联立求出d的值，再把化简，再把和d 的值代入求值.详解：由题得，∴.∴.故选C.8. 若则实数的取值范围是（）A．；B. ；C. ；D.参考答案：B 9. 在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的最小值是（）A．4 B． C.8 D．6参考答案：C在锐角中，化简可得①．，②，且．则令，则，故当且仅当，即时，取等号，此时，，故的最小值是8，故选：C．10. 已知向量，，，的夹角为45°，若，则（）A. B. C. 2 D. 3参考答案：C【分析】利用向量乘法公式得到答案.【详解】向量，，，的夹角为45°故答案选C【点睛】本题考查了向量的运算，意在考查学生的计算能力.二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 函数f(x)=在上的最大值和最小值的差为1，则a=.参考答案：12. 若，，则参考答案：13. 已知，则__________.参考答案：【分析】直接利用两角和的正切公式求解即可.【详解】因为，所以，故答案为.14. 若球的半径为，则这个球的内接正方体的表面积是 ； 参考答案： 7215. 过点（0，1）且与直线2x ﹣y=0垂直的直线方程的一般式是 ．参考答案：x+2y ﹣2=0【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．【分析】与直线2x ﹣y=0垂直的直线方程的斜率k=﹣，由此能用点斜式方程能求出过点（0，1）且与直线2x ﹣y=0垂直的直线方程．【解答】解：∵与直线2x ﹣y=0垂直的直线方程的斜率k=﹣，∴过点（0，1）且与直线2x ﹣y=0垂直的直线方程为： y ﹣1=﹣，整理，得：x+2y ﹣2=0．故答案为：x+2y ﹣2=0．【点评】本题考查直线方程的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意直线间位置关系的灵活运用．16. 下把函数的图象向右平移个单位长度得到的函数图象解析式为f(x)= ．参考答案：17. 已知向量，，则．参考答案：(5,7)三、 解答题：本大题共5小题，共72分。
2020-2021北京市北京四中高一数学上期中模拟试题(带答案)
2020-2021北京市北京四中高一数学上期中模拟试题(带答案)一、选择题1．在下列区间中，函数()43xf x e x =+-的零点所在的区间为（ ） A ．1,04⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．11,42⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．13,24⎛⎫ ⎪⎝⎭2．函数()ln f x x x =的图像大致是（ ）A ．B ．C ．D ．3．函数()log a x xf x x =（01a <<）的图象大致形状是（ ）A ．B ．C ．D ．4．已知函数()25,1,,1,x ax x f x a x x⎧---≤⎪=⎨>⎪⎩是R 上的增函数，则a 的取值范围是（ ）A ．30a -≤<B ．0a <C ．2a ≤-D ．32a --≤≤5．设集合{|32}M m m =∈-<<Z ，{|13}N n n M N =∈-≤≤⋂=Z ，则A ．{}01，B ．{}101-，，C ．{}012，，D ．{}1012-，，， 6．如图，U 为全集，M 、P 、S 是U 的三个子集，则阴影部分所表示的集合是（ ）A ．()M P S ⋂⋂B ．()M P S ⋂⋃C ．()()U M P S ⋂⋂ðD ．()()U M P S ⋂⋃ð7．已知111,2,,3,23a ⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭，若()a f x x =为奇函数，且在(0,)+∞上单调递增，则实数a 的值是( )A ．1,3-B ．1,33C ．11,,33-D ．11,,332 8．函数2()ln(28)f x x x =--的单调递增区间是A ．(,2)-∞-B ．(,1)-∞C ．(1,)+∞D ．(4,)+∞9．已知函数2()log (23)(01)a f x x x a a =--+>≠,，若(0)0f <，则此函数的单调减区间是（）A ．(,1]-∞-B ．[1)-+∞，C ．[1,1)-D ．(3,1]--10．若函数6(3)3,7(),7x a x x f x a x ---≤⎧=⎨>⎩单调递增,则实数a 的取值范围是( ) A ．9,34⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．9,34⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C ．()1,3 D ．()2,311．若a ＞b ＞0，0＜c ＜1，则A ．log a c ＜log b cB ．log c a ＜log c bC ．a c ＜b cD ．c a ＞c b 12．三个数20.420.4,log 0.4,2a b c ===之间的大小关系是（ ） A ．a c b << B ．b a c << C ．a b c << D ．b c a <<二、填空题13．如果定义在区间[3＋a ，5]上的函数f(x)为奇函数，那么a 的值为________.14．给出下列四个命题：（1）函数()f x x x bx c =++为奇函数的充要条件是0c =；（2）函数()20x y x -=>的反函数是()2log 01y x x =-<<；（3）若函数()()2lg f x x ax a =+-的值域是R ，则4a ≤-或0a ≥； （4）若函数()1y f x =-是偶函数，则函数()y f x =的图像关于直线0x =对称. 其中所有正确命题的序号是______.15．1232e 2(){log (1)2x x f x x x ，，-<=-≥，则f （f （2））的值为____________． 16．某在校大学生提前创业,想开一家服装专卖店,经过预算,店面装修费为10000元,每天需要房租水电等费用100元,受营销方法、经营信誉度等因素的影响,专卖店销售总收入P 与店面经营天数x 的关系是P(x)=21300,0300245000,300x x x x ⎧-≤<⎪⎨⎪≥⎩则总利润最大时店面经营天数是___.17．已知偶函数()f x 满足3()8(0)f x x x =-≥，则(2)0f x ->的解集为___ ___ 18．设，则________19．用max{,,}a b c 表示,,a b c 三个数中的最大值，设{}2()max ln ,1,4(0)f x x x x x x =--->，则()f x 的最小值为_______. 20．已知函数(12)(1)()4(1)xa x f x a x x ⎧-<⎪=⎨+≥⎪⎩，且对任意的12,x x R ∈，12x x ≠时，都有()()12120f x f x x x ->-，则a 的取值范围是________三、解答题 21．近年来，“共享单车”的出现为市民“绿色出行”提供了极大的方便，某共享单车公司“Mobike ”计划在甲、乙两座城市共投资160万元，根据行业规定，每个城市至少要投资30万元，由前期市场调研可知：甲城市收益P 与投入(a 单位：万元)满足426P a =，乙城市收益Q 与投入(b 单位：万元)满足124Q b =+，设甲城市的投入为(x 单位：万元)，两个城市的总收益为()(f x 单位：万元)．（1）写出两个城市的总收益()(f x 万元)关于甲城市的投入(x 万元)的函数解析式，并求出当甲城市投资72万元时公司的总收益；（2）试问如何安排甲、乙两个城市的投资，才能使总收益最大？22．已知函数2()(2)3f x x a x =+--．（1）若函数()f x 在[]2,4-上是单调函数，求实数a 的取值范围；（2）当5a =，[1,1]x ∈-时，不等式()24f x m x >+-恒成立，求实数m 的范围． 23．已知函数()()()lg 2lg 2f x x x =++-.（1）求函数()f x 的定义域；（2）若不等式f ()x m >有解，求实数m 的取值范围.24．已知函数()1ln 1x f x x+=-的定义域为集合A ，集合(),1B a a =+，且B A ⊆. （1）求实数a 的取值范围；（2）求证：函数()f x 是奇函数但不是偶函数.25．2018年1月8日，中共中央､国务院隆重举行国家科学技术奖励大会，在科技界引发热烈反响，自主创新正成为引领经济社会发展的强劲动力.某科研单位在研发新产品的过程中发现了一种新材料，由大数据测得该产品的性能指标值y 与这种新材料的含量x （单位：克）的关系为：当06x ≤<时，y 是x 的二次函数；当6x ≥时，13x t y -⎛⎫= ⎪⎝⎭测得数据如下表（部分）：（1）求y 关于x 的函数关系式()y f x =；（2）当该产品中的新材料含量x 为何值时，产品的性能指标值最大.26．有一种候鸟每年都按一定的路线迁陟，飞往繁殖地产卵．科学家经过测量发现候鸟的飞行速度可以表示为函数301log lg 2100x v x =-，单位是min km ，其中x 表示候鸟每分钟耗氧量的单位数，0x 表示测量过程中候鸟每分钟的耗氧偏差．（参考数据：lg 20.30=， 1.23 3.74=， 1.43 4.66=）（1）若02x =，候鸟每分钟的耗氧量为8100个单位时，它的飞行速度是多少min km ？ （2）若05x =，候鸟停下休息时，它每分钟的耗氧量为多少个单位？（3）若雄鸟的飞行速度为2.5min km ，雌鸟的飞行速度为1.5min km ，那么此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟的耗氧量的多少倍？【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【解析】【分析】先判断函数()f x 在R 上单调递增，由104102f f ⎧⎛⎫< ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪> ⎪⎪⎝⎭⎩,利用零点存在定理可得结果. 【详解】因为函数()43x f x e x =+-在R 上连续单调递增，且114411221143204411431022f e e f e e ⎧⎛⎫=+⨯-=-<⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪=+⨯-=-> ⎪⎪⎝⎭⎩, 所以函数的零点在区间11,42⎛⎫ ⎪⎝⎭内，故选C. 【点睛】本题主要考查零点存在定理的应用，属于简单题.应用零点存在定理解题时，要注意两点：（1）函数是否为单调函数；（2）函数是否连续.2．A解析：A【解析】【分析】从图象来看图象关于原点对称或y 轴对称，所以分析奇偶性，然后再用特殊值确定.【详解】因为函数()ln f x x x =是奇函数，排除C ，D又因为2x = 时()0f x >，排除B故选：A【点睛】本题主要考查了函数的图象的判断，还考查了数形结合的思想，属于基础题.3．C解析：C【解析】【分析】确定函数是奇函数，图象关于原点对称，x ＞0时，f （x ）＝log a x （0＜a ＜1）是单调减函数，即可得出结论．【详解】由题意，f （﹣x ）＝﹣f （x ），所以函数是奇函数，图象关于原点对称，排除B 、D ； x ＞0时，f （x ）＝log a x （0＜a ＜1）是单调减函数，排除A ．故选C ．【点睛】本题考查函数的图象，考查函数的奇偶性、单调性，正确分析函数的性质是关键．4．D解析：D【解析】【分析】根据分段函数的单调性特点，两段函数在各自的定义域内均单调递增，同时要考虑端点处的函数值.要使函数在R 上为增函数，须有()f x 在(,1]-∞上递增，在(1,)+∞上递增， 所以21,20,115,1a a a a ⎧-≥⎪⎪<⎨⎪⎪--⨯-≤⎩，解得32a --≤≤.故选D.【点睛】本题考查利用分段函数的单调性求参数的取值范围，考查数形结合思想、函数与方程思想的灵活运用，求解时不漏掉端点处函数值的考虑.5．B解析：B【解析】试题分析：依题意{}{}2,1,0,1,1,0,1,2,3,M N =--=-∴{}1,0,1M N ⋂=-. 考点：集合的运算6．C解析：C【解析】【分析】先根据图中的阴影部分是M∩P 的子集，但不属于集合S ，属于集合S 的补集，然后用关系式表示出来即可．【详解】图中的阴影部分是： M∩P 的子集，不属于集合S ，属于集合S 的补集,即是C U S 的子集则阴影部分所表示的集合是（M∩P ）∩(∁U S).故选C ．【点睛】本题主要考查了Venn 图表达集合的关系及运算，同时考查了识图能力，属于基础题．7．B解析：B【解析】【分析】先根据奇函数性质确定a 取法，再根据单调性进行取舍，进而确定选项.【详解】因为()a f x x =为奇函数，所以11,3,3a ⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭因为()()0,f x +∞在上单调递增，所以13,3a ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭【点睛】本题考查幂函数奇偶性与单调性，考查基本判断选择能力.8．D解析：D【解析】由228x x -->0得：x ∈(−∞,−2)∪(4,+∞)，令t =228x x --，则y =ln t ，∵x ∈(−∞,−2)时,t =228x x --为减函数；x ∈(4,+∞)时,t =228x x --为增函数；y =ln t 为增函数，故函数f (x )=ln(228x x --)的单调递增区间是(4,+∞)，故选D.点睛：形如()()y f g x =的函数为()y g x =,() y f x =的复合函数，() y g x =为内层函数,()y f x =为外层函数. 当内层函数()y g x =单增，外层函数()y f x =单增时，函数()()y f g x =也单增； 当内层函数()y g x =单增，外层函数()y f x =单减时，函数()()y f g x =也单减； 当内层函数()y g x =单减，外层函数()y f x =单增时，函数()()y f g x =也单减； 当内层函数()y g x =单减，外层函数()y f x =单减时，函数()()y f g x =也单增. 简称为“同增异减”.9．D解析：D【解析】【分析】求得函数()f x 的定义域为(3,1)-，根据二次函数的性质，求得()223g x x x =--+在(3,1]--单调递增，在(1,1)-单调递减，再由(0)0f <，得到01a <<，利用复合函数的单调性，即可求解.【详解】由题意，函数2()log (23)a f x x x =--+满足2230x x --+>，解得31x -<<，即函数()f x 的定义域为(3,1)-，又由函数()223g x x x =--+在(3,1]--单调递增，在(1,1)-单调递减， 因为(0)0f <，即(0)log 30a f =<，所以01a <<，根据复合函数的单调性可得，函数()f x 的单调递减区间为(3,1]--，故选D.本题主要考查了对数函数的图象与性质，以及复合函数的单调性的判定，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.10．B解析：B【解析】【分析】利用函数的单调性，判断指数函数底数的取值范围，以及一次函数的单调性，及端点处函数值的大小关系列出不等式求解即可【详解】解：Q 函数6(3)3,7(),7x a x x f x a x ---⎧=⎨>⎩…单调递增， ()301373a a a a ⎧->⎪∴>⎨⎪-⨯-≤⎩解得934a ≤< 所以实数a 的取值范围是9,34⎡⎫⎪⎢⎣⎭．故选：B ．【点睛】本题考查分段函数的应用，指数函数的性质，考查学生的计算能力，属于中档题． 11．B解析：B【解析】试题分析：对于选项A ，a b 1gc 1gc log c ,log c lg a lg b==，01c <<Q ，10gc ∴<，而0a b >>，所以lg lg a b >，但不能确定lg lg a b 、的正负，所以它们的大小不能确定;对于选项B ，c lg lg log ,log lg lg c a b a b c c ==,lg lg a b >，两边同乘以一个负数1lg c改变不等号方向，所以选项B 正确;对于选项C ，利用c y x =在第一象限内是增函数即可得到c c a b >，所以C 错误;对于选项D ，利用xy c =在R 上为减函数易得a b c c <，所以D 错误.所以本题选B.【考点】指数函数与对数函数的性质【名师点睛】比较幂或对数值的大小,若幂的底数相同或对数的底数相同,通常利用指数函数或对数函数的单调性进行比较；若底数不同,可考虑利用中间量进行比较. 12．B解析：B【解析】20.4200.41,log 0.40,21<<Q ,01,0,1,a b c b a c ∴<<∴<<，故选B.二、填空题13．－8【解析】∵f(x)定义域为3＋a5且为奇函数∴3＋a ＝－5∴a ＝－8点睛：利用奇偶性求值的类型及方法(1)求函数值：利用奇偶性将待求值转化到已知区间上的函数值进而得解(2)求参数值：在定义域关于解析：－8【解析】 ∵f(x)定义域为[3＋a ，5]，且为奇函数，∴3＋a ＝－5，∴a＝－8.点睛：利用奇偶性求值的类型及方法(1)求函数值：利用奇偶性将待求值转化到已知区间上的函数值，进而得解．(2)求参数值：在定义域关于原点对称的前提下，根据奇函数满足f(－x)＝－f(x)或偶函数满足f(－x)＝f(x)列等式，根据等式两侧对应相等确定参数的值．特别要注意的是：若能够确定奇函数的定义域中包含0，可以根据f(0)＝0列式求解，若不能确定则不可用此法．14．（1）（2）（3）【解析】【分析】根据奇函数的定义得到（1）正确根据反函数的求法以及定义域值域得到（2）正确由函数的值域是得出其真数可以取到所有的正数由二次函数判别式大于等于0求解可判断出（3）正确 解析：（1）（2）（3）【解析】【分析】根据奇函数的定义得到（1）正确，根据反函数的求法以及定义域值域得到（2）正确， 由函数()()2lg f x x ax a =+-的值域是R ，得出其真数可以取到所有的正数，由二次函数判别式大于等于0求解，可判断出（3）正确，根据函数图像平移可判断（4）不正确.【详解】解：（1）当0c =时，()=+f x x x bx ，()()()-=---=-+=-f x x x bx x x bx f x ，当函数为奇函数时()()f x f x -=-，即()++=----+=+-x x bx c x x bx c x x bx c ，解得0c =，所以0c =是函数()f x x x bx c =++为奇函数的充要条件，所以（1）正确；（2）由反函数的定义可知函数()20x y x -=>的反函数是()2log 01y x x =-<<，所以（2）正确；（3）因为函数()()2lg f x x ax a =+-的值域是R ，所以2y x ax a =+-能取遍(0,)+∞的所有实数，所以240a a =+≥△，解得0a ≥或4a ≤-，所以（3）正确； （4）函数()1y f x =-是偶函数，所以()1y f x =-图像关于y 轴对称，函数()y f x =的图像是由()1y f x =-向左平移一个单位得到的，所以函数()y f x =的图像关于直线1x =-对称，故（4）不正确.故答案为：（1）（2）（3）【点睛】本题主要考查对函数的理解，涉及到函数的奇偶性、值域、反函数等问题.15．2【解析】【分析】先求f （2）再根据f （2）值所在区间求f （f （2））【详解】由题意f （2）=log3（22–1）=1故f （f （2））=f （1）=2×e1–1=2故答案为：2【点睛】本题考查分段函数解析：2【解析】【分析】先求f （2），再根据f （2）值所在区间求f （f （2））.【详解】由题意，f （2）=log 3（22–1）=1，故f （f （2））=f （1）=2×e 1–1=2，故答案为：2． 【点睛】本题考查分段函数求值，考查对应性以及基本求解能力.16．200【解析】【分析】根据题意列出总利润L(x)的分段函数然后在各个部分算出最大值比较大小就能确定函数的最大值进而可求出总利润最大时对应的店面经营天数【详解】设总利润为L(x)则L(x)=则L(x)解析：200【解析】【分析】根据题意，列出总利润L(x)的分段函数，然后在各个部分算出最大值，比较大小，就能确定函数的最大值，进而可求出总利润最大时对应的店面经营天数.【详解】设总利润为L(x),则L(x)=2120010000,0300210035000,300x x x x x ⎧-+-≤<⎪⎨⎪-+≥⎩则L(x)=21(200)10000,0300210035000,300x x x x ⎧--+≤<⎪⎨⎪-+≥⎩当0≤x<300时,L(x)max =10000,当x ≥300时,L(x)max =5000,所以总利润最大时店面经营天数是200.【点睛】本题主要考查分段函数的实际应用，准确的写出各个部分的函数关系式是解决本题的关键. 17．【解析】【分析】通过判断函数的奇偶性增减性就可以解不等式【详解】根据题意可知令则转化为由于偶函数在上为增函数则即即或即或【点睛】本题主要考查利用函数的性质（奇偶性增减性）解不等式意在考查学生的转化能 解析：{|40}x x x ><或【解析】 【分析】通过判断函数的奇偶性，增减性就可以解不等式. 【详解】根据题意可知(2)0f =，令2x t -=，则转化为()(2)f t f >，由于偶函数()f x 在()0,∞+上为增函数，则()(2)f t f >，即2t>，即22x -<-或22x ->，即0x <或4x >.【点睛】本题主要考查利用函数的性质（奇偶性，增减性）解不等式，意在考查学生的转化能力，分析能力及计算能力.18．-1【解析】【分析】由分段函数的解析式先求出f(-2)的值并判定符号从而可得f(f(-2))的值【详解】∵fx=1-xx≥0x2x<0-2<0∴f-2=-22=4>0所以f(f(-2))=f4=1-解析：-1 【解析】 【分析】由分段函数的解析式先求出的值并判定符号，从而可得的值.【详解】， ，所以，故答案为-1. 【点睛】本题主要考查分段函数的解析式，属于简单题. 求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现的形式时，应从内到外依次求值．19．0【解析】【分析】将中三个函数的图像均画出来再分析取最大值的函数图像从而求得最小值【详解】分别画出的图象取它们中的最大部分得出的图象如图所示故最小值为0故答案为0【点睛】本题主要考查数形结合的思想与解析：0 【解析】 【分析】将{}2()max ln ,1,4(0)f x x x x x x =--->中三个函数的图像均画出来,再分析取最大值的函数图像,从而求得最小值.【详解】分别画出ln y x =-,1y x =-,24y x x =-的图象,取它们中的最大部分,得出()f x 的图象如图所示,故最小值为0.故答案为0 【点睛】本题主要考查数形结合的思想与常见函数的图像等,需要注意的是在画图过程中需要求解函数之间的交点坐标从而画出准确的图像,属于中等题型.20．【解析】【分析】根据判断出函数在上为增函数由此列不等式组解不等式组求得的取值范围【详解】由于对任意的时都有所以函数在上为增函数所以解得故答案为：【点睛】本小题主要考查根据函数的单调性求参数的取值范围 解析：[1,0)-【解析】 【分析】 根据()()12120f x f x x x ->-判断出函数在R 上为增函数，由此列不等式组，解不等式组求得a 的取值范围.【详解】由于对任意的12,x x R ∈，12x x ≠时，都有()()12120f x f x x x ->-，所以函数在R 上为增函数，所以1210124a a a a ->⎧⎪<⎨⎪-≤+⎩，解得10a -≤<.故答案为：[)1,0-. 【点睛】本小题主要考查根据函数的单调性求参数的取值范围，考查指数函数的单调性，考查分式型函数的单调性，属于基础题.三、解答题21．（1）()1364f x x =-+，30130x ≤≤，66万元（2）甲城市投资128万元，乙城市投资32万元 【解析】 【分析】() 1由题知，甲城市投资x 万元，乙城市投资160x -万元，求出函数的解析式，利用当甲城市投资72万元时公司的总收益；()()12364f x x =-+，30130x ≤≤，令t =，则t ∈，转化为求函数2,6143y t t ∈=-++最值，即可得出结论．【详解】()1由题知，甲城市投资x 万元，乙城市投资160x -万元，所以()()11616023644f x x x =+-+=-+， 依题意得3016030x x ≥⎧⎨-≥⎩，解得30130x ≤≤，故()1364f x x =-+，30130x ≤≤， 当72x =时，此时甲城市投资72万元，乙城市投资88万元，所以总收益()136664f x x =-+=． ()()12364f x x =-+，30130x ≤≤令t =t ∈．2,6143y t t ∈=-++当t =，即128x =万元时，y 的最大值为68万元， 故当甲城市投资128万元，乙城市投资32万元时， 总收益最大，且最大收益为68万元． 【点睛】本题考查实际问题的应用，二次函数的性质以及换元法的应用，考查转化思想以及计算能力，属于中档题．22．（1）(,6][6,+)∞∞--U ；（2）3(,)4∞-． 【解析】 【分析】（1）首先求函数的对称轴22a x -=-，令242a --≥或 222a --≤-，求实数a 的取值范围；（2）不等式等价于21x x m ++>恒成立，令()21g x x x =++，转化为()min g x m >，[]1,1x ∈-恒成立，求m 的取值范围. 【详解】解：（1）函数()f x 的对称轴为22a x -=-， 又函数()f x 在[]2,4-上是单调函数，242a -∴-≥或 222a --≤-， 解得6a ≤-或6a ≥．∴实数a 的取值范围为(,6][6,)-∞-+∞U ；（2）当5a =，[]1,1x ∈-时，()24f x m x >+-恒成立，即21x x m ++>恒成立， 令()21g x x x =++，()min g x m >恒成立，函数()g x 的对称轴[]11,12x =-∈-，∴()min 1324g x g ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，即34m >， m ∴的范围为3(,)4-∞．【点睛】本题考查二次函数单调性，恒成立的的综合问题，属于基础题型. 23．（1）(2,2)-；（2）lg 4m <． 【解析】试题分析：（1）由对数有意义，得20{20x x +>->可求定义域；（2）不等式()f x m >有解⇔max ()m f x <，由2044x <-≤，可得()f x 的最大值为lg 4，所以lg 4m <．试题解析：（1）x 须满足20{20x x +>->，∴22x -<<，∴所求函数的定义域为(2,2)-.（2）∵不等式()f x m >有解，∴max ()m f x <()()()lg 2lg 2f x x x =++-=2lg(4)x -令24t x =-，由于22x -<<，∴04t <≤∴()f x 的最大值为lg 4.∴实数m 的取值范围为lg 4m <. 考点：对数性质、对数函数性、不等式有解问题． 24．（1）[1,0]- ;（2）见解析. 【解析】试题分析：（1）由对数的真数大于0，可得集合A ，再由集合的包含关系，可得a 的不等式组，解不等式即可得到所求范围；（2）求得()f x 的定义域，计算()f x -与()f x 比较，即可得到所求结论． 试题解析：（1）令101xx+>-，解得11x -<<，所以()1,1A =-， 因为B A ⊆，所以111a a ≥-⎧⎨+≤⎩，解得10a -≤≤，即实数a 的取值范围是[]1,0-（2）函数()f x 的定义域()1,1A =-，定义域关于原点对称()()()1ln 1x f x x ---=+- ()1111ln ln ln 111x x x f x x x x -+--⎛⎫===-=- ⎪-++⎝⎭而1ln32f ⎛⎫=⎪⎝⎭，11ln 23f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以1122f f ⎛⎫⎛⎫-≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以函数()f x 是奇函数但不是偶函数.25．（1）()2712,0641,63x x x x f x x -⎧-+≤<⎪⎪=⎨⎛⎫⎪≥ ⎪⎪⎝⎭⎩（2）4x = 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法，结合所给数据可求函数关系式()y f x =； （2）分段求解函数的最大值，比较可得结果. 【详解】（1）当06x ≤<时，由题意，设()2f x ax bx c =++（0a ≠），由表格数据得()()()007142423f c f a b c f a b c ⎧==⎪⎪=++=⎨⎪=++=⎪⎩，解得1420a b c ⎧=-⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩，所以，当06x ≤<时，()2124f x x x =-+， 当6x ≥时，()13x tf x -⎛⎫= ⎪⎝⎭，由表格数据可得()911939tf -⎛⎫==⎪⎝⎭， 解得7t =，所以当6x ≥时，()713x f x -⎛⎫= ⎪⎝⎭，综上，()2712,0641,63x x x x f x x -⎧-+≤<⎪⎪=⎨⎛⎫⎪≥ ⎪⎪⎝⎭⎩. （2）当06x ≤<时，()()221124444f x x x x =-+=--+， 可知4x =时，()()max 44f x f ==，当6x ≥时，()713x f x -⎛⎫= ⎪⎝⎭单凋递减，可知6x =时，()()67max1633f x f -⎛⎫=== ⎪⎝⎭.综上可得，当4x =时，产品的性能指标值最大. 【点睛】本题主要考查函数解析式的求解及最值，待定系数法是求解析式的常用方法，根据函数的类型设出解析式，结合条件求解未知系数，侧重考查数学抽象 26．（1）1.70/min km ；（2）466；（3）9 【解析】试题分析：（1）直接代入求值即可，其中要注意对数的运算；（2）还是代入求值即可；（3）代入后得两个方程，此时我们不需要解出1x 、2x ，只要求出它们的比值即可，所以由对数的运算性质，让两式相减，就可求得129x x =． 试题解析：（1）将02x =，8100x =代入函数式可得：31log 81lg 22lg 220.30 1.702v =-=-=-= 故此时候鸟飞行速度为1.70/min km ． （2）将05x =，0v =代入函数式可得：310log lg 52100x =-即3log 2lg52(1lg 2)20.70 1.40100x ==⋅-=⨯= 1.43 4.66100x∴==于是466x =． 故候鸟停下休息时，它每分钟的耗氧量为466个单位．（3）设雄鸟每分钟的耗氧量为1x ，雌鸟每分钟的耗氧量为2x ，依题意可得：13023012.5log lg 2100{11.5log lg 2100x x x x =-=-两式相减可得：13211log 2x x =，于是129x x =． 故此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟的耗氧量的9倍．考点：1．函数代入求值；2．解方程；3．对数运算．。
北京市第四中学顺义分校2020_2021学年度高一上学期数学期末试题
北京市第四中学顺义分校2020~2021学年度高一上学期数学期末试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合{}1,0,2,3A =-，{21,}B xx k k ==-∈N ∣，那么A B =（ ）A ．{}1,0-B ．{}1,2-C ．{}0,3D ．{}1,3-2．方程组202x y x x +=⎧⎨+=⎩的解集是（ ）A ．()(){}1,1,?1,1- B ．()(){}1,1,2,2- C ．()(){}1,1,2,2-- D ．()(){}2,2,2,2--3．函数11lg x x y =+-的定义域是（ ） A ．(0,)+∞B ．(1,)+∞C ．()0,11(),⋃+∞D ．[)0,11(),⋃+∞4．为了解学生在“弘扬传统文化，品读经典文学”月的阅读情况，现从全校学生中随机抽取了部分学生，并统计了他们的阅读时间（阅读时间[]0,50t ∈），分组整理数据得到如图所示的频率分布直方图.则图中a 的值为（ ）A ．0.028B ．0.030C ．0.280D ．0.3005．若a b >，则一定有（ ）A ．11a b< B ．|a |>|b|C >D ．33a b >6．在平行四边形ABCD 中，设对角线AC 与BD 相交于点O ，则AB CB +=（ ）A ．2BOB ．2DOC ．BD D ．AC7．设23m n =，则m ，n 的大小关系一定是（ ） A ．m n > B ．m n <C ．m n ≥D ．以上答案都不对8．从2015年到2020年，某企业通过持续的技术革新来降低其能源消耗，到了2020年该企业单位生产总值能耗降低了20%.如果这五年平均每年降低的百分率为x ，那么x 满足的方程是（ ） A ．50.2x =B ．()510.8x -=C ．50.2x =D ．5(1)0.8x -=9．设,a b 是非零向量，则“存在实数λ，使得a b =λ”是“a b a b +=+”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件10．设()f x 为定义在R 上的函数，函数()1f x +是奇函数.对于下列四个结论：①()10f =；②()()11f x f x -=-+；③函数()f x 的图象关于原点对称； ④函数()f x 的图象关于点()1,0对称； 其中，正确结论的个数为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4二、填空题11．已知向量()1,2a =-，()3,1b =-，那么a b -=__________.12．若方程220x x a -+=有两个不相等的正实数根，则实数a 的取值范围是__________.13．设()f x 为R 上的奇函数，且()f x 在()0,∞+上单调递增，()20f =，则不等式()0f x <的解集是________.14．某厂商为推销自己品牌的可乐，承诺在促销期内，可以用3个该品牌的可乐空罐换1罐可乐.对于此促销活动，有以下三个说法：①如果购买10罐可乐，那么实际最多可以饮13罐可乐;②欲饮用100罐可乐，至少需要购买67罐可乐：③如果购买*()n n ∈N 罐可乐，那么实际最多可饮用可乐的罐数1()2n f n n -⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦.（其中[]x 表示不大于x 的最大整数） 则所有正确说法的序号是__________.三、双空题15．已知函数0.52log ,0()2,0x x f x x x x >⎧=⎨+≤⎩，那么()2f =_________;当函数()y f x a =-有且仅有三个零点时，实数a 的取值范围是__________.四、解答题16．某校高一年级1000名学生全部参加了体育达标测试，现从中随机抽取40名学生的测试成绩，整理并按分数段[)40,50，[)50,60，[)60,70，[)70,80，[)80,90，[]90,100进行分组，假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，则得到体育成绩的折线图如下（I ）估计该校高一年级中体育成绩大于或等于70分的学生人数；（II ）现从体育成绩在[)60,70和[)80,90的样本学生中随机抽取2人，求其中恰有1人体育成绩在[)60,70的概率. 17．设函数4()3f x x x=++ （1）求函数()f x 的图像与直线2y x =交点的坐标： （2）当(0,)x ∈+∞时，求函数()f x 的最小值（3）用单调性定义证明：函数()f x 在()2,+∞上单调递增.18．以下茎叶图记录了甲、乙两组各三名同学在期末考试中的数学成绩.乙组记录中有一个数字模糊，无法确认，假设这个数字具有随机性，并在图中以a 表示.（I ）若甲、乙两组的数学平均成绩相同，求a 的值; （II ）求乙组平均成绩超过甲组平均成绩的概率;（III ）当3a =时，试比较甲、乙两组同学数学成绩的方差的大小.（结论不要求证明）19．设函数21()21x x f x +=-（I ）若()2f a =，求实数a 的值;（II ）判断函数()f x 的奇偶性，并证明你的结论;（III ）若()f x m ≤对于[)1,x ∈+∞恒成立，求实数m 的最小值.20．经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1吨该产品获利润500元，未售出的产品，每1吨亏损300元.经销商为下一个销售季度购进了130吨该农产品.以x （单位：吨，100150x ≤≤）表示下一个销售季度内的市场需求量，y （单位：元）表示下一个销售季度内销售该农产品的利润. （I ）将y 表示为x 的函数：（II ）求出下一个销售季度利润y 不少于57000元时，市场需求量x 的范围. 21．设函数()f x 的定义域为R ．若存在常数(0)m m ≠，对于任意x ∈R ，()()f x m mf x +=成立，则称函数()f x 具有性质Γ.记P 为满足性质Γ的所有函数的集合.（I ）判断函数y x =和2y =是否属于集合P ？（结论不要求证明）（II ）若函数()x g x =，证明：()g x P ∈; （III ）记二次函数的全体为集合Q ，证明：P Q =∅.参考答案1．D 【分析】根据交集的定义可求A B .【详解】因为{21,}B xx k k ==-∈N ∣，故B 中的元素为大于或等于1-的奇数， 故{}1,3A B =-， 故选：D. 2．C 【分析】 解出方程组22x y x x +=⎧⎨+=⎩ 得解，再表示成集合的形式即可. 【详解】由方程组202x y x x +=⎧⎨+=⎩可得22x y =-⎧⎨=⎩或11x y =⎧⎨=-⎩所以方程组22x y x x +=⎧⎨+=⎩的解集是()(){}1,1,2,2-- 故选：C 3．C 【分析】根据对数式的真数大于零、分式的分母不为零，求解出x 的取值范围即为定义域. 【详解】因为010x x >⎧⎨-≠⎩，所以01x <<或1x >，所以函数的定义域为：()()0,11,+∞，故选：C. 【点睛】结论点睛：常见函数的定义域分析： （1）偶次根式下被开方数大于等于零； （2）分式分母不为零；（3）对数式的真数大于零； （4）0y x =中{}0x x ≠. 4．A 【分析】根据五个矩形的面积和为1列式可得结果. 【详解】由(0.0060.0400.0200.006)101a ++++⨯=得0.028a =. 故选：A 5．D 【分析】利用不等式的性质或反例逐项检验后可得正确的选项. 【详解】取1,1a b ==-，则11a b>，||||a b =A 、B 、C 均错误， 由不等式的性质可得33a b >，故D 正确. 故选：D. 6．B 【分析】根据向量的线性运算可得正确的选项. 【详解】因为四边形ABCD 为平行四边形，故0AO CO +=， 故22AB CB AO OB CO OB OB DO +=+++==， 故选：B. 7．D【分析】根据23m n =可分三种情况讨论：,,m n m n m n >=<，根据指数函数的单调性分析出每一种情况下,,0m n 的大小关系，由此得到,m n 的大小关系. 【详解】当m n >时，因为2xy =为()0,∞+上增函数，所以232m n n =>，所以312n⎛⎫> ⎪⎝⎭，所以0n >，所以0m n >>；当m n =时，312n⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以0n =，所以0m n ==；当m n <时，因为2xy =为()0,∞+上增函数，所以232m n n =<，所以312n⎛⎫< ⎪⎝⎭，所以0n <，所以0m n <<， 故选：D. 【点睛】方法点睛：已知(,1mna ba b =>或)0,1a b <<，比较,m n 大小的常用方法：（1）分类讨论法：,,m n m n m n <=>，根据指数函数的单调性分析出,m n 的大小关系； （2）数形结合法：在同一平面直角坐标系作出,x x y a y b ==的图象，作直线y t =与两图象相交，根据交点横坐标的大小关系判断出,m n 的大小关系. 8．D 【分析】根据题设逐年列出生产总值能耗后可得正确的选择. 【详解】设2015年该企业单位生产总值能耗为a ，则2016年该企业单位生产总值能耗()1a x -， 2017年该企业单位生产总值能耗()21a x -，2018年该企业单位生产总值能耗()31a x -， 2019年该企业单位生产总值能耗()41a x -，2020年该企业单位生产总值能耗()51a x -， 由题设可得()510.8a x a -=即()510.8x -=， 故选：D.【分析】由题意结合向量共线的性质分类讨论充分性和必要性是否成立即可. 【详解】存在实数λ，使得λab ，说明向量,a b 共线，当,a b 同向时，a b a b +=+成立， 当,a b 反向时，a b a b +=+不成立，所以，充分性不成立. 当a b a b +=+成立时，有,a b 同向，存在实数λ，使得λa b 成立，必要性成立，即“存在实数λ，使得λa b ”是“a b a b +=+”的必要而不充分条件.故选B . 【点睛】本题主要考查向量共线的充分条件与必要条件，向量的运算法则等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 10．C 【分析】令()()1g x f x =+，①：根据()00g =求解出()1f 的值并判断；②：根据()g x 为奇函数可知()()g x g x -=-，化简此式并进行判断；根据()1y f x =+与()y f x =的图象关系确定出()f x 关于点对称的情况，由此判断出③④是否正确. 【详解】令()()1g x f x =+，①因为()g x 为R 上的奇函数，所以()()0010g f =+=，所以()10f =，故正确； ②因为()g x 为R 上的奇函数，所以()()g x g x -=-，所以()()11f x f x -+=-+，即()()11f x f x -=-+，故正确；因为()1y f x =+的图象由()y f x =的图象向左平移一个单位得到的，又()1y f x =+的图象关于原点对称，所以()y f x =的图象关于点()1,0对称，故③错误④所以正确的有：①②④， 故选：C. 【点睛】结论点睛：通过奇偶性判断函数对称性的常见情况：（1）若()f x a +为偶函数，则函数()y f x =的图象关于直线x a =对称； （2）若()f x a +为奇函数，则函数()y f x =的图象关于点(),0a 成中心对称. 11．5 【分析】求出a b -的坐标后可得a b -. 【详解】因为()1,2a =-，()3,1b =-，故()4,3a b -=-，故5a b -=， 故答案为：5 12．01a << 【分析】根据条件可得1212000x x x x ∆>⎧⎪+>⎨⎪>⎩，列出不等式求解即可.【详解】由方程220x x a -+=有两个不相等的正实数根，设为12,x x则1212000x x x x ∆>⎧⎪+>⎨⎪>⎩ ，即1212440200a x x x x a ∆=->⎧⎪+=>⎨⎪=>⎩，解得01a << 故答案为：01a << 13．()(),20,2-∞-【分析】由()f x 为R 上的奇函数，且()f x 在()0,∞+上单调递增，()20f =，可得()f x 在(),0-∞上单调递增，且()20f -=，再分类讨论，根据单调性解不等式即可.因为()f x 为R 上的奇函数，且()f x 在()0,∞+上单调递增，()20f =， 所以()f x 在(),0-∞上单调递增，且()20f -=，0x >时，()()()02f x f x f <⇒<，可得02x <<，0x <时，()()()02f x f x f <⇒<-，可得2x <-，综上，不等式()0f x <的解集是()(),20,2-∞-，故答案为：()(),20,2-∞-.【点睛】方法点睛：将奇偶性与单调性综合考查一直是命题的热点，解这种题型往往是根据函数在所给区间上的单调性，利用奇偶性判断出函数在对称区间上的单调性(偶函数在对称区间上单调性相反，奇函数在对称区间单调性相同)，然后再根据单调性列不等式求解. 14．②③. 【分析】①10罐可乐有10个可乐空罐，第一次可换3罐可乐还剩1个空罐，第二次可换1罐可乐还剩2个空罐，由此算出最多可饮用的可乐罐数；②：先分析购买66罐可乐的情况，再分析购买67罐可乐的情况，由此确定出至少需要购买的可乐罐数；③：先分析购买1到9罐可乐分别可饮用多少罐可乐以及剩余空罐数，然后得到规律，再分奇偶罐数对所得到的规律进行整理，由此计算出()f n 的结果. 【详解】①：购买10罐可乐时，第一次可换3罐还剩1个空罐，第二次可换1罐还剩2个空罐，所以最多可饮用103114++=罐可乐，故错误；②：购买66罐时，第一次可换22罐可乐，第二次可换7罐可乐还剩1个空罐， 第三次可换2罐可乐还剩2个空罐，第四次可换1罐可乐还剩2个空罐，所以一共可饮用662272198++++=罐；购买67罐时，第一次可换22罐可乐还剩1个空罐，第二次可换7瓶可乐还剩2个空罐， 第三次可换3罐可乐，第四次可换1罐可乐还剩1个空罐，所以一共可饮用6722731100++++=罐；所以至少需要购买67罐可乐，故正确；③：购买1到9罐可乐分别可饮用可乐罐数以及剩余空罐数如下表所示：由表可知如下规律：（1）当购买的可乐罐数为奇数时，此时剩余空罐数为1，当购买的可乐罐数为偶数时，此时剩余的空罐数为2；（2）实际饮用数不是3的倍数；（3）每多买2罐可乐，可多饮用3罐可乐，（4）实际饮用的可乐罐数要比购买的可乐罐数的1.5倍少0.5或1； 设购买了n 罐可乐，实际可饮用的可乐罐数为()f n ，所以()()()**3221,312,m n m m N f n m n m m N ⎧-=-∈⎪=⎨-=∈⎪⎩，即()()()**3121,2322,2n n m m N f n n n m m N -⎧=-∈⎪⎪=⎨-⎪=∈⎪⎩，即()()()**121,222,2n n n m m N f n n n n m m N -⎧+=-∈⎪⎪=⎨-⎪+=∈⎪⎩，又因为12,22n n --可看作12n -⎡⎤⎢⎥⎣⎦，即不大于12n -的最大整数，所以1()2n f n n -⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦成立，故正确； 故答案为：②③. 【点睛】关键点点睛：解答本题时，一方面需要通过具体购买的可乐罐数去分析实际饮用的可乐罐数，另一方面需要对实际的购买情况进行归纳，由此得到购买的可乐罐数与实际饮用的可乐罐数的关系，从而解决问题. 15．1- 10a -<< 【分析】由()0.52log 2f =可得结果，函数()y f x a =-有且仅有三个零点，即函数()y f x =的图象与y a = 的图象仅有三个交点，作出函数()y f x =的图象，根据图象可得答案. 【详解】()0.52log 21f ==-函数()y f x a =-有且仅有三个零点，即函数()y f x =的图象与y a = 的图象仅有三个交点.作出函数()y f x =的图象,如图.由图可知，当10a -<<时，函数()y f x =的图象与y a = 的图象有三个交点.所以函数()y f x a =-有且仅有三个零点时，实数a 的取值范围是10a -<< 故答案为： 1- ； 10a -<< 16．（I ）750；（II ）35【分析】（I ）根据折线图可以得到体育成绩大于或等于70分的学生人数，从而可以估计出该校高一年级中体育成绩大于或等于70分的学生频率，进而得到学生人数.（II ）利用列举法可得基本事件的总数和随机事件中基本事件的个数，从而可求概率. 【详解】（I ）根据折线图可以得到体育成绩大于或等于70分的学生人数为1431330++=，所以 该校高一年级中体育成绩大于或等于70分的学生人数估计为：30100075040⨯=. （II ）体育成绩在[)60,70和[)80,90的人数分别为2、3，分别记为,,,,a b A B C 若随机抽取2人，则所有的基本事件为：()()()()()()()()()(),,,,,,,,,,,,,,,,,,,a b a A a B a C b A b B b C A B A C B C ， 故基本事件的总数为10.其中恰有1人体育成绩在[)60,70的基本事件的个数有6个， 设A 为：“恰有1人体育成绩在[)60,70”，则()63105P A ==. 【点睛】思路点睛：古典概型的概率的计算，关键是基本事件的总数和随机事件中基本事件的个数的计算，计算时可采用枚举法、树形图等帮助计数（个数较少时），也可以利用排列组合的方法来计数（个数较大时）.17．(1) ()4,8或()12--， (2) 7 (3)证明见解析. 【分析】 （1）由432x x x++=解出方程可得答案.（2）利用均值不等式433x x ++≥可得答案.(3)由定义法证明函数单调性的步骤即可证明. 【详解】 （1）由432x x x++=，即2340x x --=，解得4x =或1x =- 所以函数()f x 的图像与直线2y x =交点的坐标为()4,8或()12--， （2）当0x >时，4()337f x x x =++≥= 当且仅当4x x=,即2x =时，取得等号. 所以当(0,)x ∈+∞时，函数()f x 的最小值为7. (3) 任取12,2x x >，且12x x < 则()()2121224433f x f x x x x x ⎛⎫⎛⎫-=++-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()()2111211222444x x x x x x x x x x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭-=-+-+()()2112112122441x x x x x x x x x x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭=--- 由12,2x x >，且12x x <，则124x x >，210x x -> 所以1240x x ->，则()12122140x x x x x x ->- 所以()()210f x f x ->，即()()21f x f x > 所以函数()f x 在()2,+∞上单调递增 【点睛】思路点睛：本题考查利用函数的奇偶性求参数，证明函数的单调性和利用单调性解不等式.证明函数的单调性的基本步骤为：(1)在给定的区间内任取变量12,x x ，且设12x x <.(2)作差()()12f x f x -变形，注意变形要彻底，变形的手段通常有通分、因式分解、配方、有理化等.(3)判断符号，得出()()12f x f x ，的大小. (4)得出结论. 18．（I ）1a =；（II ）45；（III ）甲组同学数学成绩的方差大于乙组同学数学成绩的方差. 【分析】（I ）先求解出甲、乙两组的数学平均成绩，根据平均成绩相同求解出a 的值；（II ）先确定出a 的所有可取值，再求解出满足条件的a 的取值，根据满足条件a 的取值个数与总的可取值个数的比值求解出对应概率；（III ）根据数据的分布情况直接判断出甲、乙两组同学数学成绩的方差大小. 【详解】 （I ）因为889292272909190271,3333a ax x ++++++====甲乙，且x x =甲乙，所以27227133a+=，所以1a =； （II ）记“乙组平均成绩超过甲组平均成绩”为事件A ， 因为乙组平均成绩超过甲组平均成绩，所以27127233a +>，所以1a >， 所以a 的可取值有：{}2,3,4,5,6,7,8,9，共8个数， 又因为{}0,1,2,3,4,5,6,7,8,9a ∈，集合中共有10个元素， 所以()84105P A ==； （III ）甲组同学数学成绩的方差大于乙组同学数学成绩的方差. （理由如下：因为889292272909193274,3333x x ++++====甲乙，所以22222722722728892923233339s ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭==甲， 22222742742749091931433339s ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭==乙，因为321499>，所以22s s >甲乙）19．（I ）2log 3；（II ）奇函数，证明见解析；（III ）3. 【分析】（I ）代入x a =，得到21221a a +=-，由此求解出2a 的值，即可求解出a 的值；（II ）先判断奇偶性，然后分析定义域并计算()(),f x f x -的数量关系，由此完成证明； （III ）先求解出()f x 在[)1,+∞上的最大值，再根据()max m f x ⎡⎤≥⎣⎦求解出m 的最小值. 【详解】（I ）因为()2f a =，所以21221a a +=-，所以21222a a +=⋅-且21a ≠，所以23a =，所以2log 3a =； （II ）()f x 为奇函数，证明如下：因为210x -≠，所以定义域为{}0x x ≠关于原点对称，又因为()()211221211221x x x x xx f x f x --+++-===-=----，所以()f x 为奇函数； （III ）因为()2121221212121x x x x x f x +-+===+---， 又因为21xy =-在[)1,+∞上递增，所以221xy =-在[)1,+∞上递减，所以()()1max211321f x f ==+=⎡⎤⎣⎦-， 又因为()f x m ≤对于[)1,x ∈+∞恒成立，所以()max m f x ⎡⎤≥⎣⎦，所以3m ≥， 所以m 的最小值为3. 【点睛】思路点睛：判断函数()f x 的奇偶性的步骤如下：（1）先分析()f x 的定义域，若()f x 定义域不关于原点对称，则()f x 为非奇非偶函数，若()f x 的定义域关于原点对称，则转至（2）；（2）若()()f x f x =-，则()f x 为偶函数；若()()f x f x -=-，则()f x 为奇函数.20．（I ）80039000,10013065000,130150x x y x -≤<⎧=⎨≤≤⎩；（II ）[]120150,. 【分析】（I ）分情况考虑：100130,130150x x ≤<≤≤，分别求解出每一种情况下y 的表示，由此可得到y 关于x 的分段函数；（II ）根据条件分段列出不等式，求解出每一个不等式的解集，由此求解出市场需求量x 的范围. 【详解】（I ）当100130x ≤<时，此时130吨的该农产品售出x 吨，未售出()130x -吨， 所以()500300130y x x =--，即80039000y x =-；当130150x ≤≤时，此时130吨的该农产品全部售出，所以500130y =⨯，即65000y =，综上可知：80039000,10013065000,130150x x y x -≤<⎧=⎨≤≤⎩； （II ）当100130x ≤<时，令8003900057000x -≥，解得120130x ≤<， 当130150x ≤≤，此时6500057000>符合，所以市场需求量x 的范围是[]120150,. 21．（I ）y x =不属于集合P ，2y =属于集合P ；（II ）证明见解析；（III ）证明见解析. 【分析】（I ）根据性质Γ的定义判断y x =与2y =是否具有性质Γ，由此判断出函数y x =和2y =是否属于集合P ；（II ）先根据定义证明函数()xg x =具有性质Γ，然后即可证明()g x P ∈；（III ）将问题转化为证明二次函数不具备性质Γ，先假设二次函数具备性质Γ，然后通过已知条件推出与条件矛盾的结果，由此完成证明. 【详解】（I ）y x =不属于集合P ，2y =属于集合P ；（理由如下：设()f x x =，若()()f x m mf x +=，则有x m mx +=，解得0m =，不符题意，所以y x =不具有性质Γ，所以y x =不属于集合P ；设()2f x =，若()()f x m mf x +=，则有22m =，所以1m =，所以2y =具有性质Γ，所以2y =属于集合P ）（II ）证明如下：因为()xg x =，不妨令()()g x m mg x +=，所以x mxm+=，所以mm =，显然关于m 的方程有解：2m =，所以()xg x =具有性质Γ，所以()g x P ∈； （III ）根据题意可知：PQ =∅⇔二次函数不具备性质Γ，假设存在二次函数()()20f x ax bx c a =++≠具备性质Γ，所以存在常数()0m m ≠对于任意x ∈R 都有()()f x m mf x +=成立，所以存在常数()0m m ≠使()()22a x m b x m c amx bmx cm ++++=++成立， 所以存在常数()0m m ≠使()2222ax am b x am bm c amx bmx cm +++++=++成立，所以22a am am b bm am bm c cm =⎧⎪+=⎨⎪++=⎩，解得0,0,1a b m ===，这与假设中0a ≠矛盾，所以假设不成立，所以二次函数都不具备性质Γ，所以P Q =∅.【点睛】关键点点睛：解答本题第三问的关键是将待证明的问题转化为分析二次函数是否具备性质Γ，再通过“反证”的思想完成证明.。
2020年北京四中高一(上)期中数学试卷
高一（上）期中数学试卷1.已知全集U={1,2，3，4，5}，集合A={1,3}，B={3,4，5}，则集合A∩B=()A. {2,3，4，5}B. {3}C. {1,4，5}D. {1,3，4，5}2.函数f(x)=√x−1x−2的定义域是()A. RB. {x|x>2}C. {x|x≥1}D. {x|x≥1且x≠2}3.若a>b，则下列各式中正确的是()A. ac>bcB. ac2>bc2C. a+c2>b+c2D. 1a <1b4.下列函数中，在区间(0,+∞)上为减函数的是()A. y=x2−2xB. y=|x|C. y=2x+1D. y=−√x5.命题“∀x∈R，x3−x2+1≤0”的否定是()A. ∃x∈R，x3−x2+1≥0B. ∃x∈R，x3−x2+1>0C. ∃x∈R，x3−x2+1≤OD. ∀x∈R，x3−x2+1>06.下列函数中：①y=2x ②y=1(x+1)2③y=x2+1④f(x)={x+1,x<01−x,x>0偶函数的个数是()A. 0B. 1C. 2D. 37.“x>1”是“x2−x>0”的()A. 充分而不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件8.函数f(x)=x3−2x−3一定存在零点的区间是()A. (2,+∞)B. (1,2)C. (0,1)D. (−1,0)9.下列函数中，满足f(2x)=2f(x)的是()A. f(x)=(x+2)2B. f(x)=x+1C. f(x)=4xD. f(x)=x−|x|10.函数f(x)=ax+b(x+c)2的图象如图所示，则下列结论成立的是()A. a >0，b >0，c <0B. a <0，b >0，c >0C. a <0，b >0，c <0D. a <0，b <0，c <011. 设全集U =R ，集合A ={x|0<x <2}，B ={−3,−1,1，3}，则集合(∁U A)∩B =______．12. 已知f(x)={2x −1,x ≥03x 2,x <0，则f(f(−1))的值为______．13. 函数y =x 2+3x −1，x ∈[−2,3]的值域是______． 14. 若x >0，则f(x)=4x +19x 的最小值为______．15. 若二次函数f(x)的图象关于x =2对称，且f(a)≤f(0)<f(1)，则实数a 的取值范围是______．16. 某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件：(i)男学生人数多于女学生人数； (ii)女学生人数多于教师人数； (iii)教师人数的两倍多于男学生人数．①若教师人数为4，则女学生人数的最大值为______． ②该小组人数的最小值为______．17. 设集合A ={x|x 2−2x −3>0}，B ={x|x 2+4x +3<0}，C ={x|2k −1<x <2k +3}． (1)求A ∪B ；(2)若C ⊆A ∪B ，求实数k 的取值范围．18.已知a，b>0，证明：a3+b3≥a2b+ab2．19.已知函数f(x)=2x −1a,g(x)=2x−1a(a∈R,a≠0)．(1)当a=1时，解关于x的不等式f(x)>0；(2)若f(x)+g(x)≥0在(0,+∞)上恒成立，求a的取值范围．20.已知集合M={0,1，2，3}，N={x|x=2a,a∈M}，则集合M∩N=______．21.不等式|x−1|+|x+2|≤5的解集是______．22.已知x>y>z，x+y+z=0，则①xz<yz②xy>yz③xy>xz④x|y|>z|y|四个式子中正确的是______.(只填写序号)23.设f(x)={(x−a)2,x≤0 x+1x,x>0．(1)当a=12时，f(x)的最小值是______；(2)若f(0)是f(x)的最小值，则a的取值范围是______．24.已知集合M={x∈N|1≤x≤15}，集合A1，A2，A3满足①每个集合都恰有5个元素；②A1∪A2∪A3=M.集合A i中元素的最大值与最小值之和称为集合A i的特征数，记为X i(i=1,2，3)，则X1+X2+X3的最大值与最小值的和为______．25.已知函数f(x)=x2+a|x−1|．(1)当a=2时，解方程f(x)=2；(2)若f(x)在[0,+∞)上单调递增，求实数a的取值范围．26.设a，b，c，d不全为0，给定函数f(x)=bx2+cx+d，g(x)=ax3+bx2+cx+d.若f(x)，g(x)满足①f(x)有零点；②f(x)的零点均为g(f(x))的零点；③g(f(x))的零点均为f(x)的零点．则称f(x)，g(x)为一对“K函数”．(1)当a=c=d=1，b=0时，验证f(x)，g(x)是否为一对“K函数”，并说明理由；(2)若f(x)，g(x)为任意一对“K函数”，求d的值；(3)若a=1，f(1)=0，且f(x)，g(x)为一对“K函数”，求c的取值范围．答案和解析1.【答案】B【解析】解：∵A ={1,3}，B ={3,4，5}， ∴A ∩B ={3}． 故选：B ．进行交集的运算即可．本题考查了列举法的定义，交集的运算，考查了计算能力，属于基础题．2.【答案】D【解析】解：函数f(x)=√x−1x−2中，令{x −1≥0x −2≠0， 解得x ≥1且x ≠2，所以函数f(x)的定义域是{x|x ≥1且x ≠2}． 故选：D ．根据函数f(x)的解析式列出使解析式有意义的不等式组，求出解集即可． 本题考查了根据函数解析式求定义域的应用问题，是基础题．3.【答案】C【解析】 【分析】由a >b ，根据不等式的基本性质即可得出结论．本题考查了不等式的基本性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 【解答】解：由a >b ，可得ac 与bc 大小关系不确定， ac 2≥bc 2，a +c 2>b +c 2，1a 与1b 的大小关系不确定． 因此只有C 确定． 故选：C ．4.【答案】D【解析】解：由二次函数的性质可知，y =x 2−2x 在(0,+∞)上先减后增，故A 错误； y =|x|在(−∞,0)上为减函数，(0,+∞)上为增函数，故B 错误； 由一次函数的性质可知，y =2x +1在(0,+∞)上为增函数，故C 错误；由幂函数的性质可知，y =√x 在(0,+∞)上为增函数，从而有y =−√x(0,+∞)上为减函数，故D 正确； 故选：D ．由二次函数的性质可知，y =x 2−2x 在(0,+∞)上的单调性；由一次函数及函数图象变换可知y =|x|在(0,+∞)上为增函数；由一次函数的性质可知，y =2x +1在(0,+∞)上为增函数；由幂函数的性质可知，y =√x 在(0,+∞)上为增函数，从而可判断y =−√x(0,+∞)上为减函数 本题主要考查了基本初等函数的单调性的判断，属于基础试题．5.【答案】B【解析】解：将量词否定，结论否定，可得∃x ∈R ，x 3−x 2+1>0 故选：B ．将量词否定，结论否定，可得结论．本题考查命题的否定，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．6.【答案】C【解析】解：①由y =2x =f(x)，可得f(−x)=−2x =−f(x)，即不为偶函数； ②f(x)=y =1(x+1)2的定义域为{x|x ≠−1}，关于原点不对称，不是偶函数； ③由二次函数的性质可知，y =x 2+1的图象关于y 轴对称，为偶函数； ④由f(x)={x +1,x <01−x,x >0可得f(−x)={1+x,x <0−x +1,x >0=f(x)是偶函数． 故选：C ．对各函数分别检验是否满足f(−x)=f(x)即可判断．本题主要考查了偶函数的定义在偶函数判断中的应用，属于基础试题．7.【答案】A【解析】解：∵x 2−x >0⇔x >1或x <0， ∴当x >1时，x 2−x >0成立， 当x 2−x >0时，x >1不一定成立，∴“x>1”是“x2−x>0”的充分不必要条件．故选A．先化简x2−x>0得x>1或x<0，然后根据充分必要条件的定义加以判断即可．本题主要考查充分必要条件的判断，注意运用定义，也可以运用集合的包含关系判断，是一道基础题．8.【答案】B【解析】解：∵f(x)=x3−2x−3，∴f(1)=−4<0，f(2)=1>0，由函数零点判定定理可知，函数在(1,2)上一定存在零点．故选：B．由已知可检验f(1)=−4<0，f(2)=1>0，结合零点判定定理即可求解．本题主要考查了函数零点判定定理的简单应用，属于基础试题．9.【答案】D【解析】解：根据题意，依次分析选项：对于A，f(x)=(x+2)2，f(2x)=(2x+2)2=4(x+1)2，2f(x)=2(x+2)2，f(2x)≠2f(x)；对于B，f(x)=x+1，f(2x)=2x+1，2f(x)=2(x+1)=2x+2，f(2x)≠2f(x)；对于C，f(x)=4x ，f(2x)=42x=2x，2f(x)=8x，f(2x)≠2f(x)；对于D，f(x)=x−|x|，f(2x)=2x−|2x|=2x−2|x|，2f(x)=2x−2|x|，f(2x)= 2f(x)，符合题意；故选：D．根据题意，依次分析验证选项中函数是否符合f(2x)=2f(x)，综合即可得答案．本题考查函数的解析式，涉及函数值的计算，属于基础题．10.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查函数图象的识别和判断，根据函数图象的信息，结合定义域，零点以及f(0)的符号是解决本题的关键．分别根据函数的定义域，函数零点以及f(0)的取值范围进行判断即可．【解答】解：函数在x =x 0处无意义，由图象x 0>0，所以−c >0，得c <0， f(0)=bc >0，∴b >0，由f(x)=0得ax +b =0，即x =−ba ， 即函数的零点x =−ba >0， ∴a <0，综上a <0，b >0，c <0， 故选：C ．11.【答案】{−3,−1,3}【解析】解：全集U =R ，集合A ={x|0<x <2}，B ={−3,−1,1，3}， 则集合∁U A ={x|x ≤0或x ≥2}， 所以集合(∁U A)∩B ={−3,−1,3}． 故答案为：{−3,−1,3}．根据补集与交集的定义，计算即可．本题考查了集合的定义与运算问题，是基础题．12.【答案】5【解析】解：根据题意，f(x)={2x −1,x ≥03x 2,x <0，则f(−1)=3×(−1)2=3，则f(f(−1))=f(3)=2×3−1=5； 故答案为：5．根据题意，由函数的解析式求出f(−1)的值，进而分析可得答案． 本题考查函数值的计算，涉及分段函数的解析式，属于基础题．13.【答案】[−134,17]【解析】解：因为y =x 2+3x −1，所以函数对称轴为x =−32，因为x ∈[−2,3]，所以当x =−32时，y 的值最小为(−32)2+3×(−32)−1=−134， 当x =3时，y 的值最大为32+9−1=17，所以函数的值域为[−134,17]．故答案为：[−134,17]．由题意可求函数对称轴，再结合函数图象就可以求出函数的最大值和最小值． 本题主要考查求二次函数在给定区间上的值域问题，主要看对称轴相对区间的位置，画出图象即可求出答案．14.【答案】43【解析】解：∵x >0， ∴4x +19x ≥2√4x ⋅19x=43(当且仅当4x =19x 即x =16时，取“=”号)， ∴当x =16时，f(x)最小值为43． 故答案为：43．直接利用基本不等式求解函数的最小值即可．本题考查基本不等式的应用，最小值的求法，注意等号成立的条件．15.【答案】a ≤0或a ≥4【解析】解：由题意可知二次函数f(x)的对称轴为x =2， 因为f(0)<f(1)，所以f(x)在(−∞,2)上单调递增，所以二次函数f(x)开口向下，在(−∞,2)上单调递增，在(2,+∞)上单调递减． ①当a ∈(−∞,2)时：{a <2a ≤0，解得a ≤0． ②当a ∈(2,+∞)时：因为f(4)=f(0)， 所以{a >2a ≥4，解得a ≥4．综上所求：a ≤0或a ≥4． 故答案为：a ≤0或a ≥4由已知条件可分析出二次函数f(x)的对称轴和开口方向，画出图象，有图象可得出a 的取值范围．考察了二次函数的图象和性质，培养学生的数形结合的数学思想．16.【答案】6 12【解析】解：①设男学生女学生分别为x ，y 人， 若教师人数为4，则{x >y y >42×4>x ，即4<y <x <8， 即x 的最大值为7，y 的最大值为6， 即女学生人数的最大值为6．②设男学生女学生分别为x ，y 人，教师人数为z ， 则{x >yy >z 2z >x ，即z <y <x <2z 即z 最小为3才能满足条件， 此时x 最小为5，y 最小为4， 即该小组人数的最小值为12， 故答案为：6，12①设男学生女学生分别为x ，y 人，若教师人数为4，则{x >yy >42×4>x ，进而可得答案； ②设男学生女学生分别为x ，y 人，教师人数为z ，则{x >yy >z 2z >x ，进而可得答案；本题考查的知识点是推理和证明，简易逻辑，线性规划，难度中档．17.【答案】解：(1)集合A ={x|x 2−2x −3>0}={x|x <−1或x >3}，B ={x|x 2+4x +3<0}={x|−3<x <−1}， 则A ∪B ={x|x <−1或x >3}；(2)由C ={x|2k −1<x <2k +3}，且C ⊆A ∪B ， 令2k −1≥3或2k +3≤−1，解得k ≥2或k ≤−2， 所以实数k 的取值范围是k ≤−2或k ≥2．【解析】(1)化简集合A 、B ，根据并集的定义写出A ∪B ； (2)由C ⊆A ∪B ，写出关于k 的不等式，求出解集即可． 本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题．18.【答案】证明：(a 3+b 3)−(a 2b +ab 2)=a 2(a −b)+b 2(b −a)=(a −b)(a 2−b 2)=(a −b)2(a +b) ∵a >0，b >0，∴a +b >0，(a −b)2≥0，∴(a−b)2(a+b)≥0，则有a3+b3≥a2b+b2a.【解析】本题考查不等式的证明，重点考查作差法的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．作差，因式分解，即可得到结论．19.【答案】解：(1)当a=1时，f(x)=2x−1．∵f(x)>0，∴2x−1>0，∴0<x<2，∴不等式的解集为{x|0<x<2}；(2)f(x)+g(x)=2x −1a+2x−1a=2x+2x−2a，∵f(x)+g(x)≥0在(0,+∞)上恒成立，∴2a ≤2x+2x在(0,+∞)上恒成立，∴只需2a≤(2x+2x)min．∵当x>0时，2x +2x≥2√2x⋅2x=4，当且仅当x=1时取等号，∴(2x +2x)min=4，∴2a≤4，∴a<0或a≥12，∴a的取值范围为(−∞,0)∪[12，+∞)．【解析】(1)将a=1代入f(x)中，根据f(x)>0，解出a的范围；(2)f(x)+g(x)≥0在(0,+∞)上恒成立，只需2a ≤(2x+2x)min，求出2x+2x的最小值后，解关于a的不等式，可得a的范围．本题考查了分式不等式的解法，不等式恒成立问题和利用基本不等式求最值，考查了转化思想和计算能了，属中档题．20.【答案】{0,2}【解析】解：∵M={0,1，2，3}，N={0,2，4，6}，∴M∩N={0,2}．故答案为：{0,2}．可以求出集合N，然后进行交集的运算即可．本题考查了列举法、描述法的定义，元素与集合的关系，交集的运算，考查了计算能力，属于基础题．21.【答案】[−3,2]【解析】解：根据绝对值的意义可得，|x−1|+|x+2|表示数轴上的x对应点到1和−2对应点的距离之和，而−3、2对应点到1和−2对应点的距离之和正好等于5，故不等式|x−1|+|x+2|≤5的解集是[−3,2]，故答案为：[−3,2]．由于|x−1|+|x+2|表示数轴上的x对应点到1和−2对应点的距离之和，而−3、2对应点到1和−2对应点的距离之和正好等于5，由此求得不等式|x−1|+|x+2|≤5的解集．本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，属于中档题．22.【答案】①③【解析】解：已知x>y>z，x+y+z=0，则①x>0，y>0，z<0，②x>0，y<0，z<0，③x+z=0，y=0．所以①xz<yz正确．②xy>yz，不正确．③xy>xz，正确．④x|y|>z|y|，不正确．故答案为：①③．直接利用不等式的性质的应用求出结果．本题考查的知识要点：不等式的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．23.【答案】14[0,√2]【解析】解：(1)当a=12时，当x≤0时，f(x)=(x−12)2≥(−12)2=14，当x>0时，f(x)=x+1x ≥2√x⋅1x=2，当且仅当x=1时取等号，则函数的最小值为14，(2)由(1)知，当x>0时，函数f(x)≥2，此时的最小值为2，若a<0，则当x=a时，函数f(x)的最小值为f(a)=0，此时f(0)不是最小值，不满足条件．若a≥0，则当x≤0时，函数f(x)=(x−a)2为减函数，则当x≤0时，函数f(x)的最小值为f(0)=a2，要使f(0)是f(x)的最小值，则f(0)=a2≤2，即0≤a≤√2，即实数a的取值范围是[0,√2]，，[0,√2].故答案为：14(1)当a=1时，分别求出当x≤0和x>0时函数的最小值，进行比较即可．2(2)先判断当x>0时，函数的最小值为2，然后讨论a的取值范围，结合一元二次函数的最值性质进行比较即可．本题主要考查函数最值的应用，解一元二次函数以及基本不等式分别求出当x>0和当x≤0时的最值，进行比较是解决本题的关键．注意合理分类讨论．24.【答案】96【解析】【分析】求出集合M={x∈N∗|1≤x≤15}={1,2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15}，由题意列举出集合A1，A2，A3，由此能求出X1+X2+X3的最大值与最小值的和．本题考查满足条件的集合的判断，考查子集，并集等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．【解答】解：由题意集合M={x∈N∗|1≤x≤15}={1,2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15}，当A1={1,4，5，6，7}，A2={3,12，13，14，15}，A3={2,8，9，10，11}时，X1+X2+X3取最小值：X1+X2+X3=8+18+13=39，当A1={1,4，5，6，15}，A2={2,7，8，9，14}，A3={3,10，11，12，13}时，X1+X2+X3=16+16+16=48，当A1={1,2，3，4，15}，A2={5,6，7，8，14}，A3={9,10，11，12，13}时，X1+X2+X3取最大值：X1+X2+X3=16+19+22=57，∴X1+X2+X3的最大值与最小值的和为：39+57=96．故答案为：96．25.【答案】解：(1)当a=2时，f(x)=x2+2|x−1|=2．当x<1时，x2+2(1−x)=2，x2−2x=0，得x=0；当x≥1时，x2+2(x−1)=2，x2+2x−4=0，得x=√5−1．综上，方程f(x)=2的解为x =0或x =√5−1．(2)x ≥1时，f(x)=x 2+a(x −1)=x 2+ax −a 在[1,+∞)上单调递增，则x =−a 2≤1，故a ≥−2；0≤x <1时，f(x)=x 2−ax +a ，x =a 2≤0，故a ≤0．且1−a +a ≤1+a −a 恒成立．综上，实数a 的取值范围是[−2,0]．【解析】本题第一问，通过分类讨论去绝对值转化为一般一元二次不等式求解即可；第二问是含参函数单调性问题，分类讨论转化为二次函数单调性问题，考虑其对称轴即可，同时要注意在分段点处函数值的大小关系．本题体现了分类讨论思想，对于含有绝对值的函数问题，通过分类讨论去绝对值，转化为一元二次方程和二次函数问题．26.【答案】解：(1)若f(x)，g(x)为任意一对“K 函数”，求d 的值；由f(x)=x +1=0，得x =−1，所以g(f(−1))=g(0)=1，故x =−1不是g(f(x))的零点，故不满足②，所以不是一对“K 函数”，(2)设r 为方程的一个根，即f(r)=0，则由题设得g(f(r))=0．于是，g(0)=g(f(r))=0，即g(0)=d =0．所以d =0，反之g(f(x))=f(x)[f 4(x)+bf(x)+cf(x))=0，则f(x)=0成立，故d =0；(3)因为d =0，由a =1，f(1)=0得b =−c ，所以f(x)=bx 2+cx =−cx(x −1)，g(f(x))=f(x)[f 2(x)−cf(x)+c]，由f(x)=0得x =0，1，可以推得g(f(x))=0，根据题意，g(f(x))的零点均为f(x)的零点，故f 2(x)−cf(x)+c =0必然无实数根设t =−cx(x −1)，则t 2−ct +c =0无实数根，当c >0时，t =−c(x −12)2+c 4≤c 4，ℎ(t)=t 2−ct +c =(t −c 2)2+c −c 24， 所以ℎ(t)min =ℎ(c 4)>0，即c 216−c 24+c >0，解得c ∈(0,163)， 当c <0时，t =−c(x −12)2+c 4≥c 4，ℎ(t)=t 2−ct +c =(t −c 2)2+c −c 24， 所以ℎ(t)min =ℎ(c 2)>0，即c −c 24>0，解得c ∈(0,4)，因为c <0，显然不成立， 当c =0时，b =0，此时f(x)=0在R 上恒成立，g(f(x))=c =0也恒成立，).综上：c∈[0,163【解析】考查函数的新定义，求参数值和范围，用了分类讨论思想，二次函数的解放，难度大，综合性高．(1)代入检验即可；(2)利用”k函数“定义求出；(3)换元法，设t=−cx(x−1)，根据t的范围，对g(f(x))讨论，求出c的范围．。
2021-2022学年北京四中高一(上)适应性数学试卷(10月份)(附答案详解)
2021-2022学年北京四中高一（上）适应性数学试卷（10月份）一、单选题（本大题共10小题，共30.0分）1.若集合A={1,3，5，7}，B={2,3，4}，则A∩B=()A. {1,3)B. {2,3}C. {3}D. {3,5}2.设全集U={1、2、3、4、5}，M={3,5}，N={2、3、4}，则图中阴影部分所表示的集合是()A. {1,2，4}B. {1,3，5}C. {2,4}D. {1,2，3，4}3.不等式2x2−3x+1>0的解集为()A. (12,1) B. (−∞,12)∪(1,+∞)C. RD. ⌀4.“a−c>b−d”是“a>b且c<d”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件5.集合A={x∈N|−1<x<3}的真子集个数是()A. 3B. 4C. 7D. 86.已知命题p：∃x>0，x2+1>1，则命题p的否定为()A. ∃x≤0，x2+1≤1B. ∃x>0，x2+1≤1C. ∀x>0，x2+1≤1D. ∀x≤0，x2+1≤17.设集合P={m|−1<m≤0}，Q={m|mx2+4mx−4<0对任意x恒成立}，则P与Q的关系是()A. P⊆QB. Q⊆PC. P=QD. P∩Q=⌀8.已知全集U=Z，集合A=x{x|x=2k+1,k∈Z}，B={x|x=4k−1,k∈Z}.则下列各等式中正确的是()A. U=A∪BB. U=B∪(∁U A)C. U=A∪(∁U B)D. U=(∁U A)∪(∁U B)9.设a<b<0，则下列不等式中不成立的是()A. 1a >1bB. 1a−b>1aC. |a|>−bD. √−a>√−b10.设全集为R，A={x|x2−5x−6>0}，B={x||x−5|<a}(a为常数)，11∈B，则()A. (∁R A)∪B=RB. A∪(∁R B)=RC. (∁R A)∪(∁R B)=RD. A∪B=R二、单空题（本大题共6小题，共24.0分）11.集合M={x|x2+2x−a=0}，若⌀⫋M，则实数a的范围是______．12.某班有学生55人，其中音乐爱好者34人，体育爱好者43人，还有4人既不爱好体育也不爱好音乐，则班级中即爱好体育又爱好音乐的有______ 人．13.给出如下四个命题：①若b<a<0，则1a <1b；②若a<b<0，则a2>b2；③不等式1a>1的解集是{a|a<1}；④若1<a<2，且0<b<3，则−2<a−b<2．其中正确命题的序号为______(写出所有正确命题的序号)．14.设a，b，c是任意实数，能够说明“若c<b<a且ac<0，则ab<ac”是假命题的一组整数a，b，c的值依次为______．15.若不等式2a +1b≥m2a+b对任意的a>0，b>0恒成立，则m的最大值是______．16.设常数a∈R，集合A={x|(x−1)⋅(x−a)≥0}，B={x|x≥a−1}，若A∪B=R，则a的取值范围为______ ．三、解答题（本大题共5小题，共46.0分）17.已知全集R，集合A={x|x2+px+12=0}，B={x|x2−5x+q=0}，若(∁R A)∩B={2}，求p+q的值．)x+118.已知f(x)=x2−(a+1a(Ⅰ)当a=1时，解不等式f(x)≤0；2(Ⅱ)若a>0，解关于x的不等式f(x)≤0．19.已知抛物线y=(m−1)x2+(m−2)x−1，m∈R．(Ⅰ)当m为何值时，抛物线与x轴有两个交点？(Ⅱ)如果抛物线与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，且△ABC的面积等于2，试确定m的值．20.某单位欲建造一间底面为矩形且面积为12m2的背面靠墙的小屋，小屋正面的造价为1200元/m2，侧面的造价为800元/m2，屋顶的造价为5200元．如果小屋墙高为3m，且不计小屋背面和底面的费用，问：怎样设计小屋能使总造价最低？最低总造价是多少元？21.已知数集A={a1,a2,…,a n}(1≤a1<a2<⋯<a n，n≥2)具有性质P：对任意的i，j(1≤i≤j≤n)a i a j与a ia j两数中至少有一个属于A．(Ⅰ)分别判断数集{1,3，4}与{1,2，3，6}是否具有性质P？(不写过程) (Ⅱ)当n=5时，若a2=2，求集合A．答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵A={1,3，5，7}，B={2,3，4}，∴A∩B={3}，故选：C．利用交集运算即可求解．此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2.【答案】C【解析】解：图中阴影部分表示的集合中的元素是在集合N中，但不在集合M中．又M={3,5}，N={2、3、4}，则右图中阴影部分表示的集合是：{2,4}．故选：C．先观察Venn图，得出图中阴影部分表示的集合，再结合已知条件即可求解．本小题主要考查Venn图表达集合的关系及运算、Venn图的应用等基础知识，考查数形结合思想．属于基础题．3.【答案】B【解析】解：不等式2x2−3x+1>0，即(x−1)(2x−1)>0，，解得：x>1或x<12)∪(1,+∞)．不等式的解集为：(−∞,12故选：B．利用二次不等式的解法，求解不等式2x2−3x+1>0的解集即可．本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，是基础题．4.【答案】B【解析】解：由“a>b且c<d”，能推出a−c>b−d，故是必要条件，由“a−c>b−d”推不出“a>b且c<d”，比如a=5，c=4，b=6，d=6，不是充分条件，故选：B．根据充分必要条件的定义判断即可．本题考查了充分必要条件，考查转化思想，是基础题．5.【答案】C【解析】解：∵A={x∈N|−1<x<3}={0,1，2}，∴集合A的真子集个数是23−1=7，故选：C．先求出集合A={0,1，2}，再利用含有n个元素的集合，其真子集个数为(2n−1)个即可求解．本题主要考查集合真子集个数的求法，含有n个元素的集合，其真子集个数为(2n−1)个．6.【答案】C【解析】解：命题为特称命题，则命题的否定为∀x>0，x2+1≤1，故选：C．根据含有量词的命题的否定即可得到结论．本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．7.【答案】C【解析】解：Q={m∈R|mx2+4mx−4<0对任意实数x恒成立}，对m分类：①m=0时，−4<0恒成立；②m<0时，需△=(4m)2−4×m×(−4)<0，解得−1<m<0．综合①②知m≤0，所以Q={m∈R|−1<m≤0}．因为P={m|−1<m≤0}，所以P=Q．故选：C．首先化简集合Q，mx2+4mx−4<0对任意实数x恒成立，则分两种情况：①m=0时，易知结论是否成立②m<0时mx2+4mx−4=0无根，则由△<0求得m的范围．本题通过集合关系来考查函数中的恒成立问题，容易忽略对m=0的讨论，应引起足够的重视．8.【答案】C【解析】解：∵全集U=Z，集合A={x|x=2k+1,k∈Z}是全体奇数构成的集合，B={x|x=4k−1,k∈Z}={x|x=4(k−1)+3}是除以4余3的奇数构成的集合，∴B⊂A，则U=A∪B错误；U=B∪(∁U A)错误；U=A∪(∁U B)正确；U=(∁U A)∪(∁U B)错误．故选：C．由已知画出图形，结合图形，逐一分析四个选项得答案．本题考查交、并、补集的混合运算，考查数形结合思想，是基础题．9.【答案】B【解析】解：∵a<b<0，∴令a=−2，b=−1，>−1，正确；A、−12B、−1<−1，故B错误；2C、2>1，正确；D、√2>1，正确；故选B．利用特殊值代入法进行求解，可以令a=−2，b=−1，分别代入A、B、C、D四个选项进行求解．此题主要考查不等关系与不等式之间的关系，利用特殊值代入法求解比较简单．10.【答案】D【解析】解：由x2−5x−6>0得出集合A=(−∞,−1)∪(6,+∞)；由11∈B可知a>0，则B=(−a+5,a+5)，且a+5>11，得出a>6．并且−a+5<−1，故有A∪B=R．故选：D．利用一元二次不等式的求解方法写出集合A，据11∈B可以得出集合B中字母a的范围，要利用含绝对值不等式的解法加以解决，结合选项进行验证选出正确答案．本题考查集合的求解方法，考查学生对一元二次不等式解法的理解程度，考查含绝对值不等式解集．11.【答案】a≥−1【解析】解：由⌀⫋M可得M≠⌀，∴x2+2x−a=0有实根∴△=4+4a≥0∴a≥−1故答案为：a≥−1由题意可得M≠⌀，即x2+2x−a=0有实根，则有△=4+4a≥0，解不等式可求a的范围本题主要考查了集合的包含关系的性质(空集是任何非空集合的真子集)的应用，属于基础试题12.【答案】26【解析】解：作Venn图如右图，x+y+z=55−4=51，x+y=34，y+z=43；故y=(34+43)−51=26．故答案为：26．由题意作出Venn图，从而求解人数．本题考查了集合的图形表示的应用，属于基础题．13.【答案】①②④【解析】解：对于①若b<a<0，故1a −1b=b−aab<0，则1a<1b；故①正确；对于②若a<b<0，则a2>b2；故②正确对于③不等式1a >1整理得：1−aa>0，故a−1a<0，故不等式的解集是{a|0<a<1}，故③错误；对于④若1<a<2，且0<b<3，所以−3<−b<0，则−2<a−b<2，故④正确．故答案为：①②④．直接利用不等式的性质，分式不等式的解法的应用判断①②③④的结论．本题考查的知识要点：不等式的性质，分式不等式，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．14.【答案】1，0，−1【解析】解：若c<b<a且ac<0，则a>0，c<0，b任意，则取a=1，b=0，c=−1，则满足条件，但ab<ac不成立，故答案为：1，0，−1．根据不等式的关系判断出a>0，c<0，b任意，利用特殊值法进行判断即可．本题主要考查命题的真假判断，利用特殊值法是解决本题的关键．比较基础．15.【答案】9【解析】解：∵a>0，b>0，不等式2a +1b≥m2a+b恒成立，∴m≤[(2a+b)(2a +1b)]min，，∵(2a+b)(2a +1b)=5+2ba+2ab≥5+2×√2ba⋅2ab=9，当且仅当a=b时取等号．∴m的最大值等于9．故答案为：9．a>0，b>0，不等式2a +1b≥m2a+b恒成立，可得m≤[(2a+b)(2a+1b)]min，利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质、恒成立问题的等价转化方法，属于基础题．16.【答案】{a|a≤2}【解析】解：当a≥1时，集合A中不等式解得：x≤1或x≥a，即A={x|x≤1或x≥a}，∵B={x|x≥a−1}，且A∪B=R，∴a−1≤1，即1≤a≤2；当a<1时，集合A中不等式解得：x≤a或x≥1，即A={x|x≤a或x≥1}，由B={x|x≥a−1}，且A∪B=R，得到a<1满足题意，综上，a的范围为{a|a≤2}．故答案为：{a|a≤2}分类讨论a的范围求出A中不等式的解集，再由B，以及两集合的并集为R，求出a的范围即可．此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．17.【答案】解∵(∁R A)∩B={2}，∴2∈B，由B={x|x2−5x+q=0}有4−10+q=0，∴q=6，此时B={x|x2−5x+6}={2,3}假设∁R A中有3，则(∁R A)∩B={2,3}与(∁R A)∩B={2}矛盾，∵3∈R又3∉(∁R A)，∴3∈A，由A={x|x2+px+12=0}有9+3p+12=0，∴p=−7．∴p+q=−1【解析】利用已知(∁R A)∩B ={2}，得到2∈B ，代入集合B ，求出q ，利用反证法证明3∈A ，代入集合A ，求出p ，从而求出p +q 的值；本题考查补集及其运算、交集及其运算，解答的关键是利用元素与集合的关系列出方程求解．18.【答案】解：(I)当a =12时，有不等式f(x)=x 2−52x +1≤0，∴(x −12)(x −2)≤0， ∴不等式的解为：x ∈{x|12≤x ≤2}(II)∵不等式f(x)=(x −1a )(x −a)≤0当0<a <1时，有1a >a ，∴不等式的解集为{x|a ≤x ≤1a }；当a >1时，有1a <a ，∴不等式的解集为{x|1a ≤x ≤a}；当a =1时，不等式的解为x =1．【解析】(I)将a 的值代入不等式，利用二次不等式与二次方程根的关系写出不等式的解集．(II)通过对A 的讨论，判断出相应的二次方程的两个根的大小关系，写出二次不等式的解集．求一元二次不等式的解集时，若不等式中含参数，一般需要讨论，讨论的起点常从以下几方面考虑：二次项系数的符号、判别式的符号、两个根的大小19.【答案】解：(Ⅰ)令y =0，则(m −1)x 2+(m −2)x −1=0，根据题意可得m ≠1且△>0，即(m −2)2+4(m −1)>0，得m 2>0，所以m ≠1且m ≠0时，抛物线与x 轴有两个交点．(Ⅱ)设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，由12|x 1−x 2|⋅|y C |=2，得12⋅|m m−1|⋅|−1|=2，解得|m|=4|m −1|，解得m =43或45．【解析】(Ⅰ)令y =0，则转化为求方程有两个不等的实数根时m 的值．(Ⅱ)建立面积的函数关系式，再求函数值为2时方程的解．本题考查二次函数的性质，解题中注意转化思想的应用，属于中档题．20.【答案】解：设房屋正面的长为x(m)，侧面的长为y(m)，房屋的总造价为z 元， 根据题意，有xy =12，故z =3x ⋅1200+2⋅3y ⋅800+5200=1200(3x +4y)+5200=1200(3x +4⋅12x )+5200≥1200(2√3x ⋅48x )+5200=34000，当且仅当3x =48x ，即x =4时，等号成立，故当x =4时，y =3，所以将房屋设计成正面长为4m ，侧面长为3m 时，总造价最低，最低总造价是34000元．【解析】设房屋正面的长为x(m)，侧面的长为y(m)，房屋的总造价为z 元，根据题意，有xy =12，故z =3x ⋅1200+2⋅3y ⋅800+5200=1200(3x +4y)+5200，再结合基本不等式公式，即可求解．本题主要考查函数的实际应用，以及基本不等式公式的应用，属于基础题．21.【答案】解：(Ⅰ)由于3×4与34均不属于数集{1,3，4}，∴该数集不具有性质P ．由于1×2，1×3，1×6，2×3，62，63，11，22，33，都属于数集{1,2，3，6}， ∴该数集具有性质P ．(Ⅱ)A ={a 1,a 2,…,a n }具有性质P ，∴a n a n 与a n a n 中至少有一个属于A ，由于1≤a 1<a 2<⋯<a n ，∴a n a n >a n ，故a n a n ∉A ．从而1=an a n ∈A ，a 1=1． ∵1=a 1<a 2<⋯a n ，n ≥2，∴a k a n >a n (k =2,3，4，…，n)，故a k a n ∉A(k =2,3，4，…，n)．由A 具有性质P 可知a n a k ∈A(k =2,3，4，…，n)．又∵a n a n <a n a n−1<⋯<a n a 2<an a 1， ∴a n a n =1，a n a n−1=a 2，…，an a 2=a n−1， 当n =5时，有a 5a 4=a 2，a5a 3=a 3，即a 5=a 2⋅a 4=a 32， ∵1=a 1<a 2<⋯<a 5，∴a 3a 4>a 2a 4=a 5，∴a 3a 4∉A ，由A 具有性质P 可知a 4a 3∈A ．由a 2⋅a 4=a 32，得a 3a 2=a 4a 3∈A ，且1<a 3a 2=a 2，∴a 3a 2=a4a 3=a 2， ∴a 5a 4=a 4a 3=a 3a 2=a 2a 1=a 2，即a 1，a 2，a 3，a 4，a 5是首项为1，公比为a 2等比数列，若a 2=2，则集合A ={1,2，4，8，16}．【解析】(Ⅰ)由定义直接判断即可；(Ⅱ)推导出a n a n =1，a n a n−1=a 2，…，a n a 2=a n−1，当n =5时，有a 5a 4=a 2，a5a 3=a 3，推导出a 1，a 2，a 3，a 4，a 5是首项为1，公比为a 2的等比数列，由此能求出集合A ．本题考查集合的求法，考查集合性质、等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．。
2021北京四中高一(上)期中数学
2021北京四中高一（上）期中数 学一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项正确．） 1．（4分）设集合{1M =-，0，1}，2{|}N x x x ==，则(M N = )A ．{1-，0，1}B ．{0，1}C ．{1}D ．{0}2．（4分）设命题:p x N ∃∈，236n n >+，则p 的否定为( ) A ．x N ∃∈，236n n + B ．x N ∀∈，236n n +C ．x N ∀∈，236n n >+D ．x N ∀∈，236n n <+3．（4分）在下面四个等式运算中，正确的是( ) A ．22133a a-=B．2133a a ÷=C．342D8=-4．（4分）函数2()2(1)2f x x a x =+-+在区间(-∞，4]上是单调递减的，则实数a 的取值范围是( ) A ．3a -B ．3a -C ．5aD ．5a5．（4分）若221(1)1x f x x --=+，则(0)(f = )A ．0B ．12C ．1D ．1-6．（4分）已知22(1)()(12)2(2)x x f x x x x x +-⎧⎪=-<<⎨⎪⎩，若()3f x =，则x 的值是( )A ．1B ．1或32C ．1，32或D7．（4分）设a ，b 是非零实数，若a b <，则下列不等式成立的是( ) A ．22a b <B ．22ab a b <C ．2211ab a b<D ．b a a b< 8．（4分）已知函数()f x 是R 上的偶函数，当0x 时，()1f x x =-，则不等式()0xf x <的解集是( ) A ．(1-，0)(1⋃，)+∞ B ．(-∞，1)(0-⋃，1)C ．(-∞，1)(1-⋃，)+∞D ．(1,1)-9．（4分）若0a >，0b >，则“1ab ”是“2a b +”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件10．（4分）若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，则函数解析式为21y x =+，值域为{1，3}的同族函数有( ) A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．） 11．（5分）计算：2327-= ．12．（5分）不等式220x x -的解集为 ．13．（5分）2()f x ax bx =+，(0)ab ≠，若12()()f x f x =，且12x x ≠，则12()f x x += ． 14．（5分）设全集为S ，集合A ，B S ⊆，有下列四个命题： ①AB B =；②S SB A ⊆； ③()S B A =∅； ④()S A B =∅．其中是命题A B ⊆的充要条件的命题序号是 ． 三、解答题（本大题共3小题，共40分．）15．（13分）已知集合2{|40}A x R x =∈-<，{||1|3}B x R x =∈-，求：A B ，AB ，R B ．16．（13分）已知函数1()4f x x x=+． （Ⅰ）应用函数单调性的定义证明：函数()f x 在区间1[2，)+∞上单调递增；（Ⅰ）求()f x 在区间[1，3]上的最大值与最小值．17．（14分）近年来，某企业每年消耗电费约24万元，为了节能减排，决定安装一个可使用15年的太阳能供电设备接入本企业电网，安装这种供电设备的工本费（单位：万元）与太阳能电池板的面积（单位：平方米）成正比，比例系数约为0.5．为了保证正常用电，安装后采用太阳能和电能互补供电的模式．假设在此模式下，安装后该企业每年消耗的电费C （单位：万元）与安装的这种太阳能电池板的面积x （单位：平方米）之间的函数关系是()(020100kC x x x =+，k 为常数）．记F 为该村安装这种太阳能供电设备的费用与该村15年共将消耗的电费之和．（1）试解释(0)C 的实际意义，并建立F 关于x 的函数关系式； （2）当x 为多少平方米时，F 取得最小值？最小值是多少万元？一、选择题（本大题共3小题，每小题4分，共12分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项正确．） 18．（4分）函数1()1(1)f x x x =--的最大值是( )A ．45B ．54C ．34D ．4319．（4分）设函数246,0()6,0x x x f x x x ⎧-+=⎨+<⎩，则不等式()f x f >（1）的解集是( )A ．(3-，1)(3⋃，)+∞B ．(3-，1)(2⋃，)+∞C ．(1-，1)(3⋃，)+∞D ．(-∞，1)(1-⋃，3)20．（4分）函数2()()ax bf x x c +=+的图象如图所示，则下列结论成立的是( )A ．0a >，0b >，0c <B ．0a <，0b >，0c >C ．0a <，0b >，0c <D ．0a <，0b <，0c <二、填空题（本大题共3小题，每小题4分，共12分．）21．（4分）函数y =的定义域为 ．22．（4分）若二次函数()f x 的图象关于2x =对称，且f （a ）(0)f f <（1），则实数a 的取值范围是 ． 23．（4分）对实数a ，b 定义运算“⊗”： ,1,1a ab a b b a b -⎧=⎨->⎩⊗，设函数2()(2)(1)f x x x =--⊗，x R ∈，若函数()y f x c =-的图象与x 轴恰有两个公共点，则实数c 的取值范围是 ．三、解答题（本大题共2小题，共26分．）24．（13分）已知函数2()(2)f x x a x b =+++，其中a ，b R ∈． （Ⅰ）当1a =，4b =-时，求函数()f x 的零点； （Ⅰ）当2b a =时，解关于x 的不等式()0f x ；（Ⅰ）如果()22f x x >+对任意实数x 恒成立，证明：2b >．25．（13分）已知集合1{A a =，2a ，⋯，}n a ，i a R ∈，1i =，2，⋯，n ，并且2n ．定义1()||j i i j nT A a a <=-∑（例如：21313213||||||||)j i i j a a a a a a a a <-=-+-+-∑．（Ⅰ）若{1A =，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，{1M =，2，3，4，5}，集合A 的子集N 满足：N M ≠，且()()T M T N =，求出一个符合条件的N ；（Ⅰ）对于任意给定的常数C 以及给定的集合1{A a =，2a ，⋯，}n a ，求证：存在集合1{B b =，2b ，⋯，}n b ，使得T （B ）T =（A ），且1ni i b C ==∑．（Ⅰ）已知集合1{A a =，2a ，⋯，2}m a 满足：1i i a a +<，1i =，2，⋯，21m -，2m ，1a a =，2m a b =，其中a ，b R ∈为给定的常数，求T （A ）的取值范围．。
2021-2022学年北京四中高一(上)期中数学试卷
2021-2022学年北京四中高一（上）期中数学试卷试题数：25，总分：1501.（单选题，4分）设集合M={-1，0，1}，N={x|x 2=x}，则M∩N=（ ）A.{-1，0，1}B.{0，1}C.{1}D.{0}2.（单选题，4分）设命题p ：∃x∈N ，n 2＞3n+6，则p 的否定为（ ）A.∃x∈N ，n 2≤3n+6B.∀x∈N ，n 2≤3n+6C.∀x∈N ，n 2＞3n+6D.∀x∈N ，n 2＜3n+63.（单选题，4分）在下面四个等式运算中，正确的是（ ）A.3a -2= 13a 2B.a 23 ÷a 13 = √a 3C.2 34 = √243D. √(−8)66 =-84.（单选题，4分）函数f （x ）=x 2+2（a-1）x+2在区间（-∞，4]上是单调递减的，则实数a 的取值范围是（ ）A.a≤-3B.a≥-3C.a≤5D.a≥55.（单选题，4分）若f （1-x ）= 1−x 21+x 2 ，则f （0）=（ ）A.0B. 12C.1D.-16.（单选题，4分）已知f （x ）= {x +2(x ≤−1)x 2(−1＜x ＜2)2x (x ≥2)，若f （x ）=3，则x 的值是（ ）A.1B.1或 32C.1， 32 或± √3D. √37.（单选题，4分）设a ，b 是非零实数，若a ＜b ，则下列不等式成立的是（ ）A.a 2＜b 2B.ab 2＜a 2bC. 1ab 2＜1a 2bD. b a ＜a b8.（单选题，4分）已知函数f （x ）是R 上的偶函数，当x≥0时，f （x ）=x-1，则不等式xf （x ）＜0的解集是（ ）A.（-1，0）∪（1，+∞）B.（-∞，-1）∪（0，1）C.（-∞，-1）∪（1，+∞）D.（-1，1）9.（单选题，4分）若a ＞0，b ＞0，则“ab≥1”是“a+b≥2”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件10.（单选题，4分）若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，则函数解析式为y=x 2+1，值域为{1，3}的同族函数有（ ）A.1个B.2个C.3个D.4个11.（填空题，5分）计算：27 −23 =___ ．12.（填空题，5分）不等式2x 2-x≤0的解集为___ ．13.（填空题，5分）f（x）=ax2+bx，（ab≠0），若f（x1）=f（x2），且x1≠x2，则f（x1+x2）=___ ．14.（填空题，5分）设全集为S，集合A，B⊆S，有下列四个命题：① A∪B=B；② ∁S B⊆∁S A；③ （∁S B）∩A=∅；④ （∁S A）∩B=∅．其中是命题A⊆B的充要条件的命题序号是 ___ ．15.（问答题，13分）已知集合A={x∈R|x2-4＜0}，B={x∈R||x-1|≤3}，求：A∩B，A∪B，∁R B．16.（问答题，13分）已知函数f（x）=4x+ 1．x，+∞）上单调递增；（Ⅰ）应用函数单调性的定义证明：函数f（x）在区间[ 12（Ⅱ）求f（x）在区间[1，3]上的最大值与最小值．17.（问答题，14分）近年来，某企业每年消耗电费约24万元，为了节能减排，决定安装一个可使用15年的太阳能供电设备接入本企业电网，安装这种供电设备的工本费（单位：万元）与太阳能电池板的面积（单位：平方米）成正比，比例系数约为0.5．为了保证正常用电，安装后采用太阳能和电能互补供电的模式．假设在此模式下，安装后该企业每年消耗的电费C（单位：万元）与安装的这种太阳能电池板的面积x（单位：平方米）之间的函数关系是C （x≥0，k为常数）．记F为该村安装这种太阳能供电设备的费用与该村15（x）= k20x+100年共将消耗的电费之和．（1）试解释C（0）的实际意义，并建立F关于x的函数关系式；（2）当x为多少平方米时，F取得最小值？最小值是多少万元？18.（单选题，4分）函数f（x）= 1的最大值是（）1−x(1−x)A. 45B. 54 C. 34 D. 4319.（单选题，4分）设函数f（x）= {x2−4x+6，x≥0x+6，x＜0，则不等式f（x）＞f（1）的解集是（）A.（-3，1）∪（3，+∞）B.（-3，1）∪（2，+∞）C.（-1，1）∪（3，+∞）D.（-∞，-1）∪（1，3）20.（单选题，4分）函数f（x）= ax+b(x+c)2的图象如图所示，则下列结论成立的是（）A.a＞0，b＞0，c＜0B.a＜0，b＞0，c＞0C.a＜0，b＞0，c＜0D.a＜0，b＜0，c＜021.（填空题，4分）函数y=√−x2−3x+4x的定义域为___ ．22.（填空题，4分）若二次函数f（x）的图象关于x=2对称，且f（a）≤f（0）＜f（1），则实数a的取值范围是___ ．23.（填空题，4分）对实数a，b定义运算“⊗”：a⊗b={a，a−b≤1b，a−b＞1，设函数f（x）=（x2-2）⊗（x-1），x∈R，若函数y=f（x）-c的图象与x轴恰有两个公共点，则实数c的取值范围是 ___ ．24.（问答题，13分）已知函数f （x ）=x 2+（2+a ）x+b ，其中a ，b∈R ．（Ⅰ）当a=1，b=-4时，求函数f （x ）的零点；（Ⅱ）当b=2a 时，解关于x 的不等式f （x ）≤0；（Ⅲ）如果f （x ）＞2x+2对任意实数x 恒成立，证明：b ＞2．25.（问答题，13分）已知集合A={a 1，a 2，…，a n }，a i ∈R ，i=1，2，…，n ，并且n≥2．定义 T (A )=∑|a j −a i 1≤i ＜j≤n | （例如： ∑|a j −a i |1≤i ＜j≤3=|a 2−a 1|+|a 3−a 1|+|a 3−a 2| ）． （Ⅰ）若A={1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，M={1，2，3，4，5}，集合A 的子集N 满足：N≠M ，且T （M ）=T （N ），求出一个符合条件的N ；（Ⅱ）对于任意给定的常数C 以及给定的集合A={a 1，a 2，…，a n }，求证：存在集合B={b 1，b 2，…，b n }，使得T （B ）=T （A ），且 ∑b i n i=1=C ．（Ⅲ）已知集合A={a 1，a 2，…，a 2m }满足：a i ＜a i+1，i=1，2，…，2m-1，m≥2，a 1=a ，a 2m =b ，其中a ，b∈R 为给定的常数，求T （A ）的取值范围．2021-2022学年北京四中高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析试题数：25，总分：1501.（单选题，4分）设集合M={-1，0，1}，N={x|x2=x}，则M∩N=（）A.{-1，0，1}B.{0，1}C.{1}D.{0}【正确答案】：B【解析】：集合M与集合N的公共元素，构成集合M∩N，由此利用集合M={-1，0，1}，N={x|x2=x}={0，1}，能求出M∩N．【解答】：解：∵集合M={-1，0，1}，N={x|x2=x}={0，1}，∴M∩N={0，1}，故选：B．【点评】：本题考查集合的交集及其运算，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．2.（单选题，4分）设命题p：∃x∈N，n2＞3n+6，则p的否定为（）A.∃x∈N，n2≤3n+6B.∀x∈N，n2≤3n+6C.∀x∈N，n2＞3n+6D.∀x∈N，n2＜3n+6【正确答案】：B【解析】：利用含有量词的命题的否定方法：先改变量词，然后再否定结论，求解即可．【解答】：解：由含有量词的命题的否定方法：先改变量词，然后再否定结论，命题p：∃x∈N，n2＞3n+6，则p的否定为：∀x∈N，n2≤3n+6．故选：B．【点评】：本题考查了含有量词的命题的否定，要掌握其否定方法：先改变量词，然后再否定结论，属于基础题．3.（单选题，4分）在下面四个等式运算中，正确的是（ ）A.3a -2= 13a 2B.a 23 ÷a 13 = √a 3C.2 34 = √243D. √(−8)66 =-8【正确答案】：B【解析】：利用有理数指数幂和根式的运算性质求解．【解答】：解：对于选项A ：3a -2= 3•1a 2 = 3a 2 ，故选项A 错误，对于选项B ： a 23÷a 13 = a23−13 = a 13 = √a 3 ，故选项B 正确， 对于选项C ： 234 = √234 ，故选项C 错误，对于选项D ： √(−8)66 = √866=8，故选项D 错误，故选：B ．【点评】：本题主要考查了有理数指数幂的运算性质，考查了根式的化简计算，是基础题．4.（单选题，4分）函数f （x ）=x 2+2（a-1）x+2在区间（-∞，4]上是单调递减的，则实数a 的取值范围是（ ）A.a≤-3B.a≥-3C.a≤5D.a≥5【正确答案】：A【解析】：若y=x 2+2（a-1）x+2在区间（-∞，4]上单调递减，则1-a≥4，解得答案．【解答】：解：函数y=x 2+2（a-1）x+2的图象是开口朝上，且以直线x=1-a 为对称轴的抛物线，若y=x 2+2（a-1）x+2在区间（-∞，4]上单调递减，则1-a≥4，解得：a≤-3，故选：A．【点评】：本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的对称轴和区间的关系是解答的关键．5.（单选题，4分）若f（1-x）= 1−x21+x2，则f（0）=（）A.0B. 12C.1D.-1【正确答案】：A【解析】：化简f（0）=f（1-1），代入函数解析式即可．【解答】：解：∵f（1-x）= 1−x 21+x2，∴f（0）=f（1-1）= 1−121+12=0，故选：A．【点评】：本题考查了函数的值求法，属于基础题．6.（单选题，4分）已知f（x）= {x+2(x≤−1)x2(−1＜x＜2)2x(x≥2)，若f（x）=3，则x的值是（）A.1B.1或32C.1，32或± √3D. √3【正确答案】：D【解析】：利用分段函数的解析式，根据自变量所在的区间进行讨论表示出含字母x的方程，通过求解相应的方程得出所求的字母x的值．或者求出该分段函数在每一段的值域，根据所给的函数值可能属于哪一段确定出字母x的值．【解答】：解：该分段函数的三段各自的值域为（-∞，1]，[0，4）．[4，+∞），而3∈[0，4），故所求的字母x只能位于第二段．∴ f(x)=x2=3，x=±√3，而-1＜x＜2，∴ x=√3．故选：D．【点评】：本题考查分段函数的理解和认识，考查已知函数值求自变量的思想，考查学生的分类讨论思想和方程思想．7.（单选题，4分）设a，b是非零实数，若a＜b，则下列不等式成立的是（）A.a2＜b2B.ab2＜a2bC. 1ab2＜1a2bD. ba ＜ab【正确答案】：C【解析】：由不等式的相关性质，对四个选项逐一判断，由于a，b为非零实数，故可利用特例进行讨论得出正确选项【解答】：解：A选项不正确，因为a=-2，b=1时，不等式就不成立；B选项不正确，因为a=1，b=2时，不等式就不成立；C选项正确，因为1ab2＜1a2b⇔a＜b，故当a＜b时一定有1ab2＜1a2b；D选项不正确，因为a=1，b=2时，不等式就不成立；故选：C．【点评】：本题考查不等关系与不等式，解题的关键是熟练掌握不等式的有关性质，且能根据这些性质灵活选用方法进行判断，如本题采用特值法排除三个选项，用单调性判断正确选项．8.（单选题，4分）已知函数f（x）是R上的偶函数，当x≥0时，f（x）=x-1，则不等式xf （x）＜0的解集是（）A.（-1，0）∪（1，+∞）B.（-∞，-1）∪（0，1）C.（-∞，-1）∪（1，+∞）D.（-1，1）【正确答案】：B【解析】：由偶函数的定义和已知解析式，可得f（-1）=f（1）=0，f（x）在[0，+∞）递增，在（-∞，0）递减．对x的符号讨论可得x的不等式组，解不等式可得所求解集．【解答】：解：函数f（x）是R上的偶函数，当x≥0时，f（x）=x-1，可得f（1）=0，f（-1）=f（1）=0，f（x）在[0，+∞）递增，在（-∞，0）递减．不等式xf（x）＜0等价为{x＞0f(x)＜0=f(1)或{x＜0f(x)＞0=f(−1)，解得0＜x＜1或x＜-1，故选：B．【点评】：本题考查函数的奇偶性和单调性的定义和运用，考查转化思想和运算能力，属于基础题．9.（单选题，4分）若a＞0，b＞0，则“ab≥1”是“a+b≥2”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【正确答案】：A【解析】：a＞0，b＞0，利用基本不等式的性质可得：a+b≥2 √ab，可由ab≥1，得出a+b≥2．反之不成立．【解答】：解：a＞0，b＞0，∴a+b≥2 √ab，若ab≥1，则a+b≥2．反之不成立，例如取a=5，b= 110．∴“ab≥1”是“a+b≥2”的充分不必要条件．故选：A．【点评】：本题考查了不等式的基本性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．10.（单选题，4分）若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，则函数解析式为y=x2+1，值域为{1，3}的同族函数有（）A.1个B.2个C.3个D.4个【正确答案】：C【解析】：由函数y=x 2+1的值域求出它可能的定义域是什么， 从而得出它的同族函数有多少．【解答】：解：根据题意，当x 2+1=1时，求得x=0； 当x 2+1=3时，求得x=± √2 ； ∴函数y=x 2+1的定义域可以是{0， √2 }，{0，- √2 }，{0， √2 ，- √2 }，共3个； ∴它的同族函数有3个． 故选：C ．【点评】：本题考查了新定义的函数性质的应用问题，是基础题． 11.（填空题，5分）计算：27 −23=___ ． 【正确答案】：[1] 19【解析】：利用有理数指数幂的运算性质求解．【解答】：解： 27−23 = 33×(−23)=3-2= 19 ．故答案为： 19 ．【点评】：本题主要考查了有理数指数幂的运算性质，是基础题． 12.（填空题，5分）不等式2x 2-x≤0的解集为___ ． 【正确答案】：[1]{x|0≤x≤ 12 }【解析】：把不等式化为x （2x-1）≤0，求出不等式对应方程的实数根，写出不等式的解集．【解答】：解：不等式2x 2-x≤0化为x （2x-1）≤0， 且不等式对应方程的两个实数根为x=0或x= 12， 所以该不等式的解集为{x|0≤x≤ 12 }． 故答案为：{x|0≤x≤ 12 }．【点评】：本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，是基础题．13.（填空题，5分）f（x）=ax2+bx，（ab≠0），若f（x1）=f（x2），且x1≠x2，则f （x1+x2）=___ ．【正确答案】：[1]0【解析】：根据条件知f（x）为二次函数，并且对称轴x=x1+x22，从而−b2a=x1+x22，这样即可求出x1+x2，代入f（x）便可得出答案．【解答】：解：根据f（x1）=f（x2）知f（x）的对称轴x=−b2a =x1+x22；∴ x1+x2=−ba；∴ f(x1+x2)=f(−ba )=a•b2a2+b(−ba)=0．故答案为：0．【点评】：考查二次函数的一般形式，二次函数的对称轴，以及二次函数对称轴的求法，已知函数求值．14.（填空题，5分）设全集为S，集合A，B⊆S，有下列四个命题：① A∪B=B；② ∁S B⊆∁S A；③ （∁S B）∩A=∅；④ （∁S A）∩B=∅．其中是命题A⊆B的充要条件的命题序号是 ___ ．【正确答案】：[1] ① ② ③【解析】：根据集合的补集，交集、并集的定义，再由充要条件的定义判断哪些选项符合条件．【解答】：解：由A∪B=B，可得A⊆B，由A⊆B 可得A∪B=B，故① A∪B=B是命题A⊆B的充要条件，故① 满足条件，由∁S B⊆∁S A，可得A⊆B，由A⊆B 可得∁S B⊆∁S A，故∁S B⊆∁S A是命题A⊆B的充要条件，故②满足条件，由（∁S B）∩A=∅，可得A⊆B，由A⊆B 可得∁S B∩A=∅，故∁S B∩A=∅是命题A⊆B的充要条件，故③ 满足条件，由（∁S A）∩B=∅，可得B⊆A，不能推出A⊆B，故（∁S A）∩B=∅不是命题A⊆B的充要条件，故④ 不满足条件．故答案为：① ② ③ ．【点评】：本题主要考查集合的表示方法，集合的补集，交集、并集的定义，充要条件的定义，属于中档题．15.（问答题，13分）已知集合A={x∈R|x2-4＜0}，B={x∈R||x-1|≤3}，求：A∩B，A∪B，∁R B．【正确答案】：【解析】：集合A={x∈R|x2-4＜0}=（-2，2），B={x∈R||x-1|≤3}=[-2，4]，然后可求A∩B，A∪B，∁R B．【解答】：解：∵集合A={x∈R|x2-4＜0}=（-2，2），B={x∈R||x-1|≤3}=[-2，4]，∴A∩B=（-2，2）；A∪B=[-2，4]；∁R B=（-∞，-2）∪（4，+∞）．【点评】：本题考查集合运算，考查数学运算能力，属于基础题．16.（问答题，13分）已知函数f（x）=4x+ 1x．（Ⅰ）应用函数单调性的定义证明：函数f（x）在区间[ 12，+∞）上单调递增；（Ⅱ）求f（x）在区间[1，3]上的最大值与最小值．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）任取x1，x2∈[ 12，+∞），且x1＜x2，再作差f（x1）-f（x2），确定f（x1），f（x2）的大小，即可得出答案．（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）在[1，3]上的最大值为f（1），最小值为f（3）．【解答】：解：（Ⅰ）证明：任取x1，x2∈[ 12，+∞），且x1＜x2，所以f（x1）-f（x2）=（4x1+ 1x1）-（4x2+ 1x2）=4（x1-x2）+（1x1- 1x2）=4（x1-x2）+ x2−x1x1x2 =（x1-x2）（4- 1x1x2）=（x1-x2）4x1x2−1x1x2，因为x1＜x2，所以x1-x2＜0，又因为x1，x2∈[ 12，+∞），所以4x1x2-1＜0，所以f（x1）＞f（x2），所以f（x）在[ 12，+∞）上单调递减．（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）在[1，3]上的最大值为f（1）=5，f（x）的最小值为f（3）=3+ 13 = 103．【点评】：本题考查函数的性质，解题中需要理清思路，属于中档题．17.（问答题，14分）近年来，某企业每年消耗电费约24万元，为了节能减排，决定安装一个可使用15年的太阳能供电设备接入本企业电网，安装这种供电设备的工本费（单位：万元）与太阳能电池板的面积（单位：平方米）成正比，比例系数约为0.5．为了保证正常用电，安装后采用太阳能和电能互补供电的模式．假设在此模式下，安装后该企业每年消耗的电费C（单位：万元）与安装的这种太阳能电池板的面积x（单位：平方米）之间的函数关系是C（x）= k20x+100（x≥0，k为常数）．记F为该村安装这种太阳能供电设备的费用与该村15年共将消耗的电费之和．（1）试解释C（0）的实际意义，并建立F关于x的函数关系式；（2）当x为多少平方米时，F取得最小值？最小值是多少万元？【正确答案】：【解析】：（1）C（0）的实际意义是安装这种太阳能电池板的面积为0时的用电费用，依题意，C（0）= k100=24，可求得k，从而得到F关于x的函数关系式；（2）利用基本不等式即可求得F取得的最小值及F取得最小值时x的值．【解答】：解：（1）C（0）的实际意义是安装这种太阳能电池板的面积为0时的用电费用，即未安装太阳能供电设备时全村每年消耗的电费…（2分）由C（0）= k100=24，得k=2400 …（3分）所以F=15× 240020x+100 +0.5x= 1800x+5 +0.5x ，x≥0…（7分）（2）因为 1800x+5 +0.5（x+5）-2.5≥2 √1800×0.5 -2.5=57.5，…（10分） 当且仅当1800x+5 =0.5（x+5），即x=55时取等号 …（13分）所以当x 为55平方米时，F 取得最小值为57.5万元…（14分）【点评】：本题考查函数最值的应用，着重考查分析与理解能力，考查基本不等式的应用，属于难题．18.（单选题，4分）函数f （x ）= 11−x (1−x ) 的最大值是（ ） A. 45 B. 54 C. 34 D. 43【正确答案】：D【解析】：把分母整理成=（x- 12 ）2+ 34 进而根据二次函数的性质求得其最小值，则函数f （x ）的最大值可求．【解答】：解：∵1-x （1-x ）=1-x+x 2=（x- 12）2+ 34≥ 34， ∴f （x ）=11−x (1−x ) ≤ 43 ，f （x ）max = 43． 故选：D ．【点评】：本题主要考查了基本不等式的应用，二次函数的性质．解题的关键把分母配方成一元二次函数的形式．19.（单选题，4分）设函数f （x ）= {x 2−4x +6，x ≥0x +6，x ＜0，则不等式f （x ）＞f （1）的解集是（ ）A.（-3，1）∪（3，+∞）B.（-3，1）∪（2，+∞）C.（-1，1）∪（3，+∞）D.（-∞，-1）∪（1，3） 【正确答案】：A【解析】：求出函数值，利用分段函数求解不等式的解集即可．【解答】：解：函数f （x ）= {x 2−4x +6，x ≥0x +6，x ＜0，则f （1）=3，不等式f （x ）＞f （1）等价于： {x ≥0x 2−4x +6＞3 或 {x ＜0x +6＞3 ，解得：x∈（-3，1）∪（3，+∞）． 故选：A ．【点评】：本题考查分段函数的应用，不等式组的解法，考查计算能力．20.（单选题，4分）函数f （x ）= ax+b(x+c )2 的图象如图所示，则下列结论成立的是（ ）A.a ＞0，b ＞0，c ＜0B.a ＜0，b ＞0，c ＞0C.a ＜0，b ＞0，c ＜0D.a ＜0，b ＜0，c ＜0 【正确答案】：C【解析】：分别根据函数的定义域，函数零点以及f （0）的取值进行判断即可．【解答】：解：函数在P 处无意义，由图象看P 在y 轴右边，所以-c ＞0，得c ＜0， f （0）= bc 2＞0 ，∴b ＞0，由f （x ）=0得ax+b=0，即x=- ba ， 即函数的零点x=- ba ＞0， ∴a ＜0，综上a ＜0，b ＞0，c ＜0，故选：C ．【点评】：本题主要考查函数图象的识别和判断，根据函数图象的信息，结合定义域，零点以及f （0）的符号是解决本题的关键． 21.（填空题，4分）函数 y =√−x 2−3x+4x的定义域为___ ． 【正确答案】：[1][-4，0）∪（0，1]【解析】：根据负数不能开偶次方根和分母不能为零求解．【解答】：解：由题意得 {−x 2−3x +4≥0x ≠0∴-4≤x≤1且x≠0．∴定义域是：[-4，0）∪（0，1] 故答案为：[-4，0）∪（0，1]【点评】：本题主要考查给出解析式的函数的定义域及其求法，这里主要涉及到分式函数，则分母不能为零；还有根式函数，则负数不能开偶次方根．22.（填空题，4分）若二次函数f （x ）的图象关于x=2对称，且f （a ）≤f （0）＜f （1），则实数a 的取值范围是___ ． 【正确答案】：[1]a≤0或a≥4【解析】：由已知条件可分析出二次函数f （x ）的对称轴和开口方向，画出图象，有图象可得出a 的取值范围．【解答】：解：由题意可知二次函数f （x ）的对称轴为x=2， 因为f （0）＜f （1），所以f （x ）在（-∞，2）上单调递增，所以二次函数f （x ）开口向下，在（-∞，2）上单调递增，在（2，+∞）上单调递减． ① 当a∈（-∞，2）时： {a ＜2a ≤0 ，解得a≤0．② 当a∈（2，+∞）时：因为f （4）=f （0）， 所以 {a ＞2a ≥4 ，解得a≥4．综上所求：a≤0或a≥4． 故答案为：a≤0或a≥4【点评】：考察了二次函数的图象和性质，培养学生的数形结合的数学思想．23.（填空题，4分）对实数a ，b 定义运算“⊗”： a ⊗b ={a ，a −b ≤1b ，a −b ＞1，设函数f （x ）=（x 2-2）⊗（x-1），x∈R ，若函数y=f （x ）-c 的图象与x 轴恰有两个公共点，则实数c 的取值范围是 ___ ．【正确答案】：[1]（-2，-1]∪（1，2]【解析】：根据定义的运算法则化简函数f （x ）=（x 2-2）⊗（x-1），并画出f （x ）的图象， 函数y=f （x ）-c 的图象与x 轴恰有两个公共点转化为y=f （x ）与y=c 图象的交点问题，结合图象求得实数c 的取值范围．【解答】：解：∵a⊗b= {a ，a −b ≤1b ，a −b ＞1，∴函数f （x ）=（x 2-2）⊗（x-1）= {x 2−2，−1≤x ≤2x −1，x ＜−1或x ＞2．画出图形，如图；由图知，当c∈（-2，-1]∪（1，2]，函数f （x ）与y=c 的图象有两个公共点， ∴c 的取值范围是 （-2，-1]∪（1，2]， 故答案为：（-2，-1]∪（1，2]．【点评】：本题考查了方程的根的存在性及个数的判断以及二次函数的图象特征、函数与方程的综合运用问题，是中档题．24.（问答题，13分）已知函数f （x ）=x 2+（2+a ）x+b ，其中a ，b∈R ．（Ⅰ）当a=1，b=-4时，求函数f （x ）的零点； （Ⅱ）当b=2a 时，解关于x 的不等式f （x ）≤0； （Ⅲ）如果f （x ）＞2x+2对任意实数x 恒成立，证明：b ＞2．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）求出f（x）的表达式，利用零点的定义，令f（x）=0，求出x的值，即可得到答案；（Ⅱ）求出f（x）=0的两个根，分-a=-2，-a＜-2，-a＞-2三种情况，由一元二次不等式的解法求解即可；（Ⅲ）利用二次函数的图象与性质，列出Δ＜0，求解即可．【解答】：（Ⅰ）解：函数f（x）=x2+（2+a）x+b，当a=1，b=-4时，f（x）=x2+3x-4，令f（x）=0，即x2+3x-4=0，解得x=-4或x=1，故函数f（x）的零点为-4或1；（Ⅱ）解：当b=2a时，f（x）=x2+（2+a）x+2a，令f（x）=0，解得x=-a或x=-2，① 当-a=-2，即a=2时，f（x）≤0的解集为{x|x=-2}；② 当-a＜-2，即a＞2时，f（x）≤0的解集为[-a，-2]；③ 当-a＞-2，即a＜2时，f（x）≤0的解集为[-2，-a]．综上所述，当a=2时，f（x）≤0的解集为{x|x=-2}；当a＞2时，f（x）≤0的解集为[-a，-2]；当a＜2时，f（x）≤0的解集为[-2，-a]．（Ⅲ）证明：因为f（x）＞2x+2对任意实数x恒成立，即x2-ax-b-2＞0对任意实数x恒成立，所以Δ=a2-4（b-2）＜0，即b−2＞a24，因为a 24≥0，所以b-2＞0，即b＞2．【点评】：本题考查了函数零点的求解，函数零点定义的理解与应用，含有参数的一元二次不等式的求解，不等式恒成立的求解，二次函数图象与性质的应用，要掌握不等式恒成立问题的一般求解方法：参变量分离法、数形结合法、最值法等，属于中档题．25.（问答题，13分）已知集合A={a1，a2，…，a n}，a i∈R，i=1，2，…，n，并且n≥2．定义T(A)=∑|a j−a i1≤i＜j≤n |（例如：∑|a j−a i|1≤i＜j≤3=|a2−a1|+|a3−a1|+|a3−a2|）．（Ⅰ）若A={1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，M={1，2，3，4，5}，集合A的子集N满足：N≠M，且T（M）=T（N），求出一个符合条件的N；（Ⅱ）对于任意给定的常数C以及给定的集合A={a1，a2，…，a n}，求证：存在集合B={b1，b 2，…，b n }，使得T （B ）=T （A ），且 ∑b i n i=1=C ．（Ⅲ）已知集合A={a 1，a 2，…，a 2m }满足：a i ＜a i+1，i=1，2，…，2m-1，m≥2，a 1=a ，a 2m =b ，其中a ，b∈R 为给定的常数，求T （A ）的取值范围．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）根据新定义即可求出答案，（Ⅱ）够造新数列B={d+a 1，d+a 2，…，d+a n }，根据新定义可得取d= c−∑a in i=1n即可证明．（Ⅲ）利用数学归纳法即可证明．【解答】：解：（I ）N={6，7，8，9，10}．（II ）证明：令B={d+a 1，d+a 2，…，d+a n }，（d 为待定参数）．T （B ）= ∑1≤i ＜j≤n |（d+a i ）-（d+a j ）|= ∑1≤i ＜j≤n |a j -a i |=T （A ）， ∑b i n i=1 =nd+ ∑a i ni=1 =c ，取d=c−∑a in i=1n即可．（3）下面利用数学归纳法证明 ∑1≤i ＜j≤n |a j -a i |= ∑m k=1 （2m+1-2k ）（a 2m+1-2k -a k ）， 当m=2时， ∑1≤i ＜j≤n |a j -a i |=|a 4-a 3|+|a 3-a 2|+|a 2-a 1|+|a 4-a 2|+|a 3-a 1|+|a 4-a 1|=3（a 4-a 1）+（|a 3-a 2）．成立．假设结论对m 时成立，下面证明m+1时的情形．∑1≤i ＜j≤m+1 |a j -a i |= ∑1≤i ＜j≤n |a j -a i |+| ∑2m i=1 （a 2m+1-a i ）+ ∑2m+1i=1 （a 2m+2-a i ） = ∑m k=1 （2m+1-2k ）（a 2m+1-k -a k ）+ ∑2m i=1 （a 2m+1-a i ）+ ∑2m+1i=1 （a 2m+2-a i ） = ∑m k=1 （2m+1-2k ）（a 2m+1-k -a k ）+（2m-1）a 2m+1+（2m+1）a 2m+2-2 ∑2m i=1 a i ，= ∑m+1k=1 （2m+3-2k ）（a 2m+3-k -a k ），即T （A ）＜ ∑m k=1 （2m+1-2k ）（a 2m-2k -a k ）=m 2（b-a ）【点评】：本题考查了数列在新定义中的应用，以及数学归纳法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．。