中考数学压轴题 由比例线段产生的函数关系问题

由比例线段产生的函数关系问题

例1：如图1，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点A 的坐标为(0,4)，点B 的坐标为(4,0)，点C 的坐标为(－4,0)，点P 在射线AB 上运动，连结CP 与y 轴交于点D ，连结BD ．过P 、D 、B 三点作⊙Q ，与y 轴的另一个交点为E ，延长DQ 交⊙Q 于F ，连结EF 、BF ．

（1）求直线AB 的函数解析式；

（2）当点P 在线段AB （不包括A 、B 两点）上时．

①求证：∠BDE ＝∠ADP ；

②设DE ＝x ，DF ＝y ，请求出y 关于x 的函数解析式；

（3）请你探究：点P 在运动过程中，是否

存在以B 、D 、F 为顶点的直角三角形，满足两条直角边之比为2∶1？如果存在，求出此时点P 的坐标；如果不存在，请说明理由． 图1

动感体验

请打开几何画板文件名“13宁波26”，拖动点P 在射线AB 上运动，可以体验到，△DEF 保持等腰直角三角形的形状，y 是x 的一次函数．观察BD ∶BF 的度量值，可以体验到，BD ∶BF 可以等于2，也可以等于0.5．

请打开超级画板文件名“13宁波26”，拖动点P 在射线AB 上运动，可以体验到，△DEF 保持等腰直角三角形的形状．观察BD ∶BF 的度量值，可以体验到，BD ∶BF 可以等于2，也可以等于0.5．

答案

（1）直线AB 的函数解析式为y ＝－x ＋4． （2）①如图2，∠BDE ＝∠CDE ＝∠ADP ；

②如图3，∠ADP ＝∠DEP ＋∠DPE ，如图4，∠BDE ＝∠DBP ＋∠A ， 因为∠DEP ＝∠DBP ，所以∠DPE ＝∠A ＝45°．

所以∠DFE ＝∠DPE ＝45°．因此△DEF 是等腰直角三角形．于是得到2y x

．

图2 图3 图4

（3）①如图5，当BD∶BF＝2∶1时，P(2,2)．思路如下：

由△DMB∽△BNF，知

1

2

2

BN DM

==．

设OD＝2m，FN＝m，由DE＝EF，可得2m＋2＝4－m．解得

2

3

m=．

因此

4

(0,)

3

D．再由直线CD与直线AB求得交点P(2,2)．

②如图6，当BD∶BF＝1∶2时，P(8,－4)．思路同上．

图5 图6

例2 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6，5

3sin =B ，⊙B 的半径长为1，⊙B 交边CB 于点

P ，点O 是边AB 上的动点．

（1）如图1，将⊙B 绕点P 旋转180°得到⊙M ，请判断⊙M 与直线AB 的位置关系； （2）如图2，在（1）的条件下，当△OMP 是等腰三角形时，求OA 的长；

（3）如图3，点N 是边BC 上的动点，如果以NB 为半径的⊙N 和以OA 为半径的⊙O 外切，设NB ＝y ，OA ＝x ，求y 关于x 的函数关系式及定义域．

图1 图2 图3

动感体验

请打开几何画板文件名“12徐汇25”，拖动点O 在AB 上运动，观察△OMP 的三个顶点与对边的垂直平分线的位置关系，可以体验到，点O 和点P 可以落在对边的垂直平分线上，点M 不能．

请打开超级画板文件名“12徐汇25”， 分别点击“等腰”按钮的左部和中部，观察三个角度的大小，可得两种等腰的情形．点击“相切”按钮，可得y 关于x 的函数关系．

思路点拨

1．∠B 的三角比反复用到，注意对应关系，防止错乱．

2．分三种情况探究等腰△OMP ，各种情况都有各自特殊的位置关系，用几何说理的方法比较简单．

3．探求y 关于x 的函数关系式，作△OBN 的边OB 上的高，把△OBN 分割为两个具有公共直角边的直角三角形．

满分解答

（1） 在Rt △ABC 中，AC ＝6，5

3sin =B ， 所以AB ＝10，BC ＝8．

过点M 作MD ⊥AB ，垂足为D ．

在Rt △BMD 中，BM ＝2，3sin 5

MD B BM

==，所以65

MD =．

因此MD ＞MP ，⊙M 与直线AB 相离． 图4 （2）①如图4，MO ≥MD ＞MP ，因此不存在MO ＝MP 的情况．

②如图5，当PM ＝PO 时，又因为PB ＝PO ，因此△BOM 是直角三角形． 在Rt △BOM 中，BM ＝2，4cos 5

BO B BM

==，所以85

BO =．此时425

OA =．

③如图6，当OM ＝OP 时，设底边MP 对应的高为OE ．

在Rt △BOE 中，BE ＝32

，4cos 5

BE B BO

==，所以158

BO =．此时658

OA =．

图5 图6

（3）如图7，过点N 作NF ⊥AB ，垂足为F ．联结ON ． 当两圆外切时，半径和等于圆心距，所以ON ＝x ＋y ．

在Rt △BNF 中，BN ＝y ，3sin 5

B =，4cos 5

B =，所以35

NF y =，45

BF y =．

在Rt △ONF 中，4105

OF AB AO BF x y =--=--，由勾股定理得ON 2

＝OF 2

＋NF 2

．

于是得到22243()(10)()5

5

x y x y y +=--+．

整理，得2505040

x y x -=+．定义域为0＜x ＜5．

图7 图8

考点伸展

第（2）题也可以这样思考：

如图8，在Rt △BMF 中，BM ＝2，65

MF =，85

BF =．

在Rt △OMF 中，OF ＝842105

5

x x --=-，所以222426()()5

5

OM x =-+．

在Rt △BPQ 中，BP ＝1，35

PQ =，45

BQ =．

在Rt △OPQ 中，OF ＝446105

5

x x --=-，所以222463()()5

5

OP x =-+．

①当MO ＝MP ＝1时，方程22426()()15

5

x -+=没有实数根．

②当PO ＝PM ＝1时，解方程22463()()15

5

x -+=，可得425

x OA ==

③当OM ＝OP 时，解方程22426()()5

5

x -+22463()()5

5

x =-+，可得658

x OA ==．