北京四中2020-2021学年上学期高一适应性测试数学试题
北京四中：高一《数学》第一学期期中考试和答案
高一数学（必修1）期中模拟卷一、选择题：（每小题5分，共12小题，合计60分） 1、 下列几个关系中正确的是（ ）A 、0{0}∈B 、 0{0}=C 、0{0}⊆D 、{0}∅=2、设:f M N →是集合M 到集合N 的映射，下列说法正确的是（ ）a 、M 中每一个元素在N 中必有输出值。
b 、N 中每一个元素在M 中必有输入值。
c 、N 中每一个元素在M 中的输入值是唯一的。
d 、N 是M 中所有元素的输出值的集合。
3、下列函数与y x =有相同图象的一个是（ ）A、y B 、2x y x= C 、log (0,a x y a a =>且1)a ≠ D 、log (0,x a y a a =>且1)a ≠ 4、集合11{|,},{|,}2442k k M x x k Z N x x k Z ==+∈==+∈，则（ ） A 、M N = B 、M N ⊆ C 、N M ⊆ D 、M N =∅5、已知53()2f x x ax bx =-++且(5)17f -=，则(5)f 的值为（ ） A 、19 B 、 13 C 、 -19 D 、 -136、若0a <，则函数(1)1x y a =--的图象必过点（ ） A 、(0,1) B 、（0，0） C 、（0，-1） D 、（1，-1）7、要得到函数(2)1y f x =-+的图象，只需将函数()y f x =的图象（ ）a 向右平移2个单位，向下平移1个单位。
b 向左平移2个单位，向下平移1个单位。
c 向右平移2个单位，向上平移1个单位。
d 向左平移2个单位，向上平移1个单位。
8、定义集合A 、B 的一种运算：1212{,,}A B x x x x x A x B *==+∈∈其中，若{1,2,3}A =，{1,2}B =，则A B *中的所有元素数字之和为（ ） A ．9 B. 14 C.18 D.21 9、已知函数()312f x ax a =+-在区间（-1，1）上存在0x ，使得0()0f x =，则（ ）A 、115a -<<B 、15a >C 、1a <-或15a > D 、1a <- 10、对任意实数x 规定y 取14,1,(5)2x x x -+-三个值中的最小值，则函数y （A 、有最大值2，最小值1，B 、有最大值2，无最小值，C 、有最大值1，无最小值，D 、无最大值，无最小值。
北京市第四中学2021-2022学年高一上学期期中考试数学试题 Word版含答案
北京四中2021-2022学年上学期高中一班级期中考试数学试卷试卷分为两卷，卷（Ⅰ）100分，卷（Ⅱ）50分，共计150分 考试时间：120分钟 卷（Ⅰ）一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1. 设集合A={1，2，6}，B={2，4}，则A ∪B= A. {2}B. {1，2，4}C. {1，2，4，6}D. {2，4}2. 函数y=224x -的定义域为A. （-2，2）B. （-∞，-2）∪（2，+∞）C. [-2，2]D. （-∞，-2] ∪[2，+∞）3.43662log 2log 98+-=A. 14B. -14C. 12D. -124. 若函数f （x ）= 2312325x x x x ⎧--≤≤⎪⎨-<≤⎪⎩，则方程f （x ）=1的解是A.2或2B.2或3C.2或4 D. ±2或45. 若函数f （x ）=x 3，则函数y=f （-2x ）在其定义域上是A. 单调递增的偶函数B. 单调递增的奇函数C. 单调递减的偶函数D. 单调递减的奇函数 6. 若432a =，b=254，c=3log 0.2，则a ，b ，c 的大小关系是A. a<b<cB. c<b<aC. b<a<cD. c<a<b7. 函数2343x xy -+-=的单调递增区间是A. （-∞，2]B. [2，+∞）C. [1，2]D. [1，3]8. 李老师骑自行车上班，最初以某一速度匀速行进，中途由于自行车发生故障，停下修车耽搁了几分钟，为了按时到校，李老师加快了速度，仍保持匀速行进，结果准时到校，在课堂上，李老师请同学画出自行车行进路程s （千米）与行进时间x （秒）的函数图象的示意图，你认为正确的是9. 已知(10)xf x =，则f （5）= A. 510B. 105C.5log 10D. lg510. 某同学在争辩函数()||1xf x x =+（x ∈Ｒ）时，分别给出下面几个结论：①函数f （x ）是奇函数；②函数f （x ）的值域为（-1，1）；③函数f （x ）在Ｒ上是增函数；其中正确结论的序号是 A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③二、填空题：（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 若集合A=[0，2]，集合B=[1，5]，则A ∩B=_________. 12. 函数y=2x-4的零点是_________. 13. 函数f （x ）=3log (21)x -（x ∈[1，2]）的值域为______________.14. 函数f （x ）=3x-1，若f[g （x ）]=2x+3，则一次函数g （x ）=______________.15. 若函数f （x ）= (0,1)x a a a >≠的反函数的图象过点（2，-1），则a=_______.16. 若函数21()2x xf x a +=-是奇函数，则使f （x ）>3成立的x 的取值范围是_______.三、解答题（本大题共3小题，共26分） 17. （本小题满分6分）已知：函数f （x ）=（x-2）（x+a ）（a ∈Ｒ），f （x ）的图象关于直线x=1对称. （Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）求f （x ）在区间[0，3]上的最小值.18. （本小题满分10分）某家庭进行理财投资，依据长期收益率市场猜测，投资债券类稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票类风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比，已知两类产品各投资1万元时的收益分别为0.125万元和0.5万元，如图：（Ⅰ）分别写出两类产品的收益y（万元）与投资额x（万元）的函数关系；（Ⅱ）该家庭有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎么安排资金能使投资获得最大收益，最大收益是多少万元？19. （本小题满分10分）已知：函数f（x）= log(1)log(1)a ax x+--（a>0且a≠1）.（Ⅰ）求函数f（x）的定义域；（Ⅱ）推断函数f（x）的奇偶性，并加以证明；（Ⅲ）设a=12，解不等式f（x）>0.卷（Ⅱ）1. 设集合A=2{|0}x x x-=，B={x|x-2=0}，则2{|(x)(2)0}x x x--≠=A.)(BACR⋂ B.BACR⋃)( C. )(BCAR⋃ D. )(BACR⋃2. 已知函数f（x）=21311log[()2()2]33-⋅-x x，则满足f（x）<0的x的取值范围是A. （-∞，0）B. （0，+∞）C. （-∞，-1）D. （-1，+∞）3. 下表是某次测量中两个变量x，y的一组数据，若将y表示为关于x的函数，则最可能的函数模型是x 2 3 4 5 6 7 8 9y 0.63 1.01 1.26 1.46 1.63 1.77 1.89 1.99A. 一次函数模型B. 二次函数模型C. 指数函数模型D. 对数函数模型4. 用二分法求方程213x x+=0，1），则下一步可确定这个根所在的区间为_________.5. 已知函数f（x）是定义在Ｒ上的偶函数，当x≥0时，f（x）= 22x x-，假如函数g（x）=f（x）-m恰有4个零点，则实数m的取值范围是________.6. 函数f（x）=(1)xaa log x++（a>0且a≠1）在区间[0，1]上的最大值与最小值之和为a，则a的值是___________.7. 已知函数f（x）=2x bx c-+，若f（1-x）=f（1+x），且f（0）=3.（Ⅰ）求b，c的值；（Ⅱ）试比较()f(c)m mf b与（m∈Ｒ）的大小.8. 集合A是由满足以下性质的函数f（x）组成的：对于任意x≥0，f（x）∈[-2，4]且f（x）在[0，+∞）上是增函数.（Ⅰ）试推断1()2f x x=与21()46()2=-⋅xf x（x≥0）是否属于集合A，并说明理由；（Ⅱ）对于（Ⅰ）中你认为属于集合A的函数f（x），证明：对于任意的x≥0，都有f（x）+f（x+2）<2f （x+1）.【参考答案】 卷（Ⅰ）CABCDBACDD11. [1，2]； 12. 2； 13. [0，1]；14. 2433x +； 15. 12；16. （0，1）17. 解：2()(2)()(2)2f x x x a x a x a =-+=---， （Ⅰ）函数f （x ）图象的对称轴为x=22a-=1，则a=0；3分（Ⅱ）由（Ⅰ）得22()2(1)1f x x x x =-=--， 由于x=1∈[0，3]，所以min()f x =f （1）=-1.6分18. 解：（Ⅰ）投资债券类稳健型产品的收益满足函数：y=kx （x>0）， 由题知，当x=1时，y=0.125，则k=0.125，即y=0.125x ，2分投资股票类风险型产品的收益满足函数：y=k（x>0）， 由题知，当x=1时，y=0.5，则k=0.5，即4分（Ⅱ）设投资债券类稳健型产品x 万元（0≤x ≤20），则投资股票类风险型产品20-x 万元， 由题知总收益0≤x ≤20），6分2222t 2011510.125(20t )0.5(2)3,8228t x t y t t t t =≤≤=-=-+=-++=--+令则max 2,16,y 3()t x ===当即时万元9分答：投资债券类稳健型产品16万元，投资股票类风险型产品4万元，此时受益最大为3万元.10分19. 解：（Ⅰ）由题知：1010x x +>⎧⎨->⎩，解得：-1<x<1，所以函数f （x ）的定义域为（-1，1）；3分（Ⅱ）奇函数，证明：由于函数f （x ）的定义域为（-1，1），所以对任意x ∈（-1，1）， f （-x ）=log (1)log (1())a a x x -+---=[log (1)log (1)]a a x x -+--=-f （x ）所以函数f （x ）是奇函数；6分（Ⅲ）由题知：1122log (1)log (1),x x +>-即有101011x x x x +>⎧⎪->⎨⎪+<-⎩，解得：-1<x<0，所以不等式f （x ）>0的解集为{x|-1<x<0}.10分卷（Ⅱ）D CD4.1(0,)2； 5. 0<m<1；6. 12；7. 解：（Ⅰ）由已知，二次函数的对称轴x=2b=1，解得b=2，又f （0）=c=3， 综上，b=2，c=3；4分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f （x ）=x 2-2x+3，所以，f （x ）在区间（-∞，1）单调递减，在区间（1，+∞）单调递增. 当m>0时，3m>2m>1，所以f （2m）<f （3m）.当m=0时，3m =2m =1，所以f （2m ）=f （3m）. 当m<0时，3m<2m<1，所以f （2m）>f （3m）.10分8. 解：（Ⅰ）1f ()/∈x A，2f ()x A∈，理由如下：由于1f （49）=5>4，1f （49）∉[-2，4]，所以1f （x ）∉A.对于21f ()46()(0),2=-⋅≥x x x由于1()2xy =在[0，+∞）上是减函数，且其值域为（0，1]， 所以21()46()2=-⋅xf x 在区间[0，+∞）上是增函数. 所以2()f x ≥f （0）=-2，且2()f x =146()2-⋅x<4， 所以对于任意x ≥0，f （x ）∈[-2，4]. 所以2()f x ∈A 6分（Ⅱ）由（Ⅰ）得：2131(2)46()4()222++=-⋅=-⋅x x f x ，f （x+1）=4-116()2+⋅x =4- 3·1()2x，所以2f （x+1）-[f （x ）+f （x+2）]=2[4-3·1()2x ]-[4-6·1()2x +4-32·1()2x ]=32·1()2x>0，所以对于任意的x ≥0，都有f （x ）+f （x+2）<2f （x+1）.10分。
2020-2021学年北京四中高三(上)期中数学试卷【答案版】
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19．（x ．
（Ⅰ）求 f ( ) ；
（Ⅱ）求证：当 x (0, ) 时， f (x) 1 x3 ；
2
3
（Ⅲ）若 f (x) kx − x cos x 对 x (0, ) 恒成立，求实数 k 的最大值． 2
C．{x | 0 x 2}
D．{x | x 2}
2．下列命题中的假命题是 ( )
A． x R ， sin x = 2
B． x R ， lnx = 2
C． x R ， x2 0
D． x R ， 2x 0
3．已知向量 a = (5, m) ， b = (2, −2) ，若 a − b 与 b 共线，则实数 m = ( )
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17．（14 分）已知函数 f (x) = x3 − x ， g(x) = 2x − 3 ． （Ⅰ）求曲线 y = f (x) 在点 (1 ， f （1） ) 处的切线方程； （Ⅱ）求函数 f (x) 在 [0 ， 2] 上的最大值； （Ⅲ）求证：存在唯一的 x0 ，使得 f (x0 ) = g(x0 ) ．
7．已知三角形 ABC ，那么“ | AB + AC || AB − AC | ”是“三角形 ABC 为锐角三角形”的 ( )
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
8．声音的等级
f (x) （单位： dB) 与声音强度 x （单位：W
/ m2)
满足
x f (x) = 10 lg 110−12
．喷气式飞机起
飞时，声音的等级约为140dB ；一般说话时，声音的等级约为 60dB ，那么喷气式飞机起飞时声音强度约为
北京四中2020-2021高一上学期期中考试
北京四中2020-2021高一上学期期中考试一．选择题1.已知全集U ，集合{1,2,3,4,5},{3,2}A B ==-，则图中阴影部分表示的集合为A．{3} B.{3,2}- C.{2} D.{2,3}-2.不等式201x x -≤+的解集是A．(,1)(1,2]-∞-⋃- B.[1,2]- C.(,1)[2,)-∞-⋃+∞ D.(1,2]-3.下列函数中，在区间(0,)+∞上为减函数的是A．22y x x =- B.||y x = C.21y x =+ D.y =4.已知函数2()51f x x x =-+，则下列区间中一定包含()f x 零点的区间是A．(2,1)-- B.(1,0)- C.(0,1) D.(1,2)5.若函数()f x 是偶函数，且在区间[0,3]上单调递增，则A．(1)(2)(3)f f f ->> B.(3)(1)(2)f f f >->C.(2)(1)(3)f f f >-> D.(3)(2)(1)f f f >>-6.已知12,x x 是方程220x -+=的两根，则2212x x +=A．2 B.3 C.4 D.57.已知,,a b R ∈且,a b >则下列结论中正确的是A．1a b > B.11a b< C.||||a b > D.33a b >8.“2a =”是“函数()||f x x a =-在区间上[2,)+∞为增函数”的A．充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件9.向某容器中匀速注水时容器水面高度h 随时间t 变化的函数()t f h =的图像如右图所示，则容器的形状可以是A B C D10.若一系列函数的解析式相同、值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“同族函数”.函数解析式为()12+=x x f ，值域为{}3,1的同族函数有A.1个B.2个C.3个D.4个二．填空题11.设全集R U =，集合{}2|<=x x A ，集合{}1|<=x x B ，则集合=A C U ____________集合()B A C U ⋃=____________.12.命题“1<∀x ，11>x”的否定是_____________.13.某班共38人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，16人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为__________.14.函数()()111>-+=x x x x f 的最小值是________，此时=x ________.15.能够说明“设a ,b ,c 是任意实数.若c b a >>，则c b a >+”是假命题的一组整数a ，b ，c 的值依次为____________.三．解答题16.已知0>a ，记关于x 的不等式()()01<+-x a x 的解集为P ，不等式11≤-x 的解集为Q .（1）若3=a ，求集合P ；（2）若P Q ⊆，求a 的取值范围.17.（本小题9分）已知定义在R 上的奇函数()21x m f x x +=+，m R ∈。
2022-2023学年北京四中高一(上)月考数学试卷(10月份)(含答案解析)
2022-2023学年北京四中高一（上）月考数学试卷（10月份）1. 全集U ={0,1,2,3}，若∁U A ={2}，则集合A 是( ) A. {2} B. {0,1}C. {0,1,2}D. {0,1,3}2. 下列命题中的真命题是( )A. 2≤3B. 集合N 中最小的数是1C. x 2+1=2x 的解集可表示为{1,1}D. x 2+|y|=0 3. 已知集合A ={−1,0,1}，集合B ={x ∈Z|x 2−2x ≤0}，那么A ∪B 等于( ) A. {−1}B. {0,1}C. {0,1,2}D. {−1,0,1,2}4. 命题“∃x ∈R ，使得x 2+2x <0”的否定是( ) A. ∃x ∈R ，使得x 2+2x ≥0 B. ∀x ∈R ，使得x 2+2x ≥0 C. ∃x ∈R ，使得x 2+2x >0 D. ∀x ∈R ，使得x 2+2x <05. 下列四个集合中，是空集的是( ) A. {x|x +3=3} B. {(x,y)|y 2=−x 2,x,y ∈R} C. {x|x 2≤0} D. {x|x 2−x +1=0,x ∈R}6. 设a ，b 是实数，则“a +b >0”是“ab >0”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件7. 已知集合M ={(x,y)|x +y =0}，N ={(x,y)|x 2+y 2=2,x ∈R,y ∈R}，那么M ∩N =( )A. {(−1,1),(1,−1}B. {(1,1),(−1,−1)}C. {(−2,2),(2,−2)}D. {(−2,−2),(2,2)}8. 不等式1−x x≥2的解集为( )A. (−∞,13)B. (0,13]C. [0,13]D. (−∞,0)∪(13,+∞)9. 对于实数a ，b ，c 有下列命题：①若a >b ，则ac <bc ； ②若ac 2>bc 2，则a >b ； ③若a <b <0，则a+b2<−√ab ； ④若c >a >b >0，则ac−a >bc−b . 则其中真命题的个数是( )A. 1B. 2C. 3D. 410. 已知集合A={x|y=√4−x2}，B={x∈R|a≤x≤a+l}，若A∩B=⌀，则实数a的取值范围为( )A. [−3,2]B. (−∞,−3)∪(2,+∞)C. [−2,1]D. (−∞,−3]∪[2,+∞)11. 已知a∈Z，关于x的一元二次不等式x2−6x+a≤0的解集中有且仅有3个整数，则所有符合条件的a的值之和是( )A. 13B. 18C. 21D. 2612. 如图为某三岔路口交通环岛的简化模型，在某高峰时段，单位时间进出路口A.B，C的机动车辆数如图所示，图中x1，x2，x3分别表示该时段单位时间通过路段AB，BC，CA的机动车数(假设：单位时间内，在上述路段中同一路段上驶入与驶出的车辆数相等)，则( )A. x2>x3>x1B. x1>x3>x2C. x1>x2>x3D. x3>x2>x113. 不等式x2−5x−6<0的解集为______ .14. 已知集合A={1,2}，B={a,a+3}，若A∩B={1}，则满足条件的实数a的集合为______.15. 命题“∀x∈R，ax2−2ax+3>0恒成立”是真命题，则实数a的取值范围是______.16. 设a，b∈R，写出一个使a<b和1a <1b同时成立的充分条件，可以是______.17. 当两个集合中一个集合为另一集合的子集时，称这两个集合构成“全食”；当两个集合有公共元素，但互不为对方子集时，称这两个集合构成“偏食”．对于集合A={−1,12,1}，B={x|x2=a}，若集合A与集合B构成“全食”时，a的取值集合为______；若集合A与集合B构成“偏食”，则a的取值集合为______.18. 某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件：(i)男学生人数多于女学生人数；(ii)女学生人数多于教师人数；(iii)教师人数的两倍多于男学生人数．①若教师人数为4，则女学生人数的最大值为(1) .②该小组人数的最小值为(2) .19. 已知全集U=R，A={x|x2−x−6<0}，B={x|x2+2x−8>0}. (Ⅰ)求A∩B；(Ⅰ)若集合C={x|x2−4ax+3a2<0}且A∩B⊆C，求实数a的取值范围．20. 关于x的方程x2−2(m+2)x+m2−1=0，设x1，x2为方程的两根．(Ⅰ)若m=2，求1x1+1x2的值；(Ⅰ)若x1，x2，满足x12+x22=18，试求m的值；(Ⅰ)若x1，x2均大于0，求m的取值范围．21. 已知集合A={a1,a2,a3,a4}中a1<a2<a3<a4，且A∩N∗=A.(Ⅰ)若集合B={y|y=x2,x∈A}，满足A∩B={a1,a4}，a1+a4=10，试求a1，a4的值；(Ⅰ)若集合C={z|z=uv,u∈A,v∈A}，问是否存在一组a1，a2，a3，a4值，使得C= {3,4,9,12,36,51}，若存在试找出，若不存在，试说明理由．答案和解析1.【答案】D【解析】解：∵全集U={0,1,2,3}，若∁U A={2}，∴A={0,1,3}，故选：D.利用补集的运算求解即可．本题主要考查了补集的运算，属于基础题．2.【答案】A【解析】解：对于A：2≤3为真命题，故A正确；对于B：集合N中最小的数为0，故B错误；对于C：x2+1=2x的解为x=1，故解集可表示为{1}，故C错误；对于D：x2+|y|=0不是命题，故D错误．故选：A.直接利用集合的表示方法，常见的集合，方程的解法，来判断命题真假．本题考查的知识要点：集合的表示方法，常见的集合，方程的解法，命题真假的判断，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．3.【答案】D【解析】【分析】本题考查并集的求法，考查并集定义等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．先分别求出集合B，再由并集定义能求出A∪B.【解答】解：∵集合B={x∈Z|x2−2x≤0}={x∈Z|0≤x≤2}={0,1,2}，又集合A={−1,0,1}，∴A∪B={−1,0,1,2}.故本题选D.4.【答案】B【解析】解：命题“∃x∈R，使得x2+2x<0”的否定是“∀x∈R，使得x2+2x≥0”．故选：B.直接利用含有一个量词的命题的否定方法进行否定即可．本题考查了命题的否定，要掌握含有一个量词的命题的否定方法：改变量词，然后否定结论．5.【答案】D【解析】解：根据题意，由于空集中没有任何元素，对于选项A ，x =0； 对于选项B ，(0,0)是集合中的元素； 对于选项C ，由于x =0成立； 对于选项D ，方程无解． 故选：D.根据空集的定义，分别对各个选项进行判断即可． 本题考查了集合的概念，是一道基础题．6.【答案】D【解析】 【分析】本题考查充分、必要、充要条件的判断，属于基本知识的考查． 利用特例结合充分、必要、充要条件的判断方法，判断正确选项即可． 【解答】解：a ，b 是实数，如果a =−1，b =2，则“a +b >0”，但是“ab >0”不成立． 如果a =−1，b =−2，则”ab >0“，但是”a +b >0“不成立，所以设a ，b 是实数，则“a +b >0”是“ab >0”的既不充分也不必要条件． 故选：D.7.【答案】A【解析】解：解{x +y =0x 2+y 2=2得，{x =−1y =1或{x =1y =−1，∴M ∩N ={(−1,1),(1,−1)}.故选：A.可解方程组{x +y =0x 2+y 2=2即可得出M ∩N.本题考查了交集的定义及运算，集合的描述法和列举法的定义，考查了计算能力，属于容易题．8.【答案】B【解析】解：由1−xx ≥2得1−xx −2=1−3x x≥0，可转化为(3x −1)x ≤0且x ≠0，解得0<x≤13.故选：B.利用移项，通分，转化为二次不等式求解即可．本题考查分式不等式的解法，属于基础题．9.【答案】C【解析】解：①若a>b，当c=0时，ac=bc，故错误，②若ac2>bc2，则c2>0，所以a>b，故正确，③若a<b<0，则a+b2−(−√ab)=a+b+2√ab2=−(√−a+√−b)22<0，即a+b2<−√ab，故正确，④ac−a −bc−b=c(a−b)(c−a)(c−b)，因为c>a>b>0，则c(a−b)>0，c−a>0，c−b>0，所以ac−a −bc−b>0，即ac−a>bc−b，故正确，故正确的命题个数为3个，故选：C.利用不等式的性质以及作差比较大小的方法对各个问题逐个化简即可判断求解．本题考查了不等式的性质以及命题的真假，考查了学生的运算能力，属于基础题．10.【答案】B【解析】解：A={x|4−x2≥0}={x|−2≤x≤2}，B={x|a≤x≤a+1}，且A∩B=⌀，∴a>2或a+1<−2，∴a<−3或a>2，∴a的取值范围为(−∞,−3)∪(2,+∞).故选：B.可求出A={x|−2≤x≤2}，然后根据A∩B=⌀可得出a的范围．本题考查了一元二次不等式的解法，交集和子集的定义，交集的运算，考查了计算能力，属于基础题．11.【答案】C【解析】解：设f(x)=x2−6x+a，其图象是开口向上，对称轴是x=3的抛物线，如图所示．若关于x的一元二次不等式x2−6x+a≤0的解集中有且仅有3个整数，则{f(2)≤0f(1)>0，即{22−6×2+a ≤012−6×1+a >0， 解得5<a ≤8，又a ∈Z ，∴a =6，7，8. 则所有符合条件的a 的值之和是6+7+8=21. 故选：C.设f(x)=x 2−6x +a ，其图象是开口向上，对称轴是x =3的抛物线，如图所示．利用数形结合的方法得出，若关于x 的一元二次不等式x 2−6x +a ≤0的解集中有且仅有3个整数，则{f(2)≤0f(1)>0，从而解出所有符合条件的a 的值之和．本题考查了有特殊要求的一元二次不等式的解法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．12.【答案】A【解析】解：由图可知：{x 1=x 3−55+50x 2=x 1−20+30x 3=x 2−35+30，即{x 1=x 3−5x 2=x 3+5， 所以x 2>x 3>x 1， 故选：A.先对图表数据进行分析处理得：{x 1=x 3−55+50x 2=x 1−20+30x 3=x 2−35+30，再结合数据进行简单的合情推理得：{x 1=x 3−5x 2=x 3+5，所以x 2>x 3>x 1，得解 本题考查了对图表数据的分析处理能力及进行简单的合情推理，属中档题13.【答案】(−1,6)【解析】解：不等式变形得：(x −6)(x +1)<0， 可化为{x −6>0x +1<0或{x −6<0x +1>0，解得：−1<x <6， 则不等式的解集为(−1,6). 故答案为：(−1,6)不等式左边分解因式后，利用两数相乘积为负，得到两因式异号转化为两个一元一次不等式组，求出不等式组的解集即可．此题考查了一元二次不等式的解法，利用了转化的思想，是一道基本题型．14.【答案】{−2,1}【解析】解：∵A ∩B ={1}， ∴1∈B ，2∉B ， ∴a =1或a +3=1， ∴a =1或a =−2， ∴实数a 的集合为{−2,1}. 故答案为：{−2,1}.根据条件得出1∈B ，从而得出a =1或a +3=1，然后解出a 的值即可．本题考查了交集的定义及运算，元素与集合的关系，考查了计算能力，属于容易题．15.【答案】0≤a <3【解析】解：若命题“∀x ∈R ，ax 2−2ax +3>0恒成立”是真命题， 则a =0，或{a >0△=4a 2−12a <0，解得：0≤a <3， 故答案为：0≤a <3.若命题“∀x ∈R ，ax 2−2ax +3>0恒成立”是真命题，则a =0，或{a >0△=4a 2−12a <0，解得实数a 的取值范围．本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了全称命题和特称命题，二次函数的图象和性质，难度中档．16.【答案】a =−1，b =1，(不唯一)【解析】解：∵1a<1b， ∴1a −1b =b−aab <0，∴ab <0， ∵a <b ，∴a <0<b ，∴使a <b 和1a <1b 同时成立的充分条件可以是a =−1，b =1， 故答案为：a =−1，b =1，(不唯一).先利用不等式的性质得到a <0<b ，再利用充要条件的定义判定即可．本题考查了不等式的性质，充要条件的判定，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．17.【答案】{a|a <0或a =1}{14}【解析】解：根据题中定义，当集合A ={−1,12,1}，B ={x|x 2=a}时，若集合A 与集合B 构成“全食”时，B ⊆A ，则a <0，即B =⌀，符合题意，或a =1，即B ={−1,1}，符合题意，故a 的取值组成的集合为{a|a <0或a =1}； 若集合A 与集合B 构成“偏食”时， 当a =1时，B ={−1,1}，不符合题意， 当a =14时，B ={−12,12}，符合题意， 故a 的取值组成的集合为{14}， 故答案为：{a|a <0或a =1}；{14}.根据题中新定义结合子集与交集的概念可解．本题考查集合的运算，以及对新定义的理解，属于基础题．18.【答案】612【解析】 【分析】本题考查的知识点是推理和证明，简易逻辑，线性规划，难度中档．①设男学生女学生分别为x ，y 人，若教师人数为4，则{x >yy >42×4>x ，进而可得答案；②设男学生女学生分别为x ，y 人，教师人数为z ，则{x >yy >z 2z >x ，进而可得答案；【解答】解：①设男学生女学生人数分别为x ，y 人， 若教师人数为4，则{x >y y >42×4>x ，即4<y <x <8， 即x 的最大值为7，y 的最大值为6， 即女学生人数的最大值为6.②设男学生女学生分别为x ，y 人，教师人数为z ， 则{x >yy >z 2z >x ，即z <y <x <2z 即z 最小为3才能满足条件， 此时x 最小为5，y 最小为4， 即该小组人数的最小值为12， 故答案为：6，12.19.【答案】解：因为A ={x|x 2−x −6<0}={x|−2<x <3}，B ={x|x 2+2x −8>0}={x|x <−4或x >2}.(Ⅰ)A ∩B ={2<x <3}，(Ⅰ)因为集合C ={x|x 2−4ax +3a 2<0}={x|(x −a)(x −3a)<0}，且A ∩B ⊆C ， 当a =0时，C 为空集，不合题意，当a <0时，C =(3a,a)，则3a ≤2且a ≥3，无解，不合题意， 当a >0时，C =(a,3a)，则a ≤2且3a ≥3，则1≤a ≤2， 则实数a 的取值范围为[1,2]. 【解析】(Ⅰ)根据交集的定义可解． (Ⅰ)根据集合的包含关系可解．本题考查交集的定义以及集合间的包含关系，属于基础题．20.【答案】解：(Ⅰ)当m =2时，x 2−8x +3=0，由韦达定理有，x 1+x 2=8，x 1x 2=3， 则1x 1+1x 2=x 1+x 2x 1x 2=83；(Ⅰ)由Δ=4(m +2)2−4(m 2−1)≥0，解得m ≥−54， 由韦达定理有，x 1+x 2=2(m +2),x 1x 2=m 2−1，又x 12+x 22=(x 1+x 2)2−2x 1x 2=4(m +2)2−2(m 2−1)=18，即m 2+8m =0，解得m =0或m =−8(舍)， 故m 的值为0；(Ⅰ)由(Ⅰ)可知，m ≥−54，又x 1，x 2均大于0，则{2(m +2)>0m 2−1>0，解得{m >−2m >1或m <−1，综上，实数m 的取值范围为[−54,−1)∪(1,+∞).【解析】(Ⅰ)将m =2代入，可得x 1+x 2=8，x 1x 2=3，进而得解；(Ⅰ)由韦达定理可得，x 1+x 2=2(m +2),x 1x 2=m 2−1，结合题意可得m 2+8m =0，由此得解； (Ⅰ)根据题意建立关于m 的不等式组，解出即可．本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，考查运算求解能力，属于基础题．21.【答案】解：(Ⅰ)已知集合A ={a 1,a 2,a 3,a 4}中a 1<a 2<a 3<a 4，且A ∩N ∗=A ，若集合B ={y|y =x 2,x ∈A}，则B ={a 12,a 22,a 32,a 42}， 因为a 1<a 2<a 3<a 4，所以a 12<a 22<a 32<a 42，由A∩N∗=A可知，1≤a1<a2<a3<a4，若a1>1，则a1<a12<a22<a32<a42，显然A∩B≠{a1,a4}，所以a1=1，又因为a1+a4=10，所以a4=9，因为9∈B，所以a22=9或a32=9，当a22=9，即a2=3时，a3可以取4，5，6，6，7，8，所以a42>a32>9，所以A∩B={1,9}，满足题意；当a32=9，即a3=3时，此时A={1,2,3,9}，B={1,4,9,81}，满足A∩B={1,9}，综上，a1=1，a4=9；(Ⅰ)若存在a1，a2，a3，a4值，使得C={3,4,9,12,36,51}，则由a1<a2<a3<a4可知a1a2=3，因为a1,a2∈N∗，所以a1=1，a2=3，则a1a3=4，可得a3=4，因为36∈C，所以a4=36或3a4=36或4a4=36或a42=36，即a4=36或a4=12或a4=9或a4= 6，所以A={1,3,4,6}或A={1,3,4,9}或A={1,3,4,12}或A={1,3,4,36}，易知上述四种情况均不存在u∈A，v∈A，使得uv=51.故不存在a1，a2，a3，a4值，使得C={3,4,9,12,36,51}.【解析】(Ⅰ)先求出集合B，然后根据元素之间的大小关系，结合交集结果可求出a1，然后可解；(Ⅰ)根据元素间的大小关系可先求a1，然后依次确定其他元素，最后验证可知．本题考查了集合的综合应用，属于中档题．第11页，共11页。
北京市第四中学2024-2025学年高三上学期期中测试数学试卷
北京市第四中学2024-2025学年高三上学期期中测试数学试卷一、单选题1．已知全集R U =，集合{}240A x x =-<，{}1B x x =≥，则()U A B ⋂=ð（）A ．()1,2B ．()2,2-C ．(),2∞-D ．()2,1-2．不等式111xx >-的解集为（）A ．(0,)+∞B ．(1,)+∞C ．(0,1)D ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭3．已知边长为2的正方形ABCD 中，AC 与BD 交于点E ，则AE BC ⋅=（）A ．2B ．2-C ．1D ．1-4．已知函数()23f x x x=--，则当0x <时，()f x 有（）A ．最大值3+B ．最小值3+C ．最大值3-D ．最小值3-5．设,a b R ∈，则“a b >”是“22a b >”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β的终边关于y 轴对称.若2cos 23α=，则cos β=（）A ．19B ．19-C D ．7．近年来，人们越来越注意到家用冰箱使用的氟化物的释放对大气臭氧层的破坏作用.科学研究表明，臭氧含量Q 与时间t （单位：年）的关系为0e ta Q Q -=，其中0Q 是臭氧的初始含量，a 为常数.经过测算，如果不对氟化物的使用和释放进行控制，经过280年将有一半的臭氧消失.如果继续不对氟化物的使用和释放进行控制，再．经过n 年，臭氧含量只剩下初始含量的20%，n 约为（）（参考数据：ln 20.7≈，ln10 2.3≈）A ．280B ．300C ．360D ．6408．已知函数()1,2,xx x af x x a +≤⎧=⎨>⎩，若()f x 的值域为R ,则实数a 的取值范围是（）A ．(,0]-∞B ．[0,1]C ．[0,)+∞D ．(,1]-∞9．已知0a >，记sin y x =在[],2a a 的最小值为a s ，在[]2,3a a 的最小值为a t ，则下列情况不可能的是（）A ．0a s >，0a t >B ．0a s <，0a t <C ．0a s >，0a t <D ．0a s <，0a t >10．已知在数列{}n a 中，1a a =，命题:p 对任意的正整数n ，都有12nn n a a a +=-．若对于区间M 中的任一实数a ，命题p 为真命题，则区间M 可以是（）A ．()3,4B ．()2,3C ．3216,115⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．832,311⎛⎫ ⎪⎝⎭二、填空题11．已知复数5i2iz =-，则z =.12．已知函数()33log ,0,,0.x x f x x x >⎧=⎨<⎩若()()273f f a =，则a =.13．已知幂函数y x α=的图像经过()0,0A ，()1,1B ，()1,1C -，()4,2D 中的三个点，写出满足条件的一个α的值为.14．在ABC V 中，1tan 4A =，3tan 5B =.（1）C ∠=；（2）若ABC V，则最短边的长为.15．以A 表示值域为R 的函数组成的集合，B 表示具有如下性质的函数()x ϕ组成的集合：对于函数()x ϕ，存在一个正数M ，使得函数()x ϕ的值域包含于区间[],M M -.例如，当()31x x ϕ=，()2sin x x ϕ=时，()1x A ϕ∈，()2x B ϕ∈.给出下列命题：①“函数()f x A ∈”的充要条件是“t R ∀∈，关于x 的方程()f x t =都有实数解”；②“函数()f x B ∈”的充要条件是“()f x 既有最大值，也有最小值”；③若函数()f x ，()g x 的定义域相同，且()f x A ∈，()()f x g x B ⋅∈，则()g x B ∈；④若函数()f x ，()g x 的定义域相同，且()f x A ∈，()g x B ∈，则()()f x g x B +∉.其中，正确命题的序号是.三、解答题16．已知函数()sin cos cos sin f x x x ωϕωϕ=+，其中0ω>，π2ϕ<.记()f x 的最小正周期为T ，()2f T =.(1)求ϕ的值；(2)若()f x 与x 轴相邻交点间的距离为π2，求()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.17．在ABC V 中，2cos 2c A b a =-.(1)求C ∠的大小；(2)若c =，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得ABC V 存在，求AC 边上中线的长.条件①：ABC V 的面积为条件②：1b a -=；条件③：1sin sin 2B A -=.注：如果选择的条件不符合要求，第（Ⅱ）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.18．已知函数()()2121ln 22f x x x x x =+--.(1)求()f x 的单调区间；(2)若关于x 的不等式()f x x a '<-+有解，求实数a 的取值范围.19．已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的左顶点为A ，C 的长轴长为4，焦距为过定点(),0T t （2t ≠±）作与x 轴不重合的直线交C 于P ，Q 两点，直线AP ，AQ 分别与y 轴交于点M ，N .(1)求C 的方程；(2)是否存在点T ，使得OM ON ⋅等于定值13？若存在，求t 的值；若不存在，说明理由.20．已知函数()e xf x x ax =-，R a ∈.(1)当e a =时，求曲线=在点1,1处的切线方程；(2)若函数()f x 是单调递增函数，求a 的取值范围；(3)当0a ≥时，是否存在三个实数123x x x <<且()()()123f x f x f x ==？若存在，求a 的取值范围；若不存在，说明理由.21．已知集合{}1,2,3,,A n =⋅⋅⋅，其中*N n ∈，1A ，2A ，…，m A 是A 的互不相同的子集.记i A 的元素个数为i M （1,2,,i m =⋅⋅⋅），i j A A 的元素个数为ij N （1i j m ≤<≤）.(1)若4n =，3m =，{}11,2A =，{}21,3A =，13231N N ==，写出所有满足条件的集合3A （结论不要求证明）；(2)若5n =，且对任意的1i j m ≤<≤，都有0ij N >，求m 的最大值；(3)若给定整数7n ≥，3i M ≤（1,2,,i m =⋅⋅⋅）且对任意1i j m ≤<≤，都有1ij N =，求m 的最大值.。
北京市第四中学2020-2021学年高一上学期期中数学试题
16．已知集合M＝{0，1，2，3}，N＝{x|x＝2a，a∈M}，则集合M∩N＝_____．
17．不等式 的解集为_____________
18．已知x＞y＞z，x+y+z＝0，则①xz＜yz②xy＞yz③xy＞xz④x|y|＞z|y|四个式子中正确的是_____．（只填写序号）
所以A∩B＝{3}.
故选：B
【点睛】
本题主要考查交集的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
2．D
【分析】
由题得 ，解不等式即得解.
【详解】
由题得 ，
解之得 且 ，
所以函数的定义域为{x|x≥1且x≠2}.
故选：D
【点睛】
本题主要考查求具体函数的定义域，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
3．C
8．函数f（x）＝x3﹣2x﹣3一定存在零点的区间是（ ）
A．（2，+∞）B．（1，2）C．（0，1）D．（﹣1，0）
9．下列函数中，满足f（2x）＝2f（x）的是（ ）
A．f（x）＝（x+2）2B．f（x）＝x+1
C． D．f（x）＝x﹣|x|
10．函数 的图象如图所示，则下列结论成立的是（）
A． ， ，
（1）当a＝c＝d＝1，b＝0时，验证f（x），g（x）是否为一对“K函数”，并说明理由；
（2）若f（x），g（x）为任意一对“K函数”，求d的值；
（3）若a＝1，f（1）＝0，且f（x），g（x）为一对“K函数”，求c的取值范围．
参考答案
1．B
【解析】
【分析】
2020-2021北京市北京四中高一数学上期末模拟试题(带答案)
t f x ，则 f t 3，作出 f x 的图象，结合图象可知，方程 f t 3 有三个实根，
进而可得答案. 【详解】
由题意，函数 y f f x 3 的零点个数，即方程 f f x 3 的实数根个数，
设 t f x ，则 f t 3，作出 f x 的图象，
如图所示，结合图象可知，方程
4．设 a log4 3 ， b log8 6 ， c 20.1 ，则（ ）
A． a b c
B． b a c
C． c a b
D． c b a
5．酒驾是严重危害交通安全的违法行为．为了保障交通安全，根据国家有关规定：100mL
血液中酒精含量低于 20mg 的驾驶员可以驾驶汽车，酒精含量达到 20～79mg 的驾驶员即为
【详解】
由题意，对数的运算公式，可得
a
log4
3
log2 log2
3 4
1 2
log2
3
log2
3，
b
log8
6
log2 log2
6 8
1 3
log
2
6
log2
3
6
，
又由 3 3 6 2 ，所以 log2 3 log2 3 6 log2 2 1，即 a b 1，
由指数函数的性质，可得 c 20.1 20 1 ， 所以 c b a .
所以 g(2) 2 ， g 2 2，
所以 f (2) g(2) 3 2 3 1，故选 D.
【点睛】 本题主要考查函数的奇偶性的应用，属于中档题．
3．B
解析：B 【解析】 【分析】
先化简集合 A,B,再求 B A 得解.
【详解】
由题得 A x | 2x1 20 {x | x 1} ， B y | y 0 .
2020-2021学年北京第四中学顺义分校高一数学文模拟试卷含解析
2020-2021学年北京第四中学顺义分校高一数学文模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 若，规定：，例如：（），则的奇偶性为A、是奇函数不是偶函数B、是偶函数不是奇函数C、既是奇函数又是偶函数D、既不是奇函数又不是偶函数参考答案：B2. 以下四个命题：①对立事件一定是互斥事件；②函数的最小值为2；③八位二进制数能表示的最大十进制数为256；④在中，若，，，则该三角形有两解．其中正确命题的个数为（）A．4 B．3 C.2 D．1参考答案：C3. 向高为H的水平瓶中注水，注满为止。
如果注水量V与水深h的函数关系的图象如图所示，那么水瓶的形状是（）参考答案：A略4. 若为递减数列,则的通项公式可以为（）A. B. C. D.参考答案：C略5. 如图中阴影部分的面积S是h的函数（其中0≤h≤H），则该函数的大致图象为（）A. B. C. D.参考答案：D【分析】利用排除法求解．首先确定当时，阴影部分面积为0，排除A与B，又由当时，阴影部分的面积小于整个半圆面积的一半，排除C，从而得到答案D．【详解】解：∵当时，对应阴影部分的面积为0，∴排除A与B；∵当时，对应阴影部分的面积小于整个区域面积的一半，且随着h的增大，S随之减小，减少的幅度不断变小，∴排除C．从而得到答案D．故选：D．【点睛】此题考查了函数问题的实际应用．注意排除法在解选择题中的应用，还要注意数形结合思想的应用．6. 的值等于（）A. B. C. D.参考答案：D【分析】利用诱导公式先化简，再利用差角的余弦公式化简得解.【详解】由题得原式=.故选：D【点睛】本题主要考查诱导公式和差角的余弦公式化简求值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.7. 在等差数列{a n}中，已知，则（）A．40 B．43 C．42 D．45参考答案：C分析：联立求出d的值，再把化简，再把和d 的值代入求值.详解：由题得，∴.∴.故选C.8. 若则实数的取值范围是（）A．；B. ；C. ；D.参考答案：B 9. 在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的最小值是（）A．4 B． C.8 D．6参考答案：C在锐角中，化简可得①．，②，且．则令，则，故当且仅当，即时，取等号，此时，，故的最小值是8，故选：C．10. 已知向量，，，的夹角为45°，若，则（）A. B. C. 2 D. 3参考答案：C【分析】利用向量乘法公式得到答案.【详解】向量，，，的夹角为45°故答案选C【点睛】本题考查了向量的运算，意在考查学生的计算能力.二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 函数f(x)=在上的最大值和最小值的差为1，则a=.参考答案：12. 若，，则参考答案：13. 已知，则__________.参考答案：【分析】直接利用两角和的正切公式求解即可.【详解】因为，所以，故答案为.14. 若球的半径为，则这个球的内接正方体的表面积是 ； 参考答案： 7215. 过点（0，1）且与直线2x ﹣y=0垂直的直线方程的一般式是 ．参考答案：x+2y ﹣2=0【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．【分析】与直线2x ﹣y=0垂直的直线方程的斜率k=﹣，由此能用点斜式方程能求出过点（0，1）且与直线2x ﹣y=0垂直的直线方程．【解答】解：∵与直线2x ﹣y=0垂直的直线方程的斜率k=﹣，∴过点（0，1）且与直线2x ﹣y=0垂直的直线方程为： y ﹣1=﹣，整理，得：x+2y ﹣2=0．故答案为：x+2y ﹣2=0．【点评】本题考查直线方程的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意直线间位置关系的灵活运用．16. 下把函数的图象向右平移个单位长度得到的函数图象解析式为f(x)= ．参考答案：17. 已知向量，，则．参考答案：(5,7)三、 解答题：本大题共5小题，共72分。
2020-2021北京市北京四中高一数学上期中模拟试题(带答案)
2020-2021北京市北京四中高一数学上期中模拟试题(带答案)一、选择题1．在下列区间中，函数()43xf x e x =+-的零点所在的区间为（ ） A ．1,04⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．11,42⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．13,24⎛⎫ ⎪⎝⎭2．函数()ln f x x x =的图像大致是（ ）A ．B ．C ．D ．3．函数()log a x xf x x =（01a <<）的图象大致形状是（ ）A ．B ．C ．D ．4．已知函数()25,1,,1,x ax x f x a x x⎧---≤⎪=⎨>⎪⎩是R 上的增函数，则a 的取值范围是（ ）A ．30a -≤<B ．0a <C ．2a ≤-D ．32a --≤≤5．设集合{|32}M m m =∈-<<Z ，{|13}N n n M N =∈-≤≤⋂=Z ，则A ．{}01，B ．{}101-，，C ．{}012，，D ．{}1012-，，， 6．如图，U 为全集，M 、P 、S 是U 的三个子集，则阴影部分所表示的集合是（ ）A ．()M P S ⋂⋂B ．()M P S ⋂⋃C ．()()U M P S ⋂⋂ðD ．()()U M P S ⋂⋃ð7．已知111,2,,3,23a ⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭，若()a f x x =为奇函数，且在(0,)+∞上单调递增，则实数a 的值是( )A ．1,3-B ．1,33C ．11,,33-D ．11,,332 8．函数2()ln(28)f x x x =--的单调递增区间是A ．(,2)-∞-B ．(,1)-∞C ．(1,)+∞D ．(4,)+∞9．已知函数2()log (23)(01)a f x x x a a =--+>≠,，若(0)0f <，则此函数的单调减区间是（）A ．(,1]-∞-B ．[1)-+∞，C ．[1,1)-D ．(3,1]--10．若函数6(3)3,7(),7x a x x f x a x ---≤⎧=⎨>⎩单调递增,则实数a 的取值范围是( ) A ．9,34⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．9,34⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C ．()1,3 D ．()2,311．若a ＞b ＞0，0＜c ＜1，则A ．log a c ＜log b cB ．log c a ＜log c bC ．a c ＜b cD ．c a ＞c b 12．三个数20.420.4,log 0.4,2a b c ===之间的大小关系是（ ） A ．a c b << B ．b a c << C ．a b c << D ．b c a <<二、填空题13．如果定义在区间[3＋a ，5]上的函数f(x)为奇函数，那么a 的值为________.14．给出下列四个命题：（1）函数()f x x x bx c =++为奇函数的充要条件是0c =；（2）函数()20x y x -=>的反函数是()2log 01y x x =-<<；（3）若函数()()2lg f x x ax a =+-的值域是R ，则4a ≤-或0a ≥； （4）若函数()1y f x =-是偶函数，则函数()y f x =的图像关于直线0x =对称. 其中所有正确命题的序号是______.15．1232e 2(){log (1)2x x f x x x ，，-<=-≥，则f （f （2））的值为____________． 16．某在校大学生提前创业,想开一家服装专卖店,经过预算,店面装修费为10000元,每天需要房租水电等费用100元,受营销方法、经营信誉度等因素的影响,专卖店销售总收入P 与店面经营天数x 的关系是P(x)=21300,0300245000,300x x x x ⎧-≤<⎪⎨⎪≥⎩则总利润最大时店面经营天数是___.17．已知偶函数()f x 满足3()8(0)f x x x =-≥，则(2)0f x ->的解集为___ ___ 18．设，则________19．用max{,,}a b c 表示,,a b c 三个数中的最大值，设{}2()max ln ,1,4(0)f x x x x x x =--->，则()f x 的最小值为_______. 20．已知函数(12)(1)()4(1)xa x f x a x x ⎧-<⎪=⎨+≥⎪⎩，且对任意的12,x x R ∈，12x x ≠时，都有()()12120f x f x x x ->-，则a 的取值范围是________三、解答题 21．近年来，“共享单车”的出现为市民“绿色出行”提供了极大的方便，某共享单车公司“Mobike ”计划在甲、乙两座城市共投资160万元，根据行业规定，每个城市至少要投资30万元，由前期市场调研可知：甲城市收益P 与投入(a 单位：万元)满足426P a =，乙城市收益Q 与投入(b 单位：万元)满足124Q b =+，设甲城市的投入为(x 单位：万元)，两个城市的总收益为()(f x 单位：万元)．（1）写出两个城市的总收益()(f x 万元)关于甲城市的投入(x 万元)的函数解析式，并求出当甲城市投资72万元时公司的总收益；（2）试问如何安排甲、乙两个城市的投资，才能使总收益最大？22．已知函数2()(2)3f x x a x =+--．（1）若函数()f x 在[]2,4-上是单调函数，求实数a 的取值范围；（2）当5a =，[1,1]x ∈-时，不等式()24f x m x >+-恒成立，求实数m 的范围． 23．已知函数()()()lg 2lg 2f x x x =++-.（1）求函数()f x 的定义域；（2）若不等式f ()x m >有解，求实数m 的取值范围.24．已知函数()1ln 1x f x x+=-的定义域为集合A ，集合(),1B a a =+，且B A ⊆. （1）求实数a 的取值范围；（2）求证：函数()f x 是奇函数但不是偶函数.25．2018年1月8日，中共中央､国务院隆重举行国家科学技术奖励大会，在科技界引发热烈反响，自主创新正成为引领经济社会发展的强劲动力.某科研单位在研发新产品的过程中发现了一种新材料，由大数据测得该产品的性能指标值y 与这种新材料的含量x （单位：克）的关系为：当06x ≤<时，y 是x 的二次函数；当6x ≥时，13x t y -⎛⎫= ⎪⎝⎭测得数据如下表（部分）：（1）求y 关于x 的函数关系式()y f x =；（2）当该产品中的新材料含量x 为何值时，产品的性能指标值最大.26．有一种候鸟每年都按一定的路线迁陟，飞往繁殖地产卵．科学家经过测量发现候鸟的飞行速度可以表示为函数301log lg 2100x v x =-，单位是min km ，其中x 表示候鸟每分钟耗氧量的单位数，0x 表示测量过程中候鸟每分钟的耗氧偏差．（参考数据：lg 20.30=， 1.23 3.74=， 1.43 4.66=）（1）若02x =，候鸟每分钟的耗氧量为8100个单位时，它的飞行速度是多少min km ？ （2）若05x =，候鸟停下休息时，它每分钟的耗氧量为多少个单位？（3）若雄鸟的飞行速度为2.5min km ，雌鸟的飞行速度为1.5min km ，那么此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟的耗氧量的多少倍？【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【解析】【分析】先判断函数()f x 在R 上单调递增，由104102f f ⎧⎛⎫< ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪> ⎪⎪⎝⎭⎩,利用零点存在定理可得结果. 【详解】因为函数()43x f x e x =+-在R 上连续单调递增，且114411221143204411431022f e e f e e ⎧⎛⎫=+⨯-=-<⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪=+⨯-=-> ⎪⎪⎝⎭⎩, 所以函数的零点在区间11,42⎛⎫ ⎪⎝⎭内，故选C. 【点睛】本题主要考查零点存在定理的应用，属于简单题.应用零点存在定理解题时，要注意两点：（1）函数是否为单调函数；（2）函数是否连续.2．A解析：A【解析】【分析】从图象来看图象关于原点对称或y 轴对称，所以分析奇偶性，然后再用特殊值确定.【详解】因为函数()ln f x x x =是奇函数，排除C ，D又因为2x = 时()0f x >，排除B故选：A【点睛】本题主要考查了函数的图象的判断，还考查了数形结合的思想，属于基础题.3．C解析：C【解析】【分析】确定函数是奇函数，图象关于原点对称，x ＞0时，f （x ）＝log a x （0＜a ＜1）是单调减函数，即可得出结论．【详解】由题意，f （﹣x ）＝﹣f （x ），所以函数是奇函数，图象关于原点对称，排除B 、D ； x ＞0时，f （x ）＝log a x （0＜a ＜1）是单调减函数，排除A ．故选C ．【点睛】本题考查函数的图象，考查函数的奇偶性、单调性，正确分析函数的性质是关键．4．D解析：D【解析】【分析】根据分段函数的单调性特点，两段函数在各自的定义域内均单调递增，同时要考虑端点处的函数值.要使函数在R 上为增函数，须有()f x 在(,1]-∞上递增，在(1,)+∞上递增， 所以21,20,115,1a a a a ⎧-≥⎪⎪<⎨⎪⎪--⨯-≤⎩，解得32a --≤≤.故选D.【点睛】本题考查利用分段函数的单调性求参数的取值范围，考查数形结合思想、函数与方程思想的灵活运用，求解时不漏掉端点处函数值的考虑.5．B解析：B【解析】试题分析：依题意{}{}2,1,0,1,1,0,1,2,3,M N =--=-∴{}1,0,1M N ⋂=-. 考点：集合的运算6．C解析：C【解析】【分析】先根据图中的阴影部分是M∩P 的子集，但不属于集合S ，属于集合S 的补集，然后用关系式表示出来即可．【详解】图中的阴影部分是： M∩P 的子集，不属于集合S ，属于集合S 的补集,即是C U S 的子集则阴影部分所表示的集合是（M∩P ）∩(∁U S).故选C ．【点睛】本题主要考查了Venn 图表达集合的关系及运算，同时考查了识图能力，属于基础题．7．B解析：B【解析】【分析】先根据奇函数性质确定a 取法，再根据单调性进行取舍，进而确定选项.【详解】因为()a f x x =为奇函数，所以11,3,3a ⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭因为()()0,f x +∞在上单调递增，所以13,3a ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭【点睛】本题考查幂函数奇偶性与单调性，考查基本判断选择能力.8．D解析：D【解析】由228x x -->0得：x ∈(−∞,−2)∪(4,+∞)，令t =228x x --，则y =ln t ，∵x ∈(−∞,−2)时,t =228x x --为减函数；x ∈(4,+∞)时,t =228x x --为增函数；y =ln t 为增函数，故函数f (x )=ln(228x x --)的单调递增区间是(4,+∞)，故选D.点睛：形如()()y f g x =的函数为()y g x =,() y f x =的复合函数，() y g x =为内层函数,()y f x =为外层函数. 当内层函数()y g x =单增，外层函数()y f x =单增时，函数()()y f g x =也单增； 当内层函数()y g x =单增，外层函数()y f x =单减时，函数()()y f g x =也单减； 当内层函数()y g x =单减，外层函数()y f x =单增时，函数()()y f g x =也单减； 当内层函数()y g x =单减，外层函数()y f x =单减时，函数()()y f g x =也单增. 简称为“同增异减”.9．D解析：D【解析】【分析】求得函数()f x 的定义域为(3,1)-，根据二次函数的性质，求得()223g x x x =--+在(3,1]--单调递增，在(1,1)-单调递减，再由(0)0f <，得到01a <<，利用复合函数的单调性，即可求解.【详解】由题意，函数2()log (23)a f x x x =--+满足2230x x --+>，解得31x -<<，即函数()f x 的定义域为(3,1)-，又由函数()223g x x x =--+在(3,1]--单调递增，在(1,1)-单调递减， 因为(0)0f <，即(0)log 30a f =<，所以01a <<，根据复合函数的单调性可得，函数()f x 的单调递减区间为(3,1]--，故选D.本题主要考查了对数函数的图象与性质，以及复合函数的单调性的判定，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.10．B解析：B【解析】【分析】利用函数的单调性，判断指数函数底数的取值范围，以及一次函数的单调性，及端点处函数值的大小关系列出不等式求解即可【详解】解：Q 函数6(3)3,7(),7x a x x f x a x ---⎧=⎨>⎩…单调递增， ()301373a a a a ⎧->⎪∴>⎨⎪-⨯-≤⎩解得934a ≤< 所以实数a 的取值范围是9,34⎡⎫⎪⎢⎣⎭．故选：B ．【点睛】本题考查分段函数的应用，指数函数的性质，考查学生的计算能力，属于中档题． 11．B解析：B【解析】试题分析：对于选项A ，a b 1gc 1gc log c ,log c lg a lg b==，01c <<Q ，10gc ∴<，而0a b >>，所以lg lg a b >，但不能确定lg lg a b 、的正负，所以它们的大小不能确定;对于选项B ，c lg lg log ,log lg lg c a b a b c c ==,lg lg a b >，两边同乘以一个负数1lg c改变不等号方向，所以选项B 正确;对于选项C ，利用c y x =在第一象限内是增函数即可得到c c a b >，所以C 错误;对于选项D ，利用xy c =在R 上为减函数易得a b c c <，所以D 错误.所以本题选B.【考点】指数函数与对数函数的性质【名师点睛】比较幂或对数值的大小,若幂的底数相同或对数的底数相同,通常利用指数函数或对数函数的单调性进行比较；若底数不同,可考虑利用中间量进行比较. 12．B解析：B【解析】20.4200.41,log 0.40,21<<Q ,01,0,1,a b c b a c ∴<<∴<<，故选B.二、填空题13．－8【解析】∵f(x)定义域为3＋a5且为奇函数∴3＋a ＝－5∴a ＝－8点睛：利用奇偶性求值的类型及方法(1)求函数值：利用奇偶性将待求值转化到已知区间上的函数值进而得解(2)求参数值：在定义域关于解析：－8【解析】 ∵f(x)定义域为[3＋a ，5]，且为奇函数，∴3＋a ＝－5，∴a＝－8.点睛：利用奇偶性求值的类型及方法(1)求函数值：利用奇偶性将待求值转化到已知区间上的函数值，进而得解．(2)求参数值：在定义域关于原点对称的前提下，根据奇函数满足f(－x)＝－f(x)或偶函数满足f(－x)＝f(x)列等式，根据等式两侧对应相等确定参数的值．特别要注意的是：若能够确定奇函数的定义域中包含0，可以根据f(0)＝0列式求解，若不能确定则不可用此法．14．（1）（2）（3）【解析】【分析】根据奇函数的定义得到（1）正确根据反函数的求法以及定义域值域得到（2）正确由函数的值域是得出其真数可以取到所有的正数由二次函数判别式大于等于0求解可判断出（3）正确 解析：（1）（2）（3）【解析】【分析】根据奇函数的定义得到（1）正确，根据反函数的求法以及定义域值域得到（2）正确， 由函数()()2lg f x x ax a =+-的值域是R ，得出其真数可以取到所有的正数，由二次函数判别式大于等于0求解，可判断出（3）正确，根据函数图像平移可判断（4）不正确.【详解】解：（1）当0c =时，()=+f x x x bx ，()()()-=---=-+=-f x x x bx x x bx f x ，当函数为奇函数时()()f x f x -=-，即()++=----+=+-x x bx c x x bx c x x bx c ，解得0c =，所以0c =是函数()f x x x bx c =++为奇函数的充要条件，所以（1）正确；（2）由反函数的定义可知函数()20x y x -=>的反函数是()2log 01y x x =-<<，所以（2）正确；（3）因为函数()()2lg f x x ax a =+-的值域是R ，所以2y x ax a =+-能取遍(0,)+∞的所有实数，所以240a a =+≥△，解得0a ≥或4a ≤-，所以（3）正确； （4）函数()1y f x =-是偶函数，所以()1y f x =-图像关于y 轴对称，函数()y f x =的图像是由()1y f x =-向左平移一个单位得到的，所以函数()y f x =的图像关于直线1x =-对称，故（4）不正确.故答案为：（1）（2）（3）【点睛】本题主要考查对函数的理解，涉及到函数的奇偶性、值域、反函数等问题.15．2【解析】【分析】先求f （2）再根据f （2）值所在区间求f （f （2））【详解】由题意f （2）=log3（22–1）=1故f （f （2））=f （1）=2×e1–1=2故答案为：2【点睛】本题考查分段函数解析：2【解析】【分析】先求f （2），再根据f （2）值所在区间求f （f （2））.【详解】由题意，f （2）=log 3（22–1）=1，故f （f （2））=f （1）=2×e 1–1=2，故答案为：2． 【点睛】本题考查分段函数求值，考查对应性以及基本求解能力.16．200【解析】【分析】根据题意列出总利润L(x)的分段函数然后在各个部分算出最大值比较大小就能确定函数的最大值进而可求出总利润最大时对应的店面经营天数【详解】设总利润为L(x)则L(x)=则L(x)解析：200【解析】【分析】根据题意，列出总利润L(x)的分段函数，然后在各个部分算出最大值，比较大小，就能确定函数的最大值，进而可求出总利润最大时对应的店面经营天数.【详解】设总利润为L(x),则L(x)=2120010000,0300210035000,300x x x x x ⎧-+-≤<⎪⎨⎪-+≥⎩则L(x)=21(200)10000,0300210035000,300x x x x ⎧--+≤<⎪⎨⎪-+≥⎩当0≤x<300时,L(x)max =10000,当x ≥300时,L(x)max =5000,所以总利润最大时店面经营天数是200.【点睛】本题主要考查分段函数的实际应用，准确的写出各个部分的函数关系式是解决本题的关键. 17．【解析】【分析】通过判断函数的奇偶性增减性就可以解不等式【详解】根据题意可知令则转化为由于偶函数在上为增函数则即即或即或【点睛】本题主要考查利用函数的性质（奇偶性增减性）解不等式意在考查学生的转化能 解析：{|40}x x x ><或【解析】 【分析】通过判断函数的奇偶性，增减性就可以解不等式. 【详解】根据题意可知(2)0f =，令2x t -=，则转化为()(2)f t f >，由于偶函数()f x 在()0,∞+上为增函数，则()(2)f t f >，即2t>，即22x -<-或22x ->，即0x <或4x >.【点睛】本题主要考查利用函数的性质（奇偶性，增减性）解不等式，意在考查学生的转化能力，分析能力及计算能力.18．-1【解析】【分析】由分段函数的解析式先求出f(-2)的值并判定符号从而可得f(f(-2))的值【详解】∵fx=1-xx≥0x2x<0-2<0∴f-2=-22=4>0所以f(f(-2))=f4=1-解析：-1 【解析】 【分析】由分段函数的解析式先求出的值并判定符号，从而可得的值.【详解】， ，所以，故答案为-1. 【点睛】本题主要考查分段函数的解析式，属于简单题. 求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现的形式时，应从内到外依次求值．19．0【解析】【分析】将中三个函数的图像均画出来再分析取最大值的函数图像从而求得最小值【详解】分别画出的图象取它们中的最大部分得出的图象如图所示故最小值为0故答案为0【点睛】本题主要考查数形结合的思想与解析：0 【解析】 【分析】将{}2()max ln ,1,4(0)f x x x x x x =--->中三个函数的图像均画出来,再分析取最大值的函数图像,从而求得最小值.【详解】分别画出ln y x =-,1y x =-,24y x x =-的图象,取它们中的最大部分,得出()f x 的图象如图所示,故最小值为0.故答案为0 【点睛】本题主要考查数形结合的思想与常见函数的图像等,需要注意的是在画图过程中需要求解函数之间的交点坐标从而画出准确的图像,属于中等题型.20．【解析】【分析】根据判断出函数在上为增函数由此列不等式组解不等式组求得的取值范围【详解】由于对任意的时都有所以函数在上为增函数所以解得故答案为：【点睛】本小题主要考查根据函数的单调性求参数的取值范围 解析：[1,0)-【解析】 【分析】 根据()()12120f x f x x x ->-判断出函数在R 上为增函数，由此列不等式组，解不等式组求得a 的取值范围.【详解】由于对任意的12,x x R ∈，12x x ≠时，都有()()12120f x f x x x ->-，所以函数在R 上为增函数，所以1210124a a a a ->⎧⎪<⎨⎪-≤+⎩，解得10a -≤<.故答案为：[)1,0-. 【点睛】本小题主要考查根据函数的单调性求参数的取值范围，考查指数函数的单调性，考查分式型函数的单调性，属于基础题.三、解答题21．（1）()1364f x x =-+，30130x ≤≤，66万元（2）甲城市投资128万元，乙城市投资32万元 【解析】 【分析】() 1由题知，甲城市投资x 万元，乙城市投资160x -万元，求出函数的解析式，利用当甲城市投资72万元时公司的总收益；()()12364f x x =-+，30130x ≤≤，令t =，则t ∈，转化为求函数2,6143y t t ∈=-++最值，即可得出结论．【详解】()1由题知，甲城市投资x 万元，乙城市投资160x -万元，所以()()11616023644f x x x =+-+=-+， 依题意得3016030x x ≥⎧⎨-≥⎩，解得30130x ≤≤，故()1364f x x =-+，30130x ≤≤， 当72x =时，此时甲城市投资72万元，乙城市投资88万元，所以总收益()136664f x x =-+=． ()()12364f x x =-+，30130x ≤≤令t =t ∈．2,6143y t t ∈=-++当t =，即128x =万元时，y 的最大值为68万元， 故当甲城市投资128万元，乙城市投资32万元时， 总收益最大，且最大收益为68万元． 【点睛】本题考查实际问题的应用，二次函数的性质以及换元法的应用，考查转化思想以及计算能力，属于中档题．22．（1）(,6][6,+)∞∞--U ；（2）3(,)4∞-． 【解析】 【分析】（1）首先求函数的对称轴22a x -=-，令242a --≥或 222a --≤-，求实数a 的取值范围；（2）不等式等价于21x x m ++>恒成立，令()21g x x x =++，转化为()min g x m >，[]1,1x ∈-恒成立，求m 的取值范围. 【详解】解：（1）函数()f x 的对称轴为22a x -=-， 又函数()f x 在[]2,4-上是单调函数，242a -∴-≥或 222a --≤-， 解得6a ≤-或6a ≥．∴实数a 的取值范围为(,6][6,)-∞-+∞U ；（2）当5a =，[]1,1x ∈-时，()24f x m x >+-恒成立，即21x x m ++>恒成立， 令()21g x x x =++，()min g x m >恒成立，函数()g x 的对称轴[]11,12x =-∈-，∴()min 1324g x g ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，即34m >， m ∴的范围为3(,)4-∞．【点睛】本题考查二次函数单调性，恒成立的的综合问题，属于基础题型. 23．（1）(2,2)-；（2）lg 4m <． 【解析】试题分析：（1）由对数有意义，得20{20x x +>->可求定义域；（2）不等式()f x m >有解⇔max ()m f x <，由2044x <-≤，可得()f x 的最大值为lg 4，所以lg 4m <．试题解析：（1）x 须满足20{20x x +>->，∴22x -<<，∴所求函数的定义域为(2,2)-.（2）∵不等式()f x m >有解，∴max ()m f x <()()()lg 2lg 2f x x x =++-=2lg(4)x -令24t x =-，由于22x -<<，∴04t <≤∴()f x 的最大值为lg 4.∴实数m 的取值范围为lg 4m <. 考点：对数性质、对数函数性、不等式有解问题． 24．（1）[1,0]- ;（2）见解析. 【解析】试题分析：（1）由对数的真数大于0，可得集合A ，再由集合的包含关系，可得a 的不等式组，解不等式即可得到所求范围；（2）求得()f x 的定义域，计算()f x -与()f x 比较，即可得到所求结论． 试题解析：（1）令101xx+>-，解得11x -<<，所以()1,1A =-， 因为B A ⊆，所以111a a ≥-⎧⎨+≤⎩，解得10a -≤≤，即实数a 的取值范围是[]1,0-（2）函数()f x 的定义域()1,1A =-，定义域关于原点对称()()()1ln 1x f x x ---=+- ()1111ln ln ln 111x x x f x x x x -+--⎛⎫===-=- ⎪-++⎝⎭而1ln32f ⎛⎫=⎪⎝⎭，11ln 23f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以1122f f ⎛⎫⎛⎫-≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以函数()f x 是奇函数但不是偶函数.25．（1）()2712,0641,63x x x x f x x -⎧-+≤<⎪⎪=⎨⎛⎫⎪≥ ⎪⎪⎝⎭⎩（2）4x = 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法，结合所给数据可求函数关系式()y f x =； （2）分段求解函数的最大值，比较可得结果. 【详解】（1）当06x ≤<时，由题意，设()2f x ax bx c =++（0a ≠），由表格数据得()()()007142423f c f a b c f a b c ⎧==⎪⎪=++=⎨⎪=++=⎪⎩，解得1420a b c ⎧=-⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩，所以，当06x ≤<时，()2124f x x x =-+， 当6x ≥时，()13x tf x -⎛⎫= ⎪⎝⎭，由表格数据可得()911939tf -⎛⎫==⎪⎝⎭， 解得7t =，所以当6x ≥时，()713x f x -⎛⎫= ⎪⎝⎭，综上，()2712,0641,63x x x x f x x -⎧-+≤<⎪⎪=⎨⎛⎫⎪≥ ⎪⎪⎝⎭⎩. （2）当06x ≤<时，()()221124444f x x x x =-+=--+， 可知4x =时，()()max 44f x f ==，当6x ≥时，()713x f x -⎛⎫= ⎪⎝⎭单凋递减，可知6x =时，()()67max1633f x f -⎛⎫=== ⎪⎝⎭.综上可得，当4x =时，产品的性能指标值最大. 【点睛】本题主要考查函数解析式的求解及最值，待定系数法是求解析式的常用方法，根据函数的类型设出解析式，结合条件求解未知系数，侧重考查数学抽象 26．（1）1.70/min km ；（2）466；（3）9 【解析】试题分析：（1）直接代入求值即可，其中要注意对数的运算；（2）还是代入求值即可；（3）代入后得两个方程，此时我们不需要解出1x 、2x ，只要求出它们的比值即可，所以由对数的运算性质，让两式相减，就可求得129x x =． 试题解析：（1）将02x =，8100x =代入函数式可得：31log 81lg 22lg 220.30 1.702v =-=-=-= 故此时候鸟飞行速度为1.70/min km ． （2）将05x =，0v =代入函数式可得：310log lg 52100x =-即3log 2lg52(1lg 2)20.70 1.40100x ==⋅-=⨯= 1.43 4.66100x∴==于是466x =． 故候鸟停下休息时，它每分钟的耗氧量为466个单位．（3）设雄鸟每分钟的耗氧量为1x ，雌鸟每分钟的耗氧量为2x ，依题意可得：13023012.5log lg 2100{11.5log lg 2100x x x x =-=-两式相减可得：13211log 2x x =，于是129x x =． 故此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟的耗氧量的9倍．考点：1．函数代入求值；2．解方程；3．对数运算．。
2020-2021北京第四中学高三数学上期末模拟试题(含答案)
2020-2021北京第四中学高三数学上期末模拟试题(含答案)一、选择题1．已知等比数列{}n a 的公比为正数，且239522,1a a a a ⋅==，则1a = ( )A ．12B ．2 CD2．设,x y 满足约束条件3002x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩, 则3z x y =+的最小值是 A ．5-B ．4C ．3-D ．113．已知x ，y 满足2303301x y x y y +-≤⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，z ＝2x +y 的最大值为m ，若正数a ，b 满足a +b ＝m ，则14a b+的最小值为（ ） A ．3B ．32C ．2D ．524．若ABC ∆的三个内角满足sin :sin :sin 5:11:13A B C =，则ABC ∆（ ） A ．一定是锐角三角形 B ．一定是直角三角形C ．一定是钝角三角形D ．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形5．设数列{}n a 是以2为首项，1为公差的等差数列，{}n b 是以1为首项，2为公比的等比数列，则1210b b b a a a ++⋯+=（ ） A ．1033B ．1034C ．2057D ．20586．在ABC ∆中，,,a b c 是角,,A B C 的对边，2a b =，3cos 5A =，则sinB =（ ） A ．25B ．35C ．45 D ．857．若直线()10,0x ya b a b+=>>过点(1,1)，则4a b +的最小值为（ ） A ．6B ．8C ．9D ．108．设变量,x y 、满足约束条件236y xx y y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≥-⎩，则目标函数2z x y =+的最大值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．99．数列{}n a 为等比数列，若11a =，748a a =，数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，则5(S = )A．3116B．158C．7D．3110．已知等差数列{}n a,前n项和为n S,5628a a+=,则10S=( )A．140B．280C．168D．5611．已知数列{}n a的前n项和2nS n n=-，数列{}n b满足1sin2n nnb aπ+=，记数列{}nb的前n项和为nT，则2017T=（）A．2016B．2017C．2018D．201912．一个递增的等差数列{}n a，前三项的和12312a a a++=，且234,,1a a a+成等比数列，则数列{}n a的公差为 ( )A．2±B．3C．2D．1二、填空题13．若变量,x y满足约束条件12,{20,20,x yx yx y+≤-≥-≤则z y x=-的最小值为_________. 14．在等差数列{}n a中，首项13a=，公差2d=，若某学生对其中连续10项进行求和，在遗漏掉一项的情况下，求得余下9项的和为185，则此连续10项的和为．15．如图，在ABCV中，,43C BCπ==时，点D在边AC上，AD DB=，DE AB⊥，E为垂足若22DE=，则cos A=__________16．数列{}21n-的前n项1,3,7..21n-组成集合{}()*1,3,7,21nnA n N=-∈，从集合nA 中任取()1,2,3?··nk k=个数，其所有可能的k个数的乘积的和为（若只取一个数，规定乘积为此数本身），记12n nS T T T=++⋅⋅⋅+，例如当1n=时，{}1111,1,1===A T S；当2n=时，{}21221,2,13,13,13137A T T S==+=⨯=++⨯=，试写出nS=___17．已知0,0x y>>，1221x y+=+，则2x y+的最小值为 .18．若关于x的不等式()2221x ax-<的解集中的整数恰有3个，则实数a的取值范围是________________．19．若直线1(00)x ya b a b+=＞，＞过点（1,2）,则2a+b 的最小值为______. 20．已知二次函数f （x ）=ax 2+2x+c （x ∈R ）的值域为[0，+∞），则11a c c a+++的最小值为_____．三、解答题21．已知a ，b ，c 分别为ABC ∆三个内角A ，B ，C 的对边，且3sin cos 20b A a B a --=.（Ⅰ）求B 的大小； （Ⅱ）若7b =，ABC ∆的面积为3，求a c +的值． 22．已知等差数列{}n a 满足1210a a +=，432a a -=. （1）求{}n a 的通项公式；（2）设等比数列{}n b 满足2337,b a b a ==.若6k b a =，求k 的值. 23．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且221n n n S na a =+-． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若数列21n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，证明：4nT <． 24．设递增等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 2＝3，S 3＝13，数列{b n }满足b 1＝a 1，点P （b n ，b n +1）在直线x ﹣y +2＝0上，n ∈N *. （1）求数列{a n }，{b n }的通项公式； （2）设c n nnb a =，求数列{c n }的前n 项和T n . 25．已知函数()2sin(2)(||)2f x x πϕϕ=+<部分图象如图所示.（1）求ϕ值及图中0x 的值；（2）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知7,()2,c f C ==-sin B =2sin A ，求a 的值．26．已知数列{}n a 的首项1122,,1,2,3, (31)n n n a a a n a +===+.（1）证明: 数列11na⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是等比数列；（2）数列nna⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n项和n S.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【解析】设公比为q，由已知得()22841112a q a q a q⋅=，即22q=，又因为等比数列{}n a的公比为正数，所以2q=，故21222aaq===，故选D.2．C解析：C【解析】画出不等式组表示的可行域如图阴影部分所示．由3z x y=+可得3y x z=-+．平移直线3y x z=-+，结合图形可得，当直线3y x z=-+经过可行域内的点A时，直线在y轴上的截距最小，此时z也取得最小值．由30x yx y-+=⎧⎨+=⎩，解得3232xy⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故点A的坐标为33(,)22-．∴min333()322z=⨯-+=-．选C．3．B解析：B 【解析】 【分析】作出可行域，求出m ，然后用“1”的代换配凑出基本不等式的定值，从而用基本不等式求得最小值． 【详解】作出可行域，如图ABC ∆内部（含边界），作直线:20l x y +=，平移该直线，当直线l 过点(3,0)A 时，2x y +取得最大值6，所以6m =．1411414143()()(5)(5)6662b a b a a b a b a b a b a b +=++=++≥+⨯=，当且仅当4b a a b =，即12,33a b ==时等号成立，即14a b +的最小值为32． 故选：B. 【点睛】本题考查简单的线性规划，考查用基本不等式求最值，解题关键是用“1”的代换凑配出基本不等式的定值，从而用基本不等式求得最小值．4．C解析：C 【解析】 【分析】由sin :sin :sin 5:11:13A B C =，得出::5:11:13a b c =，可得出角C 为最大角，并利用余弦定理计算出cos C ，根据该余弦值的正负判断出该三角形的形状. 【详解】由sin :sin :sin 5:11:13A B C =，可得出::5:11:13a b c =， 设()50a t t =>，则11b t =，13c t =，则角C 为最大角，由余弦定理得2222222512116923cos 022511110a b c t t t C ab t t +-+-===-<⨯⨯，则角C 为钝角，因此，ABC ∆为钝角三角形，故选C. 【点睛】本题考查利用余弦定理判断三角形的形状，只需得出最大角的属性即可，但需结合大边对大角定理进行判断，考查推理能力与计算能力，属于中等题.5．A解析：A 【解析】 【分析】 【详解】首先根据数列{a n }是以2为首项，1为公差的等差数列，{b n }是以1为首项，2为公比的等比数列，求出等差数列和等比数列的通项公式，然后根据a b1+a b2+…+a b10=1+2+23+25+…+29+10进行求和． 解：∵数列{a n }是以2为首项，1为公差的等差数列， ∴a n =2+（n-1）×1=n+1， ∵{b n }是以1为首项，2为公比的等比数列， ∴b n =1×2n-1， 依题意有：a b1+a b2+…+a b10=1+2+22+23+25+…+29+10=1033， 故选A ．6．A解析：A 【解析】试题分析：由3cos 5A =得，又2a b =，由正弦定理可得sin B =.考点：同角关系式、正弦定理．7．C解析：C 【解析】 【详解】 因为直线()10,0x ya b a b+=>>过点()1,1,所以11+1a b = ,因此1144(4)(+)5+59b a b aa b a b a b a b+=+≥+⋅= ,当且仅当23b a ==时取等号,所以选C.点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.8．D解析：D 【解析】 【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，把最优解的坐标代入目标函数得结论. 【详解】画出满足约束条件236y x x y y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≥-⎩的可行域，如图，画出可行域ABC ∆，(2,0)A ，(1,1)B ，(3,3)C ， 平移直线2z x y =+，由图可知，直线2z x y =+经过(3,3)C 时 目标函数2z x y =+有最大值，2z x y =+的最大值为9.故选D. 【点睛】本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.9．A解析：A 【解析】 【分析】先求等比数列通项公式，再根据等比数列求和公式求结果. 【详解】Q 数列{}n a 为等比数列，11a =，748a a =，638q q ∴=，解得2q =，1112n n n a a q --∴==， Q 数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ， 55111111131211248161612S ⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭∴=++++==-．故选A ． 【点睛】本题考查等比数列通项公式与求和公式，考查基本分析求解能力，属基础题.10．A解析：A 【解析】由等差数列的性质得，5611028a a a a +==+，∴其前10项之和为()11010102814022a a +⨯==，故选A. 11．A解析：A 【解析】 【分析】由2n S n n =-得到22n a n =-，即n b =2(1)cos2n n π-，利用分组求和法即可得到结果. 【详解】由数列{}n a 的前n 项和为2n S n n =-，当1n =时，11110a S ==-=；当2n …时，1n n n a S S -=-22(1)(1)22n n n n n ⎡⎤=-----=-⎣⎦，上式对1n =时也成立， ∴22n a n =-， ∴cos2n n n b a π==2(1)cos 2n n π-， ∵函数cos 2n y π=的周期242T ππ==，∴()2017152013T b b b =++++L (26b b +)2014b ++L ()()3720154820162017b b b b b b b +++++++++L L02(152013)0=-+++++L 2(3+72015)045042016+++=⨯=L ，故选：A. 【点睛】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，利用分组法求数列的和，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于中档题．12．C解析：C 【解析】 【分析】 【详解】解：∵234,,1a a a +成等比数列， ∴，∵数列{}n a 为递增的等差数列，设公差为d ， ∴，即，又数列{}n a 前三项的和，∴，即，即d ＝2或d ＝−2（舍去）， 则公差d ＝2． 故选：C ．二、填空题13．【解析】由约束条件作出可行域如图联立解得化目标函数得由图可知当直线过点时直线在y 轴上的截距最小有最小值为故答案为点睛：本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值属简单题求目标函数最值的一般步骤 解析：4-【解析】由约束条件12,20,20,x y x y x y +≤⎧⎪-≥⎨⎪-≤⎩作出可行域如图，联立12{20x y x y +=-=，解得()84A ，，化目标函数z y x =-，得y x z =+，由图可知，当直线y x z =+过点()84A ，时，直线在y 轴上的截距最小，z 有最小值为4-，故答案为4-. 点睛：本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.14．200【解析】试题分析：等差数列中的连续10项为遗漏的项为且则化简得所以则连续10项的和为考点：等差数列解析：200 【解析】试题分析：等差数列{}n a 中的连续10项为*+129,,,,,()x x x x a a a a x N ++⋯∈，遗漏的项为*+,x n a n N ∈且19,n ≤≤则9()10(18)10(2)22x x x x x n x a a a a a a n +++⨯++⨯-=-+，化简得4494352x n ≤=+≤，所以5x =，511a =，则连续10项的和为(1111+18)10=2002+⨯.考点：等差数列.15．【解析】在△ABC 中∵DE ⊥ABDE=∴AD=∴BD=AD=∵AD=BD ∴A=∠ABD ∴∠BDC=∠A+∠ABD=2∠A 在△BCD 中由正弦定理得即整理得cosA= 6【解析】在△ABC 中，∵DE ⊥AB ，DE =22，∴AD =2sin A, ∴BD =AD =2sin A． ∵AD =BD ，∴A =∠ABD ， ∴∠BDC =∠A +∠ABD =2∠A ， 在△BCD 中，由正弦定理得sin sin BD BCC BDC=∠ ， 24sin sin 23A A = ，整理得cosA =64 .16．【解析】【分析】通过计算出并找出的共同表示形式进而利用归纳推理即可猜想结论【详解】当时则由猜想：故答案为：【点睛】本题考查元素与集合关系的判断以及数列前项和的归纳猜想属于中档题 解析：1()221n n +-【解析】 【分析】通过计算出3S ，并找出1S 、2S 、3S 的共同表示形式，进而利用归纳推理即可猜想结论． 【详解】当3n =时,{}31,3,7A =，则113711T =++=,213173731T =⨯+⨯+⨯=,313721T =⨯⨯=,∴312311312163S T T T =++=++=,由1212112121S ⨯==-=-，2332272121S ⨯==-=-， 34623632121S ⨯==-=-，⋯猜想：(1)221n n n S +=-.故答案为：1()221n n +-.【点睛】本题考查元素与集合关系的判断以及数列前n 项和的归纳猜想,属于中档题.17．3【解析】试题分析：根据条件解得那么当且仅当时取得等号所以的最小值为3故填：3考点：基本不等式解析：3 【解析】试题分析：根据条件，解得，那么，当且仅当时取得等号，所以的最小值为3，故填：3. 考点：基本不等式18．【解析】试题分析：关于x 的不等式（2x －1）2<ax2等价于其中且有故有不等式的解集为所以解集中一定含有123可得所以解得考点：含参数的一元二次方程的解法解析：2549,916⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】试题分析：关于x 的不等式（2x －1）2<ax 2等价于2(4)410a x x -+-+<，其中40a ∆=>且有40a ->，故有04a <<，不等式的解集为22x a a<<+-，所以11422a <<+解集中一定含有1,2,3，可得，所以5374a a ≥≤，解得2549916a ≤≤. 考点：含参数的一元二次方程的解法.19．【解析】当且仅当时取等号点睛：在利用基本不等式求最值时要特别注意拆拼凑等技巧使其满足基本不等式中正(即条件要求中字母为正数)定(不等式的另一边必须为定值)等(等号取得的条件)的条件才能应用否则会出现 解析：8【解析】12124412(2)()448b a b a a b a b a b a b a b a b+=∴+=++=++≥+⋅=Q，当且仅当2b a = 时取等号.点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.20．4【解析】【分析】先判断是正数且把所求的式子变形使用基本不等式求最小值【详解】由题意知则当且仅当时取等号∴的最小值为4【点睛】】本题考查函数的值域及基本不等式的应用属中档题解析：4 【解析】 【分析】先判断a c 、是正数，且1ac =，把所求的式子变形使用基本不等式求最小值． 【详解】由题意知，044010a ac ac c =-=∴=V ＞，，，＞， 则111111122224a c a c a c c a c c a a c a c a ac+++=+++=+++≥+=+=（）（），当且仅当1a c ==时取等号．∴11a c c a +++的最小值为4． 【点睛】】本题考查函数的值域及基本不等式的应用．属中档题.三、解答题21．(1) 23B π=;(2) 3a c +=. 【解析】试题分析：（1）正弦定理得sin sin cos 2sin 0B A A B A --=，sin 16B π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以23B π=；（2）根据面积公式和余弦定理，得()27a c ac =+-，所以3a c +=. 试题解析：sin sin cos 2sin 0B A A B A --=， 因为sin 0A ≠cos 20B B --=，即sin 1,6B π⎛⎫-= ⎪⎝⎭又()50,,,666B B ππππ⎛⎫∈∴-∈- ⎪⎝⎭， 62B ππ∴-=，所以23B π=.（Ⅱ）由已知11sin 222ABC S ac B ac ac ∆===∴=， 由余弦定理得 2222cos b a c ac B =+-，即()217222a c ac ac ⎛⎫=+--⋅- ⎪⎝⎭， 即()27a c ac =+-，又0,0a c >>所以3a c +=. 22．（1）22n a n =+；（2）63 【解析】 【分析】（1）求出公差d 和首项1a ，可得通项公式；（2）由23,b b 得公比，再得6b ，结合{}n a 通项公式求得k . 【详解】（1）由题意等差数列{n a 的公差432d a a =-=，121210a a a d +=+=，14a =， ∴1(1)4(1)222n a a n d n n =+-=+-⨯=+； （2）由（1）23378,16b a b a ====，∴321628b q b ===，446282128b b q ==⨯=，∴22128k a k =+=，63k =. 【点睛】本题考查等差数列与等比数列的通项公式，掌握基本量法是解题基础. 23．（1）1()2n n a n N *+=∀∈；（2）见解析 【解析】 【分析】(1)根据前n 项和与通项间的关系得到，221n n n S na a =+-，()1112121n n n S n a a ---=-+-，两式做差即可得到数列11n n a a n n -=+，数列1n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭为常数列，112n a n =+，即12n n a +=；（2）根据第一问得到()()22144114111n a n n n n n ⎛⎫=<=- ⎪++⎝⎭+，裂项求和即可. 【详解】（1）当1n =时，111221S a a =+-，即11a =，当2n ≥时，221n n n S na a =+- ①， ()1112121n n n S n a a ---=-+- ②-①②，得()112122n n n n n a na n a a a --=--+-，即()11n n na n a -=+，所以11n n a a n n -=+，且1122a =， 所以数列1n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭为常数列，112n a n =+，即()*12n n a n N +=∀∈． （2）由（1）得12n n a +=，所以()()22144114111na n n n n n ⎛⎫=<=- ⎪++⎝⎭+， 所以()()22224444444423412233411n T n n n =++++<++++⨯⨯⨯++L L ，11111111414142233411n n n L ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-=-< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦．【点睛】这个题目考查的是数列通项公式的求法及数列求和的常用方法；数列通项的求法中有常见的已知n S 和n a 的关系，求n a 表达式，一般是写出1n S -做差得通项，但是这种方法需要检验n=1时通项公式是否适用；数列求和常用法有：错位相减，裂项求和，分组求和等． 24．（1）a n ＝3n ﹣1，b n ＝2n ﹣1（2）T n ＝3﹣（n +1）•（13）n ﹣1【解析】 【分析】(1)利用基本量法求解n a ,再代入()1,n n P b b +到直线20x y -+=可得{}n b 为等差数列,再进行通项公式求解即可. (2)利用错位相减求和即可. 【详解】（1）递增等比数列{a n }的公比设为q ,前n 项和为S n ,且a 2＝3,S 3＝13, 可得a 1q ＝3,a 1+a 1q +a 1q 2＝13,解得q ＝3或q 13=, 由等比数列递增,可得q ＝3,a 1＝1,则13-=n n a ； P （b n ,b n +1）在直线x ﹣y +2＝0上,可得b n +1﹣b n ＝2, 且b 1＝a 1＝1,则b n ＝1+2（n ﹣1）＝2n ﹣1； （2）c n nn b a ==（2n ﹣1）•（13）n ﹣1, 前n 项和T n ＝1•1+3•13+5•19++L （2n ﹣1）•（13）n ﹣1, 13T n ＝1•13+3•19+5•127++L （2n ﹣1）•（13）n , 相减可得23T n ＝1+2（1139+++L （13）n ﹣1）﹣（2n ﹣1）•（13）n＝1+2•111133113n -⎛⎫- ⎪⎝⎭--（2n ﹣1）•（13）n , 化简可得T n ＝3﹣（n +1）•（13）n ﹣1.【点睛】本题主要考查了等比等差数列的通项公式求解以及错位相减的求和方法,属于中档题. 25．（1）6π=ϕ,076x π=（2）1a = 【解析】试题分析：（1）根据图象可得()01f =，从而求得ϕ得值，再根据()02f x =，可得022,62x k k Z πππ+=+∈，结合图象可得0x 的值；（2）根据（1）的结论及()2f C =-，可得C 的值，将sin B = 2sin A 根据正弦定理角化边得2b a =，再根据余弦定理即可解得a 的值.试题解析：（1）由图象可以知道：()01f =. ∴1sin 2ϕ=又∵2πϕ<∴6πϕ=∵()02f x =∴0sin 216x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，022,62x k k Z πππ+=+∈, 从而0,6x k k Z ππ=+∈. 由图象可以知道1k =, 所以076x π=（2）由()2f C =-,得sin 216C π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭,且()0,C π∈. ∴23C π=∵sin 2sin B A = ∴由正弦定理得2b a =又∵由余弦定理2222cos c a b ab C =+-得：2227422cos ,3a a a a π=+-⨯ ∴解得1a =26．（1）证明见解析；（2）24222n n n n n S +++=-.【解析】试题分析：（1）对121n n n a a a +=+两边取倒数得111111222n n n na a a a ++==+⋅，化简得1111112n n a a +⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，所以数列11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是等比数列；（2）由（1）11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是等比数列.，求得1112n n a =+，利用错位相减法和分组求和法求得前n 项和24222n n n n n S +++=-.试题解析：（1）111211111111,?,1112222n n n n n n n n n a a a a a a a a a +++⎛⎫+=∴==+∴-=- ⎪+⎝⎭Q ，又 11211,132a a =∴-=，∴数列11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以为12首项，12为公比的等比数列.（2）由（1）知，1111111?222n n n a -+-==，即1112nn a =+，设23123...2222n n nT =++++， ① 则2311121...22222n n n n nT +-=++++， ② 由①-②得 21111111111122 (112222222212)n n n n n n n n n n T +++⎛⎫- ⎪⎝⎭=+++-=-=---，11222nn n n T -∴=--.又()1123 (2)n n n +++++=.∴数列n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和()2124222222n n n n n n n n n S +++++=-+=-.考点：配凑法求通项，错位相减法.。
2021-2022学年北京四中高一(上)适应性数学试卷(10月份)(附答案详解)
2021-2022学年北京四中高一（上）适应性数学试卷（10月份）一、单选题（本大题共10小题，共30.0分）1.若集合A={1,3，5，7}，B={2,3，4}，则A∩B=()A. {1,3)B. {2,3}C. {3}D. {3,5}2.设全集U={1、2、3、4、5}，M={3,5}，N={2、3、4}，则图中阴影部分所表示的集合是()A. {1,2，4}B. {1,3，5}C. {2,4}D. {1,2，3，4}3.不等式2x2−3x+1>0的解集为()A. (12,1) B. (−∞,12)∪(1,+∞)C. RD. ⌀4.“a−c>b−d”是“a>b且c<d”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件5.集合A={x∈N|−1<x<3}的真子集个数是()A. 3B. 4C. 7D. 86.已知命题p：∃x>0，x2+1>1，则命题p的否定为()A. ∃x≤0，x2+1≤1B. ∃x>0，x2+1≤1C. ∀x>0，x2+1≤1D. ∀x≤0，x2+1≤17.设集合P={m|−1<m≤0}，Q={m|mx2+4mx−4<0对任意x恒成立}，则P与Q的关系是()A. P⊆QB. Q⊆PC. P=QD. P∩Q=⌀8.已知全集U=Z，集合A=x{x|x=2k+1,k∈Z}，B={x|x=4k−1,k∈Z}.则下列各等式中正确的是()A. U=A∪BB. U=B∪(∁U A)C. U=A∪(∁U B)D. U=(∁U A)∪(∁U B)9.设a<b<0，则下列不等式中不成立的是()A. 1a >1bB. 1a−b>1aC. |a|>−bD. √−a>√−b10.设全集为R，A={x|x2−5x−6>0}，B={x||x−5|<a}(a为常数)，11∈B，则()A. (∁R A)∪B=RB. A∪(∁R B)=RC. (∁R A)∪(∁R B)=RD. A∪B=R二、单空题（本大题共6小题，共24.0分）11.集合M={x|x2+2x−a=0}，若⌀⫋M，则实数a的范围是______．12.某班有学生55人，其中音乐爱好者34人，体育爱好者43人，还有4人既不爱好体育也不爱好音乐，则班级中即爱好体育又爱好音乐的有______ 人．13.给出如下四个命题：①若b<a<0，则1a <1b；②若a<b<0，则a2>b2；③不等式1a>1的解集是{a|a<1}；④若1<a<2，且0<b<3，则−2<a−b<2．其中正确命题的序号为______(写出所有正确命题的序号)．14.设a，b，c是任意实数，能够说明“若c<b<a且ac<0，则ab<ac”是假命题的一组整数a，b，c的值依次为______．15.若不等式2a +1b≥m2a+b对任意的a>0，b>0恒成立，则m的最大值是______．16.设常数a∈R，集合A={x|(x−1)⋅(x−a)≥0}，B={x|x≥a−1}，若A∪B=R，则a的取值范围为______ ．三、解答题（本大题共5小题，共46.0分）17.已知全集R，集合A={x|x2+px+12=0}，B={x|x2−5x+q=0}，若(∁R A)∩B={2}，求p+q的值．)x+118.已知f(x)=x2−(a+1a(Ⅰ)当a=1时，解不等式f(x)≤0；2(Ⅱ)若a>0，解关于x的不等式f(x)≤0．19.已知抛物线y=(m−1)x2+(m−2)x−1，m∈R．(Ⅰ)当m为何值时，抛物线与x轴有两个交点？(Ⅱ)如果抛物线与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，且△ABC的面积等于2，试确定m的值．20.某单位欲建造一间底面为矩形且面积为12m2的背面靠墙的小屋，小屋正面的造价为1200元/m2，侧面的造价为800元/m2，屋顶的造价为5200元．如果小屋墙高为3m，且不计小屋背面和底面的费用，问：怎样设计小屋能使总造价最低？最低总造价是多少元？21.已知数集A={a1,a2,…,a n}(1≤a1<a2<⋯<a n，n≥2)具有性质P：对任意的i，j(1≤i≤j≤n)a i a j与a ia j两数中至少有一个属于A．(Ⅰ)分别判断数集{1,3，4}与{1,2，3，6}是否具有性质P？(不写过程) (Ⅱ)当n=5时，若a2=2，求集合A．答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵A={1,3，5，7}，B={2,3，4}，∴A∩B={3}，故选：C．利用交集运算即可求解．此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2.【答案】C【解析】解：图中阴影部分表示的集合中的元素是在集合N中，但不在集合M中．又M={3,5}，N={2、3、4}，则右图中阴影部分表示的集合是：{2,4}．故选：C．先观察Venn图，得出图中阴影部分表示的集合，再结合已知条件即可求解．本小题主要考查Venn图表达集合的关系及运算、Venn图的应用等基础知识，考查数形结合思想．属于基础题．3.【答案】B【解析】解：不等式2x2−3x+1>0，即(x−1)(2x−1)>0，，解得：x>1或x<12)∪(1,+∞)．不等式的解集为：(−∞,12故选：B．利用二次不等式的解法，求解不等式2x2−3x+1>0的解集即可．本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，是基础题．4.【答案】B【解析】解：由“a>b且c<d”，能推出a−c>b−d，故是必要条件，由“a−c>b−d”推不出“a>b且c<d”，比如a=5，c=4，b=6，d=6，不是充分条件，故选：B．根据充分必要条件的定义判断即可．本题考查了充分必要条件，考查转化思想，是基础题．5.【答案】C【解析】解：∵A={x∈N|−1<x<3}={0,1，2}，∴集合A的真子集个数是23−1=7，故选：C．先求出集合A={0,1，2}，再利用含有n个元素的集合，其真子集个数为(2n−1)个即可求解．本题主要考查集合真子集个数的求法，含有n个元素的集合，其真子集个数为(2n−1)个．6.【答案】C【解析】解：命题为特称命题，则命题的否定为∀x>0，x2+1≤1，故选：C．根据含有量词的命题的否定即可得到结论．本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．7.【答案】C【解析】解：Q={m∈R|mx2+4mx−4<0对任意实数x恒成立}，对m分类：①m=0时，−4<0恒成立；②m<0时，需△=(4m)2−4×m×(−4)<0，解得−1<m<0．综合①②知m≤0，所以Q={m∈R|−1<m≤0}．因为P={m|−1<m≤0}，所以P=Q．故选：C．首先化简集合Q，mx2+4mx−4<0对任意实数x恒成立，则分两种情况：①m=0时，易知结论是否成立②m<0时mx2+4mx−4=0无根，则由△<0求得m的范围．本题通过集合关系来考查函数中的恒成立问题，容易忽略对m=0的讨论，应引起足够的重视．8.【答案】C【解析】解：∵全集U=Z，集合A={x|x=2k+1,k∈Z}是全体奇数构成的集合，B={x|x=4k−1,k∈Z}={x|x=4(k−1)+3}是除以4余3的奇数构成的集合，∴B⊂A，则U=A∪B错误；U=B∪(∁U A)错误；U=A∪(∁U B)正确；U=(∁U A)∪(∁U B)错误．故选：C．由已知画出图形，结合图形，逐一分析四个选项得答案．本题考查交、并、补集的混合运算，考查数形结合思想，是基础题．9.【答案】B【解析】解：∵a<b<0，∴令a=−2，b=−1，>−1，正确；A、−12B、−1<−1，故B错误；2C、2>1，正确；D、√2>1，正确；故选B．利用特殊值代入法进行求解，可以令a=−2，b=−1，分别代入A、B、C、D四个选项进行求解．此题主要考查不等关系与不等式之间的关系，利用特殊值代入法求解比较简单．10.【答案】D【解析】解：由x2−5x−6>0得出集合A=(−∞,−1)∪(6,+∞)；由11∈B可知a>0，则B=(−a+5,a+5)，且a+5>11，得出a>6．并且−a+5<−1，故有A∪B=R．故选：D．利用一元二次不等式的求解方法写出集合A，据11∈B可以得出集合B中字母a的范围，要利用含绝对值不等式的解法加以解决，结合选项进行验证选出正确答案．本题考查集合的求解方法，考查学生对一元二次不等式解法的理解程度，考查含绝对值不等式解集．11.【答案】a≥−1【解析】解：由⌀⫋M可得M≠⌀，∴x2+2x−a=0有实根∴△=4+4a≥0∴a≥−1故答案为：a≥−1由题意可得M≠⌀，即x2+2x−a=0有实根，则有△=4+4a≥0，解不等式可求a的范围本题主要考查了集合的包含关系的性质(空集是任何非空集合的真子集)的应用，属于基础试题12.【答案】26【解析】解：作Venn图如右图，x+y+z=55−4=51，x+y=34，y+z=43；故y=(34+43)−51=26．故答案为：26．由题意作出Venn图，从而求解人数．本题考查了集合的图形表示的应用，属于基础题．13.【答案】①②④【解析】解：对于①若b<a<0，故1a −1b=b−aab<0，则1a<1b；故①正确；对于②若a<b<0，则a2>b2；故②正确对于③不等式1a >1整理得：1−aa>0，故a−1a<0，故不等式的解集是{a|0<a<1}，故③错误；对于④若1<a<2，且0<b<3，所以−3<−b<0，则−2<a−b<2，故④正确．故答案为：①②④．直接利用不等式的性质，分式不等式的解法的应用判断①②③④的结论．本题考查的知识要点：不等式的性质，分式不等式，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．14.【答案】1，0，−1【解析】解：若c<b<a且ac<0，则a>0，c<0，b任意，则取a=1，b=0，c=−1，则满足条件，但ab<ac不成立，故答案为：1，0，−1．根据不等式的关系判断出a>0，c<0，b任意，利用特殊值法进行判断即可．本题主要考查命题的真假判断，利用特殊值法是解决本题的关键．比较基础．15.【答案】9【解析】解：∵a>0，b>0，不等式2a +1b≥m2a+b恒成立，∴m≤[(2a+b)(2a +1b)]min，，∵(2a+b)(2a +1b)=5+2ba+2ab≥5+2×√2ba⋅2ab=9，当且仅当a=b时取等号．∴m的最大值等于9．故答案为：9．a>0，b>0，不等式2a +1b≥m2a+b恒成立，可得m≤[(2a+b)(2a+1b)]min，利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质、恒成立问题的等价转化方法，属于基础题．16.【答案】{a|a≤2}【解析】解：当a≥1时，集合A中不等式解得：x≤1或x≥a，即A={x|x≤1或x≥a}，∵B={x|x≥a−1}，且A∪B=R，∴a−1≤1，即1≤a≤2；当a<1时，集合A中不等式解得：x≤a或x≥1，即A={x|x≤a或x≥1}，由B={x|x≥a−1}，且A∪B=R，得到a<1满足题意，综上，a的范围为{a|a≤2}．故答案为：{a|a≤2}分类讨论a的范围求出A中不等式的解集，再由B，以及两集合的并集为R，求出a的范围即可．此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．17.【答案】解∵(∁R A)∩B={2}，∴2∈B，由B={x|x2−5x+q=0}有4−10+q=0，∴q=6，此时B={x|x2−5x+6}={2,3}假设∁R A中有3，则(∁R A)∩B={2,3}与(∁R A)∩B={2}矛盾，∵3∈R又3∉(∁R A)，∴3∈A，由A={x|x2+px+12=0}有9+3p+12=0，∴p=−7．∴p+q=−1【解析】利用已知(∁R A)∩B ={2}，得到2∈B ，代入集合B ，求出q ，利用反证法证明3∈A ，代入集合A ，求出p ，从而求出p +q 的值；本题考查补集及其运算、交集及其运算，解答的关键是利用元素与集合的关系列出方程求解．18.【答案】解：(I)当a =12时，有不等式f(x)=x 2−52x +1≤0，∴(x −12)(x −2)≤0， ∴不等式的解为：x ∈{x|12≤x ≤2}(II)∵不等式f(x)=(x −1a )(x −a)≤0当0<a <1时，有1a >a ，∴不等式的解集为{x|a ≤x ≤1a }；当a >1时，有1a <a ，∴不等式的解集为{x|1a ≤x ≤a}；当a =1时，不等式的解为x =1．【解析】(I)将a 的值代入不等式，利用二次不等式与二次方程根的关系写出不等式的解集．(II)通过对A 的讨论，判断出相应的二次方程的两个根的大小关系，写出二次不等式的解集．求一元二次不等式的解集时，若不等式中含参数，一般需要讨论，讨论的起点常从以下几方面考虑：二次项系数的符号、判别式的符号、两个根的大小19.【答案】解：(Ⅰ)令y =0，则(m −1)x 2+(m −2)x −1=0，根据题意可得m ≠1且△>0，即(m −2)2+4(m −1)>0，得m 2>0，所以m ≠1且m ≠0时，抛物线与x 轴有两个交点．(Ⅱ)设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，由12|x 1−x 2|⋅|y C |=2，得12⋅|m m−1|⋅|−1|=2，解得|m|=4|m −1|，解得m =43或45．【解析】(Ⅰ)令y =0，则转化为求方程有两个不等的实数根时m 的值．(Ⅱ)建立面积的函数关系式，再求函数值为2时方程的解．本题考查二次函数的性质，解题中注意转化思想的应用，属于中档题．20.【答案】解：设房屋正面的长为x(m)，侧面的长为y(m)，房屋的总造价为z 元， 根据题意，有xy =12，故z =3x ⋅1200+2⋅3y ⋅800+5200=1200(3x +4y)+5200=1200(3x +4⋅12x )+5200≥1200(2√3x ⋅48x )+5200=34000，当且仅当3x =48x ，即x =4时，等号成立，故当x =4时，y =3，所以将房屋设计成正面长为4m ，侧面长为3m 时，总造价最低，最低总造价是34000元．【解析】设房屋正面的长为x(m)，侧面的长为y(m)，房屋的总造价为z 元，根据题意，有xy =12，故z =3x ⋅1200+2⋅3y ⋅800+5200=1200(3x +4y)+5200，再结合基本不等式公式，即可求解．本题主要考查函数的实际应用，以及基本不等式公式的应用，属于基础题．21.【答案】解：(Ⅰ)由于3×4与34均不属于数集{1,3，4}，∴该数集不具有性质P ．由于1×2，1×3，1×6，2×3，62，63，11，22，33，都属于数集{1,2，3，6}， ∴该数集具有性质P ．(Ⅱ)A ={a 1,a 2,…,a n }具有性质P ，∴a n a n 与a n a n 中至少有一个属于A ，由于1≤a 1<a 2<⋯<a n ，∴a n a n >a n ，故a n a n ∉A ．从而1=an a n ∈A ，a 1=1． ∵1=a 1<a 2<⋯a n ，n ≥2，∴a k a n >a n (k =2,3，4，…，n)，故a k a n ∉A(k =2,3，4，…，n)．由A 具有性质P 可知a n a k ∈A(k =2,3，4，…，n)．又∵a n a n <a n a n−1<⋯<a n a 2<an a 1， ∴a n a n =1，a n a n−1=a 2，…，an a 2=a n−1， 当n =5时，有a 5a 4=a 2，a5a 3=a 3，即a 5=a 2⋅a 4=a 32， ∵1=a 1<a 2<⋯<a 5，∴a 3a 4>a 2a 4=a 5，∴a 3a 4∉A ，由A 具有性质P 可知a 4a 3∈A ．由a 2⋅a 4=a 32，得a 3a 2=a 4a 3∈A ，且1<a 3a 2=a 2，∴a 3a 2=a4a 3=a 2， ∴a 5a 4=a 4a 3=a 3a 2=a 2a 1=a 2，即a 1，a 2，a 3，a 4，a 5是首项为1，公比为a 2等比数列，若a 2=2，则集合A ={1,2，4，8，16}．【解析】(Ⅰ)由定义直接判断即可；(Ⅱ)推导出a n a n =1，a n a n−1=a 2，…，a n a 2=a n−1，当n =5时，有a 5a 4=a 2，a5a 3=a 3，推导出a 1，a 2，a 3，a 4，a 5是首项为1，公比为a 2的等比数列，由此能求出集合A ．本题考查集合的求法，考查集合性质、等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．。
2020-2021学年北京四中高三上学期期中数学试卷(含解析)
2020-2021学年北京四中高三上学期期中数学试卷一、单选题（本大题共10小题，共40.0分）1.设全集U={x∈Z|−2≤x≤2}，集合A={x|x2=1}，B={x∈Z|x2−2x≤0}，则A∩(∁U B)=()A. ⌀B. {1}C. {−1}D. {−1,1}2.下列命题中真命题为()A. ∃x∈R，使sinx+cosx=2B. ∀x∈(0,+∞)，e x>x+1C. ∃x∈(0,+∞)，x<sinxD. ∃x∈R，x2+x=−13.已知向量a⃗=(−1,x)，b⃗ =(x,−4)，若a⃗//b⃗ ，则实数x=()A. 0B. 2C. −2D. ±24.某流程如下图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数是()A.B.C.D.5.函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示，则()A. f(x)=√3sin(x2+π3) B. f(x)=√3sin(x2+2π3)C. f(x)=32sin(x +π3)D. f(x)=32sin(x +2π3) 6. 已知a >0，b >0，且2a +b =4，则的最小值为( )． A.B. 4C.D. 2 7. a ⃗ =(2,1)，b ⃗ =(3,4)，则向量a ⃗ +b ⃗ 与a ⃗ −b⃗ 的夹角为( ) A. 锐角B. 直角C. 钝角D. π8. ( ) A. 0B. 1C. 2D. 4 9. 已知函数f(x)=|mx|−|x −1|(m >0)，若关于x 的不等式f(x)<0的解集中的整数恰有3个，则实数m 的取值范围为( )A. 0<m ≤1B. 43≤m <32C. 1<m <32D. 32≤m <2 10. 关于曲线C ：x 4+y 4=1，则下列四个命题中，假命题是( )A. 曲线C 关于原点对称B. 曲线C 关于直线y =−x 对称C. 曲线C 围成的面积小于πD. 在第一象限中y 随x 的增大而减小二、单空题（本大题共2小题，共10.0分） 11. 已知函数f(x)={3x,x ≤0f(x −1),x >0则f(56)的值为______． 12. 在平行四边形 ABCD 中，AD =1，∠BAD =60°，E 为 CD 的中点．若AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅EB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2，则AB 的为______．三、多空题（本大题共3小题，共15.0分）13. 已知函数f(x)=√3sin x cos x +cos 2x +a ；则f(x)的最小正周期为 (1) ，若f(x)在区间[−π6,π3]上的最大值与最小值的和为32，则实数a 的值为 (2) ．14. 已知圆O ：x 2+y 2=1，l 为过点(0,2)的动直线，若l 与圆O 相切，则直线l 的倾斜角为 (1) ；若l 与圆O 相交于A 、B 两点，则当△OAB 的面积最大时AB 的弦长为 (2) ． 15. 已知f(x)={|x −1|−1,x ≥0,(13)x ,x <0,.则f(f(1))= (1) ，f(x)的最小值是 (2) ． 四、解答题（本大题共6小题，共85.0分）16. (1)已知cos(π4+α)=13，α∈(0,π2)，则求cosα的值．(2)0<α<π2，−π2<β<0，cos(π4+α)=14，cos(β2−π4)=34，求cos(β2+α)的值；(3)已知α，β∈(0,π)tanα=2，cosβ=−7√210，求2α−β的值．17. 已知函数f(x)=e x 1+ax 2，其中a 为实数，常数e =2.718…． (1)若x =13是函数f(x)的一个极值点，求a 的值；(2)当a 取正实数时，求函数f(x)的单调区间； (3)当a =−4时，直接写出函数f(x)的所有减区间．18. 求适合下列条件的直线的方程：(1)经过点A(−1,−3)，倾斜角等于直线y =3x 的倾斜角的2倍；(2)经过点P(3,2)，且在两坐标轴上的截距相等．19. 已知函数。
2020-2021学年北京四中高一(上)适应性数学试卷(附答案详解)
2020-2021学年北京四中高一（上）适应性数学试卷一、单选题（本大题共10小题，共40.0分）1.若集合A={1,3}，B={2,3，4}，则A∩B=()A. {1}B. {2}C. {3}D. {1,2，3，4}2.已知a∈R，则“a+c>b+d”是“a>b且c>d”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3.集合A={x|x2−3x−4≥0}，B={x|1<x<5}，则集合(∁R A)∪B=()A. [−1,5)B. (−1,5)C. (1,4]D. (1,4)4.若A、B、C为三个集合，且有A∪B=B∩C，则一定有()A. A⊆CB. C⊆AC. A≠CD. A=⌀5.已知命题p：∀x>0，总有(x+1)2x>1，则命题p的否定为()A. ∃x0≤0，使得(x0+1)2x0≤1B. ∃x0>0，使得(x0+1)2x0≤1C. ∀x>0，总有(x+1)2x≤1D. ∀x≤0，总有(x+1)2x≤16.设a，b∈R，集合{1,a+b,a}={0,ba,b}，则b−a=()A. 1B. −1C. 2D. −27.不等式x−1x2−4>0的解集是()A. (−2,1)∪(2,+∞)B. (2,+∞)C. (−2,1)D. (−∞,−2)∪(1,+∞)8.若集合A={1,m2}，集合B={2,4}，则m=2是A∩B={4}的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件9.若a>b>0，c<d<0，则一定有()A. ad >bcB. ad<bcC. ac>bdD. ac<bd10.若不等式{x−1>a2x−4<2a的解集不是空集，则实数a的取值范围是()A. (−1,3)B. (−∞,−1)∪(3,+∞)C. (−3,1)D. (−∞,−3)∪(1,+∞)二、单空题（本大题共5小题，共25.0分）11.集合A={x∈N|1≤x≤10}，集合B={x∈R|x2+x−6≤0}，则A∩B=______．12.命题p：“∀x∈R，x3−x2+1≤0”则命题￢p是______，￢p是______命题(用“真”、“假”填空)．13.设全集U=R，集合M={x|√x2>2}，集合P=(1,3)，则M∩(∁U P)=______．14.不等式|x+1|(2x−1)≥0的解集为______．15.关于x的不等式x2−2ax−8a2<0(a>0)的解集为(x1,x2)，且x2−x1=15，则a=______ ．三、多空题（本大题共1小题，共5.0分）16.将含有3n个正整数的集合M分成元素个数相等且两两没有公共元素的三个集合A、B、C，其中A={a1,a2,…,a n}，B={b1,b2,…,b n}，C={c1,c2,…,c n}，若A、B、C中的元素满足条件：c1<c2<⋯<c n，a k+b k=c k，k=1，2，…，n，则称M 为“完并集合”．(1)若M={1,x，3，4，5，6}为“完并集合”，则x的一个可能值为(1).(写出一个即可)(2)对于“完并集合”M={1,2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12}，在所有符合条件的集合C中，其元素乘积最小的集合是(2)．四、解答题（本大题共3小题，共30.0分）17.已知二次函数y=x2−x+m的图象与x轴交于A(x1,0)，B(x2,0)两点，且x13+x23=2.求实数m的值．18.已知a，b，c，d均为正数，且a+b=c+d，求证：“√a+√b>√c+√d”是“|a−b|<|c−d|”的充要条件．19.已知关于x的不等式−x2+ax+4≥|x+1|+|x−1|(a∈R)．(1)当a=1时，求该不等式的解集；(2)若该不等式在区间[−1,1]上恒成立，求实数a的取值范围．答案和解析1.【答案】C【解析】解：A∩B={1,3}∩{2,3，4}={3}，故选：C．直接求A、B的公共元素．本题考查集合的交集运算，很基本．2.【答案】B【解析】解：令p：“a+c>b+d”，q：“a>b且c>d”由于a+c>b+d推不出a>b且c>d，则p⇒q为假命题；由于a>b且c>d，根据不等式同向可加性得到a+c>b+d，则q⇒p为真命题．故命题p是命题q的必要不充分条件，故答案选B．若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；判断充要条件的方法是：①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．3.【答案】B【解析】解：因为集合A={x|x2−3x−4≥0}={x|x≤−1或x≥4}，又B={x|1<x<5}，所以∁R A=(−1,4)则集合(∁R A)∪B=(−1,5)．故选：B．先求出集合A，然后由集合补集与并集的定义求解即可．本题考查了集合的运算，解题的关键是掌握集合补集与并集的定义，属于基础题．4.【答案】A【解析】解：因为A⊆A∪B且C∩B⊆C，A∪B=C∩B由题意得A⊆C，故选A本题考查三个抽象集合之间的关系，由交集、并集的定义有结论A⊆A∪B，B⊆A∪B，A∩B⊆A，A∩B⊆B．本题主要考查．集合的并集与交集运算，集合之间关系的理解．5.【答案】B【解析】解：命题为全称命题，则命题p：∀x>0，总有(x+1)2x>1，则命题p的否定为，∃x0>0，使得(x0+1)2x0≤1．故选：B．根据含有量词的命题的否定即可得到结论．本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．6.【答案】C,b}，【解析】解：根据题意，集合{1,a+b,a}={0,ba又∵a≠0，∴a+b=0，即a=−b，=−1，∴bab=1；故a=−1，b=1，则b−a=2，故选：C．,b}，注意到后面集合中有元素0，由集合相等的意根据题意，集合{1,a+b,a}={0,ba义，结合集合中元素的特征，可得a+b=0，进而分析可得a、b的值，计算可得答案．本题考查集合元素的特征与集合相等的含义，注意从特殊元素下手，有利于找到解题切入点．7.【答案】A>0等【解析】解：不等式x−1x2−4价于(x+2)(x−1)(x−2)>0，令(x+2)(x−1)(x−2)=0，解得x=−2，或x=1，或x=2，如图所示，由图象可知不等式的解集为(−2,1)∪(2,+∞)，故选：A．根据不等式的解法解得即可．本题利用穿根法解高次不等式，第一步：通过不等式的诸多性质对不等式进行移项，使得右侧为0.(注意：一定要保证x前的系数为正数)第二步：将不等号换成等号解出所有根，第三步：在数轴上从左到右依次标出各根，第四步：画穿根线：以数轴为标准，从“最右根”的右上方穿过根，往左下画线，然后又穿过“次右根”上去，一上一下依次穿过各根．第五步：观察不等号，如果不等号为“>”，则取数轴上方，穿根线以内的范围；如果不等号为“<”则取数轴下方，穿根线以内的范围．x的次数若为偶数则不穿过，即奇过偶不过．8.【答案】A【解析】解：若m=2，则A={1,4}，B={2,4}，A∩B={4}，“m=2”是“A∩B={4}”的充分条件；若A∩B={4}，则m2=4，m=±2，所以“m=2”不是“A∩B={4}”的必要条件．则“m=2”是“A∩B={4}”的充分不必要条件．故选A．当m=2时，可直接求A∩B；反之A∩B={4}时，可求m，再根据必要条件、充分条件与充要条件的定义进行判断即可．本题考查必要条件、充分条件与充要条件的判断，属基本题．9.【答案】B【解析】 【分析】利用特值法或不等式的基本性质，判断选项即可． 本题考查比较大小，属于基础题． 【解答】解法一：若a >b >0，c <d <0， 不妨令a =3，b =1，c =−3，d =−1， 则ac =−1,bd =−1， ∴C 、D 不正确；a d =−3，bc =−13 ∴A 不正确，B 正确．解法二：∵c <d <0，∴−c >−d >0， ∵a >b >0，∴−ac >−bd ， 又cd >0，∴−ac cd>−bd cd，∴a d<bc．故选：B ．10.【答案】A【解析】 【分析】本题主要考查不等式的解法，交集非空的条件，属于基础题． 由题意可得a 2+1<2a +4，由此求得a 的范围． 【解答】解：不等式{x −1>a 2x −4<2a ，即{x >a 2+1x <2a +4，根据它的解集非空，可得a 2+1<2a +4，求得−1<a<3，故选：A．11.【答案】{1,2}【解析】解：因为集合A={x∈N|1≤x≤10}，又集合B={x∈R|x2+x−6≤0}={x|−3≤x≤2}，则A∩B={1,2}．故答案为：{1,2}．先求出集合B，然后由集合交集的定义求解即可．本题考查了集合的运算，解题的关键是掌握集合交集定义的应用，属于基础题．12.【答案】∃x∈R，x3−x2+1>0真【解析】解：命题为全称命题，则命题的否定为：∃x∈R，x3−x2+1>0，当x=0时，不等式成立，所以命题的否定是真命题．故答案为：∃x∈R，x3−x2+1>0；真．根据含有量词的命题的否定即可得到结论，然后判断真假．本题主要考查含有量词的命题的否定，是基础题．13.【答案】(−∞,−2)∪(2,+∞)【解析】解：因为集合M={x|√x2>2}={x|x<−2或x>2}，又集合P=(1,3)，所以∁U P=(−∞,1]∪[3,+∞)，则M∩(∁U P)=(−∞,−2)∪(2,+∞)．故答案为：(−∞,−2)∪(2,+∞)．先求出集合M，然后由集合补集与交集的定义求解即可．本题考查了集合的运算，解题的关键是掌握集合的补集与交集的定义，考查了运算能力，属于基础题．,+∞)14.【答案】{−1}∪[12【解析】解：由不等式|x+1|(2x−1)≥0可得2x−1≥0，解得x≥1，或x=−12,+∞)，故不等式的解集为{−1}∪[12,+∞)．故答案为{−1}∪[12由不等式|x+1|(2x−1)≥0可得2x−1≥0，由此求得不等式的解集．本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，体现了转化的数学思想，属于中档题．15.【答案】52【解析】解：∵关于x的不等式x2−2ax−8a2<0(a>0)的解集为(x1,x2)，∴x1，x2是一元二次方程x2−2ax−8a2=0(a>0)的实数根，∴△=4a2+32a2>0．∴x1+x2=2a，x1x2=−8a2．∵x2−x1=15，∴152=(x1+x2)2−4x1x2=4a2+32a2，又a>0．．解得a=52故答案为：5．2关于x的不等式x2−2ax−8a2<0(a>0)的解集为(x1,x2)，则x1，x2是一元二次方程x2−2ax−8a2=0(a>0)的实数根，利用根与系数的关系即可得出．本题考查了一元二次不等式的解集与相应的一元二次方程的根与系数的关系，属于基础题．16.【答案】7，9，11{6,10，11，12}【解析】解：(1)若集合A={1,4}，B={3,5}，根据完并集合的概念知集合C={6,x}，∴x=“4+3=7，“若集合A={1,5}，B={3,6}，根据完并集合的概念知集合C={4,x}，∴x=“5+6= 11，“若集合A={1,3}，B={4,6}，根据完并集合的概念知集合C={5,x}，∴x=3+6=9，故x的一个可能值为7，9，11中任一个；(2)若A={1,2，3，4}，B={5,8，7，9}，则C={6,10，12，11}，若A={1,2，3，4}，B=“{5,6，8，10}，则C={7,9，12，11}，若A={1,2，3，4}，B={5,6，7，11}，则C={8,10，12，9}，这两组比较得元素乘积最小的集合是{6,10，11，12}故答案为：7，9，11，{6,10，11，12}(1)讨论集合A与集合B，根据完并集合的概念知集合C，根据a k+b k=c k建立等式可求出x的值；(2)讨论集合A与集合B，根据完并集合的概念知集合C，然后比较得元素乘积最小的集合即可．这类题型的特点是在通过假设来给出一个新概念，在新情景下考查考生解决问题的迁移能力，要求解题者紧扣新概念，对题目中给出的条件抓住关键的信息，进行整理、加工、判断，实现信息的转化17.【答案】解：由题意可得x1，x2是方程x2−x+m=0的两个实数解，可得x1+x2=1，x1x2=m，且Δ=1−4m≥0，由x13+x23=2，即(x1+x2)(x12+x22−x1x2)=(x1+x2)[(x1+x2)2−3x1x2]=1−3m=2，，满足Δ≥0，解得m=−13．所以m=−13【解析】由韦达定理和判别式大于等于0，结合立方和公式，解方程可得所求值．本题考查二次方程的韦达定理的运用，以及立方和公式的运用，考查转化思想和运算能力，属于基础题．18.【答案】证明：若√a+√b>√c+√d，平方得a+b+2√ab>c+d+2√cd，即√ab>√cd，则ab>cd，(a−b)2=(a+b)2−4ab<(c+d)2−4cd=(c−d)2，即“|a−b|<|c−d|”成立．若“|a−b|<|c−d|”成立，则|a−b|2<|c−d|2，即(a+b)2−4ab<(c+d)2−4cd，由于a+b=c+d，则ab>cd，则a+b+2√ab>c+d+2√cd，即(√a+√b)2>(√c+√d)2，则√a+√b>√c+√d，成立，综上“√a+√b>√c+√d”是“|a−b|<|c−d|”的充要条件．【解析】根据不等式的性质以及充要条件的定义进行证明即可．本题主要考查充要条件的证明，利用不等式的性质是解决本题的关键，是中档题．19.【答案】解：(1)函数y=|x+1|+|x−1|={2x,x>12,−1≤x≤1−2x,x<−1，当a=1时，y=−x2+x+4的图象是开口向下，对称轴为x=12的二次函数，当x>1时，令−x2+x+4≥2x，解得1<x≤√17−12；当x<−1时，y=−x2+x+4>1，y=|x+1|+|x−1|<2，不等式无解．综上所述，不等式的解集为[−1,√17−12]；(2)问题可转化为x2−2≤ax在[−1,1]上恒成立，作出图象如图所示，由图可知，函数y=ax必须在l1，l2之间，所以−1≤a≤1，故实数a的取值范围为[−1,1]．【解析】(1)利用绝对值的定义将函数转化为分段函数，然后分类讨论，分别求解不等式即可；(2)将不等式转化为x2−2≤ax在[−1,1]上恒成立，利用数形结合法求解即可．本题考查了含有绝对值的函数的应用，对于含有绝对值的函数，常见的解法是利用绝对值的定义去掉绝对值，将函数转化为分段函数进行求解，考查了逻辑推理能力与转化化归能力，属于中档题．第11页，共11页。