统计学第七章、第八章

统计学复习笔记

第七章 参数估计

一、 思考题

1． 解释估计量和估计值

在参数估计中，用来估计总体参数的统计量称为估计量。估计量也是随机变量。如样本均值，样本比例、样本方差等。

根据一个具体的样本计算出来的估计量的数值称为估计值。

2． 简述评价估计量好坏的标准

（1）无偏性：是指估计量抽样分布的期望值等于被估计的总体参数。 （2）有效性：是指估计量的方差尽可能小。对同一总体参数的两个无偏估计量，有更小方差的估计量更有效。

（3）一致性：是指随着样本量的增大，点估计量的值越来越接近被估总体的参数。

3． 怎样理解置信区间

在区间估计中，由样本统计量所构造的总体参数的估计区间称为置信区间。置信区间的论述是由区间和置信度两部分组成。有些新闻媒体报道一些调查结果只给出百分比和误差（即置信区间），并不说明置信度，也不给出被调查的人数，这是不负责的表现。因为降低置信度可以使置信区间变窄（显得“精确”），有误导读者之嫌。在公布调查结果时给出被调查人数是负责任的表现。这样则可以由此推算出置信度（由后面给出的公式），反之亦然。

4． 解释95%的置信区间的含义是什么

置信区间95%仅仅描述用来构造该区间上下界的统计量(是随机的)覆盖总体参数的概率。也就是说，无穷次重复抽样所得到的所有区间中有95%（的区间）包含参数。

不要认为由某一样本数据得到总体参数的某一个95%置信区间，就以为该区间以0.95的概率覆盖总体参数。

5． 简述样本量与置信水平、总体方差、估计误差的关系。

1. 估计总体均值时样本量n 为

2. 样本量n 与置信水平1-α、总体方差、估计误差E 之间的关系为

其中：

2

2

22

α2

222)(E z n σα=

n

z E σα2

=

▪ 与置信水平成正比，在其他条件不变的情况下，置信水平越大，所需要的样本量越大；

▪ 与总体方差成正比，总体的差异越大，所要求的样本量也越大； ▪ 与与总体方差成正比，样本量与估计误差的平方成反比，即可以接受的估计误差的平方越大，所需的样本量越小。

二、 练习题

1． 从一个标准差为5的总体中采用重复抽样方法抽出一个样本量为40的样本，样本均值为25。

1) 样本均值的抽样标准差等于多少？

2) 在95%的置信水平下，估计误差是多少？

2． 某快餐店想要估计每位顾客午餐的平均花费金额，在为期3周的时间里选取49名顾客组成了一个简单随机样本。

1) 假定总体标准差为15元，求样本均值的抽样标准误差。 2) 在95%的置信水平下，求估计误差。

3) 如果样本均值为120元，求总体均值µ的95%的置信区间。

x

x

3． 从一个总体中随机抽取n =100的随机样本，得到

=104560，假定总体标准差σ = 85414，试构建总体均值µ的95%的置信区间。

4． 从总体中抽取一个n =100的简单随机样本，得到 =81，s=12。要求：

1） 构建µ的90%的置信区间。 2） 构建µ的95%的置信区间。 3） 构建µ的99%的置信区间。

5． 利用下面的信息，构建总体均值的置信区间。

1） = 25，σ = 3.5，n =60，置信水平为95% 2） =119，s =23.89，n =75，置信水平为98% 3） =3.149，s =0.974，n =32，置信水平为90%

x x x x x

6． 利用下面的信息，构建总体均值µ的置信区间：

1） 总体服从正态分布，且已知σ = 500，n = 15，

=8900，置信水平为95%。

2） 总体不服从正态分布，且已知σ = 500，n = 35， =8900，置信水平为95%。

3） 总体不服从正态分布，σ未知，n = 35， =8900，s =500，置信水平为90%。

4） 总体不服从正态分布，σ未知，n = 35， =8900，s =500，置信水平为99%。

x x x x

7．某大学为了解学生每天上网的时间，在全校7500名学生中采取重复抽样方法随机抽取36人，调查他们每天上网的时间，得到下面的数据（单位：小时）。

3.3 3.1 6.2 5.8 2.3

4.1

5.4 4.5 3.2

4.4 2.0

5.4 2.6

6.4 1.8 3.5 5.7 2.3

2.1 1.9 1.2 5.1 4.3 4.2

3.6 0.8 1.5

4.7 1.4 1.2 2.9 3.5 2.4 0.5 3.6 2.5

求该校大学生平均上网时间的置信区间，置信水平分别为90%

8．从一个正态总体中随机抽取样本量为8的样本，各样本值分别为：10，8，12，15，6，13，5，11。求总体均值µ的95%置信区间。

9．某居民小区为研究职工上班从家里到单位的距离，抽取了由16个人组成的一个随机样本，他们到单位的距离分别是：10，3，14，8，6，9，12，11，7，5，10，15，9，16，13，2。假设总体服从正态分布，求职工上班从家里到单位平均距离的95%的置信区间。

10．从一批零件是随机抽取36个，测得其平均长度是149.5，标准差是1.93。

1)求确定该种零件平均长度的95%的置信区间。

2)在上面估计中，你使用了统计中的哪一个重要定理？请解释。

11．某企业生产的袋装食品采用自动打包机包装，每袋标准重量为100克，现从某天生产的一批产品中按重复抽样随机抽取50包进行检查，测得每包重量如下：

已知食品包重服从正态分布，要求：

1）确定该种食品平均重量的95%的置信区间。

2）如果规定食品重量低于100克属于不合格，确定该批食品合格率的95%的置信区间。